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Das grundlegende (undefinierte) Konzept der mathematischen Logik ist das Konzept einer „einfachen Aussage“.

Unter einer Aussage wird üblicherweise jeder Aussagesatz verstanden, der etwas über etwas aussagt und mit dem wir gleichzeitig sagen können, ob er unter gegebenen Orts- und Zeitbedingungen wahr oder falsch ist. Die logischen Bedeutungen von Aussagen sind „wahr“ und „falsch“.

Hier sind Beispiele für Aussagen:

1) Nowgorod liegt am Wolchow.

2) Paris ist die Hauptstadt Englands.

3) Karausche ist kein Fisch.

4) Die Zahl 6 ist durch 2 und 3 teilbar.

5) Wenn der junge Mann seinen Abschluss gemacht hat Gymnasium, dann erhält er eine Immatrikulationsbescheinigung.

Die Aussagen 1), 4), 5) sind wahr und 2) und 3) sind falsch.

Offensichtlich ist der Satz „Es lebe unsere Sportler!“ ist keine Aussage.

Eine Aussage, die eine einzige Aussage ist, wird normalerweise einfach oder elementar genannt. Beispiele für Elementaraussagen sind die Aussagen 1) und 2).

Aussagen, die aus elementaren Aussagen mit Hilfe der grammatikalischen Konnektive „nicht“, „und“, „oder“, „wenn ..., dann ...“, „dann und nur dann“ gewonnen werden, werden üblicherweise als komplex oder zusammengesetzt bezeichnet. So ergibt sich Aussage 3) aus der einfachen Aussage „Karausche ist ein Fisch“ unter Verwendung der Negation „nicht“, Aussage 4) wird aus Elementaraussagen „Die Zahl 6 wird durch 2 geteilt“, „Die Zahl 6 wird durch geteilt.“ 3“, verbunden durch die Konjunktion „und“. Aussage 5) ergibt sich aus einfachen Aussagen „Der junge Mann hat sein Abitur gemacht“, „Der junge Mann erhält eine Immatrikulationsbescheinigung“ unter Verwendung der grammatikalischen Konnektivierung „wenn ...,
Das …". Ebenso können komplexe Aussagen aus einfachen Aussagen mithilfe der grammatikalischen Konnektive „oder“, „dann und nur dann“ abgeleitet werden.

In der Algebra der Logik werden alle Aussagen nur unter dem Gesichtspunkt ihrer logischen Bedeutung betrachtet und ihr Alltagsinhalt abstrahiert. Es wird angenommen, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist und keine Aussage sowohl wahr als auch falsch sein kann.

Im Folgenden bezeichnen wir elementare Aussagen mit Buchstaben des lateinischen Alphabets: a,b,c,…,x,y,z,…; Der wahre Wert wird durch den Buchstaben I oder die Zahl 1 angegeben, der falsche Wert durch den Buchstaben L oder die Zahl 0.

Wenn die Aussage A stimmt, dann werden wir schreiben a=1, wenn falsch, dann a=0.

Logische Anweisungen werden normalerweise in zwei Typen unterteilt: elementare logische Anweisungen und zusammengesetzte logische Anweisungen.

Zusammengesetzte logische Aussage ist eine Aussage, die aus anderen Aussagen unter Verwendung logischer Verknüpfungen gebildet wird.

Logischer Zusammenhang ist eine beliebige logische Operation für eine Anweisung. Zum Beispiel Wörter und Phrasen, die in der gewöhnlichen Sprache verwendet werden „nicht“, „und“, „oder“, „wenn... dann“, „dann und nur dann“ sind logische Verknüpfungen.

Elementare logische Aussagen- Dies sind Aussagen, die sich nicht auf Verbindungen beziehen.

Beispiele: „Ivanov ist Fußballspieler“ – elementare logische Aussagen. „Ivanov ist Fußballspieler und Schachspieler“ ist eine zusammengesetzte logische Aussage, die aus zwei Elementaraussagen besteht, die durch die Konnektion „und“ miteinander verbunden sind.

46. ​​​​Elemente der Algebra der Logik

Die logische Algebra ist ein Abschnitt der mathematischen Logik, deren Werte aller Elemente (Funktionen und Argumente) in einer aus zwei Elementen bestehenden Menge definiert sind: 0 und 1. Die logische Algebra arbeitet mit logischen Aussagen.

Stellungnahme - Es handelt sich um jede Aussage, zu der es eine sinnvolle Aussage über ihre Wahrheit oder Falschheit gibt. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass eine Aussage das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte erfüllt, d. h. jede Aussage ist entweder wahr oder falsch und kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.

Sprüche:

- "Jetzt Es schneit” – diese Aussage kann wahr oder falsch sein;

– „Washington ist die Hauptstadt der Vereinigten Staaten“ ist eine wahre Aussage;

– „Der Quotient aus 10 dividiert durch 2 ist 3“ – falsche Aussage.

In der Algebra der Logik werden alle Aussagen mit Buchstaben bezeichnet a, b, c Es. d. Der Inhalt von Aussagen wird erst bei der Eingabe berücksichtigt Buchstabenbezeichnungen, und in Zukunft können Sie alle in dieser Algebra vorgesehenen Aktionen an ihnen ausführen. Wenn darüber hinaus einige in der Algebra der Logik zulässige Operationen an den Anfangselementen der Algebra ausgeführt werden, sind die Ergebnisse der Operationen auch Elemente dieser Algebra.

Die einfachsten Operationen in der Algebra der Logik sind die Operationen logische Ergänzung(auch bekannt als: Operation ODER(ODER), Disjunktionsoperation) Und logische Multiplikation(auch bekannt als: Operation UND (UND),Konjunktionsoperation). Um die Operation der logischen Addition zu bezeichnen, werden die Symbole + oder V verwendet, und die Symbole oder für die logische Multiplikation. Die Regeln für die Durchführung von Operationen in der Algebra der Logik werden durch eine Reihe von Axiomen, Theoremen und Folgerungen bestimmt. Für die Algebra der Logik gelten insbesondere folgende Gesetze:

1. Konjunktiv:

47. (A + b) + c = a +(b + c),

48. (A b) mit= A(B Mit).

2. Reisen:

49. (a + b) = (b + A),

50. (A B)= (ba).

3. Verteilung:

51. a (b + c) = a b + (a Mit),

52. (a + b) c = a c + b c.

Es gelten insbesondere folgende Beziehungen:

53. a + a = aa + b = b, Wenn a ≤ b,

54. a a = aa b= A, Wenn A ≤ B,

a + a b = aa b = b, Wenn A≥ B,

a + b = a, Wenn A≥ B.

Das kleinste Element der Algebra der Logik ist 0, das größte Element ist 1. Eine weitere Operation wird auch in die Algebra der Logik eingeführt – Verweigerung(Betrieb NICHT (NICHT), Umkehrung), wird durch eine Linie über dem Element angezeigt.

Per Definition

Eine Funktion ist in der Algebra der Logik ein Ausdruck, der Elemente der Algebra der Logik enthält a, b, c und andere, die durch in dieser Algebra definierte Operationen zusammenhängen. Beispiele für logische Funktionen:

usw. Diese Beziehungen werden verwendet, um logische Funktionen und Rechenschaltungen zu synthetisieren.

Der Ausdruck eines bestimmten Gedankens oder einer bestimmten Idee erfolgt durch die Bildung von Sätzen. Ihr Kern ist der Gedanke, der ausgedrückt werden muss. Gleichzeitig gibt es in der russischen Sprache den Begriff „Aussage“. Es ähnelt dem Satz, hat aber auch eine etwas andere Bedeutung.

Was ist eine Aussage?

Eine Äußerung ist ein formulierter Gedanke. Darüber hinaus stammt diese Idee von bestimmte Person. Das heißt, die Äußerung ist eine Wiederholung der direkten Rede bzw. der direkten Rede.

Daher kann eine Äußerung die Worte einer bestimmten Person sein, die sie gerade sagt oder gerade gesagt hat. Darüber hinaus kann es sich bei der Aussage um Worte einer Person handeln, die vor langer Zeit gesprochen wurden und öffentlich bekannt geworden sind.

Das können zum Beispiel Zitate aus Filmen sein: „ Schlagworte» berühmte Leute. Solche Aussagen werden verwendet, um auf eine bestimmte Situation hinzuweisen. Gleichzeitig erklären sie sehr anschaulich den Kern der Situation oder charakterisieren die Einstellung einer Person dazu.

Viele Aussagen sind zu Aphorismen geworden. In der Regel drücken sie einen Gedanken sehr genau und prägnant aus. Daher ist eine Aussage immer ein Gedanke und immer ein separater Satz.

Auch ein humorvoller Ton ist durchaus möglich. Schließlich handelt es sich bei einer Aussage um die Worte, die eine Person einmal zu einer bestimmten Situation oder einem bestimmten Ereignis gesagt hat.

Was ist der Unterschied zwischen einer Aussage und einem Satz?

Jede Äußerung ist ein Satz, aber nicht jeder Satz ist eine Aussage. Die Gültigkeit dieser Aussage lässt sich wie folgt belegen:

• Ein Satz kann nur ein Wort enthalten. Ein solches Wort wird in einem allgemeinen Kontext verwendet und betont eine einzelne Idee, die der Autor im Text zum Ausdruck bringt. Eine Aussage hingegen besteht aus mehreren Wörtern, die durch einen einzigen Gedanken verbunden sind. Es gibt keine Ein-Wort-Aussagen;
• Der Satz kann einleitend sein. An sich drückt es sich nicht aus separater Gedanke. Aber eine Aussage drückt notwendigerweise eine Idee oder einen Gedanken aus;
• Ein Satz kann nur aus der Aussage einer anderen Person bestehen. Dies reicht aus, um das Wesentliche des Textes auszudrücken.

Stellungnahme- ein Aussagesatz, der als wahr oder falsch bezeichnet werden kann. In der Algebra werden einfachen Aussagen logische Variablen (A, B, C usw.) zugewiesen.

Boolesche Variable ist eine einfache Aussage.
Boolesche Variablen werden durch Groß- und Kleinbuchstaben gekennzeichnet in lateinischen Buchstaben(a-z, A-Z) und kann nur zwei Werte annehmen – 1, wenn die Aussage wahr ist, oder 0, wenn die Aussage falsch ist.

Beispielaussagen:

Logikfunktion ist eine komplexe Anweisung, die als Ergebnis der Ausführung logischer Operationen an einfachen Anweisungen erhalten wird.

Um komplexe Aussagen zu bilden, werden sie am häufigsten verwendet grundlegende logische Operationen, ausgedrückt durch logische Verknüpfungen „und“, „oder“, „nicht“.
Zum Beispiel,

Viele Menschen mögen kein nasses Wetter.

Sei A = „Viele Menschen mögen nasses Wetter.“ Wir erhalten eine logische Funktion F(A) = nicht A.

Bänder „NICHT“, „UND“, „ODER“ werden durch logische Operationen ersetzt Umkehrung , Verbindung , Disjunktion . Das grundlegende logische Operationen, mit dem Sie jeden logischen Ausdruck schreiben können.

Logische Formel (logischer Ausdruck) – eine Formel, die nur logische Größen und Zeichen logischer Operationen enthält. Das Ergebnis einer booleschen Formel ist WAHR (1) oder FALSCH (0).

Der Wert einer logischen Funktion hängt von den Werten der darin enthaltenen logischen Variablen ab. Daher kann der Wert einer logischen Funktion mithilfe einer speziellen Tabelle bestimmt werden ( Wahrheitstabellen), das alle möglichen Werte eingehender boolescher Variablen und ihre entsprechenden Funktionswerte auflistet.

Grundlegende (grundlegende) logische Operationen:

1. Logische Multiplikation (Konjunktion), von lat. konjunctio – ich verbinde:
Zusammenfassen von zwei (oder mehreren) Aussagen zu einer durch die Konjunktion AND;
in Programmiersprachen – Und.
Akzeptierte Notationen: /\ , , и und.
In der Mengenalgebra entspricht die Konjunktion der Operation der Schnittmenge von Mengen.

Eine Konjunktion ist genau dann wahr, wenn alle darin enthaltenen Aussagen wahr sind.

Beispiel:
Betrachten Sie die zusammengesetzte Aussage „2 2 = 4 und 3 3 = 10“. Lassen Sie uns einfache Aussagen hervorheben:

B = „3 3 = 10“ = 0 (da dies eine falsche Aussage ist)
Daher ist die logische Funktion F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (gemäß der Wahrheitstabelle), d. h. diese zusammengesetzte Aussage ist falsch.

2. Logische Addition (Disjunktion), von lat. disjunctio - Ich unterscheide:
Kombinieren von zwei (oder mehr) Aussagen zu einer mithilfe der Konjunktion OR;
in Programmiersprachen – Or.
Bezeichnung: \/, +, oder, oder.
In der Mengenalgebra entspricht die Disjunktion der Operation, Mengen zu kombinieren.

Eine Disjunktion ist genau dann falsch, wenn alle darin enthaltenen Aussagen falsch sind.

Beispiel:
Betrachten Sie die zusammengesetzte Aussage „2 2 = 4 oder 2 2 = 5“. Lassen Sie uns einfache Aussagen hervorheben:
A = „2 2 = 4“ = 1 (da dies eine wahre Aussage ist)
B = „2 2 = 5“ = 0 (da dies eine falsche Aussage ist)
Daher ist die logische Funktion F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (gemäß der Wahrheitstabelle), d. h. diese zusammengesetzte Aussage ist wahr.

3. Verleugnung (Umkehrung), von lat. InVersion – ich drehe es um:

Entspricht dem Partikel NICHT, den Ausdrücken NICHT WAHR, DAS oder NICHT WAHR, DAS;
in Programmiersprachen – Nicht;
Bezeichnung: nicht A, ¬A, nicht
In der Mengenalgebra entspricht die logische Negation der Additionsoperation zu einer universellen Menge.

Invers Das i einer booleschen Variablen ist wahr, wenn die Variable selbst falsch ist, und umgekehrt ist die Umkehrung falsch, wenn die Variable wahr ist.

Beispiel:

A = (zwei mal zwei gleich vier) = 1.

¬A= ( Das stimmt nicht zwei mal zwei gleich vier) = 0.

Betrachten Sie Aussage A: „ Mond – Satellit der Erde„; dann wird ¬A wie folgt formuliert: „ Der Mond ist kein Satellit der Erde“.

Betrachten Sie die Aussage: „Es stimmt nicht, dass 4 durch 3 teilbar ist.“ Bezeichnen wir mit A die einfache Aussage „4 ist durch 3 teilbar“. Dann hat die logische Form der Negation dieser Aussage die Form ¬A

Priorität logischer Operationen:

Operationen in einem logischen Ausdruck werden von links nach rechts unter Berücksichtigung von Klammern ausgeführt V nächste OK:
1. Umkehrung;
2. Konjunktion;
3. Disjunktion;
Um die angegebene Reihenfolge logischer Operationen zu ändern, werden Klammern verwendet.

Zusammengesetzte boolesche Ausdrücke Aussagenalgebren werden aufgerufen Formeln.
Der wahre oder falsche Wert einer Formel kann durch die Gesetze der logischen Algebra bestimmt werden, ohne sich auf die Bedeutung zu beziehen:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 – wahr
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 – falsch

Es ist bekannt, dass Kenntnisse der Logik die allgemeine intellektuelle Kultur eines Menschen steigern und zur Bildung logisch korrekten Denkens beitragen, dessen Hauptmerkmale klare Gewissheit, Konsistenz, Konsistenz und Evidenz sind. Die Beherrschung der logischen Wissenschaft ermöglicht es, bewusst richtige Überlegungen zu konstruieren, sie von falschen zu unterscheiden, logische Fehler zu vermeiden, die Wahrheit von Gedanken geschickt und effektiv zu begründen, die eigenen Ansichten zu verteidigen und fehlerhafte Gedanken und falsche Überlegungen der Gegner überzeugend zu widerlegen und dazu beizutragen Verbesserung der spontan gebildeten Denklogik. Dank der Logik wird eine Person mit den neuesten Ergebnissen der logischen Forschung vertraut.

Begriff der Äußerung

Eines der Grundkonzepte der Logik ist „ Stellungnahme" Lassen Sie uns die Bedeutung dieses Konzepts klären.

Jede menschliche Aktivität ist irgendwie mit unterschiedlichen Aussagen verbunden. Urteil, Bemerkung, Notiz usw. sind Aussagen. In der logischen Algebra ist ein Satz eine Variable, die eine von zwei Bedeutungen annehmen kann und auf der bestimmte Aktionen ausgeführt werden können. Mit anderen Worten: Eine Aussage ist ein Satz, der als wahr oder falsch bewertet werden kann.

In ähnlicher Weise wird eine Variable in der gewöhnlichen Algebra von Sätzen durch Buchstaben eines Alphabets bezeichnet, zum Beispiel lateinisch: A, B, X usw.

Arten von Anweisungen Einfache Anweisung

Der Aufbau einer Aussage kann einfach oder zusammengesetzt sein.

Aussagen enthalten ihrer Bedeutung nach eine Botschaft oder Aussage über existierende Welt. Eine solche Aussage heißt einfach. Zum Beispiel „Diagnose eines Herzinfarkts“; „Der Patient hat eine Herzrhythmusstörung.“

Kompilierte Anweisungen (logische Funktionen)

Aus einfachen Aussagen mit den Verknüpfungen AND, OR und NOT werden zusammengesetzte Aussagen gebildet, die aufgerufen werden logische Funktionen. Man nennt einfache Aussagen, aus denen eine zusammengesetzte Aussage gebildet wird logische Argumente. Der Satz „Der Patient verspürt starke Schmerzen im Kieferbereich, der Mund schließt sich nicht von selbst, das Schlucken und Sprechen fällt ihm schwer“ ist eine zusammengesetzte Aussage (logische Funktion „UND“).

Problematische, zuverlässige, bedingte Aussage

Die Bedeutung der Aussage kann problematisch, zuverlässig oder bedingt sein

Problematisch ist eine Aussage, in der etwas mit einem gewissen Maß an Annahmen bestätigt oder verneint wird. Zum Beispiel: „Die Ursache der Kopfschmerzen ist wahrscheinlich Bluthochdruck.“

Zuverlässig ist eine Aussage, die Wissen enthält, das durch die Praxis begründet und überprüft wird. Zum Beispiel: „Eine Person atmet Luft.“

Bedingt- Hierbei handelt es sich um eine Aussage, die die Abhängigkeit eines bestimmten Phänomens von bestimmten Umständen aufzeigt und bei der Grundlage und Folge durch die logische Konjunktion „wenn ..., dies ...“ verbunden werden, zum Beispiel „wenn die Diagnose Herzinfarkt lautet.“ , dann liegt eine Störung im Herzrhythmus vor“ Daher muss in einer bedingten Aussage zwischen einem Grund und einer Konsequenz unterschieden werden.

Viele Bedeutungen einer Aussage

Jede Aussage kann wahr sein oder auch nicht. Im ersten Fall heißt es WAHR im zweiten - FALSCH. Eine wahre Aussage kann durch das Symbol 1 und eine fehlerhafte + durch das Symbol 0 oder umgekehrt gekennzeichnet werden. Diese Bezeichnung ist bedingt. Sie können auch andere Bezeichnungssymbole verwenden: Eine wahre Aussage kann mit dem Symbol I und eine falsche Aussage mit L bezeichnet werden. Unabhängig von der Vielfalt der Aussagen können alle Aussagen in der Algebra der Logik also nur zwei Bedeutungen annehmen: 1 oder 0.

Es gibt Aussagen, die immer wahr sind. Zum Beispiel: „Eine Person atmet Luft“, „Lungenentzündung ist eine Entzündung der Lunge.“ Wenn wir die obigen Aussagen mit X bzw. Y bezeichnen, können wir schreiben

Es gibt einige falsche Aussagen. Zum Beispiel: „Anämie ist Herzversagen“, „Nikotin wird für die Entwicklung eines lebenden Organismus benötigt.“ Wenn wir sie mit S bzw. P bezeichnen, können wir schreiben

Die meisten Aussagen können wahr oder falsch sein. Die Aussage „Die Haut eines Menschen ist blassrosa“ trifft nur auf einen gesunden Menschen zu, in anderen Fällen handelt es sich um eine Implikation;  

), was einiges ausdrückt Bedeutung und ist entweder WAHR, oder FALSCH, aber nicht beides gleichzeitig. Aussagen sind in der Regel beschreibender oder beschreibender Natur und ihre Hauptaufgabe besteht darin, eine bestimmte Realität zu beschreiben. Somit ist die Aussage entweder wahr oder falsch; Manchmal wird angenommen, dass es einige „unbestimmte“ Wahrheitswerte annehmen kann, die zwischen vollständiger Wahrheit und vollständiger Falschheit liegen. Einer so verstandenen Aussage werden in der Regel Imperativ-, Frage-, bedeutungslose und allgemein alle anderen Sätze (z. B. Einschätzungen, Normen, temporäre Aussagen, die ihren Wahrheitswert im Laufe der Zeit ändern) gegenübergestellt, deren Beurteilung der Wahrheit oder Falschheit unmöglich ist . Neben der Beurteilung der Wahrheit wird die Aussage auch im Zusammenhang mit Gewissheit betrachtet Modalitäten(„wahrscheinlich“, „möglicherweise“, „unmöglich“, „notwendig“ und andere). In der modernen Logik werden Aussagen hauptsächlich bei der Anwendung logischer Berechnungen auf einen bestimmten Objektbereich formalisiert und angewendet.

Per Definition hat jede Aussage grammatikalisch Und logisch Aspekte. Der grammatikalische Aspekt einer Äußerung wird durch einen narrativen Satz (einfach oder komplex) ausgedrückt, der logische Aspekt durch seine Bedeutung und seinen Wahrheitswert. Eine Anweisung, die andere Anweisungen enthält, wird aufgerufen Komplex(zusammengesetzt); ohne diese - einfach(unteilbar). Jede Äußerung drückt etwas aus Gedanke, was ihm gehört Inhalt und angerufen die Bedeutung der Aussage. Diese oder jene Wahrheitseinschätzung einer Aussage nennt man ihre Wahrheitswert. Das Objekt, auf das sich die Anweisung bezieht, wird aufgerufen Gegenstand der Aussage.

Im Zusammenhang mit der Sprachpraxis werden Arten der Verwendung von Aussagen unterschieden. Es versteht sich, dass eine Aussage affirmativ verwendet wird, wenn der Zweck ihrer Verwendung darin besteht, einen wahren Gedanken auszudrücken. Die affirmative Verwendung von Aussagen ist ihre häufigste Verwendung, da Menschen bei der Äußerung ihrer Gedanken in der Regel deren Wahrheit beanspruchen. Aber die Aussage kann einfach als syntaktischer Ausdruck verwendet werden. Wenn der Wahrheitsgehalt einer Aussage nicht klar zum Ausdruck kommt, liegt eine nicht-affirmative Verwendung der Aussage vor. Eine Möglichkeit, Aussagen nicht-affirmativ zu verwenden, besteht darin, sie indirekt zu verwenden. Es geht nicht darum, die Wahrheit eines Gedankens zu behaupten, sondern nur seinen Inhalt zu vermitteln. Aus verschiedene Arten Die Verwendung von Aussagen ist von deren Zitat zu unterscheiden, das darauf abzielt, den genauen Wortlaut der Aussage zu vermitteln (und nur durch diese Botschaft den darin enthaltenen Gedanken zum Ausdruck zu bringen). Daher werden zitierte Aussagen (die normalerweise in anderen Aussagen enthalten sind) durch bestimmte symbolische Mittel hervorgehoben (z. B. durch Anführungszeichen). Die indirekte Verwendung von Aussagen kommt in den am häufigsten verwendeten logischen Kalkülen praktisch nicht vor, da ihre Annahme zu erheblichen Schwierigkeiten bei der Formalisierung führt.

In natürlichen Sprachen hängt die Beurteilung der Wahrheit von Aussagen oft davon ab, wer, wann und in welchem ​​Kontext eine bestimmte Aussage verwendet wurde. Ausdruck dieser Abhängigkeit sind die in Aussagen enthaltenen Indikatorwörter: „ich“, „du“, „jetzt“, „dort“ usw.; Die Bedeutung dieser Wörter variiert je nach Situation. Bei der Konstruktion künstlicher Sprachen – interpretierter Kalküle der mathematischen Logik oder Zwischensprachen bei der Übersetzung von einer natürlichen Sprache in eine andere (siehe) – werden sie von der Abhängigkeit der Bewertung der Aussage von den gegebenen Umständen abgelenkt, also von ihnen Schließen Sie die Pragmatik der Sprache aus der Betrachtung aus (siehe), was es uns ermöglicht, den Begriff „Äußerung“ präziser zu gestalten.

Bei der Konstruktion des elementarsten logischen Kalküls – des zweiwertigen Aussagenkalküls – geht man nur von der Aufteilung von Aussagen in Teilaussagen aus. Diejenigen Aussagen, die nicht weiter in Komponenten zerlegt werden, werden als elementar bezeichnet. Aus ihnen werden mit Hilfe logischer Konjunktionen (in der Regel fünf bekannte grammatikalische Konnektoren) dafür ausgewählt: „nicht“, „und“, „oder“, „wenn..., dann“ und „wenn... und nur“. if“) werden komplexe Aussagen zusammengestellt. Bei der Konstruktion der Prädikatenrechnung gehen sie von einer tieferen Gliederung der Aussagen in einzelne Begriffe (und andere sprachliche Gebilde) aus. Die Analyse von Aussagen (auch elementarer) der mathematischen Logik basiert auf dem Konzept eines Prädikats bzw. einer logischen Funktion, also einer Funktion, die jedem Objekt des betrachteten Objektfeldes entweder Wahrheit oder Falschheit zuordnet. Logische Funktionen entsprechen in der Logikrechnung normalerweise den Konzepten sinnvollen menschlichen Denkens. Beispielsweise entspricht eine logische Funktion, die jeder der Zahlen 1 und 2 wahr und jeder der Zahlen 3, 4, 5 usw. falsch zuweist, dem Konzept „kleiner als 3 sein“ ( der Bereich der Objekte besteht aus positiven ganzen Zahlen).

Ausdrücke, die logische Funktionen in einer Sprache darstellen, sind selbst weder wahr noch falsch, das heißt, sie sind keine Aussagen. Solche Ausdrücke enthalten Variablen und werden zu Anweisungen, wenn sie durch die Namen von Objekten aus einem bestimmten Bereich ersetzt werden (siehe). So lautet zum Beispiel der Ausdruck „ X x Es ist wahr, dass X x, der kleiner als 3 ist, der erste Wert ist falsch und der zweite Wert ist wahr.

In der logischen Analysis werden Sätze hauptsächlich dann behandelt, wenn die Analysis auf bestimmte Bereiche der Wissenschaft angewendet wird. In den Formeln der Berechnungen selbst kommen vor allem sogenannte Variablenaussagen vor. Eine variable Aussage ist keine Aussage im eigentlichen Sinne, da die Frage nach ihrer Wahrheit oder Falschheit keine Bedeutung hat; Dies ist eine Variable für eine Aussage, also ein Symbol, an dessen Stelle bestimmte Aussagen (bzw. deren Namen) eingesetzt werden können. Um den Unterschied zwischen variablen Aussagen und reellen Aussagen hervorzuheben, werden letztere oft als konstante Aussagen bezeichnet. Die Verwendung variabler Aussagen dient dem Ausdruck der Universalität: Sie ermöglicht es uns, die Gesetze der Infinitesimalrechnung für beliebige Aussagen eines bestimmten Typs zu formulieren. Einige Kalküle führen auch konstante Aussagen ein. In der axiomatischen Konstruktion der logischen Infinitesimalrechnung (siehe) haben die Konzepte einer konstanten und variablen Aussage bis zu einer Interpretation der Infinitesimalrechnung nicht den oben angegebenen Inhalt, sondern werden einfach als durch spezielle Definitionen eingeführte Symbole betrachtet. Diese Definitionen sind jedoch so gewählt, dass bei der Interpretation der Infinitesimalrechnung die formal definierten Konzepte mit den substantiellen Konzepten einer konstanten und variablen Aussage übereinstimmen.

Kein Kalkül ist in der Lage, alle logischen Eigenschaften verschiedener darzustellen verschiedene Typen Ausdrücke, die in natürlichen Sprachen verwendet werden. Jede logische Berechnung geht von idealisierten Vorstellungen über den zu formalisierenden Inhalt aus. Beispielsweise muss eine Aussage entweder wahr oder falsch sein und darüber hinaus notwendigerweise eines von beiden. Es gibt jedoch Vorschläge, die dieser Anforderung nicht direkt gerecht werden. Sie bedürfen einer Klärung. Dies gilt in erster Linie für Ausdrücke, die zwar formal grammatikalisch korrekte Sätze sind, aber keine Bedeutung haben. Normalerweise ist es in solchen Fällen möglich, die Bedeutung der Begriffe zu klären, sodass der betreffende Ausdruck wahr oder falsch wird. In der logischen Analysis und in deduktiven Theorien wird der Begriff eines bedeutungsvollen Ausdrucks normalerweise unabhängig vom Begriff eines wahren (oder falschen) Ausdrucks definiert, und Wahrheitswerte, wahr und falsch, beziehen sich nur auf bedeutungsvolle Ausdrücke, die in solchen Fällen Aussagen genannt werden .

Es ist zu beachten, dass neben dem Begriff „Aussage“ teilweise auch die Begriffe „Satz“ und „Urteil“ verwendet werden – sei es als Synonyme oder in differenzierender Bedeutung. Die Unterscheidung zwischen diesen Konzepten bezieht sich auf logische Semantik(siehe), während in logischen und Philosophische Literatur Damit sind zahlreiche Diskussionen verbunden. Im Allgemeinen laufen diese Unterscheidungen auf Folgendes hinaus. Ein Satz als syntaktische Formation, der nur der Form nach betrachtet wird, unabhängig von Bedeutung und Einschätzungen von Wahrheit oder Modalität, wird als grammatikalischer Satz bezeichnet. Aussage zugehörig verschiedene Sprachen und selbst in derselben Sprache können sie denselben Gedanken ausdrücken. Werden Sätze, die die gleiche Bedeutung haben, sich aber in der syntaktischen Bildung unterscheiden, als ein und dieselbe Aussage betrachtet, so nennt man sie Urteile. Es ist jedoch zu bedenken, dass in der modernen Logik (siehe) üblicherweise der Begriff „Aussage“ verwendet wird, während in der traditionellen Logik (siehe) der Begriff „Urteil“ (siehe) verwendet wird. Im Allgemeinen zeigt die Liste der von der Logik untersuchten verschiedenen Arten von Aussagen, dass der Bereich des Begriffs einer Aussage heterogen ist und keine klaren Grenzen aufweist.