Tema " Declive tangente como a tangente do ângulo de inclinação ”no exame de certificação, várias tarefas são atribuídas ao mesmo tempo. Dependendo de sua condição, o graduado pode ser obrigado a fornecer uma resposta completa e uma resposta curta. Ao se preparar para o exame de matemática, o aluno deve repetir definitivamente as tarefas nas quais é necessário calcular a inclinação da tangente.

Fazer isso vai te ajudar portal educacional"Shkolkovo". Nossos especialistas prepararam e apresentaram material teórico e prático o mais acessível possível. Tendo se familiarizado com ele, graduados com qualquer nível de treinamento serão capazes de resolver com sucesso problemas relacionados a derivadas, nos quais é necessário encontrar a tangente da inclinação da tangente.

Momentos básicos

Para encontrar a solução correta e racional para tais tarefas no USE, é necessário relembrar a definição básica: a derivada é a taxa de variação da função; é igual à tangente da inclinação da tangente traçada ao gráfico da função em um determinado ponto. É igualmente importante completar o desenho. Ele permitirá que você encontre a solução correta para os problemas de USE na derivada, na qual é necessário calcular a tangente da inclinação da tangente. Para maior clareza, é melhor traçar um gráfico no plano OXY.

Se você já se familiarizou com o material básico sobre o tema da derivada e está pronto para começar a resolver problemas para calcular a tangente do ângulo de inclinação de uma tangente, semelhante a USE atribuições você pode fazê-lo online. Para cada tarefa, por exemplo, tarefas no tópico "Relação da derivada com a velocidade e aceleração do corpo", anotamos a resposta correta e o algoritmo de solução. Neste caso, os alunos podem praticar a execução de tarefas de vários níveis de complexidade. Se necessário, o exercício pode ser salvo na seção "Favoritos", para que posteriormente você possa discutir a decisão com o professor.

Neste artigo, analisaremos todos os tipos de problemas para encontrar

Vamos lembrar significado geométrico da derivada: se uma tangente é desenhada no gráfico de uma função em um ponto, então a inclinação da tangente (igual à tangente do ângulo entre a tangente e a direção positiva do eixo) é igual à derivada da função em o ponto.

Tome um ponto arbitrário na tangente com coordenadas:

E considere triângulo retângulo :

Neste triângulo

Daqui

Esta é a equação da tangente desenhada para o gráfico da função no ponto.

Para escrever a equação da tangente, precisamos apenas conhecer a equação da função e o ponto onde a tangente é desenhada. Então podemos encontrar e .

Existem três tipos principais de problemas de equação tangente.

1. Dado um ponto de contato

2. Dado o coeficiente de inclinação da tangente, ou seja, o valor da derivada da função no ponto.

3. Dadas as coordenadas do ponto pelo qual se traça a tangente, mas que não é um ponto tangente.

Vejamos cada tipo de problema.

1 . Escreva a equação da tangente ao gráfico da função no ponto .

.

b) Encontre o valor da derivada no ponto . Primeiro encontramos a derivada da função

Substitua os valores encontrados na equação tangente:

Vamos abrir os colchetes do lado direito da equação. Nós temos:

Responda: .

2. Encontre as abcissas dos pontos nos quais as funções tangentes ao gráfico paralela ao eixo x.

Se a tangente é paralela ao eixo x, então o ângulo entre a tangente e a direção positiva do eixo zero, portanto, a tangente da inclinação da tangente é zero. Portanto, o valor da derivada da função nos pontos de contato é igual a zero.

a) Encontre a derivada da função .

b) Equacione a derivada a zero e encontre os valores em que a tangente é paralela ao eixo:

Igualando cada fator a zero, obtemos:

Resposta: 0;3;5

3 . Escreva equações de tangentes no gráfico de uma função , paralelo direto .

A tangente é paralela à linha. A inclinação desta linha reta é -1. Como a tangente é paralela a esta linha, portanto, a inclinação da tangente também é -1. Aquilo é conhecemos a inclinação da tangente, e assim o valor da derivada no ponto de contato.

Este é o segundo tipo de problema para encontrar a equação tangente.

Assim, recebemos uma função e o valor da derivada no ponto de contato.

a) Encontre os pontos em que a derivada da função é igual a -1.

Primeiro, vamos encontrar a equação derivada.

Vamos igualar a derivada ao número -1.

Encontre o valor da função no ponto .

(por condição)

.

b) Encontre a equação da tangente ao gráfico da função no ponto .

Encontre o valor da função no ponto .

(por condição).

Substitua esses valores na equação tangente:

.

Responda:

quatro. Escreva uma equação para uma tangente a uma curva , passando por um ponto

Primeiro, verifique se o ponto não é um ponto de contato. Se o ponto é um ponto tangente, então ele pertence ao gráfico da função, e suas coordenadas devem satisfazer a equação da função. Substitua as coordenadas do ponto na equação da função.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} não é um ponto de contato.

Este é o último tipo de problema para encontrar a equação tangente. Primeira coisa precisamos encontrar a abcissa do ponto de contato.

Vamos encontrar o valor.

Seja o ponto de contato. O ponto pertence à tangente ao gráfico da função. Se substituirmos as coordenadas deste ponto na equação tangente, obtemos a igualdade correta:

.

O valor da função no ponto é .

Encontre o valor da derivada da função no ponto .

Vamos encontrar a derivada da função primeiro. Isto .

A derivada em um ponto é .

Vamos substituir as expressões para e na equação da tangente. Obtemos a equação para:

Vamos resolver esta equação.

Reduza o numerador e o denominador da fração por 2:

Trazemos o lado direito da equação para um denominador comum. Nós temos:

Simplifique o numerador da fração e multiplique ambas as partes por - esta expressão é estritamente Acima de zero.

Obtemos a equação

Vamos resolver. Para fazer isso, elevamos as duas partes ao quadrado e vamos para o sistema.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) )) ( )">!}

Vamos resolver a primeira equação.

Resolvemos a equação quadrática, obtemos

A segunda raiz não satisfaz a condição title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Vamos escrever a equação da tangente à curva no ponto . Para isso, substituímos o valor na equação Já gravamos.

Responda:
.

A equação da tangente ao gráfico da função

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
região de Chelyabinsk

A equação da tangente ao gráfico da função

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No estágio atual desenvolvimento da educação como uma de suas principais tarefas é a formação de uma personalidade de pensamento criativo. A capacidade de criatividade nos alunos só pode ser desenvolvida se eles estiverem sistematicamente envolvidos nos fundamentos das atividades de pesquisa. A base para que os alunos usem suas forças criativas, habilidades e talentos é formada por conhecimentos e habilidades completos. Nesse sentido, o problema de formar um sistema de conhecimentos e habilidades básicas para cada tópico do curso de matemática escolar não é de pouca importância. Ao mesmo tempo, habilidades completas devem ser o objetivo didático não de tarefas individuais, mas de seu sistema cuidadosamente pensado. No sentido mais amplo, um sistema é entendido como um conjunto de elementos inter-relacionados inter-relacionados que possuem integridade e estrutura estável.

Considere uma metodologia para ensinar aos alunos como elaborar uma equação de uma tangente a um gráfico de função. Em essência, todas as tarefas para encontrar a equação tangente são reduzidas à necessidade de selecionar do conjunto (feixe, família) de linhas aquelas que satisfazem um determinado requisito - elas são tangentes ao gráfico de uma determinada função. Nesse caso, o conjunto de linhas a partir do qual a seleção é realizada pode ser especificado de duas maneiras:

a) um ponto situado no plano xOy (lápis central de linhas);
b) coeficiente angular (feixe de linhas paralelas).

Nesse sentido, ao estudar o tópico "Tangente ao gráfico de uma função" para isolar os elementos do sistema, identificamos dois tipos de tarefas:

1) tarefas em uma tangente dada por um ponto por onde passa;
2) tarefas em uma tangente dada por sua inclinação.

Aprender a resolver problemas na tangente foi realizado usando o algoritmo proposto por A.G. Mordkovich. Sua diferença fundamental das já conhecidas é que a abcissa do ponto tangente é denotada pela letra a (em vez de x0), em conexão com a qual a equação tangente toma a forma

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(compare com y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). técnica metódica, em nossa opinião, permite que os alunos percebam rápida e facilmente onde na equação geral da tangente estão escritas as coordenadas do ponto atual e onde estão os pontos de contato.

Algoritmo para compilação da equação da tangente ao gráfico da função y = f(x)

1. Designar com a letra a a abcissa do ponto de contato.
2. Encontre f(a).
3. Encontre f "(x) ef "(a).
4. Substitua os números encontrados a, f (a), f "(a) na equação geral da tangente y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Este algoritmo pode ser compilado com base na seleção independente de operações dos alunos e na sequência de sua execução.

A prática mostrou que a solução consistente de cada uma das principais tarefas usando o algoritmo permite formar a capacidade de escrever a equação da tangente ao gráfico da função em etapas, e as etapas do algoritmo servem como pontos fortes para ações . Essa abordagem corresponde à teoria da formação gradual de ações mentais desenvolvida por P.Ya. Galperin e N.F. Talizina.

No primeiro tipo de tarefas, foram identificadas duas tarefas principais:

• a tangente passa por um ponto situado na curva (problema 1);
• a tangente passa por um ponto não situado na curva (Problema 2).

Tarefa 1. Equacionar a tangente ao gráfico da função no ponto M(3; – 2).

Solução. O ponto M(3; – 2) é o ponto de contato, pois

1. a = 3 - abcissa do ponto de toque.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 é a equação tangente.

Tarefa 2. Escreva as equações de todas as tangentes ao gráfico da função y = - x 2 - 4x + 2, passando pelo ponto M(- 3; 6).

Solução. O ponto M(– 3; 6) não é um ponto tangente, pois f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - equação tangente.

A tangente passa pelo ponto M(– 3; 6), portanto, suas coordenadas satisfazem a equação da tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Se a = – 4, então a equação tangente é y = 4x + 18.

Se um \u003d - 2, a equação tangente tem a forma y \u003d 6.

No segundo tipo, as principais tarefas serão as seguintes:

• a tangente é paralela a alguma linha reta (problema 3);
• a tangente passa em algum ângulo com a linha dada (Problema 4).

Tarefa 3. Escreva as equações de todas as tangentes no gráfico da função y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, paralela à linha y \u003d 9x + 1.

Solução.

1. a - abcissa do ponto de toque.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Mas, por outro lado, f "(a) \u003d 9 (condição de paralelismo). Portanto, precisamos resolver a equação 3a 2 - 6a \u003d 9. Suas raízes a \u003d - 1, a \u003d 3 (Fig. . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 é a equação tangente;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 é a equação tangente.

Tarefa 4. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função y = 0,5x 2 - 3x + 1, passando em um ângulo de 45° com a reta y = 0 (Fig. 4).

Solução. Da condição f "(a) \u003d tg 45 ° encontramos a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - abcissa do ponto de toque.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - a equação da tangente.

É fácil mostrar que a solução de qualquer outro problema se reduz à solução de um ou vários problemas-chave. Considere os dois problemas a seguir como exemplo.

1. Escreva as equações das tangentes à parábola y = 2x 2 - 5x - 2, se as tangentes se cruzam em um ângulo reto e uma delas toca a parábola no ponto com a abcissa 3 (Fig. 5).

Solução. Uma vez que a abcissa do ponto de contato é dada, a primeira parte da solução é reduzida ao problema chave 1.

1. a \u003d 3 - a abcissa do ponto de contato de um dos lados do ângulo reto.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - a equação da primeira tangente.

Deixe um é o ângulo de inclinação da primeira tangente. Como as tangentes são perpendiculares, então é o ângulo de inclinação da segunda tangente. Da equação y = 7x – 20 da primeira tangente temos tg a = 7. Encontre

Isso significa que a inclinação da segunda tangente é .

A solução adicional é reduzida à tarefa-chave 3.

Seja B(c; f(c)) o ponto tangente da segunda linha, então

1. - abcissa do segundo ponto de contato.
2.
3.
4.
é a equação da segunda tangente.

Observação. O coeficiente angular da tangente pode ser encontrado mais facilmente se os alunos souberem a razão dos coeficientes das linhas perpendiculares k 1 k 2 = - 1.

2. Escreva as equações de todas as tangentes comuns para gráficos de funções

Solução. A tarefa se reduz a encontrar as abcissas dos pontos de contato das tangentes comuns, ou seja, resolver o problema chave 1 de forma geral, compilar um sistema de equações e depois resolvê-lo (Fig. 6).

1. Seja a a abcissa do ponto de toque no gráfico da função y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Seja c a abcissa do ponto tangente no gráfico da função
2.
3. f "(c) = c.
4.

Como as tangentes são comuns, então

Então y = x + 1 e y = - 3x - 3 são tangentes comuns.

O principal objetivo das tarefas consideradas é preparar os alunos para o auto-reconhecimento do tipo de tarefa-chave na resolução de tarefas mais complexas que exigem determinadas competências de investigação (a capacidade de analisar, comparar, generalizar, formular hipóteses, etc.). Essas tarefas incluem qualquer tarefa na qual a tarefa principal esteja incluída como um componente. Consideremos como exemplo o problema (inverso do problema 1) de encontrar uma função da família de suas tangentes.

3. Para quais b e c são as linhas y \u003d x e y \u003d - 2x tangentes ao gráfico da função y \u003d x 2 + bx + c?

Solução.

Seja t a abcissa do ponto de contato da reta y = x com a parábola y = x 2 + bx + c; p é a abcissa do ponto de contato da reta y = - 2x com a parábola y = x 2 + bx + c. Então a equação tangente y = x terá a forma y = (2t + b)x + c - t 2 , e a equação tangente y = - 2x terá a forma y = (2p + b)x + c - p 2 .

Compor e resolver um sistema de equações

Responda:

Tarefas para solução independente

1. Escreva as equações das tangentes desenhadas no gráfico da função y = 2x 2 - 4x + 3 nos pontos de interseção do gráfico com a reta y = x + 3.

Resposta: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.

2. Para quais valores de a a tangente desenhada no gráfico da função y \u003d x 2 - ax no ponto do gráfico com a abcissa x 0 \u003d 1 passa pelo ponto M (2; 3) ?

Resposta: a = 0,5.

3. Para quais valores de p a linha y = px - 5 toca a curva y = 3x 2 - 4x - 2?

Resposta: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Encontre todos os pontos comuns do gráfico da função y = 3x - x 3 e a tangente traçada a este gráfico através do ponto P(0; 16).

Resposta: A(2; - 2), B(- 4; 52).

5. Encontre a distância mais curta entre a parábola y = x 2 + 6x + 10 e a linha

Responda:

6. Na curva y \u003d x 2 - x + 1, encontre o ponto em que a tangente ao gráfico é paralela à linha y - 3x + 1 \u003d 0.

Resposta: M(2; 3).

7. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função y = x 2 + 2x - | 4x | que o toca em dois pontos. Faça um desenho.

Resposta: y = 2x - 4.

8. Prove que a reta y = 2x – 1 não intercepta a curva y = x 4 + 3x 2 + 2x. Encontre a distância entre seus pontos mais próximos.

Responda:

9. Na parábola y \u003d x 2, são tomados dois pontos com abcissas x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Uma secante é desenhada através desses pontos. Em que ponto da parábola a tangente a ela será paralela à secante desenhada? Escreva as equações para a secante e a tangente.

Resposta: y \u003d 4x - 3 - equação secante; y = 4x – 4 é a equação tangente.

10. Encontre o ângulo q entre as tangentes ao gráfico da função y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, desenhada em pontos com abcissas 0 e 1.

Resposta: q = 45°.

11. Em que pontos a tangente ao gráfico da função forma um ângulo de 135° com o eixo Ox?

Resposta: A(0; - 1), B(4; 3).

12. No ponto A(1; 8) para a curva uma tangente é desenhada. Encontre o comprimento do segmento tangente entre os eixos coordenados.

Responda:

13. Escreva a equação de todas as tangentes comuns nos gráficos das funções y \u003d x 2 - x + 1 e y \u003d 2x 2 - x + 0,5.

Resposta: y = - 3x e y = x.

14. Encontre a distância entre as tangentes ao gráfico da função paralela ao eixo x.

Responda:

15. Determine em quais ângulos a parábola y \u003d x 2 + 2x - 8 intercepta o eixo x.

Resposta: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. No gráfico da função encontre todos os pontos, a tangente em cada um dos quais para este gráfico intercepta os semieixos positivos de coordenadas, cortando segmentos iguais deles.

Resposta: A(-3; 11).

17. A reta y = 2x + 7 e a parábola y = x 2 – 1 se cruzam nos pontos M e N. Encontre o ponto de interseção K das retas tangentes à parábola nos pontos M e N.

Resposta: K(1; - 9).

18. Para quais valores de b a linha y \u003d 9x + b tangente ao gráfico da função y \u003d x 3 - 3x + 15?

Resposta 1; 31.

19. Para quais valores de k a reta y = kx – 10 tem apenas um ponto comum com o gráfico da função y = 2x 2 + 3x – 2? Para os valores encontrados de k, determine as coordenadas do ponto.

Resposta: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. Para quais valores de b a tangente traçada ao gráfico da função y = bx 3 – 2x 2 – 4 no ponto com a abcissa x 0 = 2 passa pelo ponto M(1; 8)?

Resposta: b = - 3.

21. Uma parábola com um vértice no eixo x é tangente a uma linha que passa pelos pontos A(1; 2) e B(2; 4) no ponto B. Encontre a equação da parábola.

Responda:

22. Em que valor do coeficiente k a parábola y \u003d x 2 + kx + 1 toca o eixo Ox?

Resposta: k = q 2.

23. Encontre os ângulos entre a linha y = x + 2 e a curva y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Encontre a distância entre as tangentes ao gráfico dos geradores de funções com a direção positiva do eixo Ox em um ângulo de 45°.

Responda:

30. Encontre o lugar geométrico dos vértices de todas as parábolas da forma y = x 2 + ax + b tocando a reta y = 4x - 1.

Resposta: reta y = 4x + 3.

Literatura

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Álgebra e os primórdios da análise: 3600 problemas para alunos e candidatos à universidade. - M., Abetarda, 1999.
2. Mordkovich A. O quarto seminário para jovens professores. O tópico é "Aplicativos derivados". - M., "Matemática", nº 21/94.
3. Formação de conhecimentos e habilidades com base na teoria da assimilação gradual das ações mentais. /Ed. P.Ya. Galperin, N. F. Talizina. - M., Universidade Estadual de Moscou, 1968.

Primeiro nível

A equação da tangente ao gráfico da função. Guia Completo (2019)

Você já sabe o que é um derivado? Se não, leia o tópico primeiro. Então você diz que conhece a derivada. Agora vamos verificar. Encontre o incremento da função quando o incremento do argumento for igual a. Você conseguiu? Deve funcionar. Agora encontre a derivada da função em um ponto. Responda: . Ocorrido? Se algum desses exemplos for difícil, recomendo fortemente que você volte ao tópico e o estude novamente. Eu sei que o tópico é muito grande, mas fora isso não adianta ir mais longe. Considere o gráfico de alguma função:

Vamos selecionar um certo ponto na linha do gráfico. Deixe sua abscissa, então a ordenada é igual. Em seguida, escolhemos um ponto próximo ao ponto com abcissa; sua ordenada é:

Vamos traçar uma linha através desses pontos. É chamado de secante (assim como na geometria). Vamos denotar o ângulo de inclinação da linha reta para o eixo como. Como na trigonometria, este ângulo é medido a partir da direção positiva do eixo x no sentido anti-horário. Que valores um ângulo pode assumir? Não importa como você incline essa linha reta, uma metade ainda ficará para cima. Portanto, o ângulo máximo possível é , e o mínimo possível é . Significa, . O ângulo não está incluído, pois a posição da linha neste caso coincide exatamente com, e é mais lógico escolher um ângulo menor. Pegue um ponto na figura de modo que a linha reta seja paralela ao eixo das abcissas e - ordenada:

Pode-se ver na figura que a. Então a razão de incrementos:

(porque é retangular).

Vamos diminuir agora. Então o ponto se aproximará do ponto. Quando se torna infinitesimal, a razão se torna igual à derivada da função no ponto. O que será da secante neste caso? O ponto estará infinitamente próximo ao ponto, então eles podem ser considerados o mesmo ponto. Mas uma linha reta que tem apenas um ponto comum com uma curva nada mais é do que tangente(neste caso, esta condição é satisfeita apenas em uma pequena área - perto do ponto, mas isso é suficiente). Dizem que neste caso a secante ocupa posição limite.

Vamos chamar o ângulo de inclinação da secante ao eixo. Então acontece que a derivada

isso é a derivada é igual à tangente da inclinação da tangente ao gráfico da função em um dado ponto.

Como a tangente é uma linha reta, vamos agora relembrar a equação de uma linha reta:

Para que serve a proporção? Para a inclinação de uma linha reta. É chamado assim: declive. O que isto significa? E o fato de ser igual à tangente do ângulo entre a linha e o eixo! Ou seja, é isso que acontece:

Mas chegamos a essa regra considerando uma função crescente. O que acontece se a função for decrescente? Vamos ver:
Agora os cantos estão sem corte. E o incremento da função é negativo. Considere novamente: . Por outro lado, . Obtemos:, isto é, tudo, como da última vez. Vamos direcionar o ponto para o ponto novamente, e a secante tomará a posição limite, ou seja, ela se tornará tangente ao gráfico da função no ponto. Então, vamos formular a regra final:
A derivada da função em um determinado ponto é igual à tangente da inclinação da tangente ao gráfico da função neste ponto, ou (que é o mesmo) a inclinação desta tangente:

É isso que é significado geométrico da derivada. Ok, tudo isso é interessante, mas por que precisamos disso? Aqui exemplo:
A figura mostra um gráfico de uma função e uma tangente a ela em um ponto com uma abcissa. Encontre o valor da derivada da função em um ponto.
Solução.
Como descobrimos recentemente, o valor da derivada no ponto de contato é igual à inclinação da tangente, que por sua vez é igual à tangente do ângulo de inclinação desta tangente ao eixo x: . Então, para encontrar o valor da derivada, precisamos encontrar a tangente da inclinação da tangente. Na figura, marcamos dois pontos tangentes, cujas coordenadas são conhecidas por nós. Então, vamos completar o triângulo retângulo que passa por esses pontos e encontrar a tangente do ângulo de inclinação da tangente!

O ângulo de inclinação da tangente ao eixo é. Vamos encontrar a tangente deste ângulo: . Assim, a derivada de uma função em um ponto é igual a.
Responda:. Agora tente você mesmo:

Respostas:

Conhecendo significado geométrico da derivada, pode-se explicar muito simplesmente a regra de que a derivada no ponto de um máximo ou mínimo local é igual a zero. De fato, a tangente ao gráfico nesses pontos é "horizontal", ou seja, paralela ao eixo x:

Qual é o ângulo entre retas paralelas? Claro, zero! E a tangente de zero também é zero. Então a derivada é zero:

Leia mais sobre isso no tópico “Monotonicidade das funções. pontos extremos.

Agora vamos nos concentrar em tangentes arbitrárias. Suponha que tenhamos alguma função, por exemplo, . Nós desenhamos seu gráfico e queremos desenhar uma tangente a ele em algum ponto. Por exemplo, em um ponto. Pegamos uma régua, anexamos ao gráfico e desenhamos:

O que sabemos sobre esta linha? Qual é a coisa mais importante a saber sobre uma linha reta em um plano coordenado? Porque a linha reta é a imagem Função linear, seria muito conveniente conhecer sua equação. Ou seja, os coeficientes da equação

Mas já sabemos! Esta é a inclinação da tangente, que é igual à derivada da função naquele ponto:

No nosso exemplo ficará assim:

Agora resta ser encontrado. Isso é mais simples do que simples: afinal - o valor em. Graficamente, esta é a coordenada da interseção da linha reta com o eixo y (afinal, em todos os pontos do eixo):

Vamos desenhar (para que - retangular). Então (para o mesmo ângulo entre a tangente e o eixo x). O que são e iguais? A figura mostra claramente que, a. Então obtemos:

Combinamos todas as fórmulas obtidas na equação de uma linha reta:

Agora decida você mesmo:

1. achar equação tangente a uma função em um ponto.
2. A tangente à parábola intercepta o eixo em um ângulo. Encontre a equação para esta tangente.
3. A reta é paralela à tangente ao gráfico da função. Encontre a abcissa do ponto de contato.
4. A reta é paralela à tangente ao gráfico da função. Encontre a abcissa do ponto de contato.

Soluções e respostas:

EQUAÇÃO DA FUNÇÃO TANGENTE AO GRÁFICO. BREVE DESCRIÇÃO E FÓRMULA BÁSICA

A derivada da função em um ponto particular é igual à tangente da inclinação da tangente ao gráfico da função neste ponto, ou a inclinação desta tangente:

A equação da tangente ao gráfico de uma função em um ponto:

Algoritmo de ações para encontrar a equação tangente:

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Porque apenas 5% das pessoas são capazes de dominar algo por conta própria. E se você leu até o final, então você está nos 5%!

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Mas isso não é o principal.

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Mas pense por si mesmo...

O que é preciso para ter certeza de ser melhor do que os outros no exame e ser finalmente... mais feliz?

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Tipo de trabalho: 7

Doença

A linha y=3x+2 é tangente ao gráfico da função y=-12x^2+bx-10. Encontre b , dado que a abcissa do ponto de toque é menor que zero.

Solução

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=-12x^2+bx-10 pelo qual passa a tangente a este gráfico.

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Por outro lado, o ponto tangente pertence tanto ao gráfico da função quanto ao tangente, ou seja, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obtemos um sistema de equações \begin(casos) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(casos)

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1. De acordo com a condição da abcissa, os pontos de toque são menores que zero, portanto x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

Responda

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A reta y=-3x+4 é paralela à tangente ao gráfico da função y=-x^2+5x-7. Encontre a abcissa do ponto de contato.

Solução

A inclinação da linha para o gráfico da função y=-x^2+5x-7 em um ponto arbitrário x_0 é y"(x_0). Mas y"=-2x+5, então y"(x_0)=- 2x_0+5.Angular o coeficiente da linha y=-3x+4 especificado na condição é -3.Retas paralelas têm os mesmos coeficientes de inclinação.Portanto, encontramos um valor x_0 que =-2x_0 +5=-3.

Obtemos: x_0 = 4.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. Nível do perfil". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

Solução

A partir da figura, determinamos que a tangente passa pelos pontos A(-6; 2) e B(-1; 1). Denote por C(-6; 1) o ponto de intersecção das linhas x=-6 e y=1, e por \alpha o ângulo ABC (pode ser visto na figura que é agudo). Então a linha AB forma um ângulo obtuso \pi -\alpha com a direção positiva do eixo Ox.

Como você sabe, tg(\pi -\alpha) será o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0. notar que tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. A partir daqui, pelas fórmulas de redução, obtemos: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A linha y=-2x-4 é tangente ao gráfico da função y=16x^2+bx+12. Encontre b , dado que a abcissa do ponto de toque é maior que zero.

Solução

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=16x^2+bx+12 através do qual

é tangente a este gráfico.

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y "(x_0)=32x_0+b=-2. Por outro lado, o ponto tangente pertence tanto ao gráfico da função quanto ao tangente, ou seja, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obtemos um sistema de equações \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(casos)

Resolvendo o sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1. De acordo com a condição da abcissa, os pontos de toque são maiores que zero, portanto x_0=1, então b=-2-32x_0=-34.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) definida no intervalo (-2; 8). Determine o número de pontos onde a tangente ao gráfico da função é paralela à reta y=6.

Solução

A linha y=6 é paralela ao eixo Ox. Portanto, encontramos tais pontos nos quais a tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo Ox. Neste gráfico, tais pontos são pontos extremos (pontos máximos ou mínimos). Como você pode ver, existem 4 pontos extremos.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A reta y=4x-6 é paralela à tangente ao gráfico da função y=x^2-4x+9. Encontre a abcissa do ponto de contato.

Solução

A inclinação da tangente ao gráfico da função y \u003d x ^ 2-4x + 9 em um ponto arbitrário x_0 é y "(x_0). Mas y" \u003d 2x-4, o que significa y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. A inclinação da tangente y \u003d 4x-7 especificada na condição é igual a 4. As linhas paralelas têm as mesmas inclinações. Portanto, encontramos um valor x_0 que 2x_0-4 \u003d 4. Obtemos : x_0 \u003d 4.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A figura mostra o gráfico da função y=f(x) e a tangente a ela no ponto com a abcissa x_0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0.

Solução

A partir da figura, determinamos que a tangente passa pelos pontos A(1; 1) e B(5; 4). Denote por C(5; 1) o ponto de intersecção das linhas x=5 e y=1, e por \alpha o ângulo BAC (pode ser visto na figura que é agudo). Então a linha AB forma um ângulo \alpha com a direção positiva do eixo Ox.