Kahulugan

Pyramid ay isang polyhedron na binubuo ng isang polygon \(A_1A_2...A_n\) at \(n\) na mga tatsulok na may karaniwang vertex \(P\) (hindi nakahiga sa eroplano ng polygon) at mga gilid sa tapat nito, kasabay ng gilid ng polygon.
Pagtatalaga: \(PA_1A_2...A_n\) .
Halimbawa: pentagonal pyramid \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Mga Triangles \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), atbp. ay tinatawag mga mukha sa gilid pyramids, mga segment \(PA_1, PA_2\), atbp. – lateral ribs, polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – batayan, punto \(P\) – itaas.

taas Ang mga pyramid ay isang patayo na bumaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base.

Ang isang pyramid na may tatsulok sa base nito ay tinatawag tetrahedron.

Ang pyramid ay tinatawag tama, kung ang base nito ay isang regular na polygon at isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

\((a)\) ang mga lateral edge ng pyramid ay pantay;

\((b)\) ang taas ng pyramid ay dumadaan sa gitna ng bilog na nakapaligid malapit sa base;

\((c)\) ang mga tadyang sa gilid ay nakahilig sa eroplano ng base sa parehong anggulo.

\((d)\) ang mga gilid na mukha ay nakahilig sa eroplano ng base sa parehong anggulo.

Regular na tetrahedron ay isang tatsulok na pyramid, na ang lahat ng mga mukha ay pantay-pantay na tatsulok.

Teorama

Ang mga kundisyon \((a), (b), (c), (d)\) ay katumbas.

Patunay

Hanapin natin ang taas ng pyramid \(PH\) . Hayaang ang \(\alpha\) ang eroplano ng base ng pyramid.

1) Patunayan natin na mula sa \((a)\) sumusunod ito sa \((b)\) . Hayaan \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

kasi Ang \(PH\perp \alpha\), pagkatapos ay ang \(PH\) ay patayo sa anumang linyang nasa eroplanong ito, na nangangahulugang ang mga tatsulok ay right-angled. Nangangahulugan ito na ang mga tatsulok na ito ay pantay sa karaniwang binti \(PH\) at hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Nangangahulugan ito ng \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Nangangahulugan ito na ang mga puntos na \(A_1, A_2, ..., A_n\) ay nasa parehong distansya mula sa puntong \(H\), samakatuwid, nakahiga sila sa parehong bilog na may radius \(A_1H\) . Ang bilog na ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay nililimitahan tungkol sa polygon \(A_1A_2...A_n\) .

2) Patunayan natin na ang \((b)\) ay nagpapahiwatig ng \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hugis-parihaba at pantay sa dalawang paa. Nangangahulugan ito na ang kanilang mga anggulo ay pantay din, samakatuwid, \(\anggulo PA_1H=\anggulo PA_2H=...=\anggulo PA_nH\).

3) Patunayan natin na ang \((c)\) ay nagpapahiwatig ng \((a)\) .

Katulad ng unang punto, mga tatsulok \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hugis-parihaba pareho sa kahabaan ng binti at matinding anggulo. Nangangahulugan ito na ang kanilang mga hypotenuse ay pantay din, iyon ay, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Patunayan natin na mula sa \((b)\) sumusunod ito sa \((d)\) .

kasi sa isang regular na polygon ang mga sentro ng circumscribed at inscribed na mga bilog ay nag-tutugma (sa pangkalahatan, ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng isang regular na polygon), pagkatapos ay ang \(H\) ay ang sentro ng naka-inscribe na bilog. Gumuhit tayo ng mga patayo mula sa puntong \(H\) hanggang sa mga gilid ng base: \(HK_1, HK_2\), atbp. Ito ang radii ng inscribed na bilog (sa pamamagitan ng kahulugan). Pagkatapos ay ayon sa TTP (\(PH\) ay patayo sa eroplano, \(HK_1, HK_2\), atbp. ay mga projection na patayo sa mga gilid) na hilig \(PK_1, PK_2\), atbp. patayo sa mga gilid \(A_1A_2, A_2A_3\), atbp. ayon sa pagkakabanggit. Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan \(\anggulo PK_1H, \anggulo PK_2H\) katumbas ng mga anggulo sa pagitan ng mga mukha sa gilid at base. kasi ang mga tatsulok \(PK_1H, PK_2H, ...\) ay pantay (bilang hugis-parihaba sa dalawang panig), pagkatapos ay ang mga anggulo \(\anggulo PK_1H, \anggulo PK_2H, ...\) ay pantay-pantay.

5) Patunayan natin na ang \((d)\) ay nagpapahiwatig ng \((b)\) .

Katulad ng pang-apat na punto, ang mga tatsulok \(PK_1H, PK_2H, ...\) ay pantay (bilang parihaba sa kahabaan ng binti at talamak na anggulo), na nangangahulugang ang mga segment \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ay pantay. Nangangahulugan ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ang \(H\) ay ang sentro ng isang bilog na nakasulat sa base. Pero kasi Para sa mga regular na polygon, ang mga sentro ng naka-inscribe at naka-circumscribe na mga bilog ay nagtutugma, pagkatapos ay ang \(H\) ay ang sentro ng naka-circumscribe na bilog. Chtd.

Bunga

Ang mga lateral na mukha ng isang regular na pyramid ay pantay na isosceles triangles.

Kahulugan

Ang taas ng lateral face ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex nito ay tinatawag apothem.
Ang apothems ng lahat ng lateral na mukha ng isang regular na pyramid ay pantay sa isa't isa at mga median at bisector din.

Mahalagang Tala

1. Tama ang taas tatsulok na pyramid bumabagsak sa punto ng intersection ng mga altitude (o bisector, o median) ng base (ang base ay isang regular na tatsulok).

2. Ang taas ng isang regular na quadrangular pyramid ay bumabagsak sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (ang base ay isang parisukat).

3. Ang taas ng isang regular na hexagonal pyramid ay bumabagsak sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (ang base ay isang regular na hexagon).

4. Ang taas ng pyramid ay patayo sa anumang tuwid na linya na nakahiga sa base.

Kahulugan

Ang pyramid ay tinatawag hugis-parihaba, kung ang isa sa mga gilid na gilid nito ay patayo sa eroplano ng base.

Mahalagang Tala

1. Sa isang hugis-parihaba na pyramid, ang gilid na patayo sa base ay ang taas ng pyramid. Ibig sabihin, \(SR\) ang taas.

2. Dahil Ang \(SR\) ay patayo sa anumang linya mula sa base, kung gayon \(\tatsulok SRM, \tatsulok SRP\)- mga tamang tatsulok.

3. Mga tatsulok \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- parihaba din.
Iyon ay, ang anumang tatsulok na nabuo sa gilid na ito at ang dayagonal na lumalabas mula sa tuktok ng gilid na ito na nakahiga sa base ay magiging hugis-parihaba.

\[(\Large(\text(Volume at surface area ng pyramid)))\]

Teorama

Ang dami ng pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng lugar ng base at ang taas ng pyramid: \

Mga kahihinatnan

Hayaang ang \(a\) ang gilid ng base, ang \(h\) ang taas ng pyramid.

1. Ang volume ng isang regular na triangular na pyramid ay \(V_(\text(right triangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Ang volume ng isang regular na quadrangular pyramid ay \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Ang dami ng isang regular na hexagonal pyramid ay \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Ang dami ng isang regular na tetrahedron ay \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorama

Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahating produkto ng perimeter ng base at ang apothem.

\[(\Malaki(\text(Frustum)))\]

Kahulugan

Isaalang-alang ang isang arbitrary pyramid \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Gumuhit tayo ng isang eroplanong parallel sa base ng pyramid sa pamamagitan ng isang tiyak na punto na nakahiga sa gilid na gilid ng pyramid. Hahatiin ng eroplanong ito ang pyramid sa dalawang polyhedra, ang isa ay isang pyramid (\(PB_1B_2...B_n\)), at ang isa ay tinatawag pinutol na pyramid(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Ang pinutol na pyramid ay may dalawang base - polygons \(A_1A_2...A_n\) at \(B_1B_2...B_n\) na magkapareho sa isa't isa.

Ang taas ng isang pinutol na pyramid ay isang patayo na iginuhit mula sa ilang punto ng itaas na base hanggang sa eroplano ng ibabang base.

Mahalagang Tala

1. Ang lahat ng mga lateral na mukha ng isang pinutol na pyramid ay mga trapezoid.

2. Ang segment na nagkokonekta sa mga sentro ng mga base ng isang regular na pinutol na pyramid (iyon ay, isang pyramid na nakuha sa pamamagitan ng cross-section ng isang regular na pyramid) ay ang taas.

• apothem- ang taas ng gilid ng mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito (bilang karagdagan, ang apothem ay ang haba ng patayo, na ibinaba mula sa gitna ng regular na polygon hanggang sa isa sa mga gilid nito);
• mga mukha sa gilid (ASB, BSC, CSD, DSA) - mga tatsulok na nagtatagpo sa tuktok;
• lateral ribs ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha;
• tuktok ng pyramid (t. S) - isang punto na nag-uugnay sa mga tadyang sa gilid at hindi namamalagi sa eroplano ng base;
• taas ( KAYA ) - isang patayong segment na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito (ang mga dulo ng naturang segment ay magiging tuktok ng pyramid at ang base ng patayo);
• diagonal na seksyon ng pyramid- isang seksyon ng pyramid na dumadaan sa itaas at sa dayagonal ng base;
• base (A B C D) - isang polygon na hindi kabilang sa vertex ng pyramid.

Mga katangian ng pyramid.

1. Kapag ang lahat ng gilid ng gilid ay magkapareho ang laki, pagkatapos ay:

• madaling ilarawan ang isang bilog na malapit sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito;
• ang mga tadyang sa gilid ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa eroplano ng base;
• Bukod dito, ang kabaligtaran ay totoo rin, i.e. kapag ang mga tadyang sa gilid ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa eroplano ng base, o kapag ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid at ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito, nangangahulugan ito na ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay pareho ang laki.

2. Kapag ang mga gilid na mukha ay may isang anggulo ng pagkahilig sa eroplano ng base ng parehong halaga, kung gayon:

• madaling ilarawan ang isang bilog na malapit sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito;
• ang taas ng mga gilid na mukha ay pantay na haba;
• ang lugar ng side surface ay katumbas ng ½ produkto ng perimeter ng base at taas ng side face.

3. Ang isang sphere ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kung sa base ng pyramid ay may polygon sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring ilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumadaan sa gitna ng mga gilid ng pyramid na patayo sa kanila. Mula sa teorama na ito napagpasyahan namin na ang isang globo ay maaaring ilarawan sa paligid ng alinmang tatsulok at sa paligid ng anumang regular na piramide.

4. Ang isang globo ay maaaring ma-inscribe sa isang pyramid kung ang mga bisector plane ng mga panloob na dihedral na anggulo ng pyramid ay magsalubong sa 1st point (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ay magiging sentro ng globo.

Ang pinakasimpleng pyramid.

Batay sa bilang ng mga anggulo, ang base ng pyramid ay nahahati sa triangular, quadrangular, at iba pa.

Magkakaroon ng pyramid tatsulok, quadrangular, at iba pa, kapag ang base ng pyramid ay isang tatsulok, isang quadrangle, at iba pa. Ang isang tatsulok na pyramid ay isang tetrahedron - isang tetrahedron. Quadrangular - pentagonal at iba pa.

Ang video tutorial na ito ay makakatulong sa mga user na magkaroon ng ideya ng tema ng Pyramid. Tamang pyramid. Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng pyramid at bibigyan ito ng kahulugan. Isaalang-alang natin kung ano ang isang regular na pyramid at kung ano ang mga katangian nito. Pagkatapos ay patunayan namin ang theorem tungkol sa lateral surface ng isang regular na pyramid.

Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng pyramid at bibigyan ito ng kahulugan.

Isaalang-alang ang isang polygon A 1 A 2...Isang n, na nasa α plane, at ang punto P, na hindi namamalagi sa α plane (Larawan 1). Ikonekta natin ang mga tuldok P may mga taluktok A 1, A 2, A 3, … Isang n. Nakukuha namin n mga tatsulok: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R at iba pa.

Kahulugan. Polyhedron RA 1 A 2 ...A n, binubuo ng n-parisukat A 1 A 2...Isang n At n mga tatsulok RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 ang tinatawag n- pyramid ng karbon. kanin. 1.

kanin. 1

Isaalang-alang ang isang quadrangular pyramid PABCD(Larawan 2).

R- tuktok ng pyramid.

A B C D- ang base ng pyramid.

RA- gilid tadyang.

AB- base rib.

Mula sa punto R ihulog natin ang patayo RN sa base plane A B C D. Ang perpendikular na iginuhit ay ang taas ng pyramid.

kanin. 2

Ang buong ibabaw ng pyramid ay binubuo ng lateral surface, iyon ay, ang lugar ng lahat ng lateral faces, at ang lugar ng base:

S puno = S gilid + S pangunahing

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung:

• ang base nito ay isang regular na polygon;
• ang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng base ay ang taas nito.

Paliwanag gamit ang halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid

Isaalang-alang ang isang regular na quadrangular pyramid PABCD(Larawan 3).

R- tuktok ng pyramid. Base ng pyramid A B C D- isang regular na may apat na gilid, iyon ay, isang parisukat. Dot TUNGKOL SA, ang punto ng intersection ng mga diagonal, ay ang sentro ng parisukat. Ibig sabihin, RO ay ang taas ng pyramid.

kanin. 3

Paliwanag: sa tama n Sa isang tatsulok, ang gitna ng inscribed na bilog at ang gitna ng circumcircle ay nag-tutugma. Ang sentrong ito ay tinatawag na sentro ng polygon. Minsan sinasabi nila na ang vertex ay naka-project sa gitna.

Ang taas ng lateral face ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex nito ay tinatawag apothem at itinalaga h a.

1. lahat ng lateral edges ng isang regular na pyramid ay pantay;

2. Ang mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles.

Magbibigay kami ng patunay ng mga katangiang ito gamit ang halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid.

Ibinigay: PABCD- regular na quadrangular pyramid,

A B C D- parisukat,

RO- taas ng pyramid.

Patunayan:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Tingnan ang Fig. 4.

kanin. 4

Patunay.

RO- taas ng pyramid. Ibig sabihin, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direkta JSC, VO, SO At GAWIN nakahiga sa loob nito. Kaya mga tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD- hugis-parihaba.

Isaalang-alang ang isang parisukat A B C D. Mula sa mga katangian ng isang parisukat ito ay sumusunod na AO = VO = CO = GAWIN.

Pagkatapos ay ang mga tamang tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD binti RO- pangkalahatan at mga binti JSC, VO, SO At GAWIN ay pantay, na nangangahulugan na ang mga tatsulok na ito ay pantay sa dalawang panig. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng mga segment, RA = PB = RS = PD. Ang punto 1 ay napatunayan.

Mga segment AB At Araw ay pantay dahil sila ay mga gilid ng parehong parisukat, RA = PB = RS. Kaya mga tatsulok AVR At VSR - isosceles at pantay sa tatlong panig.

Sa katulad na paraan, nakita natin ang mga tatsulok ABP, VCP, CDP, DAP ay isosceles at pantay, gaya ng kinakailangan na patunayan sa talata 2.

Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem:

Upang patunayan ito, pumili tayo ng isang regular na triangular na pyramid.

Ibinigay: RAVS- regular na tatsulok na pyramid.

AB = BC = AC.

RO- taas.

Patunayan: . Tingnan ang Fig. 5.

kanin. 5

Patunay.

RAVS- regular na tatsulok na pyramid. Yan ay AB= AC = BC. Hayaan TUNGKOL SA- gitna ng tatsulok ABC, Pagkatapos RO ay ang taas ng pyramid. Sa base ng pyramid ay matatagpuan ang isang equilateral triangle ABC. pansinin mo yan .

Mga tatsulok RAV, RVS, RSA- pantay na isosceles triangles (ayon sa ari-arian). Ang isang tatsulok na pyramid ay may tatlong gilid na mukha: RAV, RVS, RSA. Nangangahulugan ito na ang lugar ng lateral surface ng pyramid ay:

S side = 3S RAW

Ang teorama ay napatunayan.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m, ang taas ng pyramid ay 4 m Hanapin ang lugar ng lateral surface ng pyramid.

Ibinigay: regular na quadrangular pyramid A B C D,

A B C D- parisukat,

r= 3 m,

RO- taas ng pyramid,

RO= 4 m.

Hanapin: S gilid. Tingnan ang Fig. 6.

kanin. 6

Solusyon.

Ayon sa napatunayang teorama, .

Hanapin muna natin ang gilid ng base AB. Alam namin na ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m.

Pagkatapos, m.

Hanapin ang perimeter ng parisukat A B C D na may gilid na 6 m:

Isaalang-alang ang isang tatsulok BCD. Hayaan M- gitna ng gilid DC. kasi TUNGKOL SA- gitna BD, Iyon (m).

Tatsulok DPC- isosceles. M- gitna DC. Yan ay, RM- median, at samakatuwid ang taas sa tatsulok DPC. Pagkatapos RM- apothem ng pyramid.

RO- taas ng pyramid. Tapos, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direkta OM, nakahiga sa loob nito. Hanapin natin ang apothem RM mula sa kanang tatsulok ROM.

Ngayon ay mahahanap natin ang lateral surface ng pyramid:

Sagot: 60 m2.

Ang radius ng bilog na nakapaligid sa base ng isang regular na triangular na pyramid ay katumbas ng m Ang lugar ng lateral surface ay 18 m 2. Hanapin ang haba ng apothem.

Ibinigay: ABCP- regular na tatsulok na pyramid,

AB = BC = SA,

R= m,

S gilid = 18 m2.

Hanapin: . Tingnan ang Fig. 7.

kanin. 7

Solusyon.

Sa isang kanang tatsulok ABC Ang radius ng circumscribed circle ay ibinibigay. Humanap tayo ng side AB ang tatsulok na ito gamit ang batas ng mga sine.

Ang pag-alam sa gilid ng isang regular na tatsulok (m), nakita natin ang perimeter nito.

Sa pamamagitan ng theorem sa lateral surface area ng isang regular na pyramid, kung saan h a- apothem ng pyramid. Pagkatapos:

Sagot: 4 m.

Kaya, tiningnan namin kung ano ang isang pyramid, kung ano ang isang regular na pyramid, at napatunayan namin ang teorama tungkol sa lateral surface ng isang regular na pyramid. Naka-on susunod na aralin makikilala natin ang isang pinutol na pyramid.

Bibliograpiya

1. Geometry. Baitang 10-11: aklat-aralin para sa mga mag-aaral institusyong pang-edukasyon(pangunahing at mga antas ng profile) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., rev. at karagdagang - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: may sakit.
2. Geometry. 10-11 grade: Textbook para sa pangkalahatang edukasyon institusyong pang-edukasyon/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: may sakit.
3. Geometry. Baitang 10: Teksbuk para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon na may malalim at espesyal na pag-aaral ng matematika /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: may sakit.

1. Internet portal na "Yaklass" ()
2. Internet portal na "Festival mga ideyang pedagogical"Una ng Setyembre" ()
3. Internet portal na “Slideshare.net” ()

Takdang aralin

1. Maaari bang maging base ng isang iregular na pyramid ang isang regular na polygon?
2. Patunayan na ang magkahiwalay na mga gilid ng isang regular na pyramid ay patayo.
3. Hanapin ang halaga ng dihedral angle sa gilid ng base ng isang regular na quadrangular pyramid kung ang apothem ng pyramid ay katumbas ng gilid ng base nito.
4. RAVS- regular na triangular na pyramid. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angle sa base ng pyramid.

Pyramid. Pinutol na pyramid

Pyramid ay isang polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (Larawan 15). Ang pyramid ay tinatawag tama , kung ang base nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base (Larawan 16). Ang isang tatsulok na pyramid na ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag tetrahedron .

Lateral rib ng isang pyramid ay ang gilid ng gilid na mukha na hindi kabilang sa base taas Ang pyramid ay ang distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng mga lateral na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay-pantay sa bawat isa, ang lahat ng mga lateral na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex ay tinatawag apothem . Diagonal na seksyon ay tinatawag na seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.

Lateral surface area Ang pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral na mukha. Kabuuang lugar sa ibabaw ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na mukha at ang base.

Theorems

1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay na nakakiling sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakapaligid malapit sa base.

2. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay may pantay na haba, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base.

3. Kung ang lahat ng mga mukha sa isang pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng isang bilog na nakasulat sa base.

Upang kalkulahin ang dami ng isang arbitrary na pyramid, ang tamang formula ay:

saan V- dami;

S base- base na lugar;

H– taas ng pyramid.

Para sa isang regular na pyramid, tama ang mga sumusunod na formula:

saan p- base perimeter;

h a– apothem;

H- taas;

S puno

S gilid

S base- base na lugar;

V– dami ng isang regular na pyramid.

Pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Regular na pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na parallel sa base ng pyramid.

Mga dahilan pinutol na pyramid - mga katulad na polygon. Mga mukha sa gilid - mga trapezoid. taas ng isang pinutol na pyramid ay ang distansya sa pagitan ng mga base nito. dayagonal ang pinutol na pyramid ay isang segment na nagdudugtong sa mga vertice nito na hindi nakahiga sa parehong mukha. Diagonal na seksyon ay isang seksyon ng pinutol na pyramid ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa iisang mukha.

Para sa isang pinutol na pyramid ang mga sumusunod na formula ay wasto:

(4)

saan S 1 , S 2 - mga lugar ng upper at lower base;

S puno- kabuuang lugar sa ibabaw;

S gilid- lateral surface area;

H- taas;

V– dami ng pinutol na pyramid.

Para sa isang regular na pinutol na pyramid ang formula ay tama:

saan p 1 , p 2 - mga perimeter ng mga base;

h a– apothem ng isang regular na pinutol na pyramid.

Halimbawa 1. Sa isang regular na triangular na pyramid, ang dihedral na anggulo sa base ay 60º. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 18).

Ang pyramid ay regular, na nangangahulugan na sa base ay may equilateral triangle at ang lahat ng side face ay pantay na isosceles triangles. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na mukha ng pyramid sa eroplano ng base. Ang linear na anggulo ay ang anggulo a sa pagitan ng dalawang patayo: atbp. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang gitna ng bilog na bilog at ang nakasulat na bilog ng tatsulok ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng gilid ng gilid (halimbawa S.B.) ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang projection nito papunta sa eroplano ng base. Para sa tadyang S.B. ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD. Upang mahanap ang tangent kailangan mong malaman ang mga binti KAYA At O.B.. Hayaan ang haba ng segment BD katumbas ng 3 A. Dot TUNGKOL SA segment ng linya BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa nakita natin KAYA: Mula sa nakita namin:

Sagot:

Halimbawa 2. Hanapin ang volume ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay katumbas ng cm at cm, at ang taas nito ay 4 cm.

Solusyon. Upang mahanap ang volume ng isang pinutol na pyramid, ginagamit namin ang formula (4). Upang mahanap ang lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng base square, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay katumbas ng 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit.

Sagot: 112 cm 3.

Halimbawa 3. Hanapin ang lugar ng lateral na mukha ng isang regular na triangular na pinutol na pyramid, ang mga gilid ng mga base na kung saan ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 19).

Ang gilid na mukha ng pyramid na ito ay isang isosceles trapezoid. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang base at taas. Ang mga base ay ibinibigay ayon sa kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Hahanapin natin siya kung saan A 1 E patayo mula sa isang punto A 1 sa eroplano ng ibabang base, A 1 D– patayo mula sa A 1 bawat AC. A 1 E= 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Hanapin DE Gumawa tayo ng karagdagang pagguhit na nagpapakita ng tuktok na view (Larawan 20). Dot TUNGKOL SA– projection ng mga sentro ng upper at lower bases. mula noong (tingnan ang Fig. 20) at Sa kabilang banda OK– radius na nakasulat sa bilog at OM– radius na nakasulat sa isang bilog:

MK = DE.

Ayon sa Pythagorean theorem mula sa

Lugar ng mukha sa gilid:

Sagot:

Halimbawa 4. Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga base nito A At b (a> b). Ang bawat panig na mukha ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng eroplano ng base ng pyramid j. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 21). Kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid SABCD katumbas ng kabuuan ng mga lugar at ang lugar ng trapezoid A B C D.

Gamitin natin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, kung gayon ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Dot TUNGKOL SA– projection ng vertex S sa base ng pyramid. Tatsulok SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa eroplano ng base. Gamit ang theorem sa lugar ng orthogonal projection ng isang plane figure, nakuha namin:

Gayundin ang ibig sabihin nito Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid A B C D. Gumuhit tayo ng trapezoid A B C D hiwalay (Larawan 22). Dot TUNGKOL SA– ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid.

Dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon o Mula sa Pythagorean theorem mayroon tayong

Video tutorial 2: Problema sa pyramid. Dami ng pyramid

Video tutorial 3: Problema sa pyramid. Tamang pyramid

Lecture: Pyramid, base nito, lateral ribs, taas, lateral surface; tatsulok na pyramid; regular na pyramid

Pyramid- Ito volumetric na katawan, na may polygon sa base nito, at ang lahat ng mukha nito ay binubuo ng mga tatsulok.

Ang isang espesyal na kaso ng isang pyramid ay isang kono na may bilog sa base nito.

Tingnan natin ang mga pangunahing elemento ng pyramid:

Apothem- ito ay isang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng ibabang gilid ng gilid na mukha. Sa madaling salita, ito ang taas ng gilid ng pyramid.

Sa figure maaari mong makita ang mga triangles ADS, ABS, BCS, CDS. Kung titingnan mo nang mabuti ang mga pangalan, makikita mo na ang bawat tatsulok ay may isang karaniwang titik sa pangalan nito - S. Ibig sabihin, nangangahulugan ito na ang lahat ng mga gilid na mukha (tatsulok) ay nagtatagpo sa isang punto, na tinatawag na tuktok ng pyramid .

Ang segment na OS na nag-uugnay sa vertex sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (sa kaso ng mga tatsulok - sa punto ng intersection ng mga taas) ay tinatawag taas ng pyramid.

Ang isang diagonal na seksyon ay isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid, pati na rin ang isa sa mga diagonal ng base.

Dahil ang gilid na ibabaw ng pyramid ay binubuo ng mga tatsulok, upang mahanap ang kabuuang lugar ng gilid na ibabaw ay kinakailangan upang mahanap ang lugar ng bawat mukha at idagdag ang mga ito. Ang bilang at hugis ng mga mukha ay depende sa hugis at sukat ng mga gilid ng polygon na nasa base.

Ang tanging eroplano sa isang pyramid na hindi kabilang sa vertex nito ay tinatawag batayan mga pyramid.

Sa figure makikita natin na ang base ay isang paralelogram, gayunpaman, maaari itong maging anumang arbitrary polygon.

Ari-arian:

Isaalang-alang ang unang kaso ng isang pyramid, kung saan mayroon itong mga gilid ng parehong haba:

• Ang isang bilog ay maaaring iguhit sa paligid ng base ng naturang pyramid. Kung i-proyekto mo ang tuktok ng naturang pyramid, ang projection nito ay matatagpuan sa gitna ng bilog.
• Ang mga anggulo sa base ng pyramid ay pareho sa bawat mukha.
• Sa kasong ito, ang isang sapat na kondisyon para sa katotohanan na ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid, at gayundin na ang lahat ng mga gilid ay may iba't ibang haba, ay maaaring isaalang-alang ang parehong mga anggulo sa pagitan ng base at bawat gilid ng mga mukha.

Kung nakatagpo ka ng isang pyramid kung saan ang mga anggulo sa pagitan ng mga gilid na mukha at base ay pantay, kung gayon ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

• Magagawa mong ilarawan ang isang bilog sa paligid ng base ng pyramid, kung saan ang tuktok ay inaasahang eksakto sa gitna.
• Kung iguguhit mo ang bawat gilid na gilid ng taas sa base, kung gayon sila ay magiging pantay na haba.
• Upang mahanap ang lateral surface area ng naturang pyramid, sapat na upang mahanap ang perimeter ng base at i-multiply ito sa kalahati ng haba ng taas.
• S bp = 0.5P oc H.
• Mga uri ng pyramid.
• Depende sa kung aling polygon ang namamalagi sa base ng pyramid, maaari silang maging triangular, quadrangular, atbp. Kung sa base ng pyramid mayroong isang regular na polygon (na may pantay na panig), kung gayon ang naturang pyramid ay tatawaging regular.

Regular na triangular na pyramid