Paksa" Salik ng slope padaplis bilang padaplis ng anggulo ng pagkahilig” sa pagsusulit sa sertipikasyon mayroong ilang mga gawain nang sabay-sabay. Depende sa kanilang kondisyon, ang nagtapos ay maaaring kailanganin na magbigay ng alinman sa isang buong sagot o isang maikling sagot. Kapag naghahanda na kumuha ng Unified State Examination sa matematika, dapat talagang ulitin ng mag-aaral ang mga gawain na nangangailangan ng pagkalkula ng slope ng isang tangent.

Makakatulong ito sa iyo na gawin ito portal ng edukasyon"Shkolkovo". Inihanda at ipinakita ng aming mga espesyalista ang teoretikal at praktikal na materyal sa pinakamadaling paraan na posible. Ang pagkakaroon ng pamilyar dito, ang mga nagtapos sa anumang antas ng pagsasanay ay magagawang matagumpay na malutas ang mga problema na may kaugnayan sa mga derivatives kung saan kinakailangan upang mahanap ang tangent ng tangent angle.

Mga pangunahing sandali

Upang mahanap ang tama at makatwirang solusyon sa mga naturang gawain sa Unified State Exam, kailangang tandaan ang pangunahing kahulugan: ang derivative ay kumakatawan sa rate ng pagbabago ng isang function; ito ay katumbas ng tangent ng tangent angle na iginuhit sa graph ng function sa isang tiyak na punto. Parehong mahalaga na kumpletuhin ang pagguhit. Ito ay magbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang tamang solusyon sa PAGGAMIT ng mga problema sa hinalaw, kung saan kailangan mong kalkulahin ang tangent ng tangent angle. Para sa kalinawan, pinakamahusay na i-plot ang graph sa OXY plane.

Kung pamilyar ka na sa pangunahing materyal sa paksa ng mga derivatives at handa ka nang simulan ang paglutas ng mga problema sa pagkalkula ng tangent ng tangent angle, tulad ng Mga takdang-aralin sa Pinag-isang State Exam, magagawa mo ito online. Para sa bawat gawain, halimbawa, ang mga problema sa paksang "Kaugnayan ng isang derivative sa bilis at acceleration ng isang katawan," isinulat namin ang tamang sagot at algorithm ng solusyon. Kasabay nito, maaaring magsanay ang mga mag-aaral sa pagsasagawa ng mga gawain na may iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Kung kinakailangan, ang ehersisyo ay maaaring i-save sa seksyong "Mga Paborito" upang matalakay mo ang solusyon sa guro sa ibang pagkakataon.

Sa artikulong ito susuriin namin ang lahat ng uri ng mga problemang hahanapin

Tandaan natin geometric na kahulugan ng derivative: kung ang isang tangent ay iginuhit sa graph ng isang function sa isang punto, kung gayon ang slope coefficient ng tangent (katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis) ay katumbas ng derivative ng function sa punto.

Kumuha tayo ng di-makatwirang punto sa tangent na may mga coordinate:

At isaalang-alang kanang tatsulok :

Sa tatsulok na ito

Mula rito

Ito ang equation ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa punto.

Upang isulat ang tangent equation, kailangan lang nating malaman ang equation ng function at ang punto kung saan iginuhit ang tangent. Pagkatapos ay mahahanap natin at .

Mayroong tatlong pangunahing uri ng mga problema sa tangent equation.

1. Nabigyan ng punto ng pakikipag-ugnayan

2. Ang tangent slope coefficient ay ibinibigay, iyon ay, ang halaga ng derivative ng function sa punto.

3. Ibinigay ang mga coordinate ng punto kung saan iginuhit ang padaplis, ngunit hindi ang punto ng tangency.

Tingnan natin ang bawat uri ng gawain.

1 . Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function sa punto .

.

b) Hanapin ang halaga ng derivative sa punto . Una, hanapin natin ang derivative ng function

Palitan natin ang mga nahanap na halaga sa tangent equation:

Buksan natin ang mga bracket sa kanang bahagi ng equation. Nakukuha namin:

Sagot: .

2. Hanapin ang abscissa ng mga punto kung saan ang mga function ay padaplis sa graph parallel sa x-axis.

Kung ang tangent ay parallel sa x-axis, samakatuwid ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis katumbas ng zero, samakatuwid ang tangent ng tangent angle ay zero. Nangangahulugan ito na ang halaga ng derivative ng function sa mga punto ng tangency ay zero.

a) Hanapin ang derivative ng function.

b) I-equate natin ang derivative sa zero at hanapin ang mga halaga kung saan ang tangent ay parallel sa axis:

Ang equating bawat kadahilanan sa zero, nakukuha namin:

Sagot: 0;3;5

3. Sumulat ng mga equation para sa mga tangent sa graph ng isang function , parallel tuwid .

Ang isang tangent ay parallel sa isang linya. Ang slope ng linyang ito ay -1. Dahil ang padaplis ay parallel sa linyang ito, samakatuwid, ang slope ng padaplis ay din -1. Yan ay alam natin ang slope ng tangent, at sa gayong paraan, derivative value sa punto ng tangency.

Ito ang pangalawang uri ng problema upang mahanap ang tangent equation.

Kaya, binibigyan tayo ng function at ang halaga ng derivative sa punto ng tangency.

a) Hanapin ang mga punto kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng -1.

Una, hanapin natin ang derivative equation.

Itumbas natin ang derivative sa bilang na -1.

Hanapin natin ang halaga ng function sa punto.

(ayon sa kondisyon)

.

b) Hanapin ang equation ng tangent sa graph ng function sa point .

Hanapin natin ang halaga ng function sa punto.

(ayon sa kondisyon).

Ipalit natin ang mga halagang ito sa tangent equation:

.

Sagot:

4 . Isulat ang equation ng tangent sa curve , dumadaan sa isang punto

Una, suriin natin kung ang punto ay isang tangent point. Kung ang isang punto ay isang tangent point, kung gayon ito ay kabilang sa graph ng function, at ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng function. Palitan natin ang mga coordinate ng punto sa equation ng function.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ay hindi isang punto ng pakikipag-ugnay.

Ito ang huling uri ng problema upang mahanap ang tangent equation. Unang bagay kailangan nating hanapin ang abscissa ng tangent point.

Hanapin natin ang halaga.

Hayaan ang punto ng pakikipag-ugnay. Ang punto ay kabilang sa tangent sa graph ng function. Kung papalitan natin ang mga coordinate ng puntong ito sa tangent equation, makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay:

.

Ang halaga ng function sa isang punto ay .

Hanapin natin ang halaga ng derivative ng function sa punto.

Una, hanapin natin ang derivative ng function. Ito .

Ang derivative sa isang punto ay katumbas ng .

I-substitute natin ang mga expression para sa at sa tangent equation. Nakukuha namin ang equation para sa:

Lutasin natin ang equation na ito.

Bawasan ng 2 ang numerator at denominator ng fraction:

Dalhin natin ang kanang bahagi ng equation sa isang common denominator. Nakukuha namin:

Pasimplehin natin ang numerator ng fraction at i-multiply ang magkabilang panig sa - ang expression na ito ay mahigpit na Higit sa zero.

Nakukuha namin ang equation

Solusyonan natin ito. Upang gawin ito, parisukat natin ang magkabilang bahagi at magpatuloy sa system.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Lutasin natin ang unang equation.

Malutas natin ang quadratic equation, nakukuha natin

Ang pangalawang ugat ay hindi nakakatugon sa kundisyon na pamagat="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Isulat natin ang equation ng tangent sa curve sa punto. Upang gawin ito, palitan ang halaga sa equation - Naitala na namin ito.

Sagot:
.

Equation ng tangent sa graph ng isang function

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Rehiyon ng Chelyabinsk

Equation ng tangent sa graph ng isang function

Na-publish ang artikulo sa suporta ng ITAKA+ Hotel Complex. Kapag nananatili sa lungsod ng mga gumagawa ng barko na Severodvinsk, hindi ka makakatagpo ng problema sa paghahanap ng pansamantalang pabahay. , sa website ng hotel complex na “ITHAKA+” http://itakaplus.ru, madali at mabilis kang makakapagrenta ng apartment sa lungsod, para sa anumang panahon, na may pang-araw-araw na pagbabayad.

Naka-on modernong yugto pag-unlad ng edukasyon, isa sa mga pangunahing gawain nito ay ang pagbuo ng isang malikhaing pag-iisip na personalidad. Ang kakayahan para sa pagkamalikhain sa mga mag-aaral ay mapapaunlad lamang kung sila ay sistematikong kasangkot sa mga pangunahing kaalaman sa mga aktibidad sa pananaliksik. Ang pundasyon para sa mga mag-aaral na gamitin ang kanilang mga malikhaing kapangyarihan, kakayahan at talento ay nabuo ng ganap na kaalaman at kasanayan. Kaugnay nito, ang problema sa pagbuo ng isang sistema ng mga pangunahing kaalaman at kasanayan para sa bawat paksa ng kurso sa matematika ng paaralan ay hindi maliit na kahalagahan. Kasabay nito, ang ganap na mga kasanayan ay dapat na ang didaktikong layunin hindi ng mga indibidwal na gawain, ngunit ng isang maingat na pinag-isipang sistema ng mga ito. Sa pinakamalawak na kahulugan, ang isang sistema ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga magkakaugnay na nakikipag-ugnayan na mga elemento na may integridad at isang matatag na istraktura.

Isaalang-alang natin ang isang pamamaraan para sa pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano magsulat ng isang equation para sa isang tangent sa graph ng isang function. Sa pangkalahatan, ang lahat ng mga problema sa paghahanap ng tangent equation ay bumaba sa pangangailangan na pumili mula sa isang set (bundle, pamilya) ng mga linya ng mga nakakatugon sa isang tiyak na kinakailangan - ang mga ito ay tangent sa graph ng isang tiyak na function. Sa kasong ito, ang hanay ng mga linya kung saan isinasagawa ang pagpili ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

a) isang punto na nakahiga sa xOy plane (gitnang lapis ng mga linya);
b) angular coefficient (parallel beam ng mga tuwid na linya).

Kaugnay nito, kapag pinag-aaralan ang paksang "Tangent sa graph ng isang function" upang ihiwalay ang mga elemento ng system, natukoy namin ang dalawang uri ng mga problema:

1) mga problema sa isang tangent na ibinigay ng punto kung saan ito dumaan;
2) mga problema sa isang padaplis na ibinigay ng slope nito.

Ang pagsasanay sa paglutas ng mga problema sa tangent ay isinagawa gamit ang algorithm na iminungkahi ni A.G. Mordkovich. Ang pangunahing pagkakaiba nito mula sa mga nakilala na ay ang abscissa ng tangent point ay tinutukoy ng letrang a (sa halip na x0), at samakatuwid ang tangent equation ay nasa anyo.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(ihambing sa y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ito pamamaraang pamamaraan, sa aming opinyon, ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na mabilis at madaling maunawaan kung saan sa pangkalahatang tangent equation ang mga coordinate ng kasalukuyang punto ay nakasulat, at kung saan ang mga tangent na punto ay.

Algorithm para sa pagbuo ng tangent equation sa graph ng function na y = f(x)

1. Italaga ang abscissa ng tangent point na may titik a.
2. Hanapin ang f(a).
3. Hanapin ang f "(x) at f "(a).
4. Palitan ang mga nahanap na numerong a, f(a), f "(a) sa pangkalahatang tangent equation na y = f(a) = f "(a)(x – a).

Maaaring i-compile ang algorithm na ito batay sa independiyenteng pagtukoy ng mga operasyon ng mga mag-aaral at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagpapatupad.

Ipinakita ng pagsasanay na ang sunud-sunod na solusyon ng bawat isa sa mga pangunahing problema gamit ang isang algorithm ay nagbibigay-daan sa iyo upang bumuo ng mga kasanayan sa pagsulat ng equation ng isang tangent sa graph ng isang function sa mga yugto, at ang mga hakbang ng algorithm ay nagsisilbing mga reference point para sa mga aksyon. . Ang diskarte na ito ay tumutugma sa teorya ng unti-unting pagbuo ng mga aksyon sa pag-iisip na binuo ni P.Ya. Galperin at N.F. Talyzina.

Sa unang uri ng mga gawain, dalawang pangunahing gawain ang natukoy:

• ang padaplis ay dumadaan sa isang puntong nakahiga sa kurba (problema 1);
• ang padaplis ay dumadaan sa isang puntong hindi nakahiga sa kurba (problema 2).

Gawain 1. Sumulat ng equation para sa tangent sa graph ng function sa puntong M(3; – 2).

Solusyon. Point M(3; – 2) ay isang padaplis na punto, dahil

1. a = 3 – abscissa ng tangent point.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangent equation.

Suliranin 2. Isulat ang mga equation ng lahat ng tangent sa graph ng function na y = – x 2 – 4x + 2 na dumadaan sa puntong M(– 3; 6).

Solusyon. Ang puntong M(– 3; 6) ay hindi isang padaplis na punto, dahil f(– 3) 6 (Larawan 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangent equation.

Ang tangent ay dumadaan sa puntong M(– 3; 6), samakatuwid, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa tangent equation.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
isang 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Kung a = – 4, ang tangent equation ay y = 4x + 18.

Kung a = – 2, ang tangent equation ay may anyo na y = 6.

Sa pangalawang uri, ang mga pangunahing gawain ay ang mga sumusunod:

• ang padaplis ay parallel sa ilang linya (problema 3);
• ang padaplis ay pumasa sa isang tiyak na anggulo sa ibinigay na linya (problema 4).

Suliranin 3. Isulat ang mga equation ng lahat ng tangents sa graph ng function na y = x 3 – 3x 2 + 3, parallel sa linyang y = 9x + 1.

Solusyon.

1. a – abscissa ng tangent point.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ngunit, sa kabilang banda, f "(a) = 9 (kondisyon ng parallelism). Nangangahulugan ito na kailangan nating lutasin ang equation 3a 2 – 6a = 9. Ang mga ugat nito ay a = – 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – tangent equation;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangent equation.

Problema 4. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = 0.5x 2 – 3x + 1, na dumadaan sa isang anggulo na 45° sa tuwid na linya y = 0 (Fig. 4).

Solusyon. Mula sa kondisyong f "(a) = tan 45° makikita natin ang a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – abscissa ng tangent point.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangent equation.

Madaling ipakita na ang solusyon sa anumang iba pang problema ay bumababa sa paglutas ng isa o higit pang mga pangunahing problema. Isaalang-alang ang sumusunod na dalawang problema bilang isang halimbawa.

1. Isulat ang mga equation ng mga tangent sa parabola y = 2x 2 – 5x – 2, kung ang mga tangent ay nagsalubong sa tamang mga anggulo at ang isa sa mga ito ay humipo sa parabola sa puntong may abscissa 3 (Fig. 5).

Solusyon. Dahil ang abscissa ng tangent point ay ibinigay, ang unang bahagi ng solusyon ay nabawasan sa pangunahing problema 1.

1. a = 3 – abscissa ng punto ng tangency ng isa sa mga gilid ng tamang anggulo.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – equation ng unang padaplis.

Hayaan ang a – anggulo ng pagkahilig ng unang tangent. Dahil ang mga tangent ay patayo, kung gayon ang anggulo ng pagkahilig ng pangalawang padaplis. Mula sa equation na y = 7x – 20 ng unang tangent mayroon tayong tg a = 7. Hanapin natin

Nangangahulugan ito na ang slope ng pangalawang tangent ay katumbas ng .

Ang karagdagang solusyon ay bumababa sa pangunahing gawain 3.

Hayaan ang B(c; f(c)) ang punto ng tangency ng pangalawang linya, kung gayon

1. – abscissa ng ikalawang punto ng tangency.
2.
3.
4.
– equation ng pangalawang padaplis.

Tandaan. Ang angular coefficient ng tangent ay mas madaling mahanap kung alam ng mga mag-aaral ang ratio ng coefficients ng perpendicular lines k 1 k 2 = – 1.

2. Isulat ang mga equation ng lahat ng karaniwang tangent sa mga graph ng mga function

Solusyon. Ang gawain ay bumaba sa paghahanap ng abscissa ng mga tangent na punto ng mga karaniwang tangent, iyon ay, paglutas ng pangunahing problema 1 sa pangkalahatang anyo, pagguhit ng isang sistema ng mga equation at pagkatapos ay paglutas nito (Larawan 6).

1. Hayaang a ang abscissa ng tangent point na nasa graph ng function na y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Hayaang c ang abscissa ng tangent point na nasa graph ng function
2.
3. f "(c) = c.
4.

Dahil ang mga tangent ay pangkalahatan, kung gayon

Kaya y = x + 1 at y = – 3x – 3 ay mga karaniwang tangent.

Ang pangunahing layunin ng isinasaalang-alang na mga gawain ay upang ihanda ang mga mag-aaral na independiyenteng makilala ang uri ng pangunahing problema kapag nilutas ang mas kumplikadong mga problema na nangangailangan ng ilang mga kasanayan sa pananaliksik (ang kakayahang mag-analisa, maghambing, mag-generalize, maglagay ng hypothesis, atbp.). Kasama sa mga naturang gawain ang anumang gawain kung saan ang pangunahing gawain ay kasama bilang isang bahagi. Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa ang problema (kabaligtaran sa Problema 1) ng paghahanap ng isang function mula sa pamilya ng mga tangent nito.

3. Para sa ano b at c ang mga linyang y = x at y = – 2x padaplis sa graph ng function na y = x 2 + bx + c?

Solusyon.

Hayaang t ang abscissa ng punto ng tangency ng tuwid na linya y = x na may parabola y = x 2 + bx + c; p ay ang abscissa ng punto ng tangency ng tuwid na linya y = – 2x na may parabola y = x 2 + bx + c. Pagkatapos ang tangent equation na y = x ay kukuha ng anyong y = (2t + b)x + c – t 2 , at ang tangent equation na y = – 2x ay kukuha ng anyong y = (2p + b)x + c – p 2 .

Bumuo tayo at lutasin ang isang sistema ng mga equation

Sagot:

Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

1. Isulat ang mga equation ng mga tangent na iginuhit sa graph ng function na y = 2x 2 – 4x + 3 sa mga punto ng intersection ng graph na may linyang y = x + 3.

Sagot: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. Para sa anong mga halaga ng a dumadaan ang tangent na iginuhit sa graph ng function na y = x 2 – ax sa punto ng graph na may abscissa x 0 = 1 sa puntong M(2; 3)?

Sagot: a = 0.5.

3. Para sa anong mga halaga ng p ang tuwid na linyang y = px – 5 ay dumadampi sa kurba y = 3x 2 – 4x – 2?

Sagot: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Hanapin ang lahat ng mga karaniwang punto ng graph ng function na y = 3x – x 3 at ang tangent na iginuhit sa graph na ito sa pamamagitan ng point P(0; 16).

Sagot: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Hanapin ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng parabola y = x 2 + 6x + 10 at ng tuwid na linya

Sagot:

6. Sa curve y = x 2 – x + 1, hanapin ang punto kung saan ang tangent sa graph ay parallel sa tuwid na linya y – 3x + 1 = 0.

Sagot: M(2; 3).

7. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = x 2 + 2x – | 4x |, na humipo dito sa dalawang punto. Gumawa ng drawing.

Sagot: y = 2x – 4.

8. Patunayan na ang linyang y = 2x – 1 ay hindi nagsasalubong sa kurba y = x 4 + 3x 2 + 2x. Hanapin ang distansya sa pagitan ng kanilang pinakamalapit na mga punto.

Sagot:

9. Sa parabola y = x 2, dalawang puntos ang kinuha gamit ang abscissas x 1 = 1, x 2 = 3. Ang isang secant ay iginuhit sa pamamagitan ng mga puntong ito. Sa anong punto ng parabola magiging parallel ang tangent dito sa secant? Isulat ang secant at tangent equation.

Sagot: y = 4x – 3 – secant equation; y = 4x – 4 – tangent equation.

10. Hanapin ang anggulo q sa pagitan ng mga tangent sa graph ng function na y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, na iginuhit sa mga puntong may abscissas 0 at 1.

Sagot: q = 45°.

11. Sa anong mga punto ang tangent sa graph ng function ay bumubuo ng isang anggulo ng 135° sa Ox axis?

Sagot: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Sa puntong A(1; 8) sa kurba iginuhit ang isang tangent. Hanapin ang haba ng tangent segment sa pagitan ng mga coordinate axes.

Sagot:

13. Isulat ang equation ng lahat ng karaniwang tangent sa mga graph ng mga function na y = x 2 – x + 1 at y = 2x 2 – x + 0.5.

Sagot: y = – 3x at y = x.

14. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tangent sa graph ng function parallel sa x-axis.

Sagot:

15. Tukuyin sa kung anong mga anggulo ang parabola y = x 2 + 2x – 8 na nag-intersect sa x-axis.

Sagot: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. Function graph hanapin ang lahat ng mga punto, ang padaplis sa bawat isa kung saan sa graph na ito ay bumalandra sa mga positibong semi-ax ng mga coordinate, na pinuputol ang pantay na mga segment mula sa kanila.

Sagot: A(– 3; 11).

17. Ang linyang y = 2x + 7 at ang parabola y = x 2 – 1 ay bumalandra sa mga puntong M at N. Hanapin ang puntong K ng intersection ng mga linyang padaplis sa parabola sa mga puntong M at N.

Sagot: K(1; – 9).

18. Para sa anong mga halaga ng b ang linyang y = 9x + b padaplis sa graph ng function na y = x 3 – 3x + 15?

Sagot: – 1; 31.

19. Para sa anong mga halaga ng k ang tuwid na linyang y = kx – 10 ay mayroon lamang isang karaniwang punto na may graph ng function na y = 2x 2 + 3x – 2? Para sa mga nahanap na halaga ng k, tukuyin ang mga coordinate ng punto.

Sagot: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Para sa anong mga halaga ng b ang padaplis na iginuhit sa graph ng function na y = bx 3 – 2x 2 – 4 sa puntong may abscissa x 0 = 2 ay dumadaan sa puntong M(1; 8)?

Sagot: b = – 3.

21. Ang isang parabola na may vertex sa Ox axis ay humipo sa linyang dumadaan sa mga puntong A(1; 2) at B(2; 4) sa puntong B. Hanapin ang equation ng parabola.

Sagot:

22. Sa anong halaga ng coefficient k ang parabola y = x 2 + kx + 1 ay humahawak sa Ox axis?

Sagot: k = d 2.

23. Hanapin ang mga anggulo sa pagitan ng tuwid na linya y = x + 2 at ang curve y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tangent sa graph ng function at ng mga generator na may positibong direksyon ng Ox axis sa isang anggulo na 45°.

Sagot:

30. Hanapin ang locus ng vertices ng lahat ng parabola ng anyong y = x 2 + ax + b padaplis sa linyang y = 4x – 1.

Sagot: tuwid na linya y = 4x + 3.

Panitikan

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra at simula ng pagsusuri: 3600 problema para sa mga mag-aaral at mga pumapasok sa mga unibersidad. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar apat para sa mga batang guro. Paksa: Mga Derivative Application. – M., “Mathematics”, No. 21/94.
3. Pagbuo ng kaalaman at kasanayan batay sa teorya ng unti-unting asimilasyon ng mga aksyong pangkaisipan. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moscow State University, 1968.

Unang antas

Equation ng isang tangent sa graph ng isang function. The Comprehensive Guide (2019)

Alam mo na ba kung ano ang derivative? Kung hindi, basahin muna ang paksa. So sabi mo alam mo yung derivative. Suriin natin ngayon. Hanapin ang increment ng function kapag ang increment ng argument ay katumbas ng. Inayos mo ba? Dapat itong gumana. Ngayon hanapin ang derivative ng function sa isang punto. Sagot: . Nangyari? Kung mayroon kang anumang mga paghihirap sa alinman sa mga halimbawang ito, lubos kong inirerekomenda na bumalik ka sa paksa at pag-aralan itong muli. Alam kong napakalaki ng paksa, ngunit kung hindi man ay wala nang saysay na magpatuloy pa. Isaalang-alang ang graph ng ilang function:

Pumili tayo ng isang tiyak na punto sa linya ng graph. Hayaan ang abscissa nito, kung gayon ang ordinate ay pantay. Pagkatapos ay pipiliin namin ang punto na may abscissa malapit sa punto; ang ordinate nito ay:

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya sa mga puntong ito. Ito ay tinatawag na secant (tulad ng sa geometry). Ipahiwatig natin ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa axis bilang. Tulad ng sa trigonometrya, ang anggulong ito ay sinusukat mula sa positibong direksyon ng x-axis na pakaliwa. Anong mga halaga ang maaaring kunin ng anggulo? Kahit paano mo ikiling ang tuwid na linyang ito, mananatili pa rin ang kalahati. Samakatuwid, ang pinakamataas na posibleng anggulo ay , at ang pinakamababang posibleng anggulo ay . Ibig sabihin, . Ang anggulo ay hindi kasama, dahil ang posisyon ng tuwid na linya sa kasong ito ay eksaktong nag-tutugma sa, at ito ay mas lohikal na pumili ng isang mas maliit na anggulo. Kumuha tayo ng isang punto sa figure na ang tuwid na linya ay parallel sa abscissa axis at ang a ay ang ordinate axis:

Mula sa pigura makikita na, a. Pagkatapos ang increment ratio ay:

(dahil ito ay hugis-parihaba).

Bawasan natin ngayon. Pagkatapos ang punto ay lalapit sa punto. Kapag ito ay naging infinitesimal, ang ratio ay magiging katumbas ng derivative ng function sa punto. Ano ang mangyayari sa secant? Ang punto ay magiging walang katapusang malapit sa punto, upang sila ay maituturing na parehong punto. Ngunit ang isang tuwid na linya na mayroon lamang isang karaniwang punto na may kurba ay walang iba kundi padaplis(sa kasong ito, ang kundisyong ito ay natutugunan lamang sa isang maliit na lugar - malapit sa punto, ngunit ito ay sapat na). Sinasabi nila na sa kasong ito ang secant ay tumatagal limitahan ang posisyon.

Tawagan natin ang anggulo ng inclination ng secant sa axis. Pagkatapos ito ay lumiliko out na ang derivative

yan ay ang derivative ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Dahil ang isang tangent ay isang linya, tandaan natin ngayon ang equation ng isang linya:

Ano ang responsable para sa koepisyent? Para sa slope ng tuwid na linya. Ito ang tawag dito: dalisdis. Ano ang ibig sabihin nito? At ang katotohanan na ito ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ng axis! Kaya ito ang mangyayari:

Ngunit nakuha namin ang panuntunang ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa pagtaas ng function. Ano ang magbabago kung ang pagpapaandar ay bumababa? Tingnan natin:
Ngayon ang mga anggulo ay malabo. At ang pagtaas ng function ay negatibo. Isaalang-alang natin muli: . Sa kabila, . Nakukuha namin ang: , ibig sabihin, ang lahat ay pareho sa huling pagkakataon. Muli nating idirekta ang punto sa punto, at ang secant ay kukuha ng isang limitadong posisyon, iyon ay, ito ay magiging isang tangent sa graph ng function sa punto. Kaya, bumalangkas tayo ng panghuling tuntunin:
Ang derivative ng isang function sa isang partikular na punto ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function sa puntong ito, o (na pareho) ang slope ng tangent na ito:

Iyon na iyon geometric na kahulugan ng derivative. Okay, lahat ng ito ay kawili-wili, ngunit bakit kailangan natin ito? Dito halimbawa:
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function at isang tangent dito sa abscissa point. Hanapin ang halaga ng derivative ng function sa punto.
Solusyon.
Tulad ng nalaman natin kamakailan, ang halaga ng derivative sa punto ng tangency ay katumbas ng slope ng tangent, na kung saan ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent na ito sa abscissa axis: . Nangangahulugan ito na upang mahanap ang halaga ng derivative kailangan nating hanapin ang tangent ng tangent angle. Sa figure ay minarkahan namin ang dalawang puntos na nakahiga sa tangent, ang mga coordinate na kung saan ay kilala sa amin. Kaya't kumpletuhin natin ang pagbuo ng isang tamang tatsulok na dumadaan sa mga puntong ito at hanapin ang padaplis ng padaplis na anggulo!

Ang anggulo ng pagkahilig ng padaplis sa axis ay. Hanapin natin ang padaplis ng anggulong ito: . Kaya, ang derivative ng function sa isang punto ay katumbas ng.
Sagot:. Ngayon subukan ito sa iyong sarili:

Mga sagot:

Alam geometric na kahulugan ng derivative, maaari nating ipaliwanag nang simple ang panuntunan na ang derivative sa punto ng lokal na maximum o minimum ay katumbas ng zero. Sa katunayan, ang tangent sa graph sa mga puntong ito ay "pahalang", iyon ay, parallel sa x-axis:

Ano ang anggulo sa pagitan ng mga parallel na linya? Syempre, zero! At ang tangent ng zero ay zero din. Kaya ang derivative ay katumbas ng zero:

Magbasa nang higit pa tungkol dito sa paksang "Monotonicity ng mga pag-andar. Extremum points."

Ngayon, tumuon tayo sa mga di-makatwirang tangent. Sabihin nating mayroon tayong ilang function, halimbawa, . Iginuhit namin ang graph nito at nais na gumuhit ng tangent dito sa isang punto. Halimbawa, sa isang punto. Kumuha kami ng isang ruler, ilakip ito sa graph at gumuhit:

Ano ang alam natin tungkol sa linyang ito? Ano ang pinakamahalagang bagay na dapat malaman tungkol sa isang linya sa isang coordinate plane? Dahil ang isang tuwid na linya ay isang imahe linear function, magiging maginhawang malaman ang equation nito. Iyon ay, ang mga coefficient sa equation

Pero alam na natin! Ito ang slope ng tangent, na katumbas ng derivative ng function sa puntong iyon:

Sa aming halimbawa ito ay magiging ganito:

Ngayon ang natitira na lang ay hanapin ito. Ito ay kasing simple ng paghihimay ng peras: pagkatapos ng lahat - ang halaga ng. Sa graphically, ito ang coordinate ng intersection ng linya na may ordinate axis (pagkatapos ng lahat, sa lahat ng mga punto ng axis):

Iguhit natin ito (para ito ay hugis-parihaba). Pagkatapos (sa parehong anggulo sa pagitan ng tangent at ng x-axis). Ano ang at katumbas ng? Ang figure ay malinaw na nagpapakita na, a. Pagkatapos makuha namin:

Pinagsasama namin ang lahat ng nakuha na mga formula sa equation ng isang tuwid na linya:

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. Hanapin tangent equation sa isang function sa isang punto.
2. Ang padaplis sa isang parabola ay nag-intersect sa axis sa isang anggulo. Hanapin ang equation ng tangent na ito.
3. Ang linya ay parallel sa tangent sa graph ng function. Hanapin ang abscissa ng tangent point.
4. Ang linya ay parallel sa tangent sa graph ng function. Hanapin ang abscissa ng tangent point.

Mga solusyon at sagot:

EQUATION NG ISANG TANGENT SA GRAPH NG ISANG FUNCTION. MAIKLING PAGLALARAWAN AT MGA BATAYANG FORMULA

Ang derivative ng isang function sa isang partikular na punto ay katumbas ng tangent ng tangent sa graph ng function sa puntong ito, o ang slope ng tangent na ito:

Equation ng tangent sa graph ng isang function sa isang punto:

Algorithm para sa paghahanap ng tangent equation:

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa sa isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...

Para saan?

Para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...

Mga taong nakatanggap magandang edukasyon, kumikita ng mas malaki kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at sa huli ay... mas masaya?

AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema laban sa oras.

At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 kuskusin.
2. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng aklat-aralin - 999 kuskusin.

Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Sa pangalawang kaso bibigyan ka namin simulator "6000 mga problema sa mga solusyon at sagot, para sa bawat paksa, sa lahat ng antas ng pagiging kumplikado." Ito ay tiyak na sapat upang makuha ang iyong mga kamay sa paglutas ng mga problema sa anumang paksa.

Sa katunayan, ito ay higit pa sa isang simulator - buong programa paghahanda. Kung kinakailangan, maaari mo ring gamitin ito nang LIBRE.

Ang access sa lahat ng mga teksto at programa ay ibinibigay para sa BUONG panahon ng pagkakaroon ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lamang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!

Uri ng trabaho: 7

Kundisyon

Ang tuwid na linya na y=3x+2 ay padaplis sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10. Hanapin ang b, na ibinigay na ang abscissa ng tangent point ay mas mababa sa zero.

Solusyon

Hayaang x_0 ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10 kung saan dumadaan ang tangent sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, iyon ay, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sa kabilang banda, ang punto ng tangency ay nabibilang nang sabay-sabay sa parehong graph ng function at ang padaplis, iyon ay, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Kumuha kami ng isang sistema ng mga equation \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga tangent na puntos ay mas mababa sa zero, kaya x_0=-1, pagkatapos b=3+24x_0=-21.

Sagot

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ang tuwid na linya y=-3x+4 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=-x^2+5x-7. Hanapin ang abscissa ng tangent point.

Solusyon

Ang angular coefficient ng tuwid na linya sa graph ng function na y=-x^2+5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay katumbas ng y"(x_0). Ngunit y"=-2x+5, na nangangahulugang y" (x_0)=-2x_0+5. Angular ang koepisyent ng linyang y=-3x+4 na tinukoy sa kundisyon ay katumbas ng -3. Ang magkatulad na linya ay may parehong mga slope coefficient. Samakatuwid, nakahanap kami ng halagang x_0 na =- 2x_0 +5=-3.

Nakukuha namin ang: x_0 = 4.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Solusyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang tangent ay dumadaan sa mga puntos na A(-6; 2) at B(-1; 1). Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng C(-6; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=-6 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulong ABC (makikita mo sa figure na ito ay talamak). Pagkatapos, ang tuwid na linyang AB ay bumubuo ng isang anggulo \pi -\alpha na may positibong direksyon ng axis ng Ox, na kung saan ay mahina.

Gaya ng nalalaman, ang tg(\pi -\alpha) ang magiging halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x_0. pansinin mo yan tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Mula dito, gamit ang mga formula ng pagbabawas, nakukuha natin ang: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ang tuwid na linya na y=-2x-4 ay padaplis sa graph ng function na y=16x^2+bx+12. Hanapin ang b, na ibinigay na ang abscissa ng tangent point ay mas malaki kaysa sa zero.

Solusyon

Hayaang ang x_0 ay ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=16x^2+bx+12 kung saan

ay padaplis sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, iyon ay, y"(x_0)=32x_0+b=-2. Sa kabilang banda, ang punto ng tangency ay nabibilang nang sabay-sabay sa parehong graph ng function at ang tangent, iyon ay, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga tangent na puntos ay mas malaki kaysa sa zero, kaya x_0=1, pagkatapos b=-2-32x_0=-34.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x), na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function ay parallel sa tuwid na linya y=6.

Solusyon

Ang tuwid na linya y=6 ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakakahanap kami ng mga punto kung saan ang tangent sa graph ng function ay parallel sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 4 na extremum point.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ang linyang y=4x-6 ay kahanay ng tangent sa graph ng function na y=x^2-4x+9. Hanapin ang abscissa ng tangent point.

Solusyon

Ang slope ng tangent sa graph ng function na y=x^2-4x+9 sa isang arbitrary point x_0 ay katumbas ng y"(x_0). Ngunit y"=2x-4, na nangangahulugang y"(x_0)= 2x_0-4. Ang slope ng tangent y =4x-7, na tinukoy sa kundisyon, ay katumbas ng 4. Ang mga parallel na linya ay may parehong angular coefficients. Samakatuwid, nakahanap kami ng halaga ng x_0 na 2x_0-4 = 4. Kami makuha: x_0 = 4.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x_0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa punto x_0.

Solusyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang padaplis ay dumadaan sa mga punto A(1; 1) at B(5; 4). Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng C(5; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=5 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulo BAC (makikita mo sa figure na ito ay talamak). Pagkatapos, ang tuwid na linyang AB ay bumubuo ng isang anggulo \alpha na may positibong direksyon ng axis ng Ox.