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Tarefas-chave na teoria das probabilidades Preparação para o OGE No. 9 MBOU "Ginásio No. 4 em homenagem. COMO. Pushkin” Compilado por: Sofina N.Yu.

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Requisitos básicos verificáveis ​​para preparação matemática No. 9 OGE em matemática Resolver tarefas práticas, exigindo uma enumeração sistemática de opções; comparar as chances de ocorrência de eventos aleatórios, avaliar as probabilidades de um evento aleatório, comparar e explorar modelos de uma situação real usando o aparato de probabilidade e estatística. No. 9 - tarefa básica. A pontuação máxima para completar a tarefa é 1.

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A probabilidade de um evento A é a razão entre o número m de resultados favoráveis ​​a esse evento e o número total n de todos os eventos incompatíveis igualmente possíveis que podem ocorrer como resultado de um teste ou observação. A definição clássica de probabilidade Lembre-se da fórmula para calcular a probabilidade clássica de um evento aleatório Р = n m

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Definição clássica de probabilidade Exemplo: O Comitê de Pais comprou 40 páginas para colorir para presentes de formatura para crianças ano escolar. Destes, 14 são baseados nos contos de fadas de A.S. Pushkin e 26 anos baseado nos contos de fadas de G.Kh. Andersen. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Nastya ganhar um livro de colorir baseado nos contos de fadas de A.S. Pushkin. Solução: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Resposta: 0,35.

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Exemplo: Havia 60 questões para o exame. Ivan não aprendeu 3 deles. Encontre a probabilidade de ele se deparar com a questão aprendida. Solução: Aqui n=60. Ivan não aprendeu 3, então aprendeu todo o resto, ou seja, m=60-3=57. P=57/60=0,95. Definição clássica de probabilidade Resposta: 0,95.

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“A ordem é determinada por sorteio” ​​Exemplo: 20 atletas participam do campeonato de ginástica: 8 da Rússia, 7 dos EUA, o restante da China. A ordem em que os ginastas executam é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de que o quinto atleta seja da China. Solução: Na condição do problema há uma palavra “mágica” “lote”, o que significa que esquecemos a ordem de falar. Assim, m= 20-8-7=5 (da China); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Resposta: 0,25.

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Exemplo: Uma conferência científica é realizada em 5 dias. Total planejado 75 relatórios - o primeiro 3 dias para 17 relatórios, os restantes são distribuídos igualmente entre o 4º e o 5º dias. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de que o relatório do professor Ivanov seja agendado para o último dia da conferência? Solução: Vamos colocar os dados na tabela. Temos que m=12; n=75. P=12/75=0,16. Resposta: 0,16. “Ordem determinada por sorteio” ​​Dia I II III IV V Total de apresentações 17 17 17 12 12 75

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Frequência do evento Da mesma forma que a probabilidade, encontra-se a frequência do evento, cujas tarefas também estão nos protótipos. Qual é a diferença? A probabilidade é um valor previsível e a frequência é uma declaração de fato. Exemplo: A probabilidade de um novo tablet ser consertado em um ano é 0,045. Em uma determinada cidade, de 1.000 tablets vendidos durante o ano, 51 peças chegaram à oficina de garantia. Quão diferente é a frequência do evento de “reparo em garantia” de sua probabilidade nesta cidade? Solução: Encontre a frequência do evento: 51/1000=0,051. E a probabilidade é igual a 0,045 (por condição), o que significa que nesta cidade o evento “reparo em garantia” ocorre com maior frequência do que o esperado. Vamos encontrar a diferença ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Ao mesmo tempo, devemos levar em conta que o sinal da diferença NÃO é importante para nós, mas apenas seu valor absoluto. Resposta: 0,006.

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Problemas com enumeração de opções ("moedas", "jogos") Seja k o número de lançamentos de moedas, então o número de resultados possíveis: n = 2k. Exemplo: Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada duas vezes. Encontre a probabilidade de sair cara exatamente uma vez. Solução: Opções de lançamento de moedas: OO; OU; RR; RO. Assim, n=4. Resultados favoráveis: RR e RR. Ou seja, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Resposta: 0,5.

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Exemplo: Antes do início de uma partida de futebol, o árbitro lança uma moeda para determinar qual time terá a bola primeiro. A equipe "Mercúrio" joga por sua vez com as equipes "Marte", "Júpiter", "Urano". Encontre a probabilidade de que em todas as partidas o direito de posse da bola seja conquistado pela equipe "Mercúrio"? Problemas com a enumeração de opções ("moedas", "partidas") Solução: Vamos designar o direito de posse da primeira bola da equipe "Mercúrio" na partida com uma das outras três equipes como "Coroa". Então o direito de posse da segunda bola desta equipe é “Águia”. Então, vamos anotar todos os resultados possíveis de jogar uma moeda três vezes. "O" - cara, "R" - coroa. ; isto é, n=8; m=1. P=1/8=0,125. Resposta: 0,125 n = 23 "Marte" "Júpiter" "Urano"

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Tarefas para "cubos" ( dados) Seja k o número de lançamentos de dados, então o número de resultados possíveis: n = 6k. Exemplo: Dasha rola um dado duas vezes. Encontre a probabilidade de que o total dela tenha dado 8. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo. Resposta: 0,14. Solução: A soma dos dois dados deve ser 8 pontos. Isso é possível se houver as seguintes combinações: 2 e 6 6 e 2 3 e 5 5 e 3 4 e 4 m= 5 (5 combinações adequadas) n=36 P= 5/36 = 0,13(8)

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Eventos independentes e a lei da multiplicação A probabilidade de encontrar o 1º, 2º e n-ésimo eventos é encontrada pela fórmula: Р= Р1*Р2*…*Рn Exemplo: Um biatleta atira cinco vezes nos alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é 0,8. Encontre a probabilidade de o biatleta acertar os alvos nas três primeiras vezes e errar as duas últimas. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo. Resposta: 0,02. Solução: O resultado de cada próximo disparo não depende dos anteriores. Portanto, os eventos “bater no primeiro tiro”, “bater no segundo tiro”, etc. independente. A probabilidade de cada acerto é 0,8. Portanto, a probabilidade de um erro é 1 - 0,8 = 0,2. 1 tiro: 0,8 2 tiro: 0,8 3 tiro: 0,8 4 tiro: 0,2 5 tiro: 0,2 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

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Combinações de leis "e" e leis "ou" Exemplo: Um escritório compra artigos de papelaria para funcionários de 3 empresas diferentes. Além disso, os produtos da 1ª empresa representam 40% de todas as entregas, e o restante da 2ª empresa é dividido igualmente. Descobriu-se que 2% das canetas da 2ª empresa estão com defeito. A porcentagem de casamento na 1ª e 3ª firmas, respectivamente, é de 1% e 3%. O funcionário A pegou uma caneta de uma nova entrega. Encontre a probabilidade de que ela esteja correta. Solução: Os produtos da 2ª e 3ª firmas são (100%-40%):2=30% dos suprimentos. P (casamento) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (canetas reparáveis) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Resposta: 0,981.

Tarefas fáceis

Há 25 tortas na mesa: 7 - com geléia, 9 - com batatas, o restante com repolho. Qual é a probabilidade de que uma torta selecionada aleatoriamente seja com repolho?

0,36

O táxi emprega 40 carros: 14 são da marca Lada, 8 são da marca Renault, 2 são da marca Mercedes e o restante é da marca Skoda. Qual é a probabilidade de um Mercedes atender a sua chamada?

0,05

Determine a probabilidade de que um número de pelo menos três saia quando um dado é lançado.

Ira, Dima, Vasya, Natasha e Andrey passam o padrão em 60 metros. Qual é a probabilidade de que a menina corra mais rápido?

A probabilidade de um telefone comprado em uma passagem subterrânea ser falso é de 0,83. Qual é a probabilidade de que o telefone comprado na transição não seja falso?

0,17

20 equipes participam do torneio de basquete, incluindo a equipe “Guys”. Todas as equipas estão divididas em 4 grupos: A, B, C, D. Qual é a probabilidade de a equipa “Rapazes” estar no grupo A?

0,25

O saco de loteria contém barris numerados de 5 a 94 inclusive. Qual é a probabilidade de que o barril retirado do saco contenha número de dois dígitos? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

0,94

Antes do exame, Igor resistiu até o fim e conseguiu aprender apenas 5 bilhetes de 80. Determine a probabilidade de ele encontrar um bilhete aprendido.

0,0625

Anya liga o rádio e seleciona aleatoriamente uma onda de rádio. No total, seu receptor de rádio capta 20 ondas de rádio e apenas 7 delas em este momento música está tocando. Encontre a probabilidade de Anya cair em uma onda musical.

0,35

Em cada vigésima garrafa de refrigerante, um código com uma vitória está escondido sob a tampa. Determine a probabilidade de que a garrafa comprada tenha um código vencedor sob a tampa.

0,05

As tarefas são mais difíceis

Qual é a probabilidade de um número de 3 algarismos escolhido aleatoriamente ser divisível por 5?

0,2

A altura (em cm) de cinco alunos é registrada: 166, 158, 132, 136, 170. Quanto a média aritmética desse conjunto de números difere de sua mediana?

De acordo com as estatísticas de um pequeno país, sabe-se que a probabilidade de que o bebê nascido seja um menino é de 0,507. Em 2017, havia uma média de 486 meninas por 1.000 bebês nascidos neste país. Quão diferente é a frequência de partos femininos em 2017 neste país da probabilidade desse evento?

0,007

Um dado é lançado duas vezes. Encontre a probabilidade de que a soma dos dois números sorteados seja 3 ou 7. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

0,22

Qual é a probabilidade de um número de três algarismos escolhido aleatoriamente ser divisível por 2?

0,5

Encontre a probabilidade de que dois lançamentos de moedas dêem coroa exatamente uma vez.

0,5

Um dado é lançado duas vezes, encontre a probabilidade de que um número maior que três saia nas duas vezes. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

0,31

De acordo com as estatísticas de um pequeno país, sabe-se que a probabilidade de um bebê nascer menino é de 0,594. Em 2017, havia uma média de 513 meninas por 1.000 bebês nascidos neste país. Quão diferente é a frequência de partos femininos em 2017 neste país da probabilidade desse evento?

0,107

A altura (em cm) de cinco alunos é registrada: 184, 145, 176, 192, 174. Quanto a média aritmética desse conjunto de números difere de sua mediana?

1,8

A altura média dos habitantes da aldeia "Gigantes" é de 194 cm. A altura de Nikolai Petrovich é de 195 cm. Qual das seguintes afirmações está correta?

1) A altura de um dos aldeões deve ser de 194 cm.

2) Nikolai Petrovich é o morador mais alto da vila.

3) Definitivamente haverá pelo menos um homem desta aldeia abaixo de Nikolai Petrovich.

4) Definitivamente haverá pelo menos um morador desta vila abaixo de Nikolai Petrovich.

4

Tarefas difíceis

O atirador atira 4 vezes com uma arma nos alvos. A probabilidade de seu acerto exato no alvo com um tiro é 0,5. Encontre a probabilidade de o atirador acertar o alvo nas duas primeiras vezes e errar as duas últimas.

0,0625

A probabilidade de que a bateria esteja com defeito é 0,05. O cliente na loja escolhe um pacote aleatório com duas baterias. Encontre a probabilidade de que ambas as baterias sejam boas.

0,9025

O atirador atira nos alvos 5 vezes seguidas. A probabilidade de acertar o alvo quando disparado é 0,7. Encontre a probabilidade de que o atirador atinja os alvos nas primeiras quatro vezes, e última vez esquecidas. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo.

Eventos que ocorrem na realidade ou em nossa imaginação podem ser divididos em 3 grupos. Estes são certos eventos que estão prestes a acontecer, eventos impossíveis e eventos aleatórios. A teoria da probabilidade estuda eventos aleatórios, ou seja, eventos que podem ou não ocorrer. Este artigo será apresentado em resumo fórmulas de teoria das probabilidades e exemplos de resolução de problemas em teoria das probabilidades, que estarão na 4ª tarefa do USE em matemática (nível de perfil).

Por que precisamos da teoria da probabilidade

Historicamente, a necessidade de estudar esses problemas surgiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento e profissionalização da jogos de azar e o advento do cassino. Era um fenômeno real que exigia seu estudo e pesquisa.

Jogar cartas, dados, roleta criava situações em que qualquer um de um número finito de eventos igualmente prováveis ​​poderia ocorrer. Houve a necessidade de fornecer estimativas numéricas da possibilidade de ocorrência de um evento.

No século 20, ficou claro que essa ciência aparentemente frívola desempenha um papel importante na compreensão dos processos fundamentais que ocorrem no microcosmo. Foi criado teoria moderna probabilidades.

Conceitos básicos da teoria da probabilidade

O objeto de estudo da teoria das probabilidades são os eventos e suas probabilidades. Se o evento for complexo, ele pode ser dividido em componentes simples, cujas probabilidades são fáceis de encontrar.

A soma dos eventos A e B é chamada de evento C, que consiste no fato de que o evento A, ou o evento B, ou os eventos A e B aconteceram ao mesmo tempo.

O produto dos eventos A e B é o evento C, que consiste no fato de que tanto o evento A quanto o evento B aconteceram.

Os eventos A e B são considerados incompatíveis se não podem ocorrer ao mesmo tempo.

Um evento A é dito impossível se não pode acontecer. Tal evento é indicado pelo símbolo .

Um evento A é dito certo se ele irá ocorrer definitivamente. Tal evento é indicado pelo símbolo .

Atribua a cada evento A um número P(A). Esse número P(A) é chamado de probabilidade do evento A se as seguintes condições forem satisfeitas com tal correspondência.

Um caso particular importante é a situação em que há resultados elementares igualmente prováveis ​​e arbitrários desses resultados dos eventos A. Nesse caso, a probabilidade pode ser introduzida pela fórmula . A probabilidade introduzida desta forma é chamada de probabilidade clássica. Pode-se provar que as propriedades 1-4 são válidas neste caso.

Problemas na teoria da probabilidade, que são encontrados no exame de matemática, estão relacionados principalmente à probabilidade clássica. Tais tarefas podem ser muito simples. Particularmente simples são os problemas da teoria das probabilidades em versões de demonstração. É fácil calcular o número de resultados favoráveis, o número de todos os resultados é escrito diretamente na condição.

Obtemos a resposta de acordo com a fórmula.

Um exemplo de uma tarefa do exame em matemática para determinar a probabilidade

Há 20 tortas na mesa - 5 com repolho, 7 com maçã e 8 com arroz. Marina quer tomar uma torta. Qual é a probabilidade de que ela pegue o bolo de arroz?

Solução.

São 20 resultados elementares equiprováveis ​​no total, ou seja, Marina pode levar qualquer uma das 20 tortas. Mas precisamos estimar a probabilidade de Marina levar o bolinho de arroz, ou seja, onde A é a escolha do bolinho de arroz. Isso significa que temos um total de 8 resultados favoráveis ​​(escolhendo tortas de arroz), então a probabilidade será determinada pela fórmula:

Eventos Independentes, Opostos e Arbitrários

No entanto, em jarra aberta tarefas começaram a atender tarefas mais complexas. Portanto, chamemos a atenção do leitor para outras questões estudadas na teoria das probabilidades.

Os eventos A e B são chamados independentes se a probabilidade de cada um deles não depender da ocorrência do outro evento.

O evento B consiste no fato de que o evento A não ocorreu, ou seja, o evento B é oposto ao evento A. A probabilidade do evento oposto é igual a um menos a probabilidade do evento direto, ou seja. .

Teoremas de adição e multiplicação, fórmulas

Para eventos arbitrários A e B, a probabilidade da soma desses eventos é igual à soma de suas probabilidades sem a probabilidade de seu evento conjunto, ou seja, .

Para eventos independentes A e B, a probabilidade do produto desses eventos é igual ao produto de suas probabilidades, ou seja, nesse caso .

As duas últimas afirmações são chamadas de teoremas da adição e multiplicação de probabilidades.

Nem sempre contar o número de resultados é tão simples. Em alguns casos, é necessário usar fórmulas combinatórias. O mais importante é contar o número de eventos que satisfazem certas condições. Às vezes, esses cálculos podem se tornar tarefas independentes.

De quantas maneiras 6 alunos podem se sentar em 6 cadeiras vazias? O primeiro aluno ocupará qualquer um dos 6 lugares. Cada uma destas opções corresponde a 5 formas de colocação do segundo aluno. Para o terceiro aluno há 4 vagas livres, para o quarto - 3, para o quinto - 2, o sexto ocupará o único lugar restante. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto, que é indicado pelo símbolo 6! e leia "seis fatorial".

No caso geral, a resposta a esta pergunta é dada pela fórmula do número de permutações de n elementos.No nosso caso, .

Considere agora outro caso com nossos alunos. De quantas maneiras 2 alunos podem se sentar em 6 lugares vazios? O primeiro aluno ocupará qualquer um dos 6 lugares. Cada uma destas opções corresponde a 5 formas de colocação do segundo aluno. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto.

No caso geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de colocações de n elementos por k elementos

No nosso caso .

E o último desta série. Quantas maneiras existem de escolher 3 alunos entre 6? O primeiro aluno pode ser escolhido de 6 maneiras, o segundo de 5 maneiras e o terceiro de 4 maneiras. Mas entre essas opções, os mesmos três alunos ocorrem 6 vezes. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa calcular o valor: . No caso geral, a resposta a esta pergunta é dada pela fórmula do número de combinações de elementos por elementos:

No nosso caso .

Exemplos de resolução de problemas do exame em matemática para determinar a probabilidade

Tarefa 1. Da coleção, ed. Yashchenko.

São 30 tortas no prato: 3 com carne, 18 com repolho e 9 com cerejas. Sasha escolhe aleatoriamente uma torta. Encontre a probabilidade de que ele acabe com uma cereja.

.

Resposta: 0,3.

Problema 2. Da coleção, ed. Yashchenko.

Em cada lote de 1000 lâmpadas, uma média de 20 defeituosas. Encontre a probabilidade de que uma lâmpada escolhida aleatoriamente de um lote seja boa.

Solução: O número de lâmpadas que podem ser reparadas é 1000-20=980. Então, a probabilidade de que uma lâmpada retirada ao acaso do lote seja útil é:

Resposta: 0,98.

A probabilidade de que o aluno U. resolva corretamente mais de 9 problemas em um teste de matemática é 0,67. A probabilidade de que U. resolva corretamente mais de 8 problemas é 0,73. Encontre a probabilidade de que U. resolva corretamente exatamente 9 problemas.

Se imaginarmos uma reta numérica e nela marcarmos os pontos 8 e 9, veremos que a condição "U. resolva corretamente exatamente 9 problemas” está incluído na condição “U. resolver corretamente mais de 8 problemas", mas não se aplica à condição "W. resolver corretamente mais de 9 problemas.

No entanto, a condição "U. resolver corretamente mais de 9 problemas" está contido na condição "U. resolver corretamente mais de 8 problemas. Assim, se designarmos eventos: “W. resolva corretamente exatamente 9 problemas" - através de A, "U. resolver corretamente mais de 8 problemas" - através de B, "U. resolva corretamente mais de 9 problemas ”através de C. Então a solução ficará assim:

Resposta: 0,06.

No exame de geometria, o aluno responde a uma pergunta da lista de perguntas do exame. A probabilidade de que esta seja uma questão de trigonometria é 0,2. A probabilidade de que esta seja uma pergunta de cantos externos é de 0,15. Não há perguntas relacionadas a esses dois tópicos ao mesmo tempo. Encontre a probabilidade de o aluno obter uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame.

Vamos pensar nos eventos que temos. Recebemos dois eventos incompatíveis. Ou seja, ou a questão estará relacionada ao tópico "Trigonometria", ou ao tópico "Ângulos externos". De acordo com o teorema da probabilidade, a probabilidade de eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades de cada evento, devemos encontrar a soma das probabilidades desses eventos, ou seja:

Resposta: 0,35.

A sala é iluminada por uma lanterna com três lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é de 0,29. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime dentro de um ano.

Vamos considerar possíveis eventos. Temos três lâmpadas, cada uma das quais pode ou não queimar independentemente de qualquer outra lâmpada. São eventos independentes.

Em seguida, indicaremos as variantes de tais eventos. Aceitamos a notação: - a lâmpada está acesa, - a lâmpada está queimada. E imediatamente a seguir calculamos a probabilidade de um evento. Por exemplo, a probabilidade de um evento em que ocorreram três eventos independentes “a lâmpada queimou”, “a lâmpada está acesa”, “a lâmpada está acesa”: .

UMK qualquer

Teoria da probabilidade

no OGE e no Exame Estadual Unificado

Território de Altai

Tarefas

na probabilidade

com um dado

(dados)

1. Determine a probabilidade de que um número ímpar de pontos saia quando um dado (dado) é lançado.

A solução do problema:

Número ímpar - 3 (1; 3; 5)

Resposta: P=0,5

2. Determine a probabilidade de que quando um dado (dado) é lançado, menos de 4 pontos caiam.

A solução do problema:

Total de eventos - 6 (6 números de 1 a 6 podem cair)

Menos de 4 pontos - 3 (1; 2; 3)

Resposta: P=0,5

3 . Determine a probabilidade de que mais de 3 pontos caiam quando um dado (dado) é lançado.

A solução do problema:

Total de eventos - 6 (6 números de 1 a 6 podem cair)

Mais de 3 pontos - 3 (4; 5; 6)

Resposta: P=0,5

quatro. Determine a probabilidade de que, quando um dado (dado) é lançado, mais de 2 pontos caiam. Arredonde sua resposta para décimos.

A solução do problema:

Total de eventos - 6 (6 números de 1 a 6 podem cair)

Mais de 2 pontos - 2 (3; 4; 5; 6)

P = 4:6 = 0,66…

Resposta: P=0,7

5. Um dado é lançado duas vezes. Encontre a probabilidade de que a soma dos dois números sorteados seja ímpar.

A solução do problema:

O valor será ímpar quando: 1) aparecer pela primeira vez ímpar número, e no segundo até. 2) pela primeira vez - até, e pela segunda vez ímpar .

1) 3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número ímpar no primeiro lançamento.

3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número par na segunda jogada.

0,5 0,5 \u003d 0,25 - porque esses dois eventos devem ocorrer juntos. 2) 3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número par no primeiro lançamento.

3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número ímpar na segunda jogada.

0,5 0,5 \u003d 0,25 - porque esses dois eventos devem ocorrer juntos.

3) 0,25 + 0,25 = 0,5

Resposta: P=0,5

6. Um dado é lançado duas vezes. Encontre a probabilidade de que o maior dos dois números sorteados seja 5. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.

A solução do problema:

1) O primeiro rolo vai rolar 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 e o segundo rolo vai rolar 5 2) O primeiro rolo vai rolar 5 e o segundo rolo vai rolar 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5

• 5: 6 \u003d 5/6 - a probabilidade de 1 cair; 2; 3; quatro; 5

5/6 1/6 = 5/36 - a probabilidade de que ambos os eventos ocorram

• 1:6 = 1/6 - probabilidade de um 5

5: 6 = 5/6 - probabilidade de 1; 2; 3; quatro; 5

1/6 5/6 \u003d 5/36 - a probabilidade de que ambos os eventos ocorram

• 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…

Responda: 0,3

7. Um dado é lançado duas vezes. Encontre a probabilidade de que um número maior que 3 seja lançado pelo menos uma vez.

A solução do problema:

1) O primeiro rolo vai rolar 1, ou 2, ou 3, e o segundo rolo vai rolar 4; ou 5 ou 6 2) No primeiro lançamento, um 4 será lançado; ou 5 ou 6, e no segundo lançamento sairá 1 ou 2 ou 3. 3) No primeiro lançamento sairá 4; ou 5 ou 6, e na segunda jogada um 4 ou 5 ou 6 sairá.

2) 3: 6 = 0,5 - probabilidade de 4; 5; 6

3: 6 \u003d 0,5 - probabilidade de cair 1; 2; 3

0,5 0,5 \u003d 0,25 - a probabilidade de que ambos os eventos ocorram

3) 3: 6 = 0,5 - probabilidade de 4; 5; 6

3: 6 \u003d 0,5 - probabilidade de cair 4; 5; 6

0,5 0,5 \u003d 0,25 - a probabilidade de que ambos os eventos ocorram

4) 0,25+ 0,25 + 0,25 = 0,75 Resposta: 0,75

Tarefas

na probabilidade

com moedas

8. Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada duas vezes. Encontre a probabilidade de sair cara exatamente 1 vez .

A solução do problema: Vamos encontrar o número de resultados possíveis, passar por todas as opções de lançamentos. Vamos fazer uma tabela e mostrar todas as opções:

2: 4 \u003d 0,5 - a probabilidade de cair cara no lance.

2) Resposta: 0,5

9. Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de sair cara exatamente Três vezes .

A solução do problema:

1 arremesso

2 arremesso

3 arremesso

1:8 = 0,125 é a probabilidade de que o lançamento dê cara.

Resposta: 0,125

10. Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de sair cara exatamente 2 vezes .

A solução do problema:

1 arremesso

2 arremesso

3 arremesso

3: 8 \u003d 0,375 - a probabilidade de que a cara caia no lance.

Resposta: 0,375

onze . Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de nunca sair cara.

A solução do problema:

1 arremesso

2 arremesso

3 arremesso

1:8 = 0,125 - a probabilidade de que o lançamento dê cara.

Resposta: 0,125

Tarefas

na probabilidade

(vários)

12. Sabe-se que em alguma região a probabilidade de que o bebê nascido seja menino é de 0,512. Em 2010, havia uma média de 477 meninas por 1.000 bebês nascidos nesta região. Como a frequência de ter uma menina em 2010 nesta região difere da probabilidade deste evento?

A solução do problema:

• 1 - 0,512 = 0,488 –

2) 477: 1000 = 0,477 - a probabilidade de ter meninas em 2010

3) 0,488 - 0,477=0,011

Responda: 0,011

13. Sabe-se que em alguma região a probabilidade de que o bebê nascido seja menino é de 0,486. Em 2011, havia uma média de 522 meninas por 1.000 bebês nascidos nesta região. Como a frequência de ter uma menina em 2011 nesta região difere da probabilidade deste evento?

A solução do problema:

• 1 - 0,486 = 0,514 – a probabilidade de ter meninas na região

2) 522: 1000 = 0,522 - a probabilidade de ter meninas em 2011

3) 0,522 - 0,514 = 0,008

Responda: 0,008

14. Stas escolhe um número de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 48.

A solução do problema:

• 999 - 99 = 900 – apenas três algarismos

2) 999: 48 = 20,8125 - ou seja Total 20 os numeros sao divisiveis por 48

• Destes, dois números são de dois dígitos - isso é 48 e 96, então 20 - 2 = 18

4) 18: 900 = 0,02

Responda: 0,02

quinze . Andrew escolhe um número aleatório de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 33.

A solução do problema:

• 999 - 99 = 900 – apenas três algarismos

2) 999: 33 = 30,29… - ou seja Total 30 os numeros sao divisiveis por 33

• Destes, três números são de dois dígitos - este é 33, 66, 99 então 30 - 3 = 27

4) 27: 900 = 0,03

Responda: 0,03

16 . A cada quatro latas de café, de acordo com os termos da promoção, há um prêmio. Os prêmios são distribuídos aleatoriamente entre os bancos. Alya compra uma lata de café na esperança de ganhar um prêmio. Encontre a probabilidade de que Alya não encontre o prêmio em seu banco.

A solução do problema:

1) 1: 4 = 0,25 - a probabilidade de ganhar um prêmio.

2) 1 - 0,25 = 0,75 - a probabilidade de não receber um prêmio

Resposta: 0,75

17. No exame de geometria, o aluno recebe uma questão da lista de questões do exame. A probabilidade de que esta seja uma pergunta de cantos externos é de 0,35. A probabilidade de que esta seja uma pergunta do círculo inscrito é 0,2. Não há perguntas relacionadas a esses dois tópicos ao mesmo tempo. Encontre a probabilidade de o aluno obter uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame.

Solução:

A probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos: 0,35 + 0,2 = 0,52

Resposta: 0,52

18. Um biatleta atira cinco vezes nos alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é 0,8. Encontre a probabilidade de o biatleta acertar os alvos nas três primeiras vezes e errar as duas últimas. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo.

Solução:

probabilidade de acerto - 0,8

probabilidade de falha - 0,2

Os eventos miss e hit são independentes, então

19. Existem duas máquinas de pagamento na loja. Cada um deles pode ser defeituoso com uma probabilidade de 0,12, independentemente do outro autômato. Encontre a probabilidade de que pelo menos um autômato seja útil.

Solução:

Encontre a probabilidade de que ambos os autômatos sejam defeituosos.

Esses eventos são independentes, ou seja, 0,12² = 0,0144

O evento em que pelo menos um dos

autômato é o oposto, então 1 - 0,0144 = 0,9856

Resposta: 0,9856

20. Em Shopping duas máquinas de venda automática idênticas vendem café. A probabilidade de que a máquina fique sem café até o final do dia é 0,3. A probabilidade de que ambas as máquinas fiquem sem café é 0,16. Encontre a probabilidade de que no final do dia ainda haja café em ambas as máquinas de venda automática.

Solução:

Considere os eventos:

A - o café terminará na primeira máquina

B - o café terminará na segunda máquina

A B – o café terminará em ambas as máquinas de venda automática

A + B - o café terminará em pelo menos uma máquina

Assim, a probabilidade do evento oposto (o café permanecerá em ambas as máquinas) é igual a

Resposta: 0,56

21. Duas fábricas produzem o mesmo vidro para faróis de automóveis. A primeira fábrica produz 45% desses vidros, a segunda - 55%. A primeira fábrica produz 3% de óculos defeituosos e a segunda - 1%. Encontre a probabilidade de que um copo comprado acidentalmente em uma loja seja defeituoso.

Solução:

A probabilidade de que o vidro comprado na primeira fábrica seja defeituoso: 0,45 0,03 = 0,0135

Probabilidade do vidro adquirido na segunda fábrica estar com defeito: 0,55 0,01 = 0,0055

Isso significa que a probabilidade total de que o vidro comprado acidentalmente em uma loja seja defeituoso: 0,0135 + 0,0055 = 0,019

Resposta: 0,019

Fontes

Tarefas do banco aberto de tarefas em matemática FIPI, 2014-2015 http://www.fipi.ru/

Moeda - https :// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg

Dados - http ://clipstock.ucoz.ru/_ ph/21/365284339.jpg

http ://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/% D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675

OGE 2016 - http :// www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg

Apresentado até hoje no banco aberto de problemas de USE em matemática (mathege.ru), cuja solução é baseada em apenas uma fórmula, que é uma definição clássica de probabilidade.

A maneira mais fácil de entender a fórmula é com exemplos.
Exemplo 1 Há 9 bolas vermelhas e 3 azuis na cesta. As bolas diferem apenas na cor. Ao acaso (sem olhar) obtemos um deles. Qual é a probabilidade de que a bola escolhida dessa maneira seja azul?

Comente. Em problemas de probabilidade, algo acontece (neste caso, nossa ação de puxar a bola) que pode ter resultado diferente- resultado. Deve-se notar que o resultado pode ser visto de diferentes maneiras. "Nós tiramos uma bola" também é um resultado. "Tiramos a bola azul" é o resultado. "Nós tiramos essa bola particular de todas as bolas possíveis" - essa visão menos generalizada do resultado é chamada de resultado elementar. São os resultados elementares que se entendem na fórmula para calcular a probabilidade.

Solução. Agora calculamos a probabilidade de escolher uma bola azul.
Evento A: "a bola escolhida acabou sendo azul"
Número total de todos os resultados possíveis: 9+3=12 (número de todas as bolas que conseguimos sortear)
Número de resultados favoráveis ​​para o evento A: 3 (o número desses resultados em que o evento A ocorreu - ou seja, o número de bolas azuis)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Resposta: 0,25

Vamos calcular para o mesmo problema a probabilidade de escolher uma bola vermelha.
O número total de resultados possíveis permanecerá o mesmo, 12. O número de resultados favoráveis: 9. A probabilidade desejada: 9/12=3/4=0,75

A probabilidade de qualquer evento está sempre entre 0 e 1.
Às vezes, na linguagem cotidiana (mas não na teoria das probabilidades!) A probabilidade dos eventos é estimada em porcentagem. A transição entre avaliação matemática e conversacional é feita multiplicando (ou dividindo) por 100%.
Então,
Nesse caso, a probabilidade é zero para eventos que não podem acontecer - improvável. Por exemplo, em nosso exemplo, essa seria a probabilidade de tirar uma bola verde da cesta. (O número de resultados favoráveis ​​é 0, P(A)=0/12=0 se contados de acordo com a fórmula)
A probabilidade 1 tem eventos que vão acontecer com certeza, sem opções. Por exemplo, a probabilidade de que "a bola escolhida seja vermelha ou azul" é para o nosso problema. (Número de resultados favoráveis: 12, P(A)=12/12=1)

Vimos um exemplo clássico que ilustra a definição de probabilidade. Todos os problemas de USE semelhantes na teoria das probabilidades são resolvidos usando esta fórmula.
Em vez de bolas vermelhas e azuis, pode haver maçãs e peras, meninos e meninas, bilhetes aprendidos e não aprendidos, bilhetes contendo e não contendo uma pergunta sobre um determinado tópico (protótipos , ), sacos defeituosos e de alta qualidade ou bombas de jardim (protótipos , ) - o princípio permanece o mesmo.

Diferem ligeiramente na formulação do problema da teoria USE probabilidades, onde você precisa calcular a probabilidade de um evento ocorrer em um dia específico. ( , ) Como nas tarefas anteriores, você precisa determinar o que é um resultado elementar e, em seguida, aplicar a mesma fórmula.

Exemplo 2 A conferência dura três dias. No primeiro e segundo dias, 15 falantes cada, no terceiro dia - 20. Qual é a probabilidade de que o relatório do professor M. caia no terceiro dia, se a ordem dos relatórios for determinada por sorteio?

Qual é o resultado elementar aqui? - Atribuir o relatório de um professor a um de todos os números de série possíveis para um discurso. 15+15+20=50 pessoas participam do sorteio. Assim, o relatório do professor M. pode receber um dos 50 números. Isso significa que existem apenas 50 resultados elementares.
Quais são os resultados favoráveis? - Aqueles em que acontece que o professor vai falar no terceiro dia. Ou seja, os últimos 20 números.
De acordo com a fórmula, a probabilidade P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Resposta: 0,4

O sorteio aqui é o estabelecimento de uma correspondência aleatória entre pessoas e lugares ordenados. No exemplo 2, a partida foi considerada em termos de qual dos lugares poderia ocupar pessoa especial. Você pode abordar a mesma situação do outro lado: qual das pessoas com qual probabilidade poderia chegar a um determinado local (protótipos , , , ):

Exemplo 3 5 alemães, 8 franceses e 3 estonianos participam do sorteio. Qual é a probabilidade de que o primeiro (/segundo/sétimo/último - não importa) seja um francês.

O número de resultados elementares é o número de todas as pessoas possíveis que poderiam chegar a um determinado lugar por sorteio. 5+8+3=16 pessoas.
Resultados favoráveis ​​- os franceses. 8 pessoas.
Probabilidade desejada: 8/16=1/2=0,5
Resposta: 0,5

O protótipo é um pouco diferente. Existem tarefas sobre moedas () e dados () que são um pouco mais criativas. As soluções para esses problemas podem ser encontradas nas páginas de protótipos.

Aqui estão alguns exemplos de lançamento de moedas ou lançamento de dados.

Exemplo 4 Quando lançamos uma moeda, qual é a probabilidade de sair coroa?
Resultados 2 - cara ou coroa. (acredita-se que a moeda nunca cai na borda) Resultado favorável - coroa, 1.
Probabilidade 1/2=0,5
Resposta: 0,5.

Exemplo 5 E se jogarmos uma moeda duas vezes? Qual é a probabilidade de sair cara nas duas vezes?
O principal é determinar quais resultados elementares consideraremos ao lançar duas moedas. Depois de lançar duas moedas, um dos seguintes resultados pode ocorrer:
1) PP - nas duas vezes saiu coroa
2) PO - coroa na primeira vez, cara na segunda vez
3) OP - a primeira vez cara, a segunda vez coroa
4) OO - heads-up ambas as vezes
Não há outras opções. Isso significa que existem 4 resultados elementares. Apenas o primeiro é favorável, 1.
Probabilidade: 1/4=0,25
Resposta: 0,25

Qual é a probabilidade de que dois lançamentos de uma moeda dêem coroa?
O número de resultados elementares é o mesmo, 4. Resultados favoráveis ​​são o segundo e o terceiro, 2.
Probabilidade de obter uma cauda: 2/4 = 0,5

Em tais problemas, outra fórmula pode ser útil.
Se com um lance de uma moeda opções temos 2 resultados, então para dois lançamentos os resultados serão 2 2=2 2 =4 (como no exemplo 5), para três lançamentos 2 2 2=2 3 =8, para quatro: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … para N lances existem 2·2·...·2=2 N resultados possíveis.

Assim, você pode encontrar a probabilidade de obter 5 coroas em 5 lançamentos de moedas.
O número total de resultados elementares: 2 5 =32.
Resultados favoráveis: 1. (RRRRRR - todas as 5 vezes caudas)
Probabilidade: 1/32=0,03125

O mesmo vale para os dados. Com um lance, há 6 resultados possíveis. Então, para dois lances: 6 6=36, para três 6 6 6=216, etc.

Exemplo 6 Jogamos um dado. Qual a probabilidade de obter um número par?

Total de resultados: 6, de acordo com o número de faces.
Favorável: 3 resultados. (2, 4, 6)
Probabilidade: 3/6=0,5

Exemplo 7 Jogue dois dados. Qual é a probabilidade de que o total saia 10? (arredondar para centésimos)

Existem 6 resultados possíveis para um dado. Assim, para dois, de acordo com a regra acima, 6,6=36.
Que resultados serão favoráveis ​​para um total de 10 cair?
10 deve ser decomposto na soma de dois números de 1 a 6. Isso pode ser feito de duas maneiras: 10=6+4 e 10=5+5. Assim, para cubos, as opções são possíveis:
(6 no primeiro e 4 no segundo)
(4 no primeiro e 6 no segundo)
(5 no primeiro e 5 no segundo)
No total, 3 opções. Probabilidade desejada: 3/36=1/12=0,08
Resposta: 0,08

Outros tipos de problemas B6 serão discutidos em um dos seguintes artigos "Como resolver".