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Plano para um workshop para professores de matemática da instituição de ensino da cidade de Tula sobre o tema “Resolver tarefas USE em matemática das seções: combinatória, teoria das probabilidades. Métodos de ensino"

Gasto de tempo: 12 00 ; 15 00

Localização: MBOU "Liceu No. 1", sala. Nº 8

EU. Resolução de problemas para probabilidade

1. Resolvendo problemas na definição clássica de probabilidade

Nós, como professores, já sabemos que os principais tipos de tarefas no USE em teoria das probabilidades são baseados na definição clássica de probabilidade. Lembre-se do que é chamado de probabilidade de um evento?

Probabilidade de um eventoé a razão entre o número de resultados que favorecem um determinado evento e o número total de resultados.

Na nossa associação científica e metodológica de professores de matemática, um esquema geral resolução de problemas para probabilidade. Gostaria de apresentá-lo à sua atenção. A propósito, compartilhamos nossa experiência de trabalho e, nos materiais que demos à sua atenção para uma discussão conjunta de solução de problemas, demos esse esquema. No entanto, eu quero expressá-lo.

Em nossa opinião, esse esquema ajuda a colocar tudo rapidamente nas prateleiras e, depois disso, a tarefa pode ser resolvida com muito mais facilidade tanto para o professor quanto para os alunos.

Assim, quero analisar detalhadamente o problema do conteúdo a seguir.

Eu queria conversar com você para explicar a metodologia de como transmitir essa solução para os caras, durante o qual os caras entenderiam essa tarefa típica e depois eles próprios entenderiam essas tarefas.

O que é um experimento aleatório neste problema? Agora precisamos isolar o evento elementar neste experimento. O que é este evento elementar? Vamos listá-los.

Emitir perguntas?

Caros colegas, você também obviamente considerou problemas de probabilidade com dados. Acho que precisamos desmontá-lo, porque há algumas nuances. Vamos analisar este problema de acordo com o esquema que propusemos a você. Como há um número de 1 a 6 em cada face do cubo, os eventos elementares são os números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Descobrimos que o número total de eventos elementares é 6. Vamos determinar quais eventos elementares favorecem o evento. Apenas dois eventos favorecem este evento - 5 e 6 (já que decorre da condição de que 5 e 6 pontos devem cair).

Explique que todos os eventos elementares são igualmente possíveis. Quais serão as perguntas sobre a tarefa?

Como você entende que a moeda é simétrica? Vamos ver se entendi, às vezes certas frases causam mal-entendidos. Vamos entender esse problema conceitualmente. Vamos lidar com você nesse experimento, que é descrito, quais resultados elementares podem ser. Você pode imaginar onde está a cabeça, onde está a cauda? Quais são as opções de fallout? Existem outros eventos? Qual é o número total de eventos? De acordo com o problema, sabe-se que as cabeças caíram exatamente uma vez. Então este eventoeventos elementares desses quatro OR e RO favor, isso não pode acontecer duas vezes já. Usamos a fórmula pela qual a probabilidade de um evento é encontrada. Lembre-se de que as respostas na Parte B devem ser um número inteiro ou um decimal.

Mostrar no quadro interativo. Lemos a tarefa. Qual é o resultado elementar dessa experiência? Esclareça que o par está ordenado - ou seja, o número caiu no primeiro dado e no segundo dado. Em qualquer tarefa, há momentos em que você precisa escolher métodos racionais, formas e apresentar a solução na forma de tabelas, diagramas, etc. Neste problema, é conveniente usar essa tabela. Eu lhe dou uma solução pronta, mas durante a solução verifica-se que neste problema é racional usar a solução na forma de uma tabela. Explique o que significa a tabela. Você entende por que as colunas dizem 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Vamos desenhar um quadrado. As linhas correspondem aos resultados do primeiro lançamento - são seis, porque o dado tem seis faces. Assim como as colunas. Em cada célula escrevemos a soma dos pontos perdidos. Mostre a tabela completa. Vamos colorir as células onde a soma é igual a oito (como é exigido na condição).

Acredito que o próximo problema, depois de analisar os anteriores, pode ser dado para os caras resolverem sozinhos.

Nos problemas a seguir, não há necessidade de anotar todos os resultados elementares. É suficiente apenas contar o seu número.

(Sem solução) Dei para os caras resolverem esse problema por conta própria. Algoritmo para resolver o problema

1. Determine o que é um experimento aleatório e o que é um evento aleatório.

2. Encontre o número total de eventos elementares.

3. Encontramos o número de eventos que favorecem o evento especificado na condição do problema.

4. Encontre a probabilidade de um evento usando a fórmula.

Os alunos podem fazer uma pergunta, se 1000 baterias foram colocadas à venda e, entre elas, 6 estão com defeito, a bateria selecionada é determinada como? O que há em nossa tarefa? Em seguida, faço uma pergunta sobre encontrar o que é usado aqui como um númeroe proponho encontrá-lonúmero. Então eu pergunto, qual é o evento aqui? Quantos acumuladores favorecem a realização do evento? Em seguida, usando a fórmula, calculamos essa probabilidade.

Aqui, pode-se oferecer às crianças uma segunda solução. Vamos discutir o que esse método pode ser?

1. Que evento pode ser considerado agora?

2. Como encontrar a probabilidade de um determinado evento?

As crianças precisam ser informadas sobre essas fórmulas. Eles são os próximos

A oitava tarefa pode ser oferecida às crianças sozinhas, pois é semelhante à sexta tarefa. Pode ser oferecido a eles como trabalho independente, ou em um cartão no tabuleiro.

Esta tarefa pode ser resolvido em relação à Olimpíada, que está acontecendo agora. Apesar do fato de que diferentes eventos participam das tarefas, no entanto, as tarefas são típicas.

2. As regras e fórmulas mais simples para calcular probabilidades (eventos opostos, soma de eventos, produto de eventos)

Esta é uma tarefa de USE coleção. Colocamos a solução no quadro. Que perguntas devemos colocar aos alunos para analisar este problema.

1. Quantas metralhadoras havia? Uma vez dois autômatos, então já existem dois eventos. Pergunto às crianças qual será o evento? Qual será o segundo evento?

2. é a probabilidade do evento. Não precisamos calculá-lo, pois é dado na condição. De acordo com a condição do problema, a probabilidade de "acabar nas duas máquinas" é de 0,12. Houve um evento A, houve um evento B. E surge um novo evento? Faço a pergunta às crianças - o quê? Este é um evento em que ambas as máquinas de venda automática ficam sem café. Neste caso, na teoria da probabilidade, este é um novo evento, que é chamado de interseção de dois eventos A e B e é denotado dessa maneira.

Vamos usar a fórmula de adição de probabilidade. A fórmula é a seguinte

Nós damos para você no material de referência e os caras podem dar essa fórmula. Ele permite que você encontre a probabilidade da soma dos eventos. Perguntaram-nos a probabilidade do evento oposto, cuja probabilidade é encontrada pela fórmula.

O Problema 13 usa o conceito de produto de eventos, cuja fórmula para encontrar a probabilidade é dada no Apêndice.

3. Tarefas para o uso da árvore opções

De acordo com a condição do problema, é fácil traçar um diagrama e encontrar as probabilidades indicadas.

Com que ajuda material teórico Você já trabalhou com alunos para resolver problemas desse tipo? Você usou uma árvore de possibilidades ou usou outros métodos para resolver esses problemas? Você deu o conceito de gráficos? Na quinta ou sexta série, os caras têm esses problemas, cuja análise dá o conceito de gráficos.

Eu gostaria de perguntar a você, você e seus alunos já pensaram em usar uma árvore de possibilidades ao resolver problemas de probabilidade? O fato é que não apenas o USE possui essas tarefas, mas também surgiram tarefas complexas, que agora vamos resolver.

Vamos discutir com você a metodologia para resolver esses problemas - se coincidir com a minha metodologia, como explico aos caras, será mais fácil para mim trabalhar com você, caso contrário, ajudarei você a lidar com esse problema.

Vamos discutir os acontecimentos. Que eventos no problema 17 podem ser identificados?

Ao construir uma árvore em um plano, um ponto é designado, que é chamado de raiz da árvore. Em seguida, começamos a considerar os eventose. Construiremos um segmento (na teoria das probabilidades chama-se ramo). A condição diz que a primeira fábrica produz 30% celulares essa marca (o quê? A que eles produzem), então em este momento Pergunto aos alunos, qual é a probabilidade de a primeira fábrica produzir telefones desta marca, aqueles que eles produzem? Como o evento é o lançamento do telefone na primeira fábrica, a probabilidade desse evento é de 30% ou 0,3. Os telefones restantes são produzidos na segunda fábrica - estamos construindo o segundo segmento e a probabilidade desse evento é de 0,7.

Os alunos são questionados - que tipo de telefone pode ser produzido pela primeira fábrica? Com ou sem defeito. Qual é a probabilidade de que o telefone produzido pela primeira fábrica tenha um defeito? De acordo com a condição, diz-se que é igual a 0,01. Pergunta: Qual é a probabilidade de que o telefone produzido pela primeira fábrica não tenha defeito? Como esse evento é oposto ao dado, sua probabilidade é igual.

É necessário encontrar a probabilidade de que o telefone esteja com defeito. Pode ser da primeira fábrica, ou pode ser da segunda. Em seguida, usamos a fórmula para adicionar probabilidades e obtemos que toda a probabilidade é a soma das probabilidades de que o telefone seja defeituoso da primeira fábrica e que o telefone seja defeituoso da segunda fábrica. A probabilidade de que o telefone tenha um defeito e tenha sido produzido na primeira fábrica é encontrada pela fórmula do produto de probabilidades, que é fornecida no apêndice.

4. Um dos mais Tarefas desafiantes do banco USE para probabilidade

Vamos analisar, por exemplo, o nº 320199 do FIPI Task Bank. Esta é uma das tarefas mais difíceis em B6.

Para entrar no instituto para a especialidade "Linguística", o candidato Z. deve marcar pelo menos 70 pontos no Exame Unificado do Estado em cada uma das três disciplinas - matemática, russo e língua estrangeira. Para entrar na especialidade "Comércio", você precisa marcar pelo menos 70 pontos em cada uma das três disciplinas - matemática, língua russa e estudos sociais.

A probabilidade de que o candidato Z. receba pelo menos 70 pontos em matemática é de 0,6, no idioma russo - 0,8, em lingua estrangeira- 0,7 e em estudos sociais - 0,5.

Encontre a probabilidade de que Z. consiga ingressar em pelo menos uma das duas especialidades mencionadas.

Observe que o problema não pergunta se um candidato chamado Z. estudará linguística e comércio ao mesmo tempo e receberá dois diplomas. Aqui precisamos encontrar a probabilidade de que Z. consiga entrar em pelo menos uma dessas duas especialidades - ou seja, ele obterá o número necessário de pontos.

Para ingressar em pelo menos uma das duas especialidades, Z. deve obter pelo menos 70 pontos em matemática. E em russo. E ainda - ciências sociais ou estrangeiras.

A probabilidade de marcar 70 pontos em matemática para ele é de 0,6.

A probabilidade de marcar pontos em matemática e russo é igual.

Vamos lidar com estudos estrangeiros e sociais. As opções são adequadas para nós quando o candidato obteve pontos em estudos sociais, em uma língua estrangeira ou em ambos. A opção não é adequada quando ele não obteve pontos nem em linguagem nem em “sociedade”. Isso significa que a probabilidade de passar em estudos sociais ou estrangeiros é de pelo menos 70 pontos iguais. Como resultado, a probabilidade de passar em matemática, estudos russos e sociais ou estrangeiros é igual a

Esta é a resposta.

II . Resolvendo problemas combinatórios

1. Número de combinações e fatoriais

Vamos analisar brevemente o material teórico.

Expressãon ! lê "en-factorial" e denota o produto de todos números naturais de 1 an inclusivo:n ! = 1 2 3 ...n .

Além disso, em matemática, por definição, considera-se que 0! = 1. Tal expressão é rara, mas ainda ocorre em problemas na teoria das probabilidades.

Definição

Que haja objetos (lápis, doces, o que for) dos quais é necessário escolher objetos exatamente diferentes. Então o número de opções para tal escolha é chamadonúmero de combinações dos elementos. Este número é indicado e calculado de acordo com uma fórmula especial.

Designação

O que essa fórmula nos dá? Na verdade, quase nenhuma tarefa séria pode ser resolvida sem ela.

Para um melhor entendimento, vamos analisar alguns problemas combinatórios simples:

Uma tarefa

O barman tem 6 variedades de chá verde. Para a cerimônia do chá, são necessárias exatamente 3 variedades diferentes de chá verde. De quantas maneiras um barman pode completar um pedido?

Solução

Tudo é simples aqui: hán = 6 variedades para escolherk = 3 variedades. O número de combinações pode ser encontrado pela fórmula:

Responda

Substitua na fórmula. Não podemos resolver todos os problemas, mas tarefas típicas que escrevemos, eles são apresentados à sua atenção.

Uma tarefa

Em um grupo de 20 alunos, 2 representantes devem ser selecionados para falar na conferência. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Solução

Novamente, tudo o que temosn = 20 alunos, mas você tem que escolherk = 2 alunos. Encontrando o número de combinações:

Observe que os fatores incluídos em diferentes fatoriais estão marcados em vermelho. Esses multiplicadores podem ser reduzidos sem dor e, assim, reduzir significativamente a quantidade total de cálculos.

Responda

190

Uma tarefa

Foram levados ao armazém 17 servidores com vários defeitos, que custam 2 vezes mais barato que os servidores normais. O diretor comprou 14 desses servidores para a escola e gastou o dinheiro economizado no valor de 200.000 rublos na compra de outros equipamentos. De quantas maneiras um diretor pode escolher servidores defeituosos?

Solução

Há muitos dados extras na tarefa, o que pode ser confuso. A maioria fatos importantes: tem tudon = 17 servidores, e o diretor precisak = 14 servidores. Contamos o número de combinações:

A cor vermelha indica novamente os multiplicadores que estão sendo reduzidos. No total, resultou em 680 combinações. Em geral, o diretor tem muito por onde escolher.

Responda

680

Essa tarefa é caprichosa, pois há dados extras nessa tarefa. Eles desviam muitos alunos. Foram 17 servidores no total, e o diretor precisou escolher 14. Substituindo na fórmula, temos 680 combinações.

2. Lei da multiplicação

Definição

lei da multiplicação em combinatória: multiplica-se o número de combinações (maneiras, combinações) em conjuntos independentes.

Em outras palavras, que hajaUMA maneiras de realizar uma ação eB maneiras de realizar outra ação. O caminho também essas ações são independentes, ou seja, não relacionado de forma alguma. Então você pode encontrar o número de maneiras de realizar a primeira e a segunda ação pela fórmula:C = UMA · B .

Uma tarefa

Petya tem 4 moedas de 1 rublo cada e 2 moedas de 10 rublos cada. Petya, sem olhar, tirou do bolso 1 moeda com valor nominal de 1 rublo e outra 1 moeda com valor nominal de 10 rublos para comprar uma caneta por 11 rublos. De quantas maneiras ele pode escolher essas moedas?

Solução

Então, primeiro Petya recebek = 1 moeda den = 4 moedas disponíveis com valor nominal de 1 rublo. O número de maneiras de fazer isso éC 4 1 = ... = 4.

Então Petya enfia a mão no bolso novamente e tirak = 1 moeda den = 2 moedas disponíveis com valor nominal de 10 rublos. Aqui o número de combinações éC 2 1 = ... = 2.

Como essas ações são independentes, o número total de opções éC = 4 2 = 8.

Responda

Uma tarefa

Há 8 bolas brancas e 12 pretas em uma cesta. De quantas maneiras você pode obter 2 bolas brancas e 2 bolas pretas dessa cesta?

Solução

Total no carrinhon = 8 bolas brancas para escolherk = 2 bolas. Pode ser feitoC 8 2 = ... = 28 maneiras diferentes.

Além disso, o carrinho contémn = 12 bolas pretas para escolher novamentek = 2 bolas. O número de maneiras de fazer isso éC 12 2 = ... = 66.

Como a escolha da bola branca e a escolha da preta são eventos independentes, o número total de combinações é calculado de acordo com a lei da multiplicação:C = 28 66 = 1848. Como você pode ver, pode haver algumas opções.

Responda

1848

A lei da multiplicação mostra de quantas maneiras você pode executar uma ação complexa que consiste em duas ou mais simples - desde que todas sejam independentes.

3. Lei da adição

Se a lei da multiplicação opera em eventos "isolados" que não dependem uns dos outros, então na lei da adição o oposto é verdadeiro. Ele lida com eventos mutuamente exclusivos que nunca acontecem ao mesmo tempo.

Por exemplo, “Pedro tirou 1 moeda do bolso” e “Pedro não tirou uma única moeda do bolso” são eventos mutuamente exclusivos, pois é impossível tirar uma moeda sem tirar nenhuma.

Da mesma forma, os eventos "Bola selecionada aleatoriamente - branca" e "Bola selecionada aleatoriamente - preta" também são mutuamente exclusivos.

Definição

Lei de adição em combinatória: se duas ações mutuamente exclusivas podem ser executadasUMA eB maneiras, respectivamente, esses eventos podem ser combinados. Isso irá gerar um novo evento que pode ser executadoX = UMA + B caminhos.

Em outras palavras, ao combinar ações mutuamente exclusivas (eventos, opções), o número de suas combinações é somado.

Podemos dizer que a lei da adição é um "OU" lógico em combinatória, quando qualquer uma das opções mutuamente exclusivas nos convém. Por outro lado, a lei da multiplicação é um "E" lógico, no qual estamos interessados ​​na execução simultânea da primeira e da segunda ações.

Uma tarefa

Há 9 bolas pretas e 7 bolas vermelhas em uma cesta. O menino tira 2 bolas da mesma cor. De quantas maneiras ele pode fazer isso?

Solução

Se as bolas forem da mesma cor, há poucas opções: ambas são pretas ou vermelhas. Obviamente, essas opções são mutuamente exclusivas.

No primeiro caso, o menino tem que escolherk = 2 bolas pretas den = 9 disponíveis. O número de maneiras de fazer isso éC 9 2 = ... = 36.

Da mesma forma, no segundo caso, escolhemosk = 2 bolas vermelhas den = 7 possíveis. O número de maneiras éC 7 2 = ... = 21.

Resta encontrar o número total de maneiras. Como as variantes com bolas pretas e vermelhas são mutuamente exclusivas, de acordo com a lei da adição temos:X = 36 + 21 = 57.

Responda57

Uma tarefa

A barraca vende 15 rosas e 18 tulipas. Um aluno do 9º ano quer comprar 3 flores para seu colega, e todas as flores devem ser iguais. De quantas maneiras ele pode fazer esse buquê?

Solução

De acordo com a condição, todas as flores devem ser iguais. Então, vamos comprar 3 rosas ou 3 tulipas. De qualquer forma,k = 3.

No caso das rosas, você terá que escolhern = 15 opções, então o número de combinações éC 15 3 = ... = 455. Para tulipasn = 18, e o número de combinações -C 18 3 = ... = 816.

Como rosas e tulipas são opções mutuamente exclusivas, trabalhamos de acordo com a lei da adição. Obtenha o número total de opçõesX = 455 + 816 = 1271. Esta é a resposta.

Responda

1271

Termos e restrições adicionais

Muitas vezes, no texto do problema, existem condições adicionais que impõem restrições significativas às combinações de interesse para nós. Compare duas frases:

Há um conjunto de 5 canetas em cores diferentes. De quantas maneiras as alças de 3 tempos podem ser selecionadas?

Há um conjunto de 5 canetas em cores diferentes. De quantas maneiras as alças de 3 tempos podem ser escolhidas se uma delas deve ser vermelha?

No primeiro caso, temos o direito de usar as cores que quisermos - não há restrições adicionais. No segundo caso, tudo é mais complicado, pois devemos escolher uma alça vermelha (supõe-se que esteja no conjunto original).

Obviamente, quaisquer restrições reduzem drasticamente o número total de opções. Então, como você encontra o número de combinações neste caso? Apenas lembre-se da seguinte regra:

Seja um conjunto den elementos para escolherk elementos. Com a introdução de restrições adicionais ao númeron ek diminuir na mesma proporção.

Em outras palavras, se você precisar escolher 3 de 5 canetas, e uma delas deve ser vermelha, você terá que escolhern = 5 − 1 = 4 elementos pork = 3 − 1 = 2 elementos. Assim, em vez deC 5 3 deve ser consideradoC 4 2 .

Agora vamos ver como essa regra funciona para exemplos concretos:

Uma tarefa

Em um grupo de 20 alunos, incluindo 2 excelentes alunos, você precisa escolher 4 pessoas para participar da conferência. De quantas maneiras esses quatro podem ser escolhidos se os excelentes alunos devem chegar à conferência?

Solução

Então existe um grupo den = 20 alunos. Mas você só tem que escolherk = 4 deles. Se não houvesse restrições adicionais, o número de opções era igual ao número de combinaçõesC 20 4 .

No entanto, nos foi dada uma condição adicional: 2 alunos excelentes devem estar entre esses quatro. Assim, de acordo com a regra acima, reduzimos os númerosn ek por 2. Temos:

Responda

153

Uma tarefa

Petya tem 8 moedas no bolso, das quais 6 são moedas de rublo e 2 são moedas de 10 rublos. Petya coloca umas três moedas em outro bolso. De quantas maneiras o Petya pode fazer isso se for sabido que ambas as moedas de 10 rublos foram parar em outro bolso?

Solução

Então aí están = 8 moedas. Turnos de Petyak = 3 moedas, das quais 2 são dez rublos. Acontece que de 3 moedas que serão transferidas, 2 já estão fixas, então os númerosn ek deve ