Freude von x. Ein Auszug aus dem Buch eines der besten Mathematiklehrer

Die Freude an X

Eine geführte Tour durch Mathematik, von Eins bis Unendlich

Veröffentlicht mit freundlicher Genehmigung von Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil der elektronischen Version dieses Buches darf ohne die schriftliche Genehmigung des Urheberrechtsinhabers in irgendeiner Form oder mit irgendwelchen Mitteln, einschließlich der Veröffentlichung im Internet und in Unternehmensnetzwerken, für den privaten oder öffentlichen Gebrauch reproduziert werden.

Die rechtliche Betreuung des Verlages erfolgt durch Anwaltskanzlei"Vegas Lex"

* * *

Dieses Buch wird gut ergänzt durch:

Quanten

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Geldball

Michael Lewis

Flexibler Verstand

Carol Dweck

Die Physik der Börse

James Weatherall

Vorwort

Ich habe einen Freund, der trotz seines Berufes (er ist Künstler) eine Leidenschaft für Wissenschaft hat. Wann immer wir uns treffen, spricht er begeistert darüber jüngsten Errungenschaften in Psychologie oder Quantenmechanik. Aber sobald wir über Mathematik sprechen, spürt er ein Zittern in seinen Knien, was ihn sehr aufregt. Er beklagt sich darüber, dass ihm diese seltsamen mathematischen Symbole nicht nur trotzen, sondern dass er manchmal nicht einmal weiß, wie man sie ausspricht.

Tatsächlich liegt der Grund für seine Abneigung gegen Mathematik viel tiefer. Er wird nie verstehen, was Mathematiker im Allgemeinen tun und was sie meinen, wenn sie sagen, dass dieser Beweis elegant ist. Manchmal scherzen wir, dass ich mich einfach hinsetzen und anfangen sollte, ihn von den Grundlagen an zu unterrichten, buchstäblich von 1 + 1 = 2, und mich so viel wie möglich mit Mathematik befassen.

Und obwohl diese Idee verrückt erscheint, werde ich versuchen, sie in diesem Buch umzusetzen. Ich werde Sie durch alle großen Wissenschaftszweige führen, von der Arithmetik bis zur fortgeschrittenen Mathematik, damit diejenigen, die eine zweite Chance wollten, sie endlich nutzen können. Und dieses Mal müssen Sie sich nicht an Ihren Schreibtisch setzen. Dieses Buch macht Sie nicht zu einem Experten in Mathematik. Aber es wird helfen zu verstehen, was diese Disziplin untersucht und warum sie für diejenigen, die sie verstehen, so aufregend ist.

Um zu verdeutlichen, was ich mit dem Leben der Zahlen und ihrem Verhalten meine, das wir nicht kontrollieren können, gehen wir zurück zum Furry Paws Hotel. Angenommen, Humphrey wollte gerade die Bestellung ausliefern, aber dann riefen ihn unerwartet die Pinguine aus einem anderen Raum und baten um die gleiche Menge Fisch. Wie oft muss Humphrey das Wort „Fisch“ rufen, nachdem er zwei Befehle erhalten hat? Wenn er nichts von Zahlen wüsste, müsste er so oft schreien, wie es in beiden Räumen totale Pinguine gibt. Oder er könnte dem Koch anhand von Zahlen erklären, dass er für eine Zahl sechs Fische brauchte und für eine andere sechs. Aber was er wirklich braucht, ist ein neues Konzept: Addition. Wenn er es gemeistert hat, wird er stolz sagen, dass er sechs plus sechs (oder, wenn er ein Angeber ist, zwölf) Fische braucht.

Das ist derselbe kreative Prozess wie damals, als wir uns gerade Zahlen ausgedacht haben. So wie Zahlen das Zählen einfacher machen, als sie einzeln aufzulisten, erleichtert die Addition die Berechnung beliebiger Beträge. Gleichzeitig entwickelt sich der Rechnende zum Mathematiker. Wissenschaftlich lässt sich dieser Gedanke wie folgt formulieren: Die Verwendung der richtigen Abstraktionen führt zu tieferer Einsicht in die Essenz des Problems und zu größerer Lösungskraft.

Bald wird vielleicht sogar Humphrey erkennen, dass er jetzt immer zählen kann.

Doch trotz einer solch endlosen Perspektive hat unsere Kreativität immer einige Grenzen. Wir können entscheiden, was wir mit 6 und + meinen, aber sobald wir das tun, sind die Ergebnisse von Ausdrücken wie 6 + 6 außerhalb unserer Kontrolle. Die Logik lässt uns hier keine Wahl. Mathematik beinhaltet in diesem Sinne immer sowohl Erfindung, so und Entdeckung: wir erfinden Konzepte, aber offen ihre Folgen. Wie in den folgenden Kapiteln deutlich werden wird, liegt unsere Freiheit in der Mathematik in der Fähigkeit, Fragen zu stellen und darauf beharrlich Antworten zu suchen, ohne sie jedoch selbst zu erfinden.

2. Steinrechnung

Wie jedes Phänomen im Leben hat das Rechnen zwei Seiten: formal und unterhaltsam (oder spielerisch).

Den formalen Teil haben wir in der Schule gelernt. Dort erklärten sie uns, wie man mit Zahlenkolonnen arbeitet, sie addiert und subtrahiert, wie man sie beim Rechnen in Tabellenkalkulationen beim Ausfüllen und Vorbereiten von Steuererklärungen schaufelt Jahresberichte. Diese Seite des Rechnens erscheint vielen praktisch wichtig, aber völlig düster.

Die unterhaltsame Seite der Arithmetik lernt man erst im Studium der höheren Mathematik kennen. {3}. Sie ist jedoch so natürlich wie die Neugier eines Kindes. {4}.

In dem Aufsatz "The Mathematician's Lament" schlägt Paul Lockhart vor, Zahlen mit konkreteren Beispielen als üblich zu studieren: Er fordert uns auf, sie in Form einer Reihe von Steinen darzustellen. Zum Beispiel entspricht die Zahl 6 dem folgenden Satz von Kieselsteinen:

Sie werden hier kaum etwas Ungewöhnliches sehen. Wie es ist. Bis wir anfangen, Zahlen zu manipulieren, sehen sie ziemlich gleich aus. Das Spiel beginnt, wenn wir eine Aufgabe erhalten.

Schauen wir uns zum Beispiel Sets mit 1 bis 10 Steinen an und versuchen, Quadrate daraus zu machen. Dies kann nur mit zwei Sätzen von 4 und 9 Steinen erfolgen, da 4 = 2 × 2 und 9 = 3 × 3. Wir erhalten diese Zahlen, indem wir eine andere Zahl quadrieren (d. h. die Steine quadrieren).

Hier ist eine Aufgabe, die hat mehr Lösungen: Sie müssen herausfinden, welche Sets ein Rechteck ergeben, wenn Sie die Steine in zwei Reihen mit gleicher Anzahl von Elementen auslegen. Hier eignen sich Sets mit 2, 4, 6, 8 oder 10 Steinen; die Zahl muss gerade sein. Wenn wir versuchen, die restlichen Sets mit einer ungeraden Anzahl von Steinen in zwei Reihen anzuordnen, haben wir immer einen zusätzlichen Stein.

Aber für diese unbequemen Zahlen ist noch nicht alles verloren! Wenn wir zwei solche Mengen nehmen, dann finden die zusätzlichen Elemente ein Paar für sich selbst, und die Summe ist gerade: eine ungerade Zahl + eine ungerade Zahl = eine gerade Zahl.

Wenn wir diese Regeln auf Zahlen nach 10 erweitern und bedenken, dass die Anzahl der Zeilen in einem Rechteck mehr als zwei sein kann, dann erlauben einige ungerade Zahlen das Hinzufügen solcher Rechtecke. Zum Beispiel würde die Zahl 15 ein 3×5-Rechteck ergeben.

Obwohl 15 zweifellos eine ungerade Zahl ist, ist sie daher eine zusammengesetzte Zahl und kann als drei Reihen mit jeweils fünf Steinen dargestellt werden. Ebenso erzeugt jeder Eintrag in der Einmaleins-Tabelle seine eigene rechteckige Gruppe von Kieselsteinen.

Aber einige Zahlen, wie 2, 3, 5 und 7, sind völlig hoffnungslos. Nichts kann aus ihnen ausgelegt werden, außer sie in Form einer einfachen Linie (einer Reihe) anzuordnen. Diese seltsamen Sturköpfe sind berühmte Primzahlen.

Wir sehen also, dass Zahlen bizarre Strukturen haben können, die ihnen einen bestimmten Charakter verleihen. Aber um sich die ganze Bandbreite ihres Verhaltens vorzustellen, muss man von einzelnen Zahlen zurücktreten und beobachten, was während ihrer Interaktion passiert.

Anstatt beispielsweise nur zwei ungerade Zahlen zu addieren, fügen wir alle möglichen Folgen von ungeraden Zahlen hinzu, beginnend bei 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Überraschenderweise stellen sich diese Summen immer als perfekte Quadrate heraus. (Wir haben bereits darüber gesprochen, wie 4 und 9 als Quadrate dargestellt werden können, und das gilt auch für 16 = 4 × 4 und 25 = 5 × 5.) Eine schnelle Rechnung zeigt, dass diese Regel auch für größere ungerade Zahlen gilt und scheinbar tendiert zur Unendlichkeit. Aber was ist der Zusammenhang zwischen ungeraden Zahlen mit ihren "zusätzlichen" Steinen und klassisch symmetrischen Zahlen, die Quadrate bilden? Indem wir die Steine richtig positionieren, können wir deutlich machen, was ist Kennzeichen eleganter Beweis. {5}

Der Schlüssel dazu wird die Beobachtung sein, dass ungerade Zahlen als gleichseitige Ecken dargestellt werden können, deren sukzessives Aufeinanderlegen ein Quadrat ergibt!

Eine ähnliche Argumentationsweise wird in einem anderen kürzlich veröffentlichten Buch vorgestellt. In Yoko Ogawas charmantem Roman The Housekeeper und die Professor handelt von einer schlauen, aber ungebildeten jungen Frau und ihrem zehnjährigen Sohn. Eine Frau wurde eingestellt, um sich um einen älteren Mathematiker zu kümmern, dessen Kurzzeitgedächtnis aufgrund einer traumatischen Hirnverletzung nur Informationen über die letzten 80 Minuten seines Lebens speichert. Verloren in der Gegenwart, allein in seinem heruntergekommenen Häuschen mit lauter Zahlen, versucht der Professor, mit der Haushälterin auf die einzige Art und Weise zu kommunizieren, die er kennt: indem er sie nach ihrer Schuhgröße oder ihrem Geburtsdatum fragt und mit ihr Smalltalk über ihre Ausgaben macht. Der Professor füttert auch besondere Anteilnahme an den Sohn der Haushälterin, den er Ruth (Wurzel - Wurzel) nennt, weil der Junge oben einen flachen Kopf hat, was ihn an die mathematische Notation für die Quadratwurzel √ erinnert.

Eines Tages bietet der Professor den Jungen an eine einfache Aufgabe– Finden Sie die Summe aller Zahlen von 1 bis 10. Nachdem Ruth alle Zahlen sorgfältig addiert hat und mit der Antwort (55) zurückkommt, bittet der Professor ihn, nach einem einfacheren Weg zu suchen. Kann er die Antwort finden ohne einfache Addition von Zahlen? Ruth tritt gegen einen Stuhl und schreit: "Das ist nicht fair!"

Nach und nach wird auch die Haushälterin in die Welt der Zahlen hineingezogen und versucht heimlich, dieses Problem selbst zu lösen. „Ich verstehe nicht, warum ich mich so von einem Kinderpuzzle mitreißen ließ, das keinen praktischen Nutzen hat“, sagt sie. „Zuerst wollte ich dem Professor gefallen, aber allmählich entwickelte sich diese Aktivität zu einem Kampf zwischen mir und Zahlen. Als ich morgens aufwachte, wartete schon die Gleichung auf mich:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Das Hauptproblem der Schulmathematik ist, dass es darin keine Probleme gibt. Ja, ich weiß, was im Unterricht als Probleme durchgeht: diese geschmacklosen, langweiligen Übungen. „Hier ist die Aufgabe. So lösen Sie es. Ja, sie kommen in Prüfungen vor. Hausaufgaben 1-15. Was für eine öde Art, Mathe zu lernen: Werde ein trainierter Schimpanse.
Paul Lockhard
aus dem Essay „Die Klage des Mathematikers“

Mathematik ist wahrscheinlich einer der seltsamsten Wissenschaftszweige. In keinem anderen Fach verbinden sich Gegensätze so stark: von der Strenge formaler Beweise bis zur Fähigkeit, bestimmte Konstruktionen zu „sehen“. Mathematik hat sowohl innere Schönheit als auch äußere Schönheit. Es gibt nichts Spannenderes als eine Entscheidung Mathe Probleme. Und kein anderes Fach wird in der Schule so inkompetent unterrichtet.

Wie beginnt das Mathematikstudium in der Regel in der Schule? Von der Ausgabe eines unverständlichen Satzes von Symbolen und Definitionen an 7-8-jährige Kinder bis hin zu einem System von Algorithmen zur Verwendung dieses Abrakadabras. Einzelne Dinge, zum Beispiel das Einmaleins, werden gespeichert.

In den nächsten Klassen, die auf diesem System basieren, werden die Schüler aufgefordert und gezwungen, sich eine Reihe schamanistischer Rituale zu merken, die es ihnen ermöglichen, schwierige Probleme zu lösen. Es werden neue Definitionen entstehen, wie z. B. „echter Bruch“ und „ unechter Bruch ohne die geringste Erklärung, woher es kam und vor allem warum. Besondere Aufmerksamkeit wird sich der Lösung nutzloser und mühsamer Textprobleme widmen, die denselben Bezug zur Realität haben wie die Algorithmen selbst.

Als kleinen Test können wir Ihnen anbieten, sich zu erinnern: Wie oft in Ihrem Leben mussten Sie den richtigen oder unechten Bruch bestimmen?

Ich musste auswendig lernen: Das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist gleich der Summe ihrer Quadrate, erhöht um ihr doppeltes Produkt. Ich hatte nicht die geringste Ahnung, was das bedeuten könnte; als ich mir diese worte nicht merken konnte, schlug mir der lehrer mit einem buch auf den kopf, was aber meinen intellekt nicht im geringsten anregte.
Bertrand Russell
Englischer Philosoph, Logiker und Mathematiker

Gleichzeitig werden Lehrer jeden Widerspruch gnadenlos unterdrücken. Versuchen Sie, 5/2 statt 2 1/2 zu schreiben (wogegen Sie immer Einwände erheben möchten: Wenn ich drei Äpfel habe, die jeweils in zwei Hälften geteilt sind, dann nehme ich 5 Hälften, nicht 2 Äpfel und 1 Hälfte).

Dieses Thema lässt sich noch lange fortführen. Darüber hinaus wird dies bereits in Paul Lockharts Aufsatz "The Mathematician's Lament" getan. Es zeigt ganz gut "Wer ist schuld." Aber die Antwort auf die zweite wichtige Frage - "Was zu tun ist" wird nicht gegeben.

Eine Antwort auf diese Frage gibt ein wunderbares Buch, das kürzlich ins Russische übersetzt wurde. Das Buch heißt The Pleasure of x.

Freude von x

Wenn Sie einem sechsjährigen Kind etwas nicht erklären können, verstehen Sie es selbst nicht.
Albert Einstein

Dies ist das Buch, das sollte Desktop sein für jeden Lehrer eines technischen Faches, sei es Mathematik oder Informatik.

Der Autor dieses Leckerbissens, Steven Strogatz, ist ein Weltklasse-Mathematiker und Dozent für angewandte Mathematik an der Cornell University in den USA (einer der führenden technischen Universitäten der Welt). Und dem Buch nach zu urteilen, vereinte diese Person zwei wunderbare Eigenschaften, die dieses Werk zu einem Bestseller machten: Steven Strogatz ist ein starker Mathematiker und Lehrer in einer Person.

Sie können unterrichten, kennen das Fach aber nicht gut. Sie können das Fach gut kennen, aber nicht in der Lage sein zu unterrichten. Sie können beides tun, aber mittelmäßig. Stephen Strogatz gehört zu einem anderen Typ: Er weiß und weiß, wie man richtig unterrichtet.

Worum geht es in diesem Buch? Eigentlich über alles, was irgendwie mit Mathematik zu tun hat. Abschnitte des Buches sind auf den ersten Blick chaotisch gewählt (Zahlen, Verhältnisse, Abbildungen, Zeit der Änderungen, diverse Daten, Grenzen sind möglich), aber beim Lesen beginnt man zu verstehen, was der Autor vermitteln wollte. Das Buch basiert auf Recherchen. Recherche durchgeführt vom Autor zusammen mit dem Leser.

Das Spektrum der betrachteten Aufgaben ist riesig. Jede Person, selbst mit hervorragenden Mathematikkenntnissen, wird etwas Neues daraus lernen. Gleichzeitig gelten sie als praktische Aufgaben(z. B. die Berechnung der Zinsen, die auf Aktien, in die investiert wurde, verdient werden Aktienmarkt) und völlig abstrakt.

Viele Aufgaben werden in einem historischen Kontext gestellt. Darauf möchte ich gesondert eingehen: Inzwischen ist die Entwicklungsgeschichte der Mathematik aus fast allen Lehrbüchern gestrichen worden. Nur wenn man den historischen Kontext versteht, kann man den ganzen Weg gehen - von einfache Arithmetik zu modernen mathematischen Theorien.

Betrachten wir zum Beispiel quadratische Gleichungen. Wie viele Tränen wurden sowohl von Schülern als auch von Lehrern vergossen, als sie versuchten, sich den Zauberspruch zu merken: X eins-zwei ist gleich minus ba plus oder minus der Wurzel aus ba zum Quadrat minus vier at-tse und dividiere alles durch zwei a.

Übrigens ist diese Schreibweise nach den neuen mathematischen Maßstäben nicht mehr korrekt - ca. Editor.

Menschen mit einem guten Gedächtnis und / oder "im Fach" können sich noch an Vietas Theorem erinnern. Aber stattdessen gibt Stephen Strogatz eine elegante, von al-Khwarizmi erfundene Erklärung, mit deren Hilfe man ohne Formeln leicht und natürlich eine Lösung finden kann (wenn auch unvollständig: Damals gab es noch keine negativen Zahlen weit verbreitet). Und ich versichere Ihnen, jeder, der diese Entscheidung liest, wird sich für immer daran erinnern. Das erste Mal.

Von Kapitel zu Kapitel nimmt die Komplexität der Aufgaben zu. Aber das Verständnis geht nicht verloren, was das besondere Vergnügen ist, The Pleasure of x zu lesen. Der Leser taucht in der Atmosphäre, die der Autor für ihn geschaffen hat, praktisch in eine schöne neue Welt ein.

Ich weiß nicht, womit ich dieses Buch vergleichen soll. Vielleicht mit den berühmten Feyman-Vorlesungen über Physik oder mit "Sie müssen Witze machen, Mr. Feyman". Aber eines ist sicher: Dieses Buch wird Spuren in den Seelen derer hinterlassen, die es lesen.

Mathematik ist die genaueste und universelle Sprache Wissenschaft, aber ist es möglich, menschliche Gefühle mit Hilfe von Zahlen zu erklären? Love Formulas, Seeds of Chaos, and Romantic Differential Equations – T&P veröffentlicht ein Kapitel aus einem Buch von einem der die besten Lehrer Mathematik in der Welt von Steven Strogatz „The Pleasure of X“, herausgegeben von Mann, Ivanov und Ferber.

Im Frühling, schrieb Tennyson, Imagination junger Mann verwandelt sich leicht in Liebesgedanken. Leider kann ein potenzieller Partner eines jungen Mannes seine eigenen Vorstellungen von Liebe haben, und dann wird ihre Beziehung voller turbulenter Höhen und Tiefen sein, die die Liebe so aufregend und so schmerzhaft machen. Einige Betroffene der Unerwiderten suchen eine Erklärung für diese Liebesschwankungen im Wein, andere - in der Poesie. Und wir werden uns mit den Berechnungen beraten.

Die folgende Analyse wird spöttisch ironisch sein, aber sie berührt ernste Themen. Außerdem, wenn uns das Verständnis der Gesetze der Liebe entgehen kann, dann sind die Gesetze der unbelebten Welt jetzt gut studiert. Sie haben die Form von Differentialgleichungen, die beschreiben, wie sich zusammenhängende Variablen von Moment zu Moment in Abhängigkeit von ihren aktuellen Werten ändern. Solche Gleichungen haben vielleicht nicht viel mit Romantik zu tun, aber zumindest können sie Aufschluss darüber geben, warum, mit den Worten eines anderen Dichters, „der Weg der wahren Liebe nie glatt war“. Um die Methode der Differentialgleichungen zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass Romeo Julia liebt, aber in unserer Version der Geschichte ist Julia ein windiger Schatz. Je mehr Romeo sie liebt, desto mehr will sie sich vor ihm verstecken. Aber als Romeo ihr gegenüber abkühlt, beginnt er ihr ungewöhnlich attraktiv zu erscheinen. Der junge Liebhaber neigt jedoch dazu, ihre Gefühle zu reflektieren: Er strahlt, wenn sie ihn liebt, und kühlt ab, wenn sie ihn hasst.

Was passiert mit unseren unglücklichen Liebhabern? Wie nimmt die Liebe sie auf und verlässt sie im Laufe der Zeit? Hier hilft die Differentialrechnung. Indem wir Gleichungen aufstellen, die das Wachsen und Schwinden der Gefühle von Romeo und Julia zusammenfassen, und sie dann lösen, können wir den Verlauf der Beziehung des Paares vorhersagen. Die endgültige Prognose für sie wird ein tragisch endloser Kreislauf von Liebe und Hass sein. Mindestens ein Viertel dieser Zeit werden sie gegenseitige Liebe haben.

Um zu dieser Schlussfolgerung zu kommen, nahm ich an, dass Romeos Verhalten mit einer Differentialgleichung modelliert werden könnte,

der beschreibt, wie sich seine Liebe ® im nächsten Moment verändert (dt). Gemäß dieser Gleichung ist die Anzahl der Änderungen (dR) direkt proportional (mit einem Proportionalitätsfaktor a) zu Julias Liebe (J). Diese Beziehung spiegelt wider, was wir bereits wissen: Romeos Liebe nimmt zu, wenn Julia ihn liebt, aber es deutet auch darauf hin, dass Romeos Liebe direkt proportional dazu wächst, wie sehr Julia ihn liebt. Diese Annahme eines linearen Zusammenhangs ist emotional nicht plausibel, ermöglicht aber eine starke Vereinfachung der Lösung der Gleichung.

Im Gegensatz dazu kann Julias Verhalten mithilfe der Gleichung modelliert werden

Das Minuszeichen vor dem konstanten b spiegelt wider, dass ihre Liebe abkühlt, während Romeos Liebe intensiver wird.

Das einzige, was noch zu bestimmen ist, sind ihre anfänglichen Gefühle (dh die Werte von R und J zum Zeitpunkt t = 0). Danach werden alle notwendigen Parameter eingestellt. Wir können einen Computer verwenden, um uns langsam Schritt für Schritt vorwärts zu bewegen und die Werte von R und J gemäß den oben beschriebenen Differentialgleichungen zu ändern. Tatsächlich können wir mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Integralrechnung die Lösung analytisch finden. Da das Modell einfach ist, produziert die Integralrechnung ein paar erschöpfende Formeln, die uns sagen, wie sehr Romeo und Julia sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft lieben (oder hassen) werden.

Physikstudenten dürften die oben vorgestellten Differentialgleichungen bekannt sein: Romeo und Julia verhalten sich wie einfache harmonische Oszillatoren. Daher sagt das Modell voraus, dass die Funktionen R (t) und J (t), die die Änderung ihrer Beziehung im Laufe der Zeit beschreiben, Sinuskurven sein werden, von denen jede zunimmt und abnimmt, aber ihre Maximalwerte stimmen nicht überein.

„Dumme Idee zu beschreiben Liebesbeziehung mit Hilfe von Differentialgleichungen kam mir in den Sinn, als ich zum ersten Mal verliebt war und versuchte, das unverständliche Verhalten meiner Freundin zu verstehen "

Das Modell kann in vielerlei Hinsicht realistischer gemacht werden. Beispielsweise reagiert Romeo möglicherweise nicht nur auf Julias Gefühle, sondern auch auf seine eigenen. Was ist, wenn er einer dieser Typen ist, die so viel Angst davor haben, verlassen zu werden, dass er seine Gefühle abkühlen wird? Oder bezieht sich auf eine andere Art von Typen, die es lieben zu leiden – deshalb liebt er sie.

Fügen Sie diesen Szenarien zwei weitere Verhaltensweisen von Romeo hinzu – er reagiert auf Julias Zuneigung, indem er entweder seine eigene Zuneigung verstärkt oder schwächt – und Sie werden sehen, dass es in Liebesbeziehungen vier verschiedene Verhaltensweisen gibt. Meine Schüler und die Schüler von Peter Christophers Gruppe am Worcester Polytechnic Institute schlugen vor, diese Typen wie folgt zu benennen: Der Einsiedler oder Böse Misanthrop für den Romeo, der seine Gefühle kühlt und sich von Julia zurückzieht, und der Narzisstische Idiot und Kokette Fink für denjenigen, der sich aufwärmt seine Begeisterung, aber von Julia abgelehnt. (Sie können kommen mit Eigennamen für all diese Typen).

Obwohl die angegebenen Beispiele fantastisch sind, sind die Arten von Gleichungen, die sie beschreiben, sehr informativ. Sie sind die mächtigsten Werkzeuge, die jemals von der Menschheit geschaffen wurden, um die materielle Welt zu verstehen. Sir Isaac Newton verwendete Differentialgleichungen, um die Geheimnisse der Planetenbewegung zu entdecken. Mit Hilfe dieser Gleichungen kombinierte er die irdische und die himmlische Sphäre und zeigte, dass für beide die gleichen Bewegungsgesetze gelten.

Fast 350 Jahre nach Newton verstand die Menschheit, dass die Gesetze der Physik immer in der Sprache der Differentialgleichungen ausgedrückt werden. Das gilt für die Gleichungen, die die Strömungen von Wärme, Luft und Wasser beschreiben, für die Gesetze der Elektrizität und des Magnetismus, sogar für das Atom, wo die Quantenmechanik regiert.

Auf alle Fälle theoretische Physik müssen die richtigen Differentialgleichungen finden und lösen. Als Newton diesen Schlüssel zu den Geheimnissen des Universums entdeckte und seine große Bedeutung erkannte, veröffentlichte er ihn als lateinisches Anagramm. In freier Übersetzung klingt es so: "Es ist nützlich, Differentialgleichungen zu lösen."

Die dumme Idee, Liebesbeziehungen mit Differentialgleichungen zu beschreiben, kam mir, als ich zum ersten Mal verliebt war und versuchte, das unverständliche Verhalten meiner Freundin zu verstehen. Das war Sommerromantik am Ende des zweiten Studienjahres. Ich erinnerte mich damals sehr an den ersten Romeo, und sie war die erste Julia. Die zyklische Natur unserer Beziehung machte mich verrückt, bis mir klar wurde, dass wir beide aus Trägheit handelten, in Übereinstimmung mit der einfachen Regel des „Push-Pull“. Aber am Ende des Sommers begann meine Gleichung auseinanderzufallen, und ich war noch verwirrter. Es stellte sich heraus, dass es passiert ist bedeutendes Ereignis, die ich nicht berücksichtigt habe: sie ehemaliger Liebhaber wollte es zurückgeben.

In der Mathematik nennen wir ein solches Problem das Dreikörperproblem. Es ist offensichtlich unlösbar, besonders im Zusammenhang mit der Astronomie, wo es zuerst auftauchte. Nachdem Newton die Differentialgleichungen für das Zweikörperproblem gelöst hatte (was erklärt, warum sich die Planeten auf elliptischen Bahnen um die Sonne bewegen), wandte er sich dem Dreikörperproblem für Sonne, Erde und Mond zu. Weder er noch andere Wissenschaftler konnten es lösen. Später stellte sich heraus, dass das Problem der drei Körper die Keime des Chaos enthält, das heißt, ihr Verhalten ist auf lange Sicht unvorhersehbar.

Newton wusste nichts über die Dynamik des Chaos, aber laut seinem Freund Edmund Halley klagte er darüber, dass ihm das Drei-Körper-Problem Kopfschmerzen bereitete und ihn so oft wach hielt, dass er nicht mehr daran dachte.

Hier bin ich bei Ihnen, Sir Isaac.

Dieses Buch wird gut ergänzt durch:

Quanten

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Geldball

Michael Lewis

Flexibler Verstand

Carol Dweck

Die Physik der Börse

James Weatherall

Die Freude an X

Eine geführte Tour durch Mathematik, von Eins bis Unendlich

Stefan Strogatz

Freude aus X

Eine amüsante Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt

Angaben des Herausgebers

Erstmals in russischer Sprache erschienen

Veröffentlicht mit freundlicher Genehmigung von Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

Freude aus X. Eine spannende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt / Stephen Strogatz; pro. aus dem Englischen. - M.: Mann, Ivanov und Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Dieses Buch kann Ihre Einstellung zur Mathematik radikal verändern. Es besteht aus kurzen Kapiteln, in denen Sie jeweils etwas Neues entdecken werden. Sie werden lernen, wie nützlich Zahlen sind, um die Welt um Sie herum zu studieren, die Schönheit der Geometrie verstehen, sich mit der Eleganz der Integralrechnung vertraut machen, die Bedeutung der Statistik sehen und mit der Unendlichkeit in Berührung kommen. Der Autor erklärt grundlegende mathematische Ideen einfach und elegant und gibt brillante Beispiele, die jeder verstehen kann.

Kein Teil dieses Buches darf ohne die schriftliche Genehmigung der Urheberrechtsinhaber in irgendeiner Form reproduziert werden.

Rechtliche Betreuung des Verlages durch die Anwaltskanzlei „Vegas-Lex“

Vorwort

Ich habe einen Freund, der trotz seines Berufes (er ist Künstler) eine Leidenschaft für Wissenschaft hat. Wann immer wir uns treffen, spricht er begeistert über die neuesten Entwicklungen in der Psychologie oder der Quantenmechanik. Aber sobald wir über Mathematik sprechen, spürt er ein Zittern in seinen Knien, was ihn sehr aufregt. Er beklagt sich darüber, dass ihm diese seltsamen mathematischen Symbole nicht nur trotzen, sondern dass er manchmal nicht einmal weiß, wie man sie ausspricht.

Wir werden lernen, wie Michael Jordans Slam Dunks helfen können, die Grundlagen der Analysis zu erklären. Ich zeige Ihnen einen einfachen und erstaunlichen Weg, um den fundamentalen Satz der euklidischen Geometrie zu verstehen - den Satz des Pythagoras. Wir werden versuchen, einigen großen und kleinen Geheimnissen des Lebens auf den Grund zu gehen: Hat Jay Simpson seine Frau getötet? wie man die Matratze verlagert, damit sie so lange wie möglich hält; wie viele Partner gewechselt werden müssen, bevor eine Hochzeit gespielt wird - und wir werden sehen, warum einige Unendlichkeiten größer sind als andere.

Mathematik ist überall, man muss nur lernen, sie zu erkennen. Sie können die Sinuskurve auf dem Rücken eines Zebras sehen, Sie können Echos von Euklids Theoremen in der Unabhängigkeitserklärung hören; Was soll ich sagen, selbst in den trockenen Berichten, die dem Ersten Weltkrieg vorausgingen, gibt es negative Zahlen. Sie können auch sehen, wie unsere das heutige Leben Neue Zweige der Mathematik berühren uns zum Beispiel, wenn wir mit Hilfe des Computers Restaurants suchen oder versuchen, die beängstigenden Schwankungen des Aktienmarktes zumindest zu verstehen oder besser noch zu überstehen.

Dieses Buch wird gut ergänzt durch:

Quanten

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Geldball

Michael Lewis

Flexibler Verstand

Carol Dweck

Die Physik der Börse

James Weatherall

Die Freude an X

Eine geführte Tour durch Mathematik, von Eins bis Unendlich

Stefan Strogatz

Freude aus X

Eine spannende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt

Angaben des Herausgebers

Erstmals in russischer Sprache erschienen

Veröffentlicht mit freundlicher Genehmigung von Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

Freude aus X. Eine spannende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt / Stephen Strogatz; pro. aus dem Englischen. - M.: Mann, Ivanov und Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Kein Teil dieses Buches darf ohne die schriftliche Genehmigung der Urheberrechtsinhaber in irgendeiner Form reproduziert werden.

Rechtliche Betreuung des Verlages durch die Anwaltskanzlei „Vegas-Lex“

Vorwort

Mathematik ist überall, man muss nur lernen, sie zu erkennen. Sie können die Sinuskurve auf dem Rücken eines Zebras sehen, Sie können Echos von Euklids Theoremen in der Unabhängigkeitserklärung hören; Was soll ich sagen, selbst in den trockenen Berichten, die dem Ersten Weltkrieg vorausgingen, gibt es negative Zahlen. Sie können auch sehen, wie neue Bereiche der Mathematik unser Leben heute beeinflussen, wenn wir zum Beispiel Restaurants per Computer suchen oder versuchen, die erschreckenden Schwankungen an den Aktienmärkten zumindest zu verstehen oder besser noch zu überleben.

Ende Januar 2010 ist eine Serie von 15 Artikeln unter dem allgemeinen Titel "Grundlagen der Mathematik" online erschienen. Als Reaktion auf ihre Veröffentlichung gingen Briefe und Kommentare von Lesern aller Altersgruppen ein, darunter viele Schüler und Lehrer. Es gab auch einfach neugierige Menschen, die sich aus dem einen oder anderen Grund im Verständnis der mathematischen Wissenschaft „verirrt“ haben; Jetzt haben sie das Gefühl, etwas verpasst zu haben. um und würde es gerne nochmal versuchen. Besonders gefreut hat mich die Dankbarkeit meiner Eltern dafür, dass sie mit meiner Hilfe ihren Kindern die Mathematik erklären konnten und sie selbst anfingen, Mathematik besser zu verstehen. Es schien, dass sogar meine Kollegen und Kameraden, glühende Bewunderer dieser Wissenschaft, es genossen, die Artikel zu lesen, außer in den Momenten, in denen sie miteinander wetteiferten, um alle möglichen Empfehlungen zur Verbesserung meiner Nachkommen zu geben.

Entgegen der landläufigen Meinung besteht in der Gesellschaft ein klares Interesse an Mathematik, obwohl diesem Phänomen wenig Aufmerksamkeit geschenkt wird. Wir hören nur von der Angst vor der Mathematik, und doch würden viele gerne versuchen, sie besser zu verstehen. Und sobald dies passiert, wird es schwierig sein, sie abzureißen.

Dieses Buch führt Sie in die komplexesten und fortschrittlichsten Ideen aus der Welt der Mathematik ein. Die Kapitel sind kurz, leicht zu lesen und hängen nicht wirklich voneinander ab. Unter ihnen sind diejenigen, die in dieser ersten Artikelserie in der New York Times enthalten sind. Sobald Sie also einen leichten mathematischen Hunger verspüren, zögern Sie nicht, das nächste Kapitel in Angriff zu nehmen. Wenn Sie das Thema, das Sie interessiert, genauer verstehen möchten, finden Sie am Ende des Buches Notizen mit zusätzliche Information und Vorschläge, was man sonst noch darüber lesen könnte.

Zur Erleichterung für Leser, die eine schrittweise Herangehensweise bevorzugen, habe ich das Material gemäß der traditionellen Themenreihenfolge in sechs Teile unterteilt.

Teil I „Zahlen“ beginnt unsere Reise mit der Arithmetik Kindergarten und Grundschule. Es zeigt, wie nützlich Zahlen sein können und wie magisch sie die Welt um uns herum beschreiben.

Teil II „Verhältnisse“ verlagert die Aufmerksamkeit von den Zahlen selbst auf die Beziehungen zwischen ihnen. Diese Ideen stehen im Mittelpunkt der Algebra und sind die ersten Werkzeuge, um zu beschreiben, wie sich das eine auf das andere auswirkt, indem sie die kausale Beziehung einer Vielzahl von Dingen zeigen: Angebot und Nachfrage, Reiz und Reaktion – kurz gesagt, alle Arten von Beziehungen, die das ausmachen Welt so vielfältig und reich. .

In Teil III „Figuren“ geht es nicht um Zahlen und Symbole, sondern um Figuren und Raum – die Domäne der Geometrie und Trigonometrie. Diese Themen, zusammen mit der Beschreibung aller beobachtbaren Objekte durch Formen, mit Hilfe von logischem Denken und Beweisen, erheben die Mathematik zu Neues level Richtigkeit.

In Teil IV „Zeit des Wandels“ werden wir uns mit der Infinitesimalrechnung befassen – dem beeindruckendsten und facettenreichsten Bereich der Mathematik. Calculus ermöglicht es, die Bahn der Planeten und die Gezeitenzyklen vorherzusagen und alle sich periodisch ändernden Prozesse und Phänomene im Universum und in uns zu verstehen und zu beschreiben. Ein wichtiger Platz in diesem Teil ist dem Studium der Unendlichkeit gewidmet, deren Befriedung ein Durchbruch war, der das Funktionieren von Berechnungen ermöglichte. Computer halfen, viele Probleme zu lösen, die in der Antike auftraten, und dies führte letztendlich zu einer Revolution in der Wissenschaft und der modernen Welt.

Teil V „Viele Gesichter von Daten“ beschäftigt sich mit Wahrscheinlichkeit, Statistik, Netzwerken und Datenverarbeitung – das sind noch relativ junge Felder, generiert aus nicht immer geordneten Aspekten unseres Lebens, wie Chance und Glück, Ungewissheit, Risiko, Volatilität, Zufälligkeit, Interdependenz. Mit den richtigen mathematischen Werkzeugen und den richtigen Datentypen lernen wir, Muster in einem Strom von Zufälligkeiten zu erkennen.

Am Ende unserer Reise in Teil VI „Die Grenzen des Möglichen“ nähern wir uns den Grenzen des mathematischen Wissens, dem Grenzbereich zwischen dem bereits Bekannten und dem noch Flüchtigen und Unbekannten. Wir werden die Themen noch einmal in der uns bekannten Reihenfolge durchgehen: Zahlen, Verhältnisse, Formen, Veränderungen und Unendlichkeit - aber gleichzeitig werden wir jedes von ihnen in seiner modernen Inkarnation eingehender betrachten.