(S) trapezoid, simulan ang pagkalkula ng taas (h) sa pamamagitan ng paghahanap ng kalahati ng kabuuan ng mga haba ng magkatulad na panig: (a+b)/2. Pagkatapos ay hatiin ang lugar sa resultang halaga - ang resulta ay ang nais na halaga: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Alam ang haba ng gitnang linya (m) at lugar (S), maaari mong gawing simple ang formula mula sa nakaraang hakbang. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang midline ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base nito, kaya upang kalkulahin ang taas (h) ng figure, hatiin lamang ang lugar sa haba ng midline: h = S/m.

Posibleng matukoy ang taas (h) ng naturang bagay kung ibibigay lamang ang haba ng isa sa mga gilid (c) at ang anggulo (α) na nabuo nito at ang mahabang base. Sa kasong ito, dapat isaalang-alang ng isa ang hugis na nabuo sa gilid na ito, ang taas at ang maikling segment ng base, na pinutol ng taas na ibinaba dito. Ang tatsulok na ito ay magiging right-angled, ang kilalang bahagi ay ang hypotenuse, at ang altitude ay ang binti. Ang ratio ng mga haba at hypotenuse ay katumbas ng anggulo sa tapat ng binti, kaya upang kalkulahin ang taas ng trapezoid, i-multiply ang kilalang haba ng gilid sa sine ng kilalang anggulo: h = с*sin(α).

Ang parehong tatsulok ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang kung ang haba ng gilid (c) at ang magnitude ng anggulo (β) sa pagitan nito at ng iba pang (maikling) base ay ibinigay. Sa kasong ito, ang anggulo sa pagitan ng gilid (hypotenuse) at ang taas (binti) ay magiging 90° mas mababa kaysa sa anggulo na kilala mula sa mga kundisyon: β-90°. Dahil ang ratio ng mga haba ng binti at hypotenuse ay katumbas ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, kalkulahin ang taas ng trapezoid sa pamamagitan ng pagpaparami ng cosine ng anggulo na nabawasan ng 90° ng haba ng gilid: h = с* cos(β-90°).

Kung ang isang bilog na may alam na radius (r) ay nakasulat, ang pagkalkula ng taas (h) ay magiging napakasimple at hindi mangangailangan ng anumang iba pang mga parameter. Ang nasabing bilog, sa pamamagitan ng kahulugan, ay dapat na may isang punto lamang sa bawat base nito, at ang mga puntong ito ay nasa parehong linya kasama ang gitna. Nangangahulugan ito na ang distansya sa pagitan ng mga ito ay magiging katumbas ng diameter (dalawang beses sa radius) na iginuhit patayo sa mga base, iyon ay, kasabay ng taas ng trapezoid: h=2*r.

Ang trapezoid ay isang may apat na gilid kung saan ang dalawang panig ay parallel at ang dalawa ay hindi. Ang taas ng isang trapezoid ay isang segment na iginuhit nang patayo sa pagitan ng dalawang parallel na linya. Depende sa pinagmulan ng data, maaari itong kalkulahin sa iba't ibang paraan.

Kakailanganin mong

• Kaalaman sa mga gilid, base, midline ng isang trapezoid, at gayundin, opsyonal, ang lugar at/o perimeter nito.

Mga tagubilin

Sabihin nating mayroong isang trapezoid na may parehong data tulad ng sa Figure 1. Gumuhit tayo ng 2 taas, makuha natin ang , na may 2 mas maliit na gilid sa pamamagitan ng mga binti ng mga right-angled triangles. Tukuyin natin ang mas maliit na rolyo bilang x. Siya ay nasa

Ang pagsasagawa ng Unified State Examination at State Examination noong nakaraang taon ay nagpapakita na ang mga problema sa geometry ay nagdudulot ng mga paghihirap para sa maraming mga mag-aaral. Madali mong makayanan ang mga ito kung kabisaduhin mo ang lahat ng kinakailangang mga formula at magsanay sa paglutas ng mga problema.

Sa artikulong ito makikita mo ang mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang trapezoid, pati na rin ang mga halimbawa ng mga problema sa mga solusyon. Maaari kang makakita ng mga kapareho sa KIM sa panahon ng mga pagsusulit sa sertipikasyon o sa Olympiads. Samakatuwid, tratuhin silang mabuti.

Ano ang kailangan mong malaman tungkol sa trapezoid?

Upang magsimula, tandaan natin iyon trapezoid ay tinatawag na quadrilateral kung saan ang dalawang magkasalungat na panig, na tinatawag ding mga base, ay parallel, at ang dalawa pa ay hindi.

Sa isang trapezoid, ang taas (patayo sa base) ay maaari ding ibaba. Ang gitnang linya ay iginuhit - ito ay isang tuwid na linya na parallel sa mga base at katumbas ng kalahati ng kanilang kabuuan. Pati na rin ang mga diagonal na maaaring mag-intersect, na bumubuo ng mga acute at obtuse na anggulo. O, sa ilang mga kaso, sa tamang anggulo. Bilang karagdagan, kung ang trapezoid ay isosceles, ang isang bilog ay maaaring nakasulat dito. At ilarawan ang isang bilog sa paligid nito.

Mga formula ng lugar ng trapezoid

Una, tingnan natin ang mga karaniwang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang trapezoid. Isasaalang-alang namin ang mga paraan upang makalkula ang lugar ng isosceles at curvilinear trapezoids sa ibaba.

Kaya, isipin na mayroon kang isang trapezoid na may mga base a at b, kung saan ang taas h ay ibinababa sa mas malaking base. Ang pagkalkula ng lugar ng isang figure sa kasong ito ay kasingdali ng paghihimay ng mga peras. Kailangan mo lamang na hatiin ang kabuuan ng mga haba ng mga base sa dalawa at i-multiply ang resulta sa taas: S = 1/2(a + b)*h.

Kumuha tayo ng isa pang kaso: ipagpalagay na sa isang trapezoid, bilang karagdagan sa taas, mayroong isang gitnang linya m. Alam namin ang formula para sa paghahanap ng haba ng gitnang linya: m = 1/2(a + b). Samakatuwid, marapat nating gawing simple ang formula para sa lugar ng isang trapezoid sa sumusunod na anyo: S = m*h. Sa madaling salita, upang mahanap ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong i-multiply ang gitnang linya sa taas.

Isaalang-alang natin ang isa pang pagpipilian: ang trapezoid ay naglalaman ng mga diagonal d 1 at d 2, na hindi nagsalubong sa tamang mga anggulo α. Upang makalkula ang lugar ng naturang trapezoid, kailangan mong hatiin ang produkto ng mga diagonal sa dalawa at i-multiply ang resulta sa kasalanan ng anggulo sa pagitan nila: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Ngayon isaalang-alang ang pormula para sa paghahanap ng lugar ng isang trapezoid kung walang nalalaman tungkol dito maliban sa mga haba ng lahat ng panig nito: a, b, c at d. Ito ay isang masalimuot at kumplikadong formula, ngunit ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa iyo na tandaan ito kung sakali: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Sa pamamagitan ng paraan, ang mga halimbawa sa itaas ay totoo din para sa kaso kapag kailangan mo ng formula para sa lugar ng isang hugis-parihaba na trapezoid. Ito ay isang trapezoid, ang gilid kung saan magkadugtong ang mga base sa isang tamang anggulo.

Isosceles trapezoid

Ang isang trapezoid na ang mga gilid ay pantay ay tinatawag na isosceles. Isasaalang-alang namin ang ilang mga pagpipilian para sa formula ng lugar isosceles trapezoid.

Unang pagpipilian: para sa kaso kapag ang isang bilog na may radius r ay nakasulat sa loob ng isang isosceles trapezoid, at ang gilid at mas malaking base ay bumubuo ng isang matinding anggulo α. Ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid sa kondisyon na ang kabuuan ng mga haba ng mga base nito ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid.

Ang lugar ng isang isosceles trapezoid ay kinakalkula tulad ng sumusunod: i-multiply ang parisukat ng radius ng inscribed na bilog sa pamamagitan ng apat at hatiin ang lahat ng ito sa sinα: S = 4r 2 /sinα. Ang isa pang formula ng lugar ay isang espesyal na kaso para sa opsyon kapag ang anggulo sa pagitan ng malaking base at gilid ay 30 0: S = 8r2.

Pangalawang pagpipilian: sa oras na ito kumuha kami ng isang isosceles trapezoid, kung saan bilang karagdagan ang mga diagonal d 1 at d 2 ay iginuhit, pati na rin ang taas h. Kung ang mga dayagonal ng isang trapezoid ay magkaparehong patayo, ang taas ay kalahati ng kabuuan ng mga base: h = 1/2(a + b). Alam ito, madaling baguhin ang formula para sa lugar ng isang trapezoid na pamilyar na sa iyo sa form na ito: S = h 2.

Formula para sa lugar ng isang hubog na trapezoid

Magsimula tayo sa pag-alam kung ano ang isang curved trapezoid. Isipin ang isang coordinate axis at isang graph ng tuluy-tuloy at hindi-negatibong function f na hindi nagbabago ng sign sa loob ng isang partikular na segment sa x-axis. Ang isang curvilinear trapezoid ay nabuo sa pamamagitan ng graph ng function na y = f(x) - sa itaas, ang x axis ay nasa ibaba (segment), at sa mga gilid - mga tuwid na linya na iginuhit sa pagitan ng mga puntos a at b at ang graph ng ang function.

Imposibleng kalkulahin ang lugar ng naturang hindi karaniwang figure gamit ang mga pamamaraan sa itaas. Dito kailangan mong mag-apply ng mathematical analysis at gamitin ang integral. Namely: ang Newton-Leibniz formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Sa formula na ito, ang F ay ang antiderivative ng aming function sa napiling segment. At ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay tumutugma sa pagtaas ng antiderivative sa isang partikular na segment.

Mga sample na problema

Upang gawing mas madaling maunawaan ang lahat ng mga formula na ito sa iyong ulo, narito ang ilang mga halimbawa ng mga problema para sa paghahanap ng lugar ng isang trapezoid. Pinakamainam kung susubukan mo munang lutasin ang mga problema sa iyong sarili, at pagkatapos lamang ihambing ang sagot na natanggap mo sa handa na solusyon.

Gawain 1: Binigyan ng trapezoid. Ang mas malaking base nito ay 11 cm, ang mas maliit ay 4 cm. Ang trapezoid ay may mga dayagonal, ang isa ay 12 cm ang haba, ang pangalawa ay 9 cm.

Solusyon: Bumuo ng trapezoid AMRS. Gumuhit ng isang tuwid na linya РХ sa pamamagitan ng vertex P upang ito ay parallel sa dayagonal MC at intersects ang tuwid na linya AC sa punto X. Makakakuha ka ng isang tatsulok APХ.

Isasaalang-alang namin ang dalawang figure na nakuha bilang resulta ng mga manipulasyong ito: tatsulok na APX at parallelogram CMRX.

Salamat sa paralelogram, nalaman namin na ang PX = MC = 12 cm at CX = MR = 4 cm. Mula sa kung saan maaari naming kalkulahin ang gilid AX ng tatsulok ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Mapapatunayan din natin na ang tatsulok na APX ay right-angled (upang gawin ito, ilapat ang Pythagorean theorem - AX 2 = AP 2 + PX 2). At kalkulahin ang lugar nito: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Susunod, kakailanganin mong patunayan na ang mga tatsulok na AMP at PCX ay pantay sa lugar. Ang magiging batayan ay ang pagkakapantay-pantay ng mga partidong MR at CX (napatunayan na sa itaas). At gayundin ang mga taas na ibababa mo sa mga panig na ito - katumbas sila ng taas ng AMRS trapezoid.

Ang lahat ng ito ay magbibigay-daan sa iyong sabihin na S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Gawain #2: Ang trapezoid KRMS ay ibinigay. Sa mga gilid nito ay may mga puntos na O at E, habang ang OE at KS ay parallel. Alam din na ang mga lugar ng trapezoids ORME at OKSE ay nasa ratio na 1:5. RM = a at KS = b. Kailangan mong hanapin ang OE.

Solusyon: Gumuhit ng isang linya na kahanay ng RK hanggang sa punto M, at italaga ang punto ng intersection nito sa OE bilang T. Ang A ay ang punto ng intersection ng isang linya na iginuhit sa punto E parallel sa RK na may base na KS.

Ipakilala natin ang isa pang notasyon - OE = x. At gayundin ang taas h 1 para sa tatsulok na TME at ang taas h 2 para sa tatsulok na AEC (maaari mong malayang patunayan ang pagkakatulad ng mga tatsulok na ito).

Ipagpalagay natin na b > a. Ang mga lugar ng mga trapezoid na ORME at OKSE ay nasa ratio na 1:5, na nagbibigay sa atin ng karapatang lumikha ng sumusunod na equation: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Mag-transform tayo at makakuha ng: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Dahil magkatulad ang mga tatsulok na TME at AEC, mayroon tayong h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Pagsamahin natin ang parehong mga entry at makuha ang: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Kaya, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Konklusyon

Ang geometry ay hindi ang pinakamadali sa mga agham, ngunit maaari mong tiyak na makayanan ang mga tanong sa pagsusulit. Ito ay sapat na upang ipakita ang kaunting tiyaga sa paghahanda. At, siyempre, tandaan ang lahat ng kinakailangang mga formula.

Sinubukan naming kolektahin ang lahat ng mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang trapezoid sa isang lugar upang magamit mo ang mga ito kapag naghahanda ka para sa mga pagsusulit at binago ang materyal.

Siguraduhing sabihin sa iyong mga kaklase at kaibigan ang tungkol sa artikulong ito. sa mga social network. Hayaang magkaroon ng mas mahusay na mga marka para sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri at Pagsusuri ng Estado!

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Sa simpleng tanong na "Paano mahahanap ang taas ng isang trapezoid?" Mayroong ilang mga sagot, lahat dahil iba't ibang mga panimulang halaga ang maaaring ibigay. Samakatuwid, ang mga formula ay magkakaiba.

Ang mga formula na ito ay maaaring kabisaduhin, ngunit ang mga ito ay hindi mahirap makuha. Kailangan mo lamang ilapat ang mga naunang natutunan na theorems.

Mga notasyong ginamit sa mga formula

Sa lahat ng mathematical notation sa ibaba, ang mga pagbasang ito ng mga titik ay tama.

Sa source data: lahat ng panig

Upang mahanap ang taas ng isang trapezoid sa pangkalahatang kaso, kakailanganin mong gamitin ang sumusunod na formula:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Numero 1.

Hindi ang pinakamaikling, ngunit medyo bihirang natagpuan din sa mga problema. Karaniwan maaari mong gamitin ang iba pang data.

Ang formula na magsasabi sa iyo kung paano hanapin ang taas ng isang isosceles trapezoid sa parehong sitwasyon ay mas maikli:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). Numero 2.

Ang problema ay nagbibigay ng: mga lateral na gilid at anggulo sa ibabang base

Ipinapalagay na ang anggulo α ay katabi ng gilid na may pagtatalagang "c", ayon sa pagkakabanggit, ang anggulo β ay sa gilid d. Pagkatapos ang formula para sa kung paano hanapin ang taas ng isang trapezoid ay nasa pangkalahatang anyo:

n = c * sin α = d * sin β. Numero 3.

Kung ang figure ay isosceles, maaari mong gamitin ang pagpipiliang ito:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Numero 4.

Kilala: mga dayagonal at anggulo sa pagitan nila

Karaniwan, ang mga data na ito ay sinamahan ng iba pang mga kilalang dami. Halimbawa, ang mga base o ang gitnang linya. Kung ang mga dahilan ay ibinigay, pagkatapos ay upang sagutin ang tanong kung paano hanapin ang taas ng isang trapezoid, ang sumusunod na pormula ay magiging kapaki-pakinabang:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) o n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​​​+ b). Numero 5.

Ito ay para pangkalahatang pananaw mga numero. Kung ang isang isosceles ay ibinigay, ang notasyon ay magbabago tulad nito:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) o n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​​​+ b). Numero 6.

Kapag nasa isang gawain pinag-uusapan natin tungkol sa midline ng isang trapezoid, kung gayon ang mga formula para sa paghahanap ng taas nito ay magiging:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m o n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Bilang 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m o n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Bilang 6a.

Kabilang sa mga kilalang dami: lugar na may mga base o midline

Ito marahil ang pinakamaikling at pinakasimpleng mga formula para sa paghahanap ng taas ng isang trapezoid. Para sa isang di-makatwirang figure ito ay magiging ganito:

n = 2S / (a ​​+ b). Numero 7.

Ito ay pareho, ngunit may isang kilalang gitnang linya:

n = S/m. Bilang 7a.

Kakatwa, para sa isang isosceles trapezoid ang mga formula ay magmumukhang pareho.

Mga gawain

No. 1. Upang matukoy ang mga anggulo sa ibabang base ng trapezoid.

Kundisyon. Dahil sa isosceles trapezoid na ang gilid ay 5 cm Ang mga base nito ay 6 at 12 cm Kailangan mong hanapin ang sine ng isang matinding anggulo.

Solusyon. Para sa kaginhawahan, dapat kang magpasok ng isang pagtatalaga. Hayaang ang ibabang kaliwang vertex ay A, ang lahat ng natitira sa isang direksyon sa orasan: B, C, D. Kaya, ang ibabang base ay itatalaga AD, ang itaas na isa - BC.

Kinakailangan na gumuhit ng mga taas mula sa mga vertice B at C. Ang mga punto na nagpapahiwatig ng mga dulo ng mga taas ay itinalagang H 1 at H 2, ayon sa pagkakabanggit. Dahil ang lahat ng mga anggulo sa figure BCH 1 H 2 ay mga tamang anggulo, ito ay isang parihaba. Nangangahulugan ito na ang segment H 1 H 2 ay 6 cm.

Ngayon kailangan nating isaalang-alang ang dalawang tatsulok. Ang mga ito ay pantay-pantay dahil sila ay hugis-parihaba na may parehong hypotenuse at vertical legs. Ito ay sumusunod mula dito na ang kanilang mas maliit na mga binti ay pantay. Samakatuwid, maaari silang tukuyin bilang ang kusyente ng pagkakaiba. Ang huli ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng itaas mula sa ibabang base. Hahatiin ito ng 2. Ibig sabihin, ang 12 - 6 ay dapat hatiin ng 2. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Ngayon mula sa Pythagorean theorem kailangan mong hanapin ang taas ng trapezoid. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang sine ng isang anggulo. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Gamit ang kaalaman kung paano matatagpuan ang sine ng isang matinding anggulo sa isang tatsulok na may tamang anggulo, maaari nating isulat ang sumusunod na expression: sin α = ВН 1 / AB = 0.8.

Sagot. Ang kinakailangang sine ay 0.8.

No. 2. Upang mahanap ang taas ng isang trapezoid gamit ang isang kilalang tangent.

Kundisyon. Para sa isang isosceles trapezoid, kailangan mong kalkulahin ang taas. Ito ay kilala na ang mga base nito ay 15 at 28 cm Ang tangent ng matinding anggulo ay ibinibigay: 11/13.

Solusyon. Ang pagtatalaga ng mga vertex ay kapareho ng sa nakaraang problema. Muli kailangan mong gumuhit ng dalawang taas mula sa itaas na sulok. Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa solusyon sa unang problema, kailangan mong hanapin ang AN 1 = N 2 D, na tinukoy bilang pagkakaiba ng 28 at 15 na hinati ng dalawa. Pagkatapos ng mga kalkulasyon, lumiliko ito: 6.5 cm.

Dahil ang tangent ay ang ratio ng dalawang binti, maaari nating isulat ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: tan α = AH 1 / VN 1 . Bukod dito, ang ratio na ito ay katumbas ng 11/13 (ayon sa kondisyon). Dahil kilala ang AN 1, maaaring kalkulahin ang taas: BH 1 = (11 * 6.5) / 13. Ang mga simpleng kalkulasyon ay nagbibigay ng resulta ng 5.5 cm.

Sagot. Ang kinakailangang taas ay 5.5 cm.

No. 3. Upang kalkulahin ang taas gamit ang mga kilalang diagonal.

Kundisyon. Ito ay kilala tungkol sa trapezoid na ang mga diagonal nito ay 13 at 3 cm Kailangan mong malaman ang taas nito kung ang kabuuan ng mga base ay 14 cm.

Solusyon. Hayaang ang pagtatalaga ng pigura ay katulad ng dati. Ipagpalagay natin na ang AC ay ang mas maliit na dayagonal. Mula sa vertex C kailangan mong iguhit ang nais na taas at italaga ito CH.

Ngayon ay kailangan mong gumawa ng ilang karagdagang konstruksiyon. Mula sa sulok C kailangan mong gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa mas malaking dayagonal at hanapin ang punto ng intersection nito sa pagpapatuloy ng side AD. Ito ay magiging D 1. Ang resulta ay isang bagong trapezoid, sa loob kung saan iginuhit ang isang tatsulok na ASD 1. Ito ang kailangan para mas malutas ang problema.

Ang nais na taas ay nasa tatsulok din. Samakatuwid, maaari mong gamitin ang mga formula na pinag-aralan sa ibang paksa. Ang taas ng isang tatsulok ay tinukoy bilang ang produkto ng numero 2 at ang lugar na hinati sa gilid kung saan ito iginuhit. At ang gilid ay lumalabas na katumbas ng kabuuan ng mga base ng orihinal na trapezoid. Ito ay nagmula sa panuntunan kung saan ginawa ang karagdagang konstruksyon.

Sa tatsulok na isinasaalang-alang, ang lahat ng panig ay kilala. Para sa kaginhawahan, ipinakilala namin ang notasyon x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang lugar gamit ang teorem ni Heron. Ang semi-perimeter ay magiging katumbas ng p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Pagkatapos ang formula para sa lugar pagkatapos palitan ang mga halaga ay magiging ganito: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Sagot. Ang taas ay 6√10 / 7 cm.

No. 4. Upang mahanap ang taas sa mga gilid.

Kundisyon. Dahil sa isang trapezoid, tatlong panig nito ay 10 cm, at ang ikaapat ay 24 cm Kailangan mong malaman ang taas nito.

Solusyon. Dahil isosceles ang figure, kakailanganin mo ang formula number 2. Kailangan mo lang palitan ang lahat ng values ​​dito at bilangin. Magiging ganito ang hitsura:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Sagot. n = √51 cm.

AT . Ngayon ay maaari nating simulan na isaalang-alang ang tanong kung paano hanapin ang lugar ng isang trapezoid. Ang gawaing ito ay napakabihirang lumitaw sa pang-araw-araw na buhay, ngunit kung minsan ay kinakailangan, halimbawa, upang mahanap ang lugar ng isang silid sa hugis ng isang trapezoid, na lalong ginagamit sa pagtatayo ng mga modernong apartment, o sa mga proyekto sa pagsasaayos ng disenyo.

Ang trapezoid ay geometric na pigura, na nabuo sa pamamagitan ng apat na intersecting na mga segment, dalawa sa mga ito ay parallel sa isa't isa at tinatawag na mga base ng isang trapezoid. Ang iba pang dalawang segment ay tinatawag na mga gilid ng trapezoid. Bilang karagdagan, kakailanganin natin ng isa pang kahulugan sa ibang pagkakataon. Ito ang gitnang linya ng trapezoid, na isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid at taas ng trapezoid, na katumbas ng distansya sa pagitan ng mga base.
Tulad ng mga tatsulok, ang mga trapezoid ay may mga espesyal na uri sa anyo ng isang isosceles (equilateral) na trapezoid, kung saan ang mga haba ng mga gilid ay pareho, at isang hugis-parihaba na trapezoid, kung saan ang isa sa mga gilid ay bumubuo ng isang tamang anggulo sa mga base.

Ang mga trapeze ay may ilang mga kagiliw-giliw na katangian:

1. Ang midline ng trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base at kahanay sa kanila.
   
2. Ang mga isosceles trapezoid ay may pantay na panig at ang mga anggulo na nabuo sa mga base.
   
3. Ang mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid at ang punto ng intersection ng mga diagonal nito ay nasa parehong tuwid na linya.
   
4. Kung ang kabuuan ng mga gilid ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga base, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat dito
   
5. Kung ang kabuuan ng mga anggulo na nabuo ng mga gilid ng isang trapezoid sa alinman sa mga base nito ay 90, kung gayon ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base ay katumbas ng kanilang kalahating pagkakaiba.
   
6. Ang isosceles trapezoid ay maaaring ilarawan ng isang bilog. At vice versa. Kung ang isang trapezoid ay umaangkop sa isang bilog, kung gayon ito ay isosceles.
   
7. Ang segment na dumadaan sa mga midpoint ng mga base ng isang isosceles trapezoid ay magiging patayo sa mga base nito at kumakatawan sa axis ng symmetry.
   

Paano mahanap ang lugar ng isang trapezoid.

Ang lugar ng trapezoid ay magiging katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base nito na pinarami ng taas nito. Sa form ng formula, ito ay nakasulat bilang isang expression:

kung saan ang S ay ang lugar ng trapezoid, a, b ay ang haba ng bawat isa sa mga base ng trapezoid, h ay ang taas ng trapezoid.

Maaari mong maunawaan at matandaan ang formula na ito bilang mga sumusunod. Tulad ng sumusunod mula sa figure sa ibaba, gamit ang gitnang linya, ang isang trapezoid ay maaaring ma-convert sa isang rektanggulo, ang haba nito ay magiging katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base.

Maaari mo ring i-decompose ang anumang trapezoid sa mas simpleng mga figure: isang parihaba at isa o dalawang triangles, at kung mas madali para sa iyo, pagkatapos ay hanapin ang lugar ng trapezoid bilang kabuuan ng mga lugar ng mga constituent figure nito.

May isa pang simpleng formula para sa pagkalkula ng lugar nito. Ayon dito, ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng midline nito sa taas ng trapezoid at nakasulat sa anyo: S = m*h, kung saan ang S ay ang lugar, m ay ang haba ng midline, h ay ang taas ng trapezoid. Ang formula na ito ay mas angkop para sa mga problema sa matematika kaysa sa mga pang-araw-araw na problema, dahil sa totoong mga kondisyon hindi mo malalaman ang haba ng gitnang linya nang walang paunang mga kalkulasyon. At malalaman mo lamang ang mga haba ng mga base at gilid.

Sa kasong ito, ang lugar ng trapezoid ay matatagpuan gamit ang formula:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

kung saan ang S ay ang lugar, a, b ang mga base, c, d ay ang mga gilid ng trapezoid.

Mayroong maraming iba pang mga paraan upang mahanap ang lugar ng isang trapezoid. Ngunit ang mga ito ay halos hindi maginhawa bilang huling formula, na nangangahulugang walang saysay na pag-isipan ang mga ito. Samakatuwid, inirerekumenda namin na gamitin mo ang unang formula mula sa artikulo at nais mong palaging makakuha ng tumpak na mga resulta.

Ang trapezoid ay isang relief quadrilateral kung saan ang dalawang magkabilang panig ay magkatulad at ang dalawa pa ay hindi magkatulad. Kung ang lahat ng magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay magkapareho sa mga pares, kung gayon ito ay isang paralelogram.

Kakailanganin mong

• – lahat ng panig ng trapezoid (AB, BC, CD, DA).

Mga tagubilin

1. Di-parallel panig mga trapezoid ay tinatawag na lateral sides, at parallel sides ay tinatawag na bases. Ang linya sa pagitan ng mga base, patayo sa kanila - taas mga trapezoid. Kung lateral panig mga trapezoid ay pantay, pagkatapos ito ay tinatawag na isosceles. Una, tingnan natin ang solusyon para sa mga trapezoid, na hindi isosceles.

2. Gumuhit ng segment ng linya BE mula sa punto B hanggang sa ibabang base AD parallel sa gilid mga trapezoid CD. Dahil ang BE at CD ay parallel at iginuhit sa pagitan ng mga parallel na base mga trapezoid Ang BC at DA, pagkatapos ay ang BCDE ay isang paralelogram, at ang kabaligtaran nito panig Ang BE at CD ay pantay. BE=CD.

3. Tingnan ang tatsulok na ABE. Kalkulahin ang side AE. AE=AD-ED. Grounds mga trapezoid Ang BC at AD ay kilala, at sa isang paralelogram ang BCDE ay kabaligtaran panig Ang ED at BC ay pantay. ED=BC, kaya AE=AD-BC.

4. Ngayon alamin ang lugar ng triangle ABE gamit ang formula ng Heron sa pamamagitan ng pagkalkula ng semi-perimeter. S=ugat(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Sa formula na ito, ang p ay ang semi-perimeter ng tatsulok na ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Upang kalkulahin ang lugar, alam mo ang lahat ng kinakailangang data: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Ipahayag mula sa formula na ito ang taas ng tatsulok, na siyang taas din mga trapezoid. BH=2*S/AE. Kalkulahin ito.

7. Kung ang trapezoid ay isosceles, ang solusyon ay maaaring maisakatuparan sa ibang paraan. Tingnan ang tatsulok na ABH. Parihaba ito dahil tama ang isa sa mga sulok, BHA.

8. Gumuhit ng taas na CF mula sa vertex C.

9. Pag-aralan ang HBCF figure. HBCF rectangle, dahil dalawa ito panig ay mga taas, at ang dalawa pa ay mga base mga trapezoid, iyon ay, ang mga anggulo ay tama, at ang kabaligtaran panig parallel. Nangangahulugan ito na ang BC=HF.

10. tignan mo kanang tatsulok ABH at FCD. Ang mga anggulo sa taas BHA at CFD ay tama, at ang mga anggulo sa lateral panig x BAH at CDF ay pantay-pantay dahil ang trapezoid ABCD ay isosceles, na nangangahulugang magkapareho ang mga tatsulok. Dahil ang taas na BH at CF ay pantay o lateral panig isosceles mga trapezoid Ang AB at CD ay magkapareho, pagkatapos ay magkatulad na mga tatsulok ay magkapareho. Kaya sila panig Pantay din ang AH at FD.

11. Tuklasin ang AH. AH+FD=AD-HF. Dahil mula sa isang paralelogram HF=BC, at mula sa mga tatsulok na AH=FD, pagkatapos ay AH=(AD-BC)*1/2.

Ang trapezoid ay isang geometric na pigura, na isang quadrilateral kung saan ang dalawang panig, na tinatawag na mga base, ay parallel, at ang iba pang dalawa ay hindi parallel. Tinatawag silang mga panig mga trapezoid. Ang segment na iginuhit sa mga midpoint ng mga lateral na gilid ay tinatawag na midline mga trapezoid. Ang isang trapezoid ay maaaring magkaroon ng magkakaibang haba ng gilid o magkapareho, kung saan ito ay tinatawag na isosceles. Kung ang isa sa mga gilid ay patayo sa base, kung gayon ang trapezoid ay magiging hugis-parihaba. Ngunit mas praktikal na malaman kung paano tuklasin parisukat mga trapezoid .

Kakailanganin mong

• Ruler na may mga dibisyon ng milimetro

Mga tagubilin

1. Sukatin ang lahat ng panig mga trapezoid: AB, BC, CD at DA. Itala ang iyong mga sukat.

2. Sa segment AB, markahan ang gitnang - point K. Sa segment DA, markahan ang point L, na nasa gitna din ng segment AD. Pagsamahin ang mga puntos na K at L, ang magreresultang segment na KL ang magiging gitnang linya mga trapezoid A B C D. Sukatin ang segment na KL.

3. Mula sa itaas mga trapezoid– ihagis ang C, ibaba ang patayo sa base AD nito sa segment na CE. Ito ang magiging taas mga trapezoid A B C D. Sukatin ang segment CE.

4. Tawagin natin ang segment na KL ng letrang m, at ang segment na CE ng letrang h, pagkatapos parisukat S mga trapezoid Kinakalkula ang ABCD gamit ang formula: S=m*h, kung saan ang m ay ang gitnang linya mga trapezoid ABCD, h – taas mga trapezoid A B C D.

5. May isa pang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang makalkula parisukat mga trapezoid A B C D. ibabang base mga trapezoid– Tawagin natin ang AD sa letrang b, at sa itaas na base BC ang letrang a. Ang lugar ay tinutukoy ng formula S=1/2*(a+b)*h, kung saan ang a at b ang mga base mga trapezoid, h – taas mga trapezoid .

Video sa paksa

Tip 3: Paano mahahanap ang taas ng isang trapezoid kung ang lugar ay kilala

Ang trapezoid ay isang may apat na gilid kung saan ang dalawa sa apat na gilid nito ay parallel sa isa't isa. Ang mga parallel na panig ay ang mga batayan nito mga trapezoid, ang dalawa pa ay ang mga lateral side nito mga trapezoid. Matuklasan taas mga trapezoid, kung alam mo ang lugar nito, magiging napakadali.

Mga tagubilin

1. Kailangan nating malaman kung paano kalkulahin ang lugar ng paunang mga trapezoid. Mayroong ilang mga formula para dito, depende sa paunang data: S = ((a+b)*h)/2, kung saan ang a at b ay ang haba ng mga base mga trapezoid, at h ang taas nito (Taas mga trapezoid– patayo, ibinaba mula sa isang base mga trapezoid sa isa pa);S = m*h, kung saan ang m ay ang gitnang linya mga trapezoid(Ang gitnang linya ay isang segment na kahanay sa mga base mga trapezoid at pag-uugnay sa mga gitnang punto ng mga gilid nito).

2. Ngayon, alam ang mga formula para sa pagkalkula ng lugar mga trapezoid, pinapayagan na kumuha ng mga bago mula sa kanila upang mahanap ang taas mga trapezoid:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Upang maging mas malinaw kung paano lutasin ang mga katulad na problema, maaari kang tumingin sa mga halimbawa: Halimbawa 1: Dahil sa isang trapezoid na ang lugar ay 68 cm?, ang gitnang linya na kung saan ay 8 cm, kailangan mong hanapin taas binigay mga trapezoid. Para makapagdesisyon ang gawaing ito, kailangan mong gamitin ang dating nakuhang formula: h = 68/8 = 8.5 cm Sagot: ang taas nito mga trapezoid ay 8.5 cmHalimbawa 2: Hayaang y mga trapezoid ang lugar ay 120 cm?, ang haba ng mga base ay ibinigay mga trapezoid ay katumbas ng 8 cm at 12 cm ayon sa pagkakabanggit, ito ay kinakailangan upang makita taas ito mga trapezoid. Upang gawin ito, kailangan mong ilapat ang isa sa mga nagmula na formula:h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmSagot: taas ng ibinigay mga trapezoid katumbas ng 12 cm

Video sa paksa

Tandaan!
Ang anumang trapezoid ay may ilang mga katangian: - ang gitnang linya ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base nito - ang segment na nag-uugnay sa mga dayagonal ng trapezoid ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base nito ay iginuhit sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga base, pagkatapos ay i-intersect nito ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid - Maaari kang mag-inscribe ng isang bilog sa isang trapezoid kung ang kabuuan ng mga base ng isang naibigay na trapezoid ay katumbas ng kabuuan nito; Gamitin ang mga katangiang ito sa paglutas ng mga problema.

Tip 4: Paano hanapin ang taas ng isang tatsulok na ibinigay sa mga coordinate ng mga puntos

Ang taas sa isang tatsulok ay ang segment ng tuwid na linya na nagkokonekta sa vertex ng figure sa kabaligtaran na bahagi. Ang segment na ito ay dapat na patayo sa gilid samakatuwid, mula sa anumang vertex ay pinapayagan na gumuhit ng isa lamang taas. Dahil mayroong tatlong vertex sa figure na ito, mayroong parehong bilang ng mga taas. Kung ang isang tatsulok ay ibinigay ng mga coordinate ng mga vertices nito, ang haba ng bawat isa sa mga taas ay maaaring kalkulahin, sabihin, gamit ang formula para sa paghahanap ng lugar at pagkalkula ng mga haba ng mga gilid.

Mga tagubilin

1. Magpatuloy sa iyong mga kalkulasyon mula sa katotohanan na ang lugar tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng haba ng bawat panig nito sa haba ng taas na ibinaba sa panig na ito. Mula sa kahulugan na ito ay sumusunod na upang mahanap ang taas kailangan mong malaman ang lugar ng figure at ang haba ng gilid.

2. Magsimula sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga haba ng mga gilid tatsulok. Italaga ang mga coordinate ng vertices ng figure tulad ng sumusunod: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) at C(X?,Y?,Z?). Pagkatapos ay maaari mong kalkulahin ang haba ng gilid AB gamit ang formula AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Para sa iba pang 2 panig, ang mga formula na ito ay magiging ganito: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) at AC = ?(( X ?-X?)? + (Y?-Y?) + (Z?-Z?)? Sabihin nating para sa tatsulok na may mga coordinate A(3,5,7), B(16,14,19) at C(1,2,13) ​​​​ang haba ng side AB ay magiging?((3-16)? + (5-14 )? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Ang mga haba ng mga gilid BC at AC, na kinakalkula sa parehong paraan, ay magiging pantay?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20.12 at?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. Ang pag-alam sa haba ng 3 panig na nakuha sa nakaraang hakbang ay sapat na upang makalkula ang lugar tatsulok(S) ayon sa formula ni Heron: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Sabihin nating, pagkatapos na palitan sa formula na ito ang mga halaga na nakuha mula sa mga coordinate tatsulok-halimbawa mula sa nakaraang hakbang, ang formula na ito ay magbibigay ng sumusunod na halaga: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20.12-7)) = ?*?(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ? ?*?75768.55 ? ?*275.26 = 68.815.

4. Batay sa lugar tatsulok, na kinakalkula sa nakaraang hakbang, at ang mga haba ng mga gilid na nakuha sa ikalawang hakbang, kalkulahin ang taas para sa bawat isa sa mga gilid. Dahil ang lugar ay katumbas ng kalahati ng produkto ng taas at ang haba ng gilid kung saan ito iginuhit, upang mahanap ang taas, hatiin ang dobleng lugar sa haba ng nais na panig: H = 2*S/a. Para sa halimbawang ginamit sa itaas, ang taas na ibinaba sa gilid AB ay magiging 2*68.815/16.09? 8.55, ang taas sa gilid ng BC ay magkakaroon ng haba na 2*68.815/20.12? 6.84, at para sa panig ng AC ang halagang ito ay magiging katumbas ng 2*68.815/7? 19.66.