Lektion und Präsentation zum Thema: „Transformation rationaler Ausdrücke. Beispiele zur Problemlösung“

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Das Konzept des rationalen Ausdrucks

Das Konzept des „rationalen Ausdrucks“ ähnelt dem Konzept des „rationalen Bruchs“. Der Ausdruck wird auch als Bruch dargestellt. Nur sind unsere Zähler keine Zahlen, sondern verschiedene Arten von Ausdrücken. Meistens handelt es sich dabei um Polynome. Ein algebraischer Bruch ist ein Bruchausdruck, der aus Zahlen und Variablen besteht.

Bei der Lösung vieler Probleme in der Grundschule erhielten wir nach der Durchführung arithmetischer Operationen bestimmte Zahlenwerte, meist Brüche. Nachdem wir nun die Operationen durchgeführt haben, erhalten wir algebraische Brüche. Leute, denkt dran: Um die richtige Antwort zu bekommen, müsst ihr den Ausdruck, mit dem ihr arbeitet, so weit wie möglich vereinfachen. Man muss den kleinstmöglichen Grad erreichen; identische Ausdrücke in Zählern und Nennern sollten reduziert werden; Bei Ausdrücken, die kollabiert werden können, muss man dies tun. Das heißt, nachdem wir eine Reihe von Aktionen ausgeführt haben, sollten wir den einfachsten möglichen algebraischen Bruch erhalten.

Verfahren mit rationalen Ausdrücken

Die Vorgehensweise bei der Durchführung von Operationen mit rationalen Ausdrücken ist die gleiche wie bei arithmetischen Operationen. Zuerst werden die Operationen in Klammern ausgeführt, dann Multiplikation und Division, Potenzierung und schließlich Addition und Subtraktion.

Eine Identität zu beweisen bedeutet zu zeigen, dass für alle Werte der Variablen die rechte und linke Seite gleich sind. Es gibt viele Beispiele für den Nachweis von Identitäten.

Zu den wichtigsten Möglichkeiten zur Lösung von Identitäten gehören.

• Transformieren Sie die linke Seite so, dass sie der rechten Seite entspricht.
• Transformieren Sie die rechte Seite so, dass sie der linken entspricht.
• Transformieren Sie die linke und rechte Seite getrennt, bis Sie den gleichen Ausdruck erhalten.
• Die rechte Seite wird von der linken Seite subtrahiert und das Ergebnis sollte Null sein.

Konvertieren rationaler Ausdrücke. Beispiele für Problemlösungen

Beispiel 1.
Beweisen Sie die Identität:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Lösung.
Offensichtlich müssen wir die linke Seite umgestalten.
Führen wir zunächst die Schritte in Klammern durch:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Sie sollten versuchen, gemeinsame Faktoren maximal anzuwenden.
2) Transformieren Sie den Ausdruck, durch den wir dividieren:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Führen Sie die Divisionsoperation durch:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Führen Sie die Additionsoperation durch:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

Der rechte und der linke Teil fielen zusammen. Damit ist die Identität nachgewiesen.
Leute, um dieses Beispiel zu lösen, brauchten wir Kenntnisse über viele Formeln und Operationen. Wir sehen, dass sich nach der Transformation der große Ausdruck in einen sehr kleinen verwandelt hat. Bei der Lösung fast aller Probleme führen Transformationen meist zu einfachen Ausdrücken.

Beispiel 2.
Vereinfachen Sie den Ausdruck:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Lösung.
Beginnen wir mit den ersten Klammern.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Transformieren Sie die zweite Klammer.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Machen wir die Division.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Antwort: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Beispiel 3.
Befolgen Sie diese Schritte:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Lösung.
Wie immer müssen Sie mit den Klammern beginnen.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Jetzt machen wir die Division.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Verwenden wir die Eigenschaft: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Führen wir die Subtraktionsoperation durch.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Wie bereits erwähnt, müssen Sie den Bruch so weit wie möglich vereinfachen.
Antwort: $\frac(k)(k-4)$.

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Beweisen Sie die Identität:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Befolgen Sie diese Schritte:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Bildungskomplex Torez

„Gesamtschule der Stufen І-ІІ Nr. 1 – Lyzeum „Spektrum“

Thema. Identische Transformationen rationaler Ausdrücke

Unterrichtsentwicklung für die 8. Klasse

Kirilyuk Natalya Anatolevna,

Mathematiklehrer der höchsten Kategorie,

Oberlehrer

Torez – 2014

Ziele:

Entwickeln Sie weiterhin die Fähigkeiten der Schüler, rationale Ausdrücke umzuwandeln. Festigen Sie die Fähigkeit, abgekürzte Multiplikationsformeln anzuwenden, rationale Ausdrücke zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren;

Entwicklung fördern logisches Denken;

Förderung der Entwicklung der Fähigkeit von Kindern, Ziele zu setzen und ihre Aktivitäten zu planen; Führen Sie eine Selbsteinschätzung und Selbstkorrektur durch Bildungsaktivitäten; Fähigkeit, pünktlich zu arbeiten;

Aufmerksamkeit, Aktivität und Kommunikationskultur fördern.

Unterrichtsart: Bildungs- und Entwicklungsstunde mit Elementen der Geschäftstätigkeit.

Ausrüstung: Karten für das Spiel „Field of Miracles“, „Aktien von Unternehmen“, eine Tabelle zur Bewertung der Schüler im Unterricht, Material mit differenzierten Aufgaben für das Spiel „Wissensaustausch“

Formen und Methoden der Arbeit

I Motivation für Lernaktivitäten. Selbstständige Festlegung von Zielen und Vorgaben für den Unterricht.

II-Update Hintergrundwissen:

1) Frontale Erhebung;

2) Mündliche Übungen;

3) Mathematische Dominosteine.

1) Spiel „Field of Miracles“ (zu zweit arbeiten);

2) Logische Aufgabe.

V Interessante Aufgabe.

VI Hausaufgaben.

I Motivation des Bildungsprozesses. Betreff der Nachricht. Selbstständige Festlegung von Zielen und Vorgaben für den Unterricht.

Vieles ist schon lange bekannt, sehr, sehr vieles aber noch nicht. So wie man in einem Wassertropfen alle unzähligen Reichtümer des Ozeans sehen kann, so auch in Schulbuch Es gibt jahrtausendealte Erfahrung. Die Vergangenheit wartet darauf, dass Sie das mühsam erworbene Wissen begreifen, und die Zukunft hofft, dass Sie etwas Neues mitbringen und es an Ihre Kinder und Enkel weitergeben.

„Theorie ohne Praxis ist tot oder fruchtlos, und Praxis ohne Theorie ist unmöglich oder katastrophal.“

Theorie erfordert Wissen, Praxis erfordert Fähigkeiten.

Alexej Nikolajewitsch Krylow

Heute erwerben wir in der Lektion die Fähigkeiten, rationale Ausdrücke zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren, indem wir die Theorie anwenden: Methoden zur Faktorisierung von Polynomen.

Formulieren Sie basierend auf dem Thema und den Zielen der Lektion Ihre Ziele für die Lektion.

Erwartetes Ergebnis:

1. die Fähigkeit verbessern, rationale Brüche zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren;

2. identische Transformationen rationaler Ausdrücke durchführen.

Lehrer: Vor allen liegt eine Bewertungstabelle. In dieser Tabelle tragen Sie die im Unterricht erzielten Punkte ein.

II Aktualisierung des Referenzwissens.

1. Frontale Umfrage(gegenseitige Prüfung „Lehrer-Schüler“, 1b.)

Welcher Ausdruck heißt rational?

Wie addiere ich zwei rationale Brüche mit unterschiedlichen Nennern?

Welche Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms kennen Sie?

Wie findet man das Produkt rationaler Ausdrücke?

Wie erfolgt die Durchführung von Identitätstransformationen?

2. Mündliche Übungen(Selbsteinschätzung, 1b.)

3. Mathe-Domino(gegenseitige Prüfung, 1b.)

Faktorisieren (wählen Sie die richtige Antwort)

III Aktivierung der geistigen Aktivität:

1) Spiel „Field of Miracles“(Arbeit in Paaren, 2 b);

Man muss Spaß am Lernen haben, um Wissen aufzunehmen,

Sie müssen sie mit Begeisterung verdauen.

Anatole Frankreich

1)
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A

IN

D

E

UND

L

M

N

X-Y

b-4

a+b

5xy

MIT

T

U

H

Sh

Y

ICH

9ab

X-6

5

Lehrer: Als Ergebnis haben wir den Ausdruck: „Denken beginnt mit Überraschung.“ Aristoteles sagte dies bereits vor 2500 Jahren.

Unser Landsmann V. Sukhomlinsky glaubte, dass „ein Gefühl der Überraschung eine starke Quelle des Wissensdrangs ist.“ Von der Überraschung zum Wissen ist es ein Schritt“, und Mathematik ist eine wunderbare Quelle der Überraschung.

2) Logische Aufgabe(2b.)

Lehrer: Ich versuche Sie jetzt zu überraschen, indem ich beweise, dass zwei Zahlen einander gleich sind, indem ich algebraische Gesetze verwende und identische Transformationen durchführe

5=6

Nachweisen

35+10-45=42+12-54

5(7+2-9)=6(7+2-9)

5=6

Habe ich recht? Welches Gesetz wurde gebrochen? Finden Sie den Fehler.

IV Wirtschaftsspiel „Wissensaustausch“ (Arbeit in Gruppen).

Jetzt werden wir uns an der Arbeit der „Börse“ beteiligen.

Hintergrundinformationen „Wissensaustausch“.

Austausch – Handelsunternehmen zur Erbringung von Vermittlungsdienstleistungen, bei denen Kauf- und Verkaufstransaktionen durchgeführt werden.

Börse– eine Börse, an der die wichtigsten Arten von Wertpapieren und Aktien gehandelt werden.

Händler– ein Börsenteilnehmer, der auf eigene Kosten Transaktionen durchführt.

Makler– ein Mitglied der Börse, das für die Ausführung von Kundenaufträgen eine Vergütung erhält.

Sachbearbeiter– ein Mitglied der Börse, das Handelsinformationen besitzt, d. h. Aktien verkaufen.

Schlichtungsausschuss– eine Stelle, die Streitigkeiten über eine Transaktion und die Beziehungen zwischen Teilnehmern am Börsenhandel regelt.

Investitionen- Geldanlage.

Förderung- Sicht Wertpapiere, d.h. Papierkopie des Kapitals.

Stellen Sie sich vor, Sie sind Mitglieder der „Börse“ – „Händler“, deren Aufgabe es ist, das Anfangskapital zu erhalten und es durch Kapital zu vermehren richtige Wahl im Bereich „Investieren“.

Wenn Sie die Aufgabe korrekt erledigt haben, erhalten Sie „Einkommen“ und erwerben Anteile des entsprechenden Unternehmens.

Bei der Erledigung von Aufgaben können Sie die Dienste eines zwischengeschalteten Beraters in Anspruch nehmen.

Wir haben 5 Maklergruppen. Jedes Unternehmen kauft eine Aufgabe, nachdem es die profitabelste „Investition“ ermittelt hat (Anhang 1).

“Siesta"

2 Talente

„Zinger“

3 Talente

„Schokolade der Ukraine“

4 Talente

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Die Ergebnisse werden zusammengefasst und das Beste hervorgehoben Maklerfirma. Als Belohnung wird eine Lizenz ausgestellt, die es Ihnen ermöglicht, Ihren Kunden Maklerdienstleistungen anzubieten.

(Anhang 2)

V Interessante Aufgabe.

VI Hausaufgaben. (§8 wiederholen. Test durchführen)

VII Zusammenfassung der Lektion(Bewertungsbeurteilung der Studierenden)

Grad

Anzahl der Punkte

9-10

11-12

13-14

15-16

17-18

19-20

21-22

23-24

Über 25

Der Lehrer fasst den Unterricht zusammen und liest die Ergebnisse der Bewertung vor

„Offenes Mikrofon“

1.Was war in der Lektion interessant?

2. Was war schwierig?

Anhang 1. Unternehmensanteile

Anhang 2. Lizenz

In dieser Lektion werden grundlegende Informationen über rationale Ausdrücke und ihre Transformationen sowie Beispiele für Transformationen rationaler Ausdrücke behandelt. Dieses Thema fasst sozusagen die Themen zusammen, die wir bisher untersucht haben. Transformationen rationaler Ausdrücke umfassen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung algebraischer Brüche, Reduktion, Faktorisierung usw. Im Rahmen der Lektion werden wir uns ansehen, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch Beispiele für ihre Transformation analysieren.

Thema:Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen an algebraischen Brüchen

Lektion:Grundlegende Informationen über rationale Ausdrücke und ihre Transformationen

Definition

Rationaler Ausdruck ist ein Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, arithmetischen Operationen und der Potenzierungsoperation besteht.

Schauen wir uns ein Beispiel für einen rationalen Ausdruck an:

Sonderfälle rationaler Ausdrücke:

1. Grad: ;

2. Monom: ;

3. Bruch: .

Konvertieren eines rationalen Ausdrucks ist eine Vereinfachung eines rationalen Ausdrucks. Die Reihenfolge der Aktionen bei der Transformation rationaler Ausdrücke: Zuerst gibt es Operationen in Klammern, dann Multiplikationsoperationen (Divisionen) und dann Additionsoperationen (Subtraktionen).

Schauen wir uns einige Beispiele für die Transformation rationaler Ausdrücke an.

Beispiel 1

Lösung:

Lassen Sie uns dieses Beispiel Schritt für Schritt lösen. Die Aktion in Klammern wird zuerst ausgeführt.

Antwort:

Beispiel 2

Lösung:

Antwort:

Beispiel 3

Lösung:

Antwort: .

Notiz: Als Sie dieses Beispiel sahen, kam Ihnen vielleicht die Idee: Reduzieren Sie den Bruch, bevor Sie ihn auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Tatsächlich ist es völlig richtig: Zunächst empfiehlt es sich, den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen und ihn dann umzuwandeln. Versuchen wir, dasselbe Beispiel auf die zweite Art zu lösen.

Wie Sie sehen, war die Antwort absolut ähnlich, die Lösung jedoch etwas einfacher.

In dieser Lektion haben wir uns angeschaut rationale Ausdrücke und ihre Transformationen, sowie mehrere konkrete Beispiele Transformationsdaten.

Referenzen

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. Klasse. - M.: Bildung, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. und andere. Algebra 8. - 5. Aufl. - M.: Bildung, 2010.

Einstiegsniveau

Ausdrücke konvertieren. Detaillierte Theorie (2019)

Ausdrücke konvertieren

Wir hören oft diesen unangenehmen Satz: „Vereinfachen Sie den Ausdruck.“ Normalerweise sehen wir eine Art Monster wie dieses:

„Es ist viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert normalerweise nicht.

Jetzt werde ich Ihnen beibringen, vor solchen Aufgaben keine Angst zu haben. Darüber hinaus werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst auf (nur!) eine gewöhnliche Zahl vereinfachen (ja, zum Teufel mit diesen Buchstaben).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen „“ und „“ beherrschen.

Hast du es gelesen? Wenn ja, dann sind Sie jetzt bereit.

Grundlegende Vereinfachungsoperationen

Schauen wir uns nun die grundlegenden Techniken an, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Das einfachste ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse gelernt, als in der Mathematik zum ersten Mal Buchstaben statt Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit demselben Buchstabenteil. In der Summe sind ähnliche Begriffe beispielsweise und.

Erinnerst du dich?

Ähnliches zu bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe einander hinzuzufügen und einen Begriff zu erhalten.

Wie können wir die Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn man sich vorstellt, dass es sich bei den Buchstaben um Gegenstände handelt. Ein Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viele werden es sein? Genau, Stühle: .

Versuchen Sie es nun mit diesem Ausdruck: .

Um Verwirrung zu vermeiden, lassen Sie verschiedene Buchstaben stellen verschiedene Objekte dar. Beispielsweise ist - (wie üblich) ein Stuhl und - ein Tisch. Dann:

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Beispielsweise ist bei einem Monom der Koeffizient gleich. Und darin ist gleich.

Die Regel für das Mitbringen ähnlicher Exemplare lautet also:

Beispiele:

Geben Sie ähnliche an:

Antworten:

2. (und ähnlich, da diese Begriffe also den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise der wichtigste Teil bei der Vereinfachung von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche Werte angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meist faktorisiert, also als Produkt dargestellt werden. Dies ist besonders bei Brüchen wichtig: Um einen Bruch kürzen zu können, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.

Sie haben die Methoden zur Faktorisierung von Ausdrücken im Thema „“ ausführlich besprochen, hier müssen Sie sich also nur noch daran erinnern, was Sie gelernt haben. Entscheiden Sie sich dazu für mehrere Beispiele(muss faktorisiert werden):

Lösungen:

3. Einen Bruch kürzen.

Was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners zu streichen und aus Ihrem Leben zu verbannen?

Das ist das Schöne am Downsizing.

Es ist ganz einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können diese gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, das Wesentliche der Reduktionsoperation ist Folgendes Wir dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu reduzieren, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten gemeinsame Faktoren, sie können durchgestrichen werden.

Das Prinzip ist, denke ich, klar?

Ich möchte Sie auf eine Sache aufmerksam machen typischer Fehler beim Vertragsabschluss. Obwohl dieses Thema einfach ist, machen viele Menschen alles falsch und verstehen das nicht reduzieren- das heisst teilen Zähler und Nenner sind die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn der Zähler oder Nenner eine Summe ist.

Zum Beispiel: Wir müssen vereinfachen.

Manche Leute machen das: Das ist absolut falsch.

Ein weiteres Beispiel: reduzieren.

Der „Klügste“ wird das tun: .

Sag mir, was hier los ist? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, was bedeutet, dass er reduziert werden kann.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor nur eines Termes im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht faktorisiert.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck ist faktorisiert, was bedeutet, dass Sie ihn reduzieren können, d. h. den Zähler und den Nenner durch dividieren und dann durch:

Sie können es sofort aufteilen in:

Um solche Fehler zu vermeiden, denken Sie daran einfacher Weg So ermitteln Sie, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die bei der Berechnung des Werts eines Ausdrucks zuletzt ausgeführt wird, ist die „Master“-Operation. Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben ersetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist, ein Produkt (der Ausdruck wird faktorisiert). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Zur Festigung lösen Sie einige selbst Beispiele:

Antworten:

1. Ich hoffe, Sie haben es nicht sofort mit dem Schneiden eilig und? Es reichte immer noch nicht aus, Einheiten wie diese zu „reduzieren“:

Der erste Schritt sollte die Faktorisierung sein:

4. Brüche addieren und subtrahieren. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren.

Das Addieren und Subtrahieren gewöhnlicher Brüche ist eine vertraute Operation: Wir suchen nach einem gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren/subtrahieren die Zähler. Erinnern wir uns:

Antworten:

1. Die Nenner und sind relativ prim, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Faktoren. Daher ist der kgV dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Das Erste hier gemischte Brüche Wir verwandeln sie in falsche und folgen dann dem üblichen Muster:

Ganz anders verhält es sich, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Beginnen wir mit etwas Einfachem:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen numerischen Brüchen: Wir finden den gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren/subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie im Zähler ähnliche Werte angeben, falls vorhanden, und diese faktorisieren:

Probieren Sie es selbst aus:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

· Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

· dann schreiben wir alle gemeinsamen Faktoren einzeln auf;

· und multipliziere sie mit allen anderen nicht-gemeinsamen Faktoren.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu ermitteln, faktorisieren wir sie zunächst in Primfaktoren:

Lassen Sie uns die gemeinsamen Faktoren hervorheben:

Lassen Sie uns nun die gemeinsamen Faktoren einzeln aufschreiben und alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzufügen:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Briefen. Die Nenner werden genauso angegeben:

· Faktorisieren Sie die Nenner;

· gemeinsame (identische) Faktoren ermitteln;

· alle gemeinsamen Faktoren einmal aufschreiben;

· Multiplizieren Sie sie mit allen anderen nicht-gemeinsamen Faktoren.

Also, der Reihe nach:

1) Faktorisieren Sie die Nenner:

2) Bestimmen Sie gemeinsame (identische) Faktoren:

3) Schreiben Sie alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multiplizieren Sie sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Hier gibt es also einen gemeinsamen Nenner. Der erste Bruch muss mit multipliziert werden, der zweite mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen in den Nennern die gleichen Faktoren, nur alle mit unterschiedlichen Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

bis zu einem gewissen Grad

bis zu einem gewissen Grad

bis zu einem gewissen Grad

bis zu einem gewissen Grad.

Machen wir die Aufgabe komplizierter:

Wie bringt man Brüche dazu, den gleichen Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die Grundeigenschaft eines Bruchs:

Nirgends steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zum Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was hast du gelernt?

Also noch eine unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber womit muss man multiplizieren, um zu erhalten?

Also multiplizieren Sie mit. Und multiplizieren mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, nennen wir „Elementarfaktoren“. Beispielsweise ist dies ein elementarer Faktor. - Dasselbe. Aber nein: Es kann faktorisiert werden.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, weil es faktorisiert werden kann:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema „“) gelesen.

Die Elementarfaktoren, in die man einen Ausdruck mit Buchstaben zerlegt, sind also ein Analogon der einfachen Faktoren, in die man Zahlen zerlegt. Und wir werden mit ihnen genauso umgehen.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Multiplikator haben. Es wird bis zum Grad auf den gemeinsamen Nenner gebracht (erinnern Sie sich, warum?).

Der Faktor ist elementar und sie haben keinen gemeinsamen Faktor, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein weiteres Beispiel:

Lösung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren? Sie repräsentieren beide:

Großartig! Dann:

Ein weiteres Beispiel:

Lösung:

Lassen Sie uns wie üblich die Nenner faktorisieren. Im ersten Nenner setzen wir ihn einfach aus Klammern; im zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie ähnlich... Und es stimmt:

Also lasst uns schreiben:

Das heißt, es kam so: Innerhalb der Klammer vertauschten wir die Begriffe und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies häufig tun müssen.

Bringen wir es nun auf einen gemeinsamen Nenner:

Habe es? Lass es uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an etwas erinnern – den Unterschied der Würfel:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel „Quadrat der Summe“ enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen: .

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und letzten und nicht deren Doppelprodukt. Das Teilquadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Entwicklung der Kubikdifferenz:

Was tun, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja, das Gleiche! Stellen wir zunächst sicher, dass dies der Fall ist Höchstmenge Die Faktoren in den Nennern waren die gleichen:

Bitte beachten Sie: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch in das Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch wieder in das Gegenteil. Dadurch hat es sich (das Vorzeichen vor dem Bruch) nicht geändert.

Wir schreiben den gesamten ersten Nenner in den gemeinsamen Nenner und addieren dann alle noch nicht geschriebenen Faktoren vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es stellt sich so heraus:

Hmm ... Es ist klar, was man mit Brüchen machen soll. Aber was ist mit den beiden?

Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Also müssen wir aus zwei einen Bruch machen! Denken wir daran: Ein Bruch ist eine Divisionsoperation (der Zähler wird durch den Nenner geteilt, falls Sie es vergessen haben). Und es gibt nichts einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird in einen Bruch umgewandelt:

Genau das, was Sie brauchen!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber zugleich Wichtigste:

Verfahren

Wie wird ein numerischer Ausdruck berechnet? Denken Sie daran, indem Sie die Bedeutung dieses Ausdrucks berechnen:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich möchte Sie daran erinnern.

Der erste Schritt besteht darin, den Grad zu berechnen.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig erfolgen, können diese in beliebiger Reihenfolge durchgeführt werden.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Auch hier wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: Der Ausdruck in Klammern wird außer der Reihe ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, berechnen wir zunächst den Ausdruck in jeder der Klammern und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn sich innerhalb der Klammern weitere Klammern befinden? Nun, denken wir mal: Ein Ausdruck steht in den Klammern. Was sollten Sie bei der Berechnung eines Ausdrucks zuerst tun? Richtig, berechnen Sie die Klammern. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Vorgehensweise für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, also die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben?

Nein, es ist das Gleiche! Nur müssen Sie statt arithmetischer Operationen algebraische Operationen ausführen, also die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Aktionen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche reduzieren usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies oft, wenn wir mit Brüchen arbeiten). In den meisten Fällen müssen Sie zum Faktorisieren I verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern setzen.

Normalerweise besteht unser Ziel darin, den Ausdruck als Produkt oder Quotienten darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zunächst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir eine Differenz von Brüchen und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotienten darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen; alle Faktoren sind hier elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Brüche multiplizieren: Was könnte einfacher sein?

3) Jetzt können Sie kürzen:

Nun, das ist alles. Nichts Kompliziertes, oder?

Ein weiteres Beispiel:

Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Versuchen Sie zunächst, das Problem selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Lassen Sie uns zunächst die Reihenfolge der Aktionen festlegen. Zuerst addieren wir die Brüche in Klammern, sodass wir statt zwei Brüchen einen erhalten. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, addieren wir das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich Ihnen den Vorgang und färbe die aktuelle Aktion rot ein:

Abschließend gebe ich Ihnen noch zwei nützliche Tipps:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen diese sofort mitgebracht werden. Wann auch immer in unserem Land ähnliche Probleme auftauchen, es ist ratsam, sie sofort zur Sprache zu bringen.

2. Das Gleiche gilt auch für das Kürzen von Brüchen: Sobald sich die Gelegenheit zum Kürzen bietet, muss sie genutzt werden. Eine Ausnahme bilden Brüche, die Sie addieren oder subtrahieren: Wenn sie jetzt den gleichen Nenner haben, sollte die Reduktion für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und was gleich zu Beginn versprochen wurde:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie mindestens die ersten drei Beispiele gemeistert haben, dann haben Sie das Thema gemeistert.

Nun geht es ans Lernen!

AUSDRÜCKE KONVERTIEREN. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Begriffe hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie deren Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: den gemeinsamen Faktor ausklammern, anwenden usw.
• Einen Bruch kürzen: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, wodurch sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben, können diese durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Brüche addieren und subtrahieren:
  ;
• Brüche multiplizieren und dividieren:
  ;

Aus dem Algebrakurs Schullehrplan Kommen wir zu den Einzelheiten. In diesem Artikel werden wir eine besondere Art rationaler Ausdrücke im Detail untersuchen – rationale Brüche, und überlegen Sie auch, welches Merkmal identisch ist Rationale Bruchumrechnungen stattfinden.

Wir stellen sofort fest, dass rationale Brüche in dem Sinne, in dem wir sie weiter unten definieren, in einigen Algebra-Lehrbüchern als algebraische Brüche bezeichnet werden. Das heißt, in diesem Artikel werden wir verstehen, dass rationale und algebraische Brüche dasselbe bedeuten.

Beginnen wir wie üblich mit einer Definition und Beispielen. Als nächstes sprechen wir darüber, wie man einen rationalen Bruch auf einen neuen Nenner bringt und die Vorzeichen der Mitglieder des Bruchs ändert. Danach schauen wir uns an, wie man Brüche reduziert. Betrachten wir abschließend die Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe mehrerer Brüche. Alle Informationen stellen wir Ihnen mit Beispielen zur Verfügung detaillierte Beschreibungen Entscheidungen.

Seitennavigation.

Definition und Beispiele rationaler Brüche

Rationale Brüche werden im Algebraunterricht der 8. Klasse studiert. Wir verwenden die Definition eines rationalen Bruchs, die im Algebra-Lehrbuch für die 8. Klasse von Yu N. Makarychev et al. enthalten ist.

IN diese Definition Es ist nicht angegeben, ob die Polynome im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome der Standardform sein müssen oder nicht. Daher gehen wir davon aus, dass die Notationen für rationale Brüche sowohl Standard- als auch Nicht-Standardpolynome enthalten können.

Hier sind einige Beispiele für rationale Brüche. Also, x/8 und - rationale Brüche. Und Brüche und passen nicht zur angegebenen Definition eines rationalen Bruchs, da im ersten von ihnen der Zähler kein Polynom enthält und im zweiten sowohl der Zähler als auch der Nenner Ausdrücke enthalten, die keine Polynome sind.

Konvertieren von Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs

Zähler und Nenner eines jeden Bruchs sind eigenständige mathematische Ausdrücke; bei rationalen Brüchen sind dies im Einzelfall Polynome und Zahlen; Daher können mit Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs wie mit jedem Ausdruck identische Transformationen durchgeführt werden. Mit anderen Worten: Der Ausdruck im Zähler eines rationalen Bruchs kann durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt werden, genau wie der Nenner.

Sie können identische Transformationen im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs durchführen. Beispielsweise können Sie im Zähler ähnliche Begriffe gruppieren und reduzieren und im Nenner das Produkt mehrerer Zahlen durch seinen Wert ersetzen. Und da Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome sind, ist es möglich, mit ihnen für Polynome charakteristische Transformationen durchzuführen, beispielsweise die Reduktion auf eine Standardform oder die Darstellung in Form eines Produkts.

Betrachten wir zur Verdeutlichung Lösungen für mehrere Beispiele.

Beispiel.

Rationalen Bruch umrechnen so dass der Zähler ein Polynom in Standardform enthält und der Nenner das Produkt von Polynomen enthält.

Lösung.

Die Reduktion rationaler Brüche auf einen neuen Nenner wird hauptsächlich beim Addieren und Subtrahieren rationaler Brüche verwendet.

Vorzeichenwechsel vor einem Bruch sowie in dessen Zähler und Nenner

Die Haupteigenschaft eines Bruchs kann verwendet werden, um die Vorzeichen der Mitglieder eines Bruchs zu ändern. Tatsächlich ist die Multiplikation von Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs mit -1 gleichbedeutend mit einer Änderung ihrer Vorzeichen, und das Ergebnis ist ein Bruch, der identisch mit dem gegebenen Bruch ist. Diese Transformation muss häufig verwendet werden, wenn mit rationalen Brüchen gearbeitet wird.

Wenn Sie also gleichzeitig die Vorzeichen von Zähler und Nenner eines Bruchs ändern, erhalten Sie einen Bruch, der dem ursprünglichen entspricht. Diese Aussage wird mit Gleichheit beantwortet.

Geben wir ein Beispiel. Ein rationaler Bruch kann durch einen identisch gleichen Bruch mit geänderten Vorzeichen von Zähler und Nenner der Form ersetzt werden.

Bei Brüchen können Sie eine weitere identische Transformation durchführen, bei der sich entweder das Vorzeichen des Zählers oder des Nenners ändert. Lassen Sie uns die entsprechende Regel formulieren. Wenn man das Vorzeichen eines Bruchs zusammen mit dem Vorzeichen des Zählers oder Nenners ersetzt, erhält man einen Bruch, der dem ursprünglichen Bruch identisch ist. Die schriftliche Stellungnahme entspricht den Gleichheiten und .

Der Nachweis dieser Gleichheiten ist nicht schwierig. Der Beweis basiert auf den Eigenschaften der Multiplikation von Zahlen. Lassen Sie uns den ersten davon beweisen: . Mit ähnlichen Transformationen wird die Gleichheit bewiesen.

Beispielsweise kann ein Bruch durch den Ausdruck oder ersetzt werden.

Um diesen Punkt abzuschließen, präsentieren wir zwei weitere nützliche Gleichheiten und . Das heißt, wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert der Bruch sein Vorzeichen. Zum Beispiel, Und .

Die betrachteten Transformationen, die es ermöglichen, das Vorzeichen der Bruchglieder zu ändern, werden häufig bei der Transformation gebrochener rationaler Ausdrücke verwendet.

Rationale Brüche reduzieren

Die folgende Transformation rationaler Brüche, Reduktion rationaler Brüche genannt, basiert auf derselben Grundeigenschaft eines Bruchs. Diese Transformation entspricht der Gleichheit, wobei a, b und c einige Polynome sind und b und c ungleich Null sind.

Aus der obigen Gleichheit wird deutlich, dass die Reduzierung eines rationalen Bruchs das Entfernen des gemeinsamen Faktors in Zähler und Nenner bedeutet.

Beispiel.

Brechen Sie einen rationalen Bruch ab.

Lösung.

Der gemeinsame Faktor 2 ist sofort sichtbar, führen wir eine Reduktion damit durch (beim Schreiben ist es praktisch, die gemeinsamen Faktoren, um die reduziert wird, durchzustreichen). Wir haben . Da x 2 =x x und y 7 =y 3 y 4 (siehe ggf.), ist es klar, dass x ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs ist, ebenso wie y 3. Reduzieren wir um diese Faktoren: . Damit ist die Reduzierung abgeschlossen.

Oben haben wir die Reduktion rationaler Brüche nacheinander durchgeführt. Oder es war möglich, die Reduktion in einem Schritt durchzuführen und den Bruch sofort um 2 x y 3 zu reduzieren. In diesem Fall würde die Lösung so aussehen: .

Antwort:

.

Bei der Reduktion rationaler Brüche besteht das Hauptproblem darin, dass der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht immer sichtbar ist. Darüber hinaus existiert es nicht immer. Um einen gemeinsamen Faktor zu finden oder dessen Abwesenheit zu überprüfen, müssen Sie Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs faktorisieren. Wenn kein gemeinsamer Faktor vorhanden ist, muss der ursprüngliche rationale Bruch nicht reduziert werden, andernfalls wird eine Reduktion durchgeführt.

Bei der Reduktion rationaler Brüche können verschiedene Nuancen auftreten. Die wichtigsten Feinheiten werden im Artikel Algebraische Brüche reduzieren anhand von Beispielen und im Detail besprochen.

Zum Abschluss des Gesprächs über die Reduktion rationaler Brüche stellen wir fest, dass diese Transformation identisch ist und die Hauptschwierigkeit bei ihrer Umsetzung in der Faktorisierung der Polynome im Zähler und Nenner liegt.

Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe von Brüchen

Ganz spezifisch, aber in manchen Fällen sehr nützlich, ist die Transformation eines rationalen Bruchs, die in seiner Darstellung als Summe mehrerer Brüche oder als Summe eines ganzen Ausdrucks und eines Bruchs besteht.

Ein rationaler Bruch, dessen Zähler ein Polynom enthält, das die Summe mehrerer Monome darstellt, kann immer als Summe von Brüchen mit demselben Nenner geschrieben werden, deren Zähler die entsprechenden Monome enthalten. Zum Beispiel, . Diese Darstellung wird durch die Regel zum Addieren und Subtrahieren algebraischer Brüche mit gleichen Nennern erklärt.

Im Allgemeinen kann jeder rationale Bruch auf viele verschiedene Arten als Summe von Brüchen dargestellt werden. Beispielsweise kann der Bruch a/b als Summe zweier Brüche dargestellt werden – eines beliebigen Bruchs c/d und eines Bruchs, der der Differenz zwischen den Brüchen a/b und c/d entspricht. Diese Aussage ist wahr, da die Gleichheit gilt . Beispielsweise kann ein rationaler Bruch als Summe von Brüchen dargestellt werden auf verschiedene Weise: Stellen wir uns den ursprünglichen Bruch als Summe eines ganzzahligen Ausdrucks und eines Bruchs vor. Indem wir den Zähler durch den Nenner mit einer Spalte dividieren, erhalten wir die Gleichheit . Der Wert des Ausdrucks n 3 +4 für jede ganze Zahl n ist eine ganze Zahl. Und der Wert eines Bruchs ist genau dann eine ganze Zahl, wenn sein Nenner 1, −1, 3 oder −3 ist. Diese Werte entsprechen den Werten n=3, n=1, n=5 bzw. n=−1.

Antwort:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Referenzen.

• Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studierende Bildungseinrichtungen/ A. G. Mordkovich. - 13. Aufl., rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 Seiten: Abb. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.