O menor período positivo dos exemplos de funções. Estudo de uma função para periodicidade
A seu pedido!
7. Encontre o menor período positivo funções: y=2cos(0,2x+1).
Vamos aplicar a regra: se a função f é periódica e tem um período T, então a função y=Af(kx+b) onde A, k e b são constantes, e k≠0 também é periódica, e seu período é T o = T: | k|. Para nós, T=2π é o menor período positivo da função cosseno, k=0,2. Encontramos T o = 2π:0,2=20π:2=10π.
9. A distância do ponto equidistante dos vértices do quadrado ao seu plano é de 9 dm. Encontre a distância deste ponto aos lados do quadrado se o lado do quadrado tiver 8 dm.
10. Resolva a equação: 10=|5x+5x 2 |.
Como |10|=10 e |-10|=10, então 2 casos são possíveis: 1) 5x 2 +5x=10 e 2) 5x 2 +5x=-10. Divida cada uma das igualdades por 5 e resolva as equações quadráticas resultantes:
1) x 2 +x-2=0, raízes de acordo com o teorema de Vieta x 1 =-2, x 2 =1. 2)x2 +x+2=0. O discriminante é negativo – não há raízes.
11. Resolva a equação:
Ao lado direito da igualdade aplicamos a identidade logarítmica principal:
Obtemos a igualdade:
Resolvemos a equação quadrática x 2 -3x-4=0 e encontramos as raízes: x 1 =-1, x 2 =4.
13. Resolva a equação e encontre a soma de suas raízes no intervalo indicado.
22. Resolva a desigualdade:
Então a desigualdade assumirá a forma: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. Linha y = a x+b é perpendicular à reta y=2x+3 e passa pelo ponto C(4; 5). Escreva sua equação. Diretoy=k 1 x+b 1 e y=k 2 x+b 2 são mutuamente perpendiculares se a condição k 1 ∙k 2 =-1 for atendida. Segue que A·2=-1. A linha reta desejada será semelhante a: y=(-1/2) x+b. Encontraremos o valor de b se estiver na equação da nossa linha reta X E no Vamos substituir as coordenadas do ponto C.
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Então obtemos a equação: y=(-1/2)x+7.
25. Quatro pescadores A, B, C e D vangloriaram-se da sua captura:
1. D pegou mais que C;
2. A soma das capturas A e B é igual à soma das capturas C e D;
3. A e D juntos pegaram menos que B e C juntos. Registre as capturas dos pescadores em ordem decrescente.
Nós temos: 1)
D>C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D Objetivo: resumir e sistematizar o conhecimento dos alunos sobre o tema “Periodicidade das Funções”; desenvolver competências na aplicação das propriedades de uma função periódica, encontrando o menor período positivo de uma função, construindo gráficos de funções periódicas; promover o interesse pelo estudo da matemática; cultivar observação e precisão. Equipamentos: computador, projetor multimídia, fichas de tarefas, slides, relógios, mesas de enfeites, elementos de artesanato popular “A matemática é o que as pessoas usam para controlar a natureza e a si mesmas.” Durante as aulas I. Estágio organizacional. Verificar a preparação dos alunos para a aula. Relate o tema e os objetivos da aula. II. Verificando o dever de casa. Verificamos o dever de casa por meio de amostras e discutimos os pontos mais difíceis. III. Generalização e sistematização do conhecimento. 1. Trabalho frontal oral. Questões teóricas. 1) Forme uma definição do período da função y = pecado (x) = pecado (x + 360º) tg(x+π n)=tgx, n € Z sin(x+2π n)=sinx, n € Z 5) Como traçar uma função periódica? Exercícios orais. 1) Prove as seguintes relações a) pecado(740º) = pecado(20º) 2. Prove que um ângulo de 540º é um dos períodos da função y= cos(2x) 3. Prove que um ângulo de 360º é um dos períodos da função y=tg(x) 4. Transforme estas expressões para que os ângulos nelas incluídos não ultrapassem 90º em valor absoluto. a) tg375º 5. Onde você encontrou as palavras PERÍODO, PERIODICIDADE? Respostas dos alunos: Um período na música é uma estrutura na qual se apresenta um pensamento musical mais ou menos completo. Um período geológico faz parte de uma era e é dividido em épocas com um período de 35 a 90 milhões de anos. Meia-vida de uma substância radioativa. Fração periódica. Periódicos são publicações impressas que aparecem em prazos estritamente definidos. Sistema periódico de Mendeleev. 6. As figuras mostram partes dos gráficos de funções periódicas. Determine o período da função. Determine o período da função. Responder:T=2; T=2; T=4; T=8. 7. Onde na sua vida você encontrou a construção de elementos repetidos? Resposta do aluno: Elementos de ornamento, arte popular. 4. Resolução coletiva de problemas. (Resolvendo problemas em slides.) Vamos considerar uma das maneiras de estudar uma função quanto à periodicidade. Este método evita as dificuldades associadas à prova de que um determinado período é o menor e também elimina a necessidade de lidar com questões sobre operações aritméticas em funções periódicas e a periodicidade de uma função complexa. O raciocínio baseia-se apenas na definição de uma função periódica e no seguinte fato: se T é o período da função, então nT(n?0) é o seu período. Problema 1. Encontre o menor período positivo da função f(x)=1+3(x+q>5) Solução: Suponha que o período T desta função. Então f(x+T)=f(x) para todo x € D(f), ou seja, 1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25) Vamos colocar x=-0,25 e obtemos (T)=0<=>T = n, n € Z Obtivemos que todos os períodos da função em questão (se existirem) estão entre os inteiros. Vamos escolher o menor número positivo entre esses números. Esse 1
. Vamos verificar se será realmente um período 1
. f(x+1) =3(x+1+0,25)+1 Como (T+1)=(T) para qualquer T, então f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), ou seja, 1 – período f. Como 1 é o menor de todos os inteiros positivos, então T=1. Problema 2. Mostre que a função f(x)=cos 2 (x) é periódica e encontre seu período principal. Problema 3. Encontre o período principal da função f(x)=sen(1,5x)+5cos(0,75x) Vamos assumir o período T da função, então para qualquer X a proporção é válida sen1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sen(1,5x)+5cos(0,75x) Se x = 0, então sen(1,5T)+5cos(0,75T)=sen0+5cos0 sen(1,5T)+5cos(0,75T)=5 Se x=-T, então sen0+5cos0=sen(-1,5T)+5cos0,75(-T) 5= – sen(1,5T)+5cos(0,75T) – sen(1,5T)+5cos(0,75T)=5 Somando, obtemos: 10cos(0,75T)=10 2π
n, n € Z Vamos escolher o menor número positivo de todos os números “suspeitos” do período e verificar se é um período para f. Este número f(x+)=sen(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x) Isso significa que este é o período principal da função f. Problema 4. Vamos verificar se a função f(x)=sin(x) é periódica Seja T o período da função f. Então para qualquer x pecado|x+Т|=pecado|x| Se x=0, então sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z. Vamos assumir. Que para algum n o número π n é o período a função em consideração π n>0. Então sin|π n+x|=sen|x| Isto implica que n deve ser um número par e ímpar, mas isso é impossível. Portanto, esta função não é periódica. Tarefa 5. Verifique se a função é periódica f(x)= Seja T o período de f, então Como os numeradores são iguais, seus denominadores são iguais, portanto Isso significa que a função f não é periódica. Trabalho em grupos. Tarefas para o grupo 1. Tarefas para o grupo 2. Verifique se a função f é periódica e encontre seu período fundamental (se existir). f(x)=cos(2x)+2sin(2x) Tarefas para o grupo 3. No final do trabalho, os grupos apresentam as suas soluções. VI. Resumindo a lição. Reflexão. A professora entrega aos alunos cartões com desenhos e pede-lhes que pintem parte do primeiro desenho de acordo com o quanto acham que dominam os métodos de estudo de uma função por periodicidade, e parte do segundo desenho - de acordo com seus contribuição para o trabalho da aula. VII. Trabalho de casa 1). Verifique se a função f é periódica e encontre seu período fundamental (se existir) b). f(x)=x 2 -2x+4 c). f(x)=2tg(3x+5) 2). A função y=f(x) tem um período T=2 e f(x)=x 2 +2x para x € [-2; 0]. Encontre o valor da expressão -2f(-3)-4f(3.5) Literatura/ Instruções Por favor, note que período ical nem sempre tem o menor valor positivo período. Assim, por exemplo, como período uma constante funções pode ser absolutamente qualquer número e pode não ter o menor valor positivo período A. Existem também não permanentes período ical funções, que não têm o mínimo positivo período A. No entanto, na maioria dos casos, o menor valor positivo período no período ainda existem ichicos. Ao menos período seno é igual a 2?. Considere este exemplo funções y = pecado (x). Seja T arbitrário período ohm seno, neste caso sin(a+T)=sin(a) para qualquer valor de a. Se a=?/2, acontece que sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. No entanto, sin(x)=1 somente se x=?/2+2?n, onde n é um número inteiro. Segue-se que T=2?n e, portanto, o menor valor positivo é 2?n 2?. Menos positivo período cosseno também é igual a 2?. Considere a prova disso com um exemplo funções y=cos(x). Se T é arbitrário período om cosseno, então cos(a+T)=cos(a). No caso de a=0, cos(T)=cos(0)=1. Em vista disso, o menor valor positivo de T em que cos(x)=1 é 2?. Considerando o fato de que 2? – período seno e cosseno, também será período ohm cotangente, bem como tangente, mas não mínimo, já que, como , o menor positivo período tangente e cotangente são iguais? Você pode verificar isso considerando o seguinte: os pontos correspondentes a (x) e (x+?) no círculo trigonométrico têm localizações diametralmente opostas. A distância do ponto (x) ao ponto (x+2?) corresponde a meio círculo. Por definição de tangente e cotangente tg(x+?)=tgx, e ctg(x+?)=ctgx, o que significa o menor positivo período cotangente e ?. observação Não confunda as funções y=cos(x) e y=sin(x) - tendo o mesmo período, essas funções são representadas de forma diferente. Conselho util Para maior clareza, desenhe uma função trigonométrica para a qual o menor período positivo é calculado. Fontes: Uma função periódica é uma função que repete seus valores após algum período diferente de zero. O período de uma função é um número que, quando adicionado a um argumento de função, não altera o valor da função. Você vai precisar Instruções Vídeo sobre o tema observação Todas as funções trigonométricas são periódicas e todas as funções polinomiais com grau maior que 2 são aperiódicas. Conselho util O período de uma função que consiste em duas funções periódicas é o mínimo múltiplo comum dos períodos dessas funções. Se considerarmos pontos em um círculo, então os pontos x, x + 2π, x + 4π, etc. coincidem entre si. Assim, trigonométrico funções em linha reta periodicamente repetir seu significado. Se o período for conhecido funções, você pode criar uma função nesse período e repeti-la em outros. Instruções Deixe a função f(x) = sin^2(10x) ser dada. Considere sen^2(10x) = sen^2(10(x+T)). Use a fórmula de redução: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Então você obtém 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ou cos 20x = cos (20x+20T). Sabendo que o período do cosseno é 2π, 20T = 2π. Isso significa T = π/10. T é o menor período, e a função será repetida após 2T, e após 3T, e ao longo do eixo: -T, -2T, etc. Conselho util Use fórmulas para reduzir o grau de uma função. Se você já conhece os períodos de alguma função, tente reduzir a função existente às conhecidas. Uma função cujos valores são repetidos após um determinado número é chamada periódico. Ou seja, não importa quantos períodos você adicione ao valor de x, a função será igual ao mesmo número. Qualquer estudo de funções periódicas começa com a busca do menor período, para não fazer trabalhos desnecessários: basta estudar todas as propriedades em um intervalo igual ao período. Instruções Como resultado, você obterá uma determinada identidade, da qual tentará selecionar o período mínimo. Por exemplo, se obtivermos a igualdade sin(2T)=0,5, portanto, 2T=P/6, ou seja, T=P/12. Se a igualdade for verdadeira apenas quando T = 0 ou o parâmetro T depender de x (por exemplo, a igualdade 2T = x é obtida), suponha que a função não seja periódica. Para descobrir o período mais curto funções contendo apenas uma expressão trigonométrica, use . Se a expressão contiver sen ou cos, o período para funções será 2P, e para as funções tg, ctg defina o menor período P. Observe que a função não deve ser elevada a nenhuma potência, e a variável sob o sinal funções não deve ser multiplicado por um número diferente de 1. Se cos ou pecado está dentro funções elevado a uma potência par, reduza o período de 2P pela metade. Graficamente você pode ver assim: funções, abaixo do eixo x, será refletido simetricamente para cima, então a função será repetida duas vezes mais. Para encontrar o menor período funções dado que o ângulo x é multiplicado por qualquer número, proceda da seguinte forma: determine o período padrão deste funções(por exemplo, para porque é 2P). Em seguida, divida-o antes da variável. Este será o período mais curto necessário. A diminuição do período é claramente visível no gráfico: é exatamente tantas vezes quanto o ângulo sob o sinal trigonométrico é multiplicado por funções. Se sua expressão tiver dois periódicos funções multiplicados entre si, encontre o menor período para cada um separadamente. Em seguida, determine o mínimo fator comum para eles. Por exemplo, para os períodos P e 2/3P, o menor fator comum será 3P (não tem resto em P e 2/3P). O cálculo do salário médio dos funcionários é necessário para o cálculo dos benefícios por invalidez temporária e para o pagamento de viagens de negócios. O salário médio dos especialistas é calculado com base no tempo efetivamente trabalhado e depende do salário, abonos e gratificações indicados no quadro de pessoal. Mínimo Positivo período funções em trigonometria é denotado f. É caracterizado pelo menor valor do número positivo T, ou seja, um valor menor de T não será mais período ohm funções . Você vai precisar 1.
Por favor, note que período função ical não tem invariavelmente um mínimo correto período. Assim, por exemplo, como período e contínuo funções pode haver qualquer número incondicionalmente, o que significa que pode não ter o menor número positivo período A. Existem também os não permanentes período ical funções, que não possuem o menor valor correto período A. No entanto, na maioria dos casos, o mínimo está correto período no período Ainda existem algumas funções ical. 2.
Mínimo período seno é igual a 2?. Veja o exemplo para prova disso. funções y = pecado (x). Seja T arbitrário período ohm seno, neste caso sin(a+T)=sin(a) para qualquer valor de a. Se a=?/2, acontece que sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. No entanto, sin(x)=1 apenas no caso em que x=?/2+2?n, onde n é um número inteiro. Segue-se que T=2?n, o que significa que o menor valor positivo de 2?n é 2?. 3.
Mínimo correto período cosseno também é igual a 2?. Veja o exemplo para prova disso. funções y=cos(x). Se T é arbitrário período om cosseno, então cos(a+T)=cos(a). No caso de a=0, cos(T)=cos(0)=1. Em vista disso, o menor valor positivo de T no qual cos(x) = 1 é 2?. 4.
Considerando o fato de que 2? – período seno e cosseno, o mesmo valor será período ohm cotangente, assim como tangente, porém, não mínimo, porque, como se sabe, o mínimo está correto período tangente e cotangente são iguais? Você pode verificar isso observando o seguinte exemplo: os pontos correspondentes aos números (x) e (x+?) no círculo trigonométrico têm localizações diametralmente opostas. A distância do ponto (x) ao ponto (x+2?) corresponde a meio círculo. Por definição de tangente e cotangente tg(x+?)=tgx, e ctg(x+?)=ctgx, o que significa que o mínimo está correto período cotangente e tangente são iguais?. Uma função periódica é uma função que repete seus valores após algum período diferente de zero. O período de uma função é um número que, quando adicionado ao argumento de uma função, não altera o valor da função. Você vai precisar 1.
Vamos denotar o período da função f(x) pelo número K. Nossa tarefa é descobrir esse valor de K. Para fazer isso, imagine que a função f(x), usando a definição de uma função periódica, igualamos f(x+K)=f(x). 2.
Resolvemos a equação resultante em relação à incógnita K, como se x fosse uma constante. Dependendo do valor de K, haverá diversas opções. 3.
Se K>0 – então este é o período da sua função. Se K=0 – então a função f(x) não é periódica Se a solução para a equação f(x+K)=f(x) não existe. para qualquer K diferente de zero, então tal função é chamada aperiódica e também não tem período. Vídeo sobre o tema Observação! Conselho util Se considerarmos pontos em um círculo, então os pontos x, x + 2π, x + 4π, etc. coincidem entre si. Assim, trigonométrico funções em linha reta periodicamente repetir seu significado. Se o período é famoso funções, é possível construir uma função neste período e repeti-la nos demais. 1.
O período é um número T tal que f(x) = f(x+T). Para encontrar o período, resolva a equação correspondente, substituindo x e x+T como argumento. Neste caso, são utilizados os períodos previamente conhecidos para funções. Para as funções seno e cosseno o período é 2π, e para as funções tangente e cotangente é π. 2.
Deixe a função f(x) = sin^2(10x) ser dada. Considere a expressão sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Use a fórmula para reduzir o grau: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Então você obtém 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) ou cos 20x = cos (20x+20T). Sabendo que o período do cosseno é 2π, 20T = 2π. Isso significa T = π/10. T é o período mínimo correto, e a função será repetida após 2T, e após 3T, e na outra direção ao longo do eixo: -T, -2T, etc. Conselho util Uma função cujos valores são repetidos após um determinado número é chamada periódico. Ou seja, não importa quantos períodos você adicione ao valor de x, a função será igual ao mesmo número. Qualquer busca por funções periódicas começa com a busca pelo menor período, para não realizar trabalhos desnecessários: basta estudar todas as propriedades em um intervalo igual ao período. 1.
Use a definição periódico funções. Todos os valores de x em funções substitua por (x+T), onde T é o período mínimo funções. Resolva a equação resultante, considerando T um número desconhecido. 2.
Como resultado, você obterá uma determinada identidade, a partir dela tente selecionar o menor período. Digamos que se obtivermos a igualdade sin(2T)=0,5, portanto, 2T=P/6, ou seja, T=P/12. 3.
Se a igualdade for correta apenas quando T = 0 ou o parâmetro T depender de x (digamos, a igualdade 2T = x é obtida), conclua que a função não é periódica. 4.
Para saber o período mínimo funções contendo apenas uma expressão trigonométrica, use a regra. Se a expressão contiver sen ou cos, o período para funções será 2P, e para as funções tg, ctg defina o período mínimo P. Observe que a função não deve ser elevada a nenhuma potência, e a variável sob o sinal funções não deve ser multiplicado por um número diferente de 1. 5.
Se cos ou pecado está dentro funções construído para uma potência uniforme, reduza o período 2P pela metade. Graficamente você pode ver assim: gráfico funções, localizado abaixo do eixo x, será refletido simetricamente para cima e, conseqüentemente, a função será repetida duas vezes mais. 6.
Para encontrar o período mínimo funções dado que o ângulo x é multiplicado por qualquer número, proceda da seguinte forma: determine o período típico deste funções(digamos porque é 2P). Depois disso, divida pelo fator na frente da variável. Este será o período mínimo desejado. A diminuição do período é claramente visível no gráfico: ele é comprimido exatamente tantas vezes quanto o ângulo sob o sinal trigonométrico é multiplicado por funções . 7.
Observe que se x for precedido por um número fracionário menor que 1, o período aumenta, ou seja, o gráfico, ao contrário, se estica. 8.
Se sua expressão tiver dois periódicos funções multiplicados entre si, encontre o período mínimo para cada um separadamente. Depois disso, determine o fator universal mínimo para eles. Digamos que, para os períodos P e 2/3P, o fator universal mínimo será 3P (é divisível sem resto por P e 2/3P). O cálculo do salário médio dos funcionários é necessário para calcular os benefícios por invalidez temporária e pagar viagens de negócios. O rendimento médio dos especialistas é calculado com base no tempo real trabalhado e depende do salário, abonos e bônus especificados na tabela de pessoal. Você vai precisar 1.
Para calcular o salário médio de um funcionário, primeiro determine o período para o qual deseja calculá-lo. Como de costume, esse período é de 12 meses corridos. Mas se um funcionário trabalha na empresa há menos de um ano, por exemplo, 10 meses, então é necessário encontrar o rendimento médio do tempo que o perito exerce sua função laboral. 2.
Agora determine o valor dos salários que realmente foram acumulados para ele no período de faturamento. Para isso, utilize recibos de vencimento segundo os quais o funcionário recebeu todos os pagamentos que lhe eram devidos. Se for impensável a utilização desses documentos, multiplique o salário mensal, bônus e abonos por 12 (ou o número de meses que o funcionário está trabalhando na empresa, se ele estiver empregado na empresa há menos de um ano ). 3.
Calcule seus ganhos médios diários. Para isso, divida o valor do salário do período de faturamento pelo número médio de dias de um mês (atualmente é 29,4). Divida o total resultante por 12. 4.
Depois disso, determine o número de horas efetivamente trabalhadas. Para fazer isso, use uma planilha de horas. Este documento deve ser preenchido por um cronometrista, oficial de pessoal ou outro funcionário cujas responsabilidades profissionais incluam isso. 5.
Multiplique o número de horas efetivamente trabalhadas pelo rendimento médio diário. O valor recebido é o salário médio do perito no ano. Divida o total por 12. Essa será sua renda média mensal. Este cálculo é utilizado para empregados cujos salários dependem do tempo efetivamente trabalhado. 6.
Quando um funcionário é pago por peça, multiplique a tarifa (indicada na tabela de pessoal e determinada pelo contrato de trabalho) pela quantidade de produtos produzidos (utilize um certificado de conclusão de trabalho ou outro documento em que isso esteja registrado). Observação! Conselho util
UM. Kolmogorov
2) Nomeie o menor período positivo das funções y=sin(x), y=cos(x)
3). Qual é o menor período positivo das funções y=tg(x), y=ctg(x)
4) Usando um círculo, prove a correção das relações:
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
ctg(x+πn)=ctgx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) pecado(-1000º) = pecado(80º)
b) ctg530º
c) pecado1268º
e) cos(-7363º)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
sen(1,5T)+5cos(0,75T)=5
, portanto sinT=0, Т=π n, n € Z. Suponhamos que para algum n o número π n é de fato o período desta função. Então o número 2π n será o período
Instruções
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Todas as funções trigonométricas são periódicas e todas as funções polinomiais com grau maior que 2 são aperiódicas.
O período de uma função que consiste em 2 funções periódicas é o mínimo múltiplo universal dos períodos dessas funções.Instruções
Use fórmulas para reduzir o grau de uma função. Se você já conhece os períodos de algumas funções, tente reduzir a função existente às famosas.Instruções
Instruções
Não confunda as funções y=cos(x) e y=sin(x) - tendo um período idêntico, essas funções são representadas de forma diferente.
Para maior clareza, desenhe uma função trigonométrica para a qual o período mínimo correto é calculado.
