வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி. பிரமிட் உயரம்

ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி சிக்கலை C2 தீர்க்கும் போது, பல மாணவர்கள் அதே சிக்கலை எதிர்கொள்கின்றனர். அவர்களால் கணக்கிட முடியாது புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்சூத்திரத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது டாட் தயாரிப்பு. மிகப்பெரிய சிரமங்கள் எழுகின்றன பிரமிடுகள். அடிப்படை புள்ளிகள் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ சாதாரணமாகக் கருதப்பட்டால், டாப்ஸ் ஒரு உண்மையான நரகம்.

இன்று நாம் ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் வேலை செய்வோம். ஒரு முக்கோண பிரமிடும் உள்ளது (aka - டெட்ராஹெட்ரான்) இது மிகவும் சிக்கலான வடிவமைப்பு, எனவே ஒரு தனி பாடம் அதற்கு அர்ப்பணிக்கப்படும்.

முதலில், வரையறையை நினைவில் கொள்வோம்:

ஒரு வழக்கமான பிரமிடு ஒன்று:

அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணம்: முக்கோணம், சதுரம், முதலியன;

அடித்தளத்திற்கு வரையப்பட்ட உயரம் அதன் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது.

குறிப்பாக, ஒரு நாற்கர பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி சதுரம். சியோப்ஸைப் போலவே, கொஞ்சம் சிறியது.

ஒரு பிரமிடுக்கான கணக்கீடுகள் கீழே உள்ளன, அதில் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். உங்கள் பிரச்சனையில் இது இல்லையென்றால், கணக்கீடுகள் மாறாது - எண்கள் வித்தியாசமாக இருக்கும்.

ஒரு நாற்கர பிரமிட்டின் முனைகள்

எனவே, ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு SABCD கொடுக்கப்பட வேண்டும், அங்கு S என்பது உச்சி மற்றும் அடிப்படை ABCD ஒரு சதுரம். அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமம். நீங்கள் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை உள்ளிட்டு அனைத்து புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளையும் கண்டறிய வேண்டும். எங்களிடம் உள்ளது:

புள்ளி A இல் தோற்றம் கொண்ட ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

OX அச்சு விளிம்பு AB க்கு இணையாக இயக்கப்படுகிறது;
OY அச்சு AD க்கு இணையாக உள்ளது. ABCD ஒரு சதுரம் என்பதால், AB ⊥ AD;
இறுதியாக, நாம் OZ அச்சை மேல்நோக்கி, ABCD விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இயக்குகிறோம்.

இப்போது நாம் ஆயங்களை கணக்கிடுகிறோம். கூடுதல் கட்டுமானம்: SH - அடித்தளத்திற்கு வரையப்பட்ட உயரம். வசதிக்காக, பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியை ஒரு தனி வரைபடத்தில் வைப்போம். புள்ளிகள் A, B, C மற்றும் D ஆகியவை OXY விமானத்தில் இருப்பதால், அவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு z = 0. எங்களிடம் உள்ளது:

A = (0; 0; 0) - தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது;
B = (1; 0; 0) - தோற்றத்திலிருந்து OX அச்சில் 1 படி;
C = (1; 1; 0) - OX அச்சில் 1 மற்றும் OY அச்சில் 1 படி;
D = (0; 1; 0) - OY அச்சில் மட்டும் படி.
H = (0.5; 0.5; 0) - சதுரத்தின் மையம், பிரிவு ஏசியின் நடுப்பகுதி.

புள்ளி S இன் ஆயங்களை கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது. S மற்றும் H புள்ளிகளின் x மற்றும் y ஆயத்தொலைவுகள் OZ அச்சுக்கு இணையான ஒரு கோட்டில் இருப்பதால் அவை ஒரே மாதிரியானவை என்பதை நினைவில் கொள்க. புள்ளி Sக்கான z ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய இது உள்ளது.

ASH மற்றும் ABH முக்கோணங்களைக் கவனியுங்கள்:

AS = AB = 1 நிபந்தனையின்படி;
கோணம் AHS = AHB = 90°, SH என்பது உயரம் மற்றும் AH ⊥ HB என்பது சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்களாக இருப்பதால்;
பக்க AH பொதுவானது.

எனவே, வலது முக்கோணங்கள் ASH மற்றும் ABH சமமானஒரு கால் மற்றும் ஒரு ஹைப்போடென்யூஸ் ஒவ்வொன்றும். இதன் பொருள் SH = BH = 0.5 BD. ஆனால் BD என்பது பக்கம் 1 கொண்ட சதுரத்தின் மூலைவிட்டமாகும். எனவே நம்மிடம் உள்ளது:

புள்ளி S இன் மொத்த ஆயங்கள்:

முடிவில், ஒரு வழக்கமான செவ்வக பிரமிட்டின் அனைத்து முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளை எழுதுவோம்:

விலா எலும்புகள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது

பிரமிட்டின் பக்க விளிம்புகள் அடித்தளத்தின் விளிம்புகளுக்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது? இந்த வழக்கில், AHS முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள்:

முக்கோணம் AHS - செவ்வக, மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் AS என்பது அசல் பிரமிடு SABCD இன் பக்க விளிம்பாகும். லெக் AH எளிதில் கணக்கிடப்படுகிறது: AH = 0.5 AC. மீதமுள்ள கால் SH ஐக் கண்டுபிடிப்போம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி. இது புள்ளி Sக்கான z ஒருங்கிணைப்பாக இருக்கும்.

பணி. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு SABCD கொடுக்கப்பட்டால், அதன் அடிவாரத்தில் பக்கத்துடன் ஒரு சதுரம் உள்ளது. பக்க விளிம்பு BS = 3. புள்ளி S இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

இந்த புள்ளியின் x மற்றும் y ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம்: x = y = 0.5. இது இரண்டு உண்மைகளிலிருந்து பின்வருமாறு:

OXY விமானத்தின் மீது புள்ளி S இன் ப்ராஜெக்ஷன் புள்ளி H ஆகும்;
அதே நேரத்தில், புள்ளி H என்பது ஒரு சதுர ABCD இன் மையமாகும், அதன் அனைத்து பக்கங்களும் 1 க்கு சமம்.

புள்ளி S இன் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய இது உள்ளது. AHS முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். இது செவ்வக வடிவமானது, AS = BS = 3 என்ற ஹைப்போடனூஸுடன், கால் AH பாதி மூலைவிட்டமாக இருக்கும். மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு அதன் நீளம் நமக்குத் தேவை:

AHS முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்: AH 2 + SH 2 = AS 2. எங்களிடம் உள்ளது:

எனவே, புள்ளி S இன் ஆயத்தொலைவுகள்:

வரையறை

பிரமிட்ஒரு பலகோணம் $A_1A_2...A_n$ மற்றும் $n$ முக்கோணங்கள் ஒரு பொதுவான உச்சியில் $P$ (பலகோணத்தின் விமானத்தில் பொய் இல்லை) மற்றும் அதற்கு எதிரே உள்ள பக்கங்களினால் ஆனது. பலகோணத்தின் பக்கங்கள்.
பதவி: $PA_1A_2...A_n$ .
எடுத்துக்காட்டு: பென்டகோனல் பிரமிடு $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

முக்கோணங்கள் $PA_1A_2, \PA_2A_3$, போன்றவை. அழைக்கப்படுகின்றன பக்க முகங்கள்பிரமிடுகள், பிரிவுகள் $PA_1, PA_2$ போன்றவை. – பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள், பலகோணம் $A_1A_2A_3A_4A_5$ – அடிப்படையில், புள்ளி $P$ – மேல்.

உயரம்பிரமிடுகள் என்பது பிரமிட்டின் உச்சியில் இருந்து அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இறங்கும்.

ஒரு முக்கோணத்தை அதன் அடிவாரத்தில் கொண்ட பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது டெட்ராஹெட்ரான்.

பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது சரி, அதன் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணமாக இருந்தால் மற்றும் பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்:

$(a)$ பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் சமம்;

$(b)$ பிரமிட்டின் உயரம் அடிப்பகுதிக்கு அருகில் வட்டத்தின் மையப்பகுதி வழியாக செல்கிறது;

$(c)$ பக்க விலா எலும்புகள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருக்கும்.

$(d)$ பக்க முகங்கள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்திருக்கும்.

வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான்ஒரு முக்கோண பிரமிடு, அதன் முகங்கள் அனைத்தும் சமமான சமபக்க முக்கோணங்கள்.

தேற்றம்

நிபந்தனைகள் $(a), (b), (c), (d)$ சமமானவை.

ஆதாரம்

பிரமிட்டின் உயரத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் $PH$ . $\alpha$ என்பது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் விமானமாக இருக்கட்டும்.

1) $(a)$ என்பது $(b)$ என்பதை நிரூபிப்போம். $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

ஏனெனில் $PH\perp \alpha$, பின்னர் $PH$ இந்த விமானத்தில் இருக்கும் எந்த கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும், அதாவது முக்கோணங்கள் வலது கோணத்தில் இருக்கும். இதன் பொருள் இந்த முக்கோணங்கள் பொதுவான கால் $PH$ மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ . இதன் பொருள் $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . இதன் பொருள் $A_1, A_2, ..., A_n$ புள்ளிகள் $H$ புள்ளியில் இருந்து அதே தூரத்தில் உள்ளன, எனவே, அவை $A_1H$ ஆரம் கொண்ட ஒரே வட்டத்தில் உள்ளன. இந்த வட்டம், வரையறையின்படி, பலகோணத்தைப் பற்றி சுருக்கப்பட்டுள்ளது $A_1A_2...A_n$ .

2) $(b)$ என்பது $(c)$ என்பதை நிரூபிப்போம்.

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$செவ்வக மற்றும் இரண்டு கால்களில் சமமானது. இதன் பொருள் அவற்றின் கோணங்களும் சமமானவை, எனவே, $\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH$.

3) $(c)$ என்பது $(a)$ என்பதை நிரூபிப்போம்.

முதல் புள்ளியைப் போலவே, முக்கோணங்களும் $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில் செவ்வக வடிவமானது. அதாவது, அவற்றின் ஹைப்போடெனஸ்களும் சமமாக இருக்கும், அதாவது $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) $(b)$ இலிருந்து $(d)$ பின்வருமாறு வருகிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.

ஏனெனில் ஒரு வழக்கமான பலகோணத்தில் சுற்றப்பட்ட மற்றும் பொறிக்கப்பட்ட வட்டங்களின் மையங்கள் ஒத்துப்போகின்றன. $H$ புள்ளியில் இருந்து அடித்தளத்தின் பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக வரைவோம்: $HK_1, HK_2$, முதலியன. இவை பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரங்கள் (வரையறையின்படி). பின்னர், TTP படி ($PH$ என்பது விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, $HK_1, HK_2$ போன்றவை பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் கணிப்புகள்) சாய்ந்த $PK_1, PK_2$ போன்றவை. பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக $A_1A_2, A_2A_3$, முதலியன. முறையே. எனவே, வரையறையின்படி $\angle PK_1H, \angle PK_2H$பக்க முகங்கள் மற்றும் அடித்தளத்திற்கு இடையே உள்ள கோணங்களுக்கு சமம். ஏனெனில் முக்கோணங்கள் $PK_1H, PK_2H, ...$ சமமாக இருக்கும் (இரண்டு பக்கங்களிலும் செவ்வக வடிவமாக), பின்னர் கோணங்கள் $\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...$சமமாக உள்ளன.

5) $(d)$ என்பது $(b)$ என்பதை நிரூபிப்போம்.

நான்காவது புள்ளியைப் போலவே, முக்கோணங்கள் $PK_1H, PK_2H, ...$ சமமாக இருக்கும் (கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில் செவ்வகமாக), அதாவது பிரிவுகள் $HK_1=HK_2=...=HK_n$ சமமான. இதன் பொருள், வரையறையின்படி, $H$ என்பது அடித்தளத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு வட்டத்தின் மையம். ஆனால், ஏனெனில் வழக்கமான பலகோணங்களுக்கு, பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் சுற்றப்பட்ட வட்டங்களின் மையங்கள் ஒன்றிணைகின்றன, பின்னர் $H$ என்பது சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் மையமாகும். Chtd.

விளைவு

வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகங்கள் சம ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களாகும்.

வரையறை

அதன் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகத்தின் உயரம் அழைக்கப்படுகிறது apothem.
ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் அபோதெம்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவை மற்றும் இடைநிலைகள் மற்றும் இருபிரிவுகளாகும்.

முக்கிய குறிப்புகள்

1. உயரம் சரியானது முக்கோண பிரமிடுஅடிப்பகுதியின் உயரங்களின் (அல்லது இருசமப்பிரிவுகள் அல்லது இடைநிலைகள்) வெட்டும் புள்ளியில் விழுகிறது (அடிப்படை ஒரு வழக்கமான முக்கோணம்).

2. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் விழுகிறது (அடிப்படை ஒரு சதுரம்).

3. ஒரு வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் விழுகிறது (அடிப்படை ஒரு வழக்கமான அறுகோணம்).

4. பிரமிட்டின் உயரம் அடிவாரத்தில் இருக்கும் எந்த நேர்கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக உள்ளது.

வரையறை

பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது செவ்வக, அதன் பக்க விளிம்புகளில் ஒன்று தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால்.

முக்கிய குறிப்புகள்

1. ஒரு செவ்வக பிரமிட்டில், அடிப்பகுதிக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் விளிம்பு பிரமிட்டின் உயரமாகும். அதாவது, $SR$ என்பது உயரம்.

2. ஏனெனில் $SR$ அடிவாரத்தில் இருந்து எந்தக் கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும் $\முக்கோணம் எஸ்ஆர்எம், \முக்கோணம் எஸ்ஆர்பி$- வலது முக்கோணங்கள்.

3. முக்கோணங்கள் $\முக்கோணம் SRN, \முக்கோணம் SRK$- மேலும் செவ்வக.
அதாவது, இந்த விளிம்பால் உருவாகும் எந்த முக்கோணமும், அடிவாரத்தில் இருக்கும் இந்த விளிம்பின் உச்சியிலிருந்து வெளிவரும் மூலைவிட்டமும் செவ்வகமாக இருக்கும்.

\[(\பெரியது(\உரை(பிரமிட்டின் அளவு மற்றும் பரப்பளவு)))\]

தேற்றம்

பிரமிட்டின் அளவு அடித்தளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் பிரமிட்டின் உயரத்தின் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்கு சமம்: \

விளைவுகள்

$a$ அடித்தளத்தின் பக்கமாக இருக்கட்டும், $h$ பிரமிட்டின் உயரமாக இருக்கட்டும்.

1. வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அளவு $V_(\text(right triangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் கன அளவு $V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h$.

3. வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் அளவு $V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு $V_(\text(வலது tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

தேற்றம்

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அடித்தளம் மற்றும் அபோதெமின் சுற்றளவு பாதி தயாரிப்புக்கு சமம்.

\[(\பெரிய(\உரை(விரக்தி)))\]

வரையறை

தன்னிச்சையான பிரமிடு $PA_1A_2A_3...A_n$ . பிரமிட்டின் பக்க விளிம்பில் இருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் வழியாக பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு இணையாக ஒரு விமானத்தை வரைவோம். இந்த விமானம் பிரமிட்டை இரண்டு பாலிஹெட்ராவாகப் பிரிக்கும், அதில் ஒன்று பிரமிடு ($PB_1B_2...B_n$), மற்றொன்று அழைக்கப்படுகிறது துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு இரண்டு தளங்களைக் கொண்டுள்ளது - பலகோணங்கள் $A_1A_2...A_n$ மற்றும் $B_1B_2...B_n$ இவை ஒன்றுக்கொன்று ஒத்தவை.

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் உயரம், மேல் தளத்தின் சில புள்ளிகளிலிருந்து கீழ் தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக வரையப்பட்டதாகும்.

முக்கிய குறிப்புகள்

1. துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் ட்ரேப்சாய்டுகள்.

2. வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் தளங்களின் மையங்களை இணைக்கும் பிரிவு (அதாவது, வழக்கமான பிரமிட்டின் குறுக்குவெட்டு மூலம் பெறப்பட்ட பிரமிடு) உயரம்.

நீங்கள் எப்படி ஒரு பிரமிடு கட்ட முடியும்? மேற்பரப்பில் ஆர்பலகோணத்தை உருவாக்குவோம், உதாரணமாக பென்டகன் ஏபிசிடிஇ. விமானத்திற்கு வெளியே ஆர்புள்ளி S ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். பலகோணத்தின் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் பிரிவுகளுடன் புள்ளி S ஐ இணைப்பதன் மூலம், SABCDE பிரமிடு (படம்.) கிடைக்கும்.

புள்ளி S அழைக்கப்படுகிறது மேல், மற்றும் பலகோணம் ABCDE ஆகும் அடிப்படையில்இந்த பிரமிடு. எனவே, மேல் S மற்றும் அடிப்படை ABCDE கொண்ட ஒரு பிரமிடு M ∈ ABCDE உள்ள அனைத்து பிரிவுகளின் ஒன்றியமாகும்.

முக்கோணங்கள் SAB, SBC, SCD, SDE, SEA எனப்படும் பக்க முகங்கள்பிரமிடுகள், பக்கவாட்டு முகங்களின் பொதுவான பக்கங்கள் SA, SB, SC, SD, SE - பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள்.

பிரமிடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முக்கோண, நாற்கர, p-கோணஅடித்தளத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து. படத்தில். முக்கோண, நாற்கர மற்றும் அறுகோண பிரமிடுகளின் படங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

பிரமிட்டின் மேல் மற்றும் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டம் வழியாக செல்லும் விமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மூலைவிட்டமான, மற்றும் இதன் விளைவாக வரும் பிரிவு மூலைவிட்டமான.படத்தில். 186 அறுகோண பிரமிட்டின் மூலைவிட்டப் பிரிவுகளில் ஒன்று நிழலிடப்பட்டுள்ளது.

பிரமிட்டின் மேற்புறத்தின் வழியாக அதன் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்து பிரிவு பிரமிட்டின் உயரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (இந்தப் பிரிவின் முனைகள் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி மற்றும் செங்குத்தாக அடிப்பகுதி).

பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது சரி, பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு வழக்கமான பலகோணமாக இருந்தால் மற்றும் பிரமிட்டின் உச்சி அதன் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டிருந்தால்.

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் ஒத்த சமபக்க முக்கோணங்களாகும். வழக்கமான பிரமிட்டில், அனைத்து பக்கவாட்டு விளிம்புகளும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

அதன் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகத்தின் உயரம் அழைக்கப்படுகிறது apothemபிரமிடுகள். வழக்கமான பிரமிட்டின் அனைத்து அபோதெம்களும் ஒரே மாதிரியானவை.

அடித்தளத்தின் பக்கத்தை நாம் நியமித்தால் ஏ, மற்றும் apothem மூலம் ம, பின்னர் பிரமிட்டின் ஒரு பக்க முகத்தின் பரப்பளவு 1/2 ஆகும் ஆ

பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை அழைக்கப்படுகிறது பக்கவாட்டு மேற்பரப்புபிரமிடு மற்றும் S பக்கத்தால் நியமிக்கப்பட்டது.

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு கொண்டுள்ளது என்பதால் nஒத்த முகங்கள், பின்னர்

எஸ் பக்கம் = 1/2 அஹ்ன்= பி ம / 2 ,

இங்கு P என்பது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு. எனவே,

எஸ் பக்கம் = பி ம / 2

அதாவது வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அடித்தளத்தின் சுற்றளவு மற்றும் அபோதெமின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம்.

பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

எஸ் = எஸ் ஓசிஎன். + எஸ் பக்கம். .

பிரமிட்டின் அளவு அதன் அடிப்பகுதி Socn பகுதியின் உற்பத்தியில் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்கு சமம். உயரம் H:

வி = 1/3 எஸ் மெயின். என்.

இதன் வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறு சில சூத்திரங்கள் அடுத்தடுத்த அத்தியாயங்களில் ஒன்றில் கொடுக்கப்படும்.

இப்போது ஒரு பிரமிட்டை வேறு வழியில் உருவாக்குவோம். ஒரு பாலிஹெட்ரல் கோணத்தை கொடுக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, பென்டாஹெட்ரல், உச்சி S (படம்) உடன்.

விமானம் வரைவோம் ஆர்அதனால் அது கொடுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரல் கோணத்தின் அனைத்து விளிம்புகளையும் வெட்டுகிறது வெவ்வேறு புள்ளிகள் A, B, C, D, E (அத்தி.). பின்னர் SABCDE பிரமிடு ஒரு பாலிஹெட்ரல் கோணத்தின் குறுக்குவெட்டு மற்றும் எல்லையுடன் ஒரு அரை இடமாகக் கருதப்படலாம். ஆர், இதில் S என்ற உச்சி உள்ளது.

வெளிப்படையாக, பிரமிட்டின் அனைத்து முகங்களின் எண்ணிக்கையும் தன்னிச்சையாக இருக்கலாம், ஆனால் நான்குக்கும் குறைவாக இல்லை. ஒரு ட்ரைஹெட்ரல் கோணம் ஒரு விமானத்துடன் வெட்டும் போது, ஒரு முக்கோண பிரமிடு பெறப்படுகிறது, இது நான்கு பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. எந்த முக்கோண பிரமிடும் சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது டெட்ராஹெட்ரான், அதாவது டெட்ராஹெட்ரான்.

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடுதளத்தின் விமானத்திற்கு இணையான விமானத்தால் பிரமிடு வெட்டப்பட்டால் பெறலாம்.

படத்தில். ஒரு நாற்கர துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் படம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கோண, நாற்கர, n-gonalஅடித்தளத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து. துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் கட்டுமானத்திலிருந்து அது இரண்டு தளங்களைக் கொண்டுள்ளது: மேல் மற்றும் கீழ். துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் தளங்கள் இரண்டு பலகோணங்களாகும், அதன் பக்கங்களும் ஜோடிகளாக இணையாக இருக்கும். துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகங்கள் ட்ரேப்சாய்டுகள்.

உயரம்ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு என்பது மேல் தளத்தின் எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் கீழ் ஒன்றின் விமானம் வரை வரையப்பட்ட ஒரு செங்குத்துப் பகுதி ஆகும்.

வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடுஅடிப்படை மற்றும் தளத்திற்கு இணையான ஒரு பகுதி விமானத்திற்கு இடையில் இணைக்கப்பட்ட வழக்கமான பிரமிட்டின் ஒரு பகுதியாகும். வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் (டிரேப்சாய்டு) பக்க முகத்தின் உயரம் அழைக்கப்படுகிறது apothem.

ஒரு வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு ஒத்த பக்கவாட்டு விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்க முடியும், அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் அனைத்து அபோதெம்களும் ஒரே மாதிரியானவை.

சரியாக துண்டிக்கப்பட்டிருந்தால் n- நிலக்கரி பிரமிடு வழியாக ஏமற்றும் b nமேல் மற்றும் கீழ் தளங்களின் பக்கங்களின் நீளங்களைக் குறிக்கவும், மற்றும் வழியாகவும் மஅபோதெமின் நீளம், பின்னர் பிரமிட்டின் ஒவ்வொரு பக்க முகத்தின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்

1 / 2 (ஏ + b n) ம

பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் S பக்கமாக நியமிக்கப்பட்டுள்ளது. . வெளிப்படையாக, ஒரு சரியான துண்டிக்கப்பட்ட n- நிலக்கரி பிரமிடு

எஸ் பக்கம் = n 1 / 2 (ஏ + b n) ம.

ஏனெனில் பா= பி மற்றும் nb n= P 1 - துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் தளங்களின் சுற்றளவு, பின்னர்

எஸ் பக்கம் = 1/2 (பி + பி 1) h,

அதாவது, வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அதன் தளங்கள் மற்றும் அபோதெம்களின் சுற்றளவுகளின் கூட்டுத்தொகையின் பாதிப் பொருளுக்கு சமம்.

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு இணையான பகுதி

தேற்றம். பிரமிடு அடித்தளத்திற்கு இணையான ஒரு விமானத்தால் வெட்டப்பட்டால், பின்:

1) பக்க விலா எலும்புகள் மற்றும் உயரம் விகிதாசார பகுதிகளாக பிரிக்கப்படும்;

2) குறுக்குவெட்டில் நீங்கள் அடித்தளத்திற்கு ஒத்த பலகோணத்தைப் பெறுவீர்கள்;

3) குறுக்குவெட்டு பகுதிகள் மற்றும் தளங்கள் மேலே இருந்து அவற்றின் தூரத்தின் சதுரங்களாக தொடர்புடையவை.

முக்கோண பிரமிடுக்கான தேற்றத்தை நிரூபித்தாலே போதும்.

இணை விமானங்கள் இணையான கோடுகளுடன் மூன்றாவது விமானத்தால் வெட்டப்படுவதால், பின்னர் (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (அத்தி.).

இணையான கோடுகள் ஒரு கோணத்தின் பக்கங்களை விகிதாசார பகுதிகளாக வெட்டுகின்றன, எனவே

எனவே, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 மற்றும்

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 மற்றும்

இதனால்,

ஏபிசி மற்றும் ஏ 1 பி 1 சி 1 முக்கோணங்களின் தொடர்புடைய கோணங்கள் இணையான மற்றும் ஒரே மாதிரியான பக்கங்களைக் கொண்ட கோணங்களைப் போல ஒத்ததாக இருக்கும். அதனால் தான்

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

ஒத்த முக்கோணங்களின் பகுதிகள் தொடர்புடைய பக்கங்களின் சதுரங்களாக தொடர்புடையவை:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

எனவே,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

தேற்றம். சம உயரங்களைக் கொண்ட இரண்டு பிரமிடுகள் மேலே இருந்து ஒரே தூரத்தில் தளங்களுக்கு இணையான விமானங்களால் வெட்டப்பட்டால், பிரிவுகளின் பகுதிகள் தளங்களின் பகுதிகளுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும்.

(படம் 84) B மற்றும் B 1 இரண்டு பிரமிடுகளின் தளங்களின் பகுதிகளாக இருக்கட்டும், அவை ஒவ்வொன்றின் உயரமும் H ஆக இருக்கட்டும். பிமற்றும் பி 1 - தளங்களுக்கு இணையான விமானங்களால் பிரிவு பகுதிகள் மற்றும் அதே தூரத்தில் செங்குத்துகளிலிருந்து அகற்றப்பட்டது ம.

முந்தைய கோட்பாட்டின் படி நாம் பெறுவோம்:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: மற்றும் \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
எங்கே
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: அல்லது \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

விளைவு. B = B 1 எனில் பி = பி 1, அதாவது சமமான உயரங்களைக் கொண்ட இரண்டு பிரமிடுகள் சமமான தளங்களைக் கொண்டிருந்தால், மேலே இருந்து சமமான இடைவெளியில் உள்ள பகுதிகள் சமமாக இருக்கும்.

மற்ற பொருட்கள்

கருதுகோள்:பிரமிட்டின் வடிவத்தின் முழுமை அதன் வடிவத்தில் உள்ளார்ந்த கணித விதிகள் காரணமாகும் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம்.

இலக்கு:பிரமிட்டை ஒரு வடிவியல் உடலாகப் படித்த பிறகு, அதன் வடிவத்தின் முழுமையை விளக்குங்கள்.

பணிகள்:

1. ஒரு பிரமிடுக்கு கணித வரையறை கொடுங்கள்.

2. பிரமிட்டை ஒரு வடிவியல் உடலாகப் படிக்கவும்.

3. எகிப்தியர்கள் தங்கள் பிரமிடுகளில் என்ன கணித அறிவை இணைத்தார்கள் என்பதைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.

தனிப்பட்ட கேள்விகள்:

1. வடிவியல் உடலாக பிரமிடு என்றால் என்ன?

2. பிரமிட்டின் தனித்துவமான வடிவத்தை கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் எவ்வாறு விளக்குவது?

3. பிரமிட்டின் வடிவியல் அதிசயங்களை என்ன விளக்குகிறது?

4. பிரமிடு வடிவத்தின் முழுமையை என்ன விளக்குகிறது?

ஒரு பிரமிட்டின் வரையறை.

பிரமிட் (கிரேக்க பிரமிஸ், ஜெனரல் பிரமிடோஸ்) - ஒரு பாலிஹெட்ரான் அதன் அடிப்படை பலகோணம், மற்றும் மீதமுள்ள முகங்கள் பொதுவான உச்சி (வரைதல்) கொண்ட முக்கோணங்கள். அடித்தளத்தின் மூலைகளின் எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில், பிரமிடுகள் முக்கோண, நாற்கர, முதலியன வகைப்படுத்தப்படுகின்றன.

பிரமிட் - ஒரு நினைவுச்சின்ன கட்டிடம் வடிவியல் வடிவம்பிரமிடுகள் (சில நேரங்களில் படிகள் அல்லது கோபுர வடிவமாகவும் இருக்கும்). கிமு 3-2 மில்லினியத்தின் பண்டைய எகிப்திய பாரோக்களின் மாபெரும் கல்லறைகளுக்கு பிரமிடுகள் என்று பெயர். e., அத்துடன் பண்டைய அமெரிக்க கோவில் பீடங்கள் (மெக்ஸிகோ, குவாத்தமாலா, ஹோண்டுராஸ், பெருவில்), அண்டவியல் வழிபாட்டு முறைகளுடன் தொடர்புடையவை.

அது சாத்தியம் கிரேக்க வார்த்தை"பிரமிட்" என்பது எகிப்திய வெளிப்பாடான per-em-us என்பதிலிருந்து வந்தது, அதாவது பிரமிட்டின் உயரம் என்று பொருள்படும் ஒரு சொல்லிலிருந்து. சிறந்த ரஷ்ய எகிப்தியலஜிஸ்ட் V. ஸ்ட்ரூவ் கிரேக்க "புரம்...ஜே" பண்டைய எகிப்திய "p"-mr" இலிருந்து வந்தது என்று நம்பினார்.

வரலாற்றில் இருந்து. அதனஸ்யனின் ஆசிரியர்களால் "ஜியோமெட்ரி" பாடப்புத்தகத்தில் உள்ள பொருளைப் படித்த பிறகு. Butuzov மற்றும் பலர், நாங்கள் கற்றுக்கொண்டது: n-gon A1A2A3... An மற்றும் n முக்கோணங்களால் ஆன பாலிஹெட்ரான் PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 ஒரு பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பலகோணம் A1A2A3...Aன் என்பது பிரமிட்டின் அடிப்பாகம், மற்றும் முக்கோணங்கள் PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 ஆகியவை பிரமிட்டின் பக்க முகங்கள், P என்பது பிரமிட்டின் மேல் பகுதி, PA1, PA2,..., pan பக்க விளிம்புகள் ஆகும்.

இருப்பினும், ஒரு பிரமிட்டின் இந்த வரையறை எப்போதும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர், கணிதம் குறித்த தத்துவார்த்த கட்டுரைகளை எழுதியவர், யூக்ளிட், ஒரு பிரமிட்டை ஒரு விமானத்திலிருந்து ஒரு புள்ளிக்கு ஒன்றிணைக்கும் விமானங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட திடமான உருவம் என்று வரையறுக்கிறார்.

ஆனால் இந்த வரையறை ஏற்கனவே பண்டைய காலங்களில் விமர்சிக்கப்பட்டது. எனவே ஹெரான் ஒரு பிரமிடுக்கான பின்வரும் வரையறையை முன்மொழிந்தார்: "இது ஒரு புள்ளியில் ஒன்றிணைக்கும் முக்கோணங்களால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு உருவம் மற்றும் அதன் அடிப்பகுதி பலகோணமாகும்."

எங்கள் குழு, இந்த வரையறைகளை ஒப்பிட்டு, "அடித்தளம்" என்ற கருத்தின் தெளிவான உருவாக்கம் அவர்களிடம் இல்லை என்ற முடிவுக்கு வந்தது.

இந்த வரையறைகளை ஆராய்ந்து, அட்ரியன் மேரி லெஜண்ட்ரேவின் வரையறையை நாங்கள் கண்டறிந்தோம், அவர் 1794 ஆம் ஆண்டில் "ஜியோமெட்ரியின் கூறுகள்" என்ற தனது படைப்பில் ஒரு பிரமிட்டை பின்வருமாறு வரையறுக்கிறார்: "பிரமிட் என்பது ஒரு கட்டத்தில் ஒன்றிணைந்து வெவ்வேறு பக்கங்களில் முடிவடையும் முக்கோணங்களால் உருவாக்கப்பட்ட திடமான உருவமாகும். ஒரு தட்டையான அடித்தளம்."

கடைசி வரையறை பிரமிடு பற்றிய தெளிவான யோசனையை அளிக்கிறது என்று எங்களுக்குத் தோன்றுகிறது பற்றி பேசுகிறோம்அடித்தளம் தட்டையானது என்று. பிரமிட்டின் மற்றொரு விளக்கம் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பாடப்புத்தகத்தில் தோன்றியது: "ஒரு பிரமிட் என்பது ஒரு விமானத்தால் வெட்டப்பட்ட திடமான கோணம்."

ஒரு வடிவியல் உடலாக பிரமிட்.

அந்த. ஒரு பிரமிடு என்பது ஒரு பாலிஹெட்ரான், அதன் முகங்கள் (அடிப்படை) ஒரு பலகோணம், மீதமுள்ள முகங்கள் (பக்கங்கள்) ஒரு பொதுவான உச்சியை (பிரமிட்டின் உச்சி) கொண்ட முக்கோணங்களாகும்.

பிரமிட்டின் உச்சியிலிருந்து தளத்தின் விமானத்திற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகிறது உயரம்மபிரமிடுகள்.

தன்னிச்சையான பிரமிடுக்கு கூடுதலாக, உள்ளன சரியான பிரமிடுஅதன் அடிப்பகுதியில் வழக்கமான பலகோணம் மற்றும் துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு.

படத்தில் ஒரு பிரமிடு PABCD உள்ளது, ABCD என்பது அதன் அடிப்படை, PO அதன் உயரம்.

மொத்த பரப்பளவு பிரமிடு என்பது அதன் அனைத்து முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

ஸ்ஃபுல் = சைட் + ஸ்மைன்,எங்கே பக்கம்- பக்க முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை.

பிரமிட்டின் அளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

V=1/3Sbas. ம, எங்கே Sbas. - அடிப்படை பகுதி, ம- உயரம்.

வழக்கமான பிரமிட்டின் அச்சு அதன் உயரத்தைக் கொண்ட நேர் கோடு ஆகும்.
Apothem ST என்பது வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்க முகத்தின் உயரம்.

வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகத்தின் பகுதி பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: பக்கவாட்டு. =1/2P ம, P என்பது அடித்தளத்தின் சுற்றளவு, ம- பக்க முகத்தின் உயரம் (வழக்கமான பிரமிட்டின் அபோதெம்). பிரமிடு விமானம் A’B’C’D’ஆல் வெட்டப்பட்டால், அடித்தளத்திற்கு இணையாக, பின்:

1) பக்க விலா எலும்புகள் மற்றும் உயரம் இந்த விமானத்தால் விகிதாசார பகுதிகளாக பிரிக்கப்படுகின்றன;

2) குறுக்குவெட்டில் ஒரு பலகோணம் A'B'C'D' பெறப்படுகிறது, இது அடித்தளத்தைப் போன்றது;

DIV_ADBLOCK914">

வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது டெட்ராஹெட்ரான் .

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு அடித்தளத்திற்கு இணையான ஒரு விமானத்துடன் பிரமிடில் இருந்து அதன் மேல் பகுதியை வெட்டுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது (படம் ABCDD'C'B'A').

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அடிப்படைகள்- ஒத்த பலகோணங்கள் ABCD மற்றும் A`B`C`D`, பக்க முகங்கள் ட்ரேப்சாய்டுகள்.

உயரம்துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு - தளங்களுக்கு இடையிலான தூரம்.

துண்டிக்கப்பட்ட தொகுதிபிரமிடு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

வி=1/3 ம(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: Sside = ½(P+P') ம, P மற்றும் P’ என்பது தளங்களின் சுற்றளவுகள், ம- பக்க முகத்தின் உயரம் (வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பையரின் அபோதெம்

ஒரு பிரமிட்டின் பிரிவுகள்.

ஒரு பிரமிட்டின் உச்சி வழியாக செல்லும் விமானங்களால் அதன் பிரிவுகள் முக்கோணங்களாகும்.

ஒரு பிரமிட்டின் இரண்டு பக்கவாட்டு விளிம்புகள் வழியாக செல்லும் ஒரு பகுதி அழைக்கப்படுகிறது மூலைவிட்ட பகுதி.

பிரிவு பக்க விளிம்பிலும் அடித்தளத்தின் பக்கத்திலும் ஒரு புள்ளியைக் கடந்து சென்றால், பிரமிட்டின் தளத்தின் விமானத்திற்கு அதன் சுவடு இந்தப் பக்கமாக இருக்கும்.

பிரமிட்டின் முகத்தில் கிடக்கும் ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒரு பகுதி மற்றும் அடிப்படை விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவு தடயங்கள், பின்னர் கட்டுமானம் பின்வருமாறு மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும்:

· கொடுக்கப்பட்ட முகத்தின் விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி மற்றும் பிரமிட்டின் பிரிவின் சுவடு ஆகியவற்றைக் கண்டறிந்து அதை நியமிக்கவும்;

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி மற்றும் அதன் விளைவாக வெட்டும் புள்ளி வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்குதல்;

· அடுத்த முகங்களுக்கு இந்தப் படிகளை மீண்டும் செய்யவும்.

, இது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால்களின் விகிதத்தை 4:3 உடன் ஒத்துள்ளது. கால்களின் இந்த விகிதம், "சரியான", "புனித" அல்லது "எகிப்திய" முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படும் 3:4:5 பக்கங்களுடன் நன்கு அறியப்பட்ட வலது முக்கோணத்துடன் ஒத்துள்ளது. வரலாற்றாசிரியர்களின் கூற்றுப்படி, "எகிப்திய" முக்கோணத்திற்கு ஒரு மந்திர அர்த்தம் கொடுக்கப்பட்டது. எகிப்தியர்கள் பிரபஞ்சத்தின் இயல்பை ஒரு "புனித" முக்கோணத்துடன் ஒப்பிட்டதாக புளூடார்ச் எழுதினார்; அவர்கள் குறியீடாக செங்குத்து காலை கணவனுக்கும், அடித்தளத்தை மனைவிக்கும், மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் இரண்டிலிருந்தும் பிறந்ததற்கும் ஒப்பிட்டனர்.

ஒரு முக்கோணத்திற்கு 3:4:5, சமத்துவம் உண்மை: 32 + 42 = 52, இது பித்தகோரியன் தேற்றத்தை வெளிப்படுத்துகிறது. 3:4:5 என்ற முக்கோணத்தின் அடிப்படையில் ஒரு பிரமிட்டை நிறுவி எகிப்திய பாதிரியார்கள் இந்த தேற்றத்தை நிலைநிறுத்த விரும்பினார்கள் அல்லவா? மேலும் கண்டுபிடிப்பது கடினம் நல்ல உதாரணம்பித்தகோரியன் தேற்றத்தை விளக்குவதற்கு, இது பித்தகோரஸால் கண்டுபிடிக்கப்படுவதற்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே எகிப்தியர்களுக்குத் தெரிந்திருந்தது.

எனவே, சிறந்த படைப்பாளிகள் எகிப்திய பிரமிடுகள்தொலைதூர சந்ததியினரை அவர்களின் அறிவின் ஆழத்தால் ஆச்சரியப்படுத்த முயன்றனர், மேலும் அவர்கள் சேப்ஸ் பிரமிடுக்கான "முக்கிய வடிவியல் யோசனையாக" "தங்க" வலது முக்கோணத்தையும், காஃப்ரே பிரமிடுக்கான "புனித" அல்லது "எகிப்திய" முக்கோணத்தையும் தேர்ந்தெடுத்து இதை அடைந்தனர். .

பெரும்பாலும் தங்கள் ஆராய்ச்சியில், விஞ்ஞானிகள் தங்க விகித விகிதத்துடன் பிரமிடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.

கணிதத்தில் கலைக்களஞ்சிய அகராதிகோல்டன் பிரிவின் பின்வரும் வரையறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது - இது ஒரு ஹார்மோனிக் பிரிவு, தீவிர மற்றும் சராசரி விகிதத்தில் பிரிவு - AB பிரிவை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரித்தல், அதன் பெரிய பகுதி AC முழு பிரிவுக்கும் AB க்கும் சராசரி விகிதாசாரமாகும். சிறிய பகுதி NE.

ஒரு பிரிவின் கோல்டன் பிரிவின் இயற்கணித நிர்ணயம் AB = a a: x = x: (a – x) சமன்பாட்டைத் தீர்க்க குறைக்கிறது, இதில் இருந்து x தோராயமாக 0.62a க்கு சமம். x விகிதத்தை பின்னங்கள் 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0.618 என வெளிப்படுத்தலாம், இதில் 2, 3, 5, 8, 13, 21 ஆகியவை ஃபிபோனச்சி எண்களாகும்.

AB பிரிவின் கோல்டன் பிரிவின் வடிவியல் கட்டுமானம் பின்வருமாறு மேற்கொள்ளப்படுகிறது: புள்ளி B இல், AB க்கு செங்குத்தாக மீட்டமைக்கப்படுகிறது, பிரிவு BE = 1/2 AB அதன் மீது அமைக்கப்பட்டுள்ளது, A மற்றும் E இணைக்கப்பட்டுள்ளது, DE = BE நீக்கப்பட்டு, இறுதியாக, AC = AD, பின்னர் சமத்துவம் AB திருப்தியளிக்கிறது: CB = 2:3.

தங்க விகிதம்பெரும்பாலும் கலை, கட்டிடக்கலை மற்றும் இயற்கையில் காணப்படும் படைப்புகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தெளிவான எடுத்துக்காட்டுகள் அப்பல்லோ பெல்வெடெரே மற்றும் பார்த்தீனானின் சிற்பம். பார்த்தீனான் கட்டுமானத்தின் போது, கட்டிடத்தின் உயரத்தின் விகிதம் அதன் நீளத்திற்கு பயன்படுத்தப்பட்டது மற்றும் இந்த விகிதம் 0.618 ஆகும். நம்மைச் சுற்றியுள்ள பொருள்களும் கோல்டன் ரேஷியோவின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகின்றன, உதாரணமாக, பல புத்தகங்களின் பிணைப்புகள் அகலம்-நீளம் விகிதத்தை 0.618 க்கு அருகில் கொண்டுள்ளன. தாவரங்களின் பொதுவான தண்டுகளில் இலைகளின் அமைப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, ஒவ்வொரு இரண்டு ஜோடி இலைகளுக்கும் இடையில் மூன்றாவது கோல்டன் விகிதத்தில் (ஸ்லைடுகள்) அமைந்திருப்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம். நாம் ஒவ்வொருவரும் தங்க விகிதத்தை "எங்கள் கைகளில்" எடுத்துச் செல்கிறோம் - இது விரல்களின் ஃபாலாங்க்களின் விகிதம்.

பல கணித பாபைரியின் கண்டுபிடிப்புக்கு நன்றி, எகிப்தியலஜிஸ்டுகள் பண்டைய எகிப்திய கணக்கீடு மற்றும் அளவீட்டு முறைகளைப் பற்றி ஏதாவது கற்றுக்கொண்டனர். அவற்றில் உள்ள பணிகள் எழுத்தர்களால் தீர்க்கப்பட்டன. மிகவும் பிரபலமான ஒன்று Rhind கணித பாப்பிரஸ் ஆகும். இந்தச் சிக்கல்களைப் படிப்பதன் மூலம், எகிப்தியர்கள் எடை, நீளம் மற்றும் அளவு ஆகியவற்றின் அளவைக் கணக்கிடும்போது எழுந்த பல்வேறு அளவுகளை எவ்வாறு கையாண்டார்கள் என்பதை எகிப்தியலாளர்கள் கற்றுக்கொண்டனர், இது பெரும்பாலும் பின்னங்களை உள்ளடக்கியது, அதே போல் அவர்கள் கோணங்களைக் கையாண்டார்கள்.

பண்டைய எகிப்தியர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதிக்கும் உயரத்திற்கும் உள்ள விகிதத்தின் அடிப்படையில் கோணங்களைக் கணக்கிடும் முறையைப் பயன்படுத்தினர். அவர்கள் எந்த கோணத்தையும் சாய்வு மொழியில் வெளிப்படுத்தினர். சாய்வு சாய்வு "பிரிவு" எனப்படும் முழு எண் விகிதமாக வெளிப்படுத்தப்பட்டது. பார்வோன்களின் காலத்தில் கணிதத்தில், ரிச்சர்ட் பில்லின்ஸ் விளக்குகிறார்: “வழக்கமான பிரமிட்டின் செக்ட் என்பது நான்கு முக்கோண முகங்களில் ஏதேனும் ஒன்றின் தளத்தின் மீது சாய்வது ஆகும், இது ஒரு செங்குத்து அலகுக்கு கிடைமட்ட அலகுகளின் n வது எண்ணிக்கையால் அளவிடப்படுகிறது. . எனவே, இந்த அளவீட்டு அலகு சாய்வு கோணத்தின் நமது நவீன கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு சமம். எனவே, "பிரிந்த" என்ற எகிப்திய வார்த்தை நம்முடையதுடன் தொடர்புடையது நவீன வார்த்தை"சாய்வு"".

பிரமிடுகளின் எண் விசையானது அவற்றின் உயரத்தின் அடித்தளத்தின் விகிதத்தில் உள்ளது. நடைமுறை அடிப்படையில், பிரமிட்டின் கட்டுமானம் முழுவதும் சாய்வின் சரியான கோணத்தை தொடர்ந்து சரிபார்க்க தேவையான வார்ப்புருக்களை உருவாக்க இது எளிதான வழியாகும்.

ஒவ்வொரு பாரோவும் தனது தனித்துவத்தை வெளிப்படுத்த விரும்புவதாக எகிப்தியலாளர்கள் நம்மை நம்ப வைப்பதில் மகிழ்ச்சி அடைவார்கள், எனவே ஒவ்வொரு பிரமிடுக்கும் சாய்வின் கோணங்களில் வேறுபாடுகள் உள்ளன. ஆனால் மற்றொரு காரணம் இருக்கலாம். ஒருவேளை அவர்கள் அனைவரும் வெவ்வேறு விகிதாச்சாரத்தில் மறைக்கப்பட்ட வெவ்வேறு குறியீட்டு சங்கங்களை உருவாக்க விரும்பினர். இருப்பினும், காஃப்ரேயின் பிரமிட்டின் கோணம் (முக்கோணத்தின் அடிப்படையில் (3:4:5) ரைண்ட் கணித பாப்பிரஸில் உள்ள பிரமிடுகளால் முன்வைக்கப்படும் மூன்று சிக்கல்களில் தோன்றுகிறது). எனவே இந்த அணுகுமுறை பண்டைய எகிப்தியர்களுக்கு நன்கு தெரியும்.

பண்டைய எகிப்தியர்கள் 3:4:5 முக்கோணத்தைப் பற்றி அறிந்திருக்கவில்லை என்று கூறும் எகிப்தியலாளர்களுக்கு நியாயமாக இருக்க, ஹைப்போடென்யூஸ் 5 இன் நீளம் குறிப்பிடப்படவில்லை. ஆனாலும் கணித பிரச்சனைகள்பிரமிடுகளைப் பற்றிய கேள்விகள் எப்போதும் இரண்டாவது கோணத்தின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன - உயரத்திற்கும் அடித்தளத்திற்கும் இடையிலான விகிதம். ஹைபோடென்யூஸின் நீளம் குறிப்பிடப்படவில்லை என்பதால், எகிப்தியர்கள் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தை ஒருபோதும் கணக்கிடவில்லை என்று முடிவு செய்யப்பட்டது.

கிசா பிரமிடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் உயரம்-அடிப்படை விகிதங்கள் பண்டைய எகிப்தியர்களுக்கு சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி தெரிந்திருந்தன. ஒவ்வொரு பிரமிடுக்கும் இந்த உறவுகள் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டிருக்கலாம். இருப்பினும், இது அனைத்து வகையான எகிப்தியர்களிலும் எண் குறியீட்டுக்கு உள்ள முக்கியத்துவத்திற்கு முரணானது காட்சி கலைகள். அத்தகைய உறவுகள் குறிப்பிடத்தக்கவையாக இருந்தன, ஏனெனில் அவை குறிப்பிட்டவை மத கருத்துக்கள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முழு கிசா வளாகமும் ஒரு குறிப்பிட்ட தெய்வீக கருப்பொருளை பிரதிபலிக்கும் வகையில் வடிவமைக்கப்பட்ட ஒரு ஒத்திசைவான வடிவமைப்பிற்கு கீழ்ப்படுத்தப்பட்டது. வடிவமைப்பாளர்கள் ஏன் மூன்று பிரமிடுகளுக்கு வெவ்வேறு கோணங்களைத் தேர்ந்தெடுத்தார்கள் என்பதை இது விளக்குகிறது.

தி மிஸ்டரி ஆஃப் ஓரியன், பாவல் மற்றும் கில்பர்ட் ஆகியோர் கிசாவின் பிரமிடுகளை ஓரியன் விண்மீன் கூட்டத்துடன், குறிப்பாக ஓரியன்ஸ் பெல்ட்டின் நட்சத்திரங்களுடன் இணைக்கும் உறுதியான ஆதாரங்களை முன்வைத்தனர், அதே விண்மீன் ஐசிஸ் மற்றும் ஒசைரிஸ் புராணத்திலும் உள்ளது ஒசைரிஸ், ஐசிஸ் மற்றும் ஹோரஸ் ஆகிய மூன்று முக்கிய தெய்வங்களில் ஒன்றின் பிரதிநிதியாக ஒவ்வொரு பிரமிடும் உள்ளது.

"ஜியோமெட்ரிக்கல்" அற்புதங்கள்.

எகிப்தின் பிரமாண்டமான பிரமிடுகளில் சிறப்பு இடம்எடுக்கும் பார்வோன் சேப்ஸின் பெரிய பிரமிடு (குஃபு). சியோப்ஸ் பிரமிட்டின் வடிவத்தையும் அளவையும் பகுப்பாய்வு செய்யத் தொடங்குவதற்கு முன், எகிப்தியர்கள் என்ன நடவடிக்கை முறையைப் பயன்படுத்தினார்கள் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எகிப்தியர்களுக்கு மூன்று அலகு நீளம் இருந்தது: ஒரு "முழம்" (466 மிமீ), இது ஏழு "பனைகளுக்கு" (66.5 மிமீ) சமமாக இருந்தது, இது நான்கு "விரல்களுக்கு" (16.6 மிமீ) சமமாக இருந்தது.

உக்ரேனிய விஞ்ஞானி நிகோலாய் வஸ்யுடின்ஸ்கியின் "த கோல்டன் ப்ரோபோர்ஷன்" (1990) என்ற அற்புதமான புத்தகத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள வாதங்களைப் பின்பற்றி, Cheops பிரமிட்டின் (படம் 2) பரிமாணங்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பெரும்பாலான ஆராய்ச்சியாளர்கள் பிரமிட்டின் அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் நீளம், எடுத்துக்காட்டாக, GFசமமாக எல்= 233.16 மீ இந்த மதிப்பு கிட்டத்தட்ட 500 "முழங்கைகளுக்கு" ஒத்துள்ளது. "முழங்கையின்" நீளம் 0.4663 மீட்டருக்கு சமமாக கருதப்பட்டால், 500 "முழங்கைகளுடன்" முழு இணக்கம் ஏற்படும்.

பிரமிட்டின் உயரம் ( எச்) 146.6 முதல் 148.2 மீ வரை ஆராய்ச்சியாளர்களால் மதிப்பிடப்பட்டுள்ளது மற்றும் பிரமிட்டின் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட உயரத்தைப் பொறுத்து, அதன் வடிவியல் கூறுகளின் அனைத்து உறவுகளும் மாறுகின்றன. பிரமிட்டின் உயரத்தின் மதிப்பீட்டில் உள்ள வேறுபாடுகளுக்கு என்ன காரணம்? உண்மை என்னவென்றால், கண்டிப்பாகச் சொன்னால், Cheops பிரமிடு துண்டிக்கப்பட்டது. அதன் மேல் தளம் இன்று தோராயமாக 10 ´ 10 மீ அளவைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் ஒரு நூற்றாண்டுக்கு முன்பு அது 6 ´ 6 மீ ஆக இருந்தது, வெளிப்படையாக, பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அகற்றப்பட்டது, மேலும் அது அசல் நிலைக்கு ஒத்திருக்கவில்லை.

பிரமிட்டின் உயரத்தை மதிப்பிடும் போது, கட்டமைப்பின் "வரைவு" போன்ற ஒரு உடல் காரணியை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம். பின்னால் நீண்ட நேரம்மகத்தான அழுத்தத்தின் செல்வாக்கின் கீழ் (கீழ் மேற்பரப்பில் 1 மீ 2 க்கு 500 டன் அடையும்), பிரமிட்டின் உயரம் அதன் அசல் உயரத்துடன் ஒப்பிடும்போது குறைந்தது.

பிரமிட்டின் அசல் உயரம் என்ன? பிரமிட்டின் அடிப்படை "வடிவியல் யோசனை" கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் இந்த உயரத்தை மீண்டும் உருவாக்க முடியும்.

படம் 2.

1837 ஆம் ஆண்டில், ஆங்கிலேய கர்னல் ஜி. வைஸ் பிரமிட்டின் முகங்களின் சாய்வின் கோணத்தை அளந்தார்: அது சமமாக மாறியது அ= 51°51". இந்த மதிப்பு இன்றும் பெரும்பாலான ஆராய்ச்சியாளர்களால் அங்கீகரிக்கப்பட்டுள்ளது. குறிப்பிடப்பட்ட கோண மதிப்பு தொடுகோடு (tg) ஒத்துள்ளது. அ), 1.27306 க்கு சமம். இந்த மதிப்பு பிரமிட்டின் உயரத்தின் விகிதத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது ஏசிஅதன் அடித்தளத்தில் பாதி சி.பி.(Fig.2), அதாவது ஏ.சி. / சி.பி. = எச் / (எல் / 2) = 2எச் / எல்.

இங்கே ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஒரு பெரிய ஆச்சரியத்தில் உள்ளனர்!.png" width="25" height="24">= 1.272. இந்த மதிப்பை tg மதிப்புடன் ஒப்பிடுகையில் அ= 1.27306, இந்த மதிப்புகள் ஒருவருக்கொருவர் மிக நெருக்கமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். கோணத்தை எடுத்துக் கொண்டால் அ= 51°50", அதாவது, அதை ஒரு வில் நிமிடத்தால் குறைக்கவும், பின்னர் மதிப்பு அ 1.272 க்கு சமமாக மாறும், அதாவது, அது மதிப்புடன் ஒத்துப்போகும். 1840 இல் G. வைஸ் தனது அளவீடுகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்து கோணத்தின் மதிப்பை தெளிவுபடுத்தினார் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். அ=51°50".

இந்த அளவீடுகள் ஆராய்ச்சியாளர்களை பின்வரும் மிகவும் சுவாரஸ்யமான கருதுகோளுக்கு இட்டுச் சென்றன: சியோப்ஸ் பிரமிட்டின் முக்கோணம் ஏசிபி ரிலேஷன் ஏசியை அடிப்படையாகக் கொண்டது / சி.பி. = = 1,272!

இப்போது வலது முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் ஏபிசி, இதில் கால்களின் விகிதம் ஏ.சி. / சி.பி.= (படம் 2). இப்போது செவ்வகத்தின் பக்கங்களின் நீளம் என்றால் ஏபிசிமூலம் நியமிக்க எக்ஸ், ஒய், z, மற்றும் விகிதத்தையும் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் ஒய்/எக்ஸ்= , பின்னர், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, நீளம் zசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

நாம் ஏற்றுக்கொண்டால் எக்ஸ் = 1, ஒய்= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

படம் 3."கோல்டன்" வலது முக்கோணம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணம், இதில் பக்கங்கள் தொடர்புடையவை டி:கோல்டன்" வலது முக்கோணம்.

பின்னர், சேப்ஸ் பிரமிட்டின் முக்கிய "வடிவியல் யோசனை" ஒரு "தங்க" வலது முக்கோணம் என்ற கருதுகோளை அடிப்படையாகக் கொண்டால், இங்கிருந்து நாம் சேப்ஸ் பிரமிட்டின் "வடிவமைப்பு" உயரத்தை எளிதாகக் கணக்கிடலாம். இது சமம்:

எச் = (எல்/2) ´ = 148.28 மீ.

"கோல்டன்" கருதுகோளிலிருந்து பின்பற்றும் Cheops பிரமிடுக்கான வேறு சில உறவுகளை இப்போது பெறுவோம். குறிப்பாக, பிரமிட்டின் வெளிப்புற பகுதியின் விகிதத்தை அதன் அடித்தளத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, காலின் நீளத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம் சி.பி.ஒரு யூனிட், அதாவது: சி.பி.= 1. ஆனால் பின்னர் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கத்தின் நீளம் GF= 2, மற்றும் அடித்தளத்தின் பரப்பளவு EFGHசமமாக இருக்கும் SEFGH = 4.

இப்போது சேப்ஸ் பிரமிட்டின் பக்க முகத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம் எஸ்டி. உயரத்தில் இருந்து ஏபிமுக்கோணம் AEFசமமாக டி, பின்னர் பக்க முகத்தின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும் எஸ்டி = டி. பின்னர் பிரமிட்டின் நான்கு பக்கவாட்டு முகங்களின் மொத்த பரப்பளவு 4 க்கு சமமாக இருக்கும் டி, மற்றும் பிரமிட்டின் மொத்த வெளிப்புற பகுதியின் அடித்தளத்தின் பரப்பளவுக்கான விகிதம் தங்க விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்! அது தான் - சேப்ஸ் பிரமிட்டின் முக்கிய வடிவியல் மர்மம்!

குழுவிற்கு" வடிவியல் அதிசயங்கள்"சேப்ஸின் பிரமிடுகள் இடையேயான உறவின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பண்புகளுக்கு காரணமாக இருக்கலாம். வெவ்வேறு பரிமாணங்கள்பிரமிடில்.

ஒரு விதியாக, அவை சில "மாறிகள்" தேடலில் பெறப்படுகின்றன, குறிப்பாக, "பை" (லுடோல்ஃபோவின் எண்), 3.14159 க்கு சமம் ...; இயற்கை மடக்கைகளின் அடிப்படை "e" (Neperovo எண்), 2.71828...க்கு சமம்; "F" எண், "தங்கப் பகுதியின்" எண், எடுத்துக்காட்டாக, 0.618... போன்றவை.

நீங்கள் பெயரிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக: 1) ஹெரோடோடஸின் சொத்து: (உயரம்)2 = 0.5 கலை. அடிப்படை x அபோதெம்; 2) V இன் சொத்து விலை: உயரம்: 0.5 கலை. அடிப்படை = "F" இன் சதுர வேர்; 3) M. Eist இன் சொத்து: அடித்தளத்தின் சுற்றளவு: 2 உயரம் = "பை"; வேறு விளக்கத்தில் - 2 டீஸ்பூன். அடிப்படை : உயரம் = "பை"; 4) ஜி. எட்ஜின் சொத்து: பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம்: 0.5 கலை. அடிப்படை = "எஃப்"; 5) K. Kleppisch இன் சொத்து: (கலை. முக்கிய.)2: 2(கலை. முக்கிய. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art முக்கிய X Apothem) + (v. முக்கிய)2). முதலியன இதுபோன்ற பல பண்புகளை நீங்கள் கொண்டு வரலாம், குறிப்பாக நீங்கள் இரண்டு அருகிலுள்ள பிரமிடுகளை இணைத்தால். எடுத்துக்காட்டாக, "A. Arefyev இன் பண்புகள்" என குறிப்பிடலாம், Cheops பிரமிடு மற்றும் காஃப்ரே பிரமிடு ஆகியவற்றின் அளவுகளில் உள்ள வேறுபாடு மைக்கரின் பிரமிட்டின் இரு மடங்கு அளவிற்கு சமம்...

நிறைய சுவாரஸ்யமான ஏற்பாடுகள், குறிப்பாக, "தங்க விகிதத்தின்" படி பிரமிடுகளின் கட்டுமானம் D. ஹாம்பிட்ஜ் புத்தகங்களில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது " டைனமிக் சமச்சீர்கட்டிடக்கலையில்" மற்றும் M. Ghik "இயற்கை மற்றும் கலையில் விகிதாச்சாரத்தின் அழகியல்." பகுதி A என்பது பகுதி B ஐ விட பல மடங்கு பெரியதாக இருக்கும் போது, அத்தகைய விகிதத்தில் ஒரு பிரிவின் பிரிவினை "தங்க விகிதம்" என்பதை நினைவுபடுத்துவோம். A + B முழுப் பகுதியை விடவும் A என்பது சிறியது. A/B விகிதம் "F" == 1.618 என்ற எண்ணுக்குச் சமம்... இது "தங்க விகிதம்" தனிப்பட்ட பிரமிடுகளில் மட்டுமல்ல, முழுவதுமாக பயன்படுத்தப்படுவதைக் குறிக்கிறது. கிசாவில் உள்ள பிரமிட் வளாகம்.

எவ்வாறாயினும், மிகவும் ஆர்வமுள்ள விஷயம் என்னவென்றால், ஒரே சேப்ஸ் பிரமிடு பல அற்புதமான பண்புகளைக் கொண்டிருக்க முடியாது. ஒரு குறிப்பிட்ட சொத்தை ஒவ்வொன்றாக எடுத்துக்கொண்டு, அதை "பொருத்தலாம்", ஆனால் அவை அனைத்தும் ஒரே நேரத்தில் பொருந்தாது - அவை ஒத்துப்போவதில்லை, ஒருவருக்கொருவர் முரண்படுகின்றன. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து பண்புகளையும் சரிபார்க்கும்போது, ஆரம்பத்தில் பிரமிட்டின் (233 மீ) அடித்தளத்தின் ஒரே பக்கத்தை எடுத்துக் கொண்டால், வெவ்வேறு பண்புகளைக் கொண்ட பிரமிடுகளின் உயரங்களும் வித்தியாசமாக இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பிரமிடுகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட "குடும்பம்" உள்ளது, அவை வெளிப்புறமாக Cheops ஐப் போலவே இருக்கின்றன, ஆனால் வெவ்வேறு பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. "வடிவியல்" பண்புகளில் குறிப்பாக அற்புதம் எதுவும் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்க - உருவத்தின் பண்புகளிலிருந்து முற்றிலும் தானாகவே எழுகிறது. ஒரு "அதிசயம்" பண்டைய எகிப்தியர்களுக்கு தெளிவாக சாத்தியமற்றது என்று மட்டுமே கருதப்பட வேண்டும். இது, குறிப்பாக, "காஸ்மிக்" அற்புதங்களை உள்ளடக்கியது, இதில் சேப்ஸ் பிரமிடு அல்லது கிசாவில் உள்ள பிரமிடு வளாகத்தின் அளவீடுகள் சில வானியல் அளவீடுகளுடன் ஒப்பிடப்படுகின்றன மற்றும் "கூட" எண்கள் குறிக்கப்படுகின்றன: ஒரு மில்லியன் மடங்கு குறைவாக, ஒரு பில்லியன் மடங்கு குறைவாக, மற்றும் விரைவில். சில "அண்ட" உறவுகளை கருத்தில் கொள்வோம்.

அறிக்கைகளில் ஒன்று: "பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கத்தை ஆண்டின் சரியான நீளத்தால் வகுத்தால், பூமியின் அச்சில் சரியாக 10 மில்லியனில் ஒரு பங்கு கிடைக்கும்." கணக்கிடவும்: 233 ஐ 365 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 0.638 கிடைக்கும். பூமியின் ஆரம் 6378 கி.மீ.

மற்றொரு அறிக்கை உண்மையில் முந்தையதற்கு நேர்மாறானது. அவரே கண்டுபிடித்த "எகிப்திய முழத்தை" நீங்கள் பயன்படுத்தினால், பிரமிட்டின் பக்கமானது "மிகவும் துல்லியமான காலத்திற்கு" ஒத்திருக்கும் என்று எஃப். நோட்லிங் சுட்டிக்காட்டினார். சூரிய ஆண்டு, ஒரு நாளின் பில்லியனில் ஒரு பங்கிற்கு வெளிப்படுத்தப்பட்டது" - 365.540.903.777.

பி. ஸ்மித்தின் அறிக்கை: "பிரமிட்டின் உயரம் பூமியிலிருந்து சூரியனுக்கான தூரத்தில் சரியாக ஒரு பில்லியன் ஆகும்." பொதுவாக எடுக்கப்பட்ட உயரம் 146.6 மீ என்றாலும், நவீன ரேடார் அளவீடுகளின்படி, ஸ்மித் அதை 148.2 மீ என எடுத்துக் கொண்டார், பூமியின் சுற்றுப்பாதையின் அரை-பிரதான அச்சு 149,597,870 + 1.6 கி.மீ. பூமியிலிருந்து சூரியனுக்கான சராசரி தூரம் இதுவாகும், ஆனால் பெரிஹேலியனில் இது அபிலியனை விட 5,000,000 கிலோமீட்டர் குறைவாக உள்ளது.

கடைசியாக ஒரு சுவாரஸ்யமான கூற்று:

"பூமி, வீனஸ், செவ்வாய் கிரகங்களின் வெகுஜனங்களைப் போலவே, சேப்ஸ், காஃப்ரே மற்றும் மைகெரினஸ் பிரமிடுகளின் வெகுஜனங்கள் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடையவை என்பதை நாம் எவ்வாறு விளக்குவது?" கணக்கிடுவோம். மூன்று பிரமிடுகளின் நிறை: காஃப்ரே - 0.835; Cheops - 1,000; மைக்கரின் - 0.0915. மூன்று கிரகங்களின் வெகுஜனங்களின் விகிதங்கள்: வீனஸ் - 0.815; பூமி - 1,000; செவ்வாய் - 0.108.

எனவே, சந்தேகம் இருந்தபோதிலும், அறிக்கைகளின் கட்டுமானத்தின் நன்கு அறியப்பட்ட இணக்கத்தை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்: 1) பிரமிட்டின் உயரம், "விண்வெளிக்குச் செல்லும்" கோடு போன்றது, பூமியிலிருந்து சூரியனுக்கான தூரத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது; 2) பிரமிட்டின் அடித்தளத்தின் பக்கமானது, "அடி மூலக்கூறுக்கு" மிக அருகில் உள்ளது, அதாவது பூமிக்கு, பூமியின் ஆரம் மற்றும் பூமியின் சுழற்சிக்கு பொறுப்பாகும்; 3) பிரமிட்டின் தொகுதிகள் (படிக்க - வெகுஜனங்கள்) பூமிக்கு மிக நெருக்கமான கிரகங்களின் வெகுஜனங்களின் விகிதத்திற்கு ஒத்திருக்கும். இதேபோன்ற "மறைக்குறியீட்டை" கண்டுபிடிக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இல் தேனீ நாக்கு, கார்ல் வான் ஃபிரிஷ் ஆய்வு செய்தார். எவ்வாறாயினும், இந்த விடயம் தொடர்பில் தற்போது கருத்து தெரிவிப்பதை தவிர்த்துக் கொள்கிறோம்.

பிரமிட் வடிவம்

பிரமிடுகளின் புகழ்பெற்ற டெட்ராஹெட்ரல் வடிவம் உடனடியாக எழவில்லை. சித்தியர்கள் மண் மலைகள் - மேடுகளின் வடிவத்தில் அடக்கம் செய்தனர். எகிப்தியர்கள் கல்லால் "மலைகளை" கட்டினார்கள் - பிரமிடுகள். கிமு 28 ஆம் நூற்றாண்டில் மேல் மற்றும் கீழ் எகிப்து ஒன்றிணைந்த பின்னர், மூன்றாம் வம்சத்தின் நிறுவனர் பார்வோன் ஜோசர் (ஜோசர்) நாட்டின் ஒற்றுமையை வலுப்படுத்தும் பணியை எதிர்கொண்டபோது இது முதலில் நடந்தது.

இங்கே, வரலாற்றாசிரியர்களின் கூற்றுப்படி, " புதிய கருத்துஅரசரின் "தெய்வமாக்கல்" அதிக சிறப்பினால் வேறுபடுத்தப்பட்டிருந்தாலும், அவை கோட்பாட்டளவில் நீதிமன்ற பிரபுக்களின் கல்லறைகளிலிருந்து வேறுபடவில்லை, அவை ஒரே மாதிரியான கட்டமைப்புகள் - மம்மி, செவ்வகத்துடன் கூடிய சர்கோபாகஸ் சிறிய கற்களின் மலை ஊற்றப்பட்டது, அங்கு அது பெரிய கல் தொகுதிகளால் செய்யப்பட்ட ஒரு சிறிய கட்டிடம் வைக்கப்பட்டது - "மஸ்தபா" (அரபு மொழியில் - "பெஞ்ச்") அவரது முன்னோடியான சனாக்த்தின் மஸ்தபாவின் தளத்தில், பார்வோன் ஜோசர் முதலில் கட்டினார். பிரமிடு படி மற்றும் ஒரு கட்டிடக்கலை வடிவில் இருந்து மற்றொரு பிரமிடு வரை காணக்கூடிய நிலையாக இருந்தது.

இந்த வழியில், முனிவர் மற்றும் கட்டிடக் கலைஞர் இம்ஹோடெப், பின்னர் ஒரு மந்திரவாதியாகக் கருதப்பட்டார் மற்றும் கிரேக்கர்களால் அஸ்க்லெபியஸ் கடவுளுடன் அடையாளம் காணப்பட்டார், பாரோவை "உயர்த்தினார்". ஆறு மஸ்தபாக்கள் வரிசையாக அமைக்கப்பட்டது போல் இருந்தது. மேலும், முதல் பிரமிடு 1125 x 115 மீட்டர் பரப்பளவை ஆக்கிரமித்தது, மதிப்பிடப்பட்ட உயரம் 66 மீட்டர் (எகிப்திய தரநிலைகளின்படி - 1000 "பனைகள்"). முதலில், கட்டிடக் கலைஞர் ஒரு மஸ்தபாவை உருவாக்க திட்டமிட்டார், ஆனால் நீள்வட்டமாக இல்லை, ஆனால் திட்டத்தில் சதுரமாக. பின்னர் அது விரிவாக்கப்பட்டது, ஆனால் நீட்டிப்பு குறைவாக செய்யப்பட்டதால், இரண்டு படிகள் இருப்பது போல் தோன்றியது.

இந்த நிலைமை கட்டிடக் கலைஞரை திருப்திப்படுத்தவில்லை, மேலும் பெரிய தட்டையான மஸ்தபாவின் மேல் மேடையில், இம்ஹோடெப் மேலும் மூன்றை வைத்து, படிப்படியாக மேல் நோக்கிச் சென்றார். கல்லறை பிரமிட்டின் கீழ் அமைந்திருந்தது.

இன்னும் பல படி பிரமிடுகள் அறியப்படுகின்றன, ஆனால் பின்னர் அடுக்கு மாடி பிரமிடுகள் நமக்கு மிகவும் பரிச்சயமான டெட்ராஹெட்ரல் பிரமிடுகளை உருவாக்கினர். ஏன், எனினும், முக்கோண அல்லது எண்கோணமாக இல்லை? கிட்டத்தட்ட அனைத்து பிரமிடுகளும் நான்கு கார்டினல் திசைகளில் சரியாகச் செயல்படுகின்றன, எனவே நான்கு பக்கங்களும் உள்ளன என்பதன் மூலம் ஒரு மறைமுக பதில் வழங்கப்படுகிறது. கூடுதலாக, பிரமிட் ஒரு "வீடு", ஒரு நாற்கர அடக்கம் அறையின் ஷெல்.

ஆனால் முகங்களின் சாய்வின் கோணத்தை எது தீர்மானித்தது? "விகிதாச்சாரத்தின் கொள்கை" புத்தகத்தில் ஒரு முழு அத்தியாயமும் இதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது: "பிரமிடுகளின் சாய்வின் கோணங்களை எது தீர்மானிக்க முடியும்." குறிப்பாக, "பெரிய பிரமிடுகள் ஈர்க்கும் படம்" என்று குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது பண்டைய இராச்சியம்- உச்சியில் வலது கோணம் கொண்ட ஒரு முக்கோணம்.

விண்வெளியில் இது ஒரு செமி-ஆக்டாஹெட்ரான்: ஒரு பிரமிடு, இதில் அடித்தளத்தின் விளிம்புகள் மற்றும் பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும், விளிம்புகள் சமபக்க முக்கோணங்கள்." ஹாம்பிட்ஜ், கிக் மற்றும் பிற புத்தகங்களில் இந்த விஷயத்தில் சில பரிசீலனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அரை எண்கோணத்தின் நன்மை என்ன? தொல்பொருள் ஆராய்ச்சியாளர்கள் மற்றும் வரலாற்றாசிரியர்களின் விளக்கங்களின்படி, சில பிரமிடுகள் அவற்றின் சொந்த எடையின் கீழ் சரிந்தன. தேவையானது "நீடிப்பு கோணம்", மிகவும் ஆற்றல்மிக்க நம்பகமான கோணம். முற்றிலும் அனுபவ ரீதியாக, இந்த கோணத்தை உச்சி கோணத்தில் இருந்து நொறுங்கும் உலர்ந்த மணல் குவியலில் எடுக்கலாம். ஆனால் துல்லியமான தரவைப் பெற, நீங்கள் ஒரு மாதிரியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். நான்கு உறுதியாக நிலையான பந்துகளை எடுத்து, நீங்கள் அவற்றில் ஐந்தாவது ஒன்றை வைத்து சாய்வின் கோணங்களை அளவிட வேண்டும். இருப்பினும், நீங்கள் இங்கே தவறு செய்யலாம், எனவே ஒரு கோட்பாட்டு கணக்கீடு உதவுகிறது: நீங்கள் பந்துகளின் மையங்களை கோடுகளுடன் (மன ரீதியாக) இணைக்க வேண்டும். அடித்தளம் இரண்டு மடங்கு ஆரம் கொண்ட பக்கத்துடன் ஒரு சதுரமாக இருக்கும். சதுரமானது பிரமிட்டின் அடித்தளமாக இருக்கும், அதன் விளிம்புகளின் நீளம் இரண்டு மடங்கு ஆரம் சமமாக இருக்கும்.

இவ்வாறு, 1:4 போன்ற பந்துகளை நெருக்கமாக பேக்கிங் செய்வது வழக்கமான அரை எண்கோணத்தை நமக்குத் தரும்.

இருப்பினும், பல பிரமிடுகள், ஒரே மாதிரியான வடிவத்தை நோக்கி ஈர்ப்பு அடைந்தாலும், அதை ஏன் தக்கவைக்கவில்லை? பிரமிடுகள் அநேகமாக வயதானவை. பிரபலமான பழமொழிக்கு மாறாக:

"உலகில் உள்ள அனைத்தும் நேரத்தைப் பற்றி பயப்படுகின்றன, நேரம் பிரமிடுகளுக்கு அஞ்சுகிறது," பிரமிடுகளின் கட்டிடங்கள் வயதாக வேண்டும், வெளிப்புற வானிலை செயல்முறைகள் மட்டுமல்ல, உள் "சுருங்குதல்" செயல்முறைகளும் ஏற்படலாம். பிரமிடுகள் குறைவதற்கு காரணமாகின்றன. சுருக்கம் கூட சாத்தியமாகும், ஏனெனில், D. Davidovits வேலை வெளிப்படுத்தியது, பண்டைய எகிப்தியர்கள் சுண்ணாம்பு சில்லுகள் இருந்து தொகுதிகள் செய்யும் தொழில்நுட்பத்தை பயன்படுத்தி, வேறு வார்த்தைகளில், "கான்கிரீட்" இருந்து. கெய்ரோவிற்கு தெற்கே 50 கிமீ தொலைவில் அமைந்துள்ள மேடம் பிரமிட் அழிக்கப்பட்டதற்கான காரணத்தை துல்லியமாக ஒத்த செயல்முறைகள் விளக்குகின்றன. இது 4600 ஆண்டுகள் பழமையானது, அடித்தளத்தின் பரிமாணங்கள் 146 x 146 மீ, உயரம் 118 மீ. "இது ஏன் மிகவும் சிதைந்துள்ளது?" என்று வி. ஜமரோவ்ஸ்கி கேட்கிறார், "காலத்தின் அழிவுகரமான விளைவுகள் மற்றும் "மற்ற கட்டிடங்களுக்கு கல் பயன்படுத்துதல்" பற்றிய வழக்கமான குறிப்புகள் இங்கே பொருந்தாது.

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அதன் பெரும்பாலான தொகுதிகள் மற்றும் எதிர்கொள்ளும் அடுக்குகள் இன்றுவரை அதன் காலடியில் இடிபாடுகளில் உள்ளன." நாம் பார்ப்பது போல், பல ஏற்பாடுகள் புகழ்பெற்ற சியோப்ஸ் பிரமிடும் "சுருங்கிவிட்டன" என்று நினைக்க வைக்கிறது. எப்படியிருந்தாலும், அனைத்து பண்டைய படங்களிலும் பிரமிடுகள் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளன ...

பிரமிடுகளின் வடிவமும் சாயல் மூலம் உருவாக்கப்பட்டிருக்கலாம்: சில இயற்கை மாதிரிகள், "மிராக்கிள் பெர்ஃபெக்ஷன்" என்று சொல்லலாம், சில படிகங்கள் ஆக்டோஹெட்ரான் வடிவத்தில் உள்ளன.

இதே போன்ற படிகங்கள் வைரம் மற்றும் தங்க படிகங்களாக இருக்கலாம். பண்பு ஒரு பெரிய எண்ணிக்கைபார்வோன், சூரியன், தங்கம், வைரம் போன்ற கருத்துக்களுக்கான "ஒன்றிணைக்கும்" அறிகுறிகள். எல்லா இடங்களிலும் - உன்னதமான, புத்திசாலித்தனமான (புத்திசாலித்தனமான), பெரிய, பாவம், மற்றும் பல. ஒற்றுமைகள் தற்செயலானவை அல்ல.

சூரிய வழிபாட்டு முறை, அறியப்பட்டபடி, மதத்தின் ஒரு முக்கிய பகுதியாகும் பழங்கால எகிப்து. "பெரிய பிரமிடுகளின் பெயரை நாம் எப்படி மொழிபெயர்த்தாலும் பரவாயில்லை" என்று ஒருவர் குறிப்பிடுகிறார் நவீன உதவிகள்- "குஃபுவின் வானம்" அல்லது "குஃபுவின் வானம்", அதாவது ராஜா சூரியன் என்று அர்த்தம், குஃபு, தனது சக்தியின் பிரகாசத்தில், தன்னை இரண்டாவது சூரியன் என்று கற்பனை செய்துகொண்டால், அவரது மகன் டிஜெடெஃப்-ரா ஆனார். எகிப்திய மன்னர்களில் முதன்மையானவர் "ராவின் மகன்", அதாவது சூரியனின் மகன். கிட்டத்தட்ட அனைத்து மக்களின் சூரியன் "சூரிய உலோகம்", தங்கத்தால் அடையாளப்படுத்தப்பட்டது. "பிரகாசமான தங்கத்தின் பெரிய வட்டு" - இதைத்தான் எகிப்தியர்கள் எங்கள் பகல்நேரம் என்று அழைத்தனர், எகிப்தியர்கள் தங்கத்தை நன்கு அறிந்திருந்தனர், தங்கத்தின் படிகங்கள் எண்கோண வடிவில் தோன்றும்.

"சூரிய கல்" - வைரம் - இங்கே "வடிவங்களின் மாதிரியாக" சுவாரஸ்யமானது. வைரத்தின் பெயர் துல்லியமாக அரபு உலகில் இருந்து வந்தது, "அல்மாஸ்" - கடினமான, மிகவும் கடினமான, அழிக்க முடியாதது. பண்டைய எகிப்தியர்கள் வைரத்தையும் அதன் பண்புகளையும் நன்கு அறிந்திருந்தனர். சில ஆசிரியர்களின் கூற்றுப்படி, அவர்கள் துளையிடுவதற்கு வைர வெட்டிகளுடன் வெண்கலக் குழாய்களைப் பயன்படுத்தினர்.

தற்போது வைரங்களின் முக்கிய சப்ளையர் தென்னாப்பிரிக்கா, ஆனால் மேற்கு ஆப்பிரிக்காவில் வைரங்கள் நிறைந்துள்ளன. மாலி குடியரசின் பிரதேசம் "வைர நிலம்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இதற்கிடையில், மாலியின் பிரதேசத்தில் தான் டோகன் வாழ்கிறார், அவருடன் பேலியோ-விசிட் கருதுகோளின் ஆதரவாளர்கள் பல நம்பிக்கைகளை முன்வைக்கின்றனர் (கீழே காண்க). இந்த பிராந்தியத்துடன் பண்டைய எகிப்தியர்களின் தொடர்புகளுக்கு வைரங்கள் காரணமாக இருந்திருக்க முடியாது. இருப்பினும், ஒரு வழி அல்லது வேறு, துல்லியமாக வைர மற்றும் தங்க படிகங்களின் எண்கோணங்களை நகலெடுப்பதன் மூலம், பண்டைய எகிப்தியர்கள் அதன் மூலம் பாரோக்களை தெய்வமாக்கினர், வைரத்தைப் போல "அழியாதவர்கள்" மற்றும் தங்கம் போன்ற "புத்திசாலித்தனம்", சூரியனின் மகன்கள், ஒப்பிடக்கூடியவர்கள். இயற்கையின் மிக அற்புதமான படைப்புகளுக்கு.

முடிவுரை:

பிரமிட்டை ஒரு வடிவியல் உடலாகப் படித்து, அதன் கூறுகள் மற்றும் பண்புகளைப் பற்றி அறிந்த பிறகு, பிரமிட்டின் வடிவத்தின் அழகைப் பற்றிய கருத்தின் செல்லுபடியை நாங்கள் நம்பினோம்.

எங்கள் ஆராய்ச்சியின் விளைவாக, எகிப்தியர்கள், மிகவும் மதிப்புமிக்க கணித அறிவைச் சேகரித்து, அதை ஒரு பிரமிட்டில் பொதிந்துள்ளனர் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். எனவே, பிரமிட் உண்மையிலேயே இயற்கை மற்றும் மனிதனின் மிகச் சிறந்த படைப்பு.

பைபிளியோகிராஃபி

"வடிவியல்: பாடநூல். 7 - 9 தரங்களுக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள்\, முதலியன - 9வது பதிப்பு - எம்.: கல்வி, 1999

பள்ளியில் கணித வரலாறு, எம்: "ப்ரோஸ்வெஷ்செனி", 1982.

வடிவியல் 10-11 கிரேடுகள், எம்: "அறிவொளி", 2000

பீட்டர் டாம்ப்கின்ஸ் "சியோப்ஸின் பெரிய பிரமிட்டின் ரகசியங்கள்", எம்: "சென்ட்ரோபோலிகிராஃப்", 2005.

இணைய வளங்கள்

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

முக்கோண பிரமிடு என்பது அதன் அடிவாரத்தில் முக்கோணத்தைக் கொண்ட ஒரு பிரமிடு ஆகும். இந்த பிரமிட்டின் உயரம் செங்குத்தாக உள்ளது, இது பிரமிட்டின் மேலிருந்து அதன் அடிப்பகுதிக்கு குறைக்கப்படுகிறது.

ஒரு பிரமிட்டின் உயரத்தைக் கண்டறிதல்

ஒரு பிரமிட்டின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? மிக எளிய! எந்த முக்கோண பிரமிட்டின் உயரத்தைக் கண்டறிய, நீங்கள் தொகுதி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: V = (1/3) Sh, அங்கு S என்பது அடித்தளத்தின் பரப்பளவு, V என்பது பிரமிட்டின் அளவு, h என்பது அதன் உயரம். இந்த சூத்திரத்திலிருந்து, உயர சூத்திரத்தைப் பெறுங்கள்: ஒரு முக்கோண பிரமிட்டின் உயரத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பிரமிட்டின் அளவை 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும், பின்னர் அதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை அடித்தளத்தின் பரப்பளவில் வகுக்க வேண்டும், அது: h = (3V)/S. முக்கோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு முக்கோணமாக இருப்பதால், முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். நமக்குத் தெரிந்தால்: முக்கோணத்தின் பரப்பளவு S மற்றும் அதன் பக்க z, பின்னர் பகுதி சூத்திரத்தின் படி S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, இங்கு h என்பது பிரமிட்டின் உயரம், γ முக்கோணத்தின் விளிம்பு; முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் இரண்டு பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணம், பின்னர் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி: S = (1/2)γφsinQ, அங்கு γ, φ முக்கோணத்தின் பக்கங்கள், முக்கோணத்தின் பகுதியைக் காண்கிறோம். இணையத்தில் கிடைக்கும் சைன்களின் அட்டவணையில் Q கோணத்தின் சைனின் மதிப்பைப் பார்க்க வேண்டும். அடுத்து, பகுதி மதிப்பை உயர சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்: h = (2S)/γ. பணிக்கு ஒரு முக்கோண பிரமிட்டின் உயரத்தை கணக்கிட வேண்டும் என்றால், பிரமிட்டின் அளவு ஏற்கனவே அறியப்படுகிறது.

வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு

ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் உயரத்தைக் கண்டறியவும், அதாவது, அனைத்து முகங்களும் சமபக்க முக்கோணங்களாக இருக்கும் ஒரு பிரமிடு, விளிம்பின் அளவை அறிந்து γ. இந்த வழக்கில், பிரமிட்டின் விளிம்புகள் சமபக்க முக்கோணங்களின் பக்கங்களாகும். வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் உயரம்: h = γ√(2/3), இங்கு γ என்பது சமபக்க முக்கோணத்தின் விளிம்பு, h என்பது பிரமிட்டின் உயரம். அடித்தளத்தின் (S) பரப்பளவு தெரியவில்லை என்றால், விளிம்பின் நீளம் (γ) மற்றும் பாலிஹெட்ரானின் தொகுதி (V) மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டால், முந்தைய படியிலிருந்து சூத்திரத்தில் தேவையான மாறி மாற்றப்பட வேண்டும். அதன் சமமான மூலம், இது விளிம்பின் நீளத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு (வழக்கமானது) இந்த முக்கோணத்தின் பக்க நீளத்தின் பெருக்கத்தின் 1/4 க்கு சமமாக இருக்கும் சூத்திரம், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் அளவை அதன் விளிம்பின் நீளம் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம், பின்னர் ஒரு உருவத்தின் உயரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்திலிருந்து, நீங்கள் அனைத்து மாறிகளையும் அகற்றி, உருவத்தின் முக்கோண முகத்தின் பக்கத்தை மட்டும் விட்டுவிடலாம். அத்தகைய ஒரு பிரமிட்டின் கன அளவை அதன் முகத்தின் க்யூப் நீளத்தை 2 இன் வர்க்க மூலத்தால் தயாரிப்பிலிருந்து 12 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் கணக்கிடலாம்.

இந்த வெளிப்பாட்டை முந்தைய சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், கணக்கீட்டிற்கு பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. மேலும், ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம் ஒரு கோளத்தில் பொறிக்கப்படலாம், மேலும் கோளத்தின் (R) ஆரம் மட்டுமே தெரிந்துகொள்வதன் மூலம் டெட்ராஹெட்ரானின் உயரத்தைக் கண்டறிய முடியும். டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்பின் நீளம்: γ = 4R/√6. முந்தைய சூத்திரத்தில் இந்த வெளிப்பாட்டுடன் மாறி γ ஐ மாற்றி, சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. டெட்ராஹெட்ரானில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு வட்டத்தின் ஆரம் (R) தெரிந்துகொள்வதன் மூலம் அதே சூத்திரத்தைப் பெறலாம். இந்த வழக்கில், முக்கோணத்தின் விளிம்பின் நீளம் 6 இன் வர்க்க மூலத்திற்கும் ஆரத்திற்கும் இடையில் 12 விகிதங்களுக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வெளிப்பாட்டை முந்தைய சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம், மேலும் எங்களிடம் உள்ளது: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

ஒரு பிரமிட்டின் உயரத்தின் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்க, வழக்கமான பிரமிடு என்ன என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு நாற்கர பிரமிடு என்பது ஒரு பிரமிடு ஆகும், இது அதன் அடிவாரத்தில் ஒரு நாற்கரத்தைக் கொண்டுள்ளது. சிக்கலின் நிலைமைகளில் எங்களிடம் இருந்தால்: தொகுதி (V) மற்றும் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி (S) பகுதி, பாலிஹெட்ரான் (h) இன் உயரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு இருக்கும் - தொகுதியை பெருக்கி வகுக்கவும் பகுதி S: h = (3V)/S மூலம் 3 ஆல். கொடுக்கப்பட்ட தொகுதி (V) மற்றும் பக்க நீளம் γ கொண்ட ஒரு பிரமிட்டின் சதுர அடித்தளம் கொடுக்கப்பட்டால், முந்தைய சூத்திரத்தில் உள்ள பகுதியை (S) பக்க நீளத்தின் சதுரத்துடன் மாற்றவும்: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் உயரம் h = SO அடிப்பகுதிக்கு அருகில் சுற்றியிருக்கும் வட்டத்தின் மையத்தின் வழியாக சரியாக செல்கிறது. இந்த பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு சதுரமாக இருப்பதால், புள்ளி O என்பது AD மற்றும் BC மூலைவிட்டங்களின் வெட்டுப்புள்ளியாகும். எங்களிடம் உள்ளது: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. அடுத்து, நாங்கள் உள்ளே இருக்கிறோம் வலது முக்கோணம்நாம் SOC (பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி) காண்கிறோம்: SO = √(SC 2 -OC 2). வழக்கமான பிரமிட்டின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது இப்போது உங்களுக்குத் தெரியும்.