ஸ்கேலர் தயாரிப்புதிசையன்கள்

திசையன்களை நாங்கள் தொடர்ந்து கையாளுகிறோம். முதல் பாடத்தில் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்வெக்டரின் கருத்து, திசையன்களுடனான செயல்கள், திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் திசையன்களின் எளிய சிக்கல்களைப் பார்த்தோம். நீங்கள் தேடுபொறியிலிருந்து முதன்முறையாக இந்தப் பக்கத்திற்கு வந்திருந்தால், மேலே உள்ள அறிமுகக் கட்டுரையைப் படிக்க நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறேன். அடிப்படை அறிவுதிசையன்கள் பற்றி மற்றும் அடிப்படை சிக்கல்களை தீர்க்க முடியும். இந்த பாடம் தலைப்பின் தர்க்கரீதியான தொடர்ச்சியாகும், மேலும் அதில் திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தும் வழக்கமான பணிகளை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்வேன். இது ஒரு மிக முக்கியமான செயல்பாடு.. பயனுள்ள போனஸுடன் வரும் உதாரணங்களைத் தவிர்க்க முயற்சிக்கவும் - பயிற்சியானது நீங்கள் உள்ளடக்கிய பொருளை ஒருங்கிணைத்து, பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் பொதுவான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் சிறந்து விளங்க உதவும்.

திசையன்களின் கூட்டல், ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குதல்.... கணிதவியலாளர்கள் வேறு எதையும் கொண்டு வரவில்லை என்று நினைப்பது அப்பாவியாக இருக்கும். ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்ட செயல்களுக்கு கூடுதலாக, திசையன்களுடன் பல செயல்பாடுகள் உள்ளன, அதாவது: திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு, திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்புமற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு. வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு என்பது பள்ளியிலிருந்து நமக்கு நன்கு தெரிந்ததே. தலைப்புகள் எளிமையானவை, பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை நேரடியானது மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது. அந்த ஒரு விஷயம். ஒரு கண்ணியமான தகவல் உள்ளது, எனவே எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் மாஸ்டர் மற்றும் தீர்க்க முயற்சிப்பது விரும்பத்தகாதது. டம்மிகளுக்கு இது குறிப்பாக உண்மை, என்னை நம்புங்கள், ஆசிரியர் கணிதத்திலிருந்து சிக்கட்டிலோவைப் போல உணர விரும்பவில்லை. சரி, கணிதத்தில் இருந்து அல்ல, நிச்சயமாக, ஒன்று =) மேலும் தயார்படுத்தப்பட்ட மாணவர்கள் பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுத்துப் பயன்படுத்தலாம், ஒரு குறிப்பிட்ட அர்த்தத்தில், உங்களுக்கு நான் ஒரு பாதிப்பில்லாத கவுண்ட் டிராகுலாவாக இருப்பேன்.

இறுதியாக கதவைத் திறந்து, இரண்டு திசையன்கள் ஒன்றையொன்று சந்திக்கும் போது என்ன நடக்கிறது என்பதை ஆர்வத்துடன் பார்ப்போம்….

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறை.
அளவிடும் பொருளின் பண்புகள். வழக்கமான பணிகள்

ஒரு புள்ளி தயாரிப்பு கருத்து

முதலில் பற்றி திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம். திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் என்ன என்பதை அனைவரும் உள்ளுணர்வாக புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நான் நினைக்கிறேன், ஆனால் இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாக. இலவச பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் மற்றும் . நீங்கள் இந்த திசையன்களை ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியில் இருந்து சதி செய்தால், பலர் ஏற்கனவே மனதளவில் கற்பனை செய்த ஒரு படத்தைப் பெறுவீர்கள்:

நான் ஒப்புக்கொள்கிறேன், இங்கே நான் நிலைமையை புரிந்து கொள்ளும் மட்டத்தில் மட்டுமே விவரித்தேன். திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கடுமையான வரையறை உங்களுக்குத் தேவைப்பட்டால், நடைமுறைச் சிக்கல்களுக்கு பாடப்புத்தகத்தைப் பார்க்கவும், கொள்கையளவில், எங்களுக்கு அது தேவையில்லை. இங்கும் இங்கும் அவற்றின் குறைந்த நடைமுறை முக்கியத்துவம் காரணமாக இடங்களில் பூஜ்ஜிய திசையன்களை புறக்கணிப்பேன். சில அடுத்தடுத்த அறிக்கைகளின் தத்துவார்த்த முழுமையின்மைக்காக என்னைக் குறை கூறக்கூடிய மேம்பட்ட தள பார்வையாளர்களுக்காக நான் குறிப்பாக முன்பதிவு செய்துள்ளேன்.

0 முதல் 180 டிகிரி வரை (0 முதல் ரேடியன்கள் வரை) மதிப்புகளை எடுக்கலாம். பகுப்பாய்வு ரீதியாக இந்த உண்மைஇரட்டை சமத்துவமின்மை என எழுதப்பட்டது: அல்லது (ரேடியன்களில்).

இலக்கியத்தில், கோணக் குறியீடு பெரும்பாலும் தவிர்க்கப்பட்டு எளிமையாக எழுதப்படுகிறது.

வரையறை:இரண்டு திசையன்களின் அளவுகோல் பெருக்கமானது, இந்த திசையன்களின் நீளங்களின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கும் சமமான NUMBER ஆகும்:

இப்போது இது மிகவும் கடுமையான வரையறை.

அத்தியாவசிய தகவல்களில் நாங்கள் கவனம் செலுத்துகிறோம்:

பதவி:அளவிடுதல் தயாரிப்பு அல்லது எளிமையாகக் குறிக்கப்படுகிறது.

செயல்பாட்டின் முடிவு NUMBER ஆகும்: திசையன் வெக்டரால் பெருக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக ஒரு எண். உண்மையில், திசையன்களின் நீளம் எண்களாக இருந்தால், ஒரு கோணத்தின் கொசைன் ஒரு எண்ணாக இருந்தால், அதன் தயாரிப்பு ஒரு எண்ணாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு சூடான எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் . இந்த வழக்கில்:

பதில்:

கொசைன் மதிப்புகளைக் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை. அதை அச்சிட பரிந்துரைக்கிறேன் - இது கோபுரத்தின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பிரிவுகளிலும் தேவைப்படும் மற்றும் பல முறை தேவைப்படும்.

முற்றிலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், அளவிடுதல் தயாரிப்பு பரிமாணமற்றது, அதாவது, இந்த விஷயத்தில் முடிவு ஒரு எண் மட்டுமே. இயற்பியல் சிக்கல்களின் பார்வையில், அளவிடுதல் தயாரிப்பு எப்போதும் ஒரு குறிப்பிட்ட தன்மையைக் கொண்டுள்ளது உடல் பொருள், அதாவது, முடிவுக்குப் பிறகு நீங்கள் ஒன்று அல்லது மற்றொரு உடல் அலகு குறிப்பிட வேண்டும். ஒரு சக்தியின் வேலையைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு நியமன உதாரணம் எந்த பாடப்புத்தகத்திலும் காணலாம் (சூத்திரம் சரியாக ஒரு அளவிடல் தயாரிப்பு). ஒரு சக்தியின் வேலை ஜூல்ஸில் அளவிடப்படுகிறது, எனவே, பதில் மிகவும் குறிப்பாக எழுதப்படும், எடுத்துக்காட்டாக, .

எடுத்துக்காட்டு 2

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும் , மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் சமமாக இருக்கும்.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு, பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

திசையன்களுக்கும் புள்ளி தயாரிப்பு மதிப்புக்கும் இடையே உள்ள கோணம்

எடுத்துக்காட்டு 1 இல் அளவிடல் தயாரிப்பு நேர்மறையாக மாறியது, எடுத்துக்காட்டு 2 இல் அது எதிர்மறையாக மாறியது. ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் அடையாளம் எதைப் பொறுத்தது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்கள் சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்: . பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களின் நீளம் எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்: , எனவே குறியானது கொசைனின் மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும்.

குறிப்பு: கீழே உள்ள தகவலை நன்கு புரிந்துகொள்ள, கையேட்டில் உள்ள கொசைன் வரைபடத்தைப் படிப்பது நல்லது செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள். பிரிவில் கொசைன் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும்.

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மாறுபடலாம் , மற்றும் பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1) என்றால் மூலையில்திசையன்களுக்கு இடையில் காரமான: (0 முதல் 90 டிகிரி வரை), பின்னர் , மற்றும் புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும் இணைந்து இயக்கினார், பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் அளவிடுதல் தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும். இருந்து , சூத்திரம் எளிதாக்குகிறது: .

2) என்றால் மூலையில்திசையன்களுக்கு இடையில் மழுங்கிய: (90 முதல் 180 டிகிரி வரை), பின்னர் , மற்றும் அதற்கேற்ப, புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது: . சிறப்பு வழக்கு: திசையன்கள் என்றால் எதிர் திசைகள், பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கருதப்படுகிறது விரிவடைந்தது: (180 டிகிரி). ஸ்கேலர் தயாரிப்பும் எதிர்மறையானது, என்பதால்

எதிர் அறிக்கைகளும் உண்மையே:

1) என்றால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் கடுமையானது. மாற்றாக, திசையன்கள் இணை திசையில் உள்ளன.

2) என்றால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் மழுங்கலாக உள்ளது. மாற்றாக, திசையன்கள் எதிர் திசைகளில் உள்ளன.

ஆனால் மூன்றாவது வழக்கு குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளது:

3) என்றால் மூலையில்திசையன்களுக்கு இடையில் நேராக: (90 டிகிரி), பின்னர் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்யம்: . உரையாடலும் உண்மைதான்: என்றால் , பிறகு . அறிக்கையை சுருக்கமாக பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். குறுகிய கணிதக் குறிப்பு:

! குறிப்பு : மீண்டும் சொல்கிறேன் கணித தர்க்கத்தின் அடிப்படைகள்: இரட்டை பக்க தர்க்க விளைவு ஐகான் பொதுவாக "இருந்தால் மட்டும் இருந்தால்", "இருந்தால் மட்டும் இருந்தால்" என்று படிக்கப்படும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அம்புகள் இரு திசைகளிலும் இயக்கப்படுகின்றன - "இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு, மற்றும் நேர்மாறாக - அதிலிருந்து இதைப் பின்தொடர்கிறது." ஒருவழிப் பின்தொடர் ஐகானில் இருந்து என்ன வித்தியாசம்? ஐகான் கூறுகிறது அது மட்டும், "இதிலிருந்து இதைப் பின்தொடர்கிறது", மற்றும் எதிர் உண்மை என்பது உண்மையல்ல. எடுத்துக்காட்டாக: , ஆனால் ஒவ்வொரு மிருகமும் ஒரு சிறுத்தை அல்ல, எனவே இந்த விஷயத்தில் நீங்கள் ஐகானைப் பயன்படுத்த முடியாது. அதே நேரத்தில், ஐகானுக்கு பதிலாக முடியும்ஒரு பக்க ஐகானைப் பயன்படுத்தவும். எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது, ​​திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் என்று நாங்கள் முடிவு செய்தோம்: - அத்தகைய நுழைவு சரியாக இருக்கும், மேலும் அதை விட மிகவும் பொருத்தமானது .

மூன்றாவது வழக்கு மிகவும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது, இது திசையன்கள் ஆர்த்தோகனா இல்லையா என்பதை சரிபார்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. இந்த பணிபாடத்தின் இரண்டாவது பகுதியில் நாம் தீர்ப்போம்.

புள்ளி தயாரிப்பின் பண்புகள்

இரண்டு திசையன்கள் போது நிலைமைக்கு திரும்புவோம் இணைந்து இயக்கினார். இந்த வழக்கில் அவர்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றும் அளவிடுதல் தயாரிப்பு சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கிறது: .

ஒரு திசையன் தானே பெருக்கினால் என்ன நடக்கும்? திசையன் தன்னுடன் சீரமைக்கப்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே மேலே உள்ள எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எண் அழைக்கப்படுகிறது ஸ்கேலர் சதுரம்திசையன், மற்றும் என குறிக்கப்படுகிறது.

இதனால், ஒரு திசையனின் அளவிடல் சதுரம் கொடுக்கப்பட்ட திசையனின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்:

இந்த சமத்துவத்திலிருந்து திசையன் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம்:

இதுவரை இது தெளிவாகத் தெரியவில்லை, ஆனால் பாடத்தின் நோக்கங்கள் எல்லாவற்றையும் அதன் இடத்தில் வைக்கும். பிரச்சினைகளை தீர்க்க நமக்கும் தேவை புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்.

தன்னிச்சையான திசையன்கள் மற்றும் எந்த எண்ணுக்கும், பின்வரும் பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும்:

1) - பரிமாற்றம் அல்லது மாற்றத்தக்கஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம்.

2) - விநியோகம் அல்லது விநியோகிக்கக்கூடியஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம். வெறுமனே, நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கலாம்.

3) - துணை அல்லது துணைஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம். மாறிலியை அளவிடல் உற்பத்தியில் இருந்து பெறலாம்.

பெரும்பாலும், அனைத்து வகையான பண்புகளும் (நிரூபிக்கப்பட வேண்டியவை!) மாணவர்களால் தேவையற்ற குப்பைகளாக உணரப்படுகின்றன, அவை பரீட்சைக்குப் பிறகு உடனடியாக மனப்பாடம் செய்து பாதுகாப்பாக மறக்கப்பட வேண்டும். இங்கே முக்கியமானது என்னவென்றால், காரணிகளை மறுசீரமைப்பது தயாரிப்பை மாற்றாது என்பதை முதல் வகுப்பிலிருந்தே அனைவருக்கும் ஏற்கனவே தெரியும்: . உயர் கணிதத்தில் இதுபோன்ற அணுகுமுறையால் விஷயங்களைக் குழப்புவது எளிது என்பதை நான் உங்களுக்கு எச்சரிக்க வேண்டும். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பரிமாற்ற சொத்து உண்மை இல்லை இயற்கணித மெட்ரிக்குகள். அதுவும் உண்மையல்ல திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு. எனவே, குறைந்தபட்சம், என்ன செய்ய முடியும் மற்றும் என்ன செய்ய முடியாது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்காக, உயர் கணிதப் பாடத்தில் நீங்கள் காணும் எந்தவொரு பண்புகளையும் ஆராய்வது நல்லது.

எடுத்துக்காட்டு 3

.

தீர்வு:முதலில், திசையன் மூலம் நிலைமையை தெளிவுபடுத்துவோம். எப்படியும் இது என்ன? திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட திசையன் ஆகும், இது குறிக்கப்படுகிறது. திசையன்களுடன் செயல்களின் வடிவியல் விளக்கத்தை கட்டுரையில் காணலாம் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள். ஒரு திசையன் கொண்ட அதே வோக்கோசு என்பது திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் .

எனவே, நிபந்தனையின் படி, அளவிடுதல் தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கோட்பாட்டில், நீங்கள் வேலை செய்யும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் , ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் நமக்குத் தெரியாது. ஆனால் நிலை திசையன்களுக்கு ஒத்த அளவுருக்களை வழங்குகிறது, எனவே நாங்கள் வேறு வழியில் செல்வோம்:

(1) திசையன்களின் வெளிப்பாடுகளை மாற்றவும்.

(2) பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம்; சிக்கலான எண்கள்அல்லது ஒரு பகுதி-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல். நான் மீண்டும் சொல்ல மாட்டேன் =) மூலம், அளவிடுதல் உற்பத்தியின் விநியோக சொத்து அடைப்புக்குறிகளை திறக்க அனுமதிக்கிறது. எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது.

(3) முதல் மற்றும் கடைசி சொற்களில், திசையன்களின் ஸ்கேலர் சதுரங்களை சுருக்கமாக எழுதுகிறோம்: . இரண்டாவது டெர்மில், ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் மாற்றியமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்: .

(4) இதே போன்ற விதிமுறைகளை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்: .

(5) முதல் வார்த்தையில் நாம் ஸ்கேலார் சதுர சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், இது நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு குறிப்பிடப்படவில்லை. கடைசி காலத்தில், அதன்படி, அதே விஷயம் செயல்படுகிறது: . நிலையான சூத்திரத்தின்படி இரண்டாவது காலத்தை விரிவுபடுத்துகிறோம் .

(6) இந்த நிபந்தனைகளை மாற்றவும் , மற்றும் கவனமாக இறுதி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளவும்.

பதில்:

ஸ்கேலர் உற்பத்தியின் எதிர்மறை மதிப்பு, திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மழுங்கியது என்ற உண்மையைக் கூறுகிறது.

பிரச்சனை பொதுவானது, அதை நீங்களே தீர்ப்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

எடுத்துக்காட்டு 4

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டுபிடி, அது தெரிந்தால் .

இப்போது மற்றொரு பொதுவான பணி, வெக்டரின் நீளத்திற்கான புதிய சூத்திரத்திற்கு மட்டுமே. இங்கே குறிப்பீடு கொஞ்சம் ஒன்றுடன் ஒன்று இருக்கும், எனவே தெளிவுக்காக நான் அதை வேறு கடிதத்துடன் மீண்டும் எழுதுகிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 5

என்றால் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வுபின்வருமாறு இருக்கும்:

(1) வெக்டருக்கான வெளிப்பாட்டை நாங்கள் வழங்குகிறோம்.

(2) நாம் நீள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: , மற்றும் முழு வெளிப்பாடு ve திசையன் "ve" ஆக செயல்படுகிறது.

(3) தொகையின் வர்க்கத்திற்கு பள்ளி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். இது ஒரு ஆர்வமான முறையில் இங்கே எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள்: - உண்மையில், இது வித்தியாசத்தின் சதுரம், உண்மையில், அது அப்படித்தான். விருப்பமுள்ளவர்கள் திசையன்களை மறுசீரமைக்கலாம்: - விதிமுறைகளின் மறுசீரமைப்பு வரை இதேதான் நடக்கும்.

(4) பின்வருபவை ஏற்கனவே இரண்டு முந்தைய சிக்கல்களிலிருந்து நன்கு தெரிந்தவை.

பதில்:

நாங்கள் நீளத்தைப் பற்றி பேசுவதால், பரிமாணத்தைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள் - “அலகுகள்”.

எடுத்துக்காட்டு 6

என்றால் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

டாட் தயாரிப்பிலிருந்து பயனுள்ள விஷயங்களைத் தொடர்ந்து பிழிந்து வருகிறோம். மீண்டும் நமது சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம் . விகிதாச்சார விதியைப் பயன்படுத்தி, திசையன்களின் நீளத்தை இடது பக்கத்தின் வகுப்பிற்கு மீட்டமைக்கிறோம்:

பகுதிகளை மாற்றுவோம்:

இந்த சூத்திரத்தின் பொருள் என்ன? இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றின் அளவுகோல் தயாரிப்பு அறியப்பட்டால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மற்றும் அதன் விளைவாக, கோணத்தையே கணக்கிட முடியும்.

புள்ளி தயாரிப்பு என்பது எண்ணா? எண். திசையன் நீளம் எண்களா? எண்கள். இதன் பொருள் ஒரு பின்னமும் ஒரு எண். மேலும் கோணத்தின் கொசைன் தெரிந்தால்: , பின்னர் தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: .

எடுத்துக்காட்டு 7

திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடி, அது தெரிந்தால்.

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

அன்று இறுதி நிலைகணக்கீடுகள், ஒரு தொழில்நுட்ப நுட்பம் பயன்படுத்தப்பட்டது - வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையை நீக்குகிறது. பகுத்தறிவின்மையை அகற்ற, நான் எண் மற்றும் வகுப்பை பெருக்கினேன்.

அப்படியென்றால் , அந்த:

தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் மூலம் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை. இது அரிதாக நடக்கும் என்றாலும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களில், பெரும்பாலும் சில விகாரமான கரடிகள் , மற்றும் கோணத்தின் மதிப்பை தோராயமாக ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கண்டறிய வேண்டும். உண்மையில், இதுபோன்ற ஒரு படத்தை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை பார்ப்போம்.

பதில்:

மீண்டும், பரிமாணங்களைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள் - ரேடியன்கள் மற்றும் டிகிரி. தனிப்பட்ட முறையில், வெளிப்படையாக "எல்லா கேள்விகளையும் தீர்க்க", நான் இரண்டையும் குறிப்பிட விரும்புகிறேன் (நிபந்தனை, நிச்சயமாக, ரேடியன்களில் அல்லது டிகிரிகளில் மட்டுமே பதிலை வழங்க வேண்டும் என்றால்).

இப்போது நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான பணியை சுயாதீனமாக சமாளிக்க முடியும்:

எடுத்துக்காட்டு 7*

திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

பல படிகள் இருப்பதால் பணி மிகவும் கடினம் அல்ல.
தீர்வு வழிமுறையைப் பார்ப்போம்:

1) நிபந்தனையின் படி, நீங்கள் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறிய வேண்டும், எனவே நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் .

2) அளவிடுதல் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும் (எடுத்துக்காட்டு எண். 3, 4 ஐப் பார்க்கவும்).

3) திசையன் நீளம் மற்றும் திசையன் நீளம் (எடுத்துக்காட்டு எண். 5, 6 ஐப் பார்க்கவும்).

4) தீர்வின் முடிவு எடுத்துக்காட்டு எண். 7 உடன் ஒத்துப்போகிறது - எண் நமக்குத் தெரியும் , அதாவது கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது:

பாடத்தின் முடிவில் ஒரு சிறிய தீர்வு மற்றும் பதில்.

பாடத்தின் இரண்டாவது பகுதி அதே அளவிடுதல் தயாரிப்புக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒருங்கிணைப்புகள். இது முதல் பகுதியை விட எளிதாக இருக்கும்.

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு,
ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்டது

பதில்:

ஆயங்களைக் கையாள்வது மிகவும் இனிமையானது என்று சொல்லத் தேவையில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 14

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும் மற்றும் என்றால்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே நீங்கள் செயல்பாட்டின் துணைத்தன்மையைப் பயன்படுத்தலாம், அதாவது எண்ண வேண்டாம் , ஆனால் உடனடியாக ஸ்கேலர் தயாரிப்புக்கு வெளியே மும்மடங்கு எடுத்து, அதை கடைசியாக பெருக்கவும். தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

பிரிவின் முடிவில், ஒரு திசையன் நீளத்தை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு ஆத்திரமூட்டும் உதாரணம்:

எடுத்துக்காட்டு 15

திசையன்களின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் , என்றால்

தீர்வு:முந்தைய பிரிவின் முறை தன்னை மீண்டும் பரிந்துரைக்கிறது: ஆனால் மற்றொரு வழி உள்ளது:

வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மற்றும் அற்பமான சூத்திரத்தின்படி அதன் நீளம் :

புள்ளி தயாரிப்பு இங்கே பொருந்தாது!

ஒரு திசையன் நீளத்தை கணக்கிடும் போது இது பயனுள்ளதாக இல்லை:
நிறுத்து. திசையன் நீளத்தின் வெளிப்படையான சொத்தை நாம் பயன்படுத்திக் கொள்ள வேண்டாமா? திசையன் நீளம் பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்? இந்த திசையன் திசையனை விட 5 மடங்கு நீளமானது. திசை எதிர், ஆனால் இது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனென்றால் நாங்கள் நீளத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம். வெளிப்படையாக, திசையன் நீளம் தயாரிப்புக்கு சமம் தொகுதிஒரு திசையன் நீளத்திற்கு எண்கள்:
- மாடுலஸ் அடையாளம் எண்ணின் சாத்தியமான மைனஸை "சாப்பிடுகிறது".

இதனால்:

பதில்:

ஆயத்தொலைவுகளால் குறிப்பிடப்படும் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரம்

இப்போது எங்களிடம் உள்ளது முழு தகவல், திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கான முன்னர் பெறப்பட்ட சூத்திரம் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

விமான திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைன்மற்றும், ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:
.

விண்வெளி திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைன், ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 16

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. கண்டுபிடி (உச்சி கோணம்).

தீர்வு:நிபந்தனைகளின்படி, வரைதல் தேவையில்லை, ஆனால் இன்னும்:

தேவையான கோணம் பச்சை வில் மூலம் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு கோணத்திற்கான பள்ளி பதவியை உடனடியாக நினைவில் கொள்வோம்: - சிறப்பு கவனம்அன்று சராசரிகடிதம் - இது நமக்குத் தேவையான கோணத்தின் உச்சி. சுருக்கமாக, நீங்கள் எளிமையாகவும் எழுதலாம்.

வரைபடத்திலிருந்து, முக்கோணத்தின் கோணம் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் வேறுவிதமாகக் கூறினால்: .

பகுப்பாய்வை மனதளவில் செய்ய கற்றுக்கொள்வது நல்லது.

திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஸ்கேலர் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

மற்றும் திசையன்களின் நீளம்:

கோணத்தின் கோசைன்:

டம்மிகளுக்கு நான் பரிந்துரைக்கும் பணியை முடிப்பதற்கான வரிசை இதுதான். மிகவும் மேம்பட்ட வாசகர்கள் கணக்கீடுகளை "ஒரு வரியில்" எழுதலாம்:

"மோசமான" கொசைன் மதிப்புக்கான உதாரணம் இங்கே. இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு இறுதியானது அல்ல, எனவே வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையை அகற்றுவதில் சிறிதும் இல்லை.

கோணத்தையே கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் வரைபடத்தைப் பார்த்தால், முடிவு மிகவும் நம்பத்தகுந்ததாக இருக்கும். சரிபார்க்க, கோணத்தை ஒரு புரோட்ராக்டருடன் அளவிடலாம். மானிட்டர் அட்டையை சேதப்படுத்த வேண்டாம் =)

பதில்:

பதிலில் நாம் அதை மறந்துவிட மாட்டோம் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணம் பற்றி கேட்டார்(மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைப் பற்றி அல்ல), சரியான பதிலைக் குறிப்பிட மறக்காதீர்கள்: மற்றும் கோணத்தின் தோராயமான மதிப்பு: , கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

செயல்முறையை அனுபவித்தவர்கள் கோணங்களைக் கணக்கிட்டு, நியமன சமத்துவத்தின் செல்லுபடியை சரிபார்க்கலாம்

எடுத்துக்காட்டு 17

ஒரு முக்கோணம் அதன் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளால் விண்வெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்

ஒரு சிறிய இறுதிப் பகுதி கணிப்புகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்படும், இதில் ஒரு அளவிடுதல் தயாரிப்பும் அடங்கும்:

ஒரு திசையன் மீது ஒரு திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன். ஒரு திசையன் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் மீது ப்ராஜெக்ஷன்.
வெக்டரின் திசை கோசைன்கள்

திசையன்களைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் மற்றும்:

வெக்டரின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவில் இருந்து, நாம் தவிர்க்கும் திசையனை திசையன் மீது முன்வைப்போம் செங்குத்தாகதிசையன் வரை (பச்சை புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகள்) ஒளியின் கதிர்கள் திசையன் மீது செங்குத்தாக விழும் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். பின்னர் பிரிவு (சிவப்பு கோடு) திசையனின் "நிழலாக" இருக்கும். இந்த வழக்கில், திசையன் மீது திசையன் ப்ராஜெக்ஷன் பிரிவின் நீளம் ஆகும். அதாவது, PROJECTION என்பது ஒரு எண்.

இந்த NUMBER பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: , “பெரிய திசையன்” என்பது திசையனைக் குறிக்கிறது எந்ததிட்டம், "சிறிய சப்ஸ்கிரிப்ட் வெக்டர்" என்பது வெக்டரைக் குறிக்கிறது ஆன்திட்டமிடப்பட்டவை.

பதிவே இவ்வாறு கூறுகிறது: "வெக்டார் "a" இன் திசையன் "be" மீது புரொஜெக்ஷன்."

திசையன் "be" "மிகவும் குறுகியதாக" இருந்தால் என்ன நடக்கும்? திசையன் "இரு" கொண்ட ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம். மற்றும் திசையன் "a" ஏற்கனவே கணிக்கப்படும் திசையன் திசையில் "இரு", எளிமையாக - திசையன் "இரு" கொண்டிருக்கும் நேர் கோட்டிற்கு. முப்பதாவது இராச்சியத்தில் திசையன் “a” ஒத்திவைக்கப்பட்டால் இதேதான் நடக்கும் - அது இன்னும் எளிதாக திசையன் “இரு” கொண்ட நேர்கோட்டில் திட்டமிடப்படும்.

கோணம் என்றால்திசையன்களுக்கு இடையில் காரமான(படத்தில் உள்ளதைப் போல), பின்னர்

திசையன்கள் என்றால் ஆர்த்தோகனல், பின்னர் (திட்டமானது ஒரு புள்ளியாகும், அதன் பரிமாணங்கள் பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகின்றன).

கோணம் என்றால்திசையன்களுக்கு இடையில் மழுங்கிய(படத்தில், திசையன் அம்புக்குறியை மனதளவில் மறுசீரமைக்கவும்), பின்னர் (அதே நீளம், ஆனால் கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது).

இந்த திசையன்களை ஒரு புள்ளியில் இருந்து திட்டமிடுவோம்:

வெளிப்படையாக, ஒரு திசையன் நகரும் போது, ​​அதன் கணிப்பு மாறாது

I. திசையன்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் அல்லது திசையன்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே அளவிடல் தயாரிப்பு மறைந்துவிடும். உண்மையில், என்றால் அல்லது , அல்லது பின்னர் .

மாறாக, பெருக்கப்பட்ட திசையன்கள் பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், நிபந்தனையிலிருந்து

அது பின்வருமாறு போது:

பூஜ்ஜிய வெக்டரின் திசை நிச்சயமற்றதாக இருப்பதால், பூஜ்ஜிய திசையன் எந்த திசையனுக்கும் செங்குத்தாக கருதப்படலாம். எனவே, அளவிடல் உற்பத்தியின் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பண்பு இன்னும் சுருக்கமாக உருவாக்கப்படலாம்: திசையன்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே அளவிடுதல் தயாரிப்பு மறைந்துவிடும்.

II. ஸ்கேலர் தயாரிப்பு பரிமாற்ற பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த சொத்து நேரடியாக வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு:

ஏனெனில் ஒரே கோணத்திற்கு வெவ்வேறு பெயர்கள்.

III. பிரத்தியேகமாக முக்கியமானவிநியோக சட்டம் உள்ளது. அதன் பயன்பாடு சாதாரண எண்கணிதம் அல்லது இயற்கணிதத்தைப் போலவே சிறந்தது, இது பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: ஒரு தொகையைப் பெருக்க, நீங்கள் ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும், அதாவது.

வெளிப்படையாக, இயற்கணிதத்தில் எண்கணிதம் அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் பல்மதிப்பு எண்களின் பெருக்கல் இந்த பெருக்கத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

திசையன் இயற்கணிதத்தில் இந்தச் சட்டம் அதே அடிப்படை முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அதன் அடிப்படையில் திசையன்களுக்கு பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்குவதற்கான வழக்கமான விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.

ஏ, பி, சி ஆகிய மூன்று திசையன்களுக்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்:

ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் இரண்டாவது வரையறையின்படி, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, நாம் பெறுகிறோம்:

இப்போது § 5 இலிருந்து 2 கணிப்புகளின் சொத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், நாங்கள் காண்கிறோம்:

கே.இ.டி.

IV. ஸ்கேலர் தயாரிப்பு ஒரு எண் காரணியைப் பொறுத்து ஒருங்கிணைக்கும் தன்மையைக் கொண்டுள்ளது; இந்த சொத்து பின்வரும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

அதாவது, வெக்டார்களின் அளவிடல் பெருக்கத்தை ஒரு எண்ணால் பெருக்க, இந்த எண்ணால் ஒரு காரணியை பெருக்க போதுமானது.

நீங்களே தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்களும் இருக்கும், அதற்கான பதில்களை நீங்கள் பார்க்கலாம்.

சிக்கலில் திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் இரண்டும் "வெள்ளித் தட்டில்" வழங்கப்பட்டால், சிக்கலின் நிலை மற்றும் அதன் தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 1.திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பின்வரும் மதிப்புகளால் குறிப்பிடப்பட்டால் அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும்:

மற்றொரு வரையறையும் செல்லுபடியாகும், இது வரையறை 1 க்கு முற்றிலும் சமமானதாகும்.

வரையறை 2. திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு என்பது இந்த திசையன்களில் ஒன்றின் நீளத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமமான ஒரு எண் (ஸ்கேலார்) மற்றும் இந்த திசையன்களில் முதல் திசையினால் தீர்மானிக்கப்படும் அச்சில் மற்றொரு திசையனைத் திட்டமிடுகிறது. வரையறை 2 இன் படி சூத்திரம்:

அடுத்த முக்கியமான கோட்பாட்டு புள்ளிக்குப் பிறகு இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

ஆயத்தொலைவுகளின் அடிப்படையில் திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறை

பெருக்கப்படும் திசையன்களுக்கு அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டால் அதே எண்ணைப் பெறலாம்.

வரையறை 3.திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான எண்ணாகும்.

மேற்பரப்பில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விமானத்தில் அவற்றின் இரண்டால் வரையறுக்கப்பட்டால் கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஆயங்கள்

இந்த வெக்டார்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

.

எடுத்துக்காட்டு 2.வெக்டருக்கு இணையான அச்சில் வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷனின் எண் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறிகிறோம்:

இப்போது நாம் விளைந்த ஸ்கேலார் தயாரிப்பை திசையனின் நீளம் மற்றும் திசையன் இணையான அச்சில் (சூத்திரத்தின் படி) திசையன் முன்கணிப்பு ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமப்படுத்த வேண்டும்.

திசையனின் நீளத்தை அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலமாகக் காண்கிறோம்:

.

நாங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கி அதை தீர்க்கிறோம்:

பதில். தேவையான எண் மதிப்பு கழித்தல் 8 ஆகும்.

விண்வெளியில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விண்வெளியில் அவற்றின் மூன்று கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்டால்

,

பின்னர் இந்த வெக்டார்களின் ஸ்கேலார் தயாரிப்பு அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், ஏற்கனவே மூன்று ஆயங்கள் மட்டுமே உள்ளன:

.

கணக்கிடப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்தி அளவிடுதல் தயாரிப்பைக் கண்டறியும் பணி, அளவிடுதல் தயாரிப்பின் பண்புகளை பகுப்பாய்வு செய்த பிறகு ஆகும். ஏனெனில் சிக்கலில் பெருக்கப்பட்ட திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் உருவாகின்றன என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் பண்புகள்

இயற்கணித பண்புகள்

1. (பரிமாற்ற சொத்து: பெருக்கப்படும் திசையன்களின் இடங்களை மாற்றியமைப்பது அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியின் மதிப்பை மாற்றாது).

2. (ஒரு எண் காரணியைப் பொறுத்து துணை சொத்து: ஒரு வெக்டரின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு சில காரணிகளால் பெருக்கப்படுகிறது மற்றும் மற்றொரு திசையன் இந்த திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்திக்கு சமமாக அதே காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது).

3. (திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புடைய விநியோக சொத்து: மூன்றாவது திசையன் மூலம் இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையின் அளவிடல் உற்பத்தியானது முதல் திசையன் மூன்றாவது திசையன் மற்றும் இரண்டாவது திசையன் மூன்றாவது திசையன் மூலம் அளவிடும் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்).

4. (பூஜ்ஜியத்தை விட பெரிய திசையன் ஸ்கேலர் சதுரம்), பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் என்றால், மற்றும் , பூஜ்ஜிய திசையன் என்றால்.

வடிவியல் பண்புகள்

நாம் படிக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறைகளில், இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே தொட்டுள்ளோம். இந்த கருத்தை தெளிவுபடுத்த வேண்டிய நேரம் இது.

மேலே உள்ள படத்தில் நீங்கள் குறைக்கப்பட்ட இரண்டு திசையன்களைக் காணலாம் பொது ஆரம்பம். நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டிய முதல் விஷயம் என்னவென்றால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையில் இரண்டு கோணங்கள் உள்ளன - φ 1 மற்றும் φ 2 . திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறைகள் மற்றும் பண்புகளில் இந்தக் கோணங்களில் எது தோன்றும்? கருதப்படும் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 2 ஆகும் π எனவே இந்த கோணங்களின் கோசைன்கள் சமமாக இருக்கும். ஒரு புள்ளி தயாரிப்பின் வரையறையானது கோணத்தின் கோசைனை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, அதன் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு அல்ல. ஆனால் பண்புகள் ஒரு கோணத்தை மட்டுமே கருதுகின்றன. மேலும் இது தாண்டாத இரண்டு கோணங்களில் ஒன்றாகும் π , அதாவது 180 டிகிரி. படத்தில் இந்த கோணம் குறிக்கப்பட்டுள்ளது φ 1 .

1. இரண்டு திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஆர்த்தோகனல் மற்றும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் நேராக உள்ளது (90 டிகிரி அல்லது π /2), என்றால் இந்த திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும் :

.

திசையன் இயற்கணிதத்தில் ஆர்த்தோகனாலிட்டி என்பது இரண்டு திசையன்களின் செங்குத்தாக உள்ளது.

2. இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன கூர்மையான மூலையில் (0 முதல் 90 டிகிரி வரை, அல்லது, இது ஒன்றுதான் - குறைவாக π புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறை .

3. இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன மழுங்கிய கோணம் (90 முதல் 180 டிகிரி வரை, அல்லது, அதே என்ன - மேலும் π /2) இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது .

எடுத்துக்காட்டு 3.ஆயத்தொலைவுகள் திசையன்களால் வழங்கப்படுகின்றன:

.

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் அனைத்து ஜோடிகளின் அளவிடல் தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள். இந்த ஜோடி திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் (கடுமையான, வலது, மழுங்கிய) உருவாகின்றன?

தீர்வு. தொடர்புடைய ஆயங்களின் தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கணக்கிடுவோம்.

எங்களுக்கு எதிர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு பூஜ்ஜியம் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

சுய பரிசோதனைக்கு நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

எடுத்துக்காட்டு 4.இரண்டு திசையன்களின் நீளமும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் கொடுக்கப்பட்டால்:

.

திசையன்கள் மற்றும் செங்குத்தாக (செங்குத்தாக) எந்த எண்ணின் மதிப்பில் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்குவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி திசையன்களைப் பெருக்குவோம்:

இப்போது ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் கணக்கிடுவோம்:

.

ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் (தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்), ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்து சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

பதில்: எங்களுக்கு மதிப்பு கிடைத்தது λ = 1.8, இதில் திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல்.

எடுத்துக்காட்டு 5.திசையன் என்பதை நிரூபிக்கவும் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் (செங்குத்தாக).

தீர்வு. ஆர்த்தோகனாலிட்டியை சரிபார்க்க, திசையன்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகப் பெருக்குகிறோம், அதற்குப் பதிலாக சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டிற்குப் பதிலாக:

.

இதைச் செய்ய, நீங்கள் முதல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரையும் (காலம்) இரண்டாவது உறுப்பினரால் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

.

இதன் விளைவாக, பின்னம் குறைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:

முடிவு: பெருக்கத்தின் விளைவாக நாம் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற்றோம், எனவே, திசையன்களின் ஆர்த்தோகனாலிட்டி (செங்குத்தாக) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரச்சனையை நீங்களே தீர்த்து கொள்ளுங்கள், பிறகு தீர்வைப் பாருங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 6.திசையன்களின் நீளம் மற்றும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் π /4. எந்த மதிப்பில் தீர்மானிக்கவும் μ திசையன்கள் மற்றும் பரஸ்பர செங்குத்தாக உள்ளன.

சுய பரிசோதனைக்கு நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் n-பரிமாண வெக்டார்களின் உற்பத்தி

சில நேரங்களில் மெட்ரிக்குகளின் வடிவத்தில் இரண்டு பெருக்கப்பட்ட திசையன்களைக் குறிப்பிடுவது தெளிவுக்கு சாதகமானது. பின்னர் முதல் திசையன் ஒரு வரிசை அணியாகவும், இரண்டாவது நெடுவரிசை அணியாகவும் குறிப்பிடப்படுகிறது:

அப்போது வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு இருக்கும் இந்த மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு :

முடிவு நாம் ஏற்கனவே பரிசீலித்த முறையால் பெறப்பட்டதைப் போன்றது. எங்களுக்கு ஒரு ஒற்றை எண் கிடைத்தது, மேலும் ஒரு நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் பலன் ஒரு ஒற்றை எண்ணாகும்.

சுருக்க n-பரிமாண வெக்டார்களின் உற்பத்தியை அணி வடிவத்தில் குறிப்பிடுவது வசதியானது. இவ்வாறு, இரண்டு நான்கு பரிமாண வெக்டார்களின் பலன் ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸின் விளைபொருளாக இருக்கும். ஐந்து உறுப்புகள் மற்றும் பலவற்றைக் கொண்ட ஒரு நிரல் அணி.

எடுத்துக்காட்டு 7.ஜோடி வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்புகளைக் கண்டறியவும்

,

மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

தீர்வு. முதல் ஜோடி திசையன்கள். முதல் திசையனை வரிசை அணியாகவும், இரண்டாவது நெடுவரிசை அணியாகவும் குறிப்பிடுகிறோம். இந்த வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் உற்பத்தியை வரிசை அணி மற்றும் நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் பலனாகக் காண்கிறோம்:

நாங்கள் இதேபோல் இரண்டாவது ஜோடியைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம் மற்றும் கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, எடுத்துக்காட்டு 2 இலிருந்து அதே ஜோடிகளுக்கு முடிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தன.

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் மிகவும் அழகாகவும் சுருக்கமாகவும் உள்ளது.

திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியை வெளிப்படுத்த

(1)

ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில், அலகு திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியை முதலில் கண்டுபிடிப்போம். வரையறையின்படி ஒரு திசையனின் அளவிடல் தயாரிப்பு:

மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் எழுதப்பட்டிருப்பதன் அர்த்தம்: ஒரு வெக்டரின் அளவிடல் தயாரிப்பு அதன் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம். பூஜ்ஜியத்தின் கொசைன் ஒன்றுக்கு சமம், எனவே ஒவ்வொரு அலகின் சதுரமும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்:

திசையன்கள் என்பதால்

ஜோடிவரிசை செங்குத்தாக இருக்கும், பின்னர் அலகு திசையன்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்:

இப்போது திசையன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தைச் செய்வோம்:

யூனிட் வெக்டார்களின் தொடர்புடைய ஸ்கேலர் தயாரிப்புகளின் மதிப்புகளை சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் மாற்றுகிறோம்:

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 8.மூன்று புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன ஏ(1;1;1), பி(2;2;1), சி(2;1;2).

கோணத்தைக் கண்டுபிடி.

தீர்வு. திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிதல்:

,

.

கொசைன் கோண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே, .

சுய பரிசோதனைக்கு நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

எடுத்துக்காட்டு 9.இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

அவற்றுக்கிடையேயான தொகை, வேறுபாடு, நீளம், புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

2. வேறுபாடு