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Die Funktion y=x^2 heißt quadratische Funktion. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Gesamtansicht Die Parabel ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Quadratische Funktion

Abb. 1. Gesamtansicht der Parabel

Wie aus der Grafik ersichtlich ist, ist es symmetrisch zur Oy-Achse. Die Oy-Achse wird als Symmetrieachse der Parabel bezeichnet. Dies bedeutet, dass Sie im Diagramm eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse über dieser Achse zeichnen. Dann schneidet es die Parabel an zwei Punkten. Der Abstand dieser Punkte zur Oy-Achse wird gleich sein.

Die Symmetrieachse teilt den Graphen einer Parabel in zwei Teile. Diese Teile werden Parabeläste genannt. Und der Punkt einer Parabel, der auf der Symmetrieachse liegt, wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet. Das heißt, die Symmetrieachse verläuft durch den Scheitelpunkt der Parabel. Die Koordinaten dieses Punktes sind (0;0).

Grundlegende Eigenschaften einer quadratischen Funktion

1. Bei x =0, y=0 und y>0 bei x0

2. Die quadratische Funktion erreicht an ihrem Scheitelpunkt ihren Minimalwert. Ymin bei x=0; Außerdem ist zu beachten, dass die Funktion keinen Maximalwert hat.

3. Die Funktion nimmt im Intervall (-∞;0] ab und nimmt im Intervall zu; Ungleichung A<X<B – Intervall und wird mit () bezeichnet; Ungleichheiten und - Halbintervalle und werden jeweils mit und bezeichnet. Oft muss man sich auch mit unendlichen Intervallen und Halbintervallen befassen: , , , und . Es ist praktisch, sie alle anzurufen in Abständen .

Intervall, d.h. Menge von Punkten, die die Ungleichung erfüllen (wobei ), heißt die -Nachbarschaft des Punktes A.

Der Funktionsbegriff. Grundlegende Eigenschaften einer Funktion

Wenn jedes Element X Sätze X ein einzelnes Element wird abgeglichen j Sätze Y, dann sagen sie das am Set X gegeben Funktion j=F(X). Gleichzeitig X angerufen unabhängige Variable oder Argument, A j – abhängige Variable oder Funktion, A F bezeichnet das Gesetz der Korrespondenz. Viele X angerufen Definitionsbereich Funktionen und eine Menge Y – Wertebereich Funktionen.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Funktionen anzugeben.

1) Analytische Methode – die Funktion wird durch eine Formel der Form gegeben j=F(X).

2) Tabellarische Methode – die Funktion wird durch eine Tabelle spezifiziert, die die Argumentwerte und die entsprechenden Funktionswerte enthält j=F(X).

3) Grafische Methode – Darstellung eines Graphen einer Funktion, d.h. Menge von Punkten ( X; j) Koordinatenebene, deren Abszissen die Werte des Arguments und deren Ordinaten die entsprechenden Werte der Funktion darstellen j=F(X).

4) Verbale Methode – eine Funktion wird durch die Regel für ihre Zusammensetzung beschrieben. Beispielsweise nimmt die Dirichlet-Funktion den Wert 1 an, wenn X ist eine rationale Zahl und 0, wenn X– irrationale Zahl.

Folgende Haupteigenschaften von Funktionen werden unterschieden.

1 Gerade und ungerade Funktion j=F(X) heißt sogar, wenn für irgendwelche Werte X aus seinem Definitionsbereich erfüllt ist F(–X)=F(X), Und seltsam, Wenn F(–X)=–F(X). Wenn keine der aufgeführten Gleichheiten erfüllt ist, dann j=F(X) heißt allgemeine Funktion. Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Achse Oy, und der Graph der ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

2 Monotonie Funktion j=F(X) heißt zunehmend (abnehmend) auf dem Intervall X, Wenn höherer Wert ein Argument aus diesem Intervall entspricht einem größeren (kleineren) Wert der Funktion. Lassen X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1. Dann nimmt die Funktion im Intervall zu X, Wenn F(X 2)>F(X 1) und verringert sich, wenn F(X 2)<F(X 1).

Neben steigenden und fallenden Funktionen werden auch nicht fallende und nicht steigende Funktionen berücksichtigt. Die Funktion wird aufgerufen nicht abnehmend (nicht zunehmend), wenn bei X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1 Ungleichung gilt F(X 2)≥F(X 1) (F(X 2)≤F(X 1)).

Steigende und fallende Funktionen sowie nicht steigende und nicht fallende Funktionen werden als monoton bezeichnet.

3 Begrenzt Funktion j=F(X) heißt auf dem Intervall beschränkt X, wenn es eine solche positive Zahl gibt M>0, was | F(X)|≤M für jeden XÎ X. Andernfalls heißt die Funktion unbeschränkt X.

4 Frequenz Funktion j=F(X) heißt periodisch mit Punkt T≠0, falls vorhanden X aus dem Bereich der Funktion F(X+T)=F(X). Im Folgenden meinen wir mit der Periode die kleinste positiver Zeitraum Funktionen.

Die Funktion wird aufgerufen explizit, wenn es durch eine Formel der Form gegeben ist j=F(X). Wenn die Funktion durch die Gleichung gegeben ist F(X, j)=0, relativ zur abhängigen Variablen nicht zulässig j, dann heißt es implizit.

Lassen j=F(X) ist eine Funktion der auf der Menge definierten unabhängigen Variablen X mit Reichweite Y. Lassen Sie uns jeden einzelnen zuordnen jÎ Y einzige Bedeutung XÎ X, bei dem F(X)=j.Dann die resultierende Funktion X=φ (j), auf dem Set definiert Y mit Reichweite X, angerufen umkehren und ist bezeichnet j=F –1 (X). Die Graphen zueinander inverser Funktionen sind symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Koordinatenviertels.

Lassen Sie die Funktion j=F(u) ist eine Funktion einer Variablen u, am Set definiert U mit Reichweite Y, und die Variable u wiederum ist eine Funktion u=φ (X), auf dem Set definiert X mit Reichweite U. Dann am Set gegeben X Funktion j=F(φ (X)) heißt komplexe Funktion(Zusammensetzung von Funktionen, Überlagerung von Funktionen, Funktion einer Funktion).

Elementare Funktionen

Zu den wichtigsten Elementarfunktionen gehören:

• Power-Funktion j=x n; j=x–n Und j=X 1/ N;
• Exponentialfunktion j=ein x;
• logarithmische Funktion j=log ein x;
• trigonometrische Funktionen j=Sünde X, j=cos X, j=tg X Und j=ctg X;
• inverse trigonometrische Funktionen j= Arcsin X, j=arccos X, j=arctg X Und j=arcctg X.

Aus den Grundelementarfunktionen können durch algebraische Operationen und Überlagerung von Funktionen neue Funktionen gewonnen werden.

Es werden Funktionen aufgerufen, die aus grundlegenden Elementarfunktionen unter Verwendung einer endlichen Anzahl algebraischer Operationen und einer endlichen Anzahl von Superpositionsoperationen aufgebaut sind elementar.

Algebraisch ist eine Funktion, bei der eine endliche Anzahl algebraischer Operationen für das Argument ausgeführt wird. Zu den algebraischen Funktionen gehören:

· eine ganze rationale Funktion (Polynom oder Polynom)

· gebrochenrationale Funktion (Verhältnis zweier Polynome)

· Irrationale Funktion (wenn die Operationen am Argument das Extrahieren der Wurzel beinhalten).

Jede nicht-algebraische Funktion wird aufgerufen transzendental. Zu den transzendenten Funktionen gehören exponentielle, logarithmische, trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen.

Funktionsnullstellen
Der Nullpunkt einer Funktion ist der Wert X, bei dem die Funktion zu 0 wird, d. h. f(x)=0.

Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Achse Oh.

Funktionsparität
Eine Funktion wird auch dann aufgerufen, wenn sie für welche gilt X Aus dem Definitionsbereich gilt die Gleichheit f(-x) = f(x).

Eine gerade Funktion ist symmetrisch zur Achse Oh

Ungerade Paritätsfunktion
Eine Funktion heißt ungerade wenn überhaupt X Aus dem Definitionsbereich gilt die Gleichheit f(-x) = -f(x).

Eine ungerade Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.
Eine Funktion, die weder gerade noch ungerade ist, wird als allgemeine Funktion bezeichnet.

Zunehmende Funktion
Eine Funktion f(x) heißt steigend, wenn ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion entspricht, d. h.

Absteigende Funktion
Eine Funktion f(x) heißt abnehmend, wenn ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion entspricht, d. h.

Es werden Intervalle aufgerufen, über die die Funktion entweder nur abnimmt oder nur zunimmt Intervalle der Monotonie. Die Funktion f(x) hat 3 Intervalle der Monotonie:

Finden Sie Intervalle der Monotonie mit dem Dienst Intervalle steigender und fallender Funktion

Lokales Maximum
Punkt x 0 wird als lokaler Maximalpunkt bezeichnet, wenn überhaupt X aus der Nähe eines Punktes x 0 Es gilt die Ungleichung: f(x 0) > f(x)

Lokales Minimum
Punkt x 0 wird als lokaler Minimalpunkt bezeichnet, wenn überhaupt X aus der Nähe eines Punktes x 0 Ungleichung gilt: f(x 0)< f(x).

Lokale Maximalpunkte und lokale Minimalpunkte werden lokale Extrempunkte genannt.

lokale Extrempunkte.

Funktionsfrequenz
Die Funktion f(x) heißt periodisch, mit einem Punkt T, wenn überhaupt X es gilt die Gleichung f(x+T) = f(x).

Intervalle der Vorzeichenkonstanz
Intervalle, in denen die Funktion entweder nur positiv oder nur negativ ist, werden Intervalle mit konstantem Vorzeichen genannt.

Kontinuität der Funktion
Eine Funktion f(x) heißt stetig an einem Punkt x 0, wenn der Grenzwert der Funktion als x → x 0 gleich dem Wert der Funktion an diesem Punkt ist, d.h. .

Haltepunkte
Die Punkte, an denen die Kontinuitätsbedingung verletzt wird, werden Funktionsunterbrechungspunkte genannt.

x 0- Bruchpunkt.

Allgemeines Schema zum Zeichnen von Funktionen

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion D(y).

2. Finden Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.

3. Untersuchen Sie die Funktion auf gerade oder ungerade.

4. Untersuchen Sie die Funktion auf Periodizität.

5. Finden Sie Monotonieintervalle und Extrempunkte der Funktion.

6. Finden Sie die Konvexitätsintervalle und Wendepunkte der Funktion.

7. Finden Sie die Asymptoten der Funktion.

8. Erstellen Sie basierend auf den Forschungsergebnissen ein Diagramm.

Beispiel: Erkunden Sie die Funktion und zeichnen Sie sie grafisch auf: y = x 3 – 3x

1) Die Funktion ist auf der gesamten numerischen Achse definiert, d. h. ihr Definitionsbereich ist D(y) = (-∞; +∞).

2) Finden Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

mit der OX-Achse: Lösen Sie die Gleichung x 3 – 3x = 0

mit OY-Achse: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Finden Sie heraus, ob die Funktion gerade oder ungerade ist:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Daraus folgt, dass die Funktion ungerade ist.

4) Die Funktion ist nichtperiodisch.

5) Finden wir die Monotonieintervalle und Extrempunkte der Funktion: y’ = 3x 2 - 3.

Kritische Punkte: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Finden Sie die Konvexitätsintervalle und Wendepunkte der Funktion: y'' = 6x

Kritische Punkte: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Die Funktion ist stetig, sie hat keine Asymptoten.

8) Basierend auf den Ergebnissen der Studie erstellen wir einen Graphen der Funktion.

Der Abschnitt enthält Referenzmaterial zu den wichtigsten Elementarfunktionen und ihren Eigenschaften. Es wird eine Klassifizierung elementarer Funktionen gegeben. Unten finden Sie Links zu Unterabschnitten, in denen die Eigenschaften bestimmter Funktionen besprochen werden – Graphen, Formeln, Ableitungen, Stammfunktionen (Integrale), Reihenentwicklungen, Ausdrücke durch komplexe Variablen.

Referenzseiten für Grundfunktionen

Klassifizierung elementarer Funktionen

Algebraische Funktion ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt:
,
wobei ein Polynom in der abhängigen Variablen y und der unabhängigen Variablen x ist.
,
Es kann wie folgt geschrieben werden:

Wo sind Polynome?

Algebraische Funktionen werden in Polynome (vollständige rationale Funktionen), rationale Funktionen und irrationale Funktionen unterteilt. Ganze rationale Funktion , was auch genannt wird oder Polynom Polynom
.

, wird aus der Variablen x und einer endlichen Anzahl von Zahlen durch die Rechenoperationen Addition (Subtraktion) und Multiplikation gewonnen. Nach dem Öffnen der Klammern wird das Polynom auf die kanonische Form reduziert: Bruchrationale Funktion , oder einfach rationale Funktion
,
, wird aus der Variablen x und einer endlichen Anzahl von Zahlen durch die Rechenoperationen Addition (Subtraktion), Multiplikation und Division gewonnen. Die rationale Funktion lässt sich auf die Form reduzieren

wobei und Polynome sind. Irrationale Funktion
.
ist eine algebraische Funktion, die nicht rational ist. Unter einer irrationalen Funktion werden in der Regel Wurzeln und deren Zusammensetzungen mit rationalen Funktionen verstanden. Als Lösung der Gleichung wird eine Wurzel vom Grad n definiert
.

