Tele2, கட்டணங்கள், கேள்விகளில் உதவி

கொசைன் தேற்றம் என்பது ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

கொசைன் தேற்றத்தின் அறிக்கை

a,b,c மற்றும் கோணம் α பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு விமான முக்கோணத்திற்கு, பக்கத்திற்கு நேர் எதிராக, பின்வரும் தொடர்பு உண்மையாக இருக்கும்:

கொசைன் தேற்றத்தின் பயனுள்ள சூத்திரங்கள்:

மேற்கூறியவற்றிலிருந்து பார்க்க முடிந்தால், கொசைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, முக்கோணத்தின் பக்கத்தை இரண்டு பக்கங்களிலும், அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திலும் மட்டும் கண்டுபிடிக்க முடியாது, முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களின் அளவையும் அறிந்து, அனைத்தின் கொசைன்களையும் தீர்மானிக்கலாம். கோணங்கள், மேலும் முக்கோணத்தின் எந்த கோணத்தின் அளவையும் கணக்கிடவும். ஒரு முக்கோணத்தின் எந்த கோணத்தையும் அதன் பக்கங்களிலிருந்து கணக்கிடுவது கொசைன் தேற்றத்தின் சூத்திரத்தை மாற்றுவதன் விளைவாகும்.

கொசைன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்

ஏபிசியின் தன்னிச்சையான முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். பக்க ஏசியின் அளவு (இது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு சமம்), AB பக்கத்தின் அளவு (இது ஒரு குறிப்பிட்ட எண் c) மற்றும் இந்த பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம், இதன் மதிப்பு ஆகியவை நமக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். α க்கு சமம். BC பக்கத்தின் அளவைக் கண்டுபிடிப்போம் (அதன் நீளத்தை மாறி a மூலம் குறிக்கிறது)

ஆதாரத்திற்காக கொசைன் தேற்றங்கள்கூடுதல் கட்டுமானங்களை மேற்கொள்வோம். உச்சியில் இருந்து C இலிருந்து பக்க AB வரை நாம் உயரம் CD ஐ குறைக்கிறோம்.
AB பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், கூடுதல் கட்டுமானத்தின் விளைவாக நாம் அதைச் சொல்லலாம்
AB = AD + BD

AD பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். முக்கோணம் ADC என்பது செங்கோணமானது என்பதன் அடிப்படையில், அதன் ஹைப்போடென்யூஸ் (b) மற்றும் கோணம் (α) ஆகியவற்றின் நீளத்தை நாம் அறிவோம், பின்னர் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி பக்கங்களின் விகிதத்திலிருந்து பக்க AD அளவைக் கண்டறியலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில்:

AD/AC = cos α
எங்கே
AD = AC காஸ் α
AD = b cos α

AB மற்றும் AD க்கு இடையே உள்ள வித்தியாசமாக BD பக்கத்தின் நீளத்தைக் காண்கிறோம்:
BD = AB - AD
BD = c - b cos α

இப்போது ADC மற்றும் BDC ஆகிய இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்களுக்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தை எழுதுவோம்:
முக்கோண BDCக்கு
CD 2 + BD 2 = BC 2
முக்கோண ADCக்கு
CD 2 + AD 2 = AC 2

இரண்டு முக்கோணங்களும் பொதுவான பக்கத்தைக் கொண்டிருக்கின்றன - குறுவட்டு. ஒவ்வொரு முக்கோணத்திற்கும் அதன் நீளத்தை தீர்மானிப்போம் - அதன் மதிப்பை வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கத்திலும், மீதமுள்ளவை வலதுபுறத்திலும் வைக்கவும்.
குறுவட்டு 2= BC 2 - BD 2
குறுவட்டு 2= ஏசி 2 - கிபி 2

சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்கள் (பக்க சிடியின் சதுரம்) சமமாக இருப்பதால், சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களை சமன் செய்கிறோம்:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2

முன்னர் செய்யப்பட்ட கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில், நாங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறோம்:
AD = b cos α
BD = c - b cos α
ஏ.சி. = ஆ(நிபந்தனையின்படி)

மற்றும் பக்கத்தின் மதிப்பை BC என குறிப்பிடுகிறோம் அ.
BC=a
(அதைத்தான் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்)

BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
எங்கள் கணக்கீடுகளின் முடிவுகளுடன் பக்கங்களின் எழுத்து பெயர்களை மாற்றுவோம்
a 2 - ( c - b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
தெரியாத மதிப்பை (a) இடது பக்கமாகவும், சமன்பாட்டின் மீதமுள்ள பகுதிகளை வலது பக்கம் நகர்த்தவும்
a 2 = (c - b cos α) 2 + b 2 - (b cos α) 2
அடைப்புக்குறிகளை திறப்போம்
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
நாம் பெறுகிறோம்
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

கொசைன் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

அனைத்து பள்ளி மாணவர்களுக்கும், குறிப்பாக பெரியவர்களுக்கும், கொசைன் தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் நேரடியாக தொடர்புடையது என்பது தெரியாது. இன்னும் துல்லியமாக, பிந்தையது முந்தைய ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இந்த புள்ளியும், கொசைன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் இரண்டு வழிகளும், நீங்கள் அதிக அறிவுள்ள நபராக மாற உதவும். கூடுதலாக, ஆரம்ப வெளிப்பாடுகளிலிருந்து அளவுகளை வெளிப்படுத்தும் பயிற்சி தர்க்கரீதியான சிந்தனையை நன்கு வளர்க்கிறது. ஆய்வு செய்யப்படும் தேற்றத்தின் நீண்ட சூத்திரம் நிச்சயமாக உங்களை கடினமாக உழைக்கவும் மேம்படுத்தவும் கட்டாயப்படுத்தும்.

உரையாடலைத் தொடங்குதல்: குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துதல்

இந்த தேற்றம் ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்திற்காக வடிவமைக்கப்பட்டு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, எந்த சூழ்நிலையிலும், இரண்டு பக்கங்களும் கொடுக்கப்பட்டால், சில சந்தர்ப்பங்களில் மூன்று, மற்றும் ஒரு கோணம், மற்றும் அவற்றுக்கிடையே அவசியமில்லை. முக்கோணத்தின் வகை எதுவாக இருந்தாலும், தேற்றம் எப்போதும் வேலை செய்யும்.

இப்போது அனைத்து வெளிப்பாடுகளிலும் அளவுகளின் பதவி பற்றி. பின்னர் பல முறை விளக்க வேண்டியதில்லை, உடனே ஒப்புக்கொள்வது நல்லது. இந்த நோக்கத்திற்காக பின்வரும் அட்டவணை தொகுக்கப்பட்டுள்ளது.

உருவாக்கம் மற்றும் கணிதக் குறியீடு

எனவே, கொசைன் தேற்றம் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது:

எந்த முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரமும், அதன் மற்ற இரு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், அதே பக்கங்களின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்கு மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனைக் கழித்தல்.

நிச்சயமாக, இது நீண்டது, ஆனால் அதன் சாரத்தை நீங்கள் புரிந்து கொண்டால், அதை நினைவில் கொள்வது எளிதாக இருக்கும். நீங்கள் ஒரு முக்கோணத்தை வரைவதைக் கூட கற்பனை செய்யலாம். பார்வைக்கு நினைவில் வைத்திருப்பது எப்போதும் எளிதானது.

இந்த தேற்றத்தின் சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

கொஞ்சம் நீளமானது, ஆனால் எல்லாம் தர்க்கரீதியானது. நீங்கள் இன்னும் கொஞ்சம் உற்று நோக்கினால், கடிதங்கள் மீண்டும் மீண்டும் வருவதைக் காணலாம், அதாவது நினைவில் கொள்வது கடினம் அல்ல.

தேற்றத்தின் பொதுவான சான்று

எல்லா முக்கோணங்களுக்கும் இது உண்மையாக இருப்பதால், பகுத்தறிவிற்காக நீங்கள் எந்த வகையையும் தேர்வு செய்யலாம். அது அனைத்து கூர்மையான கோணங்களையும் கொண்ட ஒரு உருவமாக இருக்கட்டும். ஒரு தன்னிச்சையான தீவிர-கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள், அதன் கோணம் B கோணத்தை விட பெரியது. இந்த பெரிய கோணத்துடன் கூடிய உச்சியில் இருந்து, நீங்கள் எதிர் பக்கத்திற்கு செங்குத்தாகக் குறைக்க வேண்டும். வரையப்பட்ட உயரம் முக்கோணத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாக பிரிக்கும். ஆதாரத்திற்கு இது தேவைப்படும்.

பக்கமானது இரண்டு பிரிவுகளாக பிரிக்கப்படும்: x, y. அவை அறியப்பட்ட அளவுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும். ஒரு முக்கோணத்தில் முடிவடையும் பகுதி b க்கு சமமான ஹைப்போடென்யூஸுடன் குறிப்பீடு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும்:

x = b * cos A.

மற்றொன்று இந்த வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும்:

y = c - in * cos A.

இப்போது நீங்கள் இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்களுக்கு பித்தகோரியன் தேற்றத்தை எழுத வேண்டும், உயரத்தை அறியப்படாத மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இந்த சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்:

n 2 = in 2 - (in * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

இந்த சமத்துவங்கள் இடதுபுறத்தில் அதே வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. இதன் பொருள் அவர்களின் வலது பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும். அதை எழுதுவது எளிது. இப்போது நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும்:

in 2 - in 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * in * cos A - in 2 * (cos A) 2.

நீங்கள் இங்கே ஒத்த சொற்களின் பரிமாற்றம் மற்றும் குறைப்பை மேற்கொண்டால், நீங்கள் ஆரம்ப சூத்திரத்தைப் பெறுவீர்கள், இது சூத்திரத்திற்குப் பிறகு எழுதப்பட்டது, அதாவது கொசைன் தேற்றம். ஆதாரம் முழுமையானது.

திசையன்களைப் பயன்படுத்தி தேற்றத்தின் ஆதாரம்

இது முந்தையதை விட மிகக் குறைவு. திசையன்களின் பண்புகள் உங்களுக்குத் தெரிந்தால், ஒரு முக்கோணத்திற்கான கொசைன் தேற்றம் எளிமையாக நிரூபிக்கப்படும்.

a, b, c ஆகிய பக்கங்கள் முறையே BC, AC மற்றும் AB ஆகிய திசையன்களால் குறிக்கப்பட்டால், சமத்துவம் உள்ளது:

BC = AC - AB.

இப்போது நீங்கள் சில படிகளைச் செய்ய வேண்டும். இவற்றில் முதலாவது சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்பது:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

பின்னர் சமத்துவத்தை அளவிடல் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுத வேண்டும், திசையன்களின் தயாரிப்பு அவற்றுக்கும் அவற்றின் அளவிடல் மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான கோணத்தின் கொசைனுக்கு சமம் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

எஞ்சியிருப்பது பழைய குறிப்பிற்குத் திரும்புவதுதான், மீண்டும் நாம் கொசைன் தேற்றத்தைப் பெறுகிறோம்:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

மற்ற பக்கங்கள் மற்றும் அனைத்து கோணங்களுக்கான சூத்திரங்கள்

பக்கத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கோசைன் தேற்றத்தின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்க வேண்டும். மற்ற பக்கங்களில் ஒன்றின் சதுரங்களுக்கான சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

ஒரு பக்கத்தின் சதுரத்திற்கான வெளிப்பாட்டை எழுத வி, நீங்கள் முந்தைய சமத்துவத்தில் மாற்ற வேண்டும் உடன்அன்று வி, மற்றும் நேர்மாறாகவும், கோசைன் கீழ் B கோணத்தை வைக்கவும்.

தேற்றத்தின் அடிப்படை சூத்திரத்திலிருந்து கோணம் A இன் கொசைனின் மதிப்பை நாம் வெளிப்படுத்தலாம்:

cos A = (2 + c 2 - a 2) / (2 in * c).

மற்ற கோணங்களுக்கான சூத்திரங்கள் இதேபோல் பெறப்படுகின்றன. அவற்றை நீங்களே எழுத முயற்சிப்பது நல்லது.

இயற்கையாகவே, இந்த சூத்திரங்களை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. தேற்றத்தைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது மற்றும் அதன் முக்கிய குறிப்பிலிருந்து இந்த வெளிப்பாடுகளைப் பெற முடியும்.

தேற்றத்தின் அசல் சூத்திரம் இரண்டு அறியப்பட்டவற்றுக்கு இடையில் கோணம் இல்லை என்றால் பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது. உதாரணமாக, நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் வி, மதிப்புகள் கொடுக்கப்படும் போது: ஏ, சி, ஏ. அல்லது தெரியவில்லை உடன், ஆனால் அர்த்தங்கள் உள்ளன a, b, A.

இந்த சூழ்நிலையில், நீங்கள் சூத்திரத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்த வேண்டும். நீங்கள் பின்வரும் சமத்துவத்தைப் பெறுவீர்கள்:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

சற்று வித்தியாசமான வடிவத்தில் அதை மீண்டும் எழுதுவோம்:

c 2 - (2 * in * cos A) * c + (in 2 - a 2) = 0.

நீங்கள் இருபடி சமன்பாட்டை எளிதாகக் காணலாம். அதில் தெரியாத அளவு உள்ளது - உடன், மற்றும் மீதமுள்ள அனைத்தும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. எனவே, ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்ப்பது போதுமானது. இதன் மூலம் தெரியாத பக்கம் கண்டுபிடிக்கப்படும்.

இரண்டாவது பக்கத்திற்கான சூத்திரம் இதேபோல் பெறப்படுகிறது:

in 2 - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) = 0.

மற்ற வெளிப்பாடுகளிலிருந்து, அத்தகைய சூத்திரங்கள் சுயாதீனமாக பெற எளிதானது.

கோசைனைக் கணக்கிடாமல் கோணத்தின் வகையை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?

முன்பு பெறப்பட்ட கோண கோசைன் சூத்திரத்தை நீங்கள் உற்று நோக்கினால், பின்வருவனவற்றை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள்:

• ஒரு பின்னத்தின் வகுத்தல் எப்போதும் நேர்மறை எண்ணாகும், ஏனெனில் இது எதிர்மறையாக இருக்க முடியாத பக்கங்களின் பலனைக் கொண்டுள்ளது;
• கோணத்தின் மதிப்பு எண்ணின் அடையாளத்தைப் பொறுத்தது.

கோணம் A இருக்கும்:

• எண் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும் சூழ்நிலையில் கடுமையானது;
• இந்த வெளிப்பாடு எதிர்மறையாக இருந்தால் முட்டாள்;
• பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது நேரடியாக.

மூலம், பிந்தைய சூழ்நிலை கொசைன் தேற்றத்தை பித்தகோரியன் தேற்றமாக மாற்றுகிறது. ஏனெனில் 90º கோணத்திற்கு அதன் கொசைன் பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் கடைசி சொல் மறைந்துவிடும்.

முதல் பணி

நிலை

சில தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் மழுங்கிய கோணம் 120º ஆகும். இது வரையறுக்கப்பட்ட பக்கங்களைப் பற்றி, அவற்றில் ஒன்று மற்றொன்றை விட 8 செ.மீ.

தீர்வு

முதலில் நீங்கள் பக்கங்களில் ஒன்றை "x" என்ற எழுத்தில் குறிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், மற்றொன்று (x + 8) க்கு சமமாக இருக்கும். மூன்று பக்கங்களுக்கும் வெளிப்பாடுகள் இருப்பதால், கொசைன் தேற்றம் வழங்கிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

கொசைன்களுக்கான அட்டவணையில் நீங்கள் 120 டிகிரிக்கு ஒத்த மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இது மைனஸ் அடையாளத்துடன் 0.5 என்ற எண்ணாக இருக்கும். இப்போது நீங்கள் அனைத்து விதிகளையும் பின்பற்றி அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, இதே போன்ற விதிமுறைகளைக் கொண்டு வர வேண்டும்:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0.5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

இந்த இருபடிச் சமன்பாடு பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது, இது சமமாக இருக்கும்:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

அதன் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு மூல பதில்களைக் கொண்டுள்ளது.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

கடைசி வேர் பிரச்சனைக்கு பதில் இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் பக்கமானது நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்.

கொசைன் தேற்றம் என்றால் என்ன? இதை கற்பனை செய்து பாருங்கள்... தன்னிச்சையான முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

கொசைன் தேற்றம்: உருவாக்கம்.

கொசைன் தேற்றம் கூறுகிறது:ஒரு முக்கோணத்தின் எந்தப் பக்கத்தின் சதுரமும், முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், இந்தப் பக்கங்களின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்கு மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனைக் கழித்தல்.

இது ஏன் மற்றும் பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கும் இதற்கும் என்ன சம்பந்தம் என்பதை இப்போது விளக்குகிறேன்.

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பித்தகோரியன் தேற்றம் என்ன சொல்கிறது?

அது காரமாக இருந்தால் என்ன நடக்கும்?

நான் முட்டாளாக இருந்தால் என்ன செய்வது?

இப்போது நாம் கண்டுபிடிப்போம், அல்லது மாறாக, முதலில் அதை வடிவமைத்து பின்னர் அதை நிரூபிப்போம்.

எனவே, ஒவ்வொரு (கடுமையான, மழுங்கிய, மற்றும் செவ்வக!) முக்கோணத்திற்கும், பின்வருபவை உண்மைதான்: கொசைன் தேற்றம்.

கொசைன் தேற்றம்:

என்ன மற்றும்?

ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து வெளிப்படுத்தலாம் (செவ்வக!).

இதோ (மீண்டும் இருந்து).

மாற்றுவோம்:

நாங்கள் வெளிப்படுத்துகிறோம்:

இருப்பதைப் பயன்படுத்துகிறோம்... அவ்வளவுதான்!

2 வழக்கு: விடு.

எனவே, அதாவது, முட்டாள்.

இப்போது, ​​கவனம், வித்தியாசம்!

இது இப்போது வெளியில் தோன்றும், மற்றும்

என்பதை நினைவில் கொள்வோம்

(இது ஏன் என்று நீங்கள் முற்றிலும் மறந்துவிட்டால் தலைப்பைப் படிக்கவும்).

எனவே, அவ்வளவுதான்! வித்தியாசம் முடிந்தது!

அது போலவே, அதாவது:

சரி, கடைசியாக ஒரு வழக்கு உள்ளது.

3 வழக்கு: விடு.

அதனால், . ஆனால் பின்னர் கொசைன் தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றமாக மாறுகிறது:

எந்த பிரச்சனைகளில் கொசைன் தேற்றம் பயனுள்ளதாக இருக்கும்?

சரி, உதாரணமாக, உங்களிடம் இருந்தால் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அப்போ நீ உடனே மூன்றாம் தரப்பினரைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா?.

அல்லது நீங்கள் என்றால் மூன்று பக்கங்களும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, நீங்கள் அதை உடனே கண்டுபிடிப்பீர்கள் கொசைன்சூத்திரத்தின்படி எந்த கோணமும்

மற்றும் நீங்கள் கூட இரண்டு பக்கங்களும், அவற்றுக்கிடையே இல்லாத கோணமும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, பின்னர் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மூன்றாவது பக்கத்தையும் காணலாம். உண்மை, இந்த விஷயத்தில், சில நேரங்களில் நீங்கள் இரண்டு பதில்களைப் பெறுவீர்கள், எதைத் தேர்வு செய்வது அல்லது இரண்டையும் விட்டுவிடுவது என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

அதைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கவும், பயப்பட வேண்டாம் - பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் போலவே கொசைன் தேற்றமும் பயன்படுத்த எளிதானது.

கொசைன்களின் கோட்பாடு. முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

கொசைன் தேற்றம்:ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம், மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், இந்தப் பக்கங்களின் பெருக்கத்தின் இரண்டு மடங்கு மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன்:

சரி, தலைப்பு முடிந்தது. இந்த வரிகளை நீங்கள் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் மிகவும் கூலாக இருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

ஏனென்றால் 5% பேர் மட்டுமே தாங்களாகவே ஏதாவது ஒன்றை மாஸ்டர் செய்ய முடியும். நீங்கள் இறுதிவரை படித்தால், நீங்கள் இந்த 5% இல் இருக்கிறீர்கள்!

இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொண்டீர்கள். மேலும், நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், இது... இது சூப்பர்! உங்கள் சகாக்களில் பெரும்பாலானவர்களை விட நீங்கள் ஏற்கனவே சிறந்தவர்.

பிரச்சனை என்னவென்றால், இது போதாது ...

எதற்காக?

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெறுவதற்கும், பட்ஜெட்டில் கல்லூரியில் நுழைவதற்கும், மிக முக்கியமாக, வாழ்நாள் முழுவதும்.

நான் உன்னை எதையும் நம்ப வைக்க மாட்டேன், ஒன்று மட்டும் சொல்கிறேன்...

நல்ல கல்வியைப் பெற்றவர்கள் அதைப் பெறாதவர்களை விட அதிகம் சம்பாதிக்கிறார்கள். இது புள்ளிவிவரம்.

ஆனால் இது முக்கிய விஷயம் அல்ல.

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறார்கள் (அத்தகைய ஆய்வுகள் உள்ளன). ஒருவேளை இன்னும் பல வாய்ப்புகள் அவர்களுக்கு முன்னால் திறக்கப்பட்டு வாழ்க்கை பிரகாசமாகிவிடுமா? தெரியாது...

ஆனால் நீங்களே யோசியுங்கள்...

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மற்றவர்களை விட சிறப்பாக இருக்கவும், இறுதியில் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவும் என்ன செய்ய வேண்டும்?

இந்த தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் உங்கள் கையைப் பெறுங்கள்.

தேர்வின் போது உங்களிடம் தியரி கேட்கப்படாது.

உனக்கு தேவைப்படும் நேரத்திற்கு எதிராக பிரச்சனைகளை தீர்க்க.

மேலும், நீங்கள் அவற்றைத் தீர்க்கவில்லை என்றால் (நிறைய!), நீங்கள் நிச்சயமாக எங்காவது ஒரு முட்டாள் தவற்றைச் செய்வீர்கள் அல்லது நேரமில்லாமல் இருப்பீர்கள்.

இது விளையாட்டைப் போன்றது - நிச்சயமாக வெற்றி பெற நீங்கள் அதை பல முறை மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

நீங்கள் எங்கு வேண்டுமானாலும் சேகரிப்பைக் கண்டறியவும், அவசியமான தீர்வுகளுடன், விரிவான பகுப்பாய்வுமற்றும் முடிவு, முடிவு, முடிவு!

நீங்கள் எங்கள் பணிகளைப் பயன்படுத்தலாம் (விரும்பினால்) மற்றும் நாங்கள் நிச்சயமாக அவற்றை பரிந்துரைக்கிறோம்.

எங்கள் பணிகளை சிறப்பாகப் பயன்படுத்த, நீங்கள் தற்போது படித்துக்கொண்டிருக்கும் YouClever பாடப்புத்தகத்தின் ஆயுளை நீட்டிக்க உதவ வேண்டும்.

எப்படி? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. இந்த கட்டுரையில் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளையும் திறக்கவும் -
2. பாடப்புத்தகத்தின் அனைத்து 99 கட்டுரைகளிலும் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகலைத் திறக்கவும் - ஒரு பாடப்புத்தகத்தை வாங்கவும் - 899 RUR

ஆம், எங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் இதுபோன்ற 99 கட்டுரைகள் உள்ளன மற்றும் அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகல் மற்றும் அவற்றில் உள்ள அனைத்து மறைக்கப்பட்ட உரைகளும் உடனடியாக திறக்கப்படும்.

அனைத்து மறைக்கப்பட்ட பணிகளுக்கான அணுகல் தளத்தின் முழு வாழ்க்கைக்கும் வழங்கப்படுகிறது.

முடிவில்...

எங்கள் பணிகள் உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், மற்றவர்களைக் கண்டறியவும். கோட்பாட்டில் மட்டும் நிற்காதீர்கள்.

"புரிகிறது" மற்றும் "என்னால் தீர்க்க முடியும்" என்பது முற்றிலும் வேறுபட்ட திறன்கள். உங்களுக்கு இரண்டும் தேவை.

சிக்கல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்!

கொசைன் தேற்றம்பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பொதுமைப்படுத்தும் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் தேற்றம் ஆகும்.

கொசைன் தேற்றம்:

ஒரு விமான முக்கோணத்திற்கு அதன் பக்கங்கள் அ, பி, cமற்றும் கோணம் α , இது பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ளது அ, பின்வரும் உறவு செல்லுபடியாகும்:

அ 2 = பி 2 + c 2 - 2 கி.மு cosα.

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம், மற்ற 2 பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், இந்தப் பக்கங்களின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்கு மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைன்.

கொசைன் தேற்றத்தின் தொடர்ச்சி.

• தீர்மானிக்க கொசைன் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது cosமுக்கோண கோணம்:

குறிப்பிட்டதாக இருக்க வேண்டும்:

• எப்பொழுது பி 2 + c 2 - அ 2 > 0 , மூலையில் α காரமாக இருக்கும்;
• எப்பொழுது பி 2 + c 2 - அ 2 = 0 , மூலையில் α நேராக இருக்கும் (கோணம் போது α நேரடியானது, அதாவது கொசைன் தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்குள் செல்கிறது);
• எப்பொழுது பி 2 + c 2 - அ 2 < 0 , மூலையில் α முட்டாளாக இருப்பான்.

கொசைன் தேற்றத்தின் உன்னதமான ஆதாரம்.

ஒரு முக்கோணம் இருக்கட்டும் ஏபிசி. மேலிருந்து சிபக்கத்திற்கு ஏபிஉயரத்தை குறைத்தது குறுவட்டு. பொருள்:

AD = b cos α,

DB = c - b cos α

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை 2 செங்கோண முக்கோணங்களுக்கு எழுதுகிறோம் ஏடிசிமற்றும் BDC:

h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)

h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)

சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களை (1) மற்றும் (2) சமன் செய்கிறோம்:

b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α.

அடிவாரத்தில் உள்ள கோணங்களில் 1 மழுங்கியதாக இருந்தால் (உயரம் அடித்தளத்தின் தொடர்ச்சியுடன் உள்ளது), இது மேலே விவாதிக்கப்பட்டதைப் போன்றது.

கட்சிகளை தீர்மானிக்கவும் பிமற்றும் c:

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ.

ஒரு புள்ளியில் மையம் கொண்டது ஏ.
α - ரேடியன்களில் வெளிப்படுத்தப்படும் கோணம்.

வரையறை
சைன் (sin α)ஒரு முக்கோணவியல் சார்பு என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் காலுக்கு இடையே உள்ள கோணம் α, எதிர் காலின் நீளத்தின் விகிதத்திற்கு சமமாக |BC| ஹைபோடென்யூஸின் நீளம் |AC|.

கொசைன் (காஸ் α)வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் காலுக்கு இடையே உள்ள கோணம் α ஐப் பொறுத்து ஒரு முக்கோணவியல் சார்பு, அருகில் உள்ள காலின் நீளத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் |AB| ஹைபோடென்யூஸின் நீளம் |AC|.

ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறிப்புகள்

;
;
.

;
;
.

சைன் செயல்பாட்டின் வரைபடம், y = sin x

கொசைன் செயல்பாட்டின் வரைபடம், y = cos x

சைன் மற்றும் கொசைன் பண்புகள்

கால இடைவெளி

செயல்பாடுகள் y = பாவம் xமற்றும் y = cos xகாலத்துடன் கால இடைவெளி 2π.

சமத்துவம்

சைன் செயல்பாடு ஒற்றைப்படை. கொசைன் செயல்பாடு சமமானது.

வரையறை மற்றும் மதிப்புகளின் டொமைன், தீவிரம், அதிகரிப்பு, குறைப்பு

சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகள் அவற்றின் வரையறையின் களத்தில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், அதாவது அனைத்து x க்கும் (தொடர்ச்சியின் ஆதாரத்தைப் பார்க்கவும்). அவற்றின் முக்கிய பண்புகள் அட்டவணையில் வழங்கப்படுகின்றன (n - முழு எண்).

	y= பாவம் x	y= cos x
நோக்கம் மற்றும் தொடர்ச்சி	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
மதிப்புகளின் வரம்பு	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
அதிகரித்து வருகிறது
இறங்குதல்
மாக்சிமா, y = 1
மினிமா, y = - 1
பூஜ்ஜியங்கள், y = 0
ஆர்டினேட் அச்சுடன் புள்ளிகளை இடைமறித்து, x = 0	y= 0	y= 1

அடிப்படை சூத்திரங்கள்

சைன் மற்றும் கொசைன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை

தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிலிருந்து சைன் மற்றும் கொசைனுக்கான சூத்திரங்கள்

;
;

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் தயாரிப்புக்கான சூத்திரங்கள்

தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள்

கோசைன் மூலம் சைனை வெளிப்படுத்துதல்

;
;
;
.

சைன் மூலம் கோசைனை வெளிப்படுத்துகிறது

;
;
;
.

தொடுகோடு வழியாக வெளிப்பாடு

; .

எப்போது, ​​எங்களிடம் உள்ளது:
; .

மணிக்கு:
; .

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களின் அட்டவணை

இந்த அட்டவணை வாதத்தின் சில மதிப்புகளுக்கான சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் மதிப்புகளைக் காட்டுகிறது.

சிக்கலான மாறிகள் மூலம் வெளிப்பாடுகள்

;

ஆய்லரின் சூத்திரம்

ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்பாடுகள்

;
;

வழித்தோன்றல்கள்

; . சூத்திரங்களைப் பெறுதல் >>>

n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்கள்:
{ -∞ < x < +∞ }

செகண்ட், கோசிகண்ட்

தலைகீழ் செயல்பாடுகள்

சைன் மற்றும் கொசைனின் தலைகீழ் செயல்பாடுகள் முறையே ஆர்க்சைன் மற்றும் ஆர்க்கோசின் ஆகும்.

ஆர்க்சின், ஆர்க்சின்

ஆர்க்கோசின், ஆர்க்கோஸ்

குறிப்புகள்:
ஐ.என். ப்ரோன்ஸ்டீன், கே.ஏ. Semendyaev, பொறியாளர்கள் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதக் கையேடு, "Lan", 2009.