Diagonale der Basis einer Pyramidenformel. Was macht die Pyramide zu einem geometrischen Wunder?
Video-Tutorial 2: Pyramidenproblem. Volumen der Pyramide
Video-Tutorial 3: Pyramidenproblem. Richtige Pyramide
Vorlesung: Pyramide, ihre Basis, Seitenrippen, Höhe, Seitenfläche; Dreieckige Pyramide; regelmäßige Pyramide
Pyramide, ihre EigenschaftenPyramide- Das volumetrischer Körper, dessen Basis ein Polygon ist und dessen Flächen alle aus Dreiecken bestehen.
Ein Sonderfall einer Pyramide ist ein Kegel mit einem Kreis an der Basis.
Schauen wir uns die Hauptelemente der Pyramide an:
Apothema- Dies ist ein Segment, das die Spitze der Pyramide mit der Mitte der Unterkante der Seitenfläche verbindet. Mit anderen Worten, dies ist die Höhe des Randes der Pyramide.
In der Abbildung sehen Sie die Dreiecke ADS, ABS, BCS, CDS. Wenn Sie sich die Namen genau ansehen, können Sie erkennen, dass jedes Dreieck einen gemeinsamen Buchstaben im Namen hat – S. Das bedeutet, dass alle Seitenflächen (Dreiecke) in einem Punkt zusammenlaufen, der als Spitze der Pyramide bezeichnet wird .
Das Segment OS, das den Scheitelpunkt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (bei Dreiecken - am Schnittpunkt der Höhen) verbindet, wird genannt Pyramidenhöhe.
Ein diagonaler Abschnitt ist eine Ebene, die durch die Spitze der Pyramide sowie durch eine der Diagonalen der Basis verläuft.
Da die Seitenfläche der Pyramide aus Dreiecken besteht, ist es zum Ermitteln der Gesamtfläche der Seitenfläche erforderlich, die Fläche jeder Fläche zu ermitteln und diese zu addieren. Die Anzahl und Form der Flächen hängt von der Form und Größe der Seiten des Polygons ab, das an der Basis liegt.
Die einzige Ebene in einer Pyramide, die nicht zu ihrem Scheitelpunkt gehört, wird aufgerufen Basis Pyramiden.
In der Abbildung sehen wir, dass die Basis ein Parallelogramm ist, es kann jedoch jedes beliebige Polygon sein.
Eigenschaften:
Betrachten Sie den ersten Fall einer Pyramide, deren Kanten gleich lang sind:
- Um die Basis einer solchen Pyramide kann ein Kreis gezogen werden. Wenn Sie die Spitze einer solchen Pyramide projizieren, befindet sich ihre Projektion in der Mitte des Kreises.
- Die Winkel an der Basis der Pyramide sind auf jeder Seite gleich.
- In diesem Fall können gleiche Winkel zwischen der Basis und jeder Kante der Flächen als ausreichende Bedingung dafür angesehen werden, dass ein Kreis um die Basis der Pyramide beschrieben werden kann und auch alle Kanten unterschiedlich lang sind.
Wenn Sie auf eine Pyramide stoßen, bei der die Winkel zwischen den Seitenflächen und der Grundfläche gleich sind, dann gelten folgende Eigenschaften:
- Sie können einen Kreis um die Basis der Pyramide beschreiben, dessen Spitze genau in die Mitte projiziert wird.
- Wenn Sie jede Seitenkante der Höhe bis zur Basis zeichnen, sind sie gleich lang.
- Um die Mantelfläche einer solchen Pyramide zu ermitteln, reicht es aus, den Umfang der Grundfläche zu ermitteln und ihn mit der halben Länge der Höhe zu multiplizieren.
- S bp = 0,5P oc H.
- Arten von Pyramiden.
- Je nachdem, welches Polygon an der Basis der Pyramide liegt, können sie dreieckig, viereckig usw. sein. Wenn sich an der Basis der Pyramide ein regelmäßiges Polygon (mit gleichen Seiten) befindet, wird eine solche Pyramide als regelmäßig bezeichnet.
Regelmäßige dreieckige Pyramide
Eine dreieckige Pyramide ist eine Pyramide, die an ihrer Basis ein Dreieck hat. Die Höhe dieser Pyramide ist die Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zu ihrer Basis abgesenkt wird.
Die Höhe einer Pyramide ermitteln
Wie finde ich die Höhe einer Pyramide? Sehr einfach! Um die Höhe eines beliebigen zu ermitteln Dreieckige Pyramide Sie können die Volumenformel verwenden: V = (1/3)Sh, wobei S die Grundfläche, V das Volumen der Pyramide und h ihre Höhe ist. Leiten Sie aus dieser Formel die Höhenformel ab: Um die Höhe einer dreieckigen Pyramide zu ermitteln, müssen Sie das Volumen der Pyramide mit 3 multiplizieren und dann den resultierenden Wert durch die Grundfläche dividieren. Dies ergibt: h = (3V)/S. Da die Grundfläche einer dreieckigen Pyramide ein Dreieck ist, können Sie mit der Formel die Fläche eines Dreiecks berechnen. Wenn wir wissen: die Fläche des Dreiecks S und seine Seite z, dann gilt gemäß der Flächenformel S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, wobei h die Höhe der Pyramide, γ, ist ist die Kante des Dreiecks; der Winkel zwischen den Seiten des Dreiecks und den beiden Seiten selbst, dann ermitteln wir mit der folgenden Formel: S = (1/2)γφsinQ, wobei γ, φ die Seiten des Dreiecks sind, die Fläche des Dreiecks. Der Wert des Sinus des Winkels Q muss der Sinustabelle entnommen werden, die im Internet verfügbar ist. Als nächstes setzen wir den Flächenwert in die Höhenformel ein: h = (2S)/γ. Wenn die Aufgabe die Berechnung der Höhe einer dreieckigen Pyramide erfordert, ist das Volumen der Pyramide bereits bekannt.
Regelmäßige dreieckige Pyramide
Ermitteln Sie die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide, d. h. einer Pyramide, bei der alle Flächen gleichseitige Dreiecke sind, und kennen Sie dabei die Größe der Kante γ. In diesem Fall sind die Kanten der Pyramide die Seiten gleichseitiger Dreiecke. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt: h = γ√(2/3), wobei γ die Kante des gleichseitigen Dreiecks und h die Höhe der Pyramide ist. Wenn die Grundfläche (S) unbekannt ist und nur die Kantenlänge (γ) und das Volumen (V) des Polyeders angegeben sind, muss die notwendige Variable in der Formel aus dem vorherigen Schritt ersetzt werden durch sein Äquivalent, das als Kantenlänge ausgedrückt wird. Die Fläche eines Dreiecks (regulär) ist gleich 1/4 des Produkts aus der Seitenlänge dieses Dreiecks zum Quadrat und der Quadratwurzel aus 3. Wir ersetzen diese Formel anstelle der Grundfläche in der vorherigen Formel, und wir erhalten die folgende Formel: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Das Volumen eines Tetraeders kann durch die Länge seiner Kante ausgedrückt werden. Aus der Formel zur Berechnung der Höhe einer Figur können Sie dann alle Variablen entfernen und nur die Seite der dreieckigen Fläche der Figur belassen. Das Volumen einer solchen Pyramide lässt sich berechnen, indem man das Produkt der Kubiklänge ihrer Fläche durch die Quadratwurzel von 2 durch 12 dividiert.
Wenn wir diesen Ausdruck in die vorherige Formel einsetzen, erhalten wir die folgende Berechnungsformel: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Außerdem kann ein regelmäßiges dreieckiges Prisma in eine Kugel eingeschrieben werden, und wenn man nur den Radius der Kugel (R) kennt, kann man die Höhe des Tetraeders selbst ermitteln. Die Länge der Tetraederkante beträgt: γ = 4R/√6. Wir ersetzen die Variable γ durch diesen Ausdruck in der vorherigen Formel und erhalten die Formel: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Die gleiche Formel kann erhalten werden, wenn man den Radius (R) eines in ein Tetraeder eingeschriebenen Kreises kennt. In diesem Fall beträgt die Länge der Dreieckskante 12 Verhältnisse zwischen der Quadratwurzel aus 6 und dem Radius. Wir setzen diesen Ausdruck in die vorherige Formel ein und erhalten: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
So ermitteln Sie die Höhe einer regelmäßigen viereckigen Pyramide
Um die Frage zu beantworten, wie man die Länge und Höhe einer Pyramide ermittelt, müssen Sie wissen, was eine regelmäßige Pyramide ist. Eine viereckige Pyramide ist eine Pyramide, die an ihrer Basis ein Viereck hat. Wenn wir unter den Bedingungen des Problems Folgendes haben: Volumen (V) und Fläche der Basis (S) der Pyramide, dann lautet die Formel zur Berechnung der Höhe des Polyeders (h) wie folgt: Teilen Sie das Volumen multipliziert um 3 um die Fläche S: h = (3V)/S. Ersetzen Sie bei einer quadratischen Grundfläche einer Pyramide mit gegebenem Volumen (V) und gegebener Seitenlänge γ die Fläche (S) in der vorherigen Formel durch das Quadrat der Seitenlänge: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Die Höhe einer regelmäßigen Pyramide h = SO verläuft genau durch den Mittelpunkt des Kreises, der nahe der Basis umschrieben wird. Da die Basis dieser Pyramide ein Quadrat ist, ist Punkt O der Schnittpunkt der Diagonalen AD und BC. Wir haben: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Als nächstes finden wir im rechtwinkligen Dreieck SOC (unter Verwendung des Satzes des Pythagoras): SO = √(SC 2 -OC 2). Jetzt wissen Sie, wie Sie die Höhe einer regelmäßigen Pyramide ermitteln.
Anweisungen
Für den Fall, dass an der Basis Pyramiden Liegt ein Quadrat, ist die Länge seiner Diagonale bekannt, ebenso wie die Länge seiner Kante Pyramiden, Das Höhe Das Pyramiden kann aus dem Satz des Pythagoras ausgedrückt werden, weil ein Dreieck durch eine Kante gebildet wird Pyramiden und die Hälfte der Diagonale an der Basis ist ein rechtwinkliges Dreieck.
Der Satz des Pythagoras besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck gleich groß ist wie die Summe der Quadrate seiner Schenkel (a² = b² + c²). Rand Pyramiden- Hypotenuse, einer der Schenkel ist die halbe Diagonale des Quadrats. Dann wird die Länge des unbekannten Beins (Höhe) mithilfe der Formeln ermittelt:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².
Um beide Situationen so klar und verständlich wie möglich zu machen, können Sie ein Paar in Betracht ziehen.
Beispiel 1: Grundfläche Pyramiden 46 cm², sein Volumen beträgt 120 cm³. Basierend auf diesen Daten wird die Höhe ermittelt Pyramiden liegt so:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
Antwort: die Höhe davon Pyramiden wird etwa 7,83 cm betragen
Beispiel 2: U Pyramiden, an dessen Basis ein Polygon liegt - ein Quadrat, dessen Diagonale 14 cm beträgt, dessen Kantenlänge 15 cm beträgt Höhe Pyramiden, müssen Sie die folgende Formel verwenden (die eine Konsequenz aus dem Satz des Pythagoras ist):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Antwort: die Höhe davon Pyramiden beträgt √29 cm oder etwa 5,4 cm
beachten Sie
Befindet sich an der Basis der Pyramide ein Quadrat oder ein anderes regelmäßiges Vieleck, dann kann diese Pyramide als regelmäßig bezeichnet werden. Eine solche Pyramide hat eine Reihe von Eigenschaften:
seine seitlichen Rippen sind gleich;
seine Flächen sind gleichschenklige Dreiecke, die einander gleich sind;
Um eine solche Pyramide herum kann man eine Kugel beschreiben und auch einschreiben.
Quellen:
- Richtige Pyramide
Eine Pyramide ist eine Figur, deren Grundfläche ein Vieleck ist und deren Flächen Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze für alle sind. IN typische Aufgaben Oft ist es erforderlich, die Länge einer Senkrechten zu konstruieren und zu bestimmen, die von einem Scheitelpunkt aus gezogen wird Pyramiden zur Ebene seiner Basis. Die Länge dieses Segments wird als Höhe bezeichnet Pyramiden.
Du wirst brauchen
- - Herrscher
- - Bleistift
- - Kompass
Anweisungen
Bauen Sie zum Abschluss eine Pyramide entsprechend den Bedingungen der Aufgabe. Um beispielsweise ein regelmäßiges Tetraeder zu bauen, müssen Sie eine Figur so zeichnen, dass alle 6 Kanten einander gleich sind. Wenn Sie bauen müssen Höhe viereckig, dann sollten nur 4 Kanten der Basis gleich sein. Dann können Sie die Kanten der Seitenflächen ungleich den Kanten des Polygons konstruieren. Benennen Sie die Pyramide und beschriften Sie alle Eckpunkte mit lateinischen Buchstaben. Zum Beispiel, z Pyramiden Mit einem Dreieck an der Basis können Sie zwischen A, B, C (für die Basis) und S (für die Oberseite) wählen. Wenn die Bedingung bestimmte Abmessungen der Rippen vorgibt, gehen Sie bei der Konstruktion der Figur von diesen Werten aus.
Wählen Sie zunächst mit einem Zirkel bedingt eine Tangente von innen zu allen Kanten des Polygons aus. Wenn eine Pyramide, dann ein Punkt (nennen Sie ihn zum Beispiel H) auf der Basis Pyramiden, in die die Höhe abfällt, muss dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises entsprechen richtige Begründung Pyramiden. Der Mittelpunkt entspricht einem Punkt, der von jedem anderen Punkt auf dem Kreis den gleichen Abstand hat. Wenn Sie den Scheitelpunkt verbinden Pyramiden S mit dem Mittelpunkt des Kreises H, dann ist das Segment SH die Höhe Pyramiden. Denken Sie daran, dass ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben werden kann, dessen gegenüberliegende Seiten die gleiche Summe haben. Dies gilt für das Quadrat und die Raute. In diesem Fall liegt Punkt H auf dem Viereck. Für jedes Dreieck ist es möglich, einen Kreis einzuschreiben und zu beschreiben.
Bauen Höhe Pyramiden, zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis und verbinden Sie dann mit einem Lineal seinen Mittelpunkt H mit dem Scheitelpunkt S. SH ist die gewünschte Höhe. Wenn an der Basis Pyramiden SABC ist eine unregelmäßige Figur, dann verbindet die Höhe den Scheitelpunkt Pyramiden mit dem Mittelpunkt des Kreises, in den das Basispolygon eingeschrieben ist. Alle Eckpunkte des Polygons liegen auf einem solchen Kreis. In diesem Fall steht dieses Segment senkrecht zur Basisebene Pyramiden. Man kann einen Kreis um ein Viereck beschreiben, wenn die Summe der entgegengesetzten Winkel 180° beträgt. Dann liegt der Mittelpunkt eines solchen Kreises im Schnittpunkt der Diagonalen der entsprechenden Kreise
Definition. Seitenkante- Dies ist ein Dreieck, bei dem ein Winkel an der Spitze der Pyramide liegt und die gegenüberliegende Seite mit der Seite der Basis (Polygon) zusammenfällt.
Definition. Seitliche Rippen- das sind die gemeinsamen Seiten der Seitenflächen. Eine Pyramide hat so viele Kanten wie die Winkel eines Vielecks.
Definition. Pyramidenhöhe- Dies ist eine Senkrechte, die von der Spitze zur Basis der Pyramide abgesenkt wird.
Definition. Apothema- Dies ist eine Senkrechte zur Seitenfläche der Pyramide, die von der Spitze der Pyramide zur Seite der Basis abgesenkt wird.
Definition. Diagonaler Abschnitt- Dies ist ein Abschnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch die Spitze der Pyramide und die Diagonale der Basis verläuft.
Definition. Richtige Pyramide ist eine Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und deren Höhe zur Mitte der Grundfläche abfällt.
Volumen und Oberfläche der Pyramide
Formel. Volumen der Pyramide durch Grundfläche und Höhe:
Eigenschaften der Pyramide
Wenn alle Seitenkanten gleich sind, kann ein Kreis um die Basis der Pyramide gezeichnet werden, und der Mittelpunkt der Basis fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen. Außerdem verläuft eine von oben herabgelassene Senkrechte durch die Mitte der Basis (Kreis).
Wenn alle Seitenkanten gleich sind, sind sie im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.
Die Seitenkanten sind gleich, wenn sie mit der Grundebene gleiche Winkel bilden oder wenn ein Kreis um die Grundfläche der Pyramide beschrieben werden kann.
Wenn die Seitenflächen im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt sind, kann in die Grundfläche der Pyramide ein Kreis eingeschrieben werden, in dessen Mittelpunkt die Spitze der Pyramide projiziert wird.
Wenn die Seitenflächen im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt sind, dann sind die Apotheme der Seitenflächen gleich.
Eigenschaften einer regelmäßigen Pyramide
1. Die Spitze der Pyramide hat von allen Ecken der Basis den gleichen Abstand.
2. Alle Seitenkanten sind gleich.
3. Alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Basis geneigt.
4. Die Apotheme aller Seitenflächen sind gleich.
5. Die Flächen aller Seitenflächen sind gleich.
6. Alle Flächen haben die gleichen Diederwinkel (flache Winkel).
7. Um die Pyramide kann eine Kugel beschrieben werden. Der Mittelpunkt der umschriebenen Kugel ist der Schnittpunkt der Senkrechten, die durch die Mitte der Kanten verlaufen.
8. Sie können eine Kugel in eine Pyramide einbauen. Der Mittelpunkt der beschrifteten Kugel ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, die vom Winkel zwischen Rand und Basis ausgehen.
9. Wenn der Mittelpunkt der eingeschriebenen Kugel mit dem Mittelpunkt der umschriebenen Kugel zusammenfällt, dann ist die Summe der Ebenenwinkel am Scheitelpunkt gleich π oder umgekehrt, ein Winkel ist gleich π/n, wobei n die Zahl ist der Winkel an der Basis der Pyramide.
Die Verbindung zwischen Pyramide und Kugel
Eine Kugel kann um eine Pyramide herum beschrieben werden, wenn sich an der Basis der Pyramide ein Polyeder befindet, um das herum ein Kreis beschrieben werden kann (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Der Mittelpunkt der Kugel ist der Schnittpunkt der Ebenen, die senkrecht durch die Mittelpunkte der Seitenkanten der Pyramide verlaufen.
Eine Kugel kann immer um jede dreieckige oder regelmäßige Pyramide herum beschrieben werden.
Eine Kugel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn sich die Winkelhalbierenden der inneren Diederwinkel der Pyramide in einem Punkt schneiden (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Dieser Punkt wird der Mittelpunkt der Kugel sein.
Beziehung zwischen einer Pyramide und einem Kegel
Ein Kegel gilt als in eine Pyramide eingeschrieben, wenn seine Spitzen zusammenfallen und die Basis des Kegels in die Basis der Pyramide eingeschrieben ist.
Ein Kegel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn die Apotheme der Pyramide einander gleich sind.
Von einem Kegel spricht man, wenn er eine Pyramide umschließt, wenn ihre Spitzen zusammenfallen und die Basis des Kegels die Basis der Pyramide umschließt.
Ein Kegel kann um eine Pyramide herum beschrieben werden, wenn alle Seitenkanten der Pyramide einander gleich sind.
Beziehung zwischen einer Pyramide und einem Zylinder
Eine Pyramide heißt in einen Zylinder eingeschrieben, wenn die Spitze der Pyramide auf einer Basis des Zylinders liegt und die Basis der Pyramide in eine andere Basis des Zylinders eingeschrieben ist.
Ein Zylinder kann um eine Pyramide beschrieben werden, wenn ein Kreis um die Basis der Pyramide beschrieben werden kann.
Ein Tetraeder hat vier Flächen, vier Eckpunkte und sechs Kanten, wobei zwei beliebige Kanten keine gemeinsamen Eckpunkte haben, sich aber nicht berühren.
Jeder Scheitelpunkt besteht aus drei Flächen und Kanten, die sich bilden Dreieckswinkel.
Das Segment, das den Scheitelpunkt eines Tetraeders mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche verbindet, heißt Median des Tetraeders(GM).
Bimedian wird als Segment bezeichnet, das die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verbindet, die sich nicht berühren (KL).
Alle Bimediane und Mediane eines Tetraeders schneiden sich in einem Punkt (S). In diesem Fall werden die Bimediane halbiert und die Mediane im Verhältnis 3:1 von oben beginnend geteilt.
Definition. Spitzwinklige Pyramide- eine Pyramide, bei der das Apothem mehr als die halbe Seitenlänge der Basis hat.
Definition. Stumpfe Pyramide- eine Pyramide, bei der das Apothem weniger als die halbe Seitenlänge der Basis beträgt.
Definition. Regelmäßiges Tetraeder- ein Tetraeder, bei dem alle vier Flächen gleichseitige Dreiecke sind. Es ist eines der fünf regelmäßigen Vielecke. In einem regelmäßigen Tetraeder sind alle Diederwinkel (zwischen Flächen) und Dreiflächenwinkel (an der Spitze) gleich.
Definition. Rechteckiges Tetraeder wird ein Tetraeder genannt, bei dem zwischen drei Kanten an der Spitze ein rechter Winkel besteht (die Kanten stehen senkrecht). Es bilden sich drei Gesichter rechteckiger Dreieckswinkel und die Kanten sind rechtwinklige Dreiecke, und die Basis ist ein beliebiges Dreieck. Das Apothem jeder Fläche entspricht der halben Seite der Basis, auf die das Apothem fällt.
Definition. Isoedrisches Tetraeder wird ein Tetraeder genannt, dessen Seitenflächen einander gleich sind und dessen Grundfläche ein regelmäßiges Dreieck ist. Ein solches Tetraeder hat Flächen, die gleichschenklige Dreiecke sind.
Definition. Orthozentrisches Tetraeder wird ein Tetraeder genannt, bei dem sich alle Höhen (Senkrechten), die von oben zur gegenüberliegenden Fläche abgesenkt werden, in einem Punkt schneiden.
Definition. Sternpyramide ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Stern ist.
Pyramidenkonzept
Definition 1
Geometrische Figur, gebildet aus einem Polygon und einem Punkt, der nicht in der dieses Polygon enthaltenden Ebene liegt und mit allen Eckpunkten des Polygons verbunden ist, wird Pyramide genannt (Abb. 1).
Das Polygon, aus dem die Pyramide besteht, wird als Basis der Pyramide bezeichnet. Die resultierenden Dreiecke sind, wenn sie mit einem Punkt verbunden sind, die Seitenflächen der Pyramide, die Seiten der Dreiecke sind die Seiten der Pyramide und der gemeinsame Punkt Zu allen Dreiecken gehört die Spitze der Pyramide.
Arten von Pyramiden
Abhängig von der Anzahl der Winkel an der Basis der Pyramide kann man sie dreieckig, viereckig usw. nennen (Abb. 2).
Figur 2.
Eine andere Art von Pyramide ist die regelmäßige Pyramide.
Lassen Sie uns die Eigenschaft einer regelmäßigen Pyramide einführen und beweisen.
Satz 1
Alle Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke, die untereinander gleich sind.
Nachweisen.
Betrachten Sie eine regelmäßige $n-$gonale Pyramide mit einem Scheitelpunkt $S$ und einer Höhe von $h=SO$. Zeichnen wir einen Kreis um die Basis (Abb. 4).
Figur 4.
Betrachten Sie das Dreieck $SOA$. Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir
Natürlich wird jede Seitenkante auf diese Weise definiert. Folglich sind alle Seitenkanten einander gleich, das heißt, alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Beweisen wir, dass sie einander gleich sind. Da die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, sind die Grundflächen aller Seitenflächen einander gleich. Folglich sind alle Seitenflächen gemäß dem III. Kriterium der Dreiecksgleichheit gleich.
Der Satz ist bewiesen.
Lassen Sie uns nun die folgende Definition einführen, die sich auf das Konzept einer regelmäßigen Pyramide bezieht.
Definition 3
Das Apothem einer regelmäßigen Pyramide ist die Höhe ihrer Seitenfläche.
Offensichtlich sind nach Satz Eins alle Apotheme einander gleich.
Satz 2
Die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide wird als Produkt aus dem Halbumfang der Basis und dem Apothem bestimmt.
Nachweisen.
Bezeichnen wir die Seite der Basis der $n-$eckigen Pyramide mit $a$ und das Apothem mit $d$. Daher ist die Fläche der Seitenfläche gleich
Da nach Satz 1 alle Seiten gleich sind
Der Satz ist bewiesen.
Ein anderer Pyramidentyp ist der Pyramidenstumpf.
Definition 4
Wenn durch eine gewöhnliche Pyramide eine Ebene parallel zu ihrer Basis gezogen wird, wird die zwischen dieser Ebene und der Basisebene gebildete Figur als Pyramidenstumpf bezeichnet (Abb. 5).
Abbildung 5. Pyramidenstumpf
Die Seitenflächen des Pyramidenstumpfes sind Trapeze.
Satz 3
Die Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes wird als Produkt der Summe der Halbumfänge der Grundflächen und des Apothems bestimmt.
Nachweisen.
Bezeichnen wir die Seiten der Grundflächen der $n-$eckigen Pyramide mit $a\ bzw.\ b$ und das Apothem mit $d$. Daher ist die Fläche der Seitenfläche gleich
Da also alle Seiten gleich sind
Der Satz ist bewiesen.
Beispielaufgabe
Beispiel 1
Finden Sie die Fläche der Seitenfläche einer dreieckigen Pyramide, wenn Sie sie aus einer regelmäßigen Pyramide mit der Basisseite 4 und dem Apothem 5 erhalten, indem Sie eine Ebene abschneiden, die durch die Mittellinie der Seitenflächen verläuft.
Lösung.
Mithilfe des Mittelliniensatzes finden wir, dass die obere Basis des Pyramidenstumpfes gleich $4\cdot \frac(1)(2)=2$ und das Apothem gleich $5\cdot \frac(1)(2) ist. =2,5$.
Dann erhalten wir nach Satz 3
