Die Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist. Pyramidenhöhe

Bei der Lösung von Problem C2 mit der Koordinatenmethode stehen viele Studierende vor dem gleichen Problem. Sie können nicht rechnen Koordinaten von Punkten in der Formel enthalten Skalarprodukt. Es treten die größten Schwierigkeiten auf Pyramiden. Und wenn die Basispunkte als mehr oder weniger normal gelten, dann sind die Spitzen eine echte Hölle.

Heute werden wir an einer regelmäßigen viereckigen Pyramide arbeiten. Es gibt auch eine dreieckige Pyramide (auch bekannt als Tetraeder). Da es sich um ein komplexeres Design handelt, wird diesem eine eigene Lektion gewidmet.

Erinnern wir uns zunächst an die Definition:

Eine regelmäßige Pyramide ist eine, die:

Die Basis ist ein regelmäßiges Vieleck: Dreieck, Quadrat usw.;

Durch seine Mitte verläuft eine zur Basis gezogene Höhe.

Insbesondere handelt es sich um die Basis einer viereckigen Pyramide Quadrat. Genau wie Cheops, nur etwas kleiner.

Nachfolgend finden Sie Berechnungen für eine Pyramide, bei der alle Kanten gleich 1 sind. Wenn dies bei Ihrem Problem nicht der Fall ist, ändern sich die Berechnungen nicht – nur die Zahlen sind unterschiedlich.

Eckpunkte einer viereckigen Pyramide

Gegeben sei also eine regelmäßige viereckige Pyramide SABCD, wobei S der Scheitelpunkt und die Grundfläche ABCD ein Quadrat ist. Alle Kanten sind gleich 1. Sie müssen ein Koordinatensystem eingeben und die Koordinaten aller Punkte ermitteln. Wir haben:

Wir führen ein Koordinatensystem mit Ursprung im Punkt A ein:

Die OX-Achse ist parallel zur Kante AB gerichtet;
Die OY-Achse verläuft parallel zu AD. Da ABCD ein Quadrat ist, gilt AB ⊥ AD;
Schließlich richten wir die OZ-Achse nach oben, senkrecht zur Ebene ABCD.

Jetzt berechnen wir die Koordinaten. Zusatzkonstruktion: SH – Höhe bis zum Sockel gezogen. Der Einfachheit halber platzieren wir die Basis der Pyramide in einer separaten Zeichnung. Da die Punkte A, B, C und D in der OXY-Ebene liegen, ist ihre Koordinate z = 0. Wir haben:

A = (0; 0; 0) – fällt mit dem Ursprung zusammen;
B = (1; 0; 0) – Schritt für 1 entlang der OX-Achse vom Ursprung;
C = (1; 1; 0) – Schritt um 1 entlang der OX-Achse und um 1 entlang der OY-Achse;
D = (0; 1; 0) – Schritt nur entlang der OY-Achse.
H = (0,5; 0,5; 0) – der Mittelpunkt des Quadrats, die Mitte des Segments AC.

Es müssen noch die Koordinaten des Punktes S ermittelt werden. Beachten Sie, dass die x- und y-Koordinaten der Punkte S und H gleich sind, da sie auf einer Linie parallel zur OZ-Achse liegen. Es bleibt noch die Z-Koordinate für Punkt S zu finden.

Betrachten Sie die Dreiecke ASH und ABH:

AS = AB = 1 nach Bedingung;
Winkel AHS = AHB = 90°, da SH die Höhe und AH ⊥ HB die Diagonalen des Quadrats sind;
Seitliche AH kommt häufig vor.

Daher rechtwinklige Dreiecke ASH und ABH gleich je ein Bein und eine Hypotenuse. Das bedeutet SH = BH = 0,5 BD. Aber BD ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seite 1. Daher gilt:

Gesamtkoordinaten des Punktes S:

Abschließend schreiben wir die Koordinaten aller Eckpunkte einer regelmäßigen rechteckigen Pyramide auf:

Was tun, wenn die Rippen unterschiedlich sind?

Was passiert, wenn die Seitenkanten der Pyramide nicht mit den Kanten der Basis übereinstimmen? Betrachten Sie in diesem Fall das Dreieck AHS:

Dreieck AHS - rechteckig, und die Hypotenuse AS ist auch eine Seitenkante der ursprünglichen Pyramide SABCD. Bein AH lässt sich leicht berechnen: AH = 0,5 AC. Wir finden das verbleibende Bein SH nach dem Satz des Pythagoras. Dies ist die Z-Koordinate für Punkt S.

Aufgabe. Gegeben sei eine regelmäßige viereckige Pyramide SABCD, an deren Basis ein Quadrat mit der Seite 1 liegt. Seitenkante BS = 3. Finden Sie die Koordinaten des Punktes S.

Wir kennen bereits die x- und y-Koordinaten dieses Punktes: x = y = 0,5. Dies ergibt sich aus zwei Tatsachen:

Die Projektion von Punkt S auf die OXY-Ebene ist Punkt H;
Gleichzeitig ist Punkt H der Mittelpunkt eines Quadrats ABCD, dessen Seiten alle gleich 1 sind.

Es bleibt die Koordinate des Punktes S zu finden. Betrachten Sie das Dreieck AHS. Sie ist rechteckig, mit der Hypotenuse AS = BS = 3 und dem Schenkel AH, der die Hälfte der Diagonale ausmacht. Für weitere Berechnungen benötigen wir seine Länge:

Satz des Pythagoras für das Dreieck AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Wir haben:

Also die Koordinaten des Punktes S:

Definition

Pyramide ist ein Polyeder, das aus einem Polygon $A_1A_2...A_n$ und $n$ Dreiecken mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt $P$ (der nicht in der Ebene des Polygons liegt) und gegenüberliegenden Seiten besteht, die mit dem zusammenfallen Seiten des Polygons.
Bezeichnung: $PA_1A_2...A_n$ .
Beispiel: fünfeckige Pyramide $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Dreiecke $PA_1A_2, \PA_2A_3$ usw. werden genannt Seitenflächen Pyramiden, Segmente $PA_1, PA_2$ usw. – seitliche Rippen, Polygon $A_1A_2A_3A_4A_5$ – Basis, Punkt $P$ – Spitze.

Höhe Pyramiden sind eine Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis verläuft.

Man nennt eine Pyramide mit einem Dreieck an der Basis Tetraeder.

Die Pyramide heißt richtig, wenn seine Basis ein regelmäßiges Vieleck ist und eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

$(a)$ die Seitenkanten der Pyramide sind gleich;

$(b)$ die Höhe der Pyramide verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises, der nahe der Basis umschrieben wird;

$(c)$ die Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.

$(d)$ die Seitenflächen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.

Regelmäßiges Tetraeder ist eine dreieckige Pyramide, deren Flächen alle gleichseitige gleichseitige Dreiecke sind.

Satz

Die Bedingungen $(a), (b), (c), (d)$ sind äquivalent.

Nachweisen

Lassen Sie uns die Höhe der Pyramide $PH$ ermitteln. Sei $\alpha$ die Ebene der Basis der Pyramide.

1) Beweisen wir, dass aus $(a)$ $(b)$ folgt. Sei $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

Weil $PH\perp \alpha$, dann steht $PH$ senkrecht zu jeder in dieser Ebene liegenden Geraden, was bedeutet, dass die Dreiecke rechtwinklig sind. Dies bedeutet, dass diese Dreiecke im gemeinsamen Bein $PH$ und in der Hypotenuse $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ gleich sind. Also, $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . Das bedeutet, dass die Punkte $A_1, A_2, ..., A_n$ den gleichen Abstand vom Punkt $H$ haben, also auf demselben Kreis mit dem Radius $A_1H$ liegen. Dieser Kreis wird per Definition um das Polygon $A_1A_2...A_n$ herum beschrieben.

2) Lassen Sie uns beweisen, dass $(b)$ $(c)$ impliziert.

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ rechteckig und gleich auf zwei Beinen. Das bedeutet, dass auch ihre Winkel gleich sind, also $\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH$.

3) Lassen Sie uns beweisen, dass $(c)$ $(a)$ impliziert.

Ähnlich wie beim ersten Punkt, Dreiecke $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ rechteckig sowohl entlang des Beins als auch im spitzen Winkel. Das bedeutet, dass auch ihre Hypotenusen gleich sind, also $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Beweisen wir, dass $(b)$ $(d)$ impliziert.

Weil In einem regelmäßigen Polygon fallen die Mittelpunkte des umschriebenen und des eingeschriebenen Kreises zusammen (im Allgemeinen wird dieser Punkt als Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks bezeichnet), dann ist $H$ der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Zeichnen wir Senkrechte vom Punkt $H$ zu den Seiten der Basis: $HK_1, HK_2$ usw. Dies sind die Radien des eingeschriebenen Kreises (per Definition). Dann gemäß TTP ($PH$ ist senkrecht zur Ebene, $HK_1, HK_2$ usw. sind Projektionen senkrecht zu den Seiten) geneigt $PK_1, PK_2$ usw. senkrecht zu den Seiten $A_1A_2, A_2A_3$ usw. jeweils. Also per Definition $\angle PK_1H, \angle PK_2H$ gleich den Winkeln zwischen den Seitenflächen und der Basis. Weil Dreiecke $PK_1H, PK_2H, ...$ gleich sind (als Rechtecke auf zwei Seiten), dann die Winkel $\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...$ sind gleich.

5) Beweisen wir, dass $(d)$ $(b)$ impliziert.

Ähnlich wie beim vierten Punkt sind die Dreiecke $PK_1H, PK_2H, ...$ gleich (als Rechteck entlang des Schenkels und spitzer Winkel), was bedeutet, dass die Segmente $HK_1=HK_2=...=HK_n$ sind gleich. Dies bedeutet per Definition, dass $H$ der Mittelpunkt eines in die Basis eingeschriebenen Kreises ist. Aber weil Bei regelmäßigen Polygonen fallen die Mittelpunkte des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises zusammen, dann ist $H$ der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Chtd.

Folge

Die Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke.

Definition

Die Höhe der Seitenfläche einer von ihrem Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema.
Die Apotheme aller Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich und sind auch Mediane und Winkelhalbierende.

Wichtige Notizen

1. Die Höhe stimmt Dreieckige Pyramide fällt am Schnittpunkt der Höhen (oder Winkelhalbierenden oder Mittellinien) der Basis (die Basis ist ein regelmäßiges Dreieck).

2. Die Höhe einer regelmäßigen viereckigen Pyramide fällt am Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (die Grundfläche ist ein Quadrat).

3. Die Höhe einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide fällt am Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (die Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck).

4. Die Höhe der Pyramide steht senkrecht zu jeder geraden Linie, die an der Basis liegt.

Definition

Die Pyramide heißt rechteckig, wenn eine seiner Seitenkanten senkrecht zur Ebene der Grundfläche steht.

Wichtige Notizen

1. Bei einer rechteckigen Pyramide entspricht die Kante senkrecht zur Basis der Höhe der Pyramide. Das heißt, $SR$ ist die Höhe.

2. Weil $SR$ ist dann senkrecht zu jeder Linie von der Basis $\triangle SRM, \triangle SRP$– rechtwinklige Dreiecke.

3. Dreiecke $\triangle SRN, \triangle SRK$- auch rechteckig.
Das heißt, jedes Dreieck, das durch diese Kante und die Diagonale gebildet wird, die vom Scheitelpunkt dieser an der Basis liegenden Kante ausgeht, ist rechteckig.

\[(\Large(\text(Volumen und Oberfläche der Pyramide)))\]

Satz

Das Volumen der Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Grundfläche und der Höhe der Pyramide: \

Folgen

Sei $a$ die Seite der Basis, $h$ die Höhe der Pyramide.

1. Das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt $V_(\text(rechtwinkliges Dreieck.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. Das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide beträgt $V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h$.

3. Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide beträgt $V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. Das Volumen eines regelmäßigen Tetraeders beträgt $V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Satz

Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definition

Betrachten Sie eine beliebige Pyramide $PA_1A_2A_3...A_n$ . Zeichnen wir eine Ebene parallel zur Basis der Pyramide durch einen bestimmten Punkt, der an der Seitenkante der Pyramide liegt. Diese Ebene teilt die Pyramide in zwei Polyeder, von denen eines eine Pyramide ($PB_1B_2...B_n$) ist und das andere aufgerufen wird Pyramidenstumpf($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

Der Pyramidenstumpf hat zwei Grundflächen – die Polygone $A_1A_2...A_n$ und $B_1B_2...B_n$, die einander ähnlich sind.

Die Höhe eines Pyramidenstumpfes ist eine Senkrechte, die von einem Punkt der oberen Basis zur Ebene der unteren Basis verläuft.

Wichtige Notizen

1. Alle Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

2. Das Segment, das die Mittelpunkte der Grundflächen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes (d. h. einer Pyramide, die durch den Querschnitt einer regelmäßigen Pyramide entsteht) verbindet, ist die Höhe.

Wie kann man eine Pyramide bauen? Auf der Oberfläche R Konstruieren wir ein Polygon, zum Beispiel das Fünfeck ABCDE. Aus der Ebene R Nehmen wir Punkt S. Indem wir Punkt S mit Segmenten mit allen Punkten des Polygons verbinden, erhalten wir die SABCDE-Pyramide (Abb.).

Punkt S heißt Spitze, und das Polygon ABCDE ist Basis diese Pyramide. Somit ist eine Pyramide mit Spitze S und Basis ABCDE die Vereinigung aller Segmente mit M ∈ ABCDE.

Es werden die Dreiecke SAB, SBC, SCD, SDE, SEA genannt Seitenflächen Pyramiden, gemeinsame Seiten der Seitenflächen SA, SB, SC, SD, SE - seitliche Rippen.

Die Pyramiden heißen dreieckig, viereckig, p-eckig abhängig von der Anzahl der Seiten der Basis. In Abb. Es werden Bilder von dreieckigen, viereckigen und sechseckigen Pyramiden gegeben.

Die Ebene, die durch die Spitze der Pyramide und die Diagonale der Basis verläuft, heißt Diagonale, und der resultierende Abschnitt ist Diagonale. In Abb. 186 Einer der diagonalen Abschnitte der sechseckigen Pyramide ist schattiert.

Das senkrechte Segment, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird, wird als Höhe der Pyramide bezeichnet (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten).

Die Pyramide heißt richtig, wenn die Basis der Pyramide ein regelmäßiges Vieleck ist und die Spitze der Pyramide in deren Mittelpunkt projiziert wird.

Alle Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind kongruente gleichschenklige Dreiecke. Bei einer regelmäßigen Pyramide sind alle Seitenkanten deckungsgleich.

Die Höhe der Seitenfläche einer von ihrem Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema Pyramiden. Alle Apotheme einer regelmäßigen Pyramide sind kongruent.

Wenn wir die Seite der Basis als bezeichnen A, und das Apothem durch H, dann beträgt die Fläche einer Seitenfläche der Pyramide 1/2 Ah.

Man nennt die Summe der Flächen aller Seitenflächen der Pyramide Mantelfläche Pyramide und wird mit der S-Seite bezeichnet.

Da die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide besteht N also deckungsgleiche Gesichter

S-Seite = 1/2 ahn= P H / 2 ,

wobei P der Umfang der Basis der Pyramide ist. Somit,

S-Seite = P H / 2

d.h. Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide entspricht der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem.

Die Gesamtoberfläche der Pyramide wird nach der Formel berechnet

S = S okn. + S-Seite. .

Das Volumen der Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Fläche ihrer Grundfläche S ocn. bis Höhe H:

V = 1 / 3 S Haupt. N.

Die Herleitung dieser und einiger anderer Formeln wird in einem der folgenden Kapitel angegeben.

Lassen Sie uns nun eine Pyramide auf andere Weise bauen. Gegeben sei ein polyedrischer Winkel, zum Beispiel ein Pentaeder, mit dem Scheitelpunkt S (Abb.).

Lass uns ein Flugzeug zeichnen R so dass es alle Kanten eines gegebenen Polyederwinkels schneidet verschiedene Punkte A, B, C, D, E (Abb.). Dann kann die SABCDE-Pyramide als Schnittpunkt eines Polyederwinkels und eines Halbraums mit dem Rand betrachtet werden R, in dem der Scheitelpunkt S liegt.

Natürlich kann die Anzahl aller Flächen der Pyramide beliebig sein, jedoch nicht weniger als vier. Wenn ein Dreieckswinkel eine Ebene schneidet, entsteht eine dreieckige Pyramide mit vier Seiten. Manchmal wird auch jede dreieckige Pyramide genannt Tetraeder, was Tetraeder bedeutet.

Pyramidenstumpf kann erhalten werden, wenn die Pyramide von einer Ebene parallel zur Grundebene geschnitten wird.

In Abb. Gegeben ist das Bild eines viereckigen Pyramidenstumpfes.

Auch Pyramidenstümpfe werden genannt dreieckig, viereckig, n-eckig abhängig von der Anzahl der Seiten der Basis. Aus der Konstruktion eines Pyramidenstumpfes folgt, dass er zwei Basen hat: eine obere und eine untere. Die Grundflächen eines Pyramidenstumpfes sind zwei Vielecke, deren Seiten paarweise parallel sind. Die Seitenflächen des Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

Höhe Ein Pyramidenstumpf ist ein senkrechtes Segment, das von einem beliebigen Punkt der oberen Basis zur Ebene der unteren Basis verläuft.

Regelmäßiger Pyramidenstumpf ist der Teil einer regelmäßigen Pyramide, der zwischen der Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist. Man nennt die Höhe der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes (Trapez). Apothema.

Es lässt sich beweisen, dass ein regelmäßiger Pyramidenstumpf kongruente Seitenkanten hat, alle Seitenflächen kongruent sind und alle Apotheme kongruent sind.

Wenn in der richtigen abgeschnittenen Form N-Kohlenpyramide durch A Und b n Geben Sie die Längen der Seiten der oberen und unteren Basis sowie die durchgehende Länge an H ist die Länge des Apothems, dann ist die Fläche jeder Seitenfläche der Pyramide gleich

1 / 2 (A + b n) H

Die Summe der Flächen aller Seitenflächen der Pyramide wird als Fläche ihrer Seitenfläche bezeichnet und als S-Seite bezeichnet. . Offensichtlich für eine korrekte Verkürzung N-Kohlenpyramide

S-Seite = N 1 / 2 (A + b n) H.

Als pa= P und nb n= P 1 - also der Umfang der Grundflächen des Pyramidenstumpfes

S-Seite = 1 / 2 (P + P 1) H,

Das heißt, die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes ist gleich der Hälfte des Produkts aus der Summe der Umfänge seiner Grundflächen und des Apothems.

Schnitt parallel zur Basis der Pyramide

Satz. Wenn die Pyramide von einer Ebene parallel zur Basis geschnitten wird, dann gilt:

1) die Seitenrippen und die Höhe werden in proportionale Teile geteilt;

2) im Querschnitt erhalten Sie ein der Basis ähnliches Polygon;

3) Die Querschnittsflächen und Grundflächen werden als Quadrate ihrer Abstände von der Oberseite in Beziehung gesetzt.

Es reicht aus, den Satz für eine dreieckige Pyramide zu beweisen.

Da parallele Ebenen von einer dritten Ebene entlang paralleler Linien geschnitten werden, gilt (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (Abb.).

Parallele Linien schneiden die Seiten eines Winkels in proportionale Teile und daher

Daher ist ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 und

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 und

Auf diese Weise,

Die entsprechenden Winkel der Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 sind kongruent, wie Winkel mit parallelen und identischen Seiten. Deshalb

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Die Flächen ähnlicher Dreiecke werden als Quadrate der entsprechenden Seiten in Beziehung gesetzt:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

Somit,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Satz. Wenn zwei Pyramiden mit gleicher Höhe im gleichen Abstand von der Spitze durch Ebenen parallel zu den Grundflächen geschnitten werden, dann sind die Flächen der Abschnitte proportional zu den Flächen der Grundflächen.

Sei (Abb. 84) B und B 1 die Flächen der Grundflächen zweier Pyramiden, H sei die Höhe jeder von ihnen, B Und B 1 - Schnittflächen durch Ebenen parallel zu den Basen und im gleichen Abstand von den Eckpunkten entfernt H.

Nach dem vorherigen Satz erhalten wir:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: und \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
Wo
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: oder \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Folge. Wenn B = B 1, dann B = B 1, d.h. Wenn zwei Pyramiden gleicher Höhe gleiche Grundflächen haben, dann sind die Abschnitte gleich weit von der Spitze entfernt.

Andere Materialien

Hypothese: Wir glauben, dass die Perfektion der Pyramidenform auf den mathematischen Gesetzen beruht, die ihrer Form innewohnen.

Ziel: Nachdem Sie die Pyramide als geometrischen Körper untersucht haben, erklären Sie die Perfektion ihrer Form.

Aufgaben:

1. Geben Sie eine mathematische Definition einer Pyramide an.

2. Studieren Sie die Pyramide als geometrischen Körper.

3. Verstehen Sie, welche mathematischen Kenntnisse die Ägypter in ihre Pyramiden integriert haben.

Private Fragen:

1. Was ist eine Pyramide als geometrischer Körper?

2. Wie lässt sich die einzigartige Form der Pyramide aus mathematischer Sicht erklären?

3. Was erklärt die geometrischen Wunder der Pyramide?

4. Was erklärt die Perfektion der Pyramidenform?

Definition einer Pyramide.

PYRAMIDE (von griech. pyramis, gen. Pyramidos) – ein Polyeder, dessen Basis ein Vieleck ist und dessen übrige Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind (Zeichnung). Basierend auf der Anzahl der Grundwinkel werden Pyramiden in dreieckige, viereckige usw. eingeteilt.

PYRAMIDE - ein monumentales Gebäude mit Geometrische Figur Pyramiden (manchmal auch stufen- oder turmförmig). Als Pyramiden werden die riesigen Gräber der altägyptischen Pharaonen des 3.-2. Jahrtausends v. Chr. bezeichnet. sowie antike amerikanische Tempelsockel (in Mexiko, Guatemala, Honduras, Peru), die mit kosmologischen Kulten verbunden sind.

Es ist möglich dass griechisches Wort„Pyramide“ kommt vom ägyptischen Ausdruck per-em-us, also von einem Begriff, der die Höhe der Pyramide bedeutet. Der herausragende russische Ägyptologe V. Struve glaubte, dass das griechische „puram...j“ vom altägyptischen „p“-mr“ stammt.

Aus der Geschichte. Nach dem Studium des Materials im Lehrbuch „Geometrie“ der Autoren von Atanasyan. Butuzov und anderen haben wir Folgendes gelernt: Ein Polyeder, das aus einem n-Eck A1A2A3 ... An und n Dreiecken PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 besteht, wird Pyramide genannt. Das Polygon A1A2A3...An ist die Basis der Pyramide und die Dreiecke PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 sind die Seitenflächen der Pyramide, P ist die Spitze der Pyramide, die Segmente PA1, PA2,..., PAn sind die Seitenkanten.

Allerdings existierte diese Definition einer Pyramide nicht immer. Beispielsweise definiert der antike griechische Mathematiker, der Autor der uns überlieferten theoretischen Abhandlungen über Mathematik, Euklid, eine Pyramide als eine feste Figur, die von Ebenen begrenzt wird, die von einer Ebene zu einem Punkt zusammenlaufen.

Diese Definition wurde jedoch bereits in der Antike kritisiert. Daher schlug Heron die folgende Definition einer Pyramide vor: „Es ist eine Figur, die von Dreiecken begrenzt wird, die in einem Punkt zusammenlaufen, und deren Basis ein Polygon ist.“

Unsere Gruppe kam nach dem Vergleich dieser Definitionen zu dem Schluss, dass sie keine klare Formulierung des Begriffs „Stiftung“ haben.

Wir untersuchten diese Definitionen und fanden die Definition von Adrien Marie Legendre, der 1794 in seinem Werk „Elemente der Geometrie“ eine Pyramide wie folgt definiert: „Eine Pyramide ist eine feste Figur, die aus Dreiecken besteht, die in einem Punkt zusammenlaufen und auf verschiedenen Seiten enden.“ eine flache Basis.“

Es scheint uns, dass die letzte Definition eine klare Vorstellung von der Pyramide gibt, da sie wir reden über dass die Basis flach ist. Eine andere Definition einer Pyramide erschien in einem Lehrbuch aus dem 19. Jahrhundert: „Eine Pyramide ist ein Raumwinkel, der von einer Ebene geschnitten wird.“

Pyramide als geometrischer Körper.

Das. Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche (Basis) ein Polygon ist, die übrigen Flächen (Seiten) sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt (dem Scheitelpunkt der Pyramide).

Die Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis gezogen wird, heißt HöheH Pyramiden.

Neben der willkürlichen Pyramide gibt es noch richtige Pyramide an der Basis befindet sich ein regelmäßiges Vieleck und Pyramidenstumpf.

In der Abbildung ist PABCD eine Pyramide, ABCD ist ihre Basis, PO ist ihre Höhe.

Gesamtfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Sfull = Sside + Smain, Wo Seite– die Summe der Flächen der Seitenflächen.

Volumen der Pyramide wird durch die Formel gefunden:

V=1/3Sbas. H, wo Sbas. - Grundfläche, H- Höhe.

Die Achse einer regelmäßigen Pyramide ist die Gerade, die ihre Höhe enthält.
Apothem ST ist die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide wird wie folgt ausgedrückt: Sside. =1/2P H, wobei P der Umfang der Basis ist, H- Höhe der Seitenfläche (Apothem einer regelmäßigen Pyramide). Wenn die Pyramide von der zur Basis parallelen Ebene A’B’C’D’ geschnitten wird, dann gilt:

1) Die Seitenrippen und die Höhe werden durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

2) im Querschnitt erhält man ein Polygon A’B’C’D’, ähnlich der Basis;

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Man spricht von einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide Tetraeder .

Pyramidenstumpf wird erhalten, indem der obere Teil der Pyramide mit einer Ebene parallel zur Basis abgeschnitten wird (Abbildung ABCDD’C’B’A’).

Basen eines Pyramidenstumpfes– ähnliche Polygone ABCD und A`B`C`D`, Seitenflächen sind Trapeze.

Höhe Pyramidenstumpf - der Abstand zwischen den Basen.

Abgeschnittenes Volumen Die Pyramide ergibt sich aus der Formel:

V=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Die Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes wird wie folgt ausgedrückt: Sside = ½(P+P') H, wobei P und P’ die Umfänge der Basen sind, H- Höhe der Seitenfläche (Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes).

Abschnitte einer Pyramide.

Abschnitte einer Pyramide durch Ebenen, die durch ihre Spitze verlaufen, sind Dreiecke.

Ein Abschnitt, der durch zwei nicht benachbarte Seitenkanten einer Pyramide verläuft, heißt Diagonalabschnitt.

Wenn der Schnitt durch einen Punkt an der Seitenkante und der Seite der Basis verläuft, dann ist seine Spur zur Ebene der Basis der Pyramide diese Seite.

Ein Schnitt durch einen auf der Pyramidenfläche liegenden Punkt und eine gegebene Schnittspur auf der Grundebene, dann sollte die Konstruktion wie folgt durchgeführt werden:

· Finden Sie den Schnittpunkt der Ebene einer bestimmten Fläche und der Spur des Pyramidenabschnitts und bezeichnen Sie ihn;

· Konstruieren Sie eine gerade Linie, die durch einen gegebenen Punkt und den resultierenden Schnittpunkt verläuft;

· Wiederholen Sie diese Schritte für die nächsten Gesichter.

, was dem Verhältnis der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks 4:3 entspricht. Dieses Verhältnis der Schenkel entspricht dem bekannten rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 3:4:5, das als „perfektes“, „heiliges“ oder „ägyptisches“ Dreieck bezeichnet wird. Historikern zufolge wurde dem „ägyptischen“ Dreieck eine magische Bedeutung zugeschrieben. Plutarch schrieb, dass die Ägypter die Natur des Universums mit einem „heiligen“ Dreieck verglichen; Sie verglichen das vertikale Bein symbolisch mit dem Ehemann, die Basis mit der Frau und die Hypotenuse mit dem, was aus beiden entsteht.

Für ein Dreieck 3:4:5 gilt die Gleichheit: 32 + 42 = 52, was den Satz des Pythagoras ausdrückt. Wollten die ägyptischen Priester nicht diesen Satz verewigen, indem sie eine Pyramide auf der Grundlage des Dreiecks 3:4:5 errichteten? Es ist schwer, mehr zu finden gutes Beispiel um den Satz des Pythagoras zu veranschaulichen, der den Ägyptern lange vor seiner Entdeckung durch Pythagoras bekannt war.

Also die brillanten Schöpfer ägyptische Pyramiden versuchten, entfernte Nachkommen mit der Tiefe ihres Wissens zu verblüffen, und sie erreichten dies, indem sie das „goldene“ rechtwinklige Dreieck als „geometrische Hauptidee“ für die Cheops-Pyramide und das „heilige“ oder „ägyptische“ Dreieck für die Chephren-Pyramide wählten .

Sehr oft nutzen Wissenschaftler in ihrer Forschung die Eigenschaften von Pyramiden mit den Proportionen des Goldenen Schnitts.

In Mathematik Enzyklopädisches Wörterbuch Die folgende Definition des Goldenen Schnitts wird gegeben – dies ist eine harmonische Teilung, Teilung im Extrem- und Durchschnittsverhältnis – die das Segment AB so in zwei Teile teilt, dass sein größerer Teil AC das durchschnittliche Verhältnis zwischen dem gesamten Segment AB und seinem ist kleinerer Teil NE.

Algebraische Bestimmung des Goldenen Schnitts eines Segments AB = a reduziert sich auf die Lösung der Gleichung a: x = x: (a – x), woraus x ungefähr gleich 0,62a ist. Das Verhältnis x kann als Brüche 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618 ausgedrückt werden, wobei 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci-Zahlen sind.

Die geometrische Konstruktion des Goldenen Schnitts des Segments AB erfolgt wie folgt: Am Punkt B wird eine Senkrechte zu AB wiederhergestellt, das Segment BE = 1/2 AB wird darauf angelegt, A und E werden verbunden, DE = BE wird abgelegt und schließlich ist AC = AD, dann ist die Gleichheit AB erfüllt: CB = 2:3.

Goldener Schnitt werden oft in Kunstwerken und in der Architektur verwendet und sind in der Natur zu finden. Anschauliche Beispiele sind die Skulptur von Apollo Belvedere und der Parthenon. Beim Bau des Parthenon wurde das Verhältnis der Höhe des Gebäudes zu seiner Länge verwendet und dieses Verhältnis beträgt 0,618. Auch Objekte um uns herum sind Beispiele für den Goldenen Schnitt, beispielsweise haben die Einbände vieler Bücher ein Breiten-zu-Längen-Verhältnis von etwa 0,618. Wenn man die Anordnung der Blätter am gemeinsamen Stamm der Pflanzen betrachtet, kann man feststellen, dass sich zwischen jeweils zwei Blattpaaren das dritte im Goldenen Schnitt befindet (Folien). Jeder von uns „trägt“ den Goldenen Schnitt „in seinen Händen“ bei sich – das ist das Verhältnis der Fingerglieder.

Dank der Entdeckung mehrerer mathematischer Papyri haben Ägyptologen etwas über die altägyptischen Rechen- und Messsysteme gelernt. Die darin enthaltenen Aufgaben wurden von Schreibern gelöst. Einer der berühmtesten ist der Rhind Mathematical Papyrus. Durch die Untersuchung dieser Probleme erfuhren die Ägyptologen, wie die alten Ägypter mit den verschiedenen Größen umgingen, die bei der Berechnung von Maßen für Gewicht, Länge und Volumen anfielen, bei denen es sich oft um Brüche handelte, und wie sie mit Winkeln umgingen.

Die alten Ägypter verwendeten eine Methode zur Winkelberechnung, die auf dem Verhältnis der Höhe zur Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks basierte. Sie drückten jeden Winkel in der Sprache eines Gradienten aus. Der Neigungsgradient wurde als ganzzahliges Verhältnis namens „seced“ ausgedrückt. In Mathematics in the Age of the Pharaohs erklärt Richard Pillins: „Der Seked einer regelmäßigen Pyramide ist die Neigung einer der vier dreieckigen Flächen zur Ebene der Grundfläche, gemessen durch die n-te Anzahl horizontaler Einheiten pro vertikaler Steigungseinheit . Somit entspricht diese Maßeinheit unserem modernen Kotangens des Neigungswinkels. Daher ist das ägyptische Wort „seced“ mit unserem verwandt modernes Wort"Gradient"".

Der numerische Schlüssel zu den Pyramiden liegt im Verhältnis ihrer Höhe zur Grundfläche. Praktisch gesehen ist dies die einfachste Möglichkeit, die notwendigen Schablonen anzufertigen, um während des gesamten Baus der Pyramide ständig den richtigen Neigungswinkel zu überprüfen.

Ägyptologen würden uns gerne davon überzeugen, dass jeder Pharao seine Individualität zum Ausdruck bringen wollte, weshalb sich die Neigungswinkel der einzelnen Pyramiden unterscheiden. Es könnte aber auch einen anderen Grund haben. Vielleicht wollten sie alle unterschiedliche symbolische Assoziationen verkörpern, die in unterschiedlichen Proportionen verborgen waren. Der Winkel der Chephren-Pyramide (basierend auf dem Dreieck (3:4:5) erscheint jedoch in den drei Problemen, die die Pyramiden im Rhind Mathematical Papyrus darstellen). Diese Haltung war den alten Ägyptern also wohlbekannt.

Um Ägyptologen gegenüber fair zu sein, die behaupten, dass die alten Ägypter das Dreieck 3:4:5 nicht kannten, wurde die Länge der Hypotenuse 5 nie erwähnt. Aber Mathe Probleme Fragen zu Pyramiden werden immer anhand des zweiten Winkels entschieden – dem Verhältnis der Höhe zur Grundfläche. Da die Länge der Hypotenuse nie erwähnt wurde, wurde der Schluss gezogen, dass die Ägypter nie die Länge der dritten Seite berechneten.

Die Höhen-zu-Grundverhältnisse der Pyramiden von Gizeh waren den alten Ägyptern zweifellos bekannt. Es ist möglich, dass diese Beziehungen für jede Pyramide willkürlich gewählt wurden. Dies widerspricht jedoch der Bedeutung, die der Zahlensymbolik in allen ägyptischen Formen beigemessen wird bildende Kunst. Es ist sehr wahrscheinlich, dass solche Beziehungen bedeutsam waren, weil sie spezifisch waren religiöse Vorstellungen. Mit anderen Worten: Der gesamte Gizeh-Komplex wurde einem kohärenten Entwurf unterworfen, der ein bestimmtes göttliches Thema widerspiegeln sollte. Dies würde erklären, warum die Designer für die drei Pyramiden unterschiedliche Winkel gewählt haben.

In „Das Geheimnis des Orion“ präsentierten Bauval und Gilbert überzeugende Beweise für die Verbindung der Pyramiden von Gizeh mit dem Sternbild Orion, insbesondere mit den Sternen des Oriongürtels. Das gleiche Sternbild ist im Mythos von Isis und Osiris vorhanden, und es gibt Grund zur Annahme Jede Pyramide stellt eine der drei Hauptgottheiten dar: Osiris, Isis und Horus.

„GEOMETRISCHE“ WUNDER.

Unter den grandiosen Pyramiden Ägyptens spezieller Ort dauert Große Pyramide des Pharaos Cheops (Khufu). Bevor wir beginnen, die Form und Größe der Cheops-Pyramide zu analysieren, sollten wir uns daran erinnern, welches Maßsystem die Ägypter verwendeten. Die Ägypter hatten drei Längeneinheiten: eine „Elle“ (466 mm), die sieben „Handflächen“ (66,5 mm) entsprach, was wiederum vier „Fingern“ (16,6 mm) entsprach.

Analysieren wir die Dimensionen der Cheops-Pyramide (Abb. 2) und folgen wir dabei den Argumenten im wunderbaren Buch des ukrainischen Wissenschaftlers Nikolai Vasyutinsky „The Golden Proportion“ (1990).

Die meisten Forscher sind sich einig, dass beispielsweise die Seitenlänge der Pyramidenbasis GF gleich L= 233,16 m. Dieser Wert entspricht fast genau 500 „Ellbogen“. Die vollständige Einhaltung von 500 „Bögen“ erfolgt, wenn die Länge des „Bogens“ mit 0,4663 m angenommen wird.

Höhe der Pyramide ( H) wird von Forschern unterschiedlich auf 146,6 bis 148,2 m geschätzt. Und je nach akzeptierter Höhe der Pyramide ändern sich alle Beziehungen ihrer geometrischen Elemente. Was ist der Grund für die unterschiedlichen Schätzungen der Höhe der Pyramide? Fakt ist, dass die Cheops-Pyramide streng genommen stumpf ist. Ihre obere Plattform misst heute etwa 10 x 10 m, vor einem Jahrhundert waren es jedoch 6 x 6 m. Offensichtlich wurde die Spitze der Pyramide abgebaut und entspricht nicht der ursprünglichen.

Bei der Beurteilung der Höhe der Pyramide muss ein physikalischer Faktor wie der „Tiefgang“ der Struktur berücksichtigt werden. Hinter lange Zeit Unter dem Einfluss des kolossalen Drucks (der 500 Tonnen pro 1 m2 der unteren Oberfläche erreichte) verringerte sich die Höhe der Pyramide im Vergleich zu ihrer ursprünglichen Höhe.

Wie hoch war die Pyramide ursprünglich? Diese Höhe kann nachgebildet werden, indem man die grundlegende „geometrische Idee“ der Pyramide findet.

Figur 2.

Im Jahr 1837 maß der englische Oberst G. Wise den Neigungswinkel der Flächen der Pyramide: Es stellte sich heraus, dass er gleich war A= 51°51". Dieser Wert wird auch heute noch von den meisten Forschern erkannt. Der angegebene Winkelwert entspricht der Tangente (tg A), gleich 1,27306. Dieser Wert entspricht dem Verhältnis der Höhe der Pyramide Wechselstrom auf die Hälfte seiner Basis C.B.(Abb.2), das heißt A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Und hier erwarteten die Forscher eine große Überraschung!.png" width="25" height="24">= 1,272. Vergleich dieses Wertes mit dem tg-Wert A= 1,27306, wir sehen, dass diese Werte sehr nahe beieinander liegen. Wenn wir den Winkel nehmen A= 51°50", also nur um eine Bogenminute reduzieren, dann den Wert A wird gleich 1,272, das heißt, es wird mit dem Wert übereinstimmen. Es sei darauf hingewiesen, dass G. Wise 1840 seine Messungen wiederholte und den Wert des Winkels klarstellte A=51°50".

Diese Messungen führten die Forscher zu der folgenden sehr interessanten Hypothese: Das Dreieck ACB der Cheops-Pyramide basierte auf der Beziehung AC / C.B. = = 1,272!

Betrachten Sie nun das rechtwinklige Dreieck ABC, in dem das Verhältnis der Beine A.C. / C.B.= (Abb. 2). Wenn nun die Längen der Seiten des Rechtecks ABC bezeichnen durch X, j, z, und berücksichtigen Sie auch das Verhältnis j/X= , dann nach dem Satz des Pythagoras die Länge z kann mit der Formel berechnet werden:

Wenn wir akzeptieren X = 1, j= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figur 3.„Goldenes“ rechtwinkliges Dreieck.

Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten wie folgt zusammenhängen: T:goldenes rechtwinkliges Dreieck.

Wenn wir dann die Hypothese zugrunde legen, dass die wichtigste „geometrische Idee“ der Cheops-Pyramide ein „goldenes“ rechtwinkliges Dreieck ist, können wir von hier aus leicht die „Design“-Höhe der Cheops-Pyramide berechnen. Es ist gleich:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Lassen Sie uns nun einige weitere Beziehungen für die Cheops-Pyramide ableiten, die aus der „goldenen“ Hypothese folgen. Insbesondere finden wir das Verhältnis der Außenfläche der Pyramide zur Fläche ihrer Grundfläche. Dazu nehmen wir die Länge des Beins C.B. pro Einheit, das heißt: C.B.= 1. Aber dann die Länge der Seite der Basis der Pyramide GF= 2, und die Fläche der Basis E F G H wird gleich sein SEFGH = 4.

Berechnen wir nun die Fläche der Seitenfläche der Cheops-Pyramide SD. Wegen der Höhe AB Dreieck AEF gleich T, dann ist die Fläche der Seitenfläche gleich SD = T. Dann beträgt die Gesamtfläche aller vier Seitenflächen der Pyramide 4 T, und das Verhältnis der gesamten Außenfläche der Pyramide zur Grundfläche entspricht dem Goldenen Schnitt! Das ist es - das wichtigste geometrische Geheimnis der Cheops-Pyramide!

Zur Gruppe „ geometrische Wunder„Die Cheops-Pyramiden lassen sich auf die realen und fiktiven Eigenschaften der Beziehung zwischen ihnen zurückführen verschiedene Dimensionen in der Pyramide.

In der Regel werden sie auf der Suche nach bestimmten „Konstanten“ ermittelt, insbesondere nach der Zahl „pi“ (Ludolfos Zahl), gleich 3,14159...; die Basis des natürlichen Logarithmus „e“ (Neperovo-Zahl), gleich 2,71828...; die Zahl „F“, die Zahl des „Goldenen Schnitts“, gleich beispielsweise 0,618... usw.

Sie können zum Beispiel benennen: 1) Eigentum von Herodot: (Höhe)2 = 0,5 art. Basic x Apothem; 2) Eigentum von V. Preis: Höhe: 0,5 Art. Basis = Quadratwurzel von „F“; 3) Eigenschaft von M. Eist: Umfang der Basis: 2 Höhe = „Pi“; in einer anderen Interpretation - 2 EL. Basic : Höhe = "Pi"; 4) Eigentum von G. Edge: Radius des eingeschriebenen Kreises: 0,5 art. Basic = „F“; 5) Eigentum von K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art . main X Apothem) + (v. main)2). Und dergleichen. Besonders wenn man zwei benachbarte Pyramiden miteinander verbindet, kann man sich viele solcher Eigenschaften ausdenken. Als „Eigenschaften von A. Arefiev“ können wir beispielsweise erwähnen, dass der Volumenunterschied der Cheops-Pyramide und der Chephren-Pyramide doppelt so groß ist wie das Volumen der Mikerin-Pyramide...

Viele interessante Bestimmungen Insbesondere der Bau von Pyramiden nach dem „Goldenen Schnitt“ wird in den Büchern von D. Hambidge beschrieben. Dynamische Symmetrie in der Architektur“ und M. Ghik „Ästhetik der Proportionen in Natur und Kunst“. Erinnern wir uns daran, dass der „Goldene Schnitt“ die Teilung eines Segments in einem solchen Verhältnis ist, wenn Teil A so oft größer ist als Teil B, wie viele mal A ist kleiner als das gesamte Segment A + B. Das A/B-Verhältnis ist gleich der Zahl „F“ == 1,618... Dies weist auf die Verwendung des „Goldenen Schnitts“ nicht nur in einzelnen Pyramiden, sondern in der gesamten Pyramide hin Pyramidenkomplex in Gizeh.

Das Merkwürdigste ist jedoch, dass ein und dieselbe Cheops-Pyramide einfach nicht so viele wunderbare Eigenschaften enthalten „kann“. Wenn man eine bestimmte Eigenschaft einzeln betrachtet, kann sie „angepasst“ werden, aber nicht alle passen auf einmal – sie stimmen nicht überein, sie widersprechen sich. Wenn wir also beispielsweise bei der Überprüfung aller Eigenschaften zunächst die gleiche Seite der Pyramidenbasis (233 m) annehmen, dann sind auch die Höhen von Pyramiden mit unterschiedlichen Eigenschaften unterschiedlich. Mit anderen Worten, es gibt eine bestimmte „Familie“ von Pyramiden, die äußerlich Cheops ähneln, aber unterschiedliche Eigenschaften haben. Beachten Sie, dass an den „geometrischen“ Eigenschaften nichts besonders Wunderbares liegt – vieles ergibt sich rein automatisch aus den Eigenschaften der Figur selbst. Ein „Wunder“ sollte nur als etwas betrachtet werden, das für die alten Ägypter eindeutig unmöglich war. Dazu gehören insbesondere „kosmische“ Wunder, bei denen die Maße der Cheops-Pyramide oder des Pyramidenkomplexes von Gizeh mit einigen astronomischen Maßen verglichen und „gerade“ Zahlen angegeben werden: eine Million Mal weniger, eine Milliarde Mal weniger und bald. Betrachten wir einige „kosmische“ Beziehungen.

Eine der Aussagen lautet: „Wenn man die Seite der Pyramidenbasis durch die genaue Länge des Jahres teilt, erhält man genau 10 Millionstel der Erdachse.“ Berechnen Sie: Teilen Sie 233 durch 365, wir erhalten 0,638. Der Radius der Erde beträgt 6378 km.

Eine andere Aussage ist eigentlich das Gegenteil der vorherigen. F. Noetling wies darauf hin, dass, wenn man die von ihm selbst erfundene „ägyptische Elle“ verwendet, die Seite der Pyramide „der genauesten Dauer“ entspricht Sonnenjahr, ausgedrückt auf das nächste Milliardstel eines Tages" - 365.540.903.777.

Aussage von P. Smith: „Die Höhe der Pyramide beträgt genau ein Milliardstel der Entfernung von der Erde zur Sonne.“ Obwohl die Höhe normalerweise 146,6 m beträgt, hat Smith sie mit 148,2 m angenommen. Nach modernen Radarmessungen beträgt die große Halbachse der Erdumlaufbahn 149.597.870 + 1,6 km. Dies ist die durchschnittliche Entfernung von der Erde zur Sonne, im Perihel sind es jedoch 5.000.000 Kilometer weniger als im Aphel.

Eine letzte interessante Aussage:

„Wie können wir erklären, dass die Massen der Pyramiden von Cheops, Khafre und Mykerinus zueinander in Beziehung stehen, wie die Massen der Planeten Erde, Venus, Mars?“ Rechnen wir. Die Massen der drei Pyramiden betragen: Khafre – 0,835; Cheops – 1.000; Mikerin - 0,0915. Die Verhältnisse der Massen der drei Planeten: Venus - 0,815; Erde - 1.000; Mars - 0,108.

Trotz Skepsis stellen wir also die bekannte Harmonie der Aussagekonstruktion fest: 1) Die Höhe der Pyramide entspricht wie eine Linie, die „in den Weltraum geht“, der Entfernung von der Erde zur Sonne; 2) die Seite der Basis der Pyramide, die „dem Substrat“, also der Erde, am nächsten liegt, ist für den Erdradius und die Erdzirkulation verantwortlich; 3) Die Volumina der Pyramide (sprich: Massen) entsprechen dem Verhältnis der Massen der erdnächsten Planeten. Eine ähnliche „Chiffre“ lässt sich beispielsweise in verfolgen Bienenzunge, analysiert von Karl von Frisch. Wir werden jedoch vorerst davon absehen, zu dieser Angelegenheit Stellung zu nehmen.

Pyramidenform

Die berühmte tetraedrische Form der Pyramiden entstand nicht sofort. Die Skythen legten Bestattungen in Form von Erdhügeln an. Die Ägypter bauten „Hügel“ aus Stein – Pyramiden. Dies geschah erstmals nach der Vereinigung von Ober- und Unterägypten im 28. Jahrhundert v. Chr., als der Gründer der Dritten Dynastie, Pharao Djoser (Zoser), vor der Aufgabe stand, die Einheit des Landes zu stärken.

Und hier, so Historiker, „ neues Konzept„Vergöttlichung“ des Königs Obwohl sich die königlichen Bestattungen durch größere Pracht auszeichneten, unterschieden sie sich im Prinzip nicht von den Gräbern der Hofadligen, es handelte sich um die gleichen Bauwerke – Mastabas. Über der Kammer mit dem Sarkophag, der die Mumie enthielt, befand sich ein rechteckiger Es wurde ein Hügel aus kleinen Steinen gegossen, auf dem dann ein kleines Gebäude aus großen Steinblöcken errichtet wurde – „Mastaba“ (auf Arabisch – „Bank“). An der Stelle der Mastaba seines Vorgängers Sanakht errichtete Pharao Djoser das erste Die Pyramide war gestuft und stellte eine sichtbare Übergangsstufe von einer architektonischen Form zur anderen dar.

Auf diese Weise „erzog“ der Weise und Architekt Imhotep, der später als Zauberer galt und von den Griechen mit dem Gott Asklepios identifiziert wurde, den Pharao. Es war, als ob sechs Mastabas hintereinander errichtet würden. Darüber hinaus nahm die erste Pyramide eine Fläche von 1125 x 115 Metern ein, mit einer geschätzten Höhe von 66 Metern (nach ägyptischen Maßstäben - 1000 „Palmen“). Zunächst plante der Architekt den Bau einer Mastaba, allerdings nicht länglich, sondern quadratisch im Grundriss. Später wurde es erweitert, aber da die Erweiterung niedriger war, schien es, als gäbe es zwei Stufen.

Diese Situation befriedigte den Architekten nicht, und auf der oberen Plattform der riesigen flachen Mastaba platzierte Imhotep drei weitere, die nach oben hin allmählich abnahmen. Das Grab befand sich unter der Pyramide.

Es sind mehrere weitere Stufenpyramiden bekannt, aber später gingen die Erbauer dazu über, tetraedrische Pyramiden zu bauen, die uns bekannter sind. Warum aber nicht dreieckig oder etwa achteckig? Eine indirekte Antwort liefert die Tatsache, dass fast alle Pyramiden perfekt entlang der vier Himmelsrichtungen ausgerichtet sind und daher vier Seiten haben. Darüber hinaus war die Pyramide ein „Haus“, die Hülle einer viereckigen Grabkammer.

Aber was bestimmte den Neigungswinkel der Gesichter? Im Buch „Das Prinzip der Proportionen“ ist diesem Thema ein ganzes Kapitel gewidmet: „Was könnte die Neigungswinkel der Pyramiden bestimmt haben?“ Insbesondere wird darauf hingewiesen, dass „das Bild, zu dem sich die großen Pyramiden hingezogen fühlen.“ Altes Königreich- ein Dreieck mit einem rechten Winkel an der Spitze.

Im Raum ist es ein Halboktaeder: eine Pyramide, bei der die Kanten und Seiten der Grundfläche gleich sind, die Kanten sind gleichseitige Dreiecke.“ In den Büchern von Hambidge, Gick und anderen werden zu diesem Thema bestimmte Überlegungen angestellt.

Was ist der Vorteil des Halboktaederwinkels? Nach Beschreibungen von Archäologen und Historikern stürzten einige Pyramiden unter ihrem eigenen Gewicht ein. Was benötigt wurde, war ein „Haltbarkeitswinkel“, ein Winkel, der energetisch am zuverlässigsten war. Rein empirisch lässt sich dieser Winkel aus dem Scheitelwinkel in einem Haufen bröckelnden, trockenen Sandes ableiten. Um jedoch genaue Daten zu erhalten, müssen Sie ein Modell verwenden. Nehmen Sie vier fest fixierte Kugeln, legen Sie eine fünfte darauf und messen Sie die Neigungswinkel. Allerdings kann man hier auch mal einen Fehler machen, daher hilft eine theoretische Rechnung: Man sollte die Mittelpunkte der Kugeln mit Linien (gedanklich) verbinden. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge, die dem Doppelten des Radius entspricht. Das Quadrat ist nur die Basis der Pyramide, deren Kantenlänge ebenfalls dem Doppelten des Radius entspricht.

Eine dichte Kugelpackung wie 1:4 ergibt also ein regelmäßiges Halboktaeder.

Warum jedoch behalten viele Pyramiden, die eine ähnliche Form anstreben, diese dennoch nicht bei? Die Pyramiden sind wahrscheinlich in die Jahre gekommen. Im Gegensatz zu dem berühmten Sprichwort:

„Alles auf der Welt hat Angst vor der Zeit, und die Zeit hat Angst vor Pyramiden.“ Die Gebäude der Pyramiden müssen altern, in ihnen können und sollten nicht nur Prozesse der äußeren Verwitterung auftreten, sondern auch Prozesse der inneren „Schrumpfung“, die möglicherweise auftreten Dadurch werden die Pyramiden niedriger. Schrumpfung ist auch deshalb möglich, weil die alten Ägypter, wie die Arbeit von D. Davidovits zeigt, die Technologie der Herstellung von Blöcken aus Kalkspänen, also aus „Beton“, nutzten. Es sind genau ähnliche Prozesse, die den Grund für die Zerstörung der Medum-Pyramide, 50 km südlich von Kairo, erklären könnten. Es ist 4600 Jahre alt, die Abmessungen des Sockels betragen 146 x 146 m, die Höhe beträgt 118 m. „Warum ist es so entstellt?“ fragt V. Zamarovsky „Die üblichen Hinweise auf die zerstörerische Wirkung der Zeit und die „Verwendung von Stein für andere Gebäude“ passen hier nicht.

Schließlich sind die meisten seiner Blöcke und Vormauerplatten bis heute in Trümmern an seinem Fuß geblieben.“ Wie wir sehen werden, lassen einige Bestimmungen sogar vermuten, dass auch die berühmte Cheopspyramide „geschrumpft“ sei Wie auch immer, auf allen antiken Bildern sind die Pyramiden spitz ...

Die Form der Pyramiden könnte auch durch Nachahmung entstanden sein: einige natürliche Vorbilder, etwa „Wundervollkommenheit“, einige Kristalle in Form eines Oktaeders.

Ähnliche Kristalle könnten Diamant- und Goldkristalle sein. Charakteristisch große Menge„überlappende“ Zeichen für Konzepte wie Pharao, Sonne, Gold, Diamant. Überall – edel, brillant (brillant), großartig, tadellos und so weiter. Die Ähnlichkeiten sind nicht zufällig.

Der Sonnenkult war bekanntlich ein wichtiger Teil der Religion Antikes Ägypten. „Egal wie wir den Namen der größten Pyramide übersetzen“, bemerkt einer von ihnen moderne Hilfsmittel- „Das Firmament von Khufu“ oder „Das Firmament von Khufu“ bedeutete, dass der König die Sonne ist.“ der erste der ägyptischen Könige, der sich selbst „Sohn von Ra“, also Sohn der Sonne, nannte. Die Sonne fast aller Völker wurde durch das „Sonnenmetall“ Gold symbolisiert. „Eine große Scheibe aus hellem Gold“ - so nannten die Ägypter unser Tageslicht. Die Ägypter kannten Gold perfekt, sie kannten seine natürlichen Formen, in denen Goldkristalle in Form von Oktaedern erscheinen können.

Auch der „Sonnenstein“ – Diamant – ist hier als „Formenmuster“ interessant. Der Name des Diamanten stammt genau aus der arabischen Welt, „Almas“ – der härteste, härteste, unzerstörbare. Die alten Ägypter kannten Diamanten und seine Eigenschaften recht gut. Nach Angaben einiger Autoren verwendeten sie sogar Bronzerohre mit Diamantfräsern zum Bohren.

Derzeit ist der Hauptlieferant von Diamanten Südafrika, aber auch Westafrika ist reich an Diamanten. Das Territorium der Republik Mali wird sogar „Diamantenland“ genannt. Mittlerweile leben auf dem Territorium Malis die Dogon, mit denen Befürworter der Paläobesuchshypothese große Hoffnungen verbinden (siehe unten). Diamanten können nicht der Grund für die Kontakte der alten Ägypter mit dieser Region gewesen sein. Auf die eine oder andere Weise ist es jedoch möglich, dass die alten Ägypter gerade durch das Kopieren der Oktaeder von Diamant- und Goldkristallen die Pharaonen vergötterten, „unzerstörbar“ wie Diamant und „glänzend“ wie Gold, die Söhne der Sonne, nur vergleichbar zu den schönsten Schöpfungen der Natur.

Abschluss:

Nachdem wir die Pyramide als geometrischen Körper untersucht und uns mit ihren Elementen und Eigenschaften vertraut gemacht hatten, waren wir von der Gültigkeit der Meinung über die Schönheit der Pyramidenform überzeugt.

Als Ergebnis unserer Forschung kamen wir zu dem Schluss, dass die Ägypter, nachdem sie das wertvollste mathematische Wissen gesammelt hatten, es in einer Pyramide verkörperten. Daher ist die Pyramide wirklich die vollkommenste Schöpfung der Natur und des Menschen.

LITERATURVERZEICHNIS

„Geometrie: Lehrbuch. für die Klassen 7 – 9. Allgemeinbildung Institutionen\ usw. - 9. Auflage - M.: Bildung, 1999

Geschichte der Mathematik in der Schule, M: „Prosveshchenie“, 1982.

Geometrie 10-11 Klassen, M: „Aufklärung“, 2000

Peter Tompkins „Geheimnisse der Großen Cheopspyramide“, M: „Tsentropoligraf“, 2005.

Internetressourcen

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Eine dreieckige Pyramide ist eine Pyramide, die an ihrer Basis ein Dreieck hat. Die Höhe dieser Pyramide ist die Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zu ihrer Basis abgesenkt wird.

Die Höhe einer Pyramide ermitteln

Wie finde ich die Höhe einer Pyramide? Sehr einfach! Um die Höhe einer beliebigen dreieckigen Pyramide zu ermitteln, können Sie die Volumenformel verwenden: V = (1/3)Sh, wobei S die Grundfläche, V das Volumen der Pyramide und h ihre Höhe ist. Leiten Sie aus dieser Formel die Höhenformel ab: Um die Höhe einer dreieckigen Pyramide zu ermitteln, müssen Sie das Volumen der Pyramide mit 3 multiplizieren und dann den resultierenden Wert durch die Grundfläche dividieren. Dies ergibt: h = (3V)/S. Da die Grundfläche einer dreieckigen Pyramide ein Dreieck ist, können Sie mit der Formel die Fläche eines Dreiecks berechnen. Wenn wir wissen: die Fläche des Dreiecks S und seine Seite z, dann gilt gemäß der Flächenformel S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, wobei h die Höhe der Pyramide, γ, ist ist die Kante des Dreiecks; der Winkel zwischen den Seiten des Dreiecks und den beiden Seiten selbst, dann ermitteln wir mit der folgenden Formel: S = (1/2)γφsinQ, wobei γ, φ die Seiten des Dreiecks sind, die Fläche des Dreiecks. Der Wert des Sinus des Winkels Q muss der Sinustabelle entnommen werden, die im Internet verfügbar ist. Als nächstes setzen wir den Flächenwert in die Höhenformel ein: h = (2S)/γ. Wenn die Aufgabe die Berechnung der Höhe einer dreieckigen Pyramide erfordert, ist das Volumen der Pyramide bereits bekannt.

Regelmäßige dreieckige Pyramide

Ermitteln Sie die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide, also einer Pyramide, bei der alle Flächen gleichseitige Dreiecke sind, und kennen Sie dabei die Größe der Kante γ. In diesem Fall sind die Kanten der Pyramide die Seiten gleichseitiger Dreiecke. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt: h = γ√(2/3), wobei γ die Kante des gleichseitigen Dreiecks und h die Höhe der Pyramide ist. Wenn die Grundfläche (S) unbekannt ist und nur die Kantenlänge (γ) und das Volumen (V) des Polyeders angegeben sind, muss die notwendige Variable in der Formel aus dem vorherigen Schritt ersetzt werden durch sein Äquivalent, das als Kantenlänge ausgedrückt wird. Die Fläche eines Dreiecks (regulär) ist gleich 1/4 des Produkts aus der Seitenlänge dieses Dreiecks zum Quadrat und der Quadratwurzel aus 3. Wir ersetzen diese Formel anstelle der Grundfläche in der vorherigen Formel, und wir erhalten die folgende Formel: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Das Volumen eines Tetraeders kann durch die Länge seiner Kante ausgedrückt werden. Aus der Formel zur Berechnung der Höhe einer Figur können Sie dann alle Variablen entfernen und nur die Seite der dreieckigen Fläche der Figur belassen. Das Volumen einer solchen Pyramide lässt sich berechnen, indem man das Produkt der Kubiklänge ihrer Fläche durch die Quadratwurzel von 2 durch 12 dividiert.

Wenn wir diesen Ausdruck in die vorherige Formel einsetzen, erhalten wir die folgende Berechnungsformel: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Außerdem kann ein regelmäßiges dreieckiges Prisma in eine Kugel eingeschrieben werden, und wenn man nur den Radius der Kugel (R) kennt, kann man die Höhe des Tetraeders selbst ermitteln. Die Länge der Tetraederkante beträgt: γ = 4R/√6. Wir ersetzen die Variable γ durch diesen Ausdruck in der vorherigen Formel und erhalten die Formel: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Die gleiche Formel kann erhalten werden, wenn man den Radius (R) eines in ein Tetraeder eingeschriebenen Kreises kennt. In diesem Fall beträgt die Länge der Dreieckskante 12 Verhältnisse zwischen der Quadratwurzel aus 6 und dem Radius. Wir setzen diesen Ausdruck in die vorherige Formel ein und erhalten: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

So ermitteln Sie die Höhe einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Um die Frage zu beantworten, wie man die Länge und Höhe einer Pyramide ermittelt, müssen Sie wissen, was eine regelmäßige Pyramide ist. Eine viereckige Pyramide ist eine Pyramide, die an ihrer Basis ein Viereck hat. Wenn wir unter den Bedingungen des Problems Folgendes haben: Volumen (V) und Fläche der Basis (S) der Pyramide, dann lautet die Formel zur Berechnung der Höhe des Polyeders (h) wie folgt: Teilen Sie das Volumen multipliziert um 3 um die Fläche S: h = (3V)/S. Ersetzen Sie bei einer quadratischen Grundfläche einer Pyramide mit einem gegebenen Volumen (V) und einer gegebenen Seitenlänge γ die Fläche (S) in der vorherigen Formel durch das Quadrat der Seitenlänge: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Die Höhe einer regelmäßigen Pyramide h = SO verläuft genau durch den Mittelpunkt des Kreises, der nahe der Basis umschrieben wird. Da die Basis dieser Pyramide ein Quadrat ist, ist Punkt O der Schnittpunkt der Diagonalen AD und BC. Wir haben: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Als nächstes sind wir dabei rechtwinkliges Dreieck Wir finden SOC (unter Verwendung des Satzes des Pythagoras): SO = √(SC 2 -OC 2). Jetzt wissen Sie, wie Sie die Höhe einer regelmäßigen Pyramide ermitteln.