Ang isang tatsulok ay isang polygon na may tatlong panig, o isang saradong putol na linya na may tatlong mga link, o isang figure na nabuo ng tatlong mga segment na nagkokonekta sa tatlong mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya (tingnan ang Fig. 1).

Mga pangunahing elemento ng triangle abc

Mga taluktok – mga puntos A, B, at C;

Mga partido – mga segment a = BC, b = AC at c = AB na kumukonekta sa mga vertices;

Mga anggulo – α, β, γ na nabuo ng tatlong pares ng panig. Ang mga anggulo ay madalas na itinalaga sa parehong paraan tulad ng mga vertex, na may mga titik A, B, at C.

Ang anggulo na nabuo ng mga gilid ng isang tatsulok at nakahiga sa panloob na lugar nito ay tinatawag na panloob na anggulo, at ang katabi nito ay ang katabing anggulo ng tatsulok (2, p. 534).

Mga taas, median, bisector at midline ng isang tatsulok

Bilang karagdagan sa mga pangunahing elemento sa isang tatsulok, ang iba pang mga segment na may mga kagiliw-giliw na katangian ay isinasaalang-alang din: mga taas, median, bisector at midline.

taas

Tatsulok na taas- ito ay mga perpendicular na bumaba mula sa mga vertices ng tatsulok hanggang sa magkabilang panig.

Upang i-plot ang taas, dapat mong gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) gumuhit ng isang tuwid na linya na naglalaman ng isa sa mga gilid ng tatsulok (kung ang taas ay iginuhit mula sa vertex ng isang matinding anggulo sa isang mahinang tatsulok);

2) mula sa vertex na nakahiga sa tapat ng iginuhit na linya, gumuhit ng isang segment mula sa punto hanggang sa linyang ito, na gumawa ng isang anggulo ng 90 degrees dito.

Ang punto kung saan bumalandra ang altitude sa gilid ng tatsulok ay tinatawag base ng taas (tingnan ang Fig. 2).

Mga katangian ng tatsulok na taas

Sa isang kanang tatsulok, ang altitude na iginuhit mula sa vertex tamang anggulo, hinahati ito sa dalawang tatsulok na katulad ng orihinal na tatsulok.

Sa isang talamak na tatsulok, ang dalawang altitude nito ay pumutol sa magkatulad na mga tatsulok mula dito.

Kung ang tatsulok ay talamak, kung gayon ang lahat ng mga base ng mga altitude ay nabibilang sa mga gilid ng tatsulok, at sa isang mahinang tatsulok, dalawang altitude ang nahuhulog sa pagpapatuloy ng mga gilid.

Tatlong altitude sa isang talamak na tatsulok ay nagsalubong sa isang punto at ang puntong ito ay tinatawag orthocenter tatsulok.

Median

Mga Median(mula sa Latin mediana - "gitna") - ito ay mga segment na nagkokonekta sa mga vertices ng tatsulok na may mga midpoint ng magkabilang panig (tingnan ang Fig. 3).

Upang mabuo ang median, dapat mong gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) hanapin ang gitna ng gilid;

2) ikonekta ang punto na nasa gitna ng gilid ng tatsulok na may kabaligtaran na vertex na may isang segment.

Mga katangian ng triangle median

Hinahati ng median ang isang tatsulok sa dalawang tatsulok na magkaparehong lugar.

Ang mga median ng isang tatsulok ay bumalandra sa isang punto, na naghahati sa bawat isa sa kanila sa isang ratio na 2:1, na binibilang mula sa tuktok. Ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng grabidad tatsulok.

Ang buong tatsulok ay hinati ng mga median nito sa anim na pantay na tatsulok.

Bisector

Mga Bisector(mula sa Latin na bis - dalawang beses at seko - cut) ay ang mga segment ng tuwid na linya na nakapaloob sa loob ng isang tatsulok na hinahati ang mga anggulo nito (tingnan ang Fig. 4).

Upang makagawa ng isang bisector, dapat mong gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) bumuo ng isang sinag na lumalabas mula sa tuktok ng anggulo at hinahati ito sa dalawang pantay na bahagi (ang bisector ng anggulo);

2) hanapin ang punto ng intersection ng bisector ng anggulo ng tatsulok na may kabaligtaran;

3) pumili ng isang segment na nagkokonekta sa vertex ng tatsulok na may intersection point sa kabaligtaran.

Mga katangian ng triangle bisectors

Ang bisector ng isang anggulo ng isang tatsulok ay naghahati sa kabaligtaran na bahagi sa isang ratio na katumbas ng ratio ng dalawang magkatabing panig.

Ang mga bisector ng mga panloob na anggulo ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto. Ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng inscribed na bilog.

Ang mga bisector ng panloob at panlabas na mga anggulo ay patayo.

Kung ang bisector ng isang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay bumalandra sa extension ng kabaligtaran na bahagi, pagkatapos ay ADBD=ACBC.

Ang mga bisector ng isang panloob at dalawang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto. Ang puntong ito ay ang sentro ng isa sa tatlong excircles ng tatsulok na ito.

Ang mga base ng mga bisector ng dalawang panloob at isang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay nasa parehong tuwid na linya kung ang bisector ng panlabas na anggulo ay hindi parallel sa kabaligtaran ng tatsulok.

Kung ang mga bisectors ng mga panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay hindi parallel sa magkabilang panig, kung gayon ang kanilang mga base ay namamalagi sa parehong tuwid na linya.

1. Hinahati ng median ang isang tatsulok sa dalawang tatsulok na magkaparehong lawak.

2. Ang mga median ng tatsulok ay bumalandra sa isang punto, na naghahati sa bawat isa sa kanila sa isang ratio na 2:1, na binibilang mula sa tuktok. Ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng grabidad tatsulok.

3. Ang buong tatsulok ay hinati ng mga median nito sa anim na pantay na tatsulok.

Mga katangian ng triangle bisectors

1. Ang bisector ng isang anggulo ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulong ito.

2. Ang bisector ng panloob na anggulo ng isang tatsulok ay naghahati sa kabaligtaran na bahagi sa mga segment na proporsyonal sa mga katabing panig: .

3. Ang punto ng intersection ng mga bisector ng isang tatsulok ay ang sentro ng bilog na nakasulat sa tatsulok na ito.

Mga katangian ng tatsulok na taas

1. Sa isang kanang tatsulok, ang altitude na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo ay hinahati ito sa dalawang tatsulok na katulad ng orihinal.

2. Sa isang talamak na tatsulok, ang dalawa sa mga altitude nito ay pumutol sa mga katulad nito mga tatsulok.

Mga katangian ng perpendicular bisectors ng isang tatsulok

1. Ang bawat punto ng perpendicular bisector sa isang segment ay katumbas ng layo mula sa mga dulo ng segment na ito. Totoo rin ang kabaligtaran: ang bawat puntong katumbas ng layo mula sa mga dulo ng isang segment ay nasa perpendicular bisector dito.

2. Ang punto ng intersection ng mga perpendicular bisector na iginuhit sa mga gilid ng tatsulok ay ang sentro ng bilog na nakapaligid sa tatsulok na ito.

Pag-aari ng midline ng isang tatsulok

Ang midline ng isang tatsulok ay parallel sa isa sa mga gilid nito at katumbas ng kalahati ng gilid na iyon.

Pagkakatulad ng mga tatsulok

Dalawang tatsulok katulad kung isa sa mga sumusunod na kondisyon, tinatawag mga palatandaan ng pagkakatulad:

· dalawang anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng dalawang anggulo ng isa pang tatsulok;

· dalawang gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa dalawang panig ng isa pang tatsulok, at ang mga anggulo na nabuo ng mga panig na ito ay pantay;

· tatlong gilid ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay proporsyonal sa tatlong panig ng isa pang tatsulok.

Sa mga katulad na tatsulok, ang mga katumbas na linya (altitude, median, bisectors, atbp.) ay proporsyonal.

Teorama ng mga sine

Cosine theorem

a 2= b 2+ c 2- 2bc cos

Mga formula ng lugar ng tatsulok

1. Libreng Triangle

a, b, c - panig; - anggulo sa pagitan ng mga gilid a At b; - semi-perimeter; R- circumscribed circle radius; r- radius ng inscribed na bilog; S- parisukat; h a - taas na iginuhit sa gilid a.

S = ah a

S = ab kasalanan

S = pr

2. Kanang tatsulok

a, b - binti; c- hypotenuse; h c - taas na iginuhit sa gilid c.

S = ch c S = ab

3. Equilateral triangle

Quadrilaterals

Mga katangian ng paralelogram

· magkabilang panig ay pantay;

· magkatapat ang mga anggulo;

· Ang mga diagonal ay nahahati sa kalahati ng punto ng intersection;

· ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng isang panig ay 180°;

Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng panig:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Ang quadrilateral ay isang paralelogram kung:

1. Ang dalawang magkabilang panig nito ay magkapantay at magkatulad.

2. Magkaparehas ang magkabilang panig.

3. Magkatapat ang mga anggulo sa magkapares.

4. Ang mga diagonal ay nahahati sa kalahati ng punto ng intersection.

Mga katangian ng isang trapezoid

· ang gitnang linya nito ay parallel sa mga base at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan;

· kung ang trapezoid ay isosceles, kung gayon ang mga diagonal nito ay pantay at ang mga anggulo sa base ay pantay;

· kung ang trapezoid ay isosceles, kung gayon ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid nito;

· kung ang kabuuan ng mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga gilid, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat dito.

Mga Katangian ng Parihaba

Ang mga diagonal ay pantay.

Ang paralelogram ay isang parihaba kung:

1. Ang isa sa mga anggulo nito ay tuwid.

2. Ang mga dayagonal nito ay pantay.

Mga katangian ng isang rhombus

· lahat ng katangian ng isang paralelogram;

Ang mga diagonal ay patayo;

Ang mga diagonal ay ang mga bisector ng mga anggulo nito.

1. Ang paralelogram ay isang rhombus kung:

2. Magkapantay ang dalawang magkatabing gilid nito.

3. Ang mga dayagonal nito ay patayo.

4. Ang isa sa mga dayagonal ay ang bisector ng anggulo nito.

Mga katangian ng isang parisukat

· lahat ng sulok ng parisukat ay tama;

· ang mga dayagonal ng isang parisukat ay pantay, kapwa patayo, ang punto ng intersection ay naghahati-hati at naghahati sa mga sulok ng parisukat.

Ang isang parihaba ay isang parisukat kung mayroon itong anumang mga katangian ng isang rhombus.

Mga pangunahing formula

1. Anumang convex quadrilateral
d 1,d 2 - diagonal; - ang anggulo sa pagitan nila; S- parisukat.

S = d 1 d 2 kasalanan

Entry level

Median. Biswal na gabay (2019)

1. Ano ang median?

Ito ay napaka-simple!

Kumuha ng tatsulok:

Markahan ang gitna sa isa sa mga gilid nito.

At kumonekta sa kabaligtaran ng vertex!

Ang resultang linya at may median.

2. Mga katangian ng median.

ano magandang katangian meron ba ang median?

1) Isipin natin na ang tatsulok ay hugis-parihaba. May mga ganyan di ba?

Bakit??? Ano ang kinalaman ng tamang anggulo dito?

Panoorin nating mabuti. Hindi lang tatsulok, kundi... parihaba. Bakit, tanong mo?

Ngunit naglalakad ka sa Earth - nakikita mo ba na ito ay bilog? Hindi, siyempre, para magawa ito kailangan mong tingnan ang Earth mula sa kalawakan. Kaya titingnan natin ang ating kanang tatsulok "mula sa kalawakan".

Gumuhit tayo ng dayagonal:

Naaalala mo ba na ang mga dayagonal ng isang parihaba pantay At ibahagi intersection point sa kalahati? (Kung hindi mo matandaan, tingnan ang paksa)

Nangangahulugan ito na ang kalahati ng pangalawang dayagonal ay atin panggitna. Ang mga diagonal ay pantay, at ang kanilang mga halves, siyempre, masyadong. Yan ang makukuha natin

Hindi namin patunayan ang pahayag na ito, ngunit upang maniwala ito, isipin ang iyong sarili: mayroon ba talagang ibang paralelogram na may pantay na diagonal maliban sa isang parihaba? Syempre hindi! Well, nangangahulugan iyon na ang median ay maaaring katumbas ng kalahating gilid lamang sa isang tamang tatsulok.

Tingnan natin kung paano nakakatulong ang property na ito sa paglutas ng mga problema.

dito, gawain:
Sa mga gilid; . Iginuhit mula sa itaas panggitna. Hanapin kung.

Hooray! Maaari mong ilapat ang Pythagorean theorem! Tingnan kung gaano ito kahusay? Kung hindi natin alam iyon panggitna katumbas ng kalahating panig

Inilapat namin ang Pythagorean theorem:

2) At ngayon hayaan nating magkaroon ng hindi lamang isa, ngunit buo tatlong median! Paano sila kumilos?

Tandaan mo talaga mahalagang katotohanan:

Mahirap? Tingnan ang larawan:

Mga medians at bumalandra sa isang punto.

At....(pinatunayan namin ito, ngunit sa ngayon tandaan mo!):

• - dalawang beses nang mas maraming;
• - dalawang beses nang mas maraming;
• - doble ang dami.

Pagod ka na ba? Magiging sapat ka ba para sa susunod na halimbawa? Ngayon ay ilalapat namin ang lahat ng aming napag-usapan!

Gawain: Sa isang tatsulok, median at iginuhit, na bumalandra sa isang punto. Hanapin kung

Hanapin natin gamit ang Pythagorean theorem:

Ngayon ay ilapat natin ang kaalaman tungkol sa punto ng intersection ng mga median.

Tukuyin natin ito. Segment, a. Kung ang lahat ay hindi malinaw, tingnan ang larawan.

Nahanap na namin yan.

Ibig sabihin, ; .

Sa problema ay tinatanong tayo tungkol sa isang segment.

Sa aming notasyon.

Sagot: .

Nagustuhan mo ba? Ngayon subukang ilapat ang iyong kaalaman tungkol sa median sa iyong sarili!

MEDIAN. MIDDLE LEVEL

1. Hinahati ng median ang gilid sa kalahati.

yun lang? O baka naman hinati niya ang ibang bagay sa kalahati? Imagine na!

2. Theorem: Hinahati ng median ang lugar sa kalahati.

Bakit? Tandaan natin ang pinaka simpleng anyo lugar ng tatsulok.

At dalawang beses naming inilalapat ang formula na ito!

Tingnan, ang median ay nahahati sa dalawang tatsulok: at. Ngunit! Magkasing tangkad sila -! Tanging sa taas na ito ay bumababa ito sa gilid, at sa - sa gilid ng pagpapatuloy. Nakakagulat, ito rin ang nangyayari: ang mga tatsulok ay magkaiba, ngunit ang taas ay pareho. At ngayon ay ilalapat namin ang formula nang dalawang beses.

Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan mo ang larawan. Sa katunayan, mayroong dalawang pahayag sa teorama na ito. Napansin mo ba ito?

Unang pahayag: ang mga median ay bumalandra sa isang punto.

Pangalawang pahayag: Ang intersection point ng median ay nahahati sa isang ratio, na binibilang mula sa vertex.

Subukan nating buksan ang lihim ng teorama na ito:

Ikonekta natin ang mga tuldok at. anong nangyari?

Ngayon gumuhit tayo ng isa pang gitnang linya: markahan ang gitna - maglagay ng tuldok, markahan ang gitna - maglagay ng tuldok.

Ngayon - ang gitnang linya. Iyon ay

1. parallel;

Napansin ang anumang mga pagkakataon? Pareho at parallel. At, at.

Ano ang kasunod nito?

1. parallel;

Siyempre, para lamang sa paralelogram!

Nangangahulugan ito na ito ay isang paralelogram. Kaya ano? Tandaan natin ang mga katangian ng paralelogram. Halimbawa, ano ang alam mo tungkol sa mga diagonal ng isang paralelogram? Tama, hinahati nila sa kalahati ang intersection point.

Tingnan natin muli ang pagguhit.

Ibig sabihin, ang median ay nahahati sa mga tuldok sa tatlong pantay na bahagi. At eksaktong pareho.

Nangangahulugan ito na ang parehong median ay pinaghiwalay ng isang punto sa ratio, iyon ay, at.

Ano ang mangyayari sa ikatlong median? Balik tayo sa umpisa. Oh, nakakatakot?! Hindi, ngayon ang lahat ay magiging mas maikli. Itapon natin ang median at gawin ang median at.

Ngayon isipin na naisagawa namin ang eksaktong parehong pangangatwiran tulad ng para sa median at. ano kaya?

Lumalabas na hahatiin ng median ang median sa eksaktong parehong paraan: sa isang ratio, pagbibilang mula sa punto.

Ngunit gaano karaming mga puntos ang maaaring mayroon sa isang segment na naghahati dito sa isang ratio, na nagbibilang mula sa punto?

Syempre, isa lang! At nakita na natin ito - iyon ang punto.

Ano ang nangyari sa huli?

Tiyak na dumaan ang median! Lahat ng tatlong median ay dumaan dito. At lahat ay nahati sa saloobin, nagbibilang mula sa itaas.

Kaya't nalutas namin (napatunayan) ang teorama. Ang solusyon ay naging paralelogram na nakaupo sa loob ng isang tatsulok.

4. Formula para sa median na haba

Paano mahahanap ang haba ng median kung ang mga panig ay kilala? Sigurado ka bang kailangan mo ito? Ibunyag natin ang isang kahila-hilakbot na lihim: ang formula na ito ay hindi masyadong kapaki-pakinabang. Ngunit gayon pa man, isusulat namin ito, ngunit hindi namin ito patunayan (kung interesado ka sa patunay, tingnan ang susunod na antas).

Paano natin mauunawaan kung bakit ito nangyayari?

Panoorin nating mabuti. Hindi lang isang tatsulok, ngunit isang parihaba.

Kaya isaalang-alang natin ang isang parihaba.

Napansin mo ba na ang ating tatsulok ay eksaktong kalahati ng parihaba na ito?

Gumuhit tayo ng dayagonal

Naaalala mo ba na ang mga dayagonal ng isang parihaba ay pantay at hinahati ang punto ng intersection? (Kung hindi mo matandaan, tingnan ang paksa)
Ngunit ang isa sa mga dayagonal ay ang aming hypotenuse! Nangangahulugan ito na ang punto ng intersection ng mga diagonal ay ang gitna ng hypotenuse. Ito ay tinatawag na atin.

Nangangahulugan ito na ang kalahati ng pangalawang dayagonal ay ang aming median. Ang mga diagonal ay pantay, at ang kanilang mga halves, siyempre, masyadong. Yan ang makukuha natin

Bukod dito, ito ay nangyayari lamang sa isang tamang tatsulok!

Hindi namin patunayan ang pahayag na ito, ngunit upang maniwala ito, isipin ang iyong sarili: mayroon bang iba pang paralelogram na may pantay na mga diagonal maliban sa isang parihaba? Syempre hindi! Well, nangangahulugan iyon na ang median ay maaaring katumbas ng kalahating gilid lamang sa isang tamang tatsulok. Tingnan natin kung paano nakakatulong ang property na ito sa paglutas ng mga problema.

Narito ang gawain:

Sa mga gilid; . Ang median ay iginuhit mula sa vertex. Hanapin kung.

Hooray! Maaari mong ilapat ang Pythagorean theorem! Tingnan kung gaano ito kahusay? Kung hindi natin alam na ang median ay kalahati ng gilid sa tamang tatsulok lamang, walang paraan upang malutas namin ang problemang ito. At ngayon kaya natin!

Inilapat namin ang Pythagorean theorem:

MEDIAN. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

1. Hinahati ng median ang gilid sa kalahati.

2. Theorem: hinahati ng median ang lugar sa kalahati

4. Formula para sa median na haba

Converse theorem: kung ang median ay katumbas ng kalahati ng gilid, kung gayon ang tatsulok ay right-angled at ang median na ito ay iguguhit sa hypotenuse.

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa sa isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...

Para saan?

Para sa matagumpay na pagkumpleto Pinag-isang State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...

Mga taong nakatanggap magandang edukasyon, kumikita ng mas malaki kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa kanila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at sa huli ay... mas masaya?

AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.

Kakailanganin mo lutasin ang mga problema laban sa oras.

At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 kuskusin.
2. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng aklat-aralin - 999 kuskusin.

Oo, mayroon kaming 99 na mga naturang artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Sa pangalawang kaso bibigyan ka namin simulator "6000 mga problema sa mga solusyon at sagot, para sa bawat paksa, sa lahat ng antas ng pagiging kumplikado." Ito ay tiyak na sapat upang makuha ang iyong mga kamay sa paglutas ng mga problema sa anumang paksa.

Sa katunayan, ito ay higit pa sa isang simulator - buong programa paghahanda. Kung kinakailangan, maaari mo ring gamitin ito nang LIBRE.

Ang access sa lahat ng mga teksto at programa ay ibinibigay para sa BUONG panahon ng pagkakaroon ng site.

At sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lamang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!

Tandaan. Binabalangkas ng araling ito teoretikal na materyales at paglutas ng mga problema sa geometry sa paksang "median sa tamang tatsulok." Kung kailangan mong lutasin ang isang problema sa geometry na wala dito, isulat ang tungkol dito sa forum. Ang kurso ay halos tiyak na pupunan.

Mga katangian ng median kanang tatsulok

Pagtukoy sa median

• Ang mga median ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa puntong ito sa dalawang bahagi sa isang ratio na 2:1, na binibilang mula sa tuktok ng anggulo. Ang punto ng kanilang intersection ay tinatawag na sentro ng grabidad ng tatsulok (medyo bihira sa mga problema ang terminong "centroid" ay ginagamit upang italaga ang puntong ito),
• Hinahati ng median ang isang tatsulok sa dalawang pantay na laki na tatsulok.
• Ang isang tatsulok ay nahahati ng tatlong median sa anim na pantay na tatsulok.
• Ang mas malaking bahagi ng tatsulok ay tumutugma sa mas maliit na median.

Ang mga problema sa geometry na iminungkahi para sa solusyon ay pangunahing ginagamit ang sumusunod katangian ng median ng isang right triangle.

• Ang kabuuan ng mga parisukat ng median na ibinagsak sa mga binti ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng limang parisukat ng median na bumaba sa hypotenuse (Formula 1)
• Bumaba ang Median sa hypotenuse ng isang right triangle katumbas ng kalahati ng hypotenuse(Formula 2)
• Ang median ng hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng radius ng bilog na nakapaligid sa paligid ibinigay na tamang tatsulok (Formula 2)
• Ang median ay bumaba sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti(Formula 3)
• Ang median na ibinaba sa hypotenuse ay katumbas ng quotient ng haba ng binti na hinati sa dalawang sine ng matinding anggulo sa tapat ng binti (Formula 4)
• Ang median na ibinaba sa hypotenuse ay katumbas ng quotient ng haba ng binti na hinati sa dalawang cosine ng matinding anggulo na katabi ng binti (Formula 4)
• Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid ng isang right triangle ay katumbas ng walong parisukat ng median na bumaba sa hypotenuse nito (Formula 5)

Notasyon sa mga formula:

a, b- mga binti ng isang kanang tatsulok

c- hypotenuse ng isang right triangle

Kung tukuyin natin ang isang tatsulok bilang ABC, kung gayon

BC = A

(iyon ay panig a,b,c- ay kabaligtaran sa kaukulang mga anggulo)

m a- median na iginuhit sa binti a

m b- median na iginuhit sa binti b

m c - median ng right triangle, iginuhit sa hypotenuse na may

α (alpha)- anggulo CAB sa tapat ng gilid a

Problema tungkol sa median sa kanang tatsulok

Ang mga median ng isang kanang tatsulok na iginuhit sa mga binti ay katumbas ng 3 cm at 4 cm, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang hypotenuse ng tatsulok

Solusyon

Bago simulan ang paglutas ng problema, bigyang-pansin natin ang ratio ng haba ng hypotenuse ng isang right triangle at median, na ibinababa dito. Upang gawin ito, buksan natin ang mga formula 2, 4, 5 katangian ng median sa isang tamang tatsulok. Malinaw na ipinapahiwatig ng mga formula na ito ang ratio ng hypotenuse at median, na ibinababa dito bilang 1 hanggang 2. Samakatuwid, para sa kaginhawahan ng mga kalkulasyon sa hinaharap (na hindi makakaapekto sa kawastuhan ng solusyon sa anumang paraan, ngunit gagawin itong higit pa maginhawa), tinutukoy namin ang mga haba ng mga binti AC at BC ng mga variable na x at y bilang 2x at 2y (hindi x at y).

Isaalang-alang ang kanang tatsulok na ADC. Tama ang anggulo C ayon sa mga kondisyon ng problema, ang leg AC ay karaniwan sa triangle ABC, at ang leg CD ay katumbas ng kalahating BC ayon sa mga katangian ng median. Pagkatapos, ayon sa Pythagorean theorem

AC 2 + CD 2 = AD 2

Dahil AC = 2x, CD = y (dahil hinati ng median ang binti sa dalawang pantay na bahagi), kung gayon
4x 2 + y 2 = 9

Sabay-sabay, isaalang-alang ang tamang tatsulok na EBC. Mayroon din itong tamang anggulo C ayon sa mga kondisyon ng problema, ang leg BC ay karaniwan sa leg BC ng orihinal na tatsulok na ABC, at ang leg EC, sa pamamagitan ng pag-aari ng median, ay katumbas ng kalahati ng leg AC ng orihinal na tatsulok. ABC.
Ayon sa Pythagorean theorem:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Dahil EC = x (hinahati ng median ang binti sa kalahati), BC = 2y, kung gayon
x 2 + 4y 2 = 16

Dahil ang mga tatsulok na ABC, EBC at ADC ay konektado ng mga karaniwang panig, ang parehong mga resultang equation ay magkakaugnay din.
Lutasin natin ang resultang sistema ng mga equation.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

Kapag nag-aaral ng anumang paksa sa isang kurso sa paaralan, maaari kang pumili ng isang tiyak na minimum ng mga problema, at sa pagkakaroon ng mastered sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, ang mga mag-aaral ay magagawang lutasin ang anumang problema sa antas ng mga kinakailangan ng programa sa paksang pinag-aaralan. Iminumungkahi kong isaalang-alang ang mga problema na magbibigay-daan sa iyo na makita ang mga ugnayan ng mga indibidwal na paksa sa kursong matematika ng paaralan. Samakatuwid, ang pinagsama-samang sistema ng mga gawain ay epektibong paraan pag-uulit, paglalahat at sistematisasyon materyal na pang-edukasyon habang inihahanda ang mga mag-aaral para sa pagsusulit.

Upang makapasa sa pagsusulit hindi ito magiging kalabisan karagdagang impormasyon tungkol sa ilang elemento ng isang tatsulok. Isaalang-alang natin ang mga katangian ng median ng isang tatsulok at mga problema sa paglutas kung saan maaaring gamitin ang mga katangiang ito. Ang mga iminungkahing gawain ay nagpapatupad ng prinsipyo ng pagkakaiba-iba ng antas. Ang lahat ng mga gawain ay may kondisyong nahahati sa mga antas (ang antas ay ipinahiwatig sa mga panaklong pagkatapos ng bawat gawain).

Alalahanin natin ang ilang katangian ng median ng isang tatsulok

Ari-arian 1. Patunayan na ang median ng isang tatsulok ABC, iginuhit mula sa vertex A, mas mababa sa kalahati ng kabuuan ng mga panig AB At A.C..

Patunay

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Ari-arian 2. Pinutol ng median ang tatsulok sa dalawang magkapantay na lugar.

Patunay

Iguhit natin sa vertex B ng triangle ABC ang median BD at ang taas BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Dahil ang segment na BD ay ang median, kung gayon

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Ari-arian 4. Hinahati ng mga median ng isang tatsulok ang tatsulok sa 6 na pantay na tatsulok.

Patunay

Patunayan natin na ang lugar ng bawat isa sa anim na tatsulok kung saan hinahati ng mga median ang tatsulok na ABC ay katumbas ng lugar ng tatsulok na ABC. Upang gawin ito, isaalang-alang, halimbawa, tatsulok AOF at i-drop ang isang patayo na AK mula sa vertex A hanggang sa linya ng BF.

Dahil sa property 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Ari-arian 6. Ang median sa isang kanang tatsulok na iginuhit mula sa tuktok ng tamang anggulo ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Patunay

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Mga kahihinatnan:1. Nasa gitna ng hypotenuse ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang kanang tatsulok.

2. Kung sa isang tatsulok ang haba ng median ay katumbas ng kalahati ng haba ng gilid kung saan ito iginuhit, kung gayon ang tatsulok na ito ay right-angled.

MGA GAWAIN

Kapag nilulutas ang bawat kasunod na problema, ginagamit ang mga napatunayang katangian.

№1 Mga Paksa: Pagdodoble ng median. Kahirapan: 2+

Mga palatandaan at katangian ng paralelogram Grado: 8,9

Kundisyon

Sa pagpapatuloy ng median A.M. tatsulok ABC bawat punto M na-postpone ang segment M.D., katumbas A.M.. Patunayan na ang may apat na gilid ABCC- paralelogram.

Solusyon

Gamitin natin ang isa sa mga palatandaan ng paralelogram. Diagonal ng isang quadrilateral ABCC bumalandra sa isang punto M at hatiin ito sa kalahati, kaya ang may apat na gilid ABCC- paralelogram.