Es wird wie folgt bezeichnet: Transzendentale Funktionen

werden nichtalgebraische Funktionen genannt. Dies sind exponentielle, trigonometrische, hyperbolische und ihre Umkehrfunktionen.

Übersicht über grundlegende Elementarfunktionen Alle elementare Funktionen
kann als endliche Anzahl von Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsoperationen dargestellt werden, die an einem Ausdruck der Form ausgeführt werden:
z t .

Umkehrfunktionen können auch durch Logarithmen ausgedrückt werden. Nachfolgend sind die grundlegenden Elementarfunktionen aufgeführt.
Leistungsfunktion:
y(x) = x p ,
wobei p der Exponent ist. Es kommt auf die Basis des Grades x an.
.
Die Umkehrung der Potenzfunktion ist auch die Potenzfunktion: Für einen ganzzahligen, nicht negativen Wert des Exponenten p handelt es sich um ein Polynom. Für einen ganzzahligen Wert p - eine rationale Funktion. Bei rationale Bedeutung

- irrationale Funktion.

Transzendentale Funktionen
Exponentialfunktion:
y(x) = a x ,
wobei a die Basis des Grades ist. Es kommt auf den Exponenten x an.
Die Umkehrfunktion ist der Logarithmus zur Basis von a: x =.

log ein y
Exponent, e hoch x:
y(x) = e x ,
.
Dies ist eine Exponentialfunktion, deren Ableitung gleich der Funktion selbst ist:
≈ 2,718281828459045... .
Die Basis des Exponenten ist die Zahl e:
Die Umkehrfunktion ist der Logarithmus zur Basis von a: Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus – der Logarithmus zur Basis der Zahl e:.

ln y ≡ log e y
Trigonometrische Funktionen:
Sinus: ;
Kosinus: ;
Tangente: ;
Hier ist i die imaginäre Einheit, i 2 = -1.

Inverse trigonometrische Funktionen:
Arkussinus: x = arcsin y, ;
Arkuskosinus: x = arccos y, ;
Arkustangens: x = arctan y, ;
Arcustangens: x = arcctg y, .

1) Funktionsbereich und Funktionsumfang.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller gültigen Argumentwerte X(Variable X), für die die Funktion y = f(x) bestimmt. Der Bereich einer Funktion ist die Menge aller reellen Werte j, was die Funktion akzeptiert.

In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen untersucht.

2) Funktionsnullstellen.

Funktion Null ist Argumentwert, bei dem der Wert der Funktion gleich Null ist.

3) Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion.

Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion sind Mengen von Argumentwerten, bei denen die Funktionswerte nur positiv oder nur negativ sind.

4) Monotonie der Funktion.

Eine steigende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem größeren Wert der Funktion entspricht.

Eine abnehmende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem kleineren Wert der Funktion entspricht.

5) Gerade (ungerade) Funktion.

Eine gerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist X aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(-x) = f(x).

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Ordinate. X Eine ungerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist Aus dem Definitionsbereich ist die Gleichheit wahr f(-x) = - f(x

)..

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

6) Begrenzte und unbegrenzte Funktionen.

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl M mit |f(x)| gibt ≤ M für alle Werte von x. Existiert eine solche Zahl nicht, ist die Funktion unbegrenzt.

7) Periodizität der Funktion

Eine Funktion f(x) ist periodisch, wenn es eine Zahl T ungleich Null gibt, so dass für jedes x aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt: f(x+T) = f(x). Diese kleinste Zahl wird als Periode der Funktion bezeichnet. Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch. (Trigonometrische Formeln).

19. Grundlegende Elementarfunktionen, ihre Eigenschaften und Graphen. Anwendung von Funktionen in der Wirtschaftswissenschaft.

Grundlegende Elementarfunktionen. Ihre Eigenschaften und Diagramme heißt eine Funktion der Form , wobei x eine Variable ist, a und b reelle Zahlen sind.

Nummer A angerufen Neigung Gerade, sie ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels dieser Geraden zur positiven Richtung der Abszissenachse. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Es wird durch zwei Punkte definiert.

Eigenschaften einer linearen Funktion

1. Definitionsbereich – die Menge aller reellen Zahlen: D(y)=R

2. Die Wertemenge ist die Menge aller reellen Zahlen: E(y)=R

3. Die Funktion nimmt einen Nullwert an, wenn oder.

4. Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu (ab).

5. Eine lineare Funktion ist über den gesamten Definitionsbereich stetig, differenzierbar und .

2. Quadratische Funktion.

Eine Funktion der Form, wobei x eine Variable ist und die Koeffizienten a, b, c reelle Zahlen sind, heißt quadratisch