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Wie Sie wissen, addieren sich beim Multiplizieren von Ausdrücken mit Potenzen ihre Exponenten immer (a b * a c = a b + c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet, und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle mit ganzzahligen Indikatoren. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Anwendungsbeispiele für diese Funktion finden sich fast überall dort, wo es darum geht, umständliche Multiplikationen zu einfachen Additionen zu vereinfachen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie Sie damit arbeiten. Einfache und zugängliche Sprache.

Definition in der Mathematik

Der Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus jeder nicht negativen Zahl (d. h. jeder positiven Zahl) „b“ in ihrer Basis „a“ wird als Potenz von „c“ betrachtet. , zu der die Basis "a" erhoben werden muss, damit am Ende der Wert "b" entsteht. Analysieren wir den Logarithmus anhand von Beispielen, sagen wir, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist sehr einfach, Sie müssen einen solchen Abschluss finden, dass Sie von 2 bis zum erforderlichen Abschluss 8 erhalten. Nachdem Sie einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das zu Recht, denn 2 hoch 3 ergibt die Zahl 8 in der Antwort.

Sorten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten scheint dieses Thema kompliziert und unverständlich zu sein, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich an ihre Eigenschaften und einige Regeln zu erinnern. Es gibt drei verschiedene Arten von logarithmischen Ausdrücken:

1. Natürlicher Logarithmus ln a, dessen Basis die Euler-Zahl ist (e = 2,7).
2. Dezimal a, wobei die Basis 10 ist.
3. Der Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf eine standardmäßige Weise gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduzierung und anschließender Reduzierung auf einen Logarithmus unter Verwendung von logarithmischen Theoremen. Um die korrekten Werte von Logarithmen zu erhalten, sollte man sich bei seinen Entscheidungen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regelbeschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie sind nicht diskussionswürdig und wahr. Zum Beispiel ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu teilen, und es ist auch unmöglich, die Wurzel eines geraden Grades aus negativen Zahlen zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

• Basis "a" muss immer sein Über Null, und gleichzeitig ungleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, weil "1" und "0" in jedem Maße immer gleich ihren Werten sind;
• wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass "c" größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wurde die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x \u003d 100 zu finden. Es ist sehr einfach, Sie müssen eine solche Potenz wählen und die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Dies ist natürlich 10 2 \u003d 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun logarithmisch darstellen. Wir erhalten log 10 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen darauf, den Grad zu finden, in dem die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grads genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle umzugehen. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen können, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über eine technische Denkweise und Kenntnisse des Einmaleins verfügen. Allerdings z große Werte Sie brauchen eine Gradtabelle. Es kann sogar von denen verwendet werden, die überhaupt nichts in Komplexen verstehen mathematische Themen. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe ist der Wert der Potenz c, zu der die Zahl a erhoben wird. An der Kreuzung in den Zellen werden die Werte der Zahlen ermittelt, die die Antwort sind (a c = b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, erhalten wir den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der echteste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, wann gewisse Bedingungen Der Exponent ist der Logarithmus. Daher können alle mathematischen Zahlenausdrücke als logarithmische Gleichung geschrieben werden. Zum Beispiel kann 3 4 = 81 als Logarithmus von 81 zur Basis 3 geschrieben werden, was vier ist (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten die gleichen Regeln: 2 -5 = 1/32 schreiben wir als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema "Logarithmen". Wir werden Beispiele und Lösungen von Gleichungen etwas weiter unten betrachten, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Gegeben ist ein Ausdruck folgender Form: log 2 (x-1) > 3 - es handelt sich um eine logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert "x" unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gesuchten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus von 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während beim Lösen der Ungleichung sowohl der Bereich von akzeptable Werte und die Punkte, die diese Funktion brechen. Folglich ist die Antwort keine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Lösung der Gleichung, sondern eine fortlaufende Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Beim Lösen primitiver Aufgaben zum Ermitteln der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später mit Beispielen für Gleichungen vertraut machen, lassen Sie uns zuerst jede Eigenschaft genauer analysieren.

1. Die grundlegende Identität sieht so aus: a logaB =B. Es gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins, und B größer als null ist.
2. Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Außerdem gilt Voraussetzung ist: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Du kannst einen Beweis für diese Logarithmenformel geben, mit Beispielen und einer Lösung. Seien log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2 , dann a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1+f2 (Gradeigenschaften ) und weiter per Definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was zu beweisen war.
3. Der Logarithmus des Quotienten sieht so aus: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Der Satz in Form einer Formel hat folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird "Eigenschaft des Grades des Logarithmus" genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und es ist nicht überraschend, da alle Mathematik auf regelmäßigen Postulaten beruht. Schauen wir uns den Beweis an.

Lassen Sie log a b \u003d t, es stellt sich heraus, dass a t \u003d b. Potenziert man beide Teile mit m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n , also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmusproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie sind in fast allen Aufgabenheften zu finden und gehören auch zum Pflichtteil von Klausuren in Mathematik. Für die Zulassung zur Universität oder das Bestehen Aufnahmeprüfungen in Mathematik muss man wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider ist ein einziger Plan oder Schema zu behandeln und zu bestimmen unbekannter Wert Es gibt keinen Logarithmus, aber jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung kann angewendet werden bestimmte Regeln. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder reduziert werden kann Gesamtansicht. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie bald kennen.

Beim Lösen von logarithmischen Gleichungen muss festgestellt werden, welche Art von Logarithmus wir vor uns haben: Ein Beispiel für einen Ausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass Sie bestimmen müssen, inwieweit die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Für Lösungen natürlicher Logarithmen muss man logarithmische Identitäten bzw. deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Typen an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Anwendung der Hauptsätze auf Logarithmen an.

1. Die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Zerlegung erforderlich ist sehr wichtig Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - wie Sie sehen können, ist es uns mit der vierten Eigenschaft des Grads des Logarithmus gelungen, auf den ersten Blick einen komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Es muss lediglich die Basis faktorisiert werden und anschließend die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus genommen werden.

Aufgaben aus der Klausur

Logarithmen findet man oft in Aufnahmeprüfungen, insbesondere viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabgänger). Normalerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Prüfungsteil der Prüfung), sondern auch in Teil C (den schwierigsten und umfangreichsten Aufgaben) enthalten. Die Prüfung setzt eine genaue und perfekte Kenntnis des Themas "Natürliche Logarithmen" voraus.

Beispiele und Problemlösungen sind amtlichen entnommen USE-Optionen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2 , durch die Definition des Logarithmus erhalten wir, dass 2x-1 = 2 4 , also 2x = 17; x = 8,5.

• Alle Logarithmen werden am besten auf dieselbe Basis reduziert, damit die Lösung nicht umständlich und verwirrend wird.
• Alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus werden als positiv angezeigt. Wenn Sie also den Exponenten des Exponenten des Ausdrucks herausnehmen, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht und als Basis dient, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

Wir studieren weiterhin Logarithmen. In diesem Artikel werden wir darüber sprechen Berechnung von Logarithmen, wird dieser Prozess aufgerufen Logarithmus. Zuerst werden wir uns mit der Berechnung von Logarithmen per Definition befassen. Überlegen Sie als Nächstes, wie die Werte von Logarithmen anhand ihrer Eigenschaften gefunden werden. Danach werden wir uns mit der Berechnung von Logarithmen durch die anfänglich angegebenen Werte anderer Logarithmen befassen. Lassen Sie uns schließlich lernen, wie man Logarithmentabellen verwendet. Die ganze Theorie ist mit Beispielen mit Detaillösungen versehen.

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Berechnung von Logarithmen per Definition

In den einfachsten Fällen ist es möglich, schnell und einfach durchzuführen Suche nach dem Logarithmus per Definition. Schauen wir uns genauer an, wie dieser Prozess abläuft.

Sein Wesen besteht darin, die Zahl b in der Form a c darzustellen, wobei nach der Definition des Logarithmus die Zahl c der Wert des Logarithmus ist. Das heißt, per Definition entspricht das Finden des Logarithmus der folgenden Gleichungskette: log a b=log a a c = c .

Die Berechnung des Logarithmus läuft also per Definition darauf hinaus, eine solche Zahl c zu finden, dass a c \u003d b, und die Zahl c selbst der gewünschte Wert des Logarithmus ist.

Wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus durch einen gewissen Grad der Basis des Logarithmus angegeben wird, können Sie anhand der Informationen der vorherigen Absätze sofort angeben, was der Logarithmus gleich ist - er ist gleich dem Exponenten. Lassen Sie uns Beispiele zeigen.

Beispiel.

Finde log 2 2 −3 und berechne auch den natürlichen Logarithmus von e 5.3 .

Lösung.

Die Definition des Logarithmus lässt uns sofort sagen, dass log 2 2 −3 = −3 . Tatsächlich ist die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus gleich der Basis 2 hoch −3.

Ebenso finden wir den zweiten Logarithmus: lne 5,3 = 5,3.

Antworten:

log 2 2 −3 = −3 und Inne 5,3 =5,3 .

Wenn die Zahl b unter dem Vorzeichen des Logarithmus nicht als Potenz der Basis des Logarithmus angegeben wird, müssen Sie sorgfältig überlegen, ob es möglich ist, die Zahl b in der Form a c darzustellen. Oft ist diese Darstellung ziemlich offensichtlich, besonders wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus gleich der Basis hoch 1 oder 2 oder 3 ist, ...

Beispiel.

Berechnen Sie die Logarithmen log 5 25 , und .

Lösung.

Es ist leicht zu sehen, dass 25=5 2 , damit können Sie den ersten Logarithmus berechnen: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Wir fahren mit der Berechnung des zweiten Logarithmus fort. Eine Zahl kann als Potenz von 7 dargestellt werden: (siehe ggf.). Folglich, .

Schreiben wir den dritten Logarithmus in der folgenden Form um. Jetzt können Sie das sehen , woraus wir schließen . Also durch die Definition des Logarithmus .

Kurz gesagt könnte die Lösung wie folgt geschrieben werden:

Antworten:

log 5 25=2 , und .

Wenn ein ausreichend großer Wert unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht natürliche Zahl, dann schadet es nicht, sie in Primfaktoren zu zerlegen. Oft hilft es, eine solche Zahl als eine Potenz der Basis des Logarithmus darzustellen und diesen Logarithmus daher per Definition zu berechnen.

Beispiel.

Finde den Wert des Logarithmus.

Lösung.

Einige Eigenschaften von Logarithmen ermöglichen es Ihnen, den Wert von Logarithmen sofort anzugeben. Diese Eigenschaften umfassen die Eigenschaft des Logarithmus von eins und die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis: log 1 1=log a a 0 =0 und log a a=log a a 1 =1 . Das heißt, wenn die Zahl 1 oder die Zahl a unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, gleich der Basis des Logarithmus, dann sind in diesen Fällen die Logarithmen 0 bzw. 1.

Beispiel.

Was sind die Logarithmen und lg10 ?

Lösung.

Da folgt aus der Definition des Logarithmus .

Im zweiten Beispiel stimmt die Zahl 10 unter dem Vorzeichen des Logarithmus mit ihrer Basis überein, sodass der Dezimallogarithmus von zehn gleich eins ist, d. h. lg10=lg10 1 =1 .

Antworten:

Und lg10=1 .

Beachten Sie, dass die Berechnung von Logarithmen per Definition (die wir im vorherigen Absatz besprochen haben) die Verwendung des Gleichheitslogs a a p =p impliziert, was eine der Eigenschaften von Logarithmen ist.

Wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und die Basis des Logarithmus in der Praxis leicht als Potenz einer Zahl dargestellt werden können, ist es sehr praktisch, die Formel zu verwenden , was einer der Eigenschaften von Logarithmen entspricht. Betrachten Sie ein Beispiel zum Ermitteln des Logarithmus, das die Verwendung dieser Formel veranschaulicht.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus von .

Lösung.

Antworten:

.

Die oben nicht erwähnten Eigenschaften von Logarithmen werden ebenfalls in der Berechnung verwendet, aber wir werden in den folgenden Abschnitten darauf eingehen.

Finden von Logarithmen in Bezug auf andere bekannte Logarithmen

Die Informationen in diesem Absatz setzen das Thema der Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen in ihrer Berechnung fort. Aber hier besteht der Hauptunterschied darin, dass die Eigenschaften von Logarithmen verwendet werden, um den ursprünglichen Logarithmus durch einen anderen Logarithmus auszudrücken, dessen Wert bekannt ist. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel. Nehmen wir an, wir wissen, dass log 2 3≈1.584963 , dann können wir zum Beispiel log 2 6 finden, indem wir eine kleine Transformation unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus durchführen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Im obigen Beispiel hat es uns gereicht, die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts zu verwenden. Viel häufiger muss man jedoch auf ein breiteres Arsenal an Eigenschaften von Logarithmen zurückgreifen, um den ursprünglichen Logarithmus anhand der gegebenen zu berechnen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus von 27 zur Basis 60, wenn bekannt ist, dass log 60 2=a und log 60 5=b .

Lösung.

