Mga function ng isang kumplikadong variable.
Pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable.

Ang artikulong ito ay nagsisimula ng isang serye ng mga aralin na aking titingnan karaniwang mga gawain, na nauugnay sa teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. Upang matagumpay na makabisado ang mga halimbawa, dapat mayroon ka pangunahing kaalaman tungkol sa mga kumplikadong numero. Upang pagsamahin at ulitin ang materyal, bisitahin lamang ang pahina. Kakailanganin mo rin ang mga kasanayan sa paghahanap pangalawang order na bahagyang derivatives. Narito sila, ang mga partial derivatives na ito... kahit ngayon ay medyo nagulat ako kung gaano kadalas ang mga ito...

Ang paksa na sinisimulan nating suriin ay hindi nagpapakita ng anumang partikular na mga paghihirap, at sa mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, sa prinsipyo, ang lahat ay malinaw at naa-access. Ang pangunahing bagay ay ang sumunod sa pangunahing panuntunan, na nakuha ko sa eksperimento. Basahin mo pa!

Konsepto ng isang function ng isang complex variable

Una, i-refresh natin ang ating kaalaman tungkol sa function ng paaralan ng isang variable:

Single variable function ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat halaga ng independiyenteng variable (mula sa domain ng kahulugan) ay tumutugma sa isa at isang halaga lamang ng function. Naturally, ang "x" at "y" ay tunay na mga numero.

Sa kumplikadong kaso, ang functional dependence ay tinukoy nang katulad:

Single-valued function ng isang kumplikadong variable- ito ang alituntunin ayon sa lahat komprehensibo ang halaga ng malayang variable (mula sa domain ng kahulugan) ay tumutugma sa isa at isa lamang komprehensibo halaga ng function. Isinasaalang-alang din ng teorya ang multi-valued at ilang iba pang uri ng mga function, ngunit para sa pagiging simple ay tututuon ko ang isang kahulugan.

Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang kumplikadong variable function?

Ang pangunahing pagkakaiba: kumplikadong mga numero. Hindi ako ironic. Ang ganitong mga tanong ay madalas na nag-iiwan sa mga tao sa pagkahilo sa dulo ng artikulo sasabihin ko sa iyo ang isang nakakatawang kuwento. Sa klase Mga kumplikadong numero para sa mga dummies itinuring namin ang isang kumplikadong numero sa form. Simula ngayon ang letrang "z" ay naging variable, pagkatapos ay tukuyin namin ito bilang mga sumusunod: , habang ang "x" at "y" ay maaaring tumagal ng iba wasto mga kahulugan. Sa halos pagsasalita, ang paggana ng isang kumplikadong variable ay nakasalalay sa mga variable at , na kumukuha ng "ordinaryong" mga halaga. Mula sa ang katotohanang ito Ang sumusunod na punto ay lohikal na sumusunod:

Ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay maaaring isulat bilang:
, kung saan at ay dalawang function ng dalawa wasto mga variable.

Tinatawag ang function tunay na bahagi mga function
Tinatawag ang function haka-haka na bahagi mga function

Iyon ay, ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay nakasalalay sa dalawang tunay na pag-andar at . Upang sa wakas ay linawin ang lahat, tingnan natin ang mga praktikal na halimbawa:

Halimbawa 1

Solusyon: Ang independiyenteng variable na "zet", tulad ng naaalala mo, ay nakasulat sa form , samakatuwid:

(1) Pinalitan namin ang .

(2) Para sa unang termino, ginamit ang pinaikling pormula ng pagpaparami. Sa termino, ang mga panaklong ay binuksan.

(3) Maingat na parisukat, hindi nakakalimutan iyon

(4) Muling pagsasaayos ng mga termino: una naming muling isulat ang mga termino , kung saan walang imaginary unit(unang pangkat), pagkatapos ay ang mga termino kung saan mayroong (pangalawang pangkat). Dapat tandaan na ang pag-shuffling ng mga tuntunin ay hindi kinakailangan, at ang hakbang na ito ay maaaring laktawan (sa pamamagitan ng aktwal na paggawa nito nang pasalita).

(5) Para sa pangalawang grupo, inaalis namin ito sa mga bracket.

Bilang resulta, ang aming function ay lumabas na kinakatawan sa form

Sagot:
– tunay na bahagi ng function.
– haka-haka na bahagi ng function.

Anong uri ng mga pag-andar ang mga ito? Ang pinaka-ordinaryong mga pag-andar ng dalawang mga variable mula sa kung saan maaari mong mahanap ang tulad popular mga partial derivatives. Kung walang awa, mahahanap natin ito. Pero maya-maya lang.

Sa madaling sabi, ang algorithm para sa nalutas na problema ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: pinapalitan namin , sa orihinal na pag-andar, nagsasagawa ng mga pagpapasimple at hatiin ang lahat ng mga termino sa dalawang grupo - nang walang isang haka-haka na yunit (tunay na bahagi) at may isang haka-haka na yunit (haka-haka na bahagi) .

Halimbawa 2

Hanapin ang tunay at haka-haka na bahagi ng function

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Bago ka sumugod sa labanan sa kumplikadong eroplano na iginuhit ang iyong mga pamato, hayaan mo akong bigyan ka ng higit mahalagang payo sa paksa:

MAG-INGAT! Kailangan mong mag-ingat, siyempre, sa lahat ng dako, ngunit sa mga kumplikadong numero dapat kang maging mas maingat kaysa dati! Tandaan na, maingat na buksan ang mga bracket, huwag mawalan ng anuman. Ayon sa aking mga obserbasyon, ang pinakakaraniwang pagkakamali ay ang pagkawala ng isang palatandaan. Huwag magmadali!

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ngayon ang kubo. Gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon, nakukuha natin ang:
.

Ang mga formula ay napaka-maginhawang gamitin sa pagsasanay, dahil sila ay makabuluhang nagpapabilis sa proseso ng solusyon.

Pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable.

Mayroon akong dalawang balita: mabuti at masama. Magsisimula ako sa mabuti. Para sa isang function ng isang kumplikadong variable, ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivative ay wasto mga pag-andar ng elementarya. Kaya, ang derivative ay kinuha sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa kaso ng isang function ng isang tunay na variable.

Ang masamang balita ay na para sa maraming mga kumplikadong variable function ay walang hinalaw sa lahat, at kailangan mong malaman nakakaiba ba ito isang function o iba pa. At ang "pag-uunawa" kung ano ang nararamdaman ng iyong puso ay nauugnay sa mga karagdagang problema.

Isaalang-alang natin ang pag-andar ng isang kumplikadong variable. Upang function na ito kailangan at sapat ang pagkakaiba:

1) Upang umiral ang mga partial derivative sa unang-order. Kalimutan kaagad ang tungkol sa mga notasyong ito, dahil sa teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable ay tradisyonal na ginagamit ang ibang notasyon: .

2) Upang isagawa ang tinatawag na Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann:

Sa kasong ito lamang magkakaroon ng derivative!

Halimbawa 3

Solusyon ay nahahati sa tatlong magkakasunod na yugto:

1) Hanapin natin ang tunay at haka-haka na bahagi ng function. Ang gawaing ito ay tinalakay sa mga nakaraang halimbawa, kaya isusulat ko ito nang walang komento:

Simula noon:

kaya:

– haka-haka na bahagi ng function.

Hayaan akong hawakan ang isa pang teknikal na punto: sa anong pagkakasunud-sunod isulat ang mga termino sa tunay at haka-haka na bahagi? Oo, sa prinsipyo, hindi mahalaga. Halimbawa, ang totoong bahagi ay maaaring isulat tulad nito: , at ang haka-haka – ganito: .

2) Suriin natin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Dalawa sila.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagsuri sa kondisyon. Nahanap namin mga partial derivatives:

Kaya, ang kondisyon ay nasiyahan.

Siyempre, ang magandang balita ay ang mga partial derivatives ay halos palaging napakasimple.

Sinusuri namin ang katuparan ng pangalawang kondisyon:

Ito ay naging pareho, ngunit kasama magkasalungat na mga palatandaan, ibig sabihin, nasiyahan din ang kondisyon.

Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan, samakatuwid ang function ay naiba-iba.

3) Hanapin natin ang derivative ng function. Ang derivative ay napaka-simple at matatagpuan ayon sa karaniwang mga patakaran:

Ang haka-haka na yunit ay itinuturing na pare-pareho sa panahon ng pagkita ng kaibhan.

Sagot: - tunay na bahagi, – haka-haka na bahagi.
Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan, .

Mayroong dalawang higit pang mga paraan upang mahanap ang hinango, siyempre, ginagamit nang mas madalas, ngunit ang impormasyon ay magiging kapaki-pakinabang para sa pag-unawa sa pangalawang aralin - Paano makahanap ng isang function ng isang kumplikadong variable?

Ang derivative ay matatagpuan gamit ang formula:

Sa kasong ito:

Sa gayon

Kailangan nating lutasin ang kabaligtaran na problema - sa resultang expression na kailangan nating ihiwalay. Upang magawa ito, kinakailangan sa mga tuntunin at sa labas ng mga bracket:

Ang kabaligtaran na aksyon, tulad ng napansin ng marami, ay medyo mas mahirap isagawa, palaging mas mahusay na kunin ang expression sa isang draft o pasalitang buksan ang mga panaklong pabalik, siguraduhin na ang resulta ay eksakto;

Mirror formula para sa paghahanap ng derivative:

Sa kasong ito: , Kaya naman:

Halimbawa 4

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function . Suriin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann. Kung matugunan ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann, hanapin ang derivative ng function.

Isang maikling solusyon at isang tinatayang sample ng huling disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Ang mga kondisyon ba ng Cauchy-Riemann ay palaging nasiyahan? Sa teoryang, hindi sila natutupad nang mas madalas kaysa sa natutupad. Ngunit sa praktikal na mga halimbawa Hindi ko naaalala ang isang kaso kung saan hindi sila natupad =) Kaya, kung ang iyong mga partial derivatives ay "hindi nagtatagpo", pagkatapos ay may napakataas na posibilidad na masasabi mong nagkamali ka sa isang lugar.

Gawin nating kumplikado ang ating mga pag-andar:

Halimbawa 5

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function . Suriin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann. Kalkulahin

Solusyon: Ang algorithm ng solusyon ay ganap na napanatili, ngunit sa dulo ay isang bagong punto ang idadagdag: ang paghahanap ng derivative sa isang punto. Para sa kubo, ang kinakailangang formula ay nakuha na:

Tukuyin natin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function na ito:

Atensyon at atensyon muli!

Simula noon:


kaya:
– tunay na bahagi ng pag-andar;
– haka-haka na bahagi ng function.

Sinusuri ang pangalawang kondisyon:

Ang resulta ay pareho, ngunit may kabaligtaran na mga palatandaan, iyon ay, ang kondisyon ay natupad din.

Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan, samakatuwid ang pag-andar ay naiiba:

Kalkulahin natin ang halaga ng derivative sa kinakailangang punto:

Sagot:, , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan,

Ang mga function na may mga cube ay karaniwan, kaya narito ang isang halimbawa upang palakasin:

Halimbawa 6

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function . Suriin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann. Kalkulahin.

Solusyon at halimbawa ng pagtatapos sa pagtatapos ng aralin.

Sa teorya komprehensibong pagsusuri Ang iba pang mga function ng isang kumplikadong argumento ay tinukoy din: exponent, sine, cosine, atbp. Ang mga function na ito ay may hindi pangkaraniwan at kahit na kakaibang mga katangian - at ito ay talagang kawili-wili! Gusto kong sabihin sa iyo, ngunit narito, habang nangyayari ito, ay hindi isang reference na libro o aklat-aralin, ngunit isang libro ng solusyon, kaya't isasaalang-alang ko ang parehong problema sa ilang mga karaniwang pag-andar.

Una tungkol sa tinatawag na Mga formula ni Euler:

Para kahit kanino wasto mga numero, ang mga sumusunod na formula ay wasto:

Maaari mo ring kopyahin ito sa iyong kuwaderno bilang reference na materyal.

Sa mahigpit na pagsasalita, mayroon lamang isang formula, ngunit kadalasan para sa kaginhawahan ay nagsusulat din sila ng isang espesyal na kaso na may minus sa exponent. Ang parameter ay hindi kailangang maging isang titik; kumplikadong pagpapahayag, function, mahalaga lang na tanggapin nila valid lang mga kahulugan. Sa totoo lang, makikita natin ito ngayon:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative.

Solusyon: Ang pangkalahatang linya ng partido ay nananatiling hindi matitinag - ito ay kinakailangan upang makilala ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng pag-andar. Magbibigay ako ng detalyadong solusyon at magkomento sa bawat hakbang sa ibaba:

Simula noon:

(1) Palitan ang “z” sa halip.

(2) Pagkatapos ng pagpapalit, kailangan mong piliin ang tunay at haka-haka na mga bahagi una sa indicator exhibitors. Upang gawin ito, buksan ang mga bracket.

(3) Ipangkat namin ang haka-haka na bahagi ng indicator, inilalagay ang haka-haka na yunit sa labas ng mga bracket.

(4) Ginagamit namin ang aksyon ng paaralan na may mga degree.

(5) Para sa multiplier ginagamit namin ang formula ni Euler, at .

(6) Buksan ang mga bracket, na nagreresulta sa:

– tunay na bahagi ng pag-andar;
– haka-haka na bahagi ng function.

Ang mga karagdagang aksyon ay pamantayan;

Halimbawa 9

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function . Suriin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann. So be it, hindi namin mahahanap ang derivative.

Solusyon: Ang algorithm ng solusyon ay halos kapareho sa nakaraang dalawang halimbawa, ngunit napakarami mahahalagang puntos, Kaya naman paunang yugto Magkokomento ako muli hakbang-hakbang:

Simula noon:

1) Palitan ang "z" sa halip.

(2) Una, pipiliin natin ang tunay at haka-haka na mga bahagi sa loob ng sinus. Para sa mga layuning ito, binubuksan namin ang mga bracket.

(3) Ginagamit namin ang formula, at .

(4) Gamitin parity ng hyperbolic cosine: At kakaiba ng hyperbolic sine: . Ang mga hyperbolics, bagama't wala sa mundong ito, ay sa maraming paraan ay nakapagpapaalaala sa mga katulad na trigonometriko function.

Bilang resulta:
– tunay na bahagi ng pag-andar;
– haka-haka na bahagi ng function.

Pansin! Ang minus sign ay tumutukoy sa haka-haka na bahagi, at sa anumang pagkakataon ay hindi natin ito dapat mawala! Para sa isang malinaw na paglalarawan, ang resulta sa itaas ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Suriin natin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann:

Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan.

Sagot:, , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan.

Mga kababaihan at mga ginoo, alamin natin ito sa ating sarili:

Halimbawa 10

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Suriin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann.

Sinadya kong pumili ng mas mahirap na mga halimbawa, dahil ang lahat ay tila may kakayahang makayanan ang isang bagay, tulad ng mga shelled na mani. Kasabay nito, sanayin mo ang iyong pansin! Nut cracker sa pagtatapos ng aralin.

Well, sa konklusyon, isasaalang-alang ko ang isa pa kawili-wiling halimbawa, kapag ang kumplikadong argumento ay nasa denominator. Nangyari ito ng ilang beses sa pagsasanay, tingnan natin ang isang bagay na simple. Eh tumatanda na ako...

Halimbawa 11

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Suriin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann.

Solusyon: Muli ito ay kinakailangan upang makilala ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function.
Kung , kung gayon

Ang tanong ay lumitaw, ano ang gagawin kapag ang "Z" ay nasa denominator?

Ang lahat ay simple - ang pamantayan ay makakatulong paraan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa conjugate expression, ito ay nagamit na sa mga halimbawa ng aralin Mga kumplikadong numero para sa mga dummies. Tandaan natin ang formula ng paaralan. Mayroon na tayo sa denominator, na nangangahulugang ang conjugate expression ay magiging . Kaya, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng: