ஒரு பிரமிட் சூத்திரத்தின் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டம். பிரமிட்டை ஒரு வடிவியல் அதிசயமாக மாற்றுவது எது?
வீடியோ டுடோரியல் 2: பிரமிட் பிரச்சனை. பிரமிட்டின் அளவு
வீடியோ டுடோரியல் 3: பிரமிட் பிரச்சனை. சரியான பிரமிடு
சொற்பொழிவு: பிரமிட், அதன் அடிப்படை, பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள், உயரம், பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு; முக்கோண பிரமிடு; வழக்கமான பிரமிடு
பிரமிட், அதன் பண்புகள்பிரமிட்- இது அளவீட்டு உடல், அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு பலகோணம் உள்ளது, மேலும் அதன் அனைத்து முகங்களும் முக்கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
ஒரு பிரமிட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு வட்டத்துடன் கூடிய ஒரு கூம்பு ஆகும்.
பிரமிட்டின் முக்கிய கூறுகளைப் பார்ப்போம்:
அபோதெம்- இது பிரமிட்டின் மேற்புறத்தை பக்க முகத்தின் கீழ் விளிம்பின் நடுவில் இணைக்கும் ஒரு பகுதி. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது பிரமிட்டின் விளிம்பின் உயரம்.
படத்தில் நீங்கள் ADS, ABS, BCS, CDS முக்கோணங்களைக் காணலாம். நீங்கள் பெயர்களை உற்று நோக்கினால், ஒவ்வொரு முக்கோணத்திற்கும் அதன் பெயரில் ஒரு பொதுவான எழுத்து இருப்பதைக் காணலாம் - எஸ். அதாவது, அனைத்து பக்க முகங்களும் (முக்கோணங்கள்) ஒரு கட்டத்தில் ஒன்றிணைகின்றன, இது பிரமிட்டின் மேல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. .
அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளியுடன் உச்சியை இணைக்கும் பிரிவு OS (முக்கோணங்களின் விஷயத்தில் - உயரங்களின் வெட்டும் புள்ளியில்) அழைக்கப்படுகிறது பிரமிடு உயரம்.
மூலைவிட்டப் பகுதி என்பது பிரமிட்டின் மேற்புறம் வழியாக செல்லும் ஒரு விமானம், அத்துடன் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்றாகும்.
பிரமிட்டின் பக்க மேற்பரப்பு முக்கோணங்களைக் கொண்டிருப்பதால், பக்க மேற்பரப்பின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு முகத்தின் பகுதியையும் கண்டுபிடித்து அவற்றைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம். முகங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் வடிவம் அடித்தளத்தில் இருக்கும் பலகோணத்தின் பக்கங்களின் வடிவம் மற்றும் அளவைப் பொறுத்தது.
ஒரு பிரமிட்டில் அதன் உச்சிக்கு சொந்தமில்லாத ஒரே விமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படையில்பிரமிடுகள்.
படத்தில் நாம் அடிப்படை ஒரு இணையான வரைபடம் என்று பார்க்கிறோம், இருப்பினும், அது எந்த தன்னிச்சையான பலகோணமாக இருக்கலாம்.
பண்புகள்:
ஒரு பிரமிட்டின் முதல் வழக்கைக் கவனியுங்கள், அதில் ஒரே நீளத்தின் விளிம்புகள் உள்ளன:
- அத்தகைய பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டம் வரையலாம். அத்தகைய பிரமிட்டின் மேற்புறத்தை நீங்கள் முன்வைத்தால், அதன் திட்டம் வட்டத்தின் மையத்தில் அமைந்திருக்கும்.
- பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் உள்ள கோணங்கள் ஒவ்வொரு முகத்திலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
- இந்த வழக்கில், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும் என்பதற்கும், அனைத்து விளிம்புகளும் வெவ்வேறு நீளம் கொண்டவை என்பதற்கும் போதுமான நிபந்தனை, அடித்தளத்திற்கும் முகங்களின் ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் இடையில் ஒரே கோணங்களாகக் கருதப்படலாம்.
பக்க முகங்களுக்கும் அடித்தளத்திற்கும் இடையிலான கோணங்கள் சமமாக இருக்கும் ஒரு பிரமிட்டை நீங்கள் கண்டால், பின்வரும் பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும்:
- பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை நீங்கள் விவரிக்க முடியும், அதன் உச்சம் சரியாக மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.
- நீங்கள் உயரத்தின் ஒவ்வொரு பக்க விளிம்பையும் அடித்தளத்திற்கு வரைந்தால், அவை சம நீளமாக இருக்கும்.
- அத்தகைய பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் கண்டுபிடிக்க, அடித்தளத்தின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடித்து உயரத்தின் பாதி நீளத்தால் பெருக்க போதுமானது.
- S bp = 0.5P oc H.
- பிரமிடு வகைகள்.
- பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் எந்த பலகோணம் உள்ளது என்பதைப் பொறுத்து, அவை முக்கோண, நாற்கர வடிவமாக இருக்கலாம். பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் வழக்கமான பலகோணம் (சம பக்கங்களுடன்) இருந்தால், அத்தகைய பிரமிடு வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படும்.
வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு
முக்கோண பிரமிடு என்பது அதன் அடிவாரத்தில் முக்கோணத்தைக் கொண்ட ஒரு பிரமிடு ஆகும். இந்த பிரமிட்டின் உயரம் செங்குத்தாக உள்ளது, இது பிரமிட்டின் மேலிருந்து அதன் அடிப்பகுதிக்கு குறைக்கப்படுகிறது.
ஒரு பிரமிட்டின் உயரத்தைக் கண்டறிதல்
ஒரு பிரமிட்டின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? மிக எளிய! எந்த உயரத்தையும் கண்டுபிடிக்க முக்கோண பிரமிடுநீங்கள் தொகுதி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: V = (1/3) Sh, இங்கு S என்பது அடித்தளத்தின் பரப்பளவு, V என்பது பிரமிட்டின் அளவு, h என்பது அதன் உயரம். இந்த சூத்திரத்திலிருந்து, உயர சூத்திரத்தைப் பெறுங்கள்: ஒரு முக்கோண பிரமிட்டின் உயரத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பிரமிட்டின் அளவை 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும், பின்னர் அதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை அடித்தளத்தின் பரப்பளவில் வகுக்க வேண்டும், அது: h = (3V)/S. முக்கோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு முக்கோணமாக இருப்பதால், முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். நமக்குத் தெரிந்தால்: முக்கோணத்தின் பரப்பளவு S மற்றும் அதன் பக்க z, பின்னர் பகுதி சூத்திரத்தின் படி S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, இங்கு h என்பது பிரமிட்டின் உயரம், γ முக்கோணத்தின் விளிம்பு; முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் இரண்டு பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணம், பின்னர் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி: S = (1/2)γφsinQ, அங்கு γ, φ முக்கோணத்தின் பக்கங்கள், முக்கோணத்தின் பகுதியைக் காண்கிறோம். இணையத்தில் கிடைக்கும் சைன்களின் அட்டவணையில் Q கோணத்தின் சைனின் மதிப்பைப் பார்க்க வேண்டும். அடுத்து, பகுதி மதிப்பை உயர சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்: h = (2S)/γ. பணிக்கு ஒரு முக்கோண பிரமிட்டின் உயரத்தை கணக்கிட வேண்டும் என்றால், பிரமிட்டின் அளவு ஏற்கனவே அறியப்படுகிறது.
வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு
ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் உயரத்தைக் கண்டறியவும், அதாவது, அனைத்து முகங்களும் சமபக்க முக்கோணங்களாக இருக்கும் ஒரு பிரமிடு, விளிம்பின் அளவை அறிந்து γ. இந்த வழக்கில், பிரமிட்டின் விளிம்புகள் சமபக்க முக்கோணங்களின் பக்கங்களாகும். வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் உயரம்: h = γ√(2/3), இங்கு γ என்பது சமபக்க முக்கோணத்தின் விளிம்பு, h என்பது பிரமிட்டின் உயரம். அடித்தளத்தின் (S) பரப்பளவு தெரியவில்லை என்றால், விளிம்பின் நீளம் (γ) மற்றும் பாலிஹெட்ரானின் தொகுதி (V) மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டால், முந்தைய படியிலிருந்து சூத்திரத்தில் தேவையான மாறி மாற்றப்பட வேண்டும். அதன் சமமான மூலம், இது விளிம்பின் நீளத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு (வழக்கமானது) இந்த முக்கோணத்தின் பக்க நீளத்தின் பெருக்கத்தின் 1/4 க்கு சமமாக இருக்கும் சூத்திரம், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் அளவை அதன் விளிம்பின் நீளம் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம், பின்னர் ஒரு உருவத்தின் உயரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்திலிருந்து, நீங்கள் அனைத்து மாறிகளையும் அகற்றி, உருவத்தின் முக்கோண முகத்தின் பக்கத்தை மட்டும் விட்டுவிடலாம். அத்தகைய ஒரு பிரமிட்டின் கன அளவை அதன் முகத்தின் க்யூப் நீளத்தை 2 இன் வர்க்க மூலத்தால் தயாரிப்பிலிருந்து 12 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் கணக்கிடலாம்.
இந்த வெளிப்பாட்டை முந்தைய சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், கணக்கீட்டிற்கு பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. மேலும், ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம் ஒரு கோளத்தில் பொறிக்கப்படலாம், மேலும் கோளத்தின் (R) ஆரம் மட்டுமே தெரிந்துகொள்வதன் மூலம் டெட்ராஹெட்ரானின் உயரத்தைக் கண்டறிய முடியும். டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்பின் நீளம்: γ = 4R/√6. முந்தைய சூத்திரத்தில் இந்த வெளிப்பாட்டுடன் மாறி γ ஐ மாற்றி, சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. டெட்ராஹெட்ரானில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு வட்டத்தின் ஆரம் (R) தெரிந்துகொள்வதன் மூலம் அதே சூத்திரத்தைப் பெறலாம். இந்த வழக்கில், முக்கோணத்தின் விளிம்பின் நீளம் 6 இன் வர்க்க மூலத்திற்கும் ஆரத்திற்கும் இடையில் 12 விகிதங்களுக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வெளிப்பாட்டை முந்தைய சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம், மேலும் எங்களிடம் உள்ளது: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது
ஒரு பிரமிட்டின் உயரத்தின் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்க, வழக்கமான பிரமிடு என்ன என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு நாற்கர பிரமிடு என்பது ஒரு பிரமிடு ஆகும், இது அதன் அடிவாரத்தில் ஒரு நாற்கரத்தைக் கொண்டுள்ளது. சிக்கலின் நிலைமைகளில் எங்களிடம் இருந்தால்: தொகுதி (V) மற்றும் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி (S) பகுதி, பாலிஹெட்ரான் (h) இன் உயரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு இருக்கும் - தொகுதியை பெருக்கி வகுக்கவும் பகுதி S: h = (3V)/S மூலம் 3 ஆல். கொடுக்கப்பட்ட தொகுதி (V) மற்றும் பக்க நீளம் γ கொண்ட ஒரு பிரமிட்டின் சதுர அடித்தளம் கொடுக்கப்பட்டால், முந்தைய சூத்திரத்தில் உள்ள பகுதியை (S) பக்க நீளத்தின் சதுரத்துடன் மாற்றவும்: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் உயரம் h = SO அடிப்பகுதிக்கு அருகில் சுற்றியிருக்கும் வட்டத்தின் மையத்தின் வழியாக சரியாக செல்கிறது. இந்த பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு சதுரமாக இருப்பதால், புள்ளி O என்பது AD மற்றும் BC மூலைவிட்டங்களின் வெட்டுப்புள்ளியாகும். எங்களிடம் உள்ளது: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. அடுத்து, வலது முக்கோண SOC இல் நாம் (பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி) காண்கிறோம்: SO = √(SC 2 -OC 2). வழக்கமான பிரமிட்டின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது இப்போது உங்களுக்குத் தெரியும்.
வழிமுறைகள்
அந்த நிகழ்வில் அடிவாரத்தில் பிரமிடுகள்ஒரு சதுரம் உள்ளது, அதன் மூலைவிட்டத்தின் நீளம் அறியப்படுகிறது, அதே போல் இதன் விளிம்பின் நீளம் பிரமிடுகள், அந்த உயரம்இது பிரமிடுகள்பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் இருந்து வெளிப்படுத்தலாம், ஏனெனில் ஒரு முக்கோணம் ஒரு விளிம்பால் உருவாகிறது பிரமிடுகள், மற்றும் அடிப்பகுதியில் உள்ள மூலைவிட்டத்தின் பாதி ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும்.
பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒரு செவ்வக முக்கோணத்தில் உள்ள ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் அதன் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் என்று கூறுகிறது (a² = b² + c²). விளிம்பு பிரமிடுகள்- ஹைப்போடென்யூஸ், கால்களில் ஒன்று சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தின் பாதி ஆகும். பின்னர் அறியப்படாத காலின் நீளம் (உயரம்) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².
இரண்டு சூழ்நிலைகளையும் முடிந்தவரை தெளிவாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் மாற்ற, நீங்கள் ஒரு ஜோடியைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 1: அடிப்படை பகுதி பிரமிடுகள் 46 செமீ², அதன் அளவு 120 செமீ³. இந்த தரவுகளின் அடிப்படையில், உயரம் பிரமிடுகள்இப்படி அமைந்துள்ளது:
h = 3*120/46 = 7.83 செ.மீ
பதில்: இதன் உயரம் பிரமிடுகள்தோராயமாக 7.83 செ.மீ இருக்கும்
எடுத்துக்காட்டு 2: யு பிரமிடுகள், அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு பலகோணம் உள்ளது - ஒரு சதுரம், அதன் மூலைவிட்டம் 14 செ.மீ., இந்த தரவுகளின்படி, விளிம்பின் நீளம் 15 செ.மீ உயரம் பிரமிடுகள், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் (இது பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் விளைவு):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 செ.மீ
பதில்: இதன் உயரம் பிரமிடுகள்√29 செமீ அல்லது தோராயமாக 5.4 செ.மீ
குறிப்பு
பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு சதுரம் அல்லது பிற வழக்கமான பலகோணம் இருந்தால், இந்த பிரமிட்டை வழக்கமானது என்று அழைக்கலாம். அத்தகைய பிரமிடு பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:
அதன் பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள் சமம்;
அதன் முகங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமான சமபக்க முக்கோணங்கள்;
அத்தகைய பிரமிடுக்கு அருகில் ஒருவர் ஒரு கோளத்தை விவரிக்கலாம், மேலும் அதை பொறிக்கலாம்.
ஆதாரங்கள்:
- சரியான பிரமிடு
ஒரு பிரமிடு என்பது ஒரு உருவம், அதன் அடிப்படை பலகோணமாகும், மேலும் அதன் முகங்கள் அனைவருக்கும் பொதுவான உச்சியைக் கொண்ட முக்கோணங்களாகும். IN வழக்கமான பணிகள்ஒரு உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட ஒரு செங்குத்தாக நீளத்தை கட்டமைத்து தீர்மானிப்பது பெரும்பாலும் அவசியம் பிரமிடுகள்அதன் தளத்தின் விமானத்திற்கு. இந்த பிரிவின் நீளம் உயரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது பிரமிடுகள்.
உனக்கு தேவைப்படும்
- - ஆட்சியாளர்
- - எழுதுகோல்
- - திசைகாட்டி
வழிமுறைகள்
முடிக்க, பணியின் நிபந்தனைகளுக்கு ஏற்ப ஒரு பிரமிட்டை உருவாக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானை உருவாக்க, நீங்கள் ஒரு உருவத்தை வரைய வேண்டும், இதனால் 6 விளிம்புகளும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும். நீங்கள் கட்ட வேண்டும் என்றால் உயரம்நாற்கர வடிவமானது, பின்னர் அடித்தளத்தின் 4 விளிம்புகள் மட்டுமே சமமாக இருக்க வேண்டும். பின்னர் நீங்கள் பலகோணத்தின் விளிம்புகளுக்கு சமமற்ற பக்க முகங்களின் விளிம்புகளை உருவாக்கலாம். பிரமிடுக்கு பெயரிடவும், அனைத்து முனைகளையும் லத்தீன் எழுத்துக்களுடன் குறிக்கவும். உதாரணமாக, க்கான பிரமிடுகள்அடிவாரத்தில் ஒரு முக்கோணத்துடன் நீங்கள் A, B, C (அடிப்படைக்கு), S (மேலே) தேர்வு செய்யலாம். நிபந்தனை விலா எலும்புகளின் குறிப்பிட்ட பரிமாணங்களைக் குறிப்பிட்டால், உருவத்தை உருவாக்கும் போது, இந்த மதிப்புகளிலிருந்து தொடரவும்.
தொடங்குவதற்கு, பலகோணத்தின் அனைத்து விளிம்புகளுக்கும் உள்ளே இருந்து ஒரு திசைகாட்டி, தொடுகோடு பயன்படுத்தி நிபந்தனையுடன் தேர்ந்தெடுக்கவும். ஒரு பிரமிடு என்றால், அடித்தளத்தில் ஒரு புள்ளி (அதை அழைக்கவும், எடுத்துக்காட்டாக, எச்). பிரமிடுகள், அதில் உயரம் இறங்கினால், வட்டத்தின் மையத்துடன் பொறிக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும் சரியான காரணங்கள் பிரமிடுகள். மையமானது வட்டத்தில் உள்ள வேறு எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் சமமான தொலைவில் இருக்கும். உச்சியை இணைத்தால் பிரமிடுகள் H வட்டத்தின் மையத்துடன் S, பின்னர் SH பிரிவு உயரமாக இருக்கும் பிரமிடுகள். ஒரு வட்டம் ஒரு நாற்கரத்தில் பொறிக்கப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அதன் எதிர் பக்கங்கள் சமமான தொகைகளைக் கொண்டுள்ளன. இது சதுரம் மற்றும் ரோம்பஸுக்கு பொருந்தும். இந்த வழக்கில், புள்ளி H நாற்கரத்தில் இருக்கும். எந்த முக்கோணத்திற்கும் ஒரு வட்டத்தை பொறித்து விவரிக்க முடியும்.
கட்டுவதற்கு உயரம் பிரமிடுகள், ஒரு வட்டத்தை வரைய ஒரு திசைகாட்டியைப் பயன்படுத்தவும், பின்னர் அதன் மையமான H ஐ உச்சியுடன் இணைக்க ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தவும். SH என்பது விரும்பிய உயரம். அடிவாரத்தில் இருந்தால் பிரமிடுகள் SABC ஒரு ஒழுங்கற்ற உருவம், பின்னர் உயரம் உச்சியை இணைக்கும் பிரமிடுகள்அடிப்படை பலகோணம் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்துடன். பலகோணத்தின் அனைத்து முனைகளும் அத்தகைய வட்டத்தில் உள்ளன. இந்த வழக்கில், இந்த பிரிவு அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் பிரமிடுகள். எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருந்தால், ஒரு நாற்கரத்தைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தை விவரிக்கலாம். அத்தகைய வட்டத்தின் மையம் தொடர்புடைய மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டில் இருக்கும்
வரையறை. பக்க முனை- இது ஒரு முக்கோணம், இதில் ஒரு கோணம் பிரமிட்டின் மேற்புறத்தில் உள்ளது, மேலும் எதிர் பக்கம் அடித்தளத்தின் பக்கத்துடன் (பலகோணம்) ஒத்துப்போகிறது.
வரையறை. பக்க விலா எலும்புகள்- இவை பக்க முகங்களின் பொதுவான பக்கங்கள். ஒரு பிரமிடு பலகோணத்தின் கோணங்களைப் போல பல விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது.
வரையறை. பிரமிட் உயரம்- இது பிரமிட்டின் மேலிருந்து அடிப்பகுதிக்கு செங்குத்தாக குறைக்கப்பட்டுள்ளது.
வரையறை. அபோதெம்- இது பிரமிட்டின் பக்க முகத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, இது பிரமிட்டின் மேலிருந்து அடித்தளத்தின் பக்கத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது.
வரையறை. மூலைவிட்ட பிரிவு- இது பிரமிட்டின் மேற்புறம் மற்றும் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டம் வழியாக செல்லும் விமானம் மூலம் பிரமிட்டின் ஒரு பகுதி.
வரையறை. சரியான பிரமிடுஇது ஒரு பிரமிடு ஆகும், இதில் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணமாகும், மேலும் உயரம் அடித்தளத்தின் மையத்திற்கு இறங்குகிறது.
பிரமிட்டின் அளவு மற்றும் பரப்பளவு
சூத்திரம். பிரமிட்டின் அளவுஅடிப்படை பகுதி மற்றும் உயரம் மூலம்:
பிரமிட்டின் பண்புகள்
அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமமாக இருந்தால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை வரையலாம், மேலும் அடித்தளத்தின் மையம் வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. மேலும், மேலே இருந்து ஒரு செங்குத்தாக கைவிடப்பட்டது அடிப்படை (வட்டம்) மையத்தின் வழியாக செல்கிறது.
அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமமாக இருந்தால், அவை ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருக்கும்.
பக்கவாட்டு விளிம்புகள் அடித்தளத்தின் விமானத்துடன் சம கோணங்களை உருவாக்கும் போது அல்லது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியுமானால் சமமாக இருக்கும்.
பக்க முகங்கள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருந்தால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு வட்டம் பொறிக்கப்படலாம், மேலும் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அதன் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.
பக்க முகங்கள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருந்தால், பக்க முகங்களின் அபோதெம்கள் சமமாக இருக்கும்.
வழக்கமான பிரமிட்டின் பண்புகள்
1. பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அடித்தளத்தின் அனைத்து மூலைகளிலிருந்தும் சமமான தொலைவில் உள்ளது.
2. அனைத்து பக்க முனைகளும் சமமாக இருக்கும்.
3. அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் அடித்தளத்திற்கு சமமான கோணங்களில் சாய்ந்திருக்கும்.
4. அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் அபோதெம்களும் சமமாக இருக்கும்.
5. அனைத்து பக்க முகங்களின் பகுதிகளும் சமமாக இருக்கும்.
6. அனைத்து முகங்களும் ஒரே டைஹெட்ரல் (பிளாட்) கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன.
7. பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கோளத்தை விவரிக்கலாம். சுற்றப்பட்ட கோளத்தின் மையம் விளிம்புகளின் நடுவில் செல்லும் செங்குத்துகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கும்.
8. நீங்கள் ஒரு கோளத்தை ஒரு பிரமிட்டில் பொருத்தலாம். பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் மையம் விளிம்பிற்கும் அடித்தளத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தில் இருந்து வெளிப்படும் இருபக்கங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கும்.
9. பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் மையம் சுற்றப்பட்ட கோளத்தின் மையத்துடன் இணைந்தால், உச்சியில் உள்ள விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை π அல்லது நேர்மாறாக இருக்கும், ஒரு கோணம் π/n க்கு சமம், n என்பது எண். பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் உள்ள கோணங்கள்.
பிரமிடுக்கும் கோளத்துக்கும் உள்ள தொடர்பு
பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு பாலிஹெட்ரான் இருக்கும் போது ஒரு கோளத்தை சுற்றி விவரிக்க முடியும், அதைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும் (தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை). கோளத்தின் மையம் பிரமிட்டின் பக்க விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செங்குத்தாக செல்லும் விமானங்களின் வெட்டுப்புள்ளியாக இருக்கும்.
எந்த முக்கோண அல்லது வழக்கமான பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கோளம் எப்போதும் விவரிக்கப்படலாம்.
பிரமிட்டின் உள் இருமுனைக் கோணங்களின் இருபக்கத் தளங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டினால் (தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை) ஒரு கோளத்தை ஒரு பிரமிட்டில் பொறிக்க முடியும். இந்த புள்ளி கோளத்தின் மையமாக இருக்கும்.
ஒரு பிரமிடுக்கும் கூம்புக்கும் இடையிலான உறவு
ஒரு கூம்பு ஒரு பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது, அவற்றின் முனைகள் ஒன்றிணைந்தால், கூம்பின் அடிப்பகுதி பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.
பிரமிட்டின் அபோதெம்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால் பிரமிட்டில் கூம்பு பொறிக்கப்படலாம்.
ஒரு கூம்பு ஒரு பிரமிட்டைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது, அவற்றின் செங்குத்துகள் ஒன்றிணைந்தால் மற்றும் கூம்பின் அடிப்பகுதி பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி வளைக்கப்படும்.
பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு விளிம்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால் பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கூம்பு விவரிக்கப்படலாம்.
ஒரு பிரமிடு மற்றும் ஒரு சிலிண்டர் இடையே உள்ள உறவு
பிரமிட்டின் மேற்பகுதி உருளையின் ஒரு அடிப்பகுதியில் அமைந்திருந்தால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி சிலிண்டரின் மற்றொரு அடிப்பகுதியில் பொறிக்கப்பட்டிருந்தால், பிரமிடு உருளையில் பொறிக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது.
பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடிந்தால், ஒரு சிலிண்டரை ஒரு பிரமிட்டைச் சுற்றி விவரிக்க முடியும்.
ஒரு டெட்ராஹெட்ரானில் நான்கு முகங்கள் மற்றும் நான்கு முனைகள் மற்றும் ஆறு விளிம்புகள் உள்ளன, அங்கு எந்த இரண்டு விளிம்புகளிலும் பொதுவான செங்குத்துகள் இல்லை, ஆனால் அவை தொடாது.
ஒவ்வொரு உச்சியும் மூன்று முகங்கள் மற்றும் விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது முக்கோண கோணம்.
டெட்ராஹெட்ரானின் உச்சியை எதிர் முகத்தின் மையத்துடன் இணைக்கும் பிரிவு அழைக்கப்படுகிறது டெட்ராஹெட்ரானின் இடைநிலை(GM).
பைமீடியன்தொடாத (KL) எதிரெதிர் விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் அனைத்து பைமீடியன்களும் இடைநிலைகளும் ஒரு புள்ளியில் (S) வெட்டுகின்றன. இந்த வழக்கில், பைமீடியன்கள் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன, மற்றும் இடைநிலைகள் மேலே இருந்து தொடங்கி 3:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகின்றன.
வரையறை. கடுமையான கோண பிரமிடு- ஒரு பிரமிடு, இதில் அபோதெம் அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் பாதி நீளத்தை விட அதிகமாக உள்ளது.
வரையறை. மழுங்கிய பிரமிடு- ஒரு பிரமிடு, இதில் அபோதெம் அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் பாதி நீளத்தை விட குறைவாக உள்ளது.
வரையறை. வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான்- நான்கு முகங்களும் சமபக்க முக்கோணங்களாக இருக்கும் ஒரு டெட்ராஹெட்ரான். இது ஐந்து வழக்கமான பலகோணங்களில் ஒன்றாகும். வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானில், அனைத்து இருமுனை கோணங்களும் (முகங்களுக்கு இடையில்) மற்றும் முக்கோண கோணங்களும் (உச்சியில்) சமமாக இருக்கும்.
வரையறை. செவ்வக டெட்ராஹெட்ரான்ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் உச்சத்தில் மூன்று விளிம்புகளுக்கு இடையில் ஒரு வலது கோணம் உள்ளது (விளிம்புகள் செங்குத்தாக இருக்கும்). மூன்று முகங்கள் உருவாகின்றன செவ்வக முக்கோண கோணம்மற்றும் விளிம்புகள் உள்ளன வலது முக்கோணங்கள், மற்றும் அடிப்படை ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணம். எந்த முகத்தின் apothem, apothem விழும் அடித்தளத்தின் பாதி பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.
வரையறை. ஐசோஹெட்ரல் டெட்ராஹெட்ரான்ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் பக்க முகங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும், மேலும் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான முக்கோணமாகும். அத்தகைய டெட்ராஹெட்ரான் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களின் முகங்களைக் கொண்டுள்ளது.
வரையறை. ஆர்த்தோசென்ட்ரிக் டெட்ராஹெட்ரான்ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் மேலிருந்து எதிர் முகத்திற்கு தாழ்த்தப்பட்ட அனைத்து உயரங்களும் (செங்குத்தாக) ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன.
வரையறை. நட்சத்திர பிரமிடுஒரு நட்சத்திரத்தின் அடித்தளத்தைக் கொண்ட பாலிஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
பிரமிட் கருத்து
வரையறை 1
வடிவியல் உருவம், ஒரு பலகோணத்தால் உருவாக்கப்பட்ட மற்றும் இந்த பலகோணத்தைக் கொண்ட விமானத்தில் பொய் இல்லாத ஒரு புள்ளி, பலகோணத்தின் அனைத்து முனைகளிலும் இணைக்கப்பட்ட ஒரு பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது (படம் 1).
பிரமிடு செய்யப்பட்ட பலகோணம், ஒரு புள்ளியுடன் இணைக்கப்பட்டால், விளைந்த முக்கோணங்கள், பிரமிட்டின் பக்க முகங்கள், முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் பிரமிட்டின் பக்கங்கள் மற்றும் புள்ளி பொதுவானது. அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி உள்ளது.
பிரமிடுகளின் வகைகள்
பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் உள்ள கோணங்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து, அதை முக்கோண, நாற்கர மற்றும் பல (படம் 2) என்று அழைக்கலாம்.
படம் 2.
மற்றொரு வகை பிரமிடு வழக்கமான பிரமிடு ஆகும்.
வழக்கமான பிரமிட்டின் சொத்தை அறிமுகப்படுத்தி நிரூபிப்போம்.
தேற்றம் 1
வழக்கமான பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமான சமபக்க முக்கோணங்களாகும்.
ஆதாரம்.
$S$ உயரம் $h=SO$ உச்சியுடன் கூடிய வழக்கமான $n-$gonal பிரமிட்டைக் கவனியுங்கள். அடித்தளத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை வரைவோம் (படம் 4).
படம் 4.
$SOA$ முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, நாம் பெறுகிறோம்
வெளிப்படையாக, எந்த பக்க விளிம்பும் இந்த வழியில் வரையறுக்கப்படும். இதன் விளைவாக, அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும், அதாவது, அனைத்து பக்க முகங்களும் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள். அவர்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமானவர்கள் என்பதை நிரூபிப்போம். அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணம் என்பதால், அனைத்து பக்க முகங்களின் தளங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் III அளவுகோலின் படி அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் சமமாக இருக்கும்.
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
வழக்கமான பிரமிடு என்ற கருத்துடன் தொடர்புடைய பின்வரும் வரையறையை இப்போது அறிமுகப்படுத்துவோம்.
வரையறை 3
வழக்கமான பிரமிட்டின் அபோதெம் அதன் பக்க முகத்தின் உயரம் ஆகும்.
வெளிப்படையாக, தேற்றம் ஒன்றின் மூலம், அனைத்து அபோதெம்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவை.
தேற்றம் 2
ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அடித்தளம் மற்றும் அபோதெமின் அரை சுற்றளவு ஆகியவற்றின் விளைவாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
ஆதாரம்.
$n-$gonal பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கத்தை $a$ ஆல் குறிப்போம், மற்றும் apothem ஐ $d$ ஆல் குறிப்போம். எனவே, பக்க முகத்தின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்
தேற்றம் 1 இன் படி, எல்லா பக்கங்களும் சமமாக இருப்பதால்
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
மற்றொரு வகை பிரமிடு துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு ஆகும்.
வரையறை 4
அதன் தளத்திற்கு இணையான ஒரு விமானம் ஒரு சாதாரண பிரமிடு வழியாக வரையப்பட்டால், இந்த விமானத்திற்கும் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கும் இடையில் உருவாகும் உருவம் துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது (படம் 5).
படம் 5. துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு
துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகங்கள் ட்ரேப்சாய்டுகள்.
தேற்றம் 3
வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு தளங்கள் மற்றும் அபோதெமின் அரை சுற்றளவுகளின் கூட்டுத்தொகையின் விளைவாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
ஆதாரம்.
$n-$gonal பிரமிட்டின் தளங்களின் பக்கங்களை முறையே $a\ மற்றும்\ b$ ஆகவும், apothem ஐ $d$ ஆகவும் குறிப்போம். எனவே, பக்க முகத்தின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்
அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருப்பதால், பின்னர்
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
மாதிரி பணி
எடுத்துக்காட்டு 1
துண்டிக்கப்பட்ட முக்கோண பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும், அது ஒரு வழக்கமான பிரமிடிலிருந்து அடிப்படை பக்கம் 4 மற்றும் அபோதெம் 5 ஆகியவற்றைக் கொண்ட பக்க முகங்களின் நடுப்பகுதி வழியாக செல்லும் விமானத்தை வெட்டுவதன் மூலம் பெறப்பட்டால்.
தீர்வு.
மிட்லைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் மேல் அடித்தளம் $4\cdot \frac(1)(2)=2$ க்கு சமமாக இருப்பதையும், அபோதெம் $5\cdot \frac(1)(2) =2.5$.
பின்னர், தேற்றம் 3 மூலம், நாம் பெறுகிறோம்
