Suliranin 6.12. Parehong tanong tulad ng sa nakaraang problema, ngunit para sa isang regular na pentagon (pahiwatig: tingnan ang problema 3.5).

Problema 6.13. Sa Problema 4.8 sinabi na bilang isang tinatayang halaga ng cosine ng isang maliit na anggulo α, maaari nating kunin ang numero 1, iyon ay, ang halaga ng cosine function sa zero. Paano kung, nang walang karagdagang ado, kunin natin ang 0 = sin 0 bilang isang tinatayang halaga para sa sine ng isang maliit na anggulo α? Bakit masama ito?

kanin. 6.4. Ang punto M ay gumagalaw sa isang cycloid.

Problema 6.14. Isaalang-alang ang isang gulong na may radius 1 na humahawak sa x-axis sa pinanggalingan (Larawan 6.4). Ipagpalagay natin na ang gulong ay gumulong kasama ang x-axis sa positibong direksyon na may bilis na 1 (iyon ay, sa oras na t ang sentro nito ay lumilipat t pakanan).

a) Gumuhit (humigit-kumulang) ng isang kurba na ilalarawan sa pamamagitan ng punto M, na hinahawakan ang abscissa axis sa unang sandali.

b) Hanapin kung ano ang magiging abscissa at ordinate ng point M pagkatapos ng oras t pagkatapos ng pagsisimula ng paggalaw.

6.1. Tangent axis

Sa seksyong ito, tinukoy namin ang sine at cosine sa geometrically, bilang ordinate at abscissa ng isang punto, at tangent - algebraically, bilang sin t/ cos t. Posible, gayunpaman, upang bigyan ang tangent ng isang geometric na kahulugan.

Upang gawin ito, gumuhit sa punto na may mga coordinate (1; 0) (ang pinagmulan sa trigonometriko na bilog) isang padaplis sa trigonometriko na bilog - isang tuwid na linya na kahanay sa axis

kanin. 6.5. Tangent axis.

ordinate Tawagin natin itong tuwid na linya na tangent axis (Larawan 6.5). Ang pangalang ito ay nabibigyang katwiran sa ganitong paraan: hayaang ang M ay isang punto sa trigonometriko na bilog na tumutugma sa numerong t. Ipagpatuloy natin ang radius SM hanggang sa mag-intersect ito sa tangent axis. Pagkatapos ay lumalabas na ang ordinate ng intersection point ay katumbas ng tg t.

Sa katunayan, ang mga tatsulok na NOS at MP S sa Fig. 6.5, malinaw naman

May SM ay parallel sa tangent axis, at ang tangent ay hindi matukoy gamit ang aming pamamaraan. Hindi ito nakakagulat: ang abscissa ng mga puntong ito ay 0, kaya ang cos t = 0 para sa mga katumbas na halaga ng t, at tg t = sin t/ cos t ay hindi tinukoy.

6.2. Mga palatandaan ng trigonometriko function

Alamin natin kung anong mga halaga ng sine, cosine at tangent ang positibo, at sa anong mga halaga ang mga ito ay negatibo. Ayon sa kahulugan, ang sin t ay ang ordinate ng isang punto sa trigonometric circle na tumutugma sa numerong t. Samakatuwid sin t > 0 kung naka-on ang point t

Ang tanda ng trigonometric function ay nakasalalay lamang sa coordinate quadrant kung saan matatagpuan ang numerical argument. Noong huling pagkakataon, natutunan naming i-convert ang mga argumento mula sa radian measure sa isang degree measure (tingnan ang aralin na " Radian at degree na sukat ng isang anggulo"), at pagkatapos ay tukuyin ang parehong coordinate quarter. Ngayon, alamin natin ang sign ng sine, cosine at tangent.

Ang sine ng anggulo α ay ang ordinate (y coordinate) ng isang punto sa isang trigonometric na bilog na nangyayari kapag ang radius ay pinaikot ng anggulo α.

Ang cosine ng anggulo α ay ang abscissa (x coordinate) ng isang punto sa isang trigonometric na bilog, na nangyayari kapag ang radius ay pinaikot ng anggulo α.

Ang tangent ng anggulo α ay ang ratio ng sine sa cosine. O, kung saan ay ang parehong bagay, ang ratio ng y coordinate sa x coordinate.

Notasyon: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Ang lahat ng mga kahulugang ito ay pamilyar sa iyo mula sa algebra ng mataas na paaralan. Gayunpaman, hindi kami interesado sa mga kahulugan mismo, ngunit sa mga kahihinatnan na lumitaw sa trigonometriko na bilog. Tingnan mo:

Ang asul na kulay ay nagpapahiwatig ng positibong direksyon ng OY axis (ordinate axis), ang pula ay nagpapahiwatig ng positibong direksyon ng OX axis (abscissa axis). Sa "radar" na ito ang mga palatandaan ng trigonometriko function ay nagiging halata. Sa partikular:

1. sin α > 0 kung ang anggulo α ay nasa I o II coordinate quadrant. Ito ay dahil, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ay isang ordinate (y coordinate). At ang y coordinate ay tiyak na positibo sa I at II coordinate quarters;
2. cos α > 0, kung ang anggulo α ay nasa 1st o 4th coordinate quadrant. Dahil doon lamang ang x coordinate (aka abscissa) ay mas malaki sa zero;
3. tan α > 0 kung ang anggulo α ay nasa I o III coordinate quadrant. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan: pagkatapos ng lahat, tan α = y : x, samakatuwid ito ay positibo lamang kung saan ang mga palatandaan ng x at y ay nagtutugma. Nangyayari ito sa unang quarter ng coordinate (dito x > 0, y > 0) at sa ikatlong quarter ng coordinate (x< 0, y < 0).

Para sa kalinawan, tandaan natin ang mga palatandaan ng bawat trigonometric function - sine, cosine at tangent - sa magkahiwalay na "radar". Nakukuha namin ang sumusunod na larawan:

Pakitandaan: sa aking mga talakayan ay hindi ako nagsalita tungkol sa ikaapat na trigonometriko function - cotangent. Ang katotohanan ay ang mga palatandaan ng cotangent ay nag-tutugma sa mga palatandaan ng tangent - walang mga espesyal na panuntunan doon.

Ngayon ay ipinapanukala kong isaalang-alang ang mga halimbawang katulad ng mga problemang B11 mula sa pagsusulit sa Unified State Exam sa matematika, na naganap noong Setyembre 27, 2011. Pagkatapos ng lahat, Ang pinakamahusay na paraan ang pag-unawa sa teorya ay pagsasanay. Maipapayo na magkaroon ng maraming pagsasanay. Siyempre, ang mga kondisyon ng mga gawain ay bahagyang nabago.

Gawain. Tukuyin ang mga palatandaan ng trigonometric function at expression (ang mga halaga ng mga function mismo ay hindi kailangang kalkulahin):

1. kasalanan(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5π/3);
4. sin (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. kasalanan (5π/6) cos (7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Ang plano ng aksyon ay ang mga sumusunod: una naming kino-convert ang lahat ng mga anggulo mula sa radian measures sa mga degree (π → 180°), at pagkatapos ay tingnan kung saang coordinate quarter matatagpuan ang resultang numero. Ang pag-alam sa quarters, madali nating mahahanap ang mga palatandaan - ayon sa mga alituntuning inilarawan lamang. Meron kami:

1. kasalanan (3π/4) = kasalanan (3 · 180°/4) = kasalanan 135°. Dahil 135° ∈ , ito ay isang anggulo mula sa II coordinate quadrant. Ngunit ang sine sa ikalawang quarter ay positibo, kaya sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. kasi 210° ∈ , ito ang anggulo mula sa III coordinate quadrant, kung saan negatibo ang lahat ng cosine. Samakatuwid cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Dahil 300° ∈ , tayo ay nasa IV quarter, kung saan ang tangent ay kumukuha ng mga negatibong halaga. Samakatuwid tan (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Ating harapin ang sine: kasi 135° ∈ , ito ang ikalawang quarter kung saan positibo ang mga sine, i.e. sin (3π/4) > 0. Ngayon ay nagtatrabaho kami sa cosine: 150° ∈ - muli sa ikalawang quarter, ang mga cosine doon ay negatibo. Samakatuwid cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Tinitingnan natin ang cosine: 120° ∈ ay ang II coordinate quarter, kaya cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Muli kaming nakakuha ng isang produkto kung saan ang mga kadahilanan ay may iba't ibang mga palatandaan. Dahil ang "minus sa pamamagitan ng plus ay nagbibigay ng minus", mayroon tayong: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Nagtatrabaho kami sa sine: mula noong 150° ∈ , pinag-uusapan natin tungkol sa II coordinate quarter, kung saan positibo ang mga sine. Samakatuwid, ang sin (5π/6) > 0. Katulad nito, ang 315° ∈ ay ang IV coordinate quarter, ang mga cosine doon ay positibo. Samakatuwid cos (7π/4) > 0. Nakuha namin ang produkto ng dalawang positibong numero - ang ganitong expression ay palaging positibo. Napaghihinuha namin: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ngunit ang anggulo 135° ∈ ay ang ikalawang quarter, i.e. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Dahil ang “minus by plus ay nagbibigay ng minus sign,” mayroon kaming: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Tinitingnan natin ang argumentong cotangent: 240° ∈ ay ang III coordinate quarter, samakatuwid ctg (4π/3) > 0. Katulad nito, para sa tangent na mayroon tayo: 30° ∈ ay ang I coordinate quarter, i.e. ang pinakasimpleng anggulo. Samakatuwid tan (π/6) > 0. Muli tayong may dalawang positibong expression - magiging positibo rin ang kanilang produkto. Samakatuwid cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

Sa konklusyon, tingnan natin ang ilan pa kumplikadong mga gawain. Bilang karagdagan sa pag-uunawa sa tanda ng trigonometriko function, kakailanganin mong gumawa ng kaunting matematika dito - eksakto kung paano ito ginagawa sa mga totoong problema B11. Sa prinsipyo, ito ay halos tunay na mga problema na aktwal na lumilitaw sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri sa matematika.

Gawain. Hanapin ang sin α kung sin 2 α = 0.64 at α ∈ [π/2; π].

Dahil ang sin 2 α = 0.64, mayroon tayong: sin α = ±0.8. Ang natitira na lang ay magpasya: plus o minus? Sa pamamagitan ng kundisyon, anggulo α ∈ [π/2; π] ay ang II coordinate quarter, kung saan ang lahat ng mga sinus ay positibo. Samakatuwid, ang kasalanan α = 0.8 - ang kawalan ng katiyakan na may mga palatandaan ay inalis.

Gawain. Hanapin ang cos α kung cos 2 α = 0.04 at α ∈ [π; 3π/2].

Pareho kaming kumilos, i.e. kunin ang square root: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. Sa pamamagitan ng kundisyon, anggulo α ∈ [π; 3π/2], ibig sabihin. Pinag-uusapan natin ang ikatlong coordinate quarter. Ang lahat ng mga cosine doon ay negatibo, kaya cos α = −0.2.

Gawain. Hanapin ang sin α kung sin 2 α = 0.25 at α ∈ .

Mayroon tayong: sin 2 α = 0.25 ⇒ sin α = ±0.5. Muli nating tinitingnan ang anggulo: α ∈ ay ang IV coordinate quarter, kung saan, tulad ng alam natin, ang sine ay magiging negatibo. Kaya, napagpasyahan natin: sin α = −0.5.

Gawain. Hanapin ang tan α kung tan 2 α = 9 at α ∈ .

Ang lahat ay pareho, para lamang sa padaplis. Kunin ang square root: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Ngunit ayon sa kondisyon, ang anggulo α ∈ ay ang I coordinate quarter. Lahat ng trigonometriko function, incl. tangent, may positive, so tan α = 3. Ayan!

Nakasentro sa punto A.
Ang α ay ang anggulo na ipinahayag sa radians.

Tangent ( tan α) ay isang trigonometric function na depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng tapat na binti |BC| sa haba ng katabing binti |AB| .

Cotangent ( ctg α) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti |AB| sa haba ng tapat na binti |BC| .

Tangent

saan n- buo.

SA Kanluraning panitikan ang tangent ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
;
;
.

Graph ng tangent function, y = tan x

Cotangent

saan n- buo.

Sa panitikan sa Kanluran, ang cotangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
Ang mga sumusunod na notasyon ay tinatanggap din:
;
;
.

Graph ng cotangent function, y = ctg x

Mga katangian ng tangent at cotangent

Periodicity

Mga function y = tg x at y = ctg x ay periodic na may period π.

Pagkakapantay-pantay

Ang tangent at cotangent function ay kakaiba.

Mga lugar ng kahulugan at halaga, pagtaas, pagbaba

Ang tangent at cotangent function ay tuloy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng tangent at cotangent ay ipinakita sa talahanayan ( n- buo).

Mga formula

Mga expression gamit ang sine at cosine

; ;
; ;
;

Mga formula para sa tangent at cotangent mula sa kabuuan at pagkakaiba

Ang natitirang mga formula ay madaling makuha, halimbawa

Produkto ng tangents

Formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga tangent

Ang talahanayan na ito ay nagpapakita ng mga halaga ng tangent at cotangent para sa ilang mga halaga ng argumento.

Mga expression na gumagamit ng mga kumplikadong numero

Mga expression sa pamamagitan ng hyperbolic function

;
;

Derivatives

; .

.
Derivative ng nth order na may paggalang sa variable x ng function:
.
Pagkuha ng mga formula para sa tangent > > > ; para sa cotangent > > >

Mga integral

Mga pagpapalawak ng serye

Upang makuha ang pagpapalawak ng tangent sa mga kapangyarihan ng x, kailangan mong kumuha ng ilang mga termino ng pagpapalawak sa isang serye ng kapangyarihan para sa mga function. kasalanan x At kasi x at hatiin ang mga polynomial na ito sa bawat isa, . Ito ay gumagawa ng mga sumusunod na formula.

Sa .

sa .
saan Bn- Mga numero ng Bernoulli. Ang mga ito ay tinutukoy alinman mula sa pag-uulit na kaugnayan:
;
;
saan .
O ayon sa formula ni Laplace:

Mga kabaligtaran na pag-andar

Ang inverse function ng tangent at cotangent ay arctangent at arccotangent, ayon sa pagkakabanggit.

Arctangent, arctg

, Saan n- buo.

Arccotangent, arcctg

, Saan n- buo.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Mga coordinate x Ang mga puntos na nakahiga sa bilog ay katumbas ng cos(θ), at ang mga coordinate y tumutugma sa sin(θ), kung saan ang θ ay ang magnitude ng anggulo.

• Kung nahihirapan kang matandaan panuntunang ito, tandaan lamang na sa pares (cos; sin) “the sine comes last.”
• Ang panuntunang ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang kanang tatsulok at pagpapasiya ng mga trigonometric function na ito (ang sine ng isang anggulo ay katumbas ng ratio ng haba ng kabaligtaran, at ang cosine - ng katabing binti sa hypotenuse).

Trigonometric na bilog. Circle ng unit. Bilog ng numero. Ano ito?

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")

Madalas na mga termino trigonometric circle, unit circle, number circle hindi gaanong naiintindihan ng mga mag-aaral. At ganap na walang kabuluhan. Ang mga konseptong ito ay isang makapangyarihan at unibersal na katulong sa lahat ng larangan ng trigonometrya. Sa katunayan, ito ay isang legal na cheat sheet! Gumuhit ako ng trigonometric circle at nakita ko kaagad ang mga sagot! Nakatutukso? Kaya't pag-aralan natin, magiging kasalanan ang hindi gumamit ng ganoong bagay. Bukod dito, hindi ito mahirap.

Upang matagumpay na magtrabaho kasama ang trigonometriko na bilog, kailangan mong malaman lamang ang tatlong bagay.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.