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O princípio dos movimentos possíveis: para o equilíbrio de um sistema mecânico com ligações ideais, é necessário e suficiente que a soma dos trabalhos elementares de todas as forças ativas que atuam sobre ele para qualquer deslocamento possível seja igual a zero. ou em projeções: .

O princípio dos deslocamentos possíveis fornece de forma geral as condições de equilíbrio para qualquer sistema mecânico e fornece um método geral para resolver problemas estáticos.

Se o sistema tiver vários graus de liberdade, então a equação do princípio dos movimentos possíveis é compilada para cada um dos movimentos independentes separadamente, ou seja, haverá tantas equações quanto o sistema tiver graus de liberdade.

O princípio dos deslocamentos possíveis é conveniente porque ao considerar um sistema com ligações ideais, suas reações não são levadas em consideração e é necessário operar apenas com forças ativas.

O princípio dos movimentos possíveis é formulado da seguinte forma:

Para mater. um sistema sujeito a ligações ideais está em estado de repouso, é necessário e suficiente que a soma dos trabalhos elementares realizados pelas forças ativas sobre os possíveis deslocamentos dos pontos do sistema seja positiva;

Equação geral da dinâmica - quando um sistema se move com conexões ideais em um determinado momento, a soma dos trabalhos elementares de todas as forças ativas aplicadas e de todas as forças inerciais em qualquer movimento possível do sistema será igual a zero. A equação utiliza o princípio dos deslocamentos possíveis e o princípio de D'Alembert e permite compor equações diferenciais de movimento de qualquer sistema mecânico. Fornece um método geral para resolver problemas de dinâmica.

Sequência de compilação:

a) as forças especificadas que atuam sobre ele são aplicadas a cada corpo, e as forças e momentos dos pares de forças inerciais também são aplicados condicionalmente;

b) informar ao sistema possíveis movimentações;

c) traçar equações para o princípio dos movimentos possíveis, considerando o sistema em equilíbrio.

Deve-se notar que a equação geral da dinâmica também pode ser aplicada a sistemas com ligações não ideais, somente neste caso as reações de ligações não ideais, como a força de atrito ou o momento de atrito de rolamento, devem ser classificadas como forças ativas .

O trabalho sobre o possível deslocamento das forças ativas e inerciais é procurado da mesma forma que o trabalho elementar sobre o deslocamento real:

Possível trabalho de força: .

Possível trabalho de momento (par de forças): .

As coordenadas generalizadas de um sistema mecânico são parâmetros q 1 , q 2 , ..., q S, independentes entre si, de qualquer dimensão, que determinam exclusivamente a posição do sistema em qualquer momento.

O número de coordenadas generalizadas é igual a S - o número de graus de liberdade do sistema mecânico. A posição de cada ν-ésimo ponto do sistema, ou seja, seu vetor raio, no caso geral, sempre pode ser expressa em função de coordenadas generalizadas:

A equação geral da dinâmica em coordenadas generalizadas se parece com um sistema de equações S como segue:

;

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

,

aqui está a força generalizada correspondente à coordenada generalizada:

(26)

a é a força inercial generalizada correspondente à coordenada generalizada:

O número de movimentos possíveis mutuamente independentes de um sistema é chamado de número de graus de liberdade desse sistema. Por exemplo. uma bola em um plano pode se mover em qualquer direção, mas qualquer movimento possível dela pode ser obtido como a soma geométrica de dois movimentos ao longo de dois eixos perpendiculares entre si. Um corpo rígido livre possui 6 graus de liberdade.

Forças generalizadas. Para cada coordenada generalizada pode-se calcular a força generalizada correspondente Q k.

O cálculo é feito de acordo com esta regra.

Para determinar a força generalizada Q k, correspondente à coordenada generalizada qk, você precisa dar um incremento a esta coordenada (aumentar a coordenada neste valor), deixando todas as outras coordenadas inalteradas, calcular a soma do trabalho de todas as forças aplicadas ao sistema nos deslocamentos de pontos correspondentes e dividi-la pelo incremento de a coordenada:

(7)

onde está o deslocamento eu-aquele ponto do sistema, obtido pela mudança k-aquela coordenada generalizada.

A força generalizada é determinada por meio de trabalho elementar. Portanto, esta força pode ser calculada de forma diferente:

E como há um incremento do vetor raio devido ao incremento da coordenada com outras coordenadas constantes e de tempo t, a relação pode ser definida como uma derivada parcial. Então

onde as coordenadas dos pontos são funções de coordenadas generalizadas (5).

Se o sistema for conservativo, ou seja, o movimento ocorre sob a influência de forças de campo potenciais, cujas projeções são , onde , e as coordenadas dos pontos são funções de coordenadas generalizadas, então

A força generalizada de um sistema conservativo é a derivada parcial da energia potencial ao longo da coordenada generalizada correspondente com um sinal negativo.

É claro que, ao calcular esta força generalizada, a energia potencial deve ser determinada em função das coordenadas generalizadas

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Notas.

Primeiro. Ao calcular as forças de reação generalizadas, as ligações ideais não são levadas em consideração.

Segundo. A dimensão da força generalizada depende da dimensão da coordenada generalizada.

Equações de Lagrange de 2º tipo são derivados da equação geral da dinâmica em coordenadas generalizadas. O número de equações corresponde ao número de graus de liberdade:

(28)

Para compilar a equação de Lagrange de 2º tipo, são selecionadas coordenadas generalizadas e encontradas velocidades generalizadas . A energia cinética do sistema é encontrada, que é função das velocidades generalizadas , e, em alguns casos, coordenadas generalizadas. São realizadas as operações de diferenciação da energia cinética fornecidas pelos lados esquerdos das equações de Lagrange. As expressões resultantes são equiparadas a forças generalizadas, para as quais, além das fórmulas (26), são frequentemente utilizadas na resolução de problemas:

(29)

No numerador do lado direito da fórmula está a soma dos trabalhos elementares de todas as forças ativas no possível deslocamento do sistema correspondente à variação da i-ésima coordenada generalizada - . Com este movimento possível, todas as outras coordenadas generalizadas não mudam. As equações resultantes são equações diferenciais de movimento de um sistema mecânico com S graus de liberdade.

Aplicando em conjunto o princípio de D'Alembert e o princípio dos deslocamentos possíveis a um sistema em movimento, podemos tirar a seguinte conclusão: quando um sistema se move, ao qual são impostas conexões perfeitas, a soma dos trabalhos elementares de todas as forças dadas que atuam no sistema e as forças de inércia dos pontos materiais do sistema são iguais a zero para qualquer possível deslocamento do sistema a partir da posição que ocupa em um determinado momento.

Este resultado é expresso por uma das seguintes equações:

ou, desde

ou em forma de coordenadas

A equação (242), ou (243), ou (244) é chamada de equação geral da dinâmica (equação de D'Alembert - Lagrange).

Nesta seção consideraremos problemas de dois tipos:

I. Problemas em que é necessário estabelecer as condições de equilíbrio relativo do sistema.

II. Problemas em que é necessário determinar as acelerações de pontos do sistema.

Em problemas de cada um destes tipos podem ser considerados sistemas com um ou vários graus de liberdade.

Problemas do tipo I (problemas 925-929, 935-939)

Exemplo 182. Um regulador centrífugo (Fig. 220) consiste em duas esferas e cada uma pesa, cujas dimensões podem ser desprezadas. As esferas são fixadas nas extremidades de alavancas retangulares dobradas, que possuem suportes articulados e em uma barra transversal, que está invariavelmente conectada ao eixo do regulador. A embreagem D é pressionada para baixo por uma mola e, do outro lado, é sustentada pelos roletes das alavancas do regulador. Determine a rigidez da mola se, a uma dada velocidade angular constante, o ângulo de deflexão das hastes CA e da vertical for igual a . As distâncias são fornecidas: e o comprimento da mola não deformada. A altura do acoplamento é .

Solução. Colocamos os eixos coordenados como mostrado na Fig. 220.

As forças especificadas que atuam no sistema são os pesos das esferas e do acoplamento, bem como a força elástica da mola, onde k é a deformação (compressão) da mola. Além disso, nos pontos A e aplicaremos forças inerciais centrífugas, onde R é a distância do centro de cada bola ao eixo de rotação y.

Com base na equação de d'Alembert-Lagrange, a soma do trabalho realizado por todas essas forças para qualquer movimento possível do sistema é zero. Portanto, utilizando a expressão analítica do trabalho elementar, temos

Problemas com soluções

47.1 Três pesos de massa M estão conectados cada um por um fio inextensível lançado através de um bloco estacionário A. Dois pesos estão em um plano horizontal liso e o terceiro peso está suspenso verticalmente. Determine a aceleração do sistema e a tensão do fio na seção ab. Despreze a massa do fio e do bloco.
SOLUÇÃO

47.2 Resolva o problema anterior levando em consideração a massa do bloco, assumindo que quando as cargas se movem, o bloco A gira em torno de um eixo fixo. A massa de um bloco de disco sólido homogêneo é 2M.
SOLUÇÃO

47.3 Duas massas M1 e M2 estão suspensas em dois fios flexíveis inextensíveis, que são enrolados, conforme indicado na figura, em tambores de raios r1 e r2 e montados em um eixo comum; as cargas se movem sob a influência da gravidade. Determine a aceleração angular ε dos tambores, desprezando suas massas e a massa dos fios.
SOLUÇÃO

47.4 Dado o problema anterior, determine a aceleração angular ε e a tensão T1 e T2 dos fios, levando em consideração as massas dos tambores, com os seguintes dados: M1=20 kg, M2=34 kg, r1=5 cm, r2=10cm; pesos de tambor: pequeno 4 kg e grande 8 kg. As massas dos tambores são consideradas uniformemente distribuídas em suas superfícies externas.
SOLUÇÃO

47.5 Os seguintes pesos estão suspensos no sistema de blocos mostrado na figura: M1 de massa 10 kg e M2 de massa 8 kg. Determine a aceleração w2 da carga M2 e a tensão do fio, desprezando as massas dos blocos.
SOLUÇÃO

47.6 Um torque M é aplicado à polia inferior C de um elevador Determine a aceleração de uma carga A de massa M1 sendo levantada para cima se a massa do contrapeso B for igual a M2 e as polias C e D de raio r e massa. M3 são cilindros homogêneos. Despreze a massa da correia.
SOLUÇÃO

47.7 O eixo cabrestante de um mecanismo para movimentação de cargas de raio r é acionado por um torque constante M aplicado à alavanca AB. Determine a aceleração de uma carga C de massa m se o coeficiente de atrito deslizante da carga em um plano horizontal for igual a f. Despreze a massa da corda e do cabrestante.
SOLUÇÃO

47.8 Resolva o problema anterior levando em consideração a massa de um cabrestante, cujo momento de inércia em relação ao eixo de rotação é igual a J.
SOLUÇÃO

47.9 Uma carga A de massa M1, descendo ao longo de um plano inclinado e liso localizado num ângulo α com a horizontal, faz com que o tambor B de massa M2 e raio r gire através de um fio inextensível. Determine a aceleração angular do tambor se considerarmos que o tambor é um cilindro redondo uniforme. Despreze a massa do bloco estacionário C e do fio.
SOLUÇÃO

47.10 Uma pessoa empurra um carrinho, aplicando nele uma força horizontal F Determine a aceleração do corpo do carrinho se a massa do corpo for M1, M2 é a massa de cada uma das quatro rodas, r é o raio das rodas, fк é o coeficiente de atrito de rolamento. As rodas são consideradas discos redondos sólidos que rolam sobre trilhos sem escorregar.
SOLUÇÃO

47.11 O rolo A de massa M1, rolando para baixo sem deslizar ao longo de um plano inclinado, levanta a carga C de massa M2 por meio de um fio inextensível lançado sobre o bloco B. Neste caso, o bloco B gira em torno de um eixo fixo O, perpendicular ao seu plano. O rolo A e o bloco B são discos redondos homogêneos de mesma massa e raio. Um plano inclinado forma um ângulo α com a horizontal. Determine a aceleração do eixo do rolo. Despreze a massa do fio.
SOLUÇÃO

47.12 Uma carga B de massa M1 põe em movimento um rolo cilíndrico A de massa M2 e raio r por meio de um fio enrolado em torno do rolo. Determine a aceleração da carga B se o rolo rolar sem escorregar e o coeficiente de atrito de rolamento for igual a fк. Despreze a massa do bloco D.
SOLUÇÃO

47.13 A barra DE de massa M1 repousa sobre três rolos A, B e C de massa M2 cada. Uma força F é aplicada à haste horizontalmente para a direita, fazendo com que a haste e os rolos se movam. Não há deslizamento entre a haste e os rolos, bem como entre os rolos e o plano horizontal. Encontre a aceleração da haste DE. Os rolos são considerados cilindros redondos homogêneos.
SOLUÇÃO

47.14 Determine a aceleração da carga M2, considerada no problema 47.5, levando em consideração a massa dos blocos de discos sólidos homogêneos de massa 4 kg cada.
SOLUÇÃO

47.15 A carga A de massa M1, caindo por meio de um fio inextensível lançado através de um bloco estacionário D e enrolado na polia B, faz com que o eixo C role sem deslizar ao longo de um trilho horizontal. A polia B de raio R está montada rigidamente no eixo C de raio r; sua massa total é igual a M2, e o raio de giração em relação ao eixo O, perpendicular ao plano da figura, é igual a ρ. Encontre a aceleração da carga A. Despreze a massa do fio e do bloco.
SOLUÇÃO

47.16 Um regulador centrífugo gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante ω. Determine o ângulo de deflexão das alças OA e OB em relação à vertical, levando em consideração apenas a massa M de cada uma das esferas e a massa M1 do acoplamento C, todas as hastes têm o mesmo comprimento l;
SOLUÇÃO

47.17 Um regulador centrífugo gira com velocidade angular constante ω. Encontre a relação entre a velocidade angular do regulador e o ângulo α de deflexão de suas hastes em relação à vertical se o acoplamento de massa M1 for pressionado por uma mola que está em estado indeformado em α = 0 e está fixada na extremidade superior ao eixo do regulador; as massas das esferas são iguais a M2, o comprimento das hastes é igual a l, os eixos de suspensão das hastes estão separados do eixo do regulador por uma distância a; Despreze as massas das hastes e das molas. A constante da mola é c.
SOLUÇÃO

47.18 Um regulador de mola centrífuga consiste em duas massas A e B de massa M cada, montadas em uma haste de acoplamento horizontal lisa C de massa M1 fixada ao fuso do regulador, hastes de comprimento l e molas que pressionam as massas em direção ao eixo de rotação; a distância das dobradiças da haste ao eixo do fuso é igual a e; c coeficiente de rigidez da mola. Determine a velocidade angular do controlador no ângulo de abertura α, se no ângulo α0, onde α0SOLUÇÃO

47.19 No regulador, quatro pesos de igual massa M1 estão localizados nas extremidades de duas alavancas de braços iguais de comprimento 2l, que podem girar no plano do regulador em torno da extremidade do fuso O e formar um ângulo variável φ com o eixo do fuso. No ponto A, localizado na extremidade do fuso O a uma distância OA=a, as alavancas AB e AC de comprimento a estão articuladamente conectadas ao fuso, que nos pontos B e C são por sua vez articulados com as hastes BD e CD de comprimento a, acoplamento de transporte D. Nos pontos B e C existem deslizadores que deslizam ao longo dos braços que transportam pesos. A massa do acoplamento é M2. O controlador gira a uma velocidade angular constante ω. Encontre a relação entre o ângulo e a velocidade angular ω na posição de equilíbrio do controlador.

Usando o princípio de d'Alembert (Parte 3 Dinâmica), é possível dar às equações de movimento a forma de equações de equilíbrio se forças inerciais forem adicionadas às forças ativas (dadas) e passivas (reação de restrição).

Que haja um SMT com restrições e conexões ideais. Então, para cada TM incluída na MMT, segundo o princípio de D’Alembert, podemos escrever:

Ao informar os MTs incluídos nos movimentos virtuais do SMT
, multiplique cada uma das equações (3.1) pelo correspondente
, (=1,2,…,n) e adicione as expressões resultantes:

.

Como as ligações impostas ao MMT são ideais, então as condições (1.12) são satisfeitas e da relação anterior obtemos a equação geral da dinâmica.

A equação geral da dinâmica é a equação de d'Alembert-Lagrange:

Quando o SMT se move com conexões restritivas e ideais, a soma dos trabalhos elementares de todas as forças ativas que atuam nos pontos do SMT e as forças de inércia aplicadas condicionalmente a eles em qualquer deslocamento virtual é zero:

. (3.2)

A equação geral da dinâmica também pode ser representada como:

(3.3)

Deve-se notar também que no caso de conexões restritivas e não ideais, a equação da dinâmica geral terá a forma:

, (3.4)

Onde forças passivas – forças de reação de conexões não ideais.

O princípio dos deslocamentos virtuais é um caso especial da equação geral da dinâmica (no caso do equilíbrio SMT, a força inercial
).

3.2. Equações de movimento do SMT em coordenadas generalizadas - equações de Lagrange de segundo tipo

Da equação geral da dinâmica (relações (3.2), (3.3)) podem-se derivar as equações diferenciais de movimento do SMT em coordenadas generalizadas, assim como as condições de equilíbrio do SMT em coordenadas generalizadas (2.6) foram derivadas do princípio de deslocamentos virtuais (2.1).

Usamos a seguinte forma da equação da dinâmica geral:

.(3.5)

Deixemos que restrições holonômicas, confinantes e ideais sejam impostas ao MMT, que possui  graus de liberdade. Vamos introduzir  coordenadas generalizadas q  (=1,...,) e expressar através delas o vetor raio do -ésimo MT da mesma forma que foi apresentado na fórmula (1.13):

,
.

Variando essa proporção, obtemos:

,
. (3.6)

Substituindo a relação (3.6) na relação (3.5) e alterando a ordem do somatório, temos:

. (3.7)

Desde tudo
são independentes e arbitrários, então a igualdade (3.7) só pode ser satisfeita quando cada um dos coeficientes em é igual a zero, então encontramos:

.

Escrevemos este sistema de equações na forma:

.
(3.8)

O lado direito da relação (3.8) representa a força generalizada (fórmula (1.16)) correspondente à coordenada generalizada
:

.
(3.9)

Vamos transformar a expressão incluída no lado esquerdo da relação (3.8) da seguinte forma:

(3.10)

Considerando que o vetor raio do -ésimo MT depende do tempo t de forma complexa, obtemos a seguinte expressão para sua velocidade de movimento:

, (3.11)

Onde
– é chamada de velocidade generalizada ( = 1, 2,…, ).

Como os multiplicadores ( = 1, 2,…, ) dependem apenas das coordenadas generalizadas e do tempo t (e não dependem das velocidades generalizadas), diferenciando os lados direito e esquerdo da relação (3.11) pela velocidade generalizada , chegamos à relação:

. (3.12)

Vamos encontrar a derivada parcial da velocidade ao longo de uma coordenada generalizada , levando em consideração que as coordenadas generalizadas entram no lado direito da igualdade (3.11) através dos coeficientes nas velocidades generalizadas:

. (3.13)

Derivativo parcial depende do tempo explicitamente e por meio de coordenadas generalizadas , (
). Calculando a derivada temporal total da derivada parcial, encontramos:

. (3.14)

Comparando os lados direitos das expressões (3.13) e (3.14), notamos que

. (3.15)

Voltando à fórmula (3.10) e substituindo nela as identidades (3.12) e (3.15), obtemos:

.

Considerando que

E

Vamos reduzir a última igualdade à forma:

A energia cinética do SMT (Parte 3 Dinâmica) é determinada pela fórmula:

,

então (3.16) assumirá a forma:

. (3.17)

Substituindo as expressões (3.9) e (3.17) nas equações (3.7), obtemos:

. (3.18)

As equações (3.18) sãoequações diferenciais de movimento do SMT em coordenadas generalizadas.Essas equações são chamadasEquações de Lagrange do segundo tipo de.

Na presença de restrições holonômicas impostas ao sistema, o número de equações de Lagrange do segundo tipo é igual ao número de coordenadas generalizadas independentes, ou seja, o número de graus de liberdade deste sistema holonômico.

A energia cinética do sistema, quando substituída nestas equações, deve primeiro ser expressa como uma função de velocidades generalizadas e coordenadas . Esta será uma função quadrática de velocidades generalizadas , cujos coeficientes podem incluir coordenadas generalizadas (em casos particulares, a energia cinética pode ser uma função quadrática das velocidades com coeficientes constantes). Forças generalizadas também podem ser, no caso geral, funções de coordenadas generalizadas e velocidades .Assim, em expressões , E pode incluir coordenadas generalizadas e seus derivados . Portanto, na expressão
as segundas derivadas serão incluídas . Consequentemente, as equações de Lagrange de segundo tipo (3.18) são equações diferenciais ordinárias de segunda ordem em relação a coordenadas generalizadas
.

As principais vantagens das equações de Lagrange do segundo tipo (3.18) são as seguintes. Primeiramente, eles fornecem um método unificado e, além disso, bastante simples para resolver problemas de dinâmica para qualquer SMT que se mova arbitrariamente com restrições holonômicas. Em segundo lugar, o número de equações (3.18) não depende do número de MTs incluídos no MMT e é igual ao número de graus de liberdade do sistema (em máquinas, mecanismos e dispositivos geralmente há um, dois e raramente mais mais de dois graus de liberdade). Terceiro, as forças e momentos que atuam no sistema são apresentados aqui na forma de forças generalizadas, que incluem apenas forças e momentos ativos, e todas as reações de conexões ideais são automaticamente excluídas das equações. Essas vantagens explicam o uso generalizado das equações de Lagrange de segundo tipo em todas as ciências técnicas e em vários ramos da física.

As equações de Lagrange do segundo tipo também podem ser usadas nos casos em que restrições não ideais são impostas ao sistema, por exemplo, acoplamentos com atrito de deslizamento e rolamento. Neste caso, as forças e momentos de ligações não ideais estão incluídos no número de forças e momentos ativos.

Vamos agora escrever as equações (3.18) para SMTs holonômicas conservadoras. Neste caso, as forças generalizadas pode ser expresso em termos da energia potencial do SMT:

,

e, portanto, as equações (3.17) terão a forma:

,
(3.19)

Levando em consideração que a energia potencial do sistema depende das coordenadas generalizadas
não depende de velocidades generalizadas
, podemos simplificar ainda mais a forma da equação (3.19):

.
(3.20)

Vamos apresentar o conceito de potencial cinético (também chamado de função de Lagrange):

eu k = T – P,

então as equações (3.20) podem ser escritas na forma:

.
(3.21)

As equações (3.21) são equações de Lagrange do segundo tipo para sistemas conservativos.

A equação geral da dinâmica é:

Onde - forças ativas aplicadas ao sistema;

-peso k -ésimo ponto;

-aceleração k -ésimo ponto;

Movimento virtual k -ésimo ponto.

A equação (3.10) mostra que em qualquer momento fixo no tempo a soma dos trabalhos elementares das forças ativas e das forças inerciais em quaisquer deslocamentos virtuais é igual a zero, desde que sejam impostas conexões ideais e restritivas ao sistema.

Uma propriedade importante da equação geral da dinâmica é que ela não contém reações de ligações ideais. Às vezes esta equação pode ser utilizada para estudar o movimento de sistemas mecânicos e em casos onde nem todas as ligações são ideais, por exemplo, quando existem ligações com atrito. Para isso, é necessário adicionar às forças ativas aqueles componentes das reações que são causadas pela presença de forças de atrito.

O cálculo da soma do trabalho das forças de inércia nos deslocamentos virtuais de um corpo rígido é realizado por meio das seguintes fórmulas.

1. Quando o corpo avança:

Onde
-vetor principal das forças de inércia do corpo ( M - massa corporal, - aceleração do centro de massa),

- movimento virtual do centro de massa do corpo.

2. Quando um corpo gira em torno de um eixo fixo:

Onde
- o principal momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação ( - momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação,  - aceleração angular do corpo),

- movimento angular virtual do corpo.

3. Com movimento plano paralelo:

Onde
- o principal momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa pelo centro de massa COM corpos.

Um caso especial da equação geral da dinâmica é o princípio dos deslocamentos virtuais (equação geral da estática). Na verdade, no caso em que o sistema mecânico está em repouso, todas as forças inerciais são iguais a zero, e o princípio dos deslocamentos virtuais decorre da equação geral da dinâmica: para que um sistema mecânico ao qual são impostas conexões ideais esteja em equilíbrio, é necessário e suficiente que a soma do trabalho elementar de todas as forças ativas aplicadas ao sistema em consideração em qualquer um de seus deslocamentos virtuais seja igual a zero

(3.11)

Consideremos o procedimento para usar a equação (3.10) para compilar equações diferenciais de movimento para sistemas com dois graus de liberdade:

1. Desenhe um sistema mecânico em um momento arbitrário.

2. Mostre na figura as forças e momentos ativos, bem como as forças e momentos correspondentes a ligações não ideais (por exemplo, forças de atrito).

3. Determine os principais vetores e principais momentos das forças de inércia.

4. Selecione coordenadas generalizadas em um número igual ao número de graus de liberdade do sistema.

5. Dê o deslocamento virtual correspondente a um dos graus de liberdade do sistema, considerando iguais a zero os deslocamentos virtuais correspondentes aos restantes graus de liberdade.

6. Calcule a soma dos trabalhos elementares de todas as forças e momentos (ver parágrafos 2 e 3) nos deslocamentos virtuais correspondentes e iguale esta soma a zero.

7. Repita as etapas 4 a 6 para cada movimento independente do sistema.

Ao aplicar a equação geral da dinâmica a sistemas com dois ou mais graus de liberdade, devido aos cálculos complicados, as seguintes recomendações podem ser utilizadas:

1. Faça uma suposição sobre a direção da aceleração dos pontos do sistema.

2. Direcione as forças de inércia na figura nas direções opostas às direções selecionadas das acelerações correspondentes.

3. Determine os sinais dos trabalhos elementares das forças de inércia de acordo com suas direções na figura e as direções selecionadas dos movimentos virtuais dos pontos do sistema.

4. Se as acelerações desejadas forem positivas, então as suposições feitas sobre as direções das acelerações são confirmadas; se forem negativas, então as acelerações correspondentes são direcionadas na outra direção;