Mga function ng isang kumplikadong variable.
Pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable.

Ang artikulong ito ay nagbubukas ng isang serye ng mga aralin na aking titingnan karaniwang mga gawain nauugnay sa teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. Upang matagumpay na makabisado ang mga halimbawa, dapat mayroon ka pangunahing kaalaman tungkol sa mga kumplikadong numero. Upang pagsamahin at ulitin ang materyal, sapat na upang bisitahin ang pahina. Kakailanganin mo rin ang mga kasanayan sa paghahanap pangalawang order na bahagyang derivatives. Narito ang mga ito, ang mga bahagyang derivatives na ito ... kahit ngayon ay medyo nagulat ako kung gaano kadalas ang mga ito ...

Ang paksa na sinisimulan nating pag-aralan ay hindi partikular na mahirap, at sa mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, sa prinsipyo, ang lahat ay malinaw at naa-access. Ang pangunahing bagay ay upang sumunod sa pangunahing tuntunin, na kung saan ay nagmula sa pamamagitan ng sa akin empirically. Basahin mo pa!

Ang konsepto ng isang function ng isang kumplikadong variable

Una, i-refresh natin ang ating kaalaman tungkol sa function ng paaralan ng isang variable:

Function ng isang variable ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat halaga ng independiyenteng variable (mula sa domain ng kahulugan) ay tumutugma sa isa at isang halaga lamang ng function . Natural, ang "x" at "y" ay mga tunay na numero.

Sa kumplikadong kaso, ang functional dependence ay ibinibigay nang katulad:

Single-valued function ng isang kumplikadong variable ay ang alituntunin ng lahat komprehensibo ang halaga ng malayang variable (mula sa domain ng kahulugan) ay tumutugma sa isa at isa lamang komprehensibo halaga ng function. Sa teorya, ang multivalued at ilang iba pang mga uri ng mga function ay isinasaalang-alang din, ngunit para sa pagiging simple, ako ay tumutuon sa isang kahulugan.

Ano ang function ng isang complex variable?

Ang pangunahing pagkakaiba ay ang mga numero ay kumplikado. Hindi ako ironic. Mula sa gayong mga tanong ay madalas silang nahuhulog sa isang pagkahilo, sa dulo ng artikulo ay magsasabi ako ng isang cool na kuwento. Sa aralin Mga kumplikadong numero para sa mga dummies isinasaalang-alang namin ang isang kumplikadong numero sa form. Simula ngayon naging letter "Z". variable, pagkatapos ay tukuyin natin ito bilang mga sumusunod: , habang ang "x" at "y" ay maaaring tumagal nang magkaiba wasto mga halaga. Sa halos pagsasalita, ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay nakasalalay sa mga variable at , na kumukuha ng "karaniwan" na mga halaga. Mula sa itong katotohanan lohikal na sumusunod ang sumusunod na punto:

Ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay maaaring isulat bilang:
, kung saan at ay dalawang function ng dalawa wasto mga variable.

Tinatawag ang function tunay na bahagi mga function.
Tinatawag ang function haka-haka na bahagi mga function.

Iyon ay, ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay nakasalalay sa dalawang tunay na pag-andar at . Upang sa wakas ay linawin ang lahat, tingnan natin ang mga praktikal na halimbawa:

Halimbawa 1

Solusyon: Ang independiyenteng variable na "z", tulad ng naaalala mo, ay nakasulat bilang , samakatuwid:

(1) Pinalitan sa orihinal na function.

(2) Para sa unang termino, ginamit ang pinababang pormula ng pagpaparami. Sa termino, ang mga bracket ay binuksan.

(3) Maingat na parisukat, hindi nakakalimutan iyon

(4) Muling pagsasaayos ng mga termino: unang isulat muli ang mga termino , kung saan walang imaginary unit(unang pangkat), pagkatapos ay mga termino, kung saan mayroong (pangalawang pangkat). Dapat tandaan na hindi kinakailangang i-shuffle ang mga tuntunin, at ang hakbang na ito ay maaaring laktawan (sa katunayan, sa pamamagitan ng pagsasagawa nito nang pasalita).

(5) Ang pangalawang pangkat ay inalis sa mga bracket.

Bilang resulta, ang aming function ay lumabas na kinakatawan sa form

Sagot:
ay ang tunay na bahagi ng function.
ay ang haka-haka na bahagi ng function.

Ano ang mga function na ito? Ang pinaka-ordinaryong mga pag-andar ng dalawang mga variable mula sa kung saan ang isa ay maaaring mahanap tulad popular mga partial derivatives. Nang walang awa - mahahanap natin. Pero ilang sandali pa.

Sa madaling sabi, ang algorithm ng nalutas na problema ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: pinapalitan namin ang orihinal na pag-andar, nagsasagawa ng mga pagpapasimple at hatiin ang lahat ng mga termino sa dalawang grupo - nang walang isang haka-haka na yunit (tunay na bahagi) at may isang haka-haka na yunit (haka-haka na bahagi).

Halimbawa 2

Hanapin ang tunay at haka-haka na bahagi ng isang function

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Bago mo itapon ang iyong sarili sa labanan sa kumplikadong eroplano na may mga draft, hayaan mo akong bigyan ka ng higit mahalagang payo sa paksang ito:

MAG-INGAT KA! Kailangan mong mag-ingat, siyempre, sa lahat ng dako, ngunit sa mga kumplikadong numero dapat kang mag-ingat nang higit pa kaysa dati! Tandaan na, maingat na palawakin ang mga bracket, huwag mawawala ang anumang bagay. Ayon sa aking mga obserbasyon, ang pinakakaraniwang pagkakamali ay ang pagkawala ng tanda. Huwag magmadali!

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ngayon cube. Gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon, nakukuha natin ang:
.

Ang mga formula ay napaka-maginhawang gamitin sa pagsasanay, dahil lubos nilang pinapabilis ang proseso ng solusyon.

Pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable.

Mayroon akong dalawang balita: mabuti at masama. Magsisimula ako sa isang mahusay. Para sa isang function ng isang kumplikadong variable, ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivative ay wasto mga pag-andar ng elementarya. Kaya, ang derivative ay kinuha sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa kaso ng isang function ng isang tunay na variable.

Ang masamang balita ay para sa maraming mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, walang derivative, at kailangan mong malaman ay differentiable isang function o iba pa. At ang "pag-uunawa" kung ano ang nararamdaman ng iyong puso ay nauugnay sa mga karagdagang problema.

Isaalang - alang ang isang function ng isang kumplikadong variable . Upang ibinigay na function kailangan at sapat ang pagkakaiba:

1) Para magkaroon ng mga partial derivatives ng unang order. Kalimutan kaagad ang tungkol sa mga notasyong ito, dahil sa teorya ng pag-andar ng isang kumplikadong variable, isa pang bersyon ng notasyon ang tradisyonal na ginagamit: .

2) Upang isagawa ang tinatawag na Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann:

Sa kasong ito lamang magkakaroon ng derivative!

Halimbawa 3

Solusyon nabulok sa tatlong magkakasunod na yugto:

1) Hanapin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Ang gawaing ito ay nasuri sa mga nakaraang halimbawa, kaya isusulat ko ito nang walang komento:

Simula noon:

Sa ganitong paraan:

ay ang haka-haka na bahagi ng function.

Tatalakayin ko ang isa pang teknikal na punto: sa anong pagkakasunud-sunod sumulat ng mga termino sa tunay at haka-haka na mga bahagi? Oo, karaniwang hindi mahalaga. Halimbawa, ang totoong bahagi ay maaaring isulat tulad nito: , at haka-haka - tulad nito: .

2) Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann. Dalawa sila.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagsuri sa kondisyon. Nahanap namin mga partial derivatives:

Kaya, ang kondisyon ay natupad.

Walang alinlangan, ang mabuting balita ay ang mga partial derivatives ay halos palaging napakasimple.

Sinusuri namin ang katuparan ng pangalawang kondisyon:

Ito ay naging pareho, ngunit kasama magkasalungat na mga palatandaan, ibig sabihin, nasiyahan din ang kondisyon.

Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan, samakatuwid, ang pag-andar ay naiba.

3) Hanapin ang derivative ng function. Ang derivative ay napaka-simple at matatagpuan ayon sa karaniwang mga patakaran:

Ang haka-haka na yunit sa pagkita ng kaibhan ay itinuturing na pare-pareho.

Sagot: - totoong bahagi ay ang haka-haka na bahagi.
Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan, .

Mayroong dalawang higit pang mga paraan upang mahanap ang derivative, siyempre, ginagamit nang mas madalas, ngunit ang impormasyon ay magiging kapaki-pakinabang para sa pag-unawa sa pangalawang aralin - Paano mahahanap ang pag-andar ng isang kumplikadong variable?

Ang derivative ay matatagpuan gamit ang formula:

Sa kasong ito:

Sa ganitong paraan

Ito ay kinakailangan upang malutas ang kabaligtaran na problema - sa nagresultang expression, kailangan mong ihiwalay . Upang magawa ito, kinakailangan sa mga tuntunin at alisin sa mga bracket:

Ang kabaligtaran na aksyon, tulad ng napansin ng marami, ay medyo mas mahirap gawin, para sa pag-verify, palaging mas mahusay na kunin ang expression at sa draft o pasalitang buksan ang mga bracket pabalik, siguraduhin na ito ay lalabas nang eksakto

Mirror formula para sa paghahanap ng derivative:

Sa kasong ito: , kaya naman:

Halimbawa 4

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function . Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Kung natugunan ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann, hanapin ang derivative ng function.

Isang maikling solusyon at isang tinatayang sample ng pagtatapos sa pagtatapos ng aralin.

Ang mga kondisyon ba ng Cauchy-Riemann ay palaging nasiyahan? Sa teorya, ang mga ito ay mas madalas na hindi natutupad kaysa sa kanila. Ngunit sa praktikal na mga halimbawa Hindi ko naaalala ang isang kaso kung saan hindi sila natupad =) Kaya, kung ang iyong mga partial derivatives ay "hindi nag-converge", kung gayon na may napakataas na posibilidad ay masasabi nating nagkamali ka sa isang lugar.

Gawin nating kumplikado ang ating mga pag-andar:

Halimbawa 5

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function . Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Kalkulahin

Solusyon: Ang algorithm ng solusyon ay ganap na napanatili, ngunit sa dulo ay idinagdag ang isang bagong uso: paghahanap ng derivative sa isang punto. Para sa kubo, ang kinakailangang formula ay nakuha na:

Tukuyin natin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function na ito:

Pansin at muli pansin!

Simula noon:


Sa ganitong paraan:
ay ang tunay na bahagi ng function;
ay ang haka-haka na bahagi ng function.

Sinusuri ang pangalawang kondisyon:

Ito ay naging pareho, ngunit may kabaligtaran na mga palatandaan, iyon ay, ang kondisyon ay natupad din.

Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan, samakatuwid, ang pag-andar ay naiiba:

Kalkulahin ang halaga ng derivative sa kinakailangang punto:

Sagot:, , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan,

Ang mga function na may mga cube ay karaniwan, kaya isang halimbawa upang pagsama-samahin:

Halimbawa 6

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function . Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Kalkulahin ang .

Pagpapasya at sample na pagtatapos sa pagtatapos ng aralin.

Sa teorya kumplikadong pagsusuri Ang iba pang mga pag-andar ng kumplikadong argumento ay tinukoy din: exponent, sine, cosine, atbp. Ang mga function na ito ay may hindi pangkaraniwan at kahit na kakaibang mga katangian - at ito ay talagang kawili-wili! Gusto ko talagang sabihin sa iyo, ngunit narito, nangyari ito, hindi isang reference na libro o isang aklat-aralin, ngunit isang solusyon, kaya't isasaalang-alang ko ang parehong gawain na may ilang mga karaniwang pag-andar.

Una tungkol sa tinatawag na Mga formula ng Euler:

Para kahit kanino wasto mga numero, ang mga sumusunod na formula ay wasto:

Maaari mo ring kopyahin ito sa iyong kuwaderno bilang sanggunian.

