Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Ang paglalarawan sa e bilang "isang pare-pareho na tinatayang katumbas ng 2.71828..." ay tulad ng pagtawag sa pi na "isang hindi makatwirang numero na tinatayang katumbas ng 3.1415...". Ito ay walang alinlangan na totoo, ngunit ang punto ay lumalampas pa rin sa amin.

Ang Pi ay ang ratio ng circumference sa diameter, pareho para sa lahat ng mga bilog. Ito ang pangunahing proporsyon na ibinabahagi ng lahat ng mga bilog at samakatuwid ay kasangkot sa pagkalkula ng circumference, area, volume at surface area para sa mga bilog, sphere, cylinder, atbp. Ipinapakita ng Pi na ang lahat ng mga lupon ay magkakaugnay, hindi pa banggitin ang mga trigonometric na function na nagmula sa mga bilog (sine, cosine, tangent).

Ang bilang e ay ang pangunahing ratio ng paglago para sa lahat ng patuloy na lumalaking proseso. Ang numero ng e ay nagbibigay-daan sa iyo na kumuha ng isang simpleng rate ng paglago (kung saan ang pagkakaiba ay makikita lamang sa katapusan ng taon) at kalkulahin ang mga bahagi ng tagapagpahiwatig na ito, normal na paglago, kung saan sa bawat nanosecond (o kahit na mas mabilis) lahat ay lumalaki nang kaunti higit pa.

Ang numerong e ay kasangkot sa parehong exponential at constant growth system: populasyon, radioactive decay, pagkalkula ng porsyento, at marami, marami pang iba. Kahit na ang mga sistema ng hakbang na hindi pantay na lumalaki ay maaaring tantiyahin gamit ang numerong e.

Kung paanong ang anumang numero ay maaaring ituring na "naka-scale" na bersyon ng 1 (ang batayang yunit), ang anumang bilog ay maaaring ituring bilang isang "naka-scale" na bersyon ng bilog ng yunit (na may radius 1). At anumang growth factor ay maaaring ituring bilang isang "scaled" na bersyon ng e (ang "unit" growth factor).

Kaya ang numero e ay hindi isang random na numero na kinuha nang random. Ang numero ay naglalaman ng ideya na ang lahat ng patuloy na lumalaking sistema ay mga pinaliit na bersyon ng parehong sukatan.

Konsepto ng exponential growth

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtingin sa pangunahing sistema na doble para sa isang tiyak na tagal ng panahon. Halimbawa:

• Ang mga bakterya ay nahahati at "doble" sa bilang bawat 24 na oras
• Makakakuha tayo ng dobleng dami ng pansit kung hatiin natin ito sa kalahati
• Doble ang iyong pera bawat taon kung kumikita ka ng 100% (maswerte!)

At mukhang ganito:

Ang paghahati sa dalawa o pagdodoble ay isang napakasimpleng pag-unlad. Siyempre, maaari tayong mag-triple o quadruple, ngunit ang pagdodoble ay mas maginhawa para sa paliwanag.

Sa matematika, kung mayroon tayong x dibisyon, makakakuha tayo ng 2^x na beses mas mabuti kaysa noong una. Kung 1 partition lang ang gagawin, makakakuha tayo ng 2^1 times na mas marami. Kung mayroong 4 na partisyon, makakakuha tayo ng 2^4=16 na bahagi. Ang pangkalahatang formula ay ganito ang hitsura:

taas= 2 x

Sa madaling salita, ang pagdodoble ay 100% na pagtaas. Maaari naming muling isulat ang formula na ito tulad nito:

taas= (1+100%) x

Ito ang parehong pagkakapantay-pantay, hinati lang namin ang "2" sa mga bahaging bahagi nito, na sa esensya ay ang numerong ito: ang paunang halaga (1) plus 100%. Matalino diba?

Siyempre, maaari nating palitan ang anumang iba pang numero (50%, 25%, 200%) sa halip na 100% at makuha ang formula ng paglago para sa bagong koepisyent na ito. Ang pangkalahatang formula para sa x na mga yugto ng serye ng oras ay magiging:

taas = (1+pagtaas) x

Nangangahulugan lamang ito na ginagamit namin ang return rate, (1 + gain), "x" na beses sa isang hilera.

Tingnan natin nang maigi

Ipinapalagay ng aming pormula na nangyayari ang paglago sa magkakahiwalay na mga hakbang. Ang aming mga bakterya ay naghihintay at maghintay, at pagkatapos ay bam!, at sa huling minuto ay doble sila sa bilang. Ang aming tubo sa interes sa deposito ay lilitaw nang eksakto pagkatapos ng 1 taon. Batay sa formula na nakasulat sa itaas, ang mga kita ay lumalaki sa mga hakbang. Biglang lumilitaw ang mga berdeng tuldok.

Ngunit ang mundo ay hindi palaging ganito. Kung mag-zoom in tayo, makikita natin na ang ating mga kaibigang bacterial ay patuloy na naghahati:

Ang berdeng kapwa ay hindi nagmula sa wala: dahan-dahan siyang lumaki mula sa asul na magulang. Pagkatapos ng 1 tagal ng panahon (24 na oras sa aming kaso), ang berdeng kaibigan ay hinog na. Sa pagkakaroon ng matured, siya ay naging isang ganap na asul na miyembro ng kawan at maaaring lumikha ng mga bagong berdeng selula mismo.

Mababago ba ng impormasyong ito ang ating equation sa anumang paraan?

Hindi. Sa kaso ng bacteria, ang kalahating nabuong berdeng mga selula ay wala pa ring magagawa hanggang sila ay lumaki at ganap na humiwalay sa kanilang mga asul na magulang. Kaya tama ang equation.

Ang exponent ay tinutukoy bilang , o .

Numero e

Ang batayan ng exponent degree ay numero e. Ito ay isang hindi makatwirang numero. Ito ay tinatayang katumbas
e ≈ 2,718281828459045...

Ang numero e ay tinutukoy sa pamamagitan ng limitasyon ng pagkakasunod-sunod. Ito ang tinatawag na pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
.

Ang numerong e ay maaari ding katawanin bilang isang serye:
.

Exponential graph

Exponential graph, y = e x .

Ipinapakita ng graph ang exponential e sa isang antas X.
y (x) = e x
Ipinapakita ng graph na monotonically tumataas ang exponent.

Mga pormula

Ang mga pangunahing formula ay kapareho ng para sa exponential function na may base ng degree e.

;
;
;

Pagpapahayag ng exponential function na may arbitrary na base ng degree a sa pamamagitan ng exponential:
.

Mga pribadong halaga

Hayaan ang y (x) = e x.
.

Pagkatapos

Mga Katangian ng Exponent e > 1 .

Ang exponent ay may mga katangian ng isang exponential function na may power base

Domain, hanay ng mga halaga (x) = e x Exponent y
tinukoy para sa lahat ng x.
- ∞ < x + ∞ .
Ang domain ng kahulugan nito:
0 < y < + ∞ .

Maraming kahulugan nito:

Labis, dumarami, bumababa

Ang exponential ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

Baliktad na pag-andar
;
.

Ang kabaligtaran ng exponent ay ang natural na logarithm.

Derivative ng exponent e sa isang antas X Derivative e sa isang antas X :
.
katumbas ng
.
Derivative ng nth order:

Pagkuha ng mga formula > > >

integral

Mga kumplikadong numero Ang mga operasyon na may kumplikadong mga numero ay isinasagawa gamit:
,
Mga formula ni Euler
.

nasaan ang imaginary unit:

; ;
.

Mga expression sa pamamagitan ng hyperbolic function

; ;
;
.

Mga expression gamit ang trigonometriko function

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan
Ginamit na panitikan:

I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009. NUMBER. e Isang numero na humigit-kumulang katumbas ng 2.718, na kadalasang matatagpuan sa matematika at mga likas na agham . Halimbawa, kapag ang isang radioactive substance ay nabubulok sa paglipas ng panahon t ng orihinal na dami ng sangkap ay nananatiling isang fraction na katumbas ng e–kt , Saan k , Saan– isang numero na nagpapakilala sa bilis ng pagkabulok ng isang partikular na sangkap. Reciprocal ng 1/ , Saan ay tinatawag na average na buhay ng isang atom ng isang partikular na sangkap, dahil sa karaniwan ay umiral ang isang atom sa loob ng 1/ bago mabulok. , Saan. Halaga 0.693/ ay tinatawag na kalahating buhay ng isang radioactive substance, i.e. ang oras kung saan ang kalahati ng orihinal na halaga ng isang sangkap ay naghiwa-hiwalay; ang bilang na 0.693 ay tinatayang katumbas ng log e NUMBER 2, ibig sabihin. logarithm ng numero 2 hanggang base . Katulad nito, kung ang bakterya sa isang nutrient medium ay dumami sa isang rate na proporsyonal sa kanilang bilang sa kasalukuyang sandali . Halimbawa, kapag ang isang radioactive substance ay nabubulok sa paglipas ng panahon, pagkatapos pagkatapos ng oras paunang bilang ng bakterya N nagiging Ne kt . Pagpapalambing ng electric current ako sa isang simpleng circuit na may koneksyon sa serye, paglaban R at inductance L nangyayari ayon sa batas 0 ng orihinal na dami ng sangkap ay nananatiling isang fraction na katumbas ng e–kt ako = ako, . Pagpapalambing ng electric current k = R/L . Halimbawa, kapag ang isang radioactive substance ay nabubulok sa paglipas ng panahon 0 - kasalukuyang lakas sa sandali ng oras = 0. Ang mga katulad na formula ay naglalarawan ng stress relaxation sa isang malapot na likido at pamamasa magnetic field , Saan madalas na tinatawag na relaxation time. Sa mga istatistika, ang halaga ng orihinal na dami ng sangkap ay nananatiling isang fraction na katumbas ng nangyayari bilang ang posibilidad na sa paglipas ng panahon . Halimbawa, kapag ang isang radioactive substance ay nabubulok sa paglipas ng panahon walang mga kaganapan na nagaganap nang random na may average na dalas , Saan mga kaganapan sa bawat yunit ng oras. Kung S- ang halaga ng pera na namuhunan sa ilalim r interes na may tuloy-tuloy na accrual sa halip na accrual sa mga discrete interval, pagkatapos ay sa oras . Halimbawa, kapag ang isang radioactive substance ay nabubulok sa paglipas ng panahon ang paunang halaga ay tataas sa Se tr/100.

Ang dahilan para sa "omnipresence" ng numero NUMBER namamalagi sa katotohanan na ang mga mathematical analysis formula na naglalaman ng exponential function o logarithms ay isinusulat nang mas simple kung ang logarithms ay dadalhin sa base NUMBER, at hindi 10 o anumang iba pang base. Halimbawa, ang derivative ng log 10 x katumbas ng (1/ x)log 10 NUMBER, samantalang ang derivative ng log e x ay katumbas lamang ng 1/ x. Gayundin, ang derivative ng 2 x katumbas ng 2 x log ay tinatawag na kalahating buhay ng isang radioactive substance, i.e. ang oras kung saan ang kalahati ng orihinal na halaga ng isang sangkap ay naghiwa-hiwalay; ang bilang na 0.693 ay tinatayang katumbas ng log 2, samantalang ang derivative ng e x ay katumbas lamang ng e x. Nangangahulugan ito na ang numero NUMBER maaaring tukuyin bilang batayan b, kung saan ang graph ng function y = log b x mayroon sa punto x= 1 padaplis na s dalisdis, katumbas ng 1, o kung saan ang curve y = b x ay nasa x= 0 tangent na may slope na katumbas ng 1. Logarithms sa base NUMBER ay tinatawag na “natural” at itinalagang ln x. Minsan tinatawag din silang "Nepier", na hindi tama, dahil sa katunayan si J. Napier (1550–1617) ay nag-imbento ng mga logarithm na may ibang base: ang Nepier logarithm ng numero x katumbas ng 10 7 log 1/ NUMBER (x/10 7) .

Iba't ibang mga kumbinasyon ng degree NUMBER Madalas itong nangyayari sa matematika na mayroon silang mga espesyal na pangalan. Ito ay, halimbawa, mga hyperbolic function

Graph ng isang function y= ch x tinatawag na catenary line; Ito ang hugis ng isang mabigat na hindi mapapahaba na sinulid o kadena na sinuspinde mula sa mga dulo. Mga formula ni Euler

saan i 2 = –1, bind number NUMBER may trigonometrya. Espesyal na kaso x = p humahantong sa sikat na relasyon e ip+ 1 = 0, na nagkokonekta sa 5 pinakasikat na numero sa matematika.

Ang bilang na "e" ay isa sa pinakamahalagang mathematical constants, na narinig ng lahat sa mga aralin sa matematika sa paaralan. Naglalathala ang Concepture ng isang tanyag na sanaysay, na isinulat ng isang humanist para sa mga humanista, kung saan naa-access na wika sasabihin kung bakit at bakit umiiral ang numero ni Euler.

Ano ang pagkakatulad ng ating pera at ng numero ni Euler?

Habang ang numero π (pi) mayroong isang napaka-tiyak geometriko na kahulugan at ito ay ginamit ng mga sinaunang mathematician, pagkatapos ay ang numero e(Euler's number) kinuha ang mahusay na karapat-dapat na lugar sa agham kamakailan lamang at ang mga ugat nito ay dumiretso... sa mga isyu sa pananalapi.

Napakakaunting panahon ang lumipas mula noong imbento ng pera nang napagtanto ng mga tao na ang pera ay maaaring hiramin o ipahiram sa isang tiyak na rate ng interes. Naturally, ang "sinaunang" mga negosyante ay hindi gumamit ng pamilyar na konsepto ng "porsiyento," ngunit ang pagtaas sa halaga ng isang tiyak na tagapagpahiwatig sa loob ng isang takdang panahon ay pamilyar sa kanila.

Sa larawan: isang banknote na nagkakahalaga ng 10 francs na may larawan ni Leonhard Euler (1707-1783).

Hindi namin susuriin ang halimbawa na may 20% bawat taon, dahil masyadong matagal bago makarating mula doon sa numero ng Euler. Gamitin natin ang pinakakaraniwan at malinaw na paliwanag ng kahulugan ng pare-parehong ito, at para dito kailangan nating isipin ng kaunti at isipin na may ilang bangko na nag-aalok sa atin na maglagay ng pera sa deposito sa 100% bawat taon.

Eksperimento sa pag-iisip-pinansyal

Para sa eksperimento sa pag-iisip na ito, maaari kang kumuha ng anumang halaga at ang resulta ay palaging magkapareho, ngunit simula sa 1, maaari tayong direktang makarating sa unang tinatayang halaga ng numero e. Samakatuwid, sabihin nating namumuhunan tayo ng 1 dolyar sa bangko, sa rate na 100% kada taon sa pagtatapos ng taon magkakaroon tayo ng 2 dolyar.

Ngunit ito ay kung ang interes ay naka-capitalize (idinagdag) isang beses sa isang taon. Paano kung mag-capitalize sila ng dalawang beses sa isang taon? Ibig sabihin, 50% ang maiipon tuwing anim na buwan, at ang pangalawang 50% ay hindi na maiipon mula sa unang halaga, ngunit mula sa halagang nadagdagan ng unang 50%. Ito ba ay magiging mas kumikita para sa atin?

Visual infographic na nagpapakita ng geometric na kahulugan ng numero π .

Syempre gagawin. Sa capitalization dalawang beses sa isang taon, pagkatapos ng anim na buwan magkakaroon kami ng $1.50 sa account. Sa pagtatapos ng taon, isa pang 50% ng $1.50 ang idaragdag, kaya ang kabuuang halaga ay magiging $2.25. Ano ang mangyayari kung ang capitalization ay isinasagawa bawat buwan?

Make-kredito tayo ng 100/12% (iyon ay, humigit-kumulang 8.(3)%) bawat buwan, na magiging mas kumikita - sa pagtatapos ng taon magkakaroon tayo ng $2.61. Ang pangkalahatang formula para sa pagkalkula ng kabuuang halaga para sa isang arbitrary na bilang ng mga capitalization (n) bawat taon ay ganito ang hitsura:

Kabuuang halaga = 1(1+1/n) n

Lumalabas na sa halagang n = 365 (iyon ay, kung ang aming interes ay naka-capitalize araw-araw), nakukuha namin ang formula na ito: 1(1+1/365) 365 = $2.71. Mula sa mga aklat-aralin at mga sangguniang aklat alam natin na ang e ay humigit-kumulang katumbas ng 2.71828, iyon ay, kung isasaalang-alang ang pang-araw-araw na capitalization ng aming kamangha-manghang kontribusyon, narating na natin ang tinatayang halaga ng e, na sapat na para sa maraming mga kalkulasyon.

Ang paglaki ng n ay maaaring magpatuloy nang walang hanggan, at kung mas malaki ang halaga nito, mas tumpak nating makalkula ang numero ng Euler, hanggang sa decimal na lugar na kailangan natin para sa ilang kadahilanan.

Ang panuntunang ito, siyempre, ay hindi limitado lamang sa ating mga interes sa pananalapi. Ang mga pare-parehong matematika ay malayo sa "mga espesyalista" - gumagana ang mga ito nang pantay-pantay anuman ang larangan ng aplikasyon. Samakatuwid, kung maghukay ka ng malalim, mahahanap mo ang mga ito sa halos anumang lugar ng buhay.

Lumalabas na ang numerong e ay parang sukatan ng lahat ng pagbabago at "ang natural na wika ng mathematical analysis." Pagkatapos ng lahat, ang "matan" ay mahigpit na nakatali sa mga konsepto ng pagkita ng kaibhan at pagsasama, at ang parehong mga operasyong ito ay humaharap sa mga walang katapusang pagbabago, na lubos na nailalarawan sa bilang e .

Mga natatanging katangian ng numero ni Euler

Ang pagsasaalang-alang sa pinaka-maiintindihan na halimbawa ng isang paliwanag ng pagbuo ng isa sa mga formula para sa pagkalkula ng isang numero e, tingnan natin sandali ang ilan pang tanong na direktang nauugnay dito. At isa sa kanila: ano ang kakaiba sa numero ng Euler?

Sa teorya, ganap na anumang pare-parehong matematika ay natatangi at bawat isa ay may sariling kasaysayan, ngunit, makikita mo, ang pag-angkin sa pamagat natural na wika mathematical analysis ay medyo mabigat na claim.

Ang unang libong halaga ng ϕ(n) para sa Euler function.

Gayunpaman, ang bilang e may mga dahilan para diyan. Kapag nag-plot ng graph ng function na y = e x, nagiging malinaw ang isang kapansin-pansing katotohanan: hindi lamang ang y ay katumbas ng e x, ngunit ang gradient ng curve at ang lugar sa ilalim ng curve ay katumbas din ng parehong indicator. Iyon ay, ang lugar sa ilalim ng curve mula sa isang tiyak na halaga ng y hanggang minus infinity.

Walang ibang numero ang maaaring magyabang nito. Para sa amin, ang mga humanista (o HINDI lang mga mathematician), ang nasabing pahayag ay kakaunti ang sinasabi, ngunit ang mga mathematician mismo ay nagsasabi na ito ay napakahalaga. Bakit ito mahalaga? Susubukan naming maunawaan ang isyung ito sa ibang pagkakataon.

Logarithm bilang isang kinakailangan para sa Euler's Number

Marahil ay may nakakaalala mula sa paaralan na ang numero ni Euler ay ang batayan din ng natural na logarithm. Well, ito ay naaayon sa likas na katangian nito bilang isang sukatan ng lahat ng mga pagbabago. Gayunpaman, ano ang kinalaman ni Euler dito? In fairness, dapat tandaan na ang e ay tinatawag ding numero ng Napier, ngunit kung wala si Euler ay hindi kumpleto ang kuwento, pati na rin nang walang pagbanggit ng logarithms.

Ang pag-imbento ng logarithms noong ika-17 siglo ng Scottish mathematician na si John Napier ay naging isa sa mga malalaking kaganapan kasaysayan ng matematika. Sa pagdiriwang ng anibersaryo ng kaganapang ito, na naganap noong 1914, binanggit ito ni Lord Moulton tulad ng sumusunod:

"Ang pag-imbento ng logarithms ay para sa siyentipikong mundo parang bolt mula sa asul. Walang nakaraang gawain ang humantong dito, hinulaan o ipinangako ang pagtuklas na ito. Ito ay nakatayo bukod, ito break out mula sa kaisipan ng tao biglaan, nang hindi nanghihiram ng anuman mula sa gawain ng ibang mga kaisipan at nang hindi sinusunod ang alam nang mga direksyon ng matematikal na pag-iisip.”

Si Pierre-Simon Laplace, ang sikat na Pranses na matematiko at astronomo, ay nagpahayag ng kahalagahan ng pagtuklas na ito nang higit na kapansin-pansing: “Ang pag-imbento ng logarithms, sa pamamagitan ng pagbawas sa mga oras ng masusing paggawa, ay nadoble ang buhay ng astronomer.” Ano ang labis na nagpahanga kay Laplace? At ang dahilan ay napaka-simple - pinahintulutan ng mga logarithms ang mga siyentipiko na makabuluhang bawasan ang oras na karaniwang ginugugol sa masalimuot na mga kalkulasyon.

Sa pangkalahatan, pinasimple ng logarithms ang mga kalkulasyon—ibinaba nila ang mga ito sa isang antas sa sukat ng pagiging kumplikado. Sa madaling salita, sa halip na multiply at hatiin, kailangan naming magsagawa ng mga operasyon sa pagdaragdag at pagbabawas. At ito ay mas epektibo.

e- base ng natural na logarithm

Isipin natin na si Napier ay isang pioneer sa larangan ng logarithms - ang kanilang imbentor. At least nai-publish muna niya ang findings niya. Sa kasong ito, ang tanong ay lumitaw: ano ang merito ni Euler?

Ito ay simple - maaari siyang tawaging tagapagmana ng ideolohiya ni Napier at ang taong nagdala sa gawain ng buhay ng Scottish scientist sa logarithmic (read logical) na konklusyon nito. Kawili-wili, posible ba ito?

Ilang napakahalagang graph na ginawa gamit ang natural na logarithm.

Higit na partikular, nakuha ni Euler ang base ng natural na logarithm, na kilala ngayon bilang numero e o numero ni Euler. Bilang karagdagan, isinulat niya ang kanyang pangalan sa kasaysayan ng agham nang mas maraming beses kaysa sa pinangarap ni Vasya, na, tila, pinamamahalaang "bisitahin" kahit saan.

Sa kasamaang palad, ang mga partikular na prinsipyo ng pagtatrabaho sa logarithms ay ang paksa ng isang hiwalay na malaking artikulo. Kaya't sa ngayon ay sapat nang sabihin na salamat sa gawain ng maraming dedikadong siyentipiko na literal na nagtalaga ng mga taon ng kanilang buhay sa pag-compile ng mga logarithmic table sa panahong wala pang nakarinig tungkol sa mga calculator, ang pag-unlad ng agham ay lubos na napabilis. .

Sa larawan: John Napier - Scottish mathematician, imbentor ng logarithm (1550-1617.)

Ito ay nakakatawa, ngunit ang pag-unlad na ito sa huli ay humantong sa pagkaluma ng mga talahanayan na ito, at ang dahilan para dito ay tiyak ang pagdating ng mga calculator ng kamay, na ganap na kinuha ang gawain ng pagsasagawa ng ganitong uri ng pagkalkula.

Marahil narinig mo na rin ang tungkol sa mga panuntunan sa slide? Noong unang panahon, hindi magagawa ng mga inhinyero o mathematician kung wala sila, ngunit ngayon ito ay halos tulad ng isang astrolabe - kawili-wiling kasangkapan, ngunit higit pa sa mga tuntunin ng kasaysayan ng agham kaysa sa pang-araw-araw na kasanayan.

Bakit napakahalaga na maging batayan ng logarithm?

Lumalabas na ang base ng logarithm ay maaaring maging anumang numero (halimbawa, 2 o 10), ngunit tiyak dahil sa mga natatanging katangian ng numero ng Euler, ang logarithm sa base e tinatawag na natural. Ito ay, bilang ito ay, na binuo sa istraktura ng katotohanan - walang pagtakas mula dito, at hindi na kailangan, dahil ito ay lubos na pinasimple ang buhay ng mga siyentipiko na nagtatrabaho sa iba't ibang larangan.

Magbigay tayo ng isang maliwanag na paliwanag ng likas na katangian ng logarithm mula sa website ng Pavel Berdov. Logarithm sa base a mula sa argumento x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha ang numerong x. Graphically ito ay ipinahiwatig bilang mga sumusunod:

log a x = b, kung saan a ang base, x ang argumento, b ang katumbas ng logarithm.

Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay 3 dahil 2 3 = 8).

Sa itaas nakita namin ang numero 2 sa imahe ng base ng logarithm, ngunit sinasabi ng mga mathematician na ang pinaka mahuhusay na artista Ang papel na ito ay ginagampanan ng numero ng Euler. Kunin natin ang kanilang salita para dito... At pagkatapos ay suriin ito upang makita para sa ating sarili.

Mga konklusyon

Malamang ay masama na ito sa loob mas mataas na edukasyon kaya malakas na pinaghihiwalay ay natural at humanities. Minsan ito ay humahantong sa masyadong maraming "skew" at lumalabas na ito ay ganap na hindi kawili-wiling pag-usapan ang tungkol sa iba pang mga paksa sa isang taong bihasa sa, sabihin nating, pisika at matematika.

At vice versa, maaari kang maging isang first-class literary specialist, ngunit, sa parehong oras, maging ganap na walang magawa pagdating sa parehong pisika at matematika. Ngunit ang lahat ng mga agham ay kawili-wili sa kanilang sariling paraan.

Inaasahan namin na kami, na sinusubukang pagtagumpayan ang aming sariling mga limitasyon sa loob ng balangkas ng improvised na programa na "Ako ay isang humanist, ngunit sumasailalim ako sa paggamot," nakatulong sa iyo na matuto at, higit sa lahat, maunawaan ang isang bagong bagay mula sa isang hindi pamilyar na larangang pang-agham.

Buweno, para sa mga gustong matuto nang higit pa tungkol sa numero ni Euler, maaari kaming magrekomenda ng ilang mga mapagkukunan na kahit na ang isang taong malayo sa matematika ay mauunawaan kung nais nila: Eli Maor sa kanyang aklat na "e: ang kuwento ng isang numero" ") ay naglalarawan nang detalyado at malinaw ang background at kasaysayan ng numero ni Euler.

Gayundin, sa seksyong "Inirerekomenda" sa ilalim ng artikulong ito mahahanap mo ang mga pangalan ng mga channel at video sa YouTube na kinunan ng mga propesyonal na mathematician na sinusubukang malinaw na ipaliwanag ang numero ni Euler upang ito ay maunawaan kahit na sa mga hindi-espesyalista na mga subtitle na Ruso.

Tulad ng isang bagay na hindi gaanong mahalaga. Nangyari ito noong 1618. Sa apendiks sa gawain ni Napier sa logarithms, isang talahanayan ng natural na logarithms ng iba't ibang numero ang ibinigay. Gayunpaman, walang napagtanto na ang mga ito ay logarithms sa base, dahil ang konsepto ng logarithm sa oras na iyon ay hindi kasama ang isang bagay bilang isang base. Ito ang tinatawag nating logarithm, ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang base upang makuha ang kinakailangang numero. Babalik tayo dito mamaya. Ang talahanayan sa apendiks ay malamang na ginawa ni Augthred, bagama't hindi natukoy ang may-akda. Pagkalipas ng ilang taon, noong 1624, muli itong lumitaw sa panitikan sa matematika, ngunit muli sa isang nakatalukbong na paraan. Sa taong ito ay nagbigay si Briggs ng numerical approximation ng decimal logarithm, ngunit ang numero mismo ay hindi binanggit sa kanyang trabaho.

Ang susunod na hitsura ng numero ay muling nagdududa. Noong 1647, kinakalkula ni Saint-Vincent ang lugar ng sektor ng hyperbola. Kung naiintindihan niya ang koneksyon sa logarithms ay maaari lamang hulaan, ngunit kahit na maunawaan niya, ito ay malamang na hindi siya makarating sa numero mismo. Noon lamang 1661 naunawaan ni Huygens ang koneksyon sa pagitan ng equilateral hyperbola at logarithms. Pinatunayan niya na ang lugar sa ilalim ng graph ng isang equilateral hyperbola ng isang equilateral hyperbola sa pagitan mula hanggang ay katumbas ng . Ang pag-aari na ito ay gumagawa ng batayan ng mga natural na logarithms, ngunit hindi ito naiintindihan ng mga mathematician noong panahong iyon, ngunit dahan-dahan silang lumalapit sa pag-unawang ito.

Huygens ang sumunod na hakbang noong 1661. Tinukoy niya ang isang kurba na tinawag niyang logarithmic (sa ating terminolohiya ay tatawagin natin itong exponential). Ito ay isang uri ng kurba. At muli ang decimal logarithm ay lilitaw, na Huygens mahanap tumpak sa 17 decimal digit. Gayunpaman, ito ay lumitaw mula sa Huygens bilang isang uri ng pare-pareho at hindi nauugnay sa logarithm ng isang numero (kaya, muli silang naging malapit sa , ngunit ang numero mismo ay nananatiling hindi nakikilala).

Sa karagdagang trabaho sa logarithms, ang numero ay hindi lilitaw nang tahasan. Gayunpaman, ang pag-aaral ng logarithms ay nagpapatuloy. Noong 1668, naglathala si Nicolaus Mercator ng isang akda Logarithmotechnia, na naglalaman ng pagpapalawak ng serye. Sa gawaing ito, ginamit muna ni Mercator ang pangalang "natural logarithm" para sa batayang logarithm. Ang numero ay malinaw na hindi lilitaw muli, ngunit nananatiling mailap sa isang lugar sa gilid.

Nakapagtataka na ang numero ay lilitaw sa unang pagkakataon sa tahasang anyo hindi nauugnay sa mga logarithms, ngunit may kaugnayan sa mga walang katapusang produkto. Noong 1683, sinubukang hanapin ni Jacob Bernoulli

Ginagamit niya ang binomial theorem upang patunayan na ang limitasyong ito ay nasa pagitan ng at , na maaari nating isipin bilang unang pagtataya ng . Bagama't itinuturing naming ito ang kahulugan ng , ito ang unang pagkakataon na ang isang numero ay tinukoy bilang isang limitasyon. Si Bernoulli, siyempre, ay hindi naiintindihan ang koneksyon sa pagitan ng kanyang trabaho at ang gawain sa logarithms.

Nauna nang nabanggit na ang mga logarithms sa simula ng kanilang pag-aaral ay hindi konektado sa anumang paraan sa mga exponent. Siyempre, mula sa equation nalaman namin na , ngunit ito ay isang mas huling paraan ng perceiving. Dito namin talagang ibig sabihin ang isang function sa pamamagitan ng isang logarithm, samantalang sa una ang logarithm ay itinuturing lamang bilang isang numero na nakatulong sa mga kalkulasyon. Maaaring si Jacob Bernoulli ang unang nakaalam na ang logarithmic function ay ang inverse exponential. Sa kabilang banda, ang unang tao na nag-uugnay ng mga logarithms at kapangyarihan ay maaaring si James Gregory. Noong 1684, tiyak na nakilala niya ang koneksyon sa pagitan ng logarithms at kapangyarihan, ngunit maaaring hindi siya ang una.

Alam natin na ang numero ay lumitaw sa kasalukuyan nitong anyo noong 1690. Leibniz, sa isang liham kay Huygens, ay ginamit ang pagtatalaga para dito. Sa wakas, lumitaw ang isang pagtatalaga (bagaman hindi ito tumutugma sa modernong isa), at kinilala ang pagtatalaga na ito.

Noong 1697, nagsimulang pag-aralan ni Johann Bernoulli ang exponential function at nai-publish Principia calculi exponentialum seu percurrentium. Sa gawaing ito, ang mga kabuuan ng iba't ibang serye ng exponential ay kinakalkula, at ang ilang mga resulta ay nakuha sa pamamagitan ng kanilang termino-by-term na pagsasama.

Ipinakilala ni Euler ang napakaraming mathematical notation na
not surprisingly, sa kanya din ang designation. Parang katawa-tawang sabihin na ginamit niya ang sulat dahil ito ang unang letra ng kanyang pangalan. Ito ay malamang na hindi kahit na ito ay kinuha mula sa salitang "exponential", ngunit dahil lamang ito ang susunod na patinig pagkatapos ng "a", at ginamit na ni Euler ang notasyong "a" sa kanyang trabaho. Anuman ang dahilan, ang notasyon ay unang lumitaw sa isang liham mula kay Euler kay Goldbach noong 1731. Nakagawa siya ng maraming pagtuklas habang nag-aaral pa siya, ngunit hindi hanggang 1748. Panimula sa Analysin infinitorum nagbigay siya ng buong katwiran para sa lahat ng ideyang may kaugnayan sa. Ipinakita niya iyon

Natagpuan din ni Euler ang unang 18 decimal na lugar ng isang numero:

gayunpaman, nang hindi ipinaliwanag kung paano niya nakuha ang mga ito. Mukhang siya mismo ang nagkalkula ng halagang ito. Sa katunayan, kung kukuha tayo ng humigit-kumulang 20 termino ng serye (1), makukuha natin ang katumpakan na nakuha ni Euler. Sa iba pa kawili-wiling mga resulta ang kanyang trabaho ay nagpapakita ng koneksyon sa pagitan ng mga function na sine at cosine at kumplikado exponential function, na hinango ni Euler sa formula ni Moivre.

Ito ay kagiliw-giliw na Euler kahit na natagpuan ang agnas ng isang numero sa patuloy na fractions at nagbigay ng mga halimbawa ng naturang agnas. Sa partikular, natanggap niya
At
Hindi nagbigay ng patunay si Euler na ang mga fraction na ito ay nagpapatuloy sa parehong paraan, ngunit alam niya na kung mayroong gayong patunay, ito ay magpapatunay ng hindi makatwiran. Sa katunayan, kung ang patuloy na fraction para sa nagpapatuloy sa parehong paraan tulad ng sa halimbawa sa itaas (nagdaragdag kami sa bawat oras), hindi ito kailanman maaantala, at (at samakatuwid) ay hindi maaaring maging makatwiran. Ito ay malinaw na ang unang pagtatangka upang patunayan ang irrationality.

Ang unang nagkalkula ng lubos malaking bilang mga decimal na lugar ng numero, ay Shanks noong 1854. Ipinakita ni Glaisher na ang unang 137 na lugar na kinakalkula ni Shanks ay tama, ngunit pagkatapos ay nakakita ng isang error. Itinama ito ni Shanks, at nakuha ang 205 decimal na lugar. Sa katotohanan, kailangan mo ng tungkol sa
120 terms of expansion (1) para makakuha ng 200 tamang digit ng numero.

Noong 1864, tumayo si Benjamin Peirce sa isang pisara kung saan nakasulat

Sa kaniyang mga lektyur ay maaari niyang sabihin sa kaniyang mga estudyante: “Mga ginoo, wala tayong kaunting ideya kung ano ang ibig sabihin nito, ngunit makatitiyak tayo na ito ay isang napakahalagang kahulugan.”

Karamihan sa mga tao ay naniniwala na pinatunayan ni Euler ang pagiging hindi makatwiran ng numero. Gayunpaman, ito ay ginawa ni Hermite noong 1873. Ang tanong kung ang numero ay algebraic ay nananatiling bukas. Ang huling resulta sa direksyong ito ay ang hindi bababa sa isa sa mga numero ay transendental.

Susunod, kinakalkula ang susunod na mga decimal na lugar ng numero. Noong 1884, kinakalkula ni Boorman ang 346 na mga numero, kung saan ang unang 187 ay kasabay ng mga numero ni Shanks, ngunit ang mga kasunod ay naiiba. Noong 1887, kinakalkula ni Adams ang 272 digit ng decimal logarithm.