O domínio de definição e o intervalo de valores de uma função. Na matemática elementar, as funções são estudadas apenas no conjunto dos números reais R.Isso significa que o argumento da função só pode assumir os valores reais para os quais a função é definida, ou seja, também aceita apenas valores reais. Um monte de X todos os valores de argumentos válidos x, para a qual a função sim= f(x)definido, chamado domínio da função. Um monte de S todos os valores reais sim, que a função aceita, é chamado faixa de função. Agora você pode dar mais definição precisa Características: regra(lei) da correspondência entre os conjuntos X e Y, de acordo com o qual para cada elemento do conjuntoX pode encontrar um e apenas um elemento do conjunto Y, chamado de função.

Desta definição segue-se que uma função é considerada definida se:

O domínio da função é especificado X ;

O intervalo de funções é especificado S ;

A regra (lei) da correspondência é conhecida, e tal que para cada

Apenas um valor de função pode ser encontrado para um valor de argumento.

Este requisito de exclusividade da função é obrigatório.

Função monotônica. Se para quaisquer dois valores do argumento x 1 e x 2 da condição x 2 > x 1 segue f(x 2) > f(x 1), então a função f(x) é chamado aumentando; se por algum x 1 e x 2 da condição x 2 > x 1 segue f(x 2) < f(x 1), então a função f(x) é chamado diminuindo. Uma função que apenas aumenta ou apenas diminui é chamada monótono.

Funções limitadas e ilimitadas. A função é chamada limitado, se existe um número tão positivo M o que | f(x) | M para todos os valores x. Se tal número não existir, então a função é ilimitado.

EXEMPLOS.

A função mostrada na Fig. 3 é limitada, mas não monotônica. A função na Fig. 4 é exatamente o oposto, monotônica, mas ilimitada. (Explique isso por favor!).

Funções contínuas e descontínuas. Função sim = f (x) é chamado contínuo no pontox = a, Se:

1) a função é definida quando x = a, ou seja f (a) existe;

2) existe finito limite limite f (x) ;

x→a

(veja Limites de Função)

3) f (a) = limite f (x) .

x→a

Se pelo menos uma dessas condições não for atendida, a função é chamada explosivo no ponto x = a.

Se a função for contínua durante todos pontos do seu domínio de definição, então é chamado função contínua.

Funções pares e ímpares. Se por qualquer x f(- x) = f (x), então a função é chamada até;se ocorrer: f(- x) = - f (x), então a função é chamada chance. Gráfico de uma função par simétrico em relação ao eixo Y(Fig. 5), um gráfico de uma função ímpar Simmétrica em relação à origem(Fig. 6).

Função periódica. Função f (x) - periódico, se tal coisa existir diferente de zero número T Pelo que qualquer x do domínio de definição da função vale o seguinte: f (x + T) = f (x). Esse ao menos o número é chamado período da função. Todas as funções trigonométricas são periódicas.

Exemplo 1. Prove esse pecado x tem um período de 2.

Solução: Sabemos que o pecado ( x+ 2n) = pecado x, Onde n= 0, ± 1, ± 2,…

Portanto adição 2 n não para o argumento do seno

Muda seu significado. Existe outro número com este

Mesma propriedade?

Vamos fingir que P- tal número, ou seja, igualdade:

Pecado( x + P) = pecado x,

Válido para qualquer valor x. Mas então tem

Lugar e tempo x= / 2, ou seja

Pecado(/2 + P) = pecado / 2 = 1.

Mas de acordo com a fórmula de redução pecado (/2 + P) = porque P. Então

Das duas últimas igualdades segue-se que cos P= 1, mas nós

Sabemos que isso só é verdade quando P = 2n. Desde o menor

Um número diferente de zero de 2 né 2, então esse número

E há um período de pecado x. Pode-se provar de maneira semelhante que 2 de né , então este é o período sen 2 x.

Zeros de função. O valor do argumento no qual a função é igual a 0 é chamado zero (função raiz). Uma função pode ter vários zeros. Por exemplo, a função. sim = x (x + 1) (x-3) tem três zeros: x= 0, x= -1, x= 3. Geometricamente função nula - esta é a abscissa do ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo X .

A Figura 7 mostra um gráfico de uma função com zeros: x= a, x = b E x= c.

Assíntota. Se o gráfico de uma função se aproxima indefinidamente de uma determinada reta à medida que se afasta da origem, então esta reta é chamada assíntota.

Limites e continuidade

Conjuntos

Sob muitosé entendido como uma coleção de objetos homogêneos. Os objetos que formam um conjunto são chamados elementos ou pontos desta multidão. Os conjuntos são denotados por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Se aé um elemento do conjunto A, então a entrada é usada aÎ A. Se b não é um elemento do conjunto A, então está escrito assim: b Ï A. Um conjunto que não contém um único elemento é chamado de conjunto vazio e é denotado da seguinte forma: Ø.

Se o conjunto B consiste em parte dos elementos do conjunto A ou coincide com ele, então o conjunto B chamado subconjunto define e denota BÌ A.

Os dois conjuntos são chamados igual, se consistirem nos mesmos elementos.

Associação dois conjuntos A E B chamado de conjunto C, consistindo em todos os elementos pertencentes a pelo menos um dos conjuntos: C=AÈ B.

Ao cruzar dois conjuntos A E B chamado de conjunto C, consistindo em todos os elementos pertencentes a cada um destes conjuntos: C=AÇ B.

Por diferença conjuntos A E B chamado de conjunto E A, que não pertencem ao conjunto B: .

Suplemento conjuntos AÌ B chamado de conjunto C, consistindo em todos os elementos do conjunto B, não pertencente A.

Os conjuntos cujos elementos são números reais são chamados numérico:

Em que NÌ ZÌ PÌ R, EUÌ R E R=EUÈ P.

Um monte de X, cujos elementos satisfazem a desigualdade é chamado segmento(segmento) e é denotado por [ a; b]; desigualdade a<x<b – intervalo e é denotado por () ; desigualdades e - meios-intervalos e são denotados por e respectivamente. Freqüentemente, você também precisa lidar com intervalos infinitos e meios intervalos:,,,, e. É conveniente ligar para todos eles nos intervalos .

Intervalo, ou seja conjunto de pontos que satisfazem a desigualdade (onde ), é chamada de vizinhança do ponto a.

O conceito de função. Propriedades básicas de uma função

Se cada elemento x conjuntos X um único elemento é correspondido sim conjuntos S, então eles dizem isso no set X dado função sim=f(x). Em que x chamado variável independente ou argumento, A sim – variável dependente ou função, A f denota a lei da correspondência. Um monte de X chamado domínio de definição funções e um conjunto S – faixa de valores funções.

Existem diversas maneiras de especificar funções.

1) Método analítico - a função é dada por uma fórmula da forma sim=f(x).

2) Método tabular - a função é especificada por uma tabela contendo os valores dos argumentos e os valores correspondentes da função sim=f(x).

3) Método gráfico - representando o gráfico de uma função, ou seja, conjunto de pontos ( x; sim) plano de coordenadas, cujas abcissas representam os valores do argumento, e as ordenadas representam os valores correspondentes da função sim=f(x).

4) Método verbal - uma função é descrita pela regra para sua composição. Por exemplo, a função Dirichlet assume o valor 1 se xé um número racional e 0 se x- Número irracional.

As seguintes propriedades principais das funções são distinguidas.

1 Par e ímpar Função sim=f(x) é chamado até, se para qualquer valor x do seu domínio de definição é satisfeito f(–x)=f(x), E chance, Se f(–x)=–f(x). Se nenhuma das igualdades listadas for satisfeita, então sim=f(x) é chamado função geral. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oi, e o gráfico da função ímpar é simétrico em relação à origem.

2 Monotonia Função sim=f(x) é chamado aumentando (diminuindo) no intervalo X, Se valor mais alto um argumento deste intervalo corresponde a um valor maior (menor) da função. Deixar x 1 ,x 2Î X, x 2 >x 1. Então a função aumenta no intervalo X, Se f(x 2)>f(x 1) e diminui se f(x 2)<f(x 1).

Juntamente com as funções crescentes e decrescentes, são consideradas funções não decrescentes e não crescentes. A função é chamada não decrescente (não crescente), se em x 1 ,x 2Î X, x 2 >x 1 desigualdade é válida f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

Funções crescentes e decrescentes, bem como funções não crescentes e não decrescentes são chamadas de monotônicas.

3 Limitado Função sim=f(x) é chamado limitado no intervalo X, se existe um número tão positivo M>0, o que | f(x)|≤M para qualquer um xÎ X. Caso contrário, a função é dita ilimitada X.

4 Frequência Função sim=f(x) é chamado periódico com um período T≠0, se for algum x do domínio da função f(x+T)=f(x). A seguir, por período entendemos o menor período positivo funções.

A função é chamada explícito, se for dado por uma fórmula da forma sim=f(x). Se a função é dada pela equação F(x, sim)=0, não permitido em relação à variável dependente sim, então é chamado implícito.

Deixar sim=f(x) é uma função da variável independente definida no conjunto X com alcance S. Vamos combinar cada um simÎ S significado único xÎ X, em qual f(x)=sim.Então a função resultante x=φ (sim), definido no conjunto S com alcance X, chamado reverter e é designado sim=f –1 (x). Os gráficos de funções mutuamente inversas são simétricos em relação à bissetriz do primeiro e terceiro trimestres de coordenadas.

Deixe a função sim=f(você) é uma função de uma variável você, definido no conjunto você com alcance S, e a variável você por sua vez é uma função você=φ (x), definido no conjunto X com alcance você. Então dado no set X função sim=f(φ (x)) é chamado função complexa(composição de funções, superposição de funções, função de uma função).

Funções elementares

As principais funções elementares incluem:

• Função liga-desliga sim=x n; sim=x-n E sim=x 1/ n;
• função exponencial sim=um x;
• função logarítmica sim=registro um x;
• funções trigonométricas sim= pecado x, sim=porque x, sim=tg x E sim=ctg x;
• funções trigonométricas inversas sim= arco seno x, sim=arcos x, sim=arctg x E sim=arcctg x.

A partir das funções elementares básicas, novas funções podem ser obtidas utilizando operações algébricas e superposição de funções.

Funções construídas a partir de funções elementares básicas usando um número finito de operações algébricas e um número finito de operações de superposição são chamadas elementar.

Algébricoé uma função na qual um número finito de operações algébricas são realizadas no argumento. As funções algébricas incluem:

· uma função racional inteira (polinômio ou polinômio)

· função racional fracionária (proporção de dois polinômios)

· função irracional (se as operações no argumento incluem a extração da raiz).

Qualquer função não algébrica é chamada transcendental. As funções transcendentais incluem funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas.

O material metodológicoé apenas para referência e refere-se a para um amplo círculo tópicos O artigo fornece uma visão geral dos gráficos de funções elementares básicas e considera a questão mais importante - como construir um gráfico corretamente e RAPIDAMENTE. No decorrer do estudo de matemática superior sem conhecimento dos gráficos das funções elementares básicas, será difícil, por isso é muito importante lembrar como são os gráficos de uma parábola, hipérbole, seno, cosseno, etc. dos significados das funções. Falaremos também sobre algumas propriedades das funções principais.

Não reivindico a completude e o rigor científico dos materiais; a ênfase será colocada, em primeiro lugar, na prática - aquelas coisas com as quais se trabalha; encontramos literalmente a cada passo, em qualquer tópico de matemática superior. Gráficos para manequins? Você poderia dizer isso também.

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Sério, seis, até eu fiquei surpreso. Este resumo contém gráficos aprimorados e está disponível por uma taxa nominal; É conveniente imprimir o arquivo para que os gráficos estejam sempre à mão. Obrigado por apoiar o projeto!

E vamos começar imediatamente:

Como construir eixos coordenados corretamente?

Na prática, as provas quase sempre são realizadas pelos alunos em cadernos separados, alinhados em um quadrado. Por que você precisa de marcações xadrez? Afinal, o trabalho, a princípio, pode ser feito em folhas A4. E a gaiola é necessária apenas para projetos de desenhos precisos e de alta qualidade.

Qualquer desenho de um gráfico de função começa com eixos coordenados.

Os desenhos podem ser bidimensionais ou tridimensionais.

Vamos primeiro considerar o caso bidimensional Sistema de coordenadas retangulares cartesianas:

1) Desenhar eixos de coordenadas. O eixo é chamado eixo x , e o eixo é eixo y . Nós sempre tentamos desenhá-los limpo e não torto. As flechas também não devem se parecer com a barba do Papa Carlo.

2) Assinamos os eixos com letras grandes “X” e “Y”. Não se esqueça de rotular os eixos.

3) Defina a escala ao longo dos eixos: desenhe um zero e dois uns. Ao fazer um desenho, a escala mais conveniente e frequentemente utilizada é: 1 unidade = 2 células (desenho à esquerda) - se possível, siga-a. Porém, de vez em quando acontece que o desenho não cabe na folha do caderno - então reduzimos a escala: 1 unidade = 1 célula (desenho à direita). É raro, mas acontece que a escala do desenho tem que ser reduzida (ou aumentada) ainda mais

NÃO HÁ NECESSIDADE de “metralhadora”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Pois o plano coordenado não é um monumento a Descartes, e o aluno não é uma pomba. Nós colocamos zero E duas unidades ao longo dos eixos. Às vezes em vez de unidades, é conveniente “marcar” outros valores, por exemplo, “dois” no eixo das abcissas e “três” no eixo das ordenadas - e este sistema (0, 2 e 3) também definirá de forma única a grade de coordenadas.

É melhor estimar as dimensões estimadas do desenho ANTES de construir o desenho. Assim, por exemplo, se a tarefa requer desenhar um triângulo com vértices , , , então é completamente claro que a escala popular de 1 unidade = 2 células não funcionará. Por que? Vejamos a questão - aqui você terá que medir quinze centímetros para baixo e, obviamente, o desenho não caberá (ou mal caberá) em uma folha de caderno. Portanto, selecionamos imediatamente uma escala menor: 1 unidade = 1 célula.

Aliás, cerca de centímetros e células de notebook. É verdade que 30 células de notebook contêm 15 centímetros? Para se divertir, meça 15 centímetros em seu caderno com uma régua. Na URSS isso pode ter sido verdade... É interessante notar que se você medir esses mesmos centímetros na horizontal e na vertical, os resultados (nas células) serão diferentes! A rigor, os notebooks modernos não são xadrez, mas sim retangulares. Isso pode parecer um absurdo, mas desenhar, por exemplo, um círculo com um compasso em tais situações é muito inconveniente. Para ser sincero, nesses momentos você começa a pensar na correção do camarada Stalin, que foi enviado a campos para hackear a produção, sem falar na indústria automobilística nacional, na queda de aviões ou na explosão de usinas de energia.

Falando em qualidade, ou uma breve recomendação sobre papelaria. Hoje, a maioria dos notebooks à venda são, para dizer o mínimo, uma porcaria completa. Porque ficam molhados, e não só com canetas de gel, mas também com canetas esferográficas! Eles economizam dinheiro no papel. Para Registro testes Recomendo usar cadernos da Fábrica de Papel e Celulose de Arkhangelsk (18 folhas, grade) ou “Pyaterochka”, embora seja mais caro. É aconselhável escolher uma caneta de gel; mesmo o refil de gel chinês mais barato é muito melhor do que uma caneta esferográfica, que mancha ou rasga o papel. A única caneta esferográfica “competitiva” de que me lembro é a Erich Krause. Ela escreve de forma clara, bonita e consistente – seja com o núcleo cheio ou quase vazio.

Adicionalmente: A visão de um sistema de coordenadas retangulares através dos olhos da geometria analítica é abordada no artigo (não) dependência linear de vetores. Base de vetores, informações detalhadas sobre os trimestres de coordenadas podem ser encontradas no segundo parágrafo da lição Desigualdades lineares.

Caso 3D

É quase a mesma coisa aqui.

1) Desenhe eixos coordenados. Padrão: eixo aplicado – direcionado para cima, eixo – direcionado para a direita, eixo – direcionado para baixo para a esquerda estritamente em um ângulo de 45 graus.

2) Rotule os eixos.

3) Defina a escala ao longo dos eixos. A escala ao longo do eixo é duas vezes menor que a escala ao longo dos outros eixos. Observe também que no desenho à direita usei um "entalhe" não padrão ao longo do eixo (esta possibilidade já foi mencionada acima). Do meu ponto de vista, isso é mais preciso, rápido e esteticamente mais agradável - não há necessidade de procurar o meio da célula no microscópio e “esculpir” uma unidade próxima à origem das coordenadas.

Ao fazer um desenho 3D, novamente, dê prioridade à escala
1 unidade = 2 células (desenho à esquerda).

Para que servem todas essas regras? Regras são feitas para serem quebradas. Isso é o que farei agora. O fato é que os desenhos subsequentes do artigo serão feitos por mim no Excel, e os eixos coordenados parecerão incorretos do ponto de vista do desenho correto. Eu poderia desenhar todos os gráficos à mão, mas na verdade é assustador desenhá-los, pois o Excel reluta em desenhá-los com muito mais precisão.

Gráficos e propriedades básicas de funções elementares

Uma função linear é dada pela equação. O gráfico de funções lineares é direto. Para construir uma linha reta basta conhecer dois pontos.

Exemplo 1

Construa um gráfico da função. Vamos encontrar dois pontos. É vantajoso escolher zero como um dos pontos.

Se então

Tomemos outro ponto, por exemplo, 1.

Se então

Ao completar tarefas, as coordenadas dos pontos geralmente são resumidas em uma tabela:

E os próprios valores são calculados oralmente ou em um rascunho, uma calculadora.

Foram encontrados dois pontos, vamos fazer um desenho:

Na hora de preparar um desenho sempre assinamos os gráficos.

Seria útil recordar casos especiais de uma função linear:

Observe como coloquei as assinaturas, as assinaturas não devem permitir discrepâncias ao estudar o desenho. Nesse caso, era extremamente indesejável colocar uma assinatura próximo ao ponto de intersecção das linhas, ou no canto inferior direito entre os gráficos.

1) Uma função linear da forma () é chamada de proporcionalidade direta. Por exemplo, . Um gráfico de proporcionalidade direta sempre passa pela origem. Assim, construir uma linha reta fica simplificado - basta encontrar apenas um ponto.

2) Uma equação da forma especifica uma linha reta paralela ao eixo, em particular, o próprio eixo é dado pela equação. O gráfico da função é traçado imediatamente, sem encontrar nenhum ponto. Ou seja, o verbete deve ser entendido da seguinte forma: “o y é sempre igual a –4, para qualquer valor de x”.

3) Uma equação da forma especifica uma linha reta paralela ao eixo, em particular, o próprio eixo é dado pela equação. O gráfico da função também é traçado imediatamente. A entrada deve ser entendida da seguinte forma: “x é sempre, para qualquer valor de y, igual a 1”.

Alguns perguntarão, por que lembrar da 6ª série?! É assim, talvez seja assim, mas ao longo dos anos de prática conheci uma boa dúzia de estudantes que ficaram perplexos com a tarefa de construir um gráfico como ou.

Construir uma linha reta é a ação mais comum na hora de fazer desenhos.

A reta é discutida detalhadamente no curso de geometria analítica, e os interessados ​​​​podem consultar o artigo Equação de uma linha reta em um plano.

Gráfico de uma função quadrática cúbica, gráfico de um polinômio

Parábola. Agendar função quadrática () representa uma parábola. Considere o famoso caso:

Vamos relembrar algumas propriedades da função.

Então, a solução da nossa equação: – é neste ponto que se localiza o vértice da parábola. Por que isso acontece pode ser aprendido no artigo teórico sobre a derivada e na lição sobre os extremos da função. Enquanto isso, vamos calcular o valor correspondente de “Y”:

Assim, o vértice está no ponto

Agora encontramos outros pontos, usando descaradamente a simetria da parábola. Deve-se notar que a função – não é mesmo, mas, mesmo assim, ninguém cancelou a simetria da parábola.

Em que ordem encontrar os pontos restantes, acho que ficará claro na mesa final:

Este algoritmo de construção pode ser chamado figurativamente de “lançador” ou princípio de “ida e volta” com Anfisa Chekhova.

Vamos fazer o desenho:

Dos gráficos examinados, outro recurso útil vem à mente:

Para uma função quadrática () o seguinte é verdadeiro:

Se , então os ramos da parábola são direcionados para cima.

Se , então os ramos da parábola estão direcionados para baixo.

Conhecimento aprofundado sobre a curva pode ser obtido na lição Hipérbole e parábola.

Uma parábola cúbica é dada pela função. Aqui está um desenho familiar da escola:

Vamos listar as principais propriedades da função

Gráfico de uma função

Representa um dos ramos de uma parábola. Vamos fazer o desenho:

Principais propriedades da função:

Neste caso, o eixo é assíntota vertical para o gráfico de uma hipérbole em .

Seria um erro GROSSEIRO se, ao traçar um desenho, você permitisse descuidadamente que o gráfico se cruzasse com uma assíntota.

Além disso, os limites unilaterais nos dizem que a hipérbole não limitado de cima E não limitado por baixo.

Vamos examinar a função no infinito: , ou seja, se começarmos a nos mover ao longo do eixo para a esquerda (ou para a direita) até o infinito, então os “jogos” ocorrerão em um passo ordenado infinitamente perto se aproxima de zero e, consequentemente, os ramos da hipérbole infinitamente perto aproximar-se do eixo.

Então o eixo é assíntota horizontal para o gráfico de uma função, se “x” tende para mais ou menos infinito.

A função é chance, e, portanto, a hipérbole é simétrica em relação à origem. Este fatoóbvio pelo desenho, além disso, é facilmente verificado analiticamente: .

O gráfico de uma função da forma () representa dois ramos de uma hipérbole.

Se , então a hipérbole está localizada no primeiro e terceiro trimestres de coordenadas(veja a imagem acima).

Se , então a hipérbole está localizada no segundo e quarto trimestres de coordenadas.

O padrão indicado de residência da hipérbole é fácil de analisar do ponto de vista das transformações geométricas dos gráficos.

Exemplo 3

Construa o ramo direito da hipérbole

Usamos o método de construção pontual, e é vantajoso selecionar os valores para que sejam divisíveis por um todo:

Vamos fazer o desenho:

Não será difícil construir o ramo esquerdo da hipérbole; a estranheza da função ajudará aqui. Grosso modo, na tabela de construção pontual, adicionamos mentalmente um sinal de menos a cada número, colocamos os pontos correspondentes e desenhamos o segundo ramo.

Informações geométricas detalhadas sobre a reta considerada podem ser encontradas no artigo Hipérbole e parábola.

Gráfico de uma função exponencial

Nesta seção considerarei imediatamente a função exponencial, pois em problemas de matemática superior em 95% dos casos é a exponencial que se encontra.

Deixe-me lembrar que este é um número irracional: , isso será necessário na construção de um gráfico, que, na verdade, construirei sem cerimônia. Três pontos provavelmente são suficientes:

Vamos deixar o gráfico da função de lado por enquanto, falaremos mais sobre isso mais tarde.

Principais propriedades da função:

Gráficos de funções, etc., parecem fundamentalmente iguais.

Devo dizer que o segundo caso ocorre com menos frequência na prática, mas ocorre, por isso considerei necessário incluí-lo neste artigo.

Gráfico de uma função logarítmica

Considere uma função com logaritmo natural.
Vamos fazer um desenho ponto a ponto:

Se você esqueceu o que é um logaritmo, consulte os livros escolares.

Principais propriedades da função:

Domínio:

Faixa de valores: .

A função não é limitada por cima: , embora lentamente, mas o ramo do logaritmo sobe até o infinito.
Vamos examinar o comportamento da função perto de zero à direita: . Então o eixo é assíntota vertical para o gráfico de uma função como “x” tende a zero à direita.

É imperativo conhecer e lembrar o valor típico do logaritmo: .

Em princípio, o gráfico do logaritmo na base parece o mesmo: , , (logaritmo decimal na base 10), etc. Além disso, quanto maior a base, mais plano será o gráfico.

Não vamos considerar o caso, não me lembro quando última vez Eu construí um gráfico com base nisso. E o logaritmo parece ser um convidado muito raro em problemas de matemática superior.

No final deste parágrafo direi mais um fato: Função exponencial e função logarítmica– estas são duas funções mutuamente inversas. Se você olhar atentamente para o gráfico do logaritmo, verá que este é o mesmo expoente, apenas está localizado de forma um pouco diferente.

Gráficos de funções trigonométricas

Onde começa o tormento trigonométrico na escola? Certo. Do seno

Vamos traçar a função

Esta linha é chamada sinusóide.

Deixe-me lembrá-lo de que “pi” é um número irracional: e em trigonometria faz seus olhos deslumbrarem.

Principais propriedades da função:

Esta funçãoé periódico com ponto final. O que isso significa? Vejamos o segmento. À esquerda e à direita, exatamente a mesma parte do gráfico é repetida indefinidamente.

Domínio: , ou seja, para qualquer valor de “x” existe um valor seno.

Faixa de valores: . A função é limitado: , ou seja, todos os “jogos” ficam estritamente no segmento .
Isso não acontece: ou, mais precisamente, acontece, mas essas equações não têm solução.

Para entender este tópico, vamos considerar uma função representada em um gráfico // Vamos mostrar como o gráfico de uma função permite determinar suas propriedades.

Vejamos as propriedades de uma função usando um exemplo

O domínio de definição da função é intervalo [3,5; 5.5].

O intervalo de valores da função é intervalo [1; 3].

1. Em x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, o valor da função é zero.

O valor do argumento no qual o valor da função é zero é chamado de função zero.

//aqueles. para esta função os números são -3;-1;1,5; 4,5 são zeros.

2. Em intervalos [4,5; 3) e (1; 1,5) e (4,5; 5,5] o gráfico da função f está localizado acima do eixo das abcissas, e nos intervalos (-3; -1) e (1,5; 4,5) abaixo do eixo das abcissas, este é explicado da seguinte forma: nos intervalos [4,5; 3) e (1; 1,5) e (4,5; 5,5] a função assume valores positivos, e nos intervalos (-3; -1) e (1,5; 4,5) são negativos.

Cada um dos intervalos indicados (onde a função assume valores de mesmo sinal) é denominado intervalo de sinal constante da função f.//ou seja por exemplo, se tomarmos o intervalo (0; 3), então não é um intervalo de sinal constante desta função.

Em matemática, ao procurar intervalos de sinal constante de uma função, costuma-se indicar intervalos de comprimento máximo. //Aqueles. o intervalo (2; 3) é intervalo de constância de sinal função f, mas a resposta deve incluir o intervalo [4,5; 3) contendo o intervalo (2; 3).

3. Se você mover ao longo do eixo x de 4,5 para 2, notará que o gráfico da função diminui, ou seja, os valores da função diminuem. //Em matemática costuma-se dizer que no intervalo [ 4,5; 2] a função diminui.

À medida que x aumenta de 2 para 0, o gráfico da função aumenta, ou seja, os valores da função aumentam. //Em matemática costuma-se dizer que no intervalo [ 2; 0] a função aumenta.

Uma função f é chamada se, para quaisquer dois valores do argumento x1 e x2 deste intervalo, tais que x2 > x1, a desigualdade f (x2) > f (x1) for válida. // ou a função é chamada aumentando em algum intervalo, se para quaisquer valores do argumento deste intervalo, um valor maior do argumento corresponde a um valor maior da função.//ou seja, quanto mais x, mais y.

A função f é chamada diminuindo em algum intervalo, se para quaisquer dois valores do argumento x1 e x2 deste intervalo tais que x2 > x1, a desigualdade f(x2) está diminuindo em algum intervalo, se para quaisquer valores do argumento deste intervalo o valor maior do argumento corresponde ao menor valor da função. //aqueles. quanto mais x, menos y.

Se uma função aumenta em todo o domínio de definição, então ela é chamada aumentando.

Se uma função decresce em todo o domínio de definição, então ela é chamada diminuindo.

Exemplo 1. gráfico de funções crescentes e decrescentes, respectivamente.

Exemplo 2.

Defina o fenômeno. se Função linear f (x) = 3x + 5 aumentando ou diminuindo?

Prova. Vamos usar as definições. Sejam x1 e x2 valores arbitrários do argumento, e x1< x2., например х1=1, х2=7

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