Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Sa paglutas ng Problema C2 gamit ang coordinate method, maraming estudyante ang nahaharap sa parehong problema. Hindi nila makalkula mga coordinate ng mga puntos kasama sa formula produkto ng tuldok. Ang pinakamalaking paghihirap ay lumitaw mga pyramid. At kung ang mga base point ay itinuturing na mas o mas normal, kung gayon ang mga tuktok ay isang tunay na impiyerno.

Ngayon ay gagana tayo sa isang regular na quadrangular pyramid. Mayroon ding tatsulok na pyramid (aka - tetrahedron). Ito ay isang mas kumplikadong disenyo, kaya isang hiwalay na aralin ang ilalaan dito.

Una, tandaan natin ang kahulugan:

Ang isang regular na pyramid ay isa na:

1. Ang base ay isang regular na polygon: tatsulok, parisukat, atbp.;
2. Ang isang altitude na iginuhit sa base ay dumadaan sa gitna nito.

Sa partikular, ang base ng isang quadrangular pyramid ay parisukat. Tulad ng Cheops, mas maliit lang ng kaunti.

Nasa ibaba ang mga kalkulasyon para sa isang pyramid kung saan ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1. Kung hindi ito ang kaso sa iyong problema, ang mga kalkulasyon ay hindi nagbabago - ang mga numero lamang ang magkakaiba.

Vertices ng isang quadrangular pyramid

Kaya, hayaan ang isang regular na quadrangular pyramid SABCD, kung saan ang S ay ang vertex at ang base ABCD ay isang parisukat. Ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1. Kailangan mong magpasok ng isang coordinate system at hanapin ang mga coordinate ng lahat ng mga punto. Meron kami:

Ipinakilala namin ang isang coordinate system na may pinanggalingan sa punto A:

1. Ang OX axis ay nakadirekta parallel sa gilid AB;
2. Ang OY axis ay parallel sa AD. Dahil ang ABCD ay isang parisukat, AB ⊥ AD;
3. Sa wakas, ididirekta namin ang OZ axis pataas, patayo sa eroplanong ABCD.

Ngayon kinakalkula namin ang mga coordinate. Karagdagang konstruksiyon: SH - taas na iginuhit sa base. Para sa kaginhawahan, ilalagay namin ang base ng pyramid sa isang hiwalay na pagguhit. Dahil ang mga puntos A, B, C at D ay nasa OXY plane, ang kanilang coordinate ay z = 0. Mayroon kaming:

1. A = (0; 0; 0) - tumutugma sa pinanggalingan;
2. B = (1; 0; 0) - hakbang sa pamamagitan ng 1 kasama ang OX axis mula sa pinanggalingan;
3. C = (1; 1; 0) - hakbang sa pamamagitan ng 1 sa kahabaan ng OX axis at sa pamamagitan ng 1 sa kahabaan ng OY axis;
4. D = (0; 1; 0) - hakbang lamang sa kahabaan ng OY axis.
5. H = (0.5; 0.5; 0) - ang gitna ng parisukat, ang gitna ng segment AC.

Ito ay nananatili upang mahanap ang mga coordinate ng point S. Tandaan na ang mga x at y na coordinate ng mga puntos na S at H ay pareho, dahil ang mga ito ay nakahiga sa isang linya na kahanay sa OZ axis. Ito ay nananatili upang mahanap ang z coordinate para sa punto S.

Isaalang-alang ang mga tatsulok na ASH at ABH:

1. AS = AB = 1 ayon sa kondisyon;
2. Anggulo AHS = AHB = 90°, dahil ang SH ay ang taas at AH ⊥ HB bilang mga dayagonal ng parisukat;
3. Ang side AH ay karaniwan.

Samakatuwid, right triangles ASH at ABH pantay isang paa at isang hypotenuse bawat isa. Nangangahulugan ito na SH = BH = 0.5 BD. Ngunit ang BD ay ang dayagonal ng isang parisukat na may gilid 1. Samakatuwid mayroon tayong:

Kabuuang mga coordinate ng point S:

Sa konklusyon, isinulat namin ang mga coordinate ng lahat ng mga vertex ng isang regular na hugis-parihaba na pyramid:

Ano ang gagawin kapag iba ang tadyang

Paano kung ang mga gilid na gilid ng pyramid ay hindi katumbas ng mga gilid ng base? Sa kasong ito, isaalang-alang ang tatsulok na AHS:

Triangle AHS - hugis-parihaba, at ang hypotenuse AS ay isa ring gilid na gilid ng orihinal na pyramid SABCD. Ang Leg AH ay madaling kalkulahin: AH = 0.5 AC. Hahanapin natin ang natitirang binti SH ayon sa Pythagorean theorem. Ito ang magiging z coordinate para sa punto S.

Gawain. Given a regular quadrangular pyramid SABCD, at the base of which is lies a square with side 1. Side edge BS = 3. Hanapin ang mga coordinate ng point S.

Alam na natin ang x at y coordinate ng puntong ito: x = y = 0.5. Ito ay sumusunod mula sa dalawang katotohanan:

1. Ang projection ng point S papunta sa OXY plane ay point H;
2. Kasabay nito, ang punto H ay ang sentro ng isang parisukat na ABCD, ang lahat ng panig nito ay katumbas ng 1.

Ito ay nananatili upang mahanap ang coordinate ng point S. Isaalang-alang ang tatsulok na AHS. Ito ay hugis-parihaba, na may hypotenuse AS = BS = 3, ang binti AH ay kalahati ng dayagonal. Para sa karagdagang mga kalkulasyon kailangan namin ang haba nito:

Pythagorean theorem para sa triangle AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Meron kami:

Kaya, ang mga coordinate ng point S:

Kahulugan

Pyramid ay isang polyhedron na binubuo ng isang polygon \(A_1A_2...A_n\) at \(n\) na mga tatsulok na may karaniwang vertex \(P\) (hindi nakahiga sa eroplano ng polygon) at mga gilid sa tapat nito, na kasabay ng gilid ng polygon.
Pagtatalaga: \(PA_1A_2...A_n\) .
Halimbawa: pentagonal pyramid \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Mga Triangles \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), atbp. ay tinatawag mga mukha sa gilid pyramids, mga segment \(PA_1, PA_2\), atbp. – lateral ribs, polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – batayan, punto \(P\) – itaas.

taas Ang mga pyramid ay isang patayo na bumaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base.

Ang isang pyramid na may tatsulok sa base nito ay tinatawag tetrahedron.

Ang pyramid ay tinatawag tama, kung ang base nito ay isang regular na polygon at isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

\((a)\) ang mga lateral edge ng pyramid ay pantay;

\((b)\) ang taas ng pyramid ay dumadaan sa gitna ng bilog na nakapaligid malapit sa base;

\((c)\) ang mga tadyang sa gilid ay nakahilig sa eroplano ng base sa parehong anggulo.

\((d)\) ang mga gilid na mukha ay nakahilig sa eroplano ng base sa parehong anggulo.

Regular na tetrahedron ay isang tatsulok na pyramid, na ang lahat ng mga mukha ay pantay na tatsulok.

Teorama

Ang mga kundisyon \((a), (b), (c), (d)\) ay katumbas.

Patunay

Hanapin natin ang taas ng pyramid \(PH\) . Hayaang ang \(\alpha\) ang eroplano ng base ng pyramid.

1) Patunayan natin na ang \((a)\) ay nagpapahiwatig ng \((b)\) . Hayaan \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

kasi Ang \(PH\perp \alpha\), pagkatapos ay ang \(PH\) ay patayo sa anumang linyang nasa eroplanong ito, na nangangahulugang ang mga tatsulok ay right-angled. Nangangahulugan ito na ang mga tatsulok na ito ay pantay sa karaniwang binti \(PH\) at hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Kaya, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Nangangahulugan ito na ang mga puntos na \(A_1, A_2, ..., A_n\) ay nasa parehong distansya mula sa puntong \(H\), samakatuwid, nakahiga sila sa parehong bilog na may radius \(A_1H\) . Ang bilog na ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay nililimitahan tungkol sa polygon \(A_1A_2...A_n\) .

2) Patunayan natin na ang \((b)\) ay nagpapahiwatig ng \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hugis-parihaba at pantay sa dalawang paa. Nangangahulugan ito na ang kanilang mga anggulo ay pantay din, samakatuwid, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Patunayan natin na ang \((c)\) ay nagpapahiwatig ng \((a)\) .

Katulad ng unang punto, mga tatsulok \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hugis-parihaba sa kahabaan ng binti at matinding anggulo. Nangangahulugan ito na ang kanilang mga hypotenuse ay pantay din, iyon ay, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Patunayan natin na ang \((b)\) ay nagpapahiwatig ng \((d)\) .

kasi sa isang regular na polygon ang mga sentro ng circumscribed at inscribed na mga bilog ay nag-tutugma (sa pangkalahatan, ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng isang regular na polygon), pagkatapos ay ang \(H\) ay ang sentro ng naka-inscribe na bilog. Gumuhit tayo ng mga patayo mula sa puntong \(H\) hanggang sa mga gilid ng base: \(HK_1, HK_2\), atbp. Ito ang radii ng inscribed na bilog (sa kahulugan). Pagkatapos ay ayon sa TTP (\(PH\) ay patayo sa eroplano, \(HK_1, HK_2\), atbp. ay mga projection na patayo sa mga gilid) na hilig \(PK_1, PK_2\), atbp. patayo sa mga gilid \(A_1A_2, A_2A_3\), atbp. ayon sa pagkakabanggit. Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan \(\anggulo PK_1H, \anggulo PK_2H\) katumbas ng mga anggulo sa pagitan ng mga gilid na mukha at base. kasi ang mga tatsulok \(PK_1H, PK_2H, ...\) ay pantay (bilang hugis-parihaba sa dalawang panig), pagkatapos ay ang mga anggulo \(\anggulo PK_1H, \anggulo PK_2H, ...\) ay pantay-pantay.

5) Patunayan natin na ang \((d)\) ay nagpapahiwatig ng \((b)\) .

Katulad ng pang-apat na punto, ang mga tatsulok \(PK_1H, PK_2H, ...\) ay pantay (bilang parihaba sa kahabaan ng binti at talamak na anggulo), na nangangahulugang ang mga segment \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ay pantay. Nangangahulugan ito, ayon sa kahulugan, ang \(H\) ay ang sentro ng isang bilog na nakasulat sa base. Pero kasi Para sa mga regular na polygon, ang mga sentro ng naka-inscribe at naka-circumscribe na mga bilog ay nagtutugma, pagkatapos ay ang \(H\) ay ang sentro ng naka-circumscribe na bilog. Chtd.

Bunga

Ang mga lateral na mukha ng isang regular na pyramid ay pantay na isosceles triangles.

Kahulugan

Ang taas ng lateral face ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex nito ay tinatawag apothem.
Ang apothems ng lahat ng lateral na mukha ng isang regular na pyramid ay pantay sa isa't isa at mga median at bisector din.

Mahalagang Tala

1. Tama ang taas tatsulok na pyramid bumabagsak sa punto ng intersection ng mga altitude (o bisector, o median) ng base (ang base ay isang regular na tatsulok).

2. Ang taas ng isang regular na quadrangular pyramid ay bumabagsak sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (ang base ay isang parisukat).

3. Ang taas ng isang regular na hexagonal pyramid ay bumabagsak sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (ang base ay isang regular na hexagon).

4. Ang taas ng pyramid ay patayo sa anumang tuwid na linya na nakahiga sa base.

Kahulugan

Ang pyramid ay tinatawag hugis-parihaba, kung ang isa sa mga gilid na gilid nito ay patayo sa eroplano ng base.

Mahalagang Tala

1. Sa isang hugis-parihaba na pyramid, ang gilid na patayo sa base ay ang taas ng pyramid. Ibig sabihin, \(SR\) ang taas.

2. Dahil Ang \(SR\) ay patayo sa anumang linya mula sa base, kung gayon \(\tatsulok SRM, \tatsulok SRP\)– kanang tatsulok.

3. Mga tatsulok \(\tatsulok SRN, \tatsulok SRK\)- parihaba din.
Iyon ay, ang anumang tatsulok na nabuo sa gilid na ito at ang dayagonal na lumalabas mula sa tuktok ng gilid na ito na nakahiga sa base ay magiging hugis-parihaba.

\[(\Large(\text(Volume at surface area ng pyramid)))\]

Teorama

Ang dami ng pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng lugar ng base at ang taas ng pyramid: \

Mga kahihinatnan

Hayaang ang \(a\) ang gilid ng base, ang \(h\) ang taas ng pyramid.

1. Ang volume ng isang regular na triangular na pyramid ay \(V_(\text(right triangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Ang volume ng isang regular na quadrangular pyramid ay \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Ang volume ng isang regular na hexagonal pyramid ay \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Ang dami ng isang regular na tetrahedron ay \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorama

Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahating produkto ng perimeter ng base at ang apothem.

\[(\Malaki(\text(Frustum)))\]

Kahulugan

Isaalang-alang ang isang arbitrary pyramid \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Gumuhit tayo ng isang eroplanong parallel sa base ng pyramid sa pamamagitan ng isang tiyak na punto na nakahiga sa gilid na gilid ng pyramid. Hahatiin ng eroplanong ito ang pyramid sa dalawang polyhedra, ang isa ay isang pyramid (\(PB_1B_2...B_n\)), at ang isa ay tinatawag pinutol na pyramid(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Ang pinutol na pyramid ay may dalawang base - polygons \(A_1A_2...A_n\) at \(B_1B_2...B_n\) na magkapareho sa isa't isa.

Ang taas ng isang pinutol na pyramid ay isang patayo na iginuhit mula sa ilang punto ng itaas na base hanggang sa eroplano ng ibabang base.

Mahalagang Tala

1. Ang lahat ng mga lateral na mukha ng isang pinutol na pyramid ay mga trapezoid.

2. Ang segment na nagkokonekta sa mga sentro ng mga base ng isang regular na pinutol na pyramid (iyon ay, isang pyramid na nakuha sa pamamagitan ng cross-section ng isang regular na pyramid) ay ang taas.

Paano ka makakagawa ng pyramid? Sa ibabaw R Bumuo tayo ng polygon, halimbawa ang pentagon ABCDE. Sa labas ng eroplano R Kunin natin ang point S. Sa pamamagitan ng pagkonekta ng point S na may mga segment sa lahat ng punto ng polygon, nakukuha natin ang SABCDE pyramid (Fig.).

Point S ay tinatawag itaas, at ang polygon ABCDE ay batayan pyramid na ito. Kaya, ang isang pyramid na may tuktok na S at base ABCDE ay ang unyon ng lahat ng mga segment kung saan ang M ∈ ABCDE.

Triangles SAB, SBC, SCD, SDE, SEA ay tinatawag mga mukha sa gilid pyramids, karaniwang mga gilid ng lateral na mukha SA, SB, SC, SD, SE - lateral ribs.

Ang mga pyramid ay tinatawag triangular, quadrangular, p-angular depende sa bilang ng mga gilid ng base. Sa Fig. Ibinibigay ang mga larawan ng triangular, quadrangular at hexagonal pyramids.

Ang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base ay tinatawag dayagonal, at ang resultang seksyon ay dayagonal. Sa Fig. 186 isa sa mga diagonal na seksyon ng hexagonal pyramid ay may kulay.

Ang perpendicular segment na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito ay tinatawag na taas ng pyramid (ang mga dulo ng segment na ito ay ang tuktok ng pyramid at ang base ng perpendicular).

Ang pyramid ay tinatawag tama, kung ang base ng pyramid ay isang regular na polygon at ang vertex ng pyramid ay inaasahang nasa gitna nito.

Ang lahat ng lateral na mukha ng isang regular na pyramid ay magkaparehong isosceles triangles. Sa isang regular na pyramid, lahat ng lateral edge ay magkapareho.

Ang taas ng lateral face ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex nito ay tinatawag apothem mga pyramid. Ang lahat ng apothems ng isang regular na pyramid ay kapareho.

Kung itinalaga natin ang gilid ng base bilang A, at ang apothem sa pamamagitan ng h, kung gayon ang lugar ng isang gilid na mukha ng pyramid ay 1/2 ah.

Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha ng pyramid ay tinatawag lateral surface area pyramid at itinalaga sa gilid ng S.

Dahil ang lateral surface ng isang regular na pyramid ay binubuo ng n magkatugma ang mga mukha, kung gayon

S gilid = 1/2 ahn= P h / 2 ,

kung saan ang P ay ang perimeter ng base ng pyramid. Kaya naman,

S gilid = P h / 2

i.e. Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem.

Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid ay kinakalkula ng formula

S = S ocn. + S gilid. .

Ang dami ng pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng lugar ng base nito S ocn. sa taas H:

V = 1 / 3 S pangunahing. N.

Ang derivation nito at ilang iba pang mga formula ay ibibigay sa isa sa mga susunod na kabanata.

Bumuo tayo ngayon ng isang pyramid sa ibang paraan. Hayaang magbigay ng polyhedral angle, halimbawa, pentahedral, na may vertex S (Fig.).

Gumuhit tayo ng eroplano R upang ito ay magsalubong sa lahat ng mga gilid ng isang naibigay na polyhedral na anggulo sa iba't ibang puntos A, B, C, D, E (fig.). Kung gayon ang SABCDE pyramid ay maaaring ituring bilang intersection ng isang polyhedral angle at isang kalahating espasyo na may hangganan R, kung saan matatagpuan ang vertex S.

Malinaw, ang bilang ng lahat ng mga mukha ng pyramid ay maaaring maging arbitrary, ngunit hindi bababa sa apat. Kapag ang isang trihedral na anggulo ay bumalandra sa isang eroplano, ang isang tatsulok na pyramid ay nakuha, na may apat na panig. Ang anumang triangular na pyramid ay tinatawag minsan tetrahedron, na nangangahulugang tetrahedron.

Pinutol na pyramid ay maaaring makuha kung ang pyramid ay intersected ng isang eroplanong parallel sa eroplano ng base.

Sa Fig. Ang isang imahe ng isang quadrangular truncated pyramid ay ibinigay.

Tinatawag din ang mga pinutol na pyramid tatsulok, quadrangular, n-gonal depende sa bilang ng mga gilid ng base. Mula sa pagtatayo ng isang pinutol na pyramid ay sumusunod na mayroon itong dalawang base: itaas at ibaba. Ang mga base ng isang pinutol na pyramid ay dalawang polygons, ang mga gilid nito ay magkapareho sa mga pares. Ang mga lateral na mukha ng pinutol na pyramid ay mga trapezoid.

taas ang pinutol na pyramid ay isang perpendikular na segment na iginuhit mula sa anumang punto ng itaas na base hanggang sa eroplano ng ibaba.

Regular na pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang section plane na parallel sa base. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pinutol na pyramid (trapezoid) ay tinatawag apothem.

Mapapatunayan na ang isang regular na pinutol na pyramid ay may magkaparehong mga gilid ng gilid, lahat ng lateral na mukha ay magkapareho, at lahat ng apothem ay magkatugma.

Kung nasa tamang pinutol n-coal pyramid sa pamamagitan ng A At b n ipahiwatig ang mga haba ng mga gilid ng itaas at mas mababang mga base, at sa pamamagitan ng h ay ang haba ng apothem, kung gayon ang lugar ng bawat panig na mukha ng pyramid ay katumbas ng

1 / 2 (A + b n) h

Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral na mukha ng pyramid ay tinatawag na lugar ng lateral surface nito at itinalagang S side. . Malinaw, para sa isang tamang pinutol n- pyramid ng karbon

S gilid = n 1 / 2 (A + b n) h.

kasi pa= P at nb n= P 1 - ang mga perimeter ng mga base ng pinutol na pyramid, pagkatapos

S gilid = 1 / 2 (P + P 1) h,

iyon ay, ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng kabuuan ng mga perimeter ng mga base nito at ang apothem.

Seksyon parallel sa base ng pyramid

Teorama. Kung ang pyramid ay intersected ng isang eroplanong parallel sa base, kung gayon:

1) ang mga tadyang sa gilid at taas ay hahatiin sa proporsyonal na mga bahagi;

2) sa cross-section makakakuha ka ng isang polygon na katulad ng base;

3) ang mga cross-sectional na lugar at base ay nauugnay bilang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa itaas.

Ito ay sapat na upang patunayan ang teorama para sa isang tatsulok na pyramid.

Dahil ang mga parallel na eroplano ay intersected ng isang ikatlong eroplano kasama ang mga parallel na linya, kung gayon (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (fig.).

Ang mga parallel na linya ay pinuputol ang mga gilid ng isang anggulo sa mga proporsyonal na bahagi, at samakatuwid

$$ \frac(\kaliwa|(SA)\kanan|)(\kaliwa|(SA_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SB)\kanan|)(\kaliwa|(SB_1)\kanan| )=\frac(\kaliwa|(SC)\kanan|)(\kaliwa|(SC_1)\kanan|) $$

Samakatuwid, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 at

$$ \frac(\kaliwa|(AB)\kanan|)(\kaliwa|(A_(1)B_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SB)\kanan|)(\kaliwa|(SB_1 )\kanan|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 at

$$ \frac(\kaliwa|(BC)\kanan|)(\kaliwa|(B_(1)C_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SB)\kanan|)(\kaliwa|(SB_1 )\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SC)\kanan|)(\kaliwa|(SC_1)\kanan|) $$

kaya,

$$ \frac(\kaliwa|(AB)\kanan|)(\kaliwa|(A_(1)B_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(BC)\kanan|)(\kaliwa|(B_ (1)C_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(AC)\kanan|)(\kaliwa|(A_(1)C_1)\kanan|) $$

Ang mga katumbas na anggulo ng mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ay magkatugma, tulad ng mga anggulo na may parallel at magkaparehong panig. kaya lang

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Ang mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay nauugnay bilang mga parisukat ng kaukulang panig:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\kaliwa|(AB)\kanan|^2)(\kaliwa|(A_(1)B_1)\kanan|^2 ) $$

$$ \frac(\kaliwa|(AB)\kanan|)(\kaliwa|(A_(1)B_1)\kanan|)=\frac(\kaliwa|(SH)\kanan|)(\kaliwa|(SH_1 )\kanan|) $$

Kaya naman,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\kaliwa|(SH)\kanan|^2)(\kaliwa|(SH_1)\kanan|^2) $$

Teorama. Kung ang dalawang pyramids na may pantay na taas ay pinutol sa parehong distansya mula sa itaas ng mga eroplano na kahanay sa mga base, kung gayon ang mga lugar ng mga seksyon ay proporsyonal sa mga lugar ng mga base.

Hayaang (Larawan 84) B at B 1 ang mga lugar ng mga base ng dalawang pyramids, H ang taas ng bawat isa sa kanila, b At b 1 - mga sectional na lugar sa pamamagitan ng mga eroplano na kahanay sa mga base at inalis mula sa mga vertices sa parehong distansya h.

Ayon sa nakaraang teorama magkakaroon tayo ng:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: at \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
saan
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: o \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Bunga. Kung B = B 1, kung gayon b = b 1, ibig sabihin. Kung ang dalawang pyramid na may pantay na taas ay may pantay na base, kung gayon ang mga seksyon na pantay na pagitan mula sa itaas ay pantay din.

Iba pang mga materyales

Hypothesis: naniniwala kami na ang pagiging perpekto ng hugis ng pyramid ay dahil sa mga batas sa matematika na likas sa hugis nito.

Target: Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng pyramid bilang isang geometric na katawan, ipaliwanag ang pagiging perpekto ng anyo nito.

Mga gawain:

1. Magbigay ng mathematical na kahulugan ng pyramid.

2. Pag-aralan ang pyramid bilang isang geometric na katawan.

3. Unawain kung anong kaalaman sa matematika ang isinama ng mga Egyptian sa kanilang mga pyramid.

Mga pribadong tanong:

1. Ano ang pyramid bilang isang geometric na katawan?

2. Paano maipaliliwanag ang kakaibang hugis ng pyramid sa matematikal na pananaw?

3. Ano ang nagpapaliwanag sa mga geometric wonders ng pyramid?

4. Ano ang nagpapaliwanag sa pagiging perpekto ng hugis ng pyramid?

Kahulugan ng isang pyramid.

PYRAMID (mula sa Greek pyramis, gen. pyramidos) - isang polyhedron na ang base ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na mayroong isang karaniwang vertex (pagguhit). Batay sa bilang ng mga base anggulo, ang mga pyramids ay inuri bilang tatsulok, quadrangular, atbp.

PYRAMID - isang monumental na gusali na may geometric na hugis mga pyramid (minsan ay nakahakbang din o hugis tore). Ang mga piramide ay ang pangalang ibinigay sa mga higanteng libingan ng mga sinaunang pharaoh ng Egypt noong ika-3-2nd milenyo BC. e., pati na rin ang mga sinaunang American temple pedestal (sa Mexico, Guatemala, Honduras, Peru), na nauugnay sa mga kultong kosmolohiya.

Posible yun salitang Griyego Ang "Pyramid" ay nagmula sa Egyptian expression na per-em-us, ibig sabihin, mula sa isang termino na nangangahulugang ang taas ng pyramid. Ang namumukod-tanging Russian Egyptologist na si V. Struve ay naniniwala na ang Greek na “puram...j” ay nagmula sa sinaunang Egyptian na “p"-mr”.

Mula sa kasaysayan. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng materyal sa aklat-aralin na "Geometry" ng mga may-akda ng Atanasyan. Butuzov at iba pa, nalaman namin na: Ang isang polyhedron na binubuo ng isang n-gon A1A2A3 ... An at n triangles PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 ay tinatawag na pyramid. Ang polygon A1A2A3...An ay ang base ng pyramid, at ang mga tatsulok na PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 ay ang mga gilid na mukha ng pyramid, P ang tuktok ng pyramid, ang mga segment na PA1, PA2,.. ., PAn ang mga gilid na gilid.

Gayunpaman, ang kahulugan na ito ng isang pyramid ay hindi palaging umiiral. Halimbawa, ang sinaunang Greek mathematician, ang may-akda ng mga teoretikal na treatise sa matematika na dumating sa atin, si Euclid, ay tinukoy ang isang pyramid bilang isang solidong pigura na napapaligiran ng mga eroplano na nagtatagpo mula sa isang eroplano hanggang sa isang punto.

Ngunit ang kahulugang ito ay pinuna na noong sinaunang panahon. Kaya iminungkahi ni Heron ang sumusunod na kahulugan ng isang pyramid: "Ito ay isang pigura na may hangganan ng mga tatsulok na nagtatagpo sa isang punto at ang base nito ay isang polygon."

Ang aming grupo, na inihambing ang mga kahulugan na ito, ay dumating sa konklusyon na wala silang malinaw na pagbabalangkas ng konsepto ng "pundasyon".

Sinuri namin ang mga kahulugang ito at natagpuan ang kahulugan ni Adrien Marie Legendre, na noong 1794 sa kanyang akdang “Elements of Geometry” ay tinukoy ang isang pyramid tulad ng sumusunod: “Ang pyramid ay isang solidong pigura na nabuo ng mga tatsulok na nagtatagpo sa isang punto at nagtatapos sa magkaibang panig ng isang patag na base."

Tila sa amin na ang huling kahulugan ay nagbibigay ng isang malinaw na ideya ng pyramid, dahil ito pinag-uusapan natin na ang base ay patag. Ang isa pang kahulugan ng isang pyramid ay lumitaw sa isang 19th-century textbook: "Ang isang pyramid ay isang solidong anggulo na intersected ng isang eroplano."

Pyramid bilang isang geometric na katawan.

yun. Ang isang pyramid ay isang polyhedron, ang isa sa mga mukha (base) ay isang polygon, ang natitirang mga mukha (mga gilid) ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex (ang tuktok ng pyramid).

Ang patayo na iginuhit mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base ay tinatawag taash mga pyramid.

Bilang karagdagan sa arbitrary pyramid, mayroong tamang pyramid sa base nito ay isang regular na polygon at pinutol na pyramid.

Sa figure mayroong isang pyramid PABCD, ABCD ang base nito, PO ang taas nito.

Kabuuang lugar sa ibabaw ng isang pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito.

Sfull = Sside + Smain, saan Gilid– ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha.

Dami ng pyramid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

V=1/3Sbas. h, kung saan ang Sbas. - base area, h- taas.

Ang axis ng isang regular na pyramid ay ang tuwid na linya na naglalaman ng taas nito.
Ang Apothem ST ay ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid.

Ang lugar ng lateral na mukha ng isang regular na pyramid ay ipinahayag tulad ng sumusunod: Sside. =1/2P h, kung saan ang P ay ang perimeter ng base, h- taas ng gilid ng mukha (apothem ng isang regular na pyramid). Kung ang pyramid ay intersected ng eroplanong A'B'C'D', parallel sa base, kung gayon:

1) ang mga tadyang sa gilid at taas ay hinati ng eroplanong ito sa mga proporsyonal na bahagi;

2) sa cross-section isang polygon A'B'C'D' ay nakuha, katulad ng base;

DIV_ADBLOCK914">

Ang isang regular na triangular pyramid ay tinatawag tetrahedron .

Pinutol na pyramid ay nakuha sa pamamagitan ng pagputol sa itaas na bahagi nito mula sa pyramid na may isang eroplanong parallel sa base (figure ABCDD’C’B’A’).

Mga base ng isang pinutol na pyramid– magkatulad na polygon ABCD at A`B`C`D`, ang mga gilid na mukha ay trapezoid.

taas pinutol na pyramid - ang distansya sa pagitan ng mga base.

Pinutol na dami Ang pyramid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Ang lateral surface area ng isang regular na pinutol na pyramid ay ipinahayag bilang mga sumusunod: Sside = ½(P+P') h, kung saan ang P at P’ ay ang mga perimeter ng mga base, h- taas ng gilid na mukha (apothem ng isang regular na pinutol na pirami

Mga seksyon ng isang pyramid.

Ang mga seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng mga eroplano na dumadaan sa tuktok nito ay mga tatsulok.

Ang isang seksyon na dumadaan sa dalawang di-katabing gilid na gilid ng isang pyramid ay tinatawag diagonal na seksyon.

Kung ang seksyon ay dumaan sa isang punto sa gilid na gilid at sa gilid ng base, kung gayon ang bakas nito sa eroplano ng base ng pyramid ay magiging bahaging ito.

Ang isang seksyon na dumadaan sa isang punto na nakahiga sa mukha ng pyramid at isang ibinigay na seksyon na bakas sa base plane, kung gayon ang pagtatayo ay dapat isagawa tulad ng sumusunod:

· hanapin ang punto ng intersection ng eroplano ng isang ibinigay na mukha at ang bakas ng seksyon ng pyramid at italaga ito;

· bumuo ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto at ang resultang intersection point;

· ulitin ang mga hakbang na ito para sa susunod na mga mukha.

, na tumutugma sa ratio ng mga binti ng isang tamang tatsulok na 4:3. Ang ratio na ito ng mga binti ay tumutugma sa kilalang right triangle na may mga gilid na 3:4:5, na tinatawag na "perpekto", "sagrado" o "Egyptian" na tatsulok. Ayon sa mga istoryador, ang "Egyptian" triangle ay binigyan ng mahiwagang kahulugan. Isinulat ni Plutarch na inihambing ng mga Ehipsiyo ang kalikasan ng sansinukob sa isang "sagradong" tatsulok; simbolikong inihalintulad nila ang patayong binti sa asawa, ang base sa asawa, at ang hypotenuse sa ipinanganak mula sa dalawa.

Para sa isang tatsulok na 3:4:5, ang pagkakapantay-pantay ay totoo: 32 + 42 = 52, na nagpapahayag ng Pythagorean theorem. Hindi ba ang theorem na ito ang gustong ipagpatuloy ng mga pari ng Egypt nang magtayo sila ng isang piramide batay sa tatsulok 3:4:5? Ang hirap maghanap pa magandang halimbawa upang ilarawan ang Pythagorean theorem, na kilala ng mga Ehipsiyo bago pa ito natuklasan ni Pythagoras.

Kaya, ang mga makikinang na tagalikha Egyptian pyramids hinahangad na humanga ang malalayong mga inapo sa lalim ng kanilang kaalaman, at nakamit nila ito sa pamamagitan ng pagpili sa "ginintuang" tamang tatsulok bilang "pangunahing geometriko na ideya" para sa Cheops pyramid, at ang "sagrado" o "Egyptian" na tatsulok para sa Khafre pyramid .

Kadalasan sa kanilang pananaliksik, ginagamit ng mga siyentipiko ang mga katangian ng mga pyramids na may mga proporsyon ng Golden Ratio.

Sa matematika encyclopedic na diksyunaryo Ang sumusunod na kahulugan ng Golden Section ay ibinigay - ito ay isang harmonic division, dibisyon sa sukdulan at average na ratio - hinahati ang segment AB sa dalawang bahagi sa paraan na ang mas malaking bahagi nito AC ay ang average na proporsyonal sa pagitan ng buong segment AB at nito mas maliit na bahagi NE.

Algebraic determination ng Golden section ng isang segment AB = a bumababa sa paglutas ng equation a: x = x: (a – x), kung saan ang x ay humigit-kumulang katumbas ng 0.62a. Ang ratio x ay maaaring ipahayag bilang mga fraction na 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0.618, kung saan ang 2, 3, 5, 8, 13, 21 ay mga numero ng Fibonacci.

Ang geometric na konstruksyon ng Golden Section ng segment AB ay isinasagawa tulad ng sumusunod: sa punto B, ang isang patayo sa AB ay naibalik, ang segment BE = 1/2 AB ay inilatag dito, A at E ay konektado, DE = Ang BE ay tinanggal at, sa wakas, AC = AD, pagkatapos ay nasiyahan ang pagkakapantay-pantay na AB: CB = 2:3.

Golden ratio kadalasang ginagamit sa mga gawa ng sining, arkitektura, at matatagpuan sa kalikasan. Ang mga matingkad na halimbawa ay ang eskultura ni Apollo Belvedere at ng Parthenon. Sa panahon ng pagtatayo ng Parthenon, ginamit ang ratio ng taas ng gusali sa haba nito at ang ratio na ito ay 0.618. Nagbibigay din ang mga bagay sa paligid natin ng mga halimbawa ng Golden Ratio, halimbawa, ang mga binding ng maraming aklat ay may lapad-sa-haba na ratio na malapit sa 0.618. Isinasaalang-alang ang pagkakaayos ng mga dahon sa karaniwang tangkay ng mga halaman, mapapansin mo na sa pagitan ng bawat dalawang pares ng mga dahon ang ikatlo ay matatagpuan sa Golden Ratio (mga slide). Ang bawat isa sa atin ay "nagdadala" ng Golden Ratio sa amin "sa aming mga kamay" - ito ang ratio ng mga phalanges ng mga daliri.

Dahil sa pagtuklas ng ilang mathematical papyri, may natutunan ang mga Egyptologist tungkol sa sinaunang Egyptian system ng pagkalkula at pagsukat. Ang mga gawaing nakapaloob sa mga ito ay nalutas ng mga eskriba. Ang isa sa pinakatanyag ay ang Rhind Mathematical Papyrus. Sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga problemang ito, natutunan ng mga Egyptologist kung paano hinarap ng mga sinaunang Egyptian ang iba't ibang dami na lumitaw kapag kinakalkula ang mga sukat ng timbang, haba, at volume, na kadalasang may kinalaman sa mga fraction, gayundin kung paano nila pinangangasiwaan ang mga anggulo.

Ang mga sinaunang Egyptian ay gumamit ng isang paraan ng pagkalkula ng mga anggulo batay sa ratio ng taas sa base ng isang tamang tatsulok. Nagpahayag sila ng anumang anggulo sa wika ng isang gradient. Ang slope gradient ay ipinahayag bilang isang whole number ratio na tinatawag na "seced". Sa Mathematics in the Age of the Pharaohs, ipinaliwanag ni Richard Pillins: “Ang seked ng isang regular na piramide ay ang pagkahilig ng alinman sa apat na tatsulok na mukha sa eroplano ng base, na sinusukat ng ika-n na bilang ng mga horizontal unit bawat vertical unit ng pagtaas . Kaya, ang yunit ng pagsukat na ito ay katumbas ng ating modernong cotangent ng anggulo ng pagkahilig. Samakatuwid, ang salitang Egyptian na "seced" ay nauugnay sa ating modernong salita"gradient"".

Ang numerical key sa mga pyramids ay nakasalalay sa ratio ng kanilang taas sa base. Sa praktikal na mga termino, ito ang pinakamadaling paraan upang gawin ang mga template na kinakailangan upang patuloy na suriin ang tamang anggulo ng pagkahilig sa buong pagtatayo ng pyramid.

Ang mga Egyptologist ay magiging masaya na kumbinsihin tayo na ang bawat pharaoh ay naghahangad na ipahayag ang kanyang sariling katangian, kaya ang mga pagkakaiba sa mga anggulo ng pagkahilig para sa bawat pyramid. Ngunit maaaring may isa pang dahilan. Marahil ay nais nilang lahat na magsama ng iba't ibang simbolikong asosasyon, na nakatago sa iba't ibang sukat. Gayunpaman, ang anggulo ng pyramid ni Khafre (batay sa tatsulok (3:4:5) ay lumilitaw sa tatlong problemang ipinakita ng mga pyramid sa Rhind Mathematical Papyrus). Kaya ang saloobing ito ay kilala ng mga sinaunang Egyptian.

Upang maging patas sa mga Egyptologist na nagsasabing hindi alam ng mga sinaunang Egyptian ang 3:4:5 triangle, ang haba ng hypotenuse 5 ay hindi kailanman binanggit. Pero mga problema sa matematika ang mga tanong tungkol sa mga pyramid ay palaging napagpasyahan batay sa pangalawang anggulo - ang ratio ng taas sa base. Dahil ang haba ng hypotenuse ay hindi kailanman nabanggit, napagpasyahan na ang mga Egyptian ay hindi kailanman kinakalkula ang haba ng ikatlong panig.

Ang mga ratio ng taas-sa-base na ginamit sa mga piramide ng Giza ay walang alinlangan na kilala ng mga sinaunang Egyptian. Posible na ang mga ugnayang ito para sa bawat pyramid ay pinili nang arbitraryo. Gayunpaman, ito ay sumasalungat sa kahalagahan na nakalakip sa simbolismo ng numero sa lahat ng uri ng Egyptian sining biswal. Malamang na makabuluhan ang gayong mga relasyon dahil nagpahayag sila ng tiyak mga ideya sa relihiyon. Sa madaling salita, ang buong Giza complex ay isinailalim sa isang magkakaugnay na disenyo na idinisenyo upang ipakita ang isang tiyak na banal na tema. Ito ay magpapaliwanag kung bakit ang mga taga-disenyo ay pumili ng iba't ibang mga anggulo para sa tatlong pyramids.

Sa The Mystery of Orion, ipinakita nina Bauval at Gilbert ang nakakumbinsi na ebidensya na nag-uugnay sa mga piramide ng Giza sa konstelasyon na Orion, partikular sa mga bituin ng Orion's Belt Ang parehong konstelasyon ay naroroon sa mito nina Isis at Osiris, at may dahilan upang tingnan bawat pyramid bilang representasyon ng isa sa tatlong pangunahing diyos - Osiris, Isis at Horus.

MGA HIMALA "GEOMETRICAL".

Kabilang sa mga engrandeng pyramid ng Egypt espesyal na lugar tumatagal Great Pyramid of Pharaoh Cheops (Khufu). Bago natin simulan ang pagsusuri sa hugis at sukat ng Cheops pyramid, dapat nating tandaan kung anong sistema ng mga sukat ang ginamit ng mga Egyptian. Ang mga Ehipsiyo ay may tatlong yunit ng haba: isang "kubit" (466 mm), na katumbas ng pitong "palad" (66.5 mm), na, naman, ay katumbas ng apat na "daliri" (16.6 mm).

Suriin natin ang mga sukat ng Cheops pyramid (Larawan 2), kasunod ng mga argumento na ibinigay sa kahanga-hangang aklat ng siyentipikong Ukrainiano na si Nikolai Vasyutinsky "The Golden Proportion" (1990).

Karamihan sa mga mananaliksik ay sumasang-ayon na ang haba ng gilid ng base ng pyramid, halimbawa, GF katumbas ng L= 233.16 m Ang halagang ito ay halos eksaktong katumbas ng 500 "elbows". Ang ganap na pagsunod sa 500 "elbows" ay magaganap kung ang haba ng "elbow" ay itinuturing na katumbas ng 0.4663 m.

Taas ng pyramid ( H) ay tinatantya ng mga mananaliksik sa iba't ibang paraan mula 146.6 hanggang 148.2 m At depende sa tinatanggap na taas ng pyramid, nagbabago ang lahat ng mga relasyon ng mga elementong geometriko nito. Ano ang dahilan ng mga pagkakaiba sa mga pagtatantya ng taas ng pyramid? Ang katotohanan ay, mahigpit na nagsasalita, ang Cheops pyramid ay pinutol. Ang itaas na plataporma nito ngayon ay may sukat na humigit-kumulang 10 ´ 10 m, ngunit isang siglo na ang nakalipas ito ay 6 ´ 6 m Malinaw, ang tuktok ng pyramid ay nalansag, at hindi ito tumutugma sa orihinal.

Kapag tinatasa ang taas ng pyramid, kinakailangang isaalang-alang ang gayong pisikal na kadahilanan bilang "draft" ng istraktura. Sa likod matagal na panahon sa ilalim ng impluwensya ng napakalaking presyon (na umabot sa 500 tonelada bawat 1 m2 ng mas mababang ibabaw), ang taas ng pyramid ay nabawasan kumpara sa orihinal na taas nito.

Ano ang orihinal na taas ng pyramid? Ang taas na ito ay maaaring muling likhain sa pamamagitan ng paghahanap ng pangunahing "geometric na ideya" ng pyramid.

Figure 2.

Noong 1837, sinukat ng English Colonel G. Wise ang anggulo ng pagkahilig ng mga mukha ng pyramid: ito ay naging pantay. a= 51°51". Ang halagang ito ay kinikilala pa rin ng karamihan sa mga mananaliksik ngayon. Ang tinukoy na halaga ng anggulo ay tumutugma sa tangent (tg a), katumbas ng 1.27306. Ang halagang ito ay tumutugma sa ratio ng taas ng pyramid AC sa kalahati ng base nito C.B.(Fig.2), iyon ay A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

At narito ang mga mananaliksik para sa isang malaking sorpresa!.png" width="25" height="24">= 1.272. Paghahambing ng halagang ito sa halaga ng tg a= 1.27306, nakikita namin na ang mga halagang ito ay napakalapit sa isa't isa. Kung kukunin natin ang anggulo a= 51°50", ibig sabihin, bawasan ito ng isang arc minuto lang, pagkatapos ay ang halaga a ay magiging katumbas ng 1.272, ibig sabihin, ito ay magkakasabay sa halaga. Dapat pansinin na noong 1840 inulit ni G. Wise ang kanyang mga sukat at nilinaw na ang halaga ng anggulo a=51°50".

Ang mga sukat na ito ay humantong sa mga mananaliksik sa sumusunod na napaka-kagiliw-giliw na hypothesis: ang tatsulok na ACB ng Cheops pyramid ay batay sa ugnayang AC / C.B. = = 1,272!

Isaalang-alang ngayon ang tamang tatsulok ABC, kung saan ang ratio ng mga binti A.C. / C.B.= (Larawan 2). Kung ngayon ang haba ng mga gilid ng parihaba ABC italaga sa pamamagitan ng x, y, z, at isinasaalang-alang din na ang ratio y/x= , pagkatapos ay alinsunod sa Pythagorean theorem, ang haba z maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Kung tatanggapin natin x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Larawan 3."Golden" kanang tatsulok.

Isang kanang tatsulok kung saan ang mga gilid ay magkakaugnay bilang t:golden" kanang tatsulok.

Pagkatapos, kung gagawin nating batayan ang hypothesis na ang pangunahing "ideya ng geometriko" ng Cheops pyramid ay isang "ginintuang" kanang tatsulok, kung gayon mula dito madali nating makalkula ang "disenyo" na taas ng Cheops pyramid. Ito ay katumbas ng:

H = (L/2) ´ = 148.28 m.

Kumuha tayo ngayon ng ilang iba pang mga relasyon para sa Cheops pyramid, na sumusunod mula sa "ginintuang" hypothesis. Sa partikular, makikita natin ang ratio ng panlabas na lugar ng pyramid sa lugar ng base nito. Upang gawin ito, kinukuha namin ang haba ng binti C.B. bawat yunit, iyon ay: C.B.= 1. Ngunit pagkatapos ay ang haba ng gilid ng base ng pyramid GF= 2, at ang lugar ng base EFGH magiging pantay SEFGH = 4.

Kalkulahin natin ngayon ang lugar ng gilid na mukha ng Cheops pyramid SD. Ang taas kasi AB tatsulok AEF katumbas ng t, kung gayon ang lugar ng gilid ng mukha ay magiging katumbas ng SD = t. Kung gayon ang kabuuang lugar ng lahat ng apat na lateral na mukha ng pyramid ay magiging katumbas ng 4 t, at ang ratio ng kabuuang panlabas na lugar ng pyramid sa lugar ng base ay magiging katumbas ng gintong ratio! Iyon na iyon - ang pangunahing geometric na misteryo ng Cheops pyramid!

Sa grupo" mga geometric na kababalaghan"Ang mga pyramids ng Cheops ay maaaring maiugnay sa mga tunay at malayong pag-aari ng relasyon sa pagitan iba't ibang sukat sa pyramid.

Bilang isang patakaran, ang mga ito ay nakuha sa paghahanap ng ilang mga "constant", sa partikular, ang bilang na "pi" (numero ni Ludolfo), katumbas ng 3.14159...; ang base ng natural logarithms "e" (Neperovo number), katumbas ng 2.71828...; ang numerong "F", ang bilang ng "gintong seksyon", katumbas ng, halimbawa, 0.618... atbp.

Maaari mong pangalanan, halimbawa: 1) Property of Herodotus: (Height)2 = 0.5 art. basic x Apothem; 2) Ari-arian ng V. Presyo: Taas: 0.5 art. base = Square root ng "F"; 3) Ari-arian ng M. Eist: Perimeter ng base: 2 Taas = "Pi"; sa ibang interpretasyon - 2 tbsp. basic : Taas = "Pi"; 4) Property of G. Edge: Radius ng inscribed na bilog: 0.5 art. basic = "F"; 5) Property of K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art . pangunahing X Apothem) + (v. pangunahing)2). atbp. Maaari kang makabuo ng maraming ganoong pag-aari, lalo na kung ikinonekta mo ang dalawang magkatabing pyramids. Halimbawa, bilang "Properties of A. Arefyev" maaari itong banggitin na ang pagkakaiba sa mga volume ng pyramid ng Cheops at ang pyramid ng Khafre ay katumbas ng dalawang beses ang dami ng pyramid ng Mikerin...

marami kawili-wiling mga probisyon, sa partikular, ang pagtatayo ng mga pyramid ayon sa "gintong ratio" ay inilarawan sa mga aklat ng D. Hambidge " Dynamic na simetrya sa arkitektura" at M. Ghik "Aesthetics ng proporsyon sa kalikasan at sining." Alalahanin natin na ang "gintong ratio" ay ang paghahati ng isang segment sa ganoong ratio kapag ang bahagi A ay mas maraming beses na mas malaki kaysa sa bahagi B, kung gaano karaming beses A ay mas maliit kaysa sa buong segment A + B Ang A/B ratio ay katumbas ng bilang na "F" == 1.618... Ito ay nagpapahiwatig ng paggamit ng "gintong ratio" hindi lamang sa mga indibidwal na pyramids, ngunit sa buong pyramid complex sa Giza.

Ang pinaka-curious na bagay, gayunpaman, ay ang isa at ang parehong Cheops pyramid ay "hindi" maaaring maglaman ng napakaraming magagandang katangian. Ang pagkuha ng isang tiyak na pag-aari nang paisa-isa, maaari itong "kabit", ngunit lahat ng mga ito ay hindi magkasya nang sabay-sabay - hindi sila nag-tutugma, nagkakasalungatan sila sa isa't isa. Samakatuwid, kung, halimbawa, kapag sinusuri ang lahat ng mga pag-aari, una naming kinuha ang parehong bahagi ng base ng pyramid (233 m), kung gayon ang taas ng mga pyramid na may iba't ibang mga katangian ay magkakaiba din. Sa madaling salita, mayroong isang tiyak na "pamilya" ng mga pyramids na panlabas na katulad ng Cheops, ngunit may iba't ibang mga katangian. Tandaan na walang partikular na mapaghimala sa mga "geometric" na mga katangian - marami ang lumitaw nang awtomatiko, mula sa mga katangian ng figure mismo. Ang isang "himala" ay dapat lamang ituring na isang bagay na malinaw na imposible para sa mga sinaunang Egyptian. Ito, sa partikular, ay kinabibilangan ng "kosmiko" na mga himala, kung saan ang mga sukat ng Cheops pyramid o ang pyramid complex sa Giza ay inihambing sa ilang astronomical na mga sukat at "kahit" na mga numero ay ipinahiwatig: isang milyong beses na mas kaunti, isang bilyong beses na mas kaunti, at iba pa. Isaalang-alang natin ang ilang "kosmikong" relasyon.

Ang isa sa mga pahayag ay: "kung hahatiin mo ang gilid ng base ng pyramid sa eksaktong haba ng taon, makakakuha ka ng eksaktong 10 milyon ng axis ng mundo." Kalkulahin: hatiin ang 233 sa 365, makakakuha tayo ng 0.638. Ang radius ng Earth ay 6378 km.

Ang isa pang pahayag ay talagang kabaligtaran ng nauna. Itinuro ni F. Noetling na kung gagamitin mo ang "Egyptian cubit" na siya mismo ang nag-imbento, kung gayon ang gilid ng pyramid ay tumutugma sa "pinakatumpak na tagal solar na taon, ipinahayag sa pinakamalapit na bilyon ng isang araw" - 365.540.903.777.

Ang pahayag ni P. Smith: "Ang taas ng pyramid ay eksaktong isang bilyon ng distansya mula sa Earth hanggang sa Araw." Bagaman ang taas na karaniwang kinukuha ay 146.6 m, kinuha ito ni Smith bilang 148.2 m Ayon sa mga modernong sukat ng radar, ang semi-major axis ng orbit ng mundo ay 149,597,870 + 1.6 km. Ito ang average na distansya mula sa Earth hanggang sa Araw, ngunit sa perihelion ito ay 5,000,000 kilometro na mas mababa kaysa sa aphelion.

Isang huling kawili-wiling pahayag:

"Paano natin maipapaliwanag na ang masa ng mga pyramids ng Cheops, Khafre at Mykerinus ay nauugnay sa isa't isa, tulad ng masa ng mga planetang Earth, Venus, Mars?" Magkalkula tayo. Ang masa ng tatlong pyramids ay: Khafre - 0.835; Cheops - 1,000; Mikerin - 0.0915. Ang mga ratios ng masa ng tatlong planeta: Venus - 0.815; Lupa - 1,000; Mars - 0.108.

Kaya, sa kabila ng pag-aalinlangan, napansin namin ang kilalang pagkakaisa ng pagtatayo ng mga pahayag: 1) ang taas ng pyramid, tulad ng isang linya na "pumupunta sa kalawakan", ay tumutugma sa distansya mula sa Earth hanggang sa Araw; 2) ang gilid ng base ng pyramid, na pinakamalapit "sa substrate," iyon ay, sa Earth, ay responsable para sa radius ng lupa at sirkulasyon ng lupa; 3) ang mga volume ng pyramid (read - masa) ay tumutugma sa ratio ng masa ng mga planeta na pinakamalapit sa Earth. Ang isang katulad na "cipher" ay maaaring masubaybayan, halimbawa, sa dila ng bubuyog, sinuri ni Karl von Frisch. Gayunpaman, hindi muna kami magkomento sa bagay na ito sa ngayon.

HUGYONG PYRAMID

Ang sikat na tetrahedral na hugis ng mga pyramid ay hindi agad lumitaw. Ang mga Scythian ay gumawa ng mga libing sa anyo ng mga burol na lupa - mga burol. Ang mga Egyptian ay nagtayo ng "mga burol" ng bato - mga piramide. Ito ay unang nangyari pagkatapos ng pag-iisa ng Upper at Lower Egypt, noong ika-28 siglo BC, nang ang tagapagtatag ng Ikatlong Dinastiya, si Pharaoh Djoser (Zoser), ay nahaharap sa gawain ng pagpapalakas ng pagkakaisa ng bansa.

At dito, ayon sa mga istoryador, " bagong konsepto"deification" ng hari Kahit na ang mga maharlikang libing ay nakikilala sa pamamagitan ng higit na karilagan, sila, sa prinsipyo, ay hindi naiiba sa mga libingan ng mga maharlika sa korte, ang mga ito ay ang parehong mga istraktura - sa itaas ng silid na may sarcophagus na naglalaman ng momya , isang hugis-parihaba na bunton ng maliliit na bato ay ibinuhos, kung saan inilagay ang isang maliit na gusali na gawa sa malalaking bloke ng bato - "mastaba" (sa Arabic - "bench"). Itinayo ang unang pyramid at ito ay isang nakikitang yugto ng paglipat mula sa isang anyo ng arkitektura mula sa mastaba hanggang sa piramide.

Sa ganitong paraan, ang sage at arkitekto na si Imhotep, na kalaunan ay itinuturing na isang wizard at kinilala ng mga Griyego na may diyos na si Asclepius, ay "itinaas" ang pharaoh. Parang anim na mastaba ang sunod-sunod na itinayo. Bukod dito, ang unang pyramid ay sinakop ang isang lugar na 1125 x 115 metro, na may tinatayang taas na 66 metro (ayon sa mga pamantayan ng Egypt - 1000 "palad"). Noong una, binalak ng arkitekto na magtayo ng isang mastaba, ngunit hindi pahaba, ngunit parisukat sa plano. Nang maglaon ay pinalawak ito, ngunit dahil ang extension ay ginawang mas mababa, tila may dalawang hakbang.

Ang sitwasyong ito ay hindi nasiyahan sa arkitekto, at sa itaas na plataporma ng malaking patag na mastaba, inilagay ni Imhotep ang tatlo pa, unti-unting bumababa patungo sa itaas. Ang libingan ay matatagpuan sa ilalim ng pyramid.

Marami pang mga step pyramids ang kilala, ngunit kalaunan ay lumipat ang mga tagabuo sa pagbuo ng tetrahedral pyramids na mas pamilyar sa atin. Bakit, gayunpaman, hindi tatsulok o, sabihin nating, may walong sulok? Ang isang hindi direktang sagot ay ibinibigay sa pamamagitan ng katotohanan na halos lahat ng mga pyramid ay perpektong nakatuon sa apat na kardinal na direksyon, at samakatuwid ay may apat na panig. Bilang karagdagan, ang pyramid ay isang "bahay", ang shell ng isang quadrangular burial chamber.

Ngunit ano ang nagpasiya sa anggulo ng pagkahilig ng mga mukha? Sa aklat na "The Principle of Proportions" isang buong kabanata ang nakatuon dito: "Ano ang maaaring matukoy ang mga anggulo ng pagkahilig ng mga pyramids." Sa partikular, ipinahiwatig na "ang imahe kung saan ang mga dakilang pyramids ay nag-gravitate Sinaunang kaharian- isang tatsulok na may tamang anggulo sa vertex.

Sa espasyo ito ay isang semi-octahedron: isang pyramid kung saan ang mga gilid at gilid ng base ay pantay, ang mga gilid ay equilateral triangles." Ang ilang mga pagsasaalang-alang ay ibinibigay sa paksang ito sa mga aklat ni Hambidge, Gick at iba pa.

Ano ang bentahe ng semi-octahedron angle? Ayon sa mga paglalarawan ng mga arkeologo at istoryador, ang ilang mga piramide ay gumuho sa ilalim ng kanilang sariling timbang. Ang kailangan ay isang "anggulo ng mahabang buhay," isang anggulo na pinaka-masiglang maaasahan. Puro empirically, ang anggulong ito ay maaaring kunin mula sa vertex angle sa isang tumpok ng gumuguhong tuyong buhangin. Ngunit para makakuha ng tumpak na data, kailangan mong gumamit ng modelo. Ang pagkuha ng apat na matatag na nakapirming bola, kailangan mong maglagay ng ikalimang isa sa kanila at sukatin ang mga anggulo ng pagkahilig. Gayunpaman, maaari kang magkamali dito, kaya ang isang teoretikal na pagkalkula ay nakakatulong: dapat mong ikonekta ang mga sentro ng mga bola na may mga linya (sa isip). Ang base ay magiging isang parisukat na may gilid na katumbas ng dalawang beses ang radius. Ang parisukat ay magiging base lamang ng pyramid, ang haba ng mga gilid nito ay magiging katumbas din ng dalawang beses sa radius.

Kaya, ang isang malapit na pag-iimpake ng mga bola tulad ng 1:4 ay magbibigay sa amin ng isang regular na semi-octahedron.

Gayunpaman, bakit maraming mga pyramids, na gumagalaw patungo sa isang katulad na hugis, gayunpaman ay hindi nagpapanatili nito? Ang mga pyramid ay malamang na tumatanda. Taliwas sa sikat na kasabihan:

"Lahat ng bagay sa mundo ay natatakot sa oras, at ang oras ay natatakot sa mga piramide," ang mga gusali ng mga pyramids ay dapat tumanda, hindi lamang ang mga proseso ng panlabas na weathering ay maaaring at dapat mangyari sa kanila, kundi pati na rin ang mga proseso ng panloob na "pag-urong," kung saan maaaring bumaba ang mga pyramid. Posible rin ang pag-urong dahil, tulad ng ipinahayag ng gawain ni D. Davidovits, ginamit ng mga sinaunang Egyptian ang teknolohiya ng paggawa ng mga bloke mula sa lime chips, sa madaling salita, mula sa "konkreto". Ito ay tiyak na katulad na mga proseso na maaaring ipaliwanag ang dahilan ng pagkawasak ng Medum Pyramid, na matatagpuan 50 km sa timog ng Cairo. Ito ay 4600 taong gulang, ang mga sukat ng base ay 146 x 146 m, ang taas ay 118 m. "Bakit ito pumangit?" tanong ni V. Zamarovsky "Ang karaniwang mga sanggunian sa mga mapanirang epekto ng oras at ang "paggamit ng bato para sa iba pang mga gusali" ay hindi angkop dito.

Kung tutuusin, karamihan sa mga bloke nito at nakaharap na mga slab ay nanatili sa lugar hanggang sa araw na ito, mga guho sa paanan nito." Gaya ng makikita natin, maraming mga probisyon ang nagpapaisip sa atin na ang sikat na Pyramid of Cheops ay "natuyo." Sa anumang kaso, sa lahat ng mga sinaunang imahe ang mga pyramid ay itinuturo ...

Ang hugis ng mga pyramids ay maaari ding nabuo sa pamamagitan ng imitasyon: ilang mga natural na sample, "miracle perfection," sabi, ilang mga kristal sa anyo ng isang octahedron.

Ang mga katulad na kristal ay maaaring brilyante at gintong kristal. Katangian malaking bilang ng"nagpapatong" na mga karatula para sa mga konsepto tulad ng Pharaoh, Sun, Gold, Diamond. Kahit saan - marangal, maningning (makinang), mahusay, hindi nagkakamali, at iba pa. Ang pagkakatulad ay hindi sinasadya.

Ang solar kulto, gaya ng nalalaman, ay naging mahalagang bahagi ng relihiyon Sinaunang Ehipto. “Kahit paano natin isasalin ang pangalan ng pinakadakila sa mga piramide,” ang sabi ng isa sa modernong mga tulong- "Ang kalawakan ng Khufu" o "Ang kalawakan ng Khufu", nangangahulugan ito na ang hari ay ang araw." ang una sa mga hari ng Egypt na tinawag ang kanyang sarili na "anak ni Ra ", iyon ay, ang anak ng Araw. Ang Araw ng halos lahat ng mga tao ay sinasagisag ng "solar metal", ginto. "Isang malaking disk ng maliwanag na ginto" - ito ang tinawag ng mga Ehipsiyo sa ating daylight Ang mga Egyptian ay lubos na nakakaalam ng ginto, alam nila ang mga katutubong anyo nito, kung saan ang mga kristal ng ginto ay maaaring lumitaw sa anyo ng octahedra.

Ang “sun stone”—brilyante—ay kawili-wili rin dito bilang isang “sample ng mga anyo.” Ang pangalan ng brilyante ay eksaktong nagmula sa mundo ng Arab, "almas" - ang pinakamahirap, pinakamahirap, hindi masisira. Alam ng mga sinaunang Egyptian ang brilyante at ang mga katangian nito. Ayon sa ilang may-akda, gumamit pa sila ng mga bronze tube na may mga diamond cutter para sa pagbabarena.

Sa kasalukuyan ang pangunahing tagapagtustos ng mga diamante ay Timog Africa, ngunit ang Kanlurang Africa ay mayaman din sa mga diamante. Ang teritoryo ng Republika ng Mali ay tinatawag pa ngang "Lupang Diyamante". Samantala, sa teritoryo ng Mali nakatira ang Dogon, kung saan maraming inaasahan ang mga tagasuporta ng paleo-visit hypothesis (tingnan sa ibaba). Ang mga diamante ay hindi maaaring ang dahilan ng pakikipag-ugnayan ng mga sinaunang Egyptian sa rehiyong ito. Gayunpaman, sa isang paraan o iba pa, posible na tiyak na sa pamamagitan ng pagkopya ng mga octahedron ng brilyante at gintong kristal, ang mga sinaunang Ehipsiyo sa gayon ay ginawang diyos ang mga pharaoh, "hindi masisira" tulad ng brilyante at "makikinang" tulad ng ginto, ang mga anak ng Araw, na maihahambing lamang. sa pinakamagagandang likha ng kalikasan.

Konklusyon:

Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng pyramid bilang isang geometric na katawan, na naging pamilyar sa mga elemento at katangian nito, kami ay kumbinsido sa bisa ng opinyon tungkol sa kagandahan ng hugis ng pyramid.

Bilang resulta ng aming pananaliksik, kami ay dumating sa konklusyon na ang mga taga-Ehipto, na nakolekta ang pinakamahalagang kaalaman sa matematika, ay isinama ito sa isang pyramid. Samakatuwid, ang pyramid ay tunay na pinakaperpektong paglikha ng kalikasan at tao.

BIBLIOGRAPIYA

"Geometry: Textbook. para sa 7 – 9 na baitang. Pangkalahatang edukasyon institusyon\, atbp. - 9th ed. - M.: Education, 1999

Kasaysayan ng matematika sa paaralan, M: "Prosveshchenie", 1982.

Geometry 10-11 na grado, M: "Enlightenment", 2000

Peter Tompkins "Mga Lihim ng Great Pyramid of Cheops", M: "Tsentropoligraf", 2005.

Mga mapagkukunan ng Internet

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Ang triangular pyramid ay isang pyramid na may tatsulok sa base nito. Ang taas ng pyramid na ito ay ang perpendikular na ibinababa mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa base nito.

Paghahanap ng taas ng isang pyramid

Paano mahahanap ang taas ng isang pyramid? Napakasimple! Upang mahanap ang taas ng anumang triangular na pyramid, maaari mong gamitin ang volume formula: V = (1/3)Sh, kung saan ang S ay ang lugar ng base, V ang volume ng pyramid, h ang taas nito. Mula sa formula na ito, kunin ang formula ng taas: upang mahanap ang taas ng isang tatsulok na pyramid, kailangan mong i-multiply ang dami ng pyramid sa 3, at pagkatapos ay hatiin ang resultang halaga sa lugar ng base, ito ay magiging: h = (3V)/S. Dahil ang base ng isang triangular pyramid ay isang tatsulok, maaari mong gamitin ang formula upang kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok. Kung alam natin: ang lugar ng tatsulok S at ang gilid nito z, pagkatapos ay ayon sa formula ng lugar S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kung saan ang h ay ang taas ng pyramid, γ ay ang gilid ng tatsulok; ang anggulo sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at ang dalawang panig mismo, pagkatapos ay ginagamit ang sumusunod na formula: S = (1/2)γφsinQ, kung saan ang γ, φ ay ang mga gilid ng tatsulok, nakita namin ang lugar ng tatsulok. Ang halaga ng sine ng anggulo Q ay kailangang tingnan sa talahanayan ng mga sine, na magagamit sa Internet. Susunod, pinapalitan namin ang halaga ng lugar sa formula ng taas: h = (2S)/γ. Kung ang gawain ay nangangailangan ng pagkalkula ng taas ng isang tatsulok na pyramid, kung gayon ang dami ng pyramid ay kilala na.

Regular na triangular na pyramid

Hanapin ang taas ng isang regular na triangular na pyramid, iyon ay, isang pyramid kung saan ang lahat ng mga mukha ay equilateral triangles, alam ang laki ng gilid γ. Sa kasong ito, ang mga gilid ng pyramid ay ang mga gilid ng equilateral triangles. Ang taas ng isang regular na triangular na pyramid ay magiging: h = γ√(2/3), kung saan ang γ ay ang gilid ng equilateral triangle, h ay ang taas ng pyramid. Kung ang lugar ng base (S) ay hindi alam, at ang haba lamang ng gilid (γ) at ang dami (V) ng polyhedron ay ibinigay, kung gayon ang kinakailangang variable sa formula mula sa nakaraang hakbang ay dapat mapalitan sa pamamagitan ng katumbas nito, na ipinahayag sa mga tuntunin ng haba ng gilid. Ang lugar ng isang tatsulok (regular) ay katumbas ng 1/4 ng produkto ng haba ng gilid ng tatsulok na ito na naka-square ng square root ng 3. Pinapalitan namin ang formula na ito sa halip na ang lugar ng base sa nakaraang formula, at makuha natin ang sumusunod na formula: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Ang dami ng isang tetrahedron ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng haba ng gilid nito, pagkatapos ay mula sa formula para sa pagkalkula ng taas ng isang figure, maaari mong alisin ang lahat ng mga variable at iwanan lamang ang gilid ng tatsulok na mukha ng figure. Ang dami ng naturang pyramid ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng paghahati ng 12 mula sa produkto ang cubed na haba ng mukha nito sa square root ng 2.

Ang pagpapalit ng expression na ito sa nakaraang formula, makuha namin ang sumusunod na formula para sa pagkalkula: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Gayundin, ang isang regular na triangular na prisma ay maaaring isulat sa isang globo, at ang pag-alam lamang sa radius ng globo (R) ay mahahanap ng isa ang taas ng tetrahedron mismo. Ang haba ng gilid ng tetrahedron ay: γ = 4R/√6. Pinapalitan namin ang variable na γ ng expression na ito sa nakaraang formula at makuha ang formula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ang parehong formula ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-alam sa radius (R) ng isang bilog na nakasulat sa isang tetrahedron. Sa kasong ito, ang haba ng gilid ng tatsulok ay magiging katumbas ng 12 ratios sa pagitan ng square root ng 6 at ang radius. Pinapalitan namin ang expression na ito sa nakaraang formula at mayroon kaming: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Paano mahahanap ang taas ng isang regular na quadrangular pyramid

Upang masagot ang tanong kung paano hanapin ang haba ng taas ng isang pyramid, kailangan mong malaman kung ano ang isang regular na pyramid. Ang quadrangular pyramid ay isang pyramid na may quadrangle sa base nito. Kung sa mga kondisyon ng problema mayroon tayo: ang dami (V) at ang lugar ng base (S) ng pyramid, kung gayon ang pormula para sa pagkalkula ng taas ng polyhedron (h) ay ang mga sumusunod - hatiin ang volume na pinarami ng 3 sa lugar na S: h = (3V)/S. Dahil sa square base ng isang pyramid na may ibinigay na volume (V) at side length γ, palitan ang area (S) sa nakaraang formula ng square ng side length: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Ang taas ng isang regular na pyramid h = SO ay eksaktong dumadaan sa gitna ng bilog na nakapaligid malapit sa base. Dahil ang base ng pyramid na ito ay isang parisukat, ang point O ay ang intersection point ng mga diagonal AD at BC. Mayroon kaming: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Sunod, pasok na kami kanang tatsulok Nahanap namin ang SOC (gamit ang Pythagorean theorem): SO = √(SC 2 -OC 2). Ngayon alam mo na kung paano hanapin ang taas ng isang regular na pyramid.