Sa mahigpit na pagsasalita, mayroon lamang isang formula, ngunit kadalasan, para sa kaginhawahan, nagsusulat din sila ng isang espesyal na kaso na may minus sa tagapagpahiwatig. Ang parameter ay hindi kailangang isang solong titik, maaari itong maging tambalang pagpapahayag, function, mahalaga lang na tanggapin nila valid lang mga halaga. Sa totoo lang, makikita natin ito ngayon:

Halimbawa 7

Maghanap ng derivative.

Solusyon: Ang pangkalahatang linya ng partido ay nananatiling hindi natitinag - kinakailangan na isa-isa ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Magbibigay ako ng detalyadong solusyon, at magkomento sa bawat hakbang sa ibaba:

Simula noon:

(1) Palitan ang "z".

(2) Pagkatapos ng pagpapalit, kailangang paghiwalayin ang tunay at haka-haka na mga bahagi una sa exponent exhibitors. Upang gawin ito, buksan ang mga bracket.

(3) Ipangkat namin ang haka-haka na bahagi ng tagapagpahiwatig, inilalagay ang haka-haka na yunit sa labas ng mga bracket.

(4) Gumamit ng aksyon ng paaralan nang may kapangyarihan.

(5) Para sa multiplier, ginagamit namin ang Euler formula , habang .

(6) Binubuksan namin ang mga bracket, bilang resulta:

ay ang tunay na bahagi ng function;
ay ang haka-haka na bahagi ng function.

Ang mga karagdagang aksyon ay pamantayan, tingnan natin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann:

Halimbawa 9

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function . Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. So be it, hindi natin mahahanap ang derivative.

Solusyon: Ang algorithm ng solusyon ay halos kapareho sa nakaraang dalawang halimbawa, ngunit napakarami mahahalagang puntos, kaya naman Unang yugto Magkokomento ako muli hakbang-hakbang:

Simula noon:

1) Pinapalitan namin sa halip na "z".

(2) Una, piliin ang tunay at haka-haka na mga bahagi sa loob ng sinus. Para sa layuning ito, buksan ang mga bracket.

(3) Ginagamit namin ang formula , habang .

(4) Gamitin parity ng hyperbolic cosine: at hyperbolic sine oddness: . Ang mga hyperbolics, bagaman hindi sa mundong ito, ngunit sa maraming paraan ay kahawig ng mga katulad na trigonometriko function.

Sa kalaunan:
ay ang tunay na bahagi ng function;
ay ang haka-haka na bahagi ng function.

Pansin! Ang minus sign ay tumutukoy sa haka-haka na bahagi, at sa anumang kaso ay hindi natin ito dapat mawala! Para sa isang visual na ilustrasyon, ang resulta na nakuha sa itaas ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Suriin natin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann:

Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan.

Sagot:, , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan.

Sa cosine, mga kababaihan at mga ginoo, naiintindihan namin sa aming sarili:

Halimbawa 10

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann.

Sinadya kong pumili ng mas kumplikadong mga halimbawa, dahil lahat ay maaaring hawakan ang isang bagay tulad ng binalatan na mani. Sa parehong oras, sanayin ang iyong pansin! Nutcracker sa pagtatapos ng aralin.

Well, sa konklusyon, isasaalang-alang ko ang isa pa kawili-wiling halimbawa kapag ang komplikadong argumento ay nasa denominator. Nagkita kami ng ilang beses sa pagsasanay, pag-aralan natin ang isang bagay na simple. Ay, tumatanda na ako...

Halimbawa 11

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann.

Solusyon: Muli, ito ay kinakailangan upang paghiwalayin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function.
Kung , kung gayon

Ang tanong ay lumitaw, ano ang gagawin kapag ang "Z" ay nasa denominator?

Ang lahat ay simple - ang pamantayan ay makakatulong paraan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa conjugate expression, ito ay nagamit na sa mga halimbawa ng aralin Mga kumplikadong numero para sa mga dummies. Tandaan natin ang formula ng paaralan. Sa denominator na mayroon na tayo , kaya ang conjugate expression ay magiging . Kaya, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng: