Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Ang anggulo ay isang pigura na binubuo ng isang punto - ang vertex ng anggulo at dalawang magkaibang kalahating linya na nagmumula sa puntong ito - ang mga gilid ng anggulo (Fig. 14). Kung ang mga gilid ng isang anggulo ay pantulong na kalahating linya, kung gayon ang anggulo ay tinatawag na isang nabuong anggulo.

Ang isang anggulo ay itinalaga alinman sa pamamagitan ng pagpahiwatig ng vertex nito, o sa pamamagitan ng pagpahiwatig ng mga gilid nito, o sa pamamagitan ng pagpahiwatig ng tatlong punto: ang vertex at dalawang punto sa mga gilid ng anggulo. Ang salitang "anggulo" ay minsan pinapalitan

Ang simbolo ng Anggulo sa Figure 14 ay maaaring italaga sa tatlong paraan:

Ang isang ray c ay sinasabing dumaan sa pagitan ng mga gilid ng isang anggulo kung ito ay nagmumula sa tuktok nito at nag-intersect sa ilang segment na may mga endpoint sa mga gilid ng anggulo.

Sa Figure 15, ang ray c ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid ng anggulo habang nagsa-intersect ito sa segment

Sa kaso ng isang tuwid na anggulo, anumang sinag na nagmumula sa tuktok nito at naiiba sa mga gilid nito ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid ng anggulo.

Ang mga anggulo ay sinusukat sa mga degree. Kung kukuha ka ng isang tuwid na anggulo at hahatiin ito sa 180 pantay na mga anggulo, ang sukat ng antas ng bawat isa sa mga anggulong ito ay tinatawag na isang degree.

Ang mga pangunahing katangian ng pagsukat ng anggulo ay ipinahayag sa sumusunod na axiom:

Ang bawat anggulo ay may tiyak na sukat, mas malaki sa zero. Ang pinaikot na anggulo ay 180°. Sukat ng degree ang anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga sukat ng antas ng mga anggulo kung saan ito ay nahahati sa anumang sinag na dumadaan sa pagitan ng mga gilid nito.

Nangangahulugan ito na kung ang isang ray c ay dumaan sa pagitan ng mga gilid ng isang anggulo, kung gayon ang anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga anggulo.

Ang sukat ng antas ng isang anggulo ay matatagpuan gamit ang isang protractor.

Ang isang anggulo na katumbas ng 90° ay tinatawag na tamang anggulo. Ang anggulong mas mababa sa 90° ay tinatawag na acute angle. Ang anggulo na mas malaki sa 90° at mas mababa sa 180° ay tinatawag na obtuse.

Bumuo tayo ng pangunahing katangian ng pagtabi sa mga sulok.

Mula sa anumang kalahating linya, papunta sa isang ibinigay na kalahating eroplano, maaari kang maglagay ng anggulo na may ibinigay na sukat na antas na mas mababa sa 180°, at isa lamang.

Isaalang-alang ang kalahating linya a. I-extend natin ito panimulang punto A. Ang nagresultang tuwid na linya ay naghahati sa eroplano sa dalawang kalahating eroplano. Ipinapakita ng Figure 16 kung paano, gamit ang isang protractor, upang i-plot ang isang anggulo na may ibinigay na sukat ng degree na 60° mula sa kalahating linya hanggang sa itaas na kalahating eroplano.

T. 1. 2. Kung ang dalawang anggulo mula sa isang ibinigay na kalahating linya ay inilalagay sa isang kalahating eroplano, kung gayon ang gilid ng mas maliit na anggulo, na naiiba sa ibinigay na kalahating linya, ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid ng mas malaking anggulo.

Hayaan ang mga anggulo na natanggal mula sa isang ibinigay na kalahating linya a sa isang kalahating eroplano, at hayaang ang anggulo ay mas mababa sa anggulo . Ang Theorem 1. 2 ay nagsasaad na ang ray ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid ng anggulo (Larawan 17).

Ang bisector ng isang anggulo ay ang sinag na nagmumula sa tuktok nito, dumadaan sa pagitan ng mga gilid at hinahati ang anggulo sa kalahati. Sa Figure 18, ang ray ay ang bisector ng anggulo

Sa geometry mayroong konsepto ng isang anggulo ng eroplano. Ang isang anggulo ng eroplano ay isang bahagi ng isang eroplano na napapalibutan ng dalawang magkaibang sinag na nagmumula sa isang punto. Ang mga sinag na ito ay tinatawag na mga gilid ng anggulo. Mayroong dalawang anggulo ng eroplano na may mga ibinigay na panig. Ang mga ito ay tinatawag na karagdagang. Sa Figure 19, isa sa mga anggulo ng eroplano na may mga gilid a at may kulay.

Mga tagubilin

Ang arko ay isang bahagi ng isang bilog na nakapaloob sa pagitan ng dalawang puntos na nakahiga sa bilog na ito. Ang anumang arko ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng mga numerical na halaga. kanya pangunahing katangian Kasama ng haba ay ang halaga ng sukat ng antas.

Ngunit kapag ang isang arko ay nakahiwalay sa isang bilog, isa pa ang nabuo. Samakatuwid, upang hindi malabo na maunawaan kung aling arko ang pinag-uusapan natin, markahan ang isa pang punto sa napiling arko, halimbawa, C. Pagkatapos ay kukuha ito ng form na ABC.

Ang segment na nabuo sa pamamagitan ng dalawang puntos na naglilimita sa arko ay isang chord.

Ang sukat ng antas ng isang arko ay matatagpuan sa pamamagitan ng halaga ng naka-inscribe na anggulo, na kung saan, ang pagkakaroon ng vertex point sa bilog mismo, ay nakasalalay sa ibinigay na arko. Ang nasabing anggulo ay tinatawag na isang inscribed na anggulo, at ang sukat ng antas nito ay katumbas ng kalahati ng arko kung saan ito nakasalalay.

Mayroon ding gitnang anggulo sa isang bilog. Ito rin ay nakasalalay sa nais na arko, at ang tuktok nito ay wala na sa bilog, ngunit sa gitna. At ang numerical value nito ay hindi na katumbas ng kalahati ng antas ng sukat ng arko, ngunit sa buong halaga nito.

Ang pagkakaroon ng naunawaan kung paano ang isang arko ay kinakalkula sa pamamagitan ng anggulo na nakapatong dito, maaari mong ilapat ang batas na ito sa kabaligtaran ng direksyon at makuha ang panuntunan na ang naka-inscribe na anggulo na nakasalalay sa diameter ay tama. Dahil hinahati ng diameter ang bilog sa dalawang pantay na bahagi, nangangahulugan ito na ang alinman sa mga arko ay may halaga na 180 degrees. Samakatuwid, ang inscribed na anggulo ay 90 degrees.

Gayundin, batay sa paraan ng paghahanap para sa antas ng halaga ng isang arko, ang panuntunan ay totoo na ang mga anggulo batay sa isang arko ay may pantay na halaga.

Ang sukat ng antas ng isang arko ay kadalasang ginagamit upang kalkulahin ang haba ng isang bilog o ang arko mismo. Upang gawin ito, gamitin ang formula L= π*R*α/180.

Ang salitang "" ay may iba't ibang interpretasyon. Sa geometry, ang isang anggulo ay isang bahagi ng isang eroplano na napapalibutan ng dalawang sinag na nagmumula sa isang punto - ang vertex. Kailan pinag-uusapan natin tungkol sa kanan, talamak, nakabukang mga anggulo, kung gayon ito ay geometric na mga anggulo ang ibig sabihin.

Tulad ng anumang mga figure sa geometry, ang mga anggulo ay maaaring ihambing. Natutukoy ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo gamit ang paggalaw. Madaling hatiin ang anggulo sa dalawang pantay na bahagi. Ang paghahati sa tatlong bahagi ay medyo mas mahirap, ngunit maaari pa rin itong gawin gamit ang isang ruler at compass. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawaing ito ay tila medyo mahirap. Ang paglalarawan na ang isang anggulo ay mas malaki o mas maliit kaysa sa iba ay geometrically simple.

Ang yunit ng pagsukat para sa mga anggulo ay 1/180 ng isang nabuong anggulo. Ang magnitude ng anggulo ay isang numerong nagsasaad kung gaano kalaki ang napiling anggulo bilang yunit ng pagsukat sa figure na pinag-uusapan.

Ang bawat anggulo ay may sukat na antas na higit sa zero. Ang isang tuwid na anggulo ay 180 degrees. Ang sukat ng antas ng isang anggulo ay itinuturing na katumbas ng kabuuan ng mga sukat ng antas ng mga anggulo kung saan ito ay nahahati sa anumang sinag sa eroplano na nakatali sa mga gilid nito.

Ang isang anggulo na may tiyak na sukat ng antas na hindi hihigit sa 180 ay maaaring i-plot mula sa anumang sinag patungo sa isang partikular na eroplano. Bukod dito, magkakaroon lamang ng isang anggulo. Ang sukat ng isang anggulo ng eroplano, na bahagi ng isang kalahating eroplano, ay ang sukat ng antas ng isang anggulo na may magkatulad na panig. Ang sukat ng eroplano ng isang anggulo na naglalaman ng kalahating eroplano ay ang halaga na 360 ​​- α, kung saan ang α ay ang sukat ng antas ng komplementaryong anggulo ng eroplano.

Ang sukat ng antas ng isang anggulo ay ginagawang posible na lumipat mula sa isang geometric na paglalarawan patungo sa isang numerical. Kaya, ang tamang anggulo ay isang anggulo na katumbas ng 90 degrees, ang isang mahinang anggulo ay isang anggulo na mas mababa sa 180 degrees ngunit higit sa 90, ang isang matinding anggulo ay hindi lalampas sa 90 degrees.

Bilang karagdagan sa mga degree, mayroong isang radian na sukat ng anggulo. Sa planimetry, ang haba ay L, ang radius ay r, at ang kaukulang gitnang anggulo ay α. Bukod dito, ang mga parameter na ito ay nauugnay sa kaugnayan α = L/r. Ito ang batayan ng radian na sukat ng mga anggulo. Kung L=r, kung gayon ang anggulo α ay magiging katumbas ng isang radian. Kaya, ang radian measure ng isang anggulo ay ang ratio ng haba ng isang arc na iginuhit na may arbitrary radius at nakapaloob sa pagitan ng mga gilid ng anggulong ito sa radius ng arc. Ang isang kumpletong pag-ikot sa mga degree (360 degrees) ay tumutugma sa 2π sa radians. Ang isa ay 57.2958 degrees.

Video sa paksa

Pinagmulan:

• sukat ng antas ng formula ng mga anggulo

Ang pagsukat ng mga flat na dami sa mga degree ay naimbento sa sinaunang Babylon bago pa ang simula ng ating panahon. Mas gusto ng mga residente ng estadong ito ang sexagesimal notation system, kaya medyo kakaiba ngayon ang paghahati ng mga anggulo sa 180 o 360 units. Gayunpaman, ang mga iminungkahi sa modernong sistema Ang mga yunit ng SI ng pagsukat na multiple ng Pi ay kasing kakaiba. Ang dalawang pagpipiliang ito ay hindi limitado sa mga pagtatalaga ng mga anggulo na ginagamit ngayon, kaya ang gawain ng pag-convert ng kanilang mga halaga sa mga hakbang sa antas ay madalas na lumitaw.

Mga tagubilin

Kung kailangan mong i-convert ang magnitude ng isang anggulo sa radians sa isang sukat ng degree, magpatuloy mula sa katotohanan na ang isang degree ay tumutugma sa isang bilang ng mga radian na katumbas ng 1/180 ng numerong Pi. Ang mathematical constant na ito ay may walang katapusang bilang ng mga decimal place, kaya ang conversion factor ay isa ring infinite decimal fraction. Ito ang ganap eksaktong halaga sa format decimal hindi mo ito makukuha, kaya kailangang bilugan ang conversion factor. Halimbawa, na may katumpakan ng isang bilyong bahagi ng isang yunit, ang nakalkulang koepisyent ay magiging katumbas ng 0.017453293. Pagkatapos i-round sa kinakailangang bilang ng mga digit, hatiin ang orihinal na bilang ng mga radian sa salik na ito at makukuha mo ang sukat ng antas ng anggulo.

Degree na sukat ng anggulo. Radian na sukat ng anggulo. Pag-convert ng mga degree sa radian at vice versa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")

Sa nakaraang aralin natutunan natin kung paano sukatin ang mga anggulo sa isang trigonometric na bilog. Natutunan namin kung paano magbilang ng positibo at negatibong mga anggulo. Natutunan namin kung paano gumuhit ng anggulo na higit sa 360 degrees. Panahon na upang malaman kung paano sukatin ang mga anggulo. Lalo na sa numerong "Pi", na nagsusumikap na malito tayo sa mga mahihirap na gawain, oo...

Ang mga karaniwang problema sa trigonometrya na may bilang na "Pi" ay nalutas nang maayos. Nakakatulong ang visual memory. Ngunit ang anumang paglihis mula sa template ay isang kalamidad! Upang maiwasan ang pagbagsak - maintindihan kailangan. Alin ang gagawin natin ngayon sa tagumpay. Ibig kong sabihin, mauunawaan natin ang lahat!

Kaya, Ano binibilang ba ang mga anggulo? Sa kursong trigonometrya ng paaralan, dalawang sukat ang ginagamit: sukat ng antas ng anggulo At sukat ng anggulo ng radian. Tingnan natin ang mga hakbang na ito. Kung wala ito, wala kahit saan sa trigonometrya.

Degree na sukat ng anggulo.

Nasanay kami kahit papaano sa mga degree. Kahit papaano ay nakapasa tayo sa geometry... At sa buhay ay madalas nating makita ang pariralang "naging 180 degrees," halimbawa. Ang isang degree, sa madaling salita, ay isang simpleng bagay...

Oo? Sagutin mo ako ano ang degree? Ano, hindi ito gumagana kaagad? Ayan yun...

Ang mga degree ay naimbento sa Sinaunang Babylon. Matagal na ang nakalipas... 40 siglo na ang nakalipas... At nakaisip sila ng isang simpleng ideya. Kinuha nila at hinati ang bilog sa 360 pantay na bahagi. Ang 1 degree ay 1/360 ng isang bilog. Iyon lang. Maaari nilang hatiin ito sa 100 piraso. Or 1000. Pero hinati nila sa 360. Nga pala, bakit eksaktong 360? Paano mas mahusay ang 360 kaysa sa 100? Ang 100 ay tila mas makinis... Subukang sagutin ang tanong na ito. O mahina laban sa Sinaunang Babylon?

Sa isang lugar sa parehong oras, sa Sinaunang Ehipto ay pinahirapan ng isa pang tanong. Ilang beses ang haba ng isang bilog na mas malaki kaysa sa haba ng diameter nito? At sinukat nila ito sa ganitong paraan, at sa ganoong paraan... Ang lahat ay naging higit pa sa tatlo. Ngunit sa paanuman ay naging malabo, hindi pantay... Ngunit sila, ang mga taga-Ehipto, ay hindi masisi. Pagkatapos nila, nagdusa sila sa loob ng isa pang 35 siglo. Hanggang sa wakas ay napatunayan nila na kahit gaano ka pino ang pagputol ng isang bilog sa pantay na piraso, mula sa gayong mga piraso ay maaari kang gumawa makinis imposible ang haba ng diameter... Sa prinsipyo, imposible. Well, kung gaano karaming beses ang circumference ay mas malaki kaysa sa diameter ay itinatag, siyempre. humigit-kumulang. 3.1415926... beses.

Ito ang numerong "Pi". Sobrang shaggy, sobrang shaggy. Pagkatapos ng decimal point ay mayroong walang katapusang bilang ng mga numero nang walang anumang pagkakasunud-sunod... Ang mga nasabing numero ay tinatawag na hindi makatwiran. Ito, sa pamamagitan ng paraan, ay nangangahulugan na mula sa pantay na mga piraso ng isang bilog ang diameter makinis huwag tupi. Hindi kailanman.

Para sa praktikal na aplikasyon Nakaugalian na matandaan lamang ang dalawang digit pagkatapos ng decimal point. Tandaan:

Dahil naiintindihan namin na ang circumference ng isang bilog ay mas malaki kaysa sa diameter nito sa pamamagitan ng "Pi" beses, makatuwirang tandaan ang formula para sa circumference ng isang bilog:

saan L- circumference, at d- diameter nito.

Kapaki-pakinabang sa geometry.

Para sa Pangkalahatang edukasyon Idaragdag ko na ang bilang na "Pi" ay hindi lamang matatagpuan sa geometry... Sa iba't ibang sangay ng matematika, at lalo na sa teorya ng posibilidad, ang numerong ito ay patuloy na lumilitaw! Mag-isa. Higit pa sa ating mga kagustuhan. Ganito.

Ngunit bumalik tayo sa antas. Naisip mo ba kung bakit sa Ancient Babylon ang bilog ay nahahati sa 360 pantay na bahagi? At hindi sa 100, halimbawa? Hindi? OK. Bibigyan kita ng bersyon. Hindi mo maaaring tanungin ang mga sinaunang Babylonians ... Para sa pagtatayo, o, sabihin, astronomiya, ito ay maginhawa upang hatiin ang bilog sa pantay na mga bahagi. Ngayon alamin kung anong mga numero ang nahahati nito ganap 100, at alin ang - 360? At sa anong bersyon ng mga divisors na ito ganap- higit pa? Ang dibisyong ito ay napaka-maginhawa para sa mga tao. Pero...

Bilang ito ay naging mas huli kaysa sa Sinaunang Babylon, hindi lahat ay may gusto ng mga degree. Hindi sila gusto ng mas mataas na matematika... Ang mas mataas na matematika ay isang seryosong babae, na inayos ayon sa mga batas ng kalikasan. At ang babaeng ito ay nagpahayag: "Ngayon ay hinati mo ang bilog sa 360 na bahagi, bukas ay hahatiin mo ito sa 100, kinabukasan sa 245... At ano ang dapat kong gawin, talaga..." Kailangan kong makinig. Hindi mo kayang lokohin ang kalikasan...

Kinailangan naming ipakilala ang isang sukat ng anggulo na hindi nakadepende sa mga imbensyon ng tao. Magkita - radian!

Radian na sukat ng anggulo.

Ano ang radian? Ang kahulugan ng isang radian ay batay pa rin sa isang bilog. Ang anggulo ng 1 radian ay isang anggulo na pumuputol sa isang arko mula sa isang bilog na ang haba ay ( L) ay katumbas ng haba ng radius ( R). Tingnan natin ang mga larawan.

Napakaliit na anggulo, halos wala na... Inilipat namin ang cursor sa ibabaw ng larawan (o hinawakan ang larawan sa tablet) at nakita namin ang tungkol sa isa radian. L = R

Nararamdaman mo ba ang pagkakaiba?

Ang isang radian ay higit pa sa isang degree. Ilang beses?

Tingnan natin ang susunod na larawan. Kung saan gumuhit ako ng kalahating bilog. Ang nakabukas na anggulo ay, natural, 180°.

Ngayon ay gupitin ko ang kalahating bilog sa mga radian! I-hover namin ang cursor sa ibabaw ng larawan at makita na ang 180° ay umaangkop sa 3 at kalahating radian.

Sino ang makahuhula kung ano ang katumbas ng buntot na ito!?

Oo! Ang buntot na ito ay 0.1415926.... Hello, number "Pi", hindi ka pa namin nakakalimutan!

Sa katunayan, ang 180° degrees ay naglalaman ng 3.1415926... radians. Tulad ng naiintindihan mo mismo, ang pagsulat ng 3.1415926 sa lahat ng oras... ay hindi maginhawa. Samakatuwid, sa halip na ang walang katapusang bilang na ito, palagi silang nagsusulat ng simple:

Ngunit sa Internet ang numero

Nakakaabala magsulat... Kaya nga isinusulat ko ang pangalan niya sa text - “Pi”. Huwag kang malito, okay?...

Ngayon ay maaari na nating isulat ang isang tinatayang pagkakapantay-pantay sa isang ganap na makabuluhang paraan:

O eksaktong pagkakapantay-pantay:

Tukuyin natin kung ilang degree ang nasa isang radian. Paano? Madali lang! Kung may 180° degrees sa 3.14 radians, may 3.14 beses na mas mababa sa 1 radian! Iyon ay, hinati namin ang unang equation (ang formula ay isa ring equation!) sa 3.14:

Ang ratio na ito ay kapaki-pakinabang na tandaan ang isang radian ay humigit-kumulang 60°. Sa trigonometrya, madalas kailangan mong tantyahin at tasahin ang sitwasyon. Dito malaki ang naitutulong ng kaalamang ito.

Ngunit ang pangunahing kasanayan ng paksang ito ay pag-convert ng mga degree sa radian at vice versa.

Kung ang anggulo ay ibinigay sa radians na may numerong "Pi", ang lahat ay napaka-simple. Alam namin na ang "Pi" radians = 180°. Kaya pinapalitan namin ang mga radian para sa "Pi" - 180°. Nakukuha namin ang anggulo sa mga degree. Binabawasan natin ang nababawasan, at handa na ang sagot. Halimbawa, kailangan nating malaman kung ilan degrees sa anggulong "Pi"/2 radian? Kaya sumulat kami:

O, isang mas kakaibang expression:

Madali lang diba?

Ang baligtad na pagsasalin ay medyo mas kumplikado. Pero hindi masyado. Kung ang anggulo ay ibinigay sa mga degree, dapat nating malaman kung ano ang katumbas ng isang degree sa radians at i-multiply ang bilang na iyon sa bilang ng mga degree. Ano ang katumbas ng 1° sa radians?

Tinitingnan namin ang formula at napagtanto na kung 180° = "Pi" radians, ang 1° ay 180 beses na mas maliit. O, sa madaling salita, hinahati namin ang equation (ang isang formula ay isang equation din!) sa pamamagitan ng 180. Hindi na kailangang kumatawan sa "Pi" bilang 3.14 ito ay palaging nakasulat sa isang titik; Nalaman namin na ang isang degree ay katumbas ng:

Iyon lang. I-multiply namin ang bilang ng mga degree sa halagang ito at makuha ang anggulo sa radians. Halimbawa:

O, katulad nito:

Tulad ng makikita mo, sa isang masayang pakikipag-usap sa liriko digressions Ito ay naging napaka-simple ng mga radian. At ang pagsasalin ay walang problema... At ang "Pi" ay isang ganap na matitiis na bagay... Kaya saan nanggagaling ang kalituhan!?

Ibubunyag ko ang sikreto. Ang katotohanan ay sa mga function ng trigonometriko ang simbolo ng degree ay nakasulat. Laging. Halimbawa, sin35°. Ito ay sine 35 degrees . At ang radian icon ( masaya) - hindi nakasulat! Ito ay ipinahiwatig. Either mathematicians were overwhelmed by tamad, or something else... Ngunit nagpasya silang huwag magsulat. Kung walang mga simbolo sa loob ng sine-cotangent, kung gayon ang anggulo ay sa radians ! Halimbawa, ang cos3 ay ang cosine ng tatlo radians .

Ito ay humahantong sa pagkalito... Nakikita ng isang tao ang "Pi" at naniniwala na ito ay 180°. Kahit kailan at kahit saan. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay gumagana. Sa ngayon, ang mga halimbawa ay pamantayan. Ngunit ang "Pi" ay isang numero! Ang numero ay 3.14, ngunit hindi degrees! Ito ay "Pi" radians = 180°!

Muli: "Pi" ay isang numero! 3.14. Hindi makatwiran, ngunit isang numero. Kapareho ng 5 o 8. Maaari mong, halimbawa, gawin ang tungkol sa mga "Pi" na hakbang. Tatlong hakbang at kaunti pa. O bumili ng "Pi" kilo ng kendi. Kung ang isang edukadong nagbebenta ay nakatagpo...

Ang "Pi" ay isang numero! Ano, ininis ba kita sa katagang ito? Naintindihan mo na ba ang lahat noon pa man? OK. Suriin natin. Sabihin mo sa akin, aling numero ang mas malaki?

O ano ang mas mababa?

Ito ay isang bit ng isang serye hindi karaniwang mga tanong, na maaaring magdulot sa iyo ng pagkahilo...

Kung ikaw din, ay nahulog sa pagkahilo, tandaan ang spell: "Pi" ay isang numero! 3.14. Sa pinakaunang sine ay malinaw na nakasaad na ang anggulo ay sa mga degree! Samakatuwid, imposibleng palitan ang "Pi" ng 180°! Ang "Pi" degrees ay humigit-kumulang 3.14°. Samakatuwid, maaari tayong sumulat:

Walang mga notasyon sa pangalawang sine. Kaya, doon- radians! Dito gagana nang maayos ang pagpapalit ng "Pi" ng 180°. Ang pag-convert ng mga radian sa mga degree, tulad ng nakasulat sa itaas, nakukuha natin:

Ito ay nananatiling ihambing ang dalawang sines na ito. Ano. nakalimutan kung paano? Gamit ang isang trigonometric na bilog, siyempre! Gumuhit ng bilog, gumuhit ng tinatayang mga anggulo na 60° at 1.05°. Tingnan natin kung anong mga sine ang mayroon ang mga anggulong ito. Sa madaling salita, ang lahat ay inilarawan bilang sa dulo ng paksa tungkol sa trigonometriko bilog. Sa isang bilog (kahit ang baluktot!) ay malinaw na makikita iyon kasalanan60° makabuluhang higit sa kasalanan1.05°.

Gawin namin ang eksaktong parehong bagay sa mga cosine. Sa bilog ay gumuhit kami ng mga anggulo na humigit-kumulang 4 degrees at 4 radian(Nakalimutan mo na ba kung ano ang tinatayang katumbas ng 1 radian?). Sasabihin ng bilog ang lahat! Siyempre, ang cos4 ay mas mababa sa cos4°.

Magsanay tayo gamit ang mga sukat ng anggulo.

I-convert ang mga anggulong ito mula sa mga degree sa radians:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Dapat mong makuha ang mga halagang ito sa radians (sa ibang pagkakasunud-sunod!)

0

Sa pamamagitan ng paraan, partikular kong na-highlight ang mga sagot sa dalawang linya. Well, alamin natin kung ano ang mga sulok sa unang linya? Hindi bababa sa mga degree, hindi bababa sa radians?

Oo! Ito ang mga axes ng coordinate system! Kung titingnan mo ang trigonometriko na bilog, pagkatapos ay ang gumagalaw na bahagi ng anggulo na may mga halagang ito akma sa mga palakol. Ang mga halagang ito ay kailangang malaman. At nabanggit ko ang anggulo ng 0 degrees (0 radians) para sa magandang dahilan. At pagkatapos ay hindi mahanap ng ilang tao ang anggulong ito sa isang bilog... At, nang naaayon, nalilito sila sa mga function ng trigonometriko ng zero... Ang isa pang bagay ay ang posisyon ng gumagalaw na bahagi sa zero degrees ay tumutugma sa posisyon sa 360°, kaya may ganap na mga pagkakataon sa bilog na malapit.

Sa pangalawang linya mayroon ding mga espesyal na anggulo... Ito ay 30°, 45° at 60°. At ano ang espesyal sa kanila? Normal lang, walang espesyal. Ang tanging pagkakaiba sa pagitan ng mga anggulong ito at lahat ng iba pa ay dapat mong malaman ang tungkol sa mga anggulong ito Lahat. At kung saan sila matatagpuan, at kung ano ang trigonometriko function na mayroon ang mga anggulong ito. Sabihin natin ang halaga kasalanan100° hindi mo kailangang malaman. A kasalanan45°- mGING MABAIT! Ito ay ipinag-uutos na kaalaman, kung wala ito ay walang magagawa sa trigonometrya... Ngunit higit pa tungkol dito sa susunod na aralin.

Samantala, magpatuloy tayo sa pagsasanay. I-convert ang mga anggulong ito mula sa radian patungo sa degree:

Dapat kang makakuha ng mga resultang tulad nito (sa gulo):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Nangyari? Pagkatapos ay maaari nating ipagpalagay na pag-convert ng mga degree sa radian at likod- hindi na ang iyong problema.) Ngunit ang pagsasalin ng mga anggulo ay ang unang hakbang sa pag-unawa sa trigonometry. Doon kailangan mo ring magtrabaho kasama ang mga sine at cosine. At may mga tangent at cotangent din...

Ang pangalawang makapangyarihang hakbang ay ang kakayahang matukoy ang posisyon ng anumang anggulo sa isang trigonometric na bilog. Parehong sa mga degree at radian. Bibigyan kita ng nakakainip na mga pahiwatig tungkol sa mismong kasanayang ito sa kabuuan ng trigonometry, oo...) Kung alam mo ang lahat (o sa tingin mo alam mo ang lahat) tungkol sa trigonometriko na bilog, at ang pagsukat ng mga anggulo sa trigonometric na bilog, maaari mong suriin ito. Lutasin ang mga simpleng gawaing ito:

1. Saang quarter nahuhulog ang mga anggulo:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

madali? Ituloy natin:

2. Saang quarter nahuhulog ang mga sulok:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Walang problema din? Well, tingnan mo...)

3. Maaari mong ilagay ang mga sulok sa quarters:

kaya mo ba? Sige, bigyan mo..)

4. Aling mga palakol ang babagsakan ng sulok:

at sulok:

madali din ba? Hm...)

5. Saang quarter nahuhulog ang mga sulok:

At ito ay gumana!? Well, hindi ko talaga alam...)

6. Tukuyin kung saang quarter nahuhulog ang mga sulok:

1, 2, 3 at 20 radians.

Bibigyan ko lang ng sagot huling tanong(medyo makulit siya) huling gawain. Ang anggulo ng 20 radians ay mahuhulog sa unang quarter.

I will not give the rest of the answers, not out of greed.) Simple lang, kung ikaw hindi nakapagpasya isang bagay nagdududa ka bilang resulta, o ginugol sa gawain No. 4 higit sa 10 segundo, hindi maganda ang oriented mo sa isang bilog. Ito ang magiging problema mo sa lahat ng trigonometrya. Mas mainam na alisin ito kaagad (ang problema, hindi trigonometrya!). Magagawa ito sa paksa: Praktikal na gawain kasama ang trigonometriko na bilog sa seksyon 555.

Sinasabi nito kung paano lutasin ang gayong mga gawain nang simple at tama. Well, ang mga gawaing ito ay nalutas na, siyempre. At ang ikaapat na gawain ay nalutas sa loob ng 10 segundo. Oo, napagpasyahan na kahit sino ay magagawa ito!

Kung lubos kang kumpiyansa sa iyong mga sagot at hindi ka interesado sa mga simple at walang problemang paraan ng pagtatrabaho sa mga radian, hindi mo kailangang bisitahin ang 555. Hindi ko ipinipilit.)

Ang isang mahusay na pag-unawa ay isang sapat na dahilan upang magpatuloy!)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Mahalagang tala!
1. Kung makakita ka ng gobbledygook sa halip na mga formula, i-clear ang iyong cache. Kung paano ito gawin sa iyong browser ay nakasulat dito:
2. Bago mo simulan ang pagbabasa ng artikulo, bigyang pansin ang aming navigator para sa mga pinakakapaki-pakinabang na mapagkukunan para sa

Pangunahing termino.

Gaano mo kahusay natatandaan ang lahat ng mga pangalan na nauugnay sa bilog? Kung sakali, ipaalala namin sa iyo - tingnan ang mga larawan - i-refresh ang iyong kaalaman.

Una- Ang gitna ng isang bilog ay isang punto kung saan ang mga distansya mula sa lahat ng mga punto sa bilog ay pareho.

Pangalawa - radius - isang segment ng linya na nag-uugnay sa gitna at isang punto sa bilog.

Mayroong maraming mga radii (kasing dami ng mga puntos sa bilog), ngunit Ang lahat ng radii ay may parehong haba.

Minsan for short radius eksaktong tawag nila dito haba ng segment"ang sentro ay isang punto sa bilog," at hindi ang segment mismo.

At narito ang mangyayari kung ikinonekta mo ang dalawang punto sa isang bilog? Isang segment din?

Kaya, ang segment na ito ay tinatawag "chord".

Tulad ng sa kaso ng radius, ang diameter ay kadalasang ang haba ng isang segment na nagkokonekta sa dalawang punto sa isang bilog at dumadaan sa gitna. Sa pamamagitan ng paraan, paano nauugnay ang diameter at radius? Tingnan mong mabuti. Syempre, ang radius ay katumbas ng kalahati ng diameter.

Bilang karagdagan sa mga chord, mayroon ding mga secant.

Tandaan ang pinakasimpleng bagay?

Ang gitnang anggulo ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang radii.

At ngayon - ang inscribed na anggulo

Inscribed angle - ang anggulo sa pagitan ng dalawang chord na nagsalubong sa isang punto sa isang bilog.

Sa kasong ito, sinasabi nila na ang naka-inscribe na anggulo ay nakasalalay sa isang arko (o sa isang chord).

Tingnan ang larawan:

Mga sukat ng mga arko at anggulo.

Circumference. Ang mga arko at anggulo ay sinusukat sa mga degree at radian. Una, tungkol sa mga degree. Walang mga problema para sa mga anggulo - kailangan mong matutunan kung paano sukatin ang arko sa mga degree.

Ang sukat ng degree (laki ng arko) ay ang halaga (sa mga degree) ng kaukulang gitnang anggulo

Ano ang ibig sabihin ng salitang "angkop" dito? Tingnan nating mabuti:

Nakikita mo ba ang dalawang arko at dalawang gitnang anggulo? Well, ito ay tumutugma sa isang mas malaking arko mas malaking anggulo(at okay lang na mas malaki ito), at ang isang mas maliit na arko ay tumutugma sa isang mas maliit na anggulo.

Kaya, sumang-ayon kami: ang arko ay naglalaman ng parehong bilang ng mga degree bilang kaukulang gitnang anggulo.

At ngayon tungkol sa nakakatakot na bagay - tungkol sa mga radian!

Anong uri ng hayop itong "radian"?

Isipin ito: Ang mga radian ay isang paraan ng pagsukat ng mga anggulo... sa radii!

Ang anggulo ng radians ay isang gitnang anggulo na ang haba ng arko ay katumbas ng radius ng bilog.

Pagkatapos ay lumitaw ang tanong - gaano karaming mga radian ang mayroon sa isang tuwid na anggulo?

Sa madaling salita: ilang radii ang "magkasya" sa kalahating bilog? O sa ibang paraan: gaano karaming beses ang haba ng kalahating bilog na mas malaki kaysa sa radius?

Tinanong ng mga siyentipiko ang tanong na ito pabalik sa Sinaunang Greece.

At kaya, pagkatapos mahabang paghahanap natuklasan nila na ang ratio ng circumference sa radius ay hindi gustong ipahayag sa mga numerong "tao" tulad ng, atbp.

At hindi rin posible na ipahayag ang saloobing ito sa pamamagitan ng mga ugat. Iyon ay, lumalabas na imposibleng sabihin na ang kalahati ng bilog ay beses o beses na mas malaki kaysa sa radius! Naiisip mo ba kung gaano kahanga-hanga para sa mga tao na matuklasan ito sa unang pagkakataon?! Para sa ratio ng haba ng kalahating bilog sa radius, hindi sapat ang mga "normal" na numero. Kailangan kong magpasok ng isang sulat.

Kaya, - ito ay isang numero na nagpapahayag ng ratio ng haba ng kalahating bilog sa radius.

Ngayon ay masasagot na natin ang tanong: ilang radian ang mayroon sa isang tuwid na anggulo? Naglalaman ito ng mga radian. Tiyak na dahil ang kalahati ng bilog ay beses na mas malaki kaysa sa radius.

Sinaunang (at hindi masyadong sinaunang) mga tao sa buong siglo (!) sinubukang mas tumpak na kalkulahin ang mahiwagang numerong ito, upang mas maipahayag ito (hindi bababa sa humigit-kumulang) sa pamamagitan ng mga "ordinaryong" numero. At ngayon kami ay hindi kapani-paniwalang tamad - dalawang palatandaan pagkatapos ng isang abalang araw ay sapat na para sa amin, nasanay na kami

Pag-isipan ito, nangangahulugan ito, halimbawa, na ang haba ng isang bilog na may radius ng isa ay humigit-kumulang pantay, ngunit ang eksaktong haba na ito ay imposibleng isulat gamit ang isang "tao" na numero - kailangan mo ng isang liham. At pagkatapos ang circumference na ito ay magiging pantay. At siyempre, ang circumference ng radius ay pantay.

Bumalik tayo sa radians.

Nalaman na natin na ang isang tuwid na anggulo ay naglalaman ng mga radian.

Kung anong meron tayo:

Ibig sabihin natutuwa ako, ibig sabihin, natutuwa ako. Sa parehong paraan, ang isang plato na may pinakasikat na mga anggulo ay nakuha.

Ang ugnayan sa pagitan ng mga halaga ng inscribed at gitnang anggulo.

Mayroong isang kamangha-manghang katotohanan:

Ang naka-inscribe na anggulo ay kalahati ng laki ng kaukulang gitnang anggulo.

Tingnan kung ano ang hitsura ng pahayag na ito sa larawan. Ang "katugmang" gitnang anggulo ay isa na ang mga dulo ay nag-tutugma sa mga dulo ng naka-inscribe na anggulo, at ang vertex ay nasa gitna. At sa parehong oras, ang "katugmang" gitnang anggulo ay dapat "tumingin" sa parehong chord () bilang ang inscribed na anggulo.

Bakit ganito? Tingnan muna natin ang isang simpleng kaso. Hayaang dumaan ang isa sa mga chord sa gitna. Ganun din naman minsan, diba?

Ano ang nangyayari dito? Isaalang-alang natin. Ito ay isosceles - pagkatapos ng lahat, at - radii. Kaya, (may label sa kanila).

Ngayon tingnan natin. Ito ang panlabas na sulok para sa! Naaalala namin na ang isang panlabas na anggulo ay katumbas ng kabuuan ng dalawang panloob na mga anggulo na hindi katabi nito, at isulat:

Yan ay! Hindi inaasahang epekto. Ngunit mayroon ding sentral na anggulo para sa naka-inscribe.

Nangangahulugan ito na para sa kasong ito ay napatunayan nila na ang gitnang anggulo ay dalawang beses ang naka-inscribe na anggulo. Pero sobrang sakit espesyal na kaso: Hindi ba totoo na ang chord ay hindi palaging dumiretso sa gitna? Pero ayos lang, ngayon malaki ang maitutulong sa atin ng partikular na kaso na ito. Tingnan: pangalawang kaso: hayaang nasa loob ang gitna.

Gawin natin ito: iguhit ang diameter. At pagkatapos... nakita namin ang dalawang larawan na nasuri na sa unang kaso. Samakatuwid mayroon na tayo niyan

Ibig sabihin (sa drawing, a)

Well, iyan ay umalis sa huling kaso: ang sentro ay nasa labas ng sulok.

Ginagawa namin ang parehong bagay: iguhit ang diameter sa punto. Ang lahat ay pareho, ngunit sa halip na isang kabuuan ay may pagkakaiba.

Iyon lang!

Bumuo tayo ngayon ng dalawang pangunahing at napakahalagang kahihinatnan mula sa pahayag na ang naka-inscribe na anggulo ay kalahati ng gitnang anggulo.

Bunga 1

Ang lahat ng mga naka-inscribe na anggulo batay sa isang arko ay katumbas ng bawat isa.

Inilalarawan namin:

Mayroong hindi mabilang na mga naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko (mayroon kaming arko na ito), maaari silang magmukhang ganap na naiiba, ngunit lahat sila ay may parehong gitnang anggulo (), na nangangahulugan na ang lahat ng mga naka-inscribe na anggulo ay pantay-pantay sa pagitan nila.

Bunga 2

Ang anggulo na pinababa ng diameter ay isang tamang anggulo.

Tingnan: anong anggulo ang sentro?

Tiyak, . Ngunit siya ay pantay-pantay! Kaya, samakatuwid (pati na rin ang marami pang naka-inscribe na mga anggulo na nakapatong) at pantay.

Anggulo sa pagitan ng dalawang chord at secants

Ngunit paano kung ang anggulo na interesado tayo ay HINDI nakasulat at HINDI sentral, ngunit, halimbawa, tulad nito:

o ganito?

Posible bang ipahayag ito kahit papaano sa pamamagitan ng ilang mga sentral na anggulo? Posible pala. Tingnan: interesado kami.

a) (bilang isang panlabas na sulok para sa). Ngunit - nakasulat, nakasalalay sa arko -. - inscribed, rests on the arc - .

Para sa kagandahan, sinasabi nila:

Ang anggulo sa pagitan ng mga chord ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga angular na halaga ng mga arko na nakapaloob sa anggulong ito.

Isinulat nila ito para sa kaiklian, ngunit siyempre, kapag ginagamit ang formula na ito kailangan mong tandaan ang mga gitnang anggulo

b) At ngayon - "sa labas"! Paano maging? Oo, halos pareho! Ngayon lamang (muli inilapat namin ang pag-aari ng panlabas na anggulo para sa). Iyon ay ngayon.

At ang kahulugan niyan ay... Dalhin natin ang kagandahan at kaiklian sa mga tala at salita:

Ang anggulo sa pagitan ng mga secants ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba sa mga anggular na halaga ng mga arko na nakapaloob sa anggulong ito.

Well, ngayon ay armado ka na ng lahat ng pangunahing kaalaman tungkol sa mga anggulo na nauugnay sa isang bilog. Sige, harapin ang mga hamon!

BILOG AT INSINALED ANGLE. AVERAGE LEVEL

Kahit na ang isang limang taong gulang na bata ay alam kung ano ang isang bilog, tama ba? Ang mga mathematician, gaya ng dati, ay may hindi maintindihang kahulugan sa paksang ito, ngunit hindi namin ito ibibigay (tingnan), sa halip ay tandaan natin kung ano ang tawag sa mga punto, linya at anggulo na nauugnay sa isang bilog.

Mahahalagang Tuntunin

una:

gitna ng bilog- isang punto kung saan ang lahat ng mga punto sa bilog ay parehong distansya.

Pangalawa:

May isa pang tinatanggap na expression: "ang chord contracts the arc." Dito sa figure, halimbawa, ang chord subtends ang arko. At kung ang isang chord ay biglang dumaan sa gitna, kung gayon mayroon itong espesyal na pangalan: "diameter".

Sa pamamagitan ng paraan, paano nauugnay ang diameter at radius? Tingnan mong mabuti. Syempre,

At ngayon - ang mga pangalan para sa mga sulok.

Natural, hindi ba? Ang mga gilid ng anggulo ay umaabot mula sa gitna - na nangangahulugang ang anggulo ay nasa gitna.

Ito ay kung saan ang mga paghihirap ay minsan lumitaw. Bigyang-pansin - WALANG anumang anggulo sa loob ng bilog ang nakasulat, ngunit isa lamang na ang vertex ay "nakaupo" sa mismong bilog.

Tingnan natin ang pagkakaiba sa mga larawan:

Ang isa pang paraan na sinasabi nila:

Mayroong isang nakakalito na punto dito. Ano ang "kaugnay" o "sariling" gitnang anggulo? Isang anggulo lang na may vertex sa gitna ng bilog at ang mga dulo sa dulo ng arko? Hindi tiyak sa ganoong paraan. Tingnan mo ang drawing.

Ang isa sa kanila, gayunpaman, ay hindi kahit isang sulok - ito ay mas malaki. Ngunit ang isang tatsulok ay hindi maaaring magkaroon ng higit pang mga anggulo, ngunit ang isang bilog ay maaaring maayos! Kaya: ang mas maliit na arko AB ay tumutugma sa isang mas maliit na anggulo (orange), at ang mas malaking arko ay tumutugma sa isang mas malaki. Ganun lang, di ba?

Ang ugnayan sa pagitan ng magnitude ng inscribed at central angles

Tandaan ang napakahalagang pahayag na ito:

Sa mga aklat-aralin gusto nilang isulat ang parehong katotohanan tulad nito:

Hindi ba totoo na ang pagbabalangkas ay mas simple na may gitnang anggulo?

Ngunit gayon pa man, maghanap tayo ng isang sulat sa pagitan ng dalawang pormulasyon, at sa parehong oras ay matutunang hanapin sa mga guhit ang "kaukulang" gitnang anggulo at ang arko kung saan ang naka-inscribe na anggulo ay "napapahinga".

Tingnan: narito ang isang bilog at may nakasulat na anggulo:

Nasaan ang "katugmang" gitnang anggulo nito?

Tingnan natin muli:

Ano ang tuntunin?

Ngunit! Sa kasong ito, mahalaga na ang mga nakasulat at gitnang anggulo ay "tumingin" sa arko mula sa isang gilid. Halimbawa:

Kakatwa, asul! Dahil mahaba ang arko, mas mahaba sa kalahati ng bilog! Kaya't huwag kailanman malito!

Anong kahihinatnan ang mahihinuha mula sa "kalahati" ng nakasulat na anggulo?

Ngunit, halimbawa:

Anggulo na pinababa ng diameter

Napansin mo na na mahilig makipag-usap ang mga mathematician tungkol sa parehong mga bagay. sa iba't ibang salita? Bakit kailangan nila ito? Nakikita mo, ang wika ng matematika, bagaman pormal, ay buhay, at samakatuwid, tulad ng sa ordinaryong wika, sa bawat oras na nais mong sabihin ito sa paraang mas maginhawa. Buweno, nakita na natin kung ano ang ibig sabihin ng "isang anggulo sa isang arko". At isipin, ang parehong larawan ay tinatawag na "isang anggulo ay nakasalalay sa isang chord." Sa ano? Oo, siyempre, sa isa na humihigpit sa arko na ito!

Kailan mas maginhawang umasa sa isang chord kaysa sa isang arko?

Well, sa partikular, kapag ang chord na ito ay isang diameter.

Mayroong isang nakakagulat na simple, maganda at kapaki-pakinabang na pahayag para sa ganoong sitwasyon!

Tingnan: narito ang bilog, ang diameter at ang anggulo na nakasalalay dito.

BILOG AT INSINALED ANGLE. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

1. Pangunahing konsepto.

3. Mga sukat ng mga arko at anggulo.

Ang anggulo ng radians ay isang gitnang anggulo na ang haba ng arko ay katumbas ng radius ng bilog.

Ito ay isang numero na nagpapahayag ng ratio ng haba ng kalahating bilog sa radius nito.

Ang circumference ng radius ay katumbas ng.

4. Ang ugnayan sa pagitan ng mga halaga ng inscribed at gitnang anggulo.

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa sa isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...

Para saan?

Para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...

Mga taong nakatanggap magandang edukasyon, kumikita ng mas malaki kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at sa huli ay... mas masaya?

AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema laban sa oras.

At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
2. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng aklat-aralin - Bumili ng isang aklat-aralin - 499 RUR

Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa BUONG buhay ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lamang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!