Neste artigo examinaremos mais de perto o conceito de produto vetorial de dois vetores. Daremos as definições necessárias, escreveremos uma fórmula para encontrar as coordenadas de um produto vetorial, listaremos e justificaremos suas propriedades. Depois disso, nos deteremos no significado geométrico do produto vetorial de dois vetores e consideraremos soluções para vários exemplos típicos.

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Definição de produto vetorial.

Antes de definir um produto vetorial, vamos entender a orientação de uma tripla ordenada de vetores no espaço tridimensional.

Vamos traçar os vetores a partir de um ponto. Dependendo da direção do vetor, os três podem estar à direita ou à esquerda. Vejamos, a partir do final do vetor, como é a curva mais curta do vetor para . Se a rotação mais curta ocorre no sentido anti-horário, então o triplo dos vetores é chamado certo, de outra forma - esquerda.

Agora vamos pegar dois vetores não colineares e. Vamos traçar os vetores e do ponto A. Vamos construir algum vetor perpendicular a e e . Obviamente, ao construir um vetor, podemos fazer duas coisas, dando-lhe uma direção ou a oposta (ver ilustração).

Dependendo da direção do vetor, o trio ordenado de vetores pode ser destro ou canhoto.

Isso nos aproxima da definição de produto vetorial. É dado para dois vetores definidos em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional.

Definição.

O produto vetorial de dois vetores e , especificado em um sistema de coordenadas retangulares do espaço tridimensional, é chamado de vetor tal que

O produto vetorial de vetores e é denotado como.

Coordenadas do produto vetorial.

Agora daremos a segunda definição de produto vetorial, que permite encontrar suas coordenadas a partir das coordenadas de determinados vetores e.

Definição.

Em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional produto vetorial de dois vetores E é um vetor, onde estão os vetores coordenados.

Esta definição nos dá o produto vetorial na forma de coordenadas.

É conveniente representar o produto vetorial como o determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem, cuja primeira linha são os vetores, a segunda linha contém as coordenadas do vetor e a terceira contém as coordenadas do vetor em um determinado sistema de coordenadas retangulares:

Se expandirmos este determinante nos elementos da primeira linha, obtemos a igualdade a partir da definição do produto vetorial em coordenadas (se necessário, consulte o artigo):

Deve-se notar que a forma das coordenadas do produto vetorial é totalmente consistente com a definição dada no primeiro parágrafo deste artigo. Além disso, estas duas definições de produto vetorial são equivalentes. Você pode ver a prova desse fato no livro listado no final do artigo.

Propriedades de um produto vetorial.

Como o produto vetorial em coordenadas pode ser representado como um determinante da matriz, o seguinte pode ser facilmente justificado com base propriedades do produto vetorial:

Como exemplo, vamos provar a propriedade anticomutativa de um produto vetorial.

Priorado A E . Sabemos que o valor do determinante de uma matriz é invertido se duas linhas forem trocadas, portanto, , o que prova a propriedade anticomutativa de um produto vetorial.

Produto vetorial - exemplos e soluções.

Existem basicamente três tipos de problemas.

Nos problemas do primeiro tipo, são dados os comprimentos de dois vetores e o ângulo entre eles, e é necessário encontrar o comprimento do produto vetorial. Neste caso, a fórmula é usada .

Exemplo.

Encontre o comprimento do produto vetorial dos vetores e, se conhecido .

Solução.

Sabemos pela definição que o comprimento do produto vetorial dos vetores e é igual ao produto dos comprimentos dos vetores e pelo seno do ângulo entre eles, portanto, .

Responder:

.

Problemas do segundo tipo estão relacionados às coordenadas de vetores, em que se busca o produto vetorial, seu comprimento ou qualquer outra coisa através das coordenadas de determinados vetores E .

Existem muitas opções diferentes possíveis aqui. Por exemplo, não as coordenadas dos vetores e podem ser especificadas, mas suas expansões em vetores coordenados da forma e , ou vetores e podem ser especificados pelas coordenadas de seus pontos inicial e final.

Vejamos exemplos típicos.

Exemplo.

Dois vetores são dados em um sistema de coordenadas retangular . Encontre seu produto vetorial.

Solução.

De acordo com a segunda definição, o produto vetorial de dois vetores em coordenadas é escrito como:

Teríamos chegado ao mesmo resultado se o produto vetorial tivesse sido escrito em termos do determinante

Responder:

.

Exemplo.

Encontre o comprimento do produto vetorial dos vetores e , onde estão os vetores unitários do sistema de coordenadas cartesianas retangulares.

Solução.

Primeiro encontramos as coordenadas do produto vetorial em um determinado sistema de coordenadas retangulares.

Como os vetores e têm coordenadas e, respectivamente (se necessário, veja as coordenadas do artigo de um vetor em um sistema de coordenadas retangulares), então pela segunda definição de um produto vetorial temos

Ou seja, o produto vetorial tem coordenadas em um determinado sistema de coordenadas.

Encontramos o comprimento de um produto vetorial como a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas (obtivemos esta fórmula para o comprimento de um vetor na seção sobre como encontrar o comprimento de um vetor):

Responder:

.

Exemplo.

Em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, são fornecidas as coordenadas de três pontos. Encontre algum vetor que seja perpendicular e ao mesmo tempo.

Solução.

Vetores e possuem coordenadas e respectivamente (veja o artigo encontrando as coordenadas de um vetor através das coordenadas dos pontos). Se encontrarmos o produto vetorial dos vetores e, então, por definição, é um vetor perpendicular a e a, ou seja, é uma solução para o nosso problema. Vamos encontrá-lo

Responder:

- um dos vetores perpendiculares.

Nos problemas do terceiro tipo, é testada a habilidade de usar as propriedades do produto vetorial de vetores. Após aplicar as propriedades, as fórmulas correspondentes são aplicadas.

Exemplo.

Os vetores e são perpendiculares e seus comprimentos são 3 e 4, respectivamente. Encontre o comprimento do produto vetorial .

Solução.

Pela propriedade distributiva de um produto vetorial, podemos escrever

Devido à propriedade combinacional, retiramos os coeficientes numéricos do sinal dos produtos vetoriais na última expressão:

Os produtos vetoriais e são iguais a zero, pois E , Então .

Como o produto vetorial é anticomutativo, então.

Então, usando as propriedades do produto vetorial, chegamos à igualdade .

Por condição, os vetores e são perpendiculares, ou seja, o ângulo entre eles é igual a . Ou seja, temos todos os dados para encontrar o comprimento necessário

Responder:

.

Significado geométrico de um produto vetorial.

Por definição, o comprimento do produto vetorial de vetores é igual a . E no curso de geometria do ensino médio sabemos que a área de um triângulo é igual à metade do produto dos comprimentos dos dois lados do triângulo e o seno do ângulo entre eles. Consequentemente, o comprimento do produto vetorial é igual ao dobro da área de um triângulo cujos lados são os vetores e , se forem plotados a partir de um ponto. Em outras palavras, o comprimento do produto vetorial dos vetores e é igual à área de um paralelogramo com lados e e o ângulo entre eles é igual a . Este é o significado geométrico do produto vetorial.

PRODUTO MISTURADO DE TRÊS VETORES E SUAS PROPRIEDADES

Trabalho misto três vetores é chamado de número igual a . Designada . Aqui, os dois primeiros vetores são multiplicados vetorialmente e então o vetor resultante é multiplicado escalarmente pelo terceiro vetor. Obviamente, tal produto é um certo número.

Consideremos as propriedades de um produto misto.

1. Significado geométrico trabalho misto. O produto misto de 3 vetores, até um sinal, é igual ao volume do paralelepípedo construído sobre esses vetores, como nas arestas, ou seja, .

   Assim, e .

   

   Prova. Vamos separar os vetores da origem comum e construir um paralelepípedo sobre eles. Vamos denotar e observar isso. Por definição do produto escalar

   Supondo isso e denotando por h encontre a altura do paralelepípedo.

   Assim, quando

   Se, então então. Por isso, .

   Combinando esses dois casos, obtemos ou.

   Da prova desta propriedade, em particular, segue-se que se o triplo dos vetores for destro, então o produto misto é, e se for canhoto, então.

2. Para quaisquer vetores , , a igualdade é verdadeira

   A prova desta propriedade segue da Propriedade 1. Na verdade, é fácil mostrar isso e. Além disso, os sinais “+” e “–” são tomados simultaneamente, porque os ângulos entre os vetores e e e são agudos e obtusos.

3. Quando quaisquer dois fatores são reorganizados, o produto misto muda de sinal.

   Na verdade, se considerarmos um produto misto, então, por exemplo, ou

4. Um produto misto se e somente se um dos fatores for igual a zero ou os vetores forem coplanares.

   Prova.

   Assim, uma condição necessária e suficiente para a coplanaridade de 3 vetores é que seu produto misto seja igual a zero. Além disso, segue-se que três vetores formam uma base no espaço se.

   Se os vetores forem dados na forma de coordenadas, então pode-se mostrar que seu produto misto é encontrado pela fórmula:

   .

   Assim, o produto misto é igual ao determinante de terceira ordem, que possui as coordenadas do primeiro vetor na primeira linha, as coordenadas do segundo vetor na segunda linha e as coordenadas do terceiro vetor na terceira linha.

   Exemplos.

GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO

A equação F(x, y, z)= 0 define no espaço Oxyz alguma superfície, ou seja, lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas x, y, z satisfaça esta equação. Esta equação é chamada de equação de superfície, e x, y, z– coordenadas atuais.

Porém, muitas vezes a superfície não é dada por uma equação, mas como um conjunto de pontos no espaço que possuem uma ou outra propriedade. Neste caso, é necessário encontrar a equação da superfície com base em suas propriedades geométricas.

AVIÃO.

VETOR PLANO NORMAL.

EQUAÇÃO DE UM AVIÃO PASSANDO POR UM PONTO DADO

Consideremos um plano arbitrário σ no espaço. Sua posição é determinada especificando um vetor perpendicular a este plano e algum ponto fixo M0(x0, e 0, z 0), situado no plano σ.

O vetor perpendicular ao plano σ é chamado normal vetor deste plano. Deixe o vetor ter coordenadas.

Vamos derivar a equação do plano σ passando por este ponto M0 e tendo um vetor normal. Para fazer isso, tome um ponto arbitrário no plano σ M(x, y, z) e considere o vetor .

Para qualquer ponto MО σ é um vetor Portanto, seu produto escalar é igual a zero. Esta igualdade é a condição de que o ponto M O σ. É válido para todos os pontos deste plano e é violado assim que o ponto M estará fora do plano σ.

Se denotarmos os pontos pelo vetor raio M, – vetor raio do ponto M0, então a equação pode ser escrita na forma

Esta equação é chamada vetor equação plana. Vamos escrevê-lo em forma de coordenadas. Desde então

Assim, obtivemos a equação do plano que passa por este ponto. Assim, para criar uma equação de um plano, é necessário conhecer as coordenadas do vetor normal e as coordenadas de algum ponto do plano.

Observe que a equação do plano é uma equação de 1º grau em relação às coordenadas atuais x, você E z.

Exemplos.

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Pode-se mostrar que qualquer equação de primeiro grau em relação às coordenadas cartesianas x, y, z representa a equação de um determinado plano. Esta equação é escrita como:

Machado+Por+Cz+D=0

e é chamado equação geral plano e as coordenadas A, B, C aqui estão as coordenadas do vetor normal do plano.

Consideremos casos especiais da equação geral. Vamos descobrir como o plano está localizado em relação ao sistema de coordenadas se um ou mais coeficientes da equação se tornarem zero.

A é o comprimento do segmento cortado pelo plano no eixo Boi. Da mesma forma, pode-se mostrar que b E c– comprimentos de segmentos cortados pelo plano em consideração nos eixos Oi E onça.

É conveniente usar a equação de um plano em segmentos para construir planos.

Nesta lição veremos mais duas operações com vetores: produto vetorial de vetores E produto misto de vetores (link imediato para quem precisar). Tudo bem, às vezes acontece que para a felicidade completa, além de produto escalar de vetores, são necessários cada vez mais. Isso é vício em vetores. Pode parecer que estamos entrando na selva da geometria analítica. Isto está errado. Nesta seção de matemática superior geralmente há pouca madeira, exceto talvez o suficiente para Pinóquio. Na verdade, o material é muito comum e simples - pouco mais complicado que o mesmo produto escalar, haverá ainda menos tarefas típicas. O principal na geometria analítica, como muitos estarão convencidos ou já o fizeram, é NÃO COMETER ERROS NOS CÁLCULOS. Repita como um feitiço e você ficará feliz =)

Se os vetores brilharem em algum lugar distante, como um raio no horizonte, não importa, comece com a lição Vetores para manequins restaurar ou readquirir conhecimentos básicos sobre vetores. Leitores mais preparados podem conhecer as informações de forma seletiva. Procurei coletar a mais completa coleção de exemplos que costumam ser encontrados em trabalhos práticos;

O que vai te deixar feliz imediatamente? Quando eu era pequeno, conseguia fazer malabarismos com duas e até três bolas. Funcionou bem. Agora você não terá que fazer malabarismos, pois consideraremos apenas vetores espaciais, e vetores planos com duas coordenadas serão deixados de fora. Por que? Foi assim que nasceram essas ações - o vetor e o produto misto de vetores são definidos e funcionam no espaço tridimensional. Já é mais fácil!

Esta operação, assim como o produto escalar, envolve dois vetores. Que sejam letras imperecíveis.

A ação em si denotado por Da seguinte maneira: . Existem outras opções, mas estou acostumado a denotar o produto vetorial de vetores desta forma, entre colchetes e uma cruz.

E imediatamente pergunta: se em produto escalar de vetores dois vetores estão envolvidos, e aqui dois vetores também são multiplicados, então Qual é a diferença? A diferença óbvia está, antes de tudo, no RESULTADO:

O resultado do produto escalar de vetores é NÚMERO:

O resultado do produto vetorial de vetores é VETOR: , ou seja, multiplicamos os vetores e obtemos um vetor novamente. Clube fechado. Na verdade, é daí que vem o nome da operação. Em diferentes literaturas educacionais, as designações também podem variar;

Definição de produto vetorial

Primeiro haverá uma definição com uma imagem, depois comentários.

Definição: Produto vetorial não colinear vetores, tomado nesta ordem, chamado VETOR, comprimento que é numericamente igual à área do paralelogramo, construído sobre esses vetores; vetor ortogonal a vetores, e é direcionado para que a base tenha uma orientação correta:

Vamos detalhar a definição, tem muita coisa interessante aqui!

Assim, os seguintes pontos significativos podem ser destacados:

1) Os vetores originais, indicados por setas vermelhas, por definição não colinear. Será apropriado considerar o caso dos vetores colineares um pouco mais tarde.

2) Vetores são obtidos em uma ordem estritamente definida: – "a" é multiplicado por "ser", não “ser” com “a”. O resultado da multiplicação vetorialé VETOR, que é indicado em azul. Se os vetores forem multiplicados na ordem inversa, obtemos um vetor de comprimento igual e direção oposta (cor framboesa). Ou seja, a igualdade é verdadeira .

3) Agora vamos conhecer o significado geométrico do produto vetorial. Este é um ponto muito importante! O COMPRIMENTO do vetor azul (e, portanto, do vetor carmesim) é numericamente igual à ÁREA do paralelogramo construído sobre os vetores. Na figura, este paralelogramo está sombreado em preto.

Observação : o desenho é esquemático e, naturalmente, o comprimento nominal do produto vetorial não é igual à área do paralelogramo.

Lembremos uma das fórmulas geométricas: A área de um paralelogramo é igual ao produto dos lados adjacentes pelo seno do ângulo entre eles. Portanto, com base no exposto, a fórmula para calcular o COMPRIMENTO de um produto vetorial é válida:

Enfatizo que a fórmula trata do COMPRIMENTO do vetor, e não do vetor em si. Qual é o significado prático? E o significado é que em problemas de geometria analítica, a área de um paralelogramo é frequentemente encontrada através do conceito de produto vetorial:

Obtenhamos a segunda fórmula importante. A diagonal de um paralelogramo (linha pontilhada vermelha) o divide em dois triângulos iguais. Portanto, a área de um triângulo construído sobre vetores (sombreamento vermelho) pode ser encontrada pela fórmula:

4) Um fato igualmente importante é que o vetor é ortogonal aos vetores, ou seja . É claro que o vetor de direção oposta (seta framboesa) também é ortogonal aos vetores originais.

5) O vetor é direcionado de modo que base Tem certo orientação. Na lição sobre transição para uma nova base Falei com detalhes suficientes sobre orientação plana, e agora vamos descobrir o que é orientação espacial. Vou explicar nos seus dedos mão direita. Combine mentalmente dedo indicador com vetor e dedo do meio com vetor. Dedo anelar e dedo mínimo pressione-o na palma da mão. Como resultado dedão– o produto vetorial aparecerá. Esta é uma base orientada para a direita (é esta na figura). Agora mude os vetores ( dedos indicador e médio) em alguns lugares, como resultado, o polegar girará e o produto vetorial já estará voltado para baixo. Esta também é uma base orientada para a direita. Você pode ter uma dúvida: qual base saiu da orientação? “Atribuir” aos mesmos dedos mão esquerda vetores e obter a base esquerda e a orientação esquerda do espaço (neste caso, o polegar estará localizado na direção do vetor inferior). Falando figurativamente, essas bases “torcem” ou orientam o espaço em diferentes direções. E esse conceito não deve ser considerado algo rebuscado ou abstrato - por exemplo, a orientação do espaço é alterada pelo espelho mais comum, e se você “puxar o objeto refletido para fora do espelho”, então no caso geral é não será possível combiná-lo com o “original”. A propósito, coloque três dedos no espelho e analise o reflexo ;-)

...que bom que você agora conhece orientado para a direita e para a esquerda bases, porque as declarações de alguns palestrantes sobre uma mudança de orientação são assustadoras =)

Produto vetorial de vetores colineares

A definição foi discutida em detalhes, resta descobrir o que acontece quando os vetores são colineares. Se os vetores forem colineares, eles podem ser colocados em uma linha reta e nosso paralelogramo também “dobra-se” em uma linha reta. A área de tal, como dizem os matemáticos, degenerar paralelogramo é igual a zero. O mesmo segue da fórmula - o seno de zero ou 180 graus é igual a zero, o que significa que a área é zero

Assim, se , então E . Observe que o produto vetorial em si é igual ao vetor zero, mas na prática isso é frequentemente negligenciado e está escrito que também é igual a zero.

Um caso especial é o produto vetorial de um vetor consigo mesmo:

Utilizando o produto vetorial, é possível verificar a colinearidade dos vetores tridimensionais, e também analisaremos esse problema, entre outros.

Para resolver exemplos práticos você pode precisar tabela trigonométrica para encontrar os valores dos senos dele.

Bem, vamos acender o fogo:

Exemplo 1

a) Encontre o comprimento do produto vetorial de vetores se

b) Encontre a área de um paralelogramo construído sobre vetores se

Solução: Não, isso não é um erro de digitação, eu deliberadamente tornei os dados iniciais nas cláusulas iguais. Porque o design das soluções será diferente!

a) De acordo com a condição, você precisa encontrar comprimento vetor (produto vetorial). De acordo com a fórmula correspondente:

Responder:

Como a questão era sobre comprimento, indicamos a dimensão na resposta - unidades.

b) De acordo com a condição, você precisa encontrar quadrado paralelogramo construído sobre vetores. A área deste paralelogramo é numericamente igual ao comprimento do produto vetorial:

Responder:

Observe que a resposta não fala sobre o produto vetorial sobre o qual nos perguntaram; área da figura, portanto, a dimensão é unidades quadradas.

Sempre olhamos O QUE precisamos encontrar de acordo com a condição e, com base nisso, formulamos claro responder. Pode parecer literalismo, mas há muitos literalistas entre os professores, e a tarefa tem boas chances de ser devolvida para revisão. Embora este não seja um problema particularmente rebuscado - se a resposta estiver incorreta, fica-se com a impressão de que a pessoa não entende coisas simples e/ou não compreendeu a essência da tarefa. Este ponto deve ser sempre mantido sob controle ao resolver qualquer problema de matemática superior e também de outras disciplinas.

Para onde foi a letra grande “en”? Em princípio, poderia ter sido anexado adicionalmente à solução, mas para encurtar a entrada não o fiz. Espero que todos entendam isso e seja uma designação para a mesma coisa.

Um exemplo popular de solução DIY:

Exemplo 2

Encontre a área de um triângulo construído sobre vetores se

A fórmula para encontrar a área de um triângulo através do produto vetorial é dada nos comentários à definição. A solução e a resposta estão no final da lição.

Na prática, a tarefa é realmente muito comum. Os triângulos geralmente podem atormentar você.

Para resolver outros problemas precisaremos de:

Propriedades do produto vetorial de vetores

Já consideramos algumas propriedades do produto vetorial, porém irei incluí-las nesta lista.

Para vetores arbitrários e um número arbitrário, as seguintes propriedades são verdadeiras:

1) Em outras fontes de informação esse item geralmente não é destacado nas propriedades, mas é muito importante em termos práticos. Que assim seja.

2) – a propriedade também é discutida acima, às vezes é chamada anticomutatividade. Em outras palavras, a ordem dos vetores é importante.

3) – associativo ou associativo leis de produtos vetoriais. As constantes podem ser facilmente movidas para fora do produto vetorial. Realmente, o que eles deveriam fazer lá?

4) – distribuição ou distributivo leis de produtos vetoriais. Também não há problemas em abrir os colchetes.

Para demonstrar, vejamos um pequeno exemplo:

Exemplo 3

Descubra se

Solução: A condição novamente requer encontrar o comprimento do produto vetorial. Vamos pintar nossa miniatura:

(1) De acordo com as leis associativas, consideramos as constantes fora do escopo do produto vetorial.

(2) Movemos a constante para fora do módulo e o módulo “come” o sinal menos. O comprimento não pode ser negativo.

(3) O resto está claro.

Responder:

É hora de colocar mais lenha no fogo:

Exemplo 4

Calcule a área de um triângulo construído sobre vetores se

Solução: Encontre a área do triângulo usando a fórmula . O problema é que os vetores “tse” e “de” são apresentados como somas de vetores. O algoritmo aqui é padrão e lembra um pouco os exemplos nº 3 e 4 da lição Produto escalar de vetores. Para maior clareza, dividiremos a solução em três etapas:

1) Na primeira etapa, expressamos o produto vetorial através do produto vetorial, na verdade, vamos expressar um vetor em termos de um vetor. Nenhuma palavra ainda sobre comprimentos!

(1) Substitua as expressões dos vetores.

(2) Utilizando leis distributivas, abrimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios.

(3) Usando leis associativas, movemos todas as constantes para além dos produtos vetoriais. Com um pouco de experiência, os passos 2 e 3 podem ser executados simultaneamente.

(4) O primeiro e o último termos são iguais a zero (vetor zero) devido à propriedade nice. No segundo termo usamos a propriedade de anticomutatividade de um produto vetorial:

(5) Apresentamos termos semelhantes.

Como resultado, o vetor acabou sendo expresso por meio de um vetor, que era o que era necessário para ser alcançado:

2) Na segunda etapa, encontramos o comprimento do produto vetorial que precisamos. Esta ação é semelhante ao Exemplo 3:

3) Encontre a área do triângulo desejado:

As etapas 2 a 3 da solução poderiam ter sido escritas em uma linha.

Responder:

O problema considerado é bastante comum em testes, aqui está um exemplo para você mesmo resolver:

Exemplo 5

Descubra se

Uma breve solução e resposta no final da lição. Vamos ver o quão atento você esteve ao estudar os exemplos anteriores ;-)

Produto vetorial de vetores em coordenadas

, especificado em uma base ortonormal, expresso pela fórmula:

A fórmula é muito simples: na linha superior do determinante escrevemos os vetores coordenados, na segunda e terceira linhas “colocamos” as coordenadas dos vetores, e colocamos em ordem estrita– primeiro as coordenadas do vetor “ve”, depois as coordenadas do vetor “duplo-ve”. Se os vetores precisarem ser multiplicados em uma ordem diferente, as linhas deverão ser trocadas:

Exemplo 10

Verifique se os seguintes vetores espaciais são colineares:
A)
b)

Solução: A verificação é baseada em uma das afirmações desta lição: se os vetores são colineares, então seu produto vetorial é igual a zero (vetor zero): .

a) Encontre o produto vetorial:

Assim, os vetores não são colineares.

b) Encontre o produto vetorial:

Responder: a) não colinear, b)

Aqui, talvez, estejam todas as informações básicas sobre o produto vetorial de vetores.

Esta seção não será muito grande, pois existem poucos problemas onde o produto misto de vetores é utilizado. Na verdade, tudo dependerá da definição, do significado geométrico e de algumas fórmulas de trabalho.

Um produto misto de vetores é o produto de três vetores:

Então eles se alinharam como um trem e mal podem esperar para serem identificados.

Primeiro, novamente, uma definição e uma imagem:

Definição: Trabalho misto não coplanar vetores, tomado nesta ordem, chamado volume paralelepípedo, construído sobre esses vetores, equipado com um sinal “+” se a base estiver à direita e um sinal “–” se a base estiver à esquerda.

Vamos fazer o desenho. Linhas invisíveis para nós são desenhadas com linhas pontilhadas:

Vamos mergulhar na definição:

2) Vetores são obtidos em uma determinada ordem, ou seja, o rearranjo dos vetores no produto, como você pode imaginar, não ocorre sem consequências.

3) Antes de comentar o significado geométrico, observo um fato óbvio: o produto misto de vetores é um NÚMERO: . Na literatura educacional, o design pode ser um pouco diferente; estou acostumado a denotar um produto misto por , e o resultado dos cálculos pela letra “pe”.

Priorado A o produto misto é o volume do paralelepípedo, construído em vetores (a figura é desenhada com vetores vermelhos e linhas pretas). Ou seja, o número é igual ao volume de um determinado paralelepípedo.

Observação : O desenho é esquemático.

4) Não vamos nos preocupar novamente com o conceito de orientação da base e do espaço. O significado da parte final é que um sinal de menos pode ser adicionado ao volume. Em palavras simples, um produto misto pode ser negativo: .

Diretamente da definição segue a fórmula de cálculo do volume de um paralelepípedo construído sobre vetores.

Antes de apresentar o conceito de produto vetorial, voltemos à questão da orientação de um triplo ordenado de vetores a →, b →, c → no espaço tridimensional.

Para começar, vamos separar os vetores a → , b → , c → de um ponto. A orientação do triplo a → , b → , c → pode ser para a direita ou para a esquerda, dependendo da direção do próprio vetor c →. O tipo de triplo a → , b → , c → será determinado a partir da direção em que a curva mais curta é feita do vetor a → para b → do final do vetor c → .

Se a volta mais curta for realizada no sentido anti-horário, então o triplo dos vetores a → , b → , c → é chamado certo, se no sentido horário – esquerda.

A seguir, tome dois vetores não colineares a → e b →. Vamos então traçar os vetores A B → = a → e A C → = b → do ponto A. Vamos construir um vetor A D → = c →, que é simultaneamente perpendicular a A B → e A C →. Assim, ao construir o próprio vetor A D → = c →, podemos fazê-lo de duas maneiras, dando-lhe uma direção ou a oposta (ver ilustração).

Uma tripla ordenada de vetores a → , b → , c → pode ser, como descobrimos, à direita ou à esquerda dependendo da direção do vetor.

Do exposto, podemos introduzir a definição de um produto vetorial. Esta definição é dada para dois vetores definidos em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional.

Definição 1

O produto vetorial de dois vetores a → e b → chamaremos tal vetor definido em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional tal que:

• se os vetores a → e b → forem colineares, será zero;
• será perpendicular ao vetor a → ​​​​ e ao vetor b → ou seja, ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• seu comprimento é determinado pela fórmula: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• o triplo dos vetores a → , b → , c → tem a mesma orientação que o sistema de coordenadas fornecido.

O produto vetorial dos vetores a → e b → tem a seguinte notação: a → × b →.

Coordenadas do produto vetorial

Como qualquer vetor possui certas coordenadas no sistema de coordenadas, podemos introduzir uma segunda definição de produto vetorial, que nos permitirá encontrar suas coordenadas usando as coordenadas fornecidas dos vetores.

Definição 2

Em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional produto vetorial de dois vetores a → = (a x ; a y ; a z) e b → = (b x ; b y ; b z) é chamado de vetor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , onde i → , j → , k → são vetores coordenados.

O produto vetorial pode ser representado como o determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem, onde a primeira linha contém os vetores vetoriais i → , j → , k → , a segunda linha contém as coordenadas do vetor a → , e a terceira linha contém as coordenadas do vetor b → em um determinado sistema de coordenadas retangulares, este é o determinante da matriz que se parece com isto: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Expandindo este determinante nos elementos da primeira linha, obtemos a igualdade: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Propriedades de um produto vetorial

Sabe-se que o produto vetorial em coordenadas é representado como o determinante da matriz c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , então com base propriedades do determinante da matriz o seguinte é exibido propriedades de um produto vetorial:

1. anticomutatividade a → × b → = - b → × a → ;
2. distributividade a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ou a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associatividade λ a → × b → = λ a → × b → ou a → × (λ b →) = λ a → × b →, onde λ é um número real arbitrário.

Essas propriedades têm provas simples.

Como exemplo, podemos provar a propriedade anticomutativa de um produto vetorial.

Prova de anticomutatividade

Por definição, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z e b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . E se duas linhas da matriz forem trocadas, então o valor do determinante da matriz deve mudar para o oposto, portanto, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , o que prova que o produto vetorial é anticomutativo.

Produto vetorial - exemplos e soluções

Na maioria dos casos, existem três tipos de problemas.

Nos problemas do primeiro tipo, geralmente são dados os comprimentos de dois vetores e o ângulo entre eles, e é necessário encontrar o comprimento do produto vetorial. Neste caso, use a seguinte fórmula c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Exemplo 1

Encontre o comprimento do produto vetorial dos vetores a → e b →, se você souber a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Solução

Ao determinar o comprimento do produto vetorial dos vetores a → e b →, resolvemos este problema: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Responder: 15 2 2 .

Os problemas do segundo tipo têm ligação com as coordenadas dos vetores, neles o produto vetorial, seu comprimento, etc. são pesquisados ​​​​através das coordenadas conhecidas de determinados vetores uma → = (uma x; uma y; uma z) E b → = (b x ; b y ; b z) .

Para esse tipo de problema, você pode resolver diversas opções de tarefas. Por exemplo, não as coordenadas dos vetores a → e b → podem ser especificadas, mas suas expansões em vetores de coordenadas da forma b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → e c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, ou os vetores a → e b → podem ser especificados pelas coordenadas de seu início e pontos finais.

Considere os seguintes exemplos.

Exemplo 2

Em um sistema de coordenadas retangulares, dois vetores são dados: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Encontre seu produto vetorial.

Solução

Pela segunda definição, encontramos o produto vetorial de dois vetores em determinadas coordenadas: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Se escrevermos o produto vetorial através do determinante da matriz, então a solução para este exemplo será assim: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 eu → - 2 j → - 2 k → .

Responder: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exemplo 3

Encontre o comprimento do produto vetorial dos vetores i → - j → e i → + j → + k →, onde i →, j →, k → são os vetores unitários do sistema de coordenadas cartesianas retangulares.

Solução

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de um determinado produto vetorial i → - j → × i → + j → + k → em um determinado sistema de coordenadas retangulares.

Sabe-se que os vetores i → - j → e i → + j → + k → possuem coordenadas (1; - 1; 0) e (1; 1; 1), respectivamente. Vamos encontrar o comprimento do produto vetorial usando o determinante da matriz, então temos i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Portanto, o produto vetorial i → - j → × i → + j → + k → possui coordenadas (- 1 ; - 1 ; 2) no sistema de coordenadas fornecido.

Encontramos o comprimento do produto vetorial usando a fórmula (veja a seção sobre como encontrar o comprimento de um vetor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Responder: eu → - j → × eu → + j → + k → = 6 . .

Exemplo 4

Em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, são fornecidas as coordenadas de três pontos A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Encontre algum vetor perpendicular a A B → e A C → ao mesmo tempo.

Solução

Os vetores A B → e AC → possuem as seguintes coordenadas (- 1 ; 2 ; 2) e (0 ; 4 ; 1) respectivamente. Tendo encontrado o produto vetorial dos vetores A B → e A C →, é óbvio que é um vetor perpendicular por definição tanto a A B → quanto a A C →, ou seja, é uma solução para o nosso problema. Vamos encontrá-lo A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Responder: - 6 eu → + j → - 4 k → . - um dos vetores perpendiculares.

Os problemas do terceiro tipo concentram-se no uso das propriedades do produto vetorial de vetores. Após aplicá-lo, obteremos uma solução para o problema em questão.

Exemplo 5

Os vetores a → e b → são perpendiculares e seus comprimentos são 3 e 4, respectivamente. Encontre o comprimento do produto vetorial 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Solução

Pela propriedade distributiva de um produto vetorial, podemos escrever 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Pela propriedade da associatividade, retiramos os coeficientes numéricos do sinal dos produtos vetoriais na última expressão: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Os produtos vetoriais a → × a → e b → × b → são iguais a 0, pois a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 e b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, então 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Da anticomutatividade do produto vetorial segue - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Usando as propriedades do produto vetorial, obtemos a igualdade 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Por condição, os vetores a → e b → são perpendiculares, ou seja, o ângulo entre eles é igual a π 2. Agora só falta substituir os valores encontrados nas fórmulas apropriadas: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Responder: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

O comprimento do produto vetorial de vetores, por definição, é igual a a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pois já se sabe (do curso escolar) que a área de um triângulo é igual à metade do produto dos comprimentos de seus dois lados multiplicado pelo seno do ângulo entre esses lados. Consequentemente, o comprimento do produto vetorial é igual à área do paralelogramo - um triângulo duplicado, ou seja, o produto dos lados na forma dos vetores a → e b →, dispostos a partir de um ponto, pelo seno de o ângulo entre eles sen ∠ a →, b →.

Este é o significado geométrico de um produto vetorial.

Significado físico do produto vetorial

Na mecânica, um dos ramos da física, graças ao produto vetorial, é possível determinar o momento de uma força em relação a um ponto do espaço.

Definição 3

Pelo momento da força F → aplicada ao ponto B, em relação ao ponto A, entenderemos o seguinte produto vetorial A B → × F →.

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7.1. Definição de produto vetorial

Três vetores não coplanares a, b e c, tomados na ordem indicada, formam um trio destro se, do final do terceiro vetor c, a curva mais curta do primeiro vetor a para o segundo vetor b for vista como ser no sentido anti-horário, e um trigêmeo canhoto se for no sentido horário (ver Fig. 16).

O produto vetorial do vetor a e do vetor b é chamado de vetor c, que:

1. Perpendicular aos vetores a e b, ou seja, c ^ a e c ^ b;

2. Tem comprimento numericamente igual à área de um paralelogramo construído nos vetores a eb como nas laterais (ver Fig. 17), ou seja,

3. Os vetores a, bec formam um triplo destro.

O produto vetorial é denotado a x b ou [a,b]. As seguintes relações entre os vetores unitários i decorrem diretamente da definição do produto vetorial, j E k(ver Fig. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Provemos, por exemplo, que eu xj =k.

1) k ^ eu, k ^ j;

2) |k |=1, mas | eu x j| = |eu | |J | sen(90°)=1;

3) vetores i, j e k forme um triplo direito (ver Fig. 16).

7.2. Propriedades de um produto vetorial

1. Ao reorganizar os fatores, o produto vetorial muda de sinal, ou seja, e xb =(b xa) (ver Fig. 19).

Os vetores a xb e b xa são colineares, possuem os mesmos módulos (a área do paralelogramo permanece inalterada), mas são direcionados de forma oposta (triplos a, b, a xb e a, b, b x a de orientação oposta). Aquilo é axb = -(b-xa).

2. O produto vetorial tem uma propriedade de combinação em relação ao fator escalar, ou seja, l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Seja l >0. O vetor l (a xb) é perpendicular aos vetores a e b. Vetor ( eu machado b também é perpendicular aos vetores a e b(vetores a, eu mas estão no mesmo plano). Isso significa que os vetores eu(a xb) e ( eu machado b colinear. É óbvio que suas direções coincidem. Eles têm o mesmo comprimento:

É por isso eu(a xb)= eu um xb. É provado de maneira semelhante para eu<0.

3. Dois vetores diferentes de zero a e b são colineares se e somente se seu produto vetorial for igual ao vetor zero, ou seja, a ||b<=>e xb =0.

Em particular, i *i =j *j =k *k =0 .

4. O produto vetorial possui a propriedade de distribuição:

(a+b) xc = axc + b xs.

Aceitaremos sem provas.

7.3. Expressando o produto vetorial em termos de coordenadas

Usaremos a tabela de produto vetorial dos vetores i, j e k:

se a direção do caminho mais curto do primeiro vetor ao segundo coincidir com a direção da seta, então o produto é igual ao terceiro vetor, se não coincidir, o terceiro vetor é considerado com sinal de menos;

Sejam dados dois vetores a =a x i +a y j+a z k e b = b x eu+por j+b-z k. Vamos encontrar o produto vetorial desses vetores multiplicando-os por polinômios (de acordo com as propriedades do produto vetorial):

A fórmula resultante pode ser escrita ainda mais brevemente:

visto que o lado direito da igualdade (7.1) corresponde à expansão do determinante de terceira ordem em termos dos elementos da primeira linha, a igualdade (7.2) é fácil de lembrar.

7.4. Algumas aplicações de produto vetorial

Estabelecendo colinearidade de vetores

Encontrando a área de um paralelogramo e um triângulo

De acordo com a definição do produto vetorial de vetores A e B |a xb | =|a | * |b |sin g, ou seja, S pares = |a x b |. E, portanto, D S =1/2|a x b |.

Determinação do momento de força em relação a um ponto

Deixe uma força ser aplicada no ponto A F=AB deixa para lá SOBRE- algum ponto no espaço (ver Fig. 20).

É sabido pela física que momento de força F em relação ao ponto SOBRE chamado de vetor M, que passa pelo ponto SOBRE E:

1) perpendicular ao plano que passa pelos pontos Ó, A, B;

2) numericamente igual ao produto da força por braço

3) forma um triplo direito com os vetores OA e AB.

Portanto, M = OA x F.

Encontrando a velocidade de rotação linear

Velocidade v ponto M de um corpo rígido girando com velocidade angular c em torno de um eixo fixo, é determinado pela fórmula de Euler v =w xr, onde r =OM, onde O é algum ponto fixo do eixo (ver Fig. 21).