Também haverá problemas para você resolver sozinho, para os quais poderá ver as respostas.

Se no problema tanto os comprimentos dos vetores quanto o ângulo entre eles são apresentados “em uma bandeja de prata”, então a condição do problema e sua solução são assim:

Exemplo 1. Vetores são fornecidos. Encontre o produto escalar dos vetores se seus comprimentos e o ângulo entre eles forem representados pelos seguintes valores:

Outra definição também é válida, completamente equivalente à definição 1.

Definição 2. O produto escalar dos vetores é um número (escalar) igual ao produto do comprimento de um desses vetores e a projeção de outro vetor no eixo determinado pelo primeiro desses vetores. Fórmula de acordo com a definição 2:

Resolveremos o problema usando esta fórmula após o próximo ponto teórico importante.

Definição do produto escalar de vetores em termos de coordenadas

O mesmo número pode ser obtido se os vetores que estão sendo multiplicados receberem suas coordenadas.

Definição 3. O produto escalar dos vetores é um número igual à soma dos produtos aos pares de suas coordenadas correspondentes.

Na superfície

Se dois vetores e no plano são definidos por seus dois Coordenadas retangulares cartesianas

então o produto escalar desses vetores é igual à soma dos produtos aos pares de suas coordenadas correspondentes:

.

Exemplo 2. Encontre o valor numérico da projeção do vetor no eixo paralelo ao vetor.

Solução. Encontramos o produto escalar dos vetores adicionando os produtos aos pares de suas coordenadas:

Agora precisamos igualar o produto escalar resultante ao produto do comprimento do vetor e a projeção do vetor em um eixo paralelo ao vetor (de acordo com a fórmula).

Encontramos o comprimento do vetor como a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas:

.

Criamos uma equação e a resolvemos:

Responder. O valor numérico necessário é menos 8.

No espaço

Se dois vetores e no espaço são definidos por suas três coordenadas retangulares cartesianas

,

então o produto escalar desses vetores também é igual à soma dos produtos aos pares de suas coordenadas correspondentes, só que já existem três coordenadas:

.

A tarefa de encontrar o produto escalar usando o método considerado ocorre após a análise das propriedades do produto escalar. Porque no problema você precisará determinar qual ângulo os vetores multiplicados formam.

Propriedades do produto escalar de vetores

Propriedades algébricas

1. (propriedade comutativa: inverter as casas dos vetores multiplicados não altera o valor de seu produto escalar).

2. (propriedade associativa em relação a um fator numérico: o produto escalar de um vetor multiplicado por um determinado fator e outro vetor é igual ao produto escalar desses vetores multiplicado pelo mesmo fator).

3. (propriedade distributiva relativa à soma dos vetores: o produto escalar da soma de dois vetores pelo terceiro vetor é igual à soma dos produtos escalares do primeiro vetor pelo terceiro vetor e do segundo vetor pelo terceiro vetor).

4. (quadrado escalar do vetor maior que zero), if é um vetor diferente de zero e , if é um vetor zero.

Propriedades geométricas

Nas definições da operação em estudo, já tocamos no conceito de ângulo entre dois vetores. É hora de esclarecer esse conceito.

Na figura acima você pode ver dois vetores que são levados a uma origem comum. E a primeira coisa que você precisa prestar atenção é que existem dois ângulos entre esses vetores - φ 1 E φ 2 . Qual destes ângulos aparece nas definições e propriedades do produto escalar dos vetores? A soma dos ângulos considerados é 2 π e, portanto, os cossenos desses ângulos são iguais. A definição de produto escalar inclui apenas o cosseno do ângulo, e não o valor de sua expressão. Mas as propriedades consideram apenas um ângulo. E este é aquele dos dois ângulos que não ultrapassa π , isto é, 180 graus. Na figura este ângulo é indicado como φ 1 .

1. Dois vetores são chamados ortogonal E o ângulo entre esses vetores é reto (90 graus ou π /2 ), se o produto escalar desses vetores é zero :

.

Ortogonalidade em álgebra vetorial é a perpendicularidade de dois vetores.

2. Dois vetores diferentes de zero formam canto afiado (de 0 a 90 graus, ou, o que é o mesmo - menos π produto escalar é positivo .

3. Dois vetores diferentes de zero formam ângulo obtuso (de 90 a 180 graus, ou, o que dá no mesmo - mais π /2) se e somente se eles produto escalar é negativo .

Exemplo 3. As coordenadas são dadas pelos vetores:

.

Calcule os produtos escalares de todos os pares de vetores fornecidos. Que ângulo (agudo, reto, obtuso) esses pares de vetores formam?

Solução. Calcularemos somando os produtos das coordenadas correspondentes.

Obtivemos um número negativo, então os vetores formam um ângulo obtuso.

Obtivemos um número positivo, então os vetores formam um ângulo agudo.

Obtivemos zero, então os vetores formam um ângulo reto.

Obtivemos um número positivo, então os vetores formam um ângulo agudo.

.

Obtivemos um número positivo, então os vetores formam um ângulo agudo.

Para autoteste você pode usar calculadora online Produto escalar de vetores e cosseno do ângulo entre eles .

Exemplo 4. Dados os comprimentos de dois vetores e o ângulo entre eles:

.

Determine em que valor do número os vetores e são ortogonais (perpendiculares).

Solução. Vamos multiplicar os vetores usando a regra de multiplicação de polinômios:

Agora vamos calcular cada termo:

.

Vamos criar uma equação (o produto é igual a zero), somar termos semelhantes e resolver a equação:

Resposta: obtivemos o valor λ = 1,8, em que os vetores são ortogonais.

Exemplo 5. Prove que o vetor ortogonal (perpendicular) ao vetor

Solução. Para verificar a ortogonalidade, multiplicamos os vetores e como polinômios, substituindo em vez disso a expressão dada na declaração do problema:

.

Para fazer isso, você precisa multiplicar cada termo (termo) do primeiro polinômio por cada termo do segundo e somar os produtos resultantes:

.

No resultado resultante, a fração é reduzida em. O seguinte resultado é obtido:

Conclusão: como resultado da multiplicação obtivemos zero, portanto, a ortogonalidade (perpendicularidade) dos vetores está comprovada.

Resolva o problema sozinho e veja a solução

Exemplo 6. Os comprimentos dos vetores e são dados, e o ângulo entre esses vetores é π /4 . Determine em que valor μ vetores e são mutuamente perpendiculares.

Para autoteste você pode usar calculadora online Produto escalar de vetores e cosseno do ângulo entre eles .

Representação matricial do produto escalar de vetores e do produto de vetores n-dimensionais

Às vezes é vantajoso para maior clareza representar dois vetores multiplicados na forma de matrizes. Então o primeiro vetor é representado como uma matriz linha e o segundo como uma matriz coluna:

Então o produto escalar dos vetores será o produto dessas matrizes :

O resultado é o mesmo obtido pelo método que já consideramos. Obtivemos um único número, e o produto de uma matriz linha por uma matriz coluna também é um único número.

É conveniente representar o produto de vetores n-dimensionais abstratos em forma de matriz. Assim, o produto de dois vetores quadridimensionais será o produto de uma matriz linha com quatro elementos por uma matriz coluna também com quatro elementos, o produto de dois vetores pentadimensionais será o produto de uma matriz linha com cinco elementos por uma matriz coluna também com cinco elementos, e assim por diante.

Exemplo 7. Encontre produtos escalares de pares de vetores

,

usando representação matricial.

Solução. O primeiro par de vetores. Representamos o primeiro vetor como uma matriz linha e o segundo como uma matriz coluna. Encontramos o produto escalar desses vetores como o produto de uma matriz linha e uma matriz coluna:

Da mesma forma, representamos o segundo par e encontramos:

Como você pode ver, os resultados foram os mesmos dos mesmos pares do exemplo 2.

Ângulo entre dois vetores

A derivação da fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores é muito bonita e concisa.

Para expressar o produto escalar de vetores

(1)

na forma de coordenadas, primeiro encontramos o produto escalar dos vetores unitários. O produto escalar de um vetor consigo mesmo por definição:

O que está escrito na fórmula acima significa: o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado de seu comprimento. O cosseno de zero é igual a um, então o quadrado de cada unidade será igual a um:

Como os vetores

são perpendiculares aos pares, então os produtos aos pares dos vetores unitários serão iguais a zero:

Agora vamos realizar a multiplicação de polinômios vetoriais:

Substituímos os valores dos produtos escalares correspondentes dos vetores unitários no lado direito da igualdade:

Obtemos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:

Exemplo 8. Três pontos são dados A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Encontre o ângulo.

Solução. Encontrando as coordenadas dos vetores:

,

.

Usando a fórmula do ângulo cosseno, obtemos:

Por isso, .

Para autoteste você pode usar calculadora online Produto escalar de vetores e cosseno do ângulo entre eles .

Exemplo 9. Dois vetores são dados

Encontre a soma, a diferença, o comprimento, o produto escalar e o ângulo entre eles.

2.Diferença

Definição 1

O produto escalar dos vetores é um número igual ao produto dos dinas desses vetores e o cosseno do ângulo entre eles.

A notação para o produto dos vetores a → e b → tem a forma a → , b → . Vamos transformá-lo na fórmula:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → e b → denotam os comprimentos dos vetores, a → , b → ^ - designação do ângulo entre determinados vetores. Se pelo menos um vetor for zero, ou seja, tiver valor 0, então o resultado será igual a zero, a → , b → = 0

Ao multiplicar um vetor por ele mesmo, obtemos o quadrado do seu comprimento:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definição 2

A multiplicação escalar de um vetor por si só é chamada de quadrado escalar.

Calculado pela fórmula:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

A notação a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → mostra que n p b → a → é a projeção numérica de a → em b → , n p a → a → - projeção de b → em a →, respectivamente.

Vamos formular a definição de um produto para dois vetores:

O produto escalar de dois vetores a → por b → é chamado de produto do comprimento do vetor a → pela projeção b → pela direção de a → ou produto do comprimento b → pela projeção a →, respectivamente.

Produto escalar em coordenadas

O produto escalar pode ser calculado através das coordenadas dos vetores em um determinado plano ou no espaço.

O produto escalar de dois vetores em um plano, no espaço tridimensional, é chamado de soma das coordenadas de determinados vetores a → e b →.

Ao calcular o produto escalar de determinados vetores a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) no plano do sistema cartesiano, use:

uma → , b → = a x b x + a y b y ,

para o espaço tridimensional a expressão é aplicável:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

Na verdade, esta é a terceira definição do produto escalar.

Vamos provar isso.

Evidência 1

Para provar isso, usamos a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y para vetores a → = (a x , a y) , b → = (b x , por) no sistema cartesiano.

Os vetores devem ser deixados de lado

O A → = a → = a x , a y e O B → = b → = b x , b y .

Então o comprimento do vetor A B → será igual a A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Considere o triângulo O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) está correto com base no teorema do cosseno.

De acordo com a condição, é claro que O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , o que significa que escrevemos a fórmula para encontrar o ângulo entre os vetores de forma diferente

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

Então, da primeira definição segue que b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , o que significa (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Aplicando a fórmula para calcular o comprimento dos vetores, obtemos:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Vamos provar as igualdades:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respectivamente para vetores do espaço tridimensional.

O produto escalar de vetores com coordenadas diz que o quadrado escalar de um vetor é igual à soma dos quadrados de suas coordenadas no espaço e no plano, respectivamente. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) e (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Produto escalar e suas propriedades

Existem propriedades do produto escalar que se aplicam a a → , b → e c → :

1. comutatividade (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributividade (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → ,c→) ;
3. propriedade combinativa (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - qualquer número;
4. o quadrado escalar é sempre maior que zero (a → , a →) ≥ 0, onde (a → , a →) = 0 no caso em que a → zero.

Exemplo 1

As propriedades são explicáveis ​​graças à definição do produto escalar no plano e às propriedades de adição e multiplicação de números reais.

Prove a propriedade comutativa (a → , b →) = (b → , a →) . Da definição temos que (a → , b →) = a y · b y + a y · b y e (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Pela propriedade da comutatividade, as igualdades a x · b x = b x · a x e a y · b y = b y · a y são verdadeiras, o que significa a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Segue-se que (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

A distributividade é válida para qualquer número:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (uma (n) →, b →)

e (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (uma → , b → (n)) ,

daí temos

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Produto escalar com exemplos e soluções

Qualquer problema deste tipo é resolvido utilizando as propriedades e fórmulas relativas ao produto escalar:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y ou (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (uma → , uma →) = uma → 2 .

Vejamos alguns exemplos de soluções.

Exemplo 2

O comprimento de a → é 3, o comprimento de b → é 7. Encontre o produto escalar se o ângulo tiver 60 graus.

Solução

Por condição, temos todos os dados, então calculamos usando a fórmula:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Resposta: (a → , b →) = 21 2 .

Exemplo 3

Dados os vetores a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Qual é o produto escalar?

Solução

Este exemplo considera a fórmula de cálculo de coordenadas, uma vez que estão especificadas no enunciado do problema:

(a →, b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​​​+ 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9

Resposta: (uma →, b →) = - 9

Exemplo 4

Encontre o produto escalar de A B → e A C →. Os pontos A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) são dados no plano de coordenadas.

Solução

Para começar, são calculadas as coordenadas dos vetores, pois por condição são dadas as coordenadas dos pontos:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Substituindo na fórmula por coordenadas, obtemos:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Resposta: (A B → , A C →) = 28 .

Exemplo 5

Dados os vetores a → = 7 · m → + 3 · n → e b → = 5 · m → + 8 · n → , encontre seu produto. m → é igual a 3 e n → é igual a 2 unidades, são perpendiculares.

Solução

(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . Aplicando a propriedade da distributividade, obtemos:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

Tiramos o coeficiente do sinal do produto e obtemos:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 · 5 · (m →, m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m →, n →) + 15 · (n →, m →) + 24 · (n →, n →)

Pela propriedade da comutatividade transformamos:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

Como resultado obtemos:

(a →, b →) = 35 · (m →, m →) + 71 · (m →, n →) + 24 · (n →, n →).

Agora aplicamos a fórmula do produto escalar com o ângulo especificado pela condição:

(a →, b →) = 35 · (m →, m →) + 71 · (m →, n →) + 24 · (n →, n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Resposta: (uma →, b →) = 411

Se houver uma projeção numérica.

Exemplo 6

Encontre o produto escalar de a → e b →. Vetor a → tem coordenadas a → = (9, 3, - 3), projeção b → com coordenadas (- 3, - 1, 1).

Solução

Por condição, os vetores a → e a projeção b → são direcionados de forma oposta, porque a → = - 1 3 · n p a → b → → , o que significa que a projeção b → corresponde ao comprimento n p a → b → → , e com o “ -" sinal:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Substituindo na fórmula, obtemos a expressão:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Resposta: (a → , b →) = - 33 .

Problemas com produto escalar conhecido, onde é necessário encontrar o comprimento de um vetor ou de uma projeção numérica.

Exemplo 7

Qual valor λ deve assumir para um determinado produto escalar a → = (1, 0, λ + 1) e b → = (λ, 1, λ) será igual a -1.

Solução

Pela fórmula fica claro que é necessário encontrar a soma dos produtos das coordenadas:

(uma →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Dado que temos (a → , b →) = - 1 .

Para encontrar λ, calculamos a equação:

λ 2 + 2 · λ = - 1, portanto λ = - 1.

Resposta: λ = - 1.

Significado físico do produto escalar

A mecânica considera a aplicação do produto escalar.

Quando A trabalha com uma força constante F → um corpo em movimento de um ponto M a N, você pode encontrar o produto dos comprimentos dos vetores F → e M N → pelo cosseno do ângulo entre eles, o que significa que o trabalho é igual ao produto dos vetores força e deslocamento:

UMA = (F → , M N →) .

Exemplo 8

O movimento de um ponto material de 3 metros sob a influência de uma força igual a 5 Ntons é direcionado em um ângulo de 45 graus em relação ao eixo. Encontre um.

Solução

Como o trabalho é o produto do vetor força e deslocamento, significa que com base na condição F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, obtemos A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Resposta: UMA = 15 2 2 .

Exemplo 9

Um ponto material, movendo-se de M (2, - 1, - 3) para N (5, 3 λ - 2, 4) sob a força F → = (3, 1, 2), realizou um trabalho igual a 13 J. Calcule a duração do movimento.

Solução

Para determinadas coordenadas vetoriais M N → temos M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

Usando a fórmula para encontrar trabalho com os vetores F → = (3, 1, 2) e M N → = (3, 3 λ - 1, 7), obtemos A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

De acordo com a condição, é dado que A = 13 J, o que significa 22 + 3 λ = 13. Isso implica λ = - 3, o que significa M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Para encontrar a duração do movimento M N →, aplique a fórmula e substitua os valores:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Resposta: 158.

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Produto escalar de vetores

Continuamos a lidar com vetores. Na primeira aula Vetores para manequins Consideramos o conceito de vetor, ações com vetores, coordenadas vetoriais e os problemas mais simples com vetores. Se você chegou a esta página pela primeira vez a partir de um mecanismo de busca, recomendo fortemente a leitura do artigo introdutório acima, pois para dominar o material você precisa estar familiarizado com os termos e notações que utilizo, ter conhecimentos básicos sobre vetores e ser capaz de resolver problemas básicos. Esta lição é uma continuação lógica do tópico e nela analisarei detalhadamente tarefas típicas que utilizam o produto escalar de vetores. Esta é uma atividade MUITO IMPORTANTE.. Tente não pular os exemplos; eles vêm com um bônus útil - a prática o ajudará a consolidar o material que você abordou e a melhorar na resolução de problemas comuns em geometria analítica.

Adição de vetores, multiplicação de um vetor por um número.... Seria ingênuo pensar que os matemáticos não inventaram outra coisa. Além das ações já discutidas, existem uma série de outras operações com vetores, a saber: produto escalar de vetores, produto vetorial de vetores E produto misto de vetores. O produto escalar de vetores nos é familiar na escola, os outros dois produtos pertencem tradicionalmente ao curso de matemática superior. Os tópicos são simples, o algoritmo para resolver muitos problemas é direto e compreensível. A única coisa. Há uma quantidade razoável de informações, por isso é indesejável tentar dominar e resolver TUDO DE UMA VEZ. Isto é especialmente verdadeiro para manequins: acredite, o autor não quer de forma alguma se sentir como Chikatilo da matemática. Bem, também não da matemática, claro =) Alunos mais preparados podem usar os materiais de forma seletiva, em certo sentido, “obter” o conhecimento que falta; para você serei um inofensivo Conde Drácula =)

Vamos finalmente abrir a porta e observar com entusiasmo o que acontece quando dois vetores se encontram...

Definição do produto escalar de vetores.
Propriedades do produto escalar. Tarefas típicas

O conceito de produto escalar

Primeiro sobre ângulo entre vetores. Acho que todos entendem intuitivamente qual é o ângulo entre os vetores, mas, por precaução, um pouco mais de detalhes. Vamos considerar vetores livres diferentes de zero e . Se você traçar esses vetores a partir de um ponto arbitrário, obterá uma imagem que muitos já imaginaram mentalmente:

Admito que aqui descrevi a situação apenas ao nível da compreensão. Se você precisar de uma definição estrita do ângulo entre os vetores, consulte o livro didático; para problemas práticos, em princípio, não nos serve de nada. Também AQUI E AQUI ignorarei zero vetores em alguns lugares devido ao seu baixo significado prático. Fiz uma reserva especificamente para visitantes avançados do site que podem me censurar pela incompletude teórica de algumas declarações subsequentes.

pode assumir valores de 0 a 180 graus (0 a radianos), inclusive. Analiticamente, este fato é escrito na forma de uma dupla desigualdade: ou (em radianos).

Na literatura, o símbolo do ângulo é frequentemente ignorado e escrito de forma simples.

Definição: O produto escalar de dois vetores é um NÚMERO igual ao produto dos comprimentos desses vetores e o cosseno do ângulo entre eles:

Agora, esta é uma definição bastante estrita.

Nós nos concentramos em informações essenciais:

Designação: o produto escalar é denotado por ou simplesmente.

O resultado da operação é um NÚMERO: O vetor é multiplicado pelo vetor e o resultado é um número. Na verdade, se os comprimentos dos vetores são números, o cosseno de um ângulo é um número, então seu produto também será um número.

Apenas alguns exemplos de aquecimento:

Exemplo 1

Solução: Usamos a fórmula . Nesse caso:

Responder:

Os valores do cosseno podem ser encontrados em tabela trigonométrica. Eu recomendo imprimi-lo - ele será necessário em quase todas as seções da torre e muitas vezes.

Do ponto de vista puramente matemático, o produto escalar é adimensional, ou seja, o resultado, neste caso, é apenas um número e pronto. Do ponto de vista dos problemas de física, um produto escalar sempre tem um determinado significado físico, ou seja, após o resultado deve ser indicada uma ou outra unidade física. Um exemplo canônico de cálculo do trabalho de uma força pode ser encontrado em qualquer livro didático (a fórmula é exatamente um produto escalar). O trabalho de uma força é medido em Joules, portanto, a resposta será escrita de forma bastante específica, por exemplo, .

Exemplo 2

Descubra se , e o ângulo entre os vetores é igual a .

Este é um exemplo para você resolver sozinho, a resposta está no final da lição.

Ângulo entre vetores e valor do produto escalar

No Exemplo 1 o produto escalar revelou-se positivo e no Exemplo 2 revelou-se negativo. Vamos descobrir de que depende o sinal do produto escalar. Vejamos nossa fórmula: . Os comprimentos dos vetores diferentes de zero são sempre positivos: , portanto o sinal só pode depender do valor do cosseno.

Observação: Para entender melhor as informações abaixo, é melhor estudar o gráfico do cosseno no manual Gráficos e propriedades de funções. Veja como o cosseno se comporta no segmento.

Como já observado, o ângulo entre os vetores pode variar dentro , e os seguintes casos são possíveis:

1) Se canto entre vetores apimentado: (de 0 a 90 graus), então , E o produto escalar será positivo codirigido, então o ângulo entre eles é considerado zero e o produto escalar também será positivo. Desde , a fórmula simplifica: .

2) Se canto entre vetores cego: (de 90 a 180 graus), então e, correspondentemente, produto escalar é negativo: . Caso especial: se os vetores direções opostas, então o ângulo entre eles é considerado expandido: (180 graus). O produto escalar também é negativo, pois

As afirmações inversas também são verdadeiras:

1) Se, então o ângulo entre esses vetores é agudo. Alternativamente, os vetores são codirecionais.

2) Se, então o ângulo entre esses vetores é obtuso. Alternativamente, os vetores estão em direções opostas.

Mas o terceiro caso é de particular interesse:

3) Se canto entre vetores direto: (90 graus), então produto escalar é zero: . A recíproca também é verdadeira: se, então. A afirmação pode ser formulada de forma compacta da seguinte forma: O produto escalar de dois vetores é zero se e somente se os vetores forem ortogonais. Notação matemática curta:

! Observação : Vamos repetir noções básicas de lógica matemática: Um ícone de consequência lógica de dupla face geralmente é lido "se e somente se", "se e somente se". Como você pode ver, as setas são direcionadas em ambas as direções - “daqui segue-se isto, e vice-versa - daí segue-se isto”. A propósito, qual é a diferença do ícone de acompanhamento unilateral? O ícone indica só isso, que “disto segue-se isto”, e não é um fato que o oposto seja verdadeiro. Por exemplo: , mas nem todo animal é uma pantera, então neste caso você não pode usar o ícone. Ao mesmo tempo, em vez do ícone Pode use o ícone unilateral. Por exemplo, ao resolver o problema, descobrimos que concluímos que os vetores são ortogonais: - tal entrada será correta e ainda mais apropriada do que .

O terceiro caso tem grande significado prático, pois permite verificar se os vetores são ortogonais ou não. Resolveremos esse problema na segunda seção da lição.

Propriedades do produto escalar

Voltemos à situação em que dois vetores codirigido. Neste caso, o ângulo entre eles é zero, e a fórmula do produto escalar assume a forma:.

O que acontece se um vetor for multiplicado por ele mesmo? É claro que o vetor está alinhado consigo mesmo, então usamos a fórmula simplificada acima:

O número é chamado quadrado escalar vetor e são denotados como .

Por isso, o quadrado escalar de um vetor é igual ao quadrado do comprimento do vetor dado:

Desta igualdade podemos obter uma fórmula para calcular o comprimento do vetor:

Até agora parece pouco claro, mas os objetivos da lição colocarão tudo em seu devido lugar. Para resolver os problemas também precisamos propriedades do produto escalar.

Para vetores arbitrários e qualquer número, as seguintes propriedades são verdadeiras:

1) – comutativo ou comutativo lei do produto escalar.

2) – distribuição ou distributivo lei do produto escalar. Simplesmente, você pode abrir os colchetes.

3) – associativo ou associativo lei do produto escalar. A constante pode ser derivada do produto escalar.

Muitas vezes, todos os tipos de propriedades (que também precisam ser comprovadas!) são percebidas pelos alunos como lixo desnecessário, que só precisa ser memorizado e esquecido com segurança logo após o exame. Parece que o que é importante aqui, todo mundo já sabe desde a primeira série que reorganizar os fatores não altera o produto: . Devo avisá-lo que na matemática superior é fácil bagunçar as coisas com tal abordagem. Assim, por exemplo, a propriedade comutativa não é verdadeira para matrizes algébricas. Também não é verdade para produto vetorial de vetores. Portanto, no mínimo, é melhor se aprofundar em quaisquer propriedades que você encontrar em um curso superior de matemática para entender o que pode e o que não pode ser feito.

Exemplo 3

.

Solução: Primeiro, vamos esclarecer a situação com o vetor. Afinal, o que é isso? A soma dos vetores é um vetor bem definido, denotado por. Uma interpretação geométrica de ações com vetores pode ser encontrada no artigo Vetores para manequins. A mesma salsa com um vetor é a soma dos vetores e .

Assim, de acordo com a condição, é necessário encontrar o produto escalar. Em teoria, você precisa aplicar a fórmula de trabalho , mas o problema é que não sabemos os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles. Mas a condição fornece parâmetros semelhantes para vetores, então seguiremos um caminho diferente:

(1) Substitua as expressões dos vetores.

(2) Abrimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios; um trava-língua vulgar pode ser encontrado no artigo Números complexos ou Integrando uma função fracionária-racional. Não vou me repetir =) Aliás, a propriedade distributiva do produto escalar nos permite abrir os colchetes. Nós temos o direito.

(3) No primeiro e no último termos escrevemos de forma compacta os quadrados escalares dos vetores: . No segundo termo usamos a comutabilidade do produto escalar: .

(4) Apresentamos termos semelhantes: .

(5) No primeiro termo usamos a fórmula do quadrado escalar, que foi mencionada há pouco tempo. No último termo, portanto, funciona a mesma coisa: . Expandimos o segundo termo de acordo com a fórmula padrão .

(6) Substitua estas condições , e realize CUIDADOSAMENTE os cálculos finais.

Responder:

Um valor negativo do produto escalar indica o fato de que o ângulo entre os vetores é obtuso.

O problema é típico, aqui está um exemplo para resolvê-lo você mesmo:

Exemplo 4

Encontre o produto escalar dos vetores e se é conhecido que .

Agora, outra tarefa comum, apenas para a nova fórmula do comprimento de um vetor. A notação aqui será um pouco sobreposta, então, para maior clareza, vou reescrevê-la com uma letra diferente:

Exemplo 5

Encontre o comprimento do vetor se .

Solução será o seguinte:

(1) Fornecemos a expressão para o vetor.

(2) Usamos a fórmula de comprimento: e toda a expressão ve atua como o vetor “ve”.

(3) Usamos a fórmula escolar para o quadrado da soma. Observe como funciona aqui de uma forma curiosa: – na verdade, é o quadrado da diferença, e, na verdade, é assim mesmo. Quem quiser pode reorganizar os vetores: - acontece a mesma coisa, até a reorganização dos termos.

(4) O que se segue já é familiar dos dois problemas anteriores.

Responder:

Já que se trata de comprimento, não se esqueça de indicar a dimensão - “unidades”.

Exemplo 6

Encontre o comprimento do vetor se .

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Solução completa e resposta no final da lição.

Continuamos extraindo coisas úteis do produto escalar. Vejamos nossa fórmula novamente . Usando a regra da proporção, redefinimos os comprimentos dos vetores para o denominador do lado esquerdo:

Vamos trocar as peças:

Qual é o significado desta fórmula? Se os comprimentos de dois vetores e seu produto escalar forem conhecidos, podemos calcular o cosseno do ângulo entre esses vetores e, conseqüentemente, o próprio ângulo.

Um produto escalar é um número? Número. Os comprimentos dos vetores são números? Números. Isso significa que uma fração também é um número. E se o cosseno do ângulo for conhecido: , então, usando a função inversa, é fácil encontrar o próprio ângulo: .

Exemplo 7

Encontre o ângulo entre os vetores e se é conhecido isso.

Solução: Usamos a fórmula:

Na etapa final dos cálculos, foi utilizada uma técnica técnica - eliminando a irracionalidade no denominador. Para eliminar a irracionalidade, multipliquei o numerador e o denominador por.

Então se , Que:

Os valores das funções trigonométricas inversas podem ser encontrados por tabela trigonométrica. Embora isso aconteça raramente. Em problemas de geometria analítica, com muito mais frequência alguns ursos desajeitados gostam , e o valor do ângulo deve ser encontrado aproximadamente usando uma calculadora. Na verdade, veremos essa imagem mais de uma vez.

Responder:

Novamente, não esqueça de indicar as dimensões - radianos e graus. Pessoalmente, para obviamente “resolver todas as questões”, prefiro indicar ambas (a menos que a condição, claro, exija a apresentação da resposta apenas em radianos ou apenas em graus).

Agora você pode lidar de forma independente com uma tarefa mais complexa:

Exemplo 7*

Dados são os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles. Encontre o ângulo entre os vetores , .

A tarefa não é tão difícil, mas envolve várias etapas.
Vejamos o algoritmo de solução:

1) De acordo com a condição, você precisa encontrar o ângulo entre os vetores e , então você precisa usar a fórmula .

2) Encontre o produto escalar (ver Exemplos nº 3, 4).

3) Encontre o comprimento do vetor e o comprimento do vetor (ver Exemplos nº 5, 6).

4) O final da solução coincide com o Exemplo nº 7 - conhecemos o número , o que significa que é fácil encontrar o próprio ângulo:

Uma breve solução e resposta no final da lição.

A segunda seção da lição é dedicada ao mesmo produto escalar. Coordenadas. Será ainda mais fácil do que na primeira parte.

Produto escalar de vetores,
dado por coordenadas em uma base ortonormal

Responder:

Escusado será dizer que lidar com coordenadas é muito mais agradável.

Exemplo 14

Encontre o produto escalar de vetores e se

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Aqui você pode usar a associatividade da operação, ou seja, não contar , mas imediatamente tirar o triplo fora do produto escalar e multiplicá-lo por último. A solução e a resposta estão no final da lição.

No final da seção, um exemplo provocativo de cálculo do comprimento de um vetor:

Exemplo 15

Encontre os comprimentos dos vetores , Se

Solução: O método da seção anterior se sugere novamente: mas há outra maneira:

Vamos encontrar o vetor:

E seu comprimento de acordo com a fórmula trivial :

O produto escalar não é relevante aqui!

Também não é útil ao calcular o comprimento de um vetor:
Parar. Não deveríamos aproveitar a propriedade óbvia do comprimento do vetor? O que você pode dizer sobre o comprimento do vetor? Este vetor é 5 vezes maior que o vetor. A direção é oposta, mas isso não importa, pois estamos falando de comprimento. Obviamente, o comprimento do vetor é igual ao produto módulo números por comprimento do vetor:
– o sinal do módulo “come” o possível menos do número.

Por isso:

Responder:

Fórmula para o cosseno do ângulo entre vetores especificados por coordenadas

Agora temos informações completas para expressar a fórmula derivada anteriormente para o cosseno do ângulo entre os vetores através das coordenadas dos vetores:

Cosseno do ângulo entre vetores planos e , especificado em uma base ortonormal, expresso pela fórmula:
.

Cosseno do ângulo entre vetores espaciais, especificado em uma base ortonormal, expresso pela fórmula:

Exemplo 16

Dados três vértices de um triângulo. Encontre (ângulo do vértice).

Solução: De acordo com as condições, o sorteio não é obrigatório, mas ainda assim:

O ângulo necessário está marcado com um arco verde. Lembremo-nos imediatamente da designação escolar de um ângulo: – atenção especial a média carta - este é o vértice do ângulo que precisamos. Para resumir, você também pode escrever simplesmente .

Pelo desenho fica bastante óbvio que o ângulo do triângulo coincide com o ângulo entre os vetores e, em outras palavras: .

É aconselhável aprender a realizar a análise mentalmente.

Vamos encontrar os vetores:

Vamos calcular o produto escalar:

E os comprimentos dos vetores:

Cosseno do ângulo:

Esta é exatamente a ordem de conclusão da tarefa que recomendo para manequins. Leitores mais avançados podem escrever os cálculos “em uma linha”:

Aqui está um exemplo de um valor de cosseno “ruim”. O valor resultante não é final, portanto, não faz sentido se livrar da irracionalidade no denominador.

Vamos encontrar o ângulo em si:

Se você olhar o desenho, o resultado é bastante plausível. Para verificar, o ângulo também pode ser medido com um transferidor. Não danifique a tampa do monitor =)

Responder:

Na resposta não esquecemos que perguntou sobre o ângulo de um triângulo(e não sobre o ângulo entre os vetores), não esqueça de indicar a resposta exata: e o valor aproximado do ângulo: , encontrado usando uma calculadora.

Quem gostou do processo pode calcular os ângulos e verificar a validade da igualdade canônica

Exemplo 17

Um triângulo é definido no espaço pelas coordenadas de seus vértices. Encontre o ângulo entre os lados e

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Solução completa e resposta no final da lição

Uma curta seção final será dedicada às projeções, que também envolvem um produto escalar:

Projeção de um vetor em um vetor. Projeção de um vetor em eixos coordenados.
Cossenos de direção de um vetor

Considere os vetores e:

Vamos projetar o vetor no vetor; para isso, omitimos do início e do final do vetor perpendiculares para vetor (linhas pontilhadas verdes). Imagine que os raios de luz incidem perpendicularmente sobre o vetor. Então o segmento (linha vermelha) será a “sombra” do vetor. Neste caso, a projeção do vetor no vetor é o COMPRIMENTO do segmento. Ou seja, PROJEÇÃO É UM NÚMERO.

Este NÚMERO é denotado da seguinte forma: , “vetor grande” denota o vetor QUAL projeto, “vetor subscrito pequeno” denota o vetor SOBRE que é projetado.

A entrada em si é assim: “projeção do vetor “a” no vetor “ser”.

O que acontece se o vetor “ser” for “muito curto”? Desenhamos uma linha reta contendo o vetor “ser”. E o vetor “a” já estará projetado para a direção do vetor "ser", simplesmente - para a linha reta que contém o vetor “ser”. O mesmo acontecerá se o vetor “a” for adiado no trigésimo reino - ainda será facilmente projetado na linha reta que contém o vetor “ser”.

Se o ângulo entre vetores apimentado(como na foto), então

Se os vetores ortogonal, então (a projeção é um ponto cujas dimensões são consideradas zero).

Se o ângulo entre vetores cego(na figura, reorganize mentalmente a seta do vetor), então (o mesmo comprimento, mas com um sinal de menos).

Vamos traçar esses vetores a partir de um ponto:

Obviamente, quando um vetor se move, sua projeção não muda

O produto vetorial e o produto escalar facilitam o cálculo do ângulo entre os vetores. Sejam dados dois vetores $\overline(a)$ e $\overline(b)$, o ângulo orientado entre eles é igual a $\varphi$. Vamos calcular os valores $x = (\overline(a),\overline(b))$ e $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Então $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, onde $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, e $\varphi$ é o ângulo desejado, ou seja, o ponto $(x, y)$ tem um ângulo polar igual a $\varphi$ e, portanto, $\varphi$ pode ser encontrado como atan2(y, x).

Área de um triângulo

Como o produto vetorial contém o produto de dois comprimentos de vetores e o cosseno do ângulo entre eles, o produto vetorial pode ser usado para calcular a área do triângulo ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Pertencimento de um ponto a uma reta

Sejam dados um ponto $P$ e uma reta $AB$ (dados por dois pontos $A$ e $B$). É necessário verificar se um ponto pertence à reta $AB$.

Um ponto pertence à reta $AB$ se e somente se os vetores $AP$ e $AB$ são colineares, ou seja, se $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Pertencimento de um ponto a um raio

Sejam dados um ponto $P$ e uma semirreta $AB$ (definidos por dois pontos - o início da semirreta $A$ e um ponto na semirreta $B$). É necessário verificar se um ponto pertence à semirreta $AB$.

À condição de que o ponto $P$ pertença à reta $AB$, é necessário adicionar uma condição adicional - os vetores $AP$ e $AB$ são codirecionais, ou seja, são colineares e seu produto escalar é não negativo, ou seja, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

Pertencimento de um ponto a um segmento

Sejam dados um ponto $P$ e um segmento $AB$. É necessário verificar se um ponto pertence ao segmento $AB$.

Neste caso, o ponto deve pertencer tanto ao raio $AB$ quanto ao raio $BA$, portanto as seguintes condições devem ser verificadas:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Distância do ponto à linha

Sejam dados um ponto $P$ e uma reta $AB$ (dados por dois pontos $A$ e $B$). É necessário encontrar a distância do ponto da reta $AB$.

Considere o triângulo ABP. Por um lado, sua área é igual a $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Por outro lado, sua área é igual a $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, onde $h$ é a altura que caiu do ponto $P$, ou seja, a distância de $P$ a $AB$. Onde $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Distância do ponto ao feixe

Sejam dados um ponto $P$ e uma semirreta $AB$ (definidos por dois pontos - o início da semirreta $A$ e um ponto na semirreta $B$). É necessário encontrar a distância de um ponto a uma semirreta, ou seja, o comprimento do segmento mais curto do ponto $P$ a qualquer ponto da semirreta.

Esta distância é igual ao comprimento $AP$ ou à distância do ponto $P$ à linha $AB$. Qual dos casos ocorre pode ser facilmente determinado pela posição relativa do raio e do ponto. Se o ângulo PAB for agudo, ou seja, $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, então a resposta será a distância do ponto $P$ até a reta $AB$, caso contrário a resposta será o comprimento do segmento $AB$.

Distância do ponto ao segmento

Sejam dados um ponto $P$ e um segmento $AB$. É necessário encontrar a distância de $P$ ao segmento $AB$.

Se a base da perpendicular largada de $P$ na linha $AB$ cair no segmento $AB$, o que pode ser verificado pelas condições

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

então a resposta será a distância do ponto $P$ à linha $AB$. Caso contrário, a distância será igual a $\min(AP, BP)$.

Palestra: Coordenadas vetoriais; produto escalar de vetores; ângulo entre vetores

Coordenadas vetoriais

Portanto, como mencionado anteriormente, um vetor é um segmento direcionado que possui início e fim próprios. Se o início e o fim são representados por determinados pontos, então eles têm suas próprias coordenadas no plano ou no espaço.

Se cada ponto tiver suas próprias coordenadas, podemos obter as coordenadas de todo o vetor.

Digamos que temos um vetor cujo início e fim têm as seguintes designações e coordenadas: A(A x ; Ay) e B(B x ; By)

Para obter as coordenadas de um determinado vetor, é necessário subtrair as coordenadas correspondentes do início das coordenadas do final do vetor:

Para determinar as coordenadas de um vetor no espaço, use a seguinte fórmula:

Produto escalar de vetores

Existem duas maneiras de definir o conceito de produto escalar:

• Método geométrico. Segundo ele, o produto escalar é igual ao produto dos valores desses módulos pelo cosseno do ângulo entre eles.

• Significado algébrico. Do ponto de vista da álgebra, o produto escalar de dois vetores é uma certa quantidade que se obtém como resultado da soma dos produtos dos vetores correspondentes.

Se os vetores forem dados no espaço, uma fórmula semelhante deverá ser usada:

Propriedades:

• Se você multiplicar dois vetores idênticos escalarmente, seu produto escalar não será negativo:

• Se o produto escalar de dois vetores idênticos for igual a zero, esses vetores serão considerados zero:

• Se um determinado vetor for multiplicado por si mesmo, o produto escalar será igual ao quadrado do seu módulo:

• O produto escalar possui propriedade comunicativa, ou seja, o produto escalar não mudará se os vetores forem reorganizados:

• O produto escalar de vetores diferentes de zero pode ser igual a zero somente se os vetores forem perpendiculares entre si:

• Para um produto escalar de vetores, a lei comutativa é válida no caso de multiplicar um dos vetores por um número:

• Com um produto escalar, você também pode usar a propriedade distributiva da multiplicação:

Ângulo entre vetores