Also müssen wir log 60 27 finden. Es ist leicht zu sehen, dass 27 = 3 3 , und der ursprüngliche Logarithmus aufgrund der Eigenschaft des Gradlogarithmus in 3·log 60 3 umgeschrieben werden kann.

Sehen wir uns nun an, wie log 60 3 in bekannten Logarithmen ausgedrückt werden kann. Die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ermöglicht es Ihnen, das Gleichheitsprotokoll 60 60=1 zu schreiben. Andererseits log 60 60=log60(2 2 3 5)= Protokoll 60 2 2 +Protokoll 60 3+Protokoll 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Auf diese Weise, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Folglich, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Schließlich berechnen wir den ursprünglichen Logarithmus: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Antworten:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Unabhängig davon ist die Bedeutung der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus der Form zu erwähnen . Es ermöglicht Ihnen, von Logarithmen mit beliebiger Basis zu Logarithmen mit einer bestimmten Basis zu wechseln, deren Werte bekannt sind oder gefunden werden können. Normalerweise gehen sie vom ursprünglichen Logarithmus gemäß der Übergangsformel zu Logarithmen in einer der Basen 2, e oder 10, da es für diese Basen Logarithmentabellen gibt, die dies ermöglichen einem gewissen Grad Präzision, um ihre Werte zu berechnen. Wie das geht, zeigen wir im nächsten Abschnitt.

Logarithmentafeln, ihre Verwendung

Für eine ungefähre Berechnung der Werte der Logarithmen kann man verwenden Logarithmentabellen. Die am häufigsten verwendeten sind die Basis-2-Logarithmustabelle, die natürliche Logarithmustabelle und die Dezimallogarithmustabelle. Wenn Sie mit dem Dezimalsystem arbeiten, ist es praktisch, eine Tabelle mit Logarithmen zur Basis zehn zu verwenden. Mit seiner Hilfe lernen wir, die Werte von Logarithmen zu finden.

Die vorgestellte Tabelle ermöglicht es, mit einer Genauigkeit von einem Zehntausendstel die Werte der Dezimallogarithmen von Zahlen von 1,000 bis 9,999 (mit drei Dezimalstellen) zu finden. Das Prinzip, den Wert des Logarithmus mithilfe der Tabelle der Dezimallogarithmen zu finden, wird in analysiert konkretes Beispiel- so viel klarer. Lassen Sie uns lg1.256 finden.

In der linken Spalte der Tabelle der Dezimallogarithmen finden wir die ersten beiden Ziffern der Zahl 1,256, also 1,2 (diese Zahl ist zur Verdeutlichung blau eingekreist). Die dritte Ziffer der Zahl 1.256 (Zahl 5) befindet sich in der ersten oder letzten Zeile links vom Doppelstrich (diese Zahl ist rot eingekreist). Die vierte Ziffer der ursprünglichen Zahl 1.256 (Zahl 6) befindet sich in der ersten oder letzten Zeile rechts vom Doppelstrich (diese Zahl ist grün eingekreist). Jetzt finden wir die Zahlen in den Zellen der Logarithmentabelle am Schnittpunkt der markierten Zeile und der markierten Spalten (diese Zahlen sind hervorgehoben Orange). Die Summe der markierten Zahlen ergibt den gesuchten Wert des Dezimallogarithmus bis zur vierten Dezimalstelle, also log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ist es möglich, anhand der obigen Tabelle die Werte der Dezimallogarithmen von Zahlen zu finden, die mehr als drei Nachkommastellen haben und auch die Grenzen von 1 bis 9,999 überschreiten? Ja, du kannst. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das geht.

Lassen Sie uns lg102.76332 berechnen. Zuerst müssen Sie schreiben Nummer in Standardform: 102,76332=1,0276332 10 2 . Danach sollte die Mantisse auf die dritte Dezimalstelle aufgerundet werden, wir haben 1,0276332 10 2 ≈ 1,028 10 2, während der ursprüngliche dezimale Logarithmus ungefähr gleich dem Logarithmus der resultierenden Zahl ist, d. h. wir nehmen lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Wenden Sie nun die Eigenschaften des Logarithmus an: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Schließlich finden wir den Wert des Logarithmus lg1.028 gemäß der Tabelle der Dezimallogarithmen lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Als Ergebnis sieht der gesamte Prozess der Berechnung des Logarithmus wie folgt aus: lg102,76332=lg1,0276332 10 2 ≈ lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Abschließend ist anzumerken, dass Sie mit der Tabelle der Dezimallogarithmen den ungefähren Wert jedes Logarithmus berechnen können. Dazu reicht es aus, die Übergangsformel zu verwenden, um zu Dezimallogarithmen zu gehen, ihre Werte in der Tabelle zu finden und die restlichen Berechnungen durchzuführen.

Berechnen wir zum Beispiel log 2 3 . Nach der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus haben wir . Aus der Tabelle der Dezimallogarithmen finden wir lg3≈0.4771 und lg2≈0.3010. Auf diese Weise, .

Referenzliste.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analyse: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

log a r b r = log a b oder Log ein b= log ein r b r

Der Wert des Logarithmus ändert sich nicht, wenn die Basis des Logarithmus und die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus gleich potenziert werden.

Nur positive Zahlen können unter dem Vorzeichen des Logarithmus stehen, und die Basis des Logarithmus ist nicht gleich eins.

Beispiele.

1) Vergleichen Sie Protokoll 3 9 und Protokoll 9 81.

log 3 9=2 weil 3 2 =9;

log 9 81=2 weil 9 2 =81.

Also log 3 9=log 9 81.

Beachten Sie, dass die Basis des zweiten Logarithmus gleich dem Quadrat der Basis des ersten Logarithmus ist: 9=3 2 , und die Zahl unter dem Vorzeichen des zweiten Logarithmus ist gleich dem Quadrat der Zahl unter dem Vorzeichen des ersten Logarithmus Logarithmus: 81=9 2 . Es stellt sich heraus, dass sowohl die Zahl als auch die Basis des ersten Logarithmus log 3 9 in die zweite Potenz erhoben wurden und sich der Wert des Logarithmus davon nicht geändert hat:

Weiter, seit dem Extrahieren der Wurzel n Grad darunter a ist die Konstruktion einer Zahl a bis zu einem Grad ( 1/n), dann kann log 3 9 aus log 9 81 erhalten werden, indem man die Quadratwurzel der Zahl und die Basis des Logarithmus zieht:

2) Gleichheit prüfen: log 4 25 = log 0,5 0,2.

Betrachten Sie den ersten Logarithmus. Nimm die Quadratwurzel aus der Basis 4 und darunter 25 ; wir erhalten: log 4 25=log 2 5.

Betrachten Sie den zweiten Logarithmus. Basis des Logarithmus: 0,5 = 1/2. Die Zahl unter dem Vorzeichen dieses Logarithmus: 0,2= 1/5. Erhöhen wir jede dieser Zahlen mit der minus ersten Potenz:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Also log 0,5 0,2 = log 2 5. Fazit: Diese Gleichheit ist wahr.

Löse die Gleichung:

log 4 x 4 + log 16 81 = log 2 (5x+2). Wir bringen die Logarithmen von links zur Basis 2 .

log 2 x 2 + log 2 3 = log 2 (5x+2). Wir haben die Quadratwurzel der Zahl und von der Basis des ersten Logarithmus gezogen. Wir haben die vierte Wurzel der Zahl und die Basis des zweiten Logarithmus gezogen.

log2 (3x2)=log2 (5x+2). Wandle die Summe der Logarithmen in den Logarithmus des Produkts um.

3x2=5x+2. Erhalten nach Potenzierung.

3x2-5x-2=0. Wir lösen die quadratische Gleichung mit der allgemeinen Formel für die vollständige quadratische Gleichung:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 echte Wurzeln.

Untersuchung.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81 = log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 + log 2 3 = log 2 12;

log2 (4∙3)=log2 12;

Protokoll 2 12 = Protokoll 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ Log ein b

Logarithmus einer Zahl b aus grund ein gleich dem Produkt eines Bruchs 1/ n zum Logarithmus einer Zahl b aus grund a.

Finden:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 wenn das bekannt ist Protokoll 2 3=b,Protokoll 5 2=c.

Lösung.

Gleichungen lösen:

1) log 2 x + log 4 x + log 16 x = 5,25.

Lösung.

Wir bringen diese Logarithmen zur Basis 2. Wenden Sie die Formel an: log a n b=(1/ n)∙ Log ein b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Hier sind ähnliche Begriffe:

(1 + 0,5 + 0,25) log 2 x = 5,25;

1,75 log 2 x = 5,25 |: 1,75

log 2x=3. Per Definition eines Logarithmus:

2) 0,5 log 4 (x – 2) + log 16 (x – 3) = 0,25.

Lösung. Nehmen Sie den Logarithmus zur Basis 16 zur Basis 4.

0,5 log 4 (x – 2) + 0,5 log 4 (x – 3) = 0,25 |: 0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Wandle die Summe der Logarithmen in den Logarithmus des Produkts um.

log 4 ((x – 2) (x – 3)) = 0,5;

log 4 (x 2 – 2 × – 3 × + 6) = 0,5;

log 4 (x 2 – 5 × + 6) = 0,5. Per Definition eines Logarithmus:

x2-5x+4=0. Nach dem Satz von Vieta:

x 1 = 1; x2=4. Der erste Wert von x funktioniert nicht, da für x \u003d 1 die Logarithmen dieser Gleichheit nicht existieren, weil Nur positive Zahlen können unter dem Vorzeichen des Logarithmus stehen.

Lassen Sie uns diese Gleichung für x=4 überprüfen.

Untersuchung.

0,5 log 4 (4-2) + log 16 (4-3) = 0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logarithmus einer Zahl b aus grund a ist gleich dem Logarithmus der Zahl b auf neuer Basis Mit dividiert durch den Logarithmus der alten Basis a auf neuer Basis Mit.

Beispiele:

1) log2 3=log3/log2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Berechnung:

1) Protokoll 5 7 wenn das bekannt ist lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / Protokoll c a.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Antworten: Protokoll 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) anmelden 5 7 wenn das bekannt ist In7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Lösung. Wende die Formel an: log a b = log c b / Protokoll c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Antworten: Protokoll 5 7≈1,209 1≈1,209 .

x finden:

1) Log 3 x=Log 3 4+Log 5 6/Log 5 3+Log 7 8/Log 7 3.

Wir verwenden die Formel: log c b / Protokoll c ein = Log ein b . Wir bekommen:

log 3 x = log 3 4 + log 3 6 + log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x = log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143 – log 6 11/log 6 10 – log 5 13/log 5 10.

Wir verwenden die Formel: log c b / Protokoll c ein = log a b . Wir bekommen:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x = lg143 – (lg11 + lg13);

log 7 x=log143-log(11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lass es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, mit der \(2\) potenziert werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende "Anatomie":

Das Argument des Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt geschrieben, näher am Vorzeichen des Logarithmus. Und dieser Eintrag wird so gelesen: "der Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis von fünf."

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Um wie viel muss die Basis angehoben werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mit welcher Potenz muss \(4\) potenziert werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das Zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(5)\) potenziert werden, um \(1\) zu erhalten? Und welcher Grad macht eine beliebige Zahl zu einer Einheit? Null natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(7)\) potenziert werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Im ersten - jede Zahl im ersten Grad ist gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mit welcher Potenz muss \(3\) potenziert werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Von wissen wir, dass dies eine gebrochene Potenz ist, und daher ist die Quadratwurzel die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechne den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

Antworten : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich \(x=2\).

Löse nun die Gleichung: \(3^(x)=8\) Wozu ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Genialsten werden sagen: "X ist etwas kleiner als zwei." Wie genau ist diese Zahl zu schreiben? Um diese Frage zu beantworten, haben sie sich den Logarithmus ausgedacht. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass sowohl \(\log_(3)(8)\), als auch Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es in Form schreiben wollten Dezimalbruch, dann würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Löse die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

Antworten : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimal und natürlicher Logarithmus

Wie in der Definition des Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer Eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: Ein Logarithmus, dessen Basis die Euler-Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimaler Logarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt "Basic Logarithmic Identity" und sieht so aus:

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel aussah.

Lass uns erinnern kurze Anmerkung Logarithmus-Definitionen:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir \(\log_(a)(c)\) statt \(b\) in die Formel \(a^(b)=c\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) - die wichtigste logarithmische Identität.

Sie können den Rest der Eigenschaften von Logarithmen finden. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen vereinfachen und berechnen, die sich nur schwer direkt berechnen lassen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antworten : \(25\)

Wie schreibt man eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Auch die Umkehrung gilt: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Zum Beispiel wissen wir, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie statt zwei auch \(\log_(2)(4)\) schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), also kannst du auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben. Ähnlich mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\), usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Daher können wir bei Bedarf die beiden als Logarithmus mit jeder Basis irgendwo schreiben (sogar in einer Gleichung, sogar in einem Ausdruck, sogar in einer Ungleichung) - wir schreiben einfach die Basis zum Quadrat als Argument.

Dasselbe gilt für ein Tripel - es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\), oder als \(\log_(4)( 64) \) ... Hier schreiben wir die Basis in den Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie den Wert eines Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antworten : \(1\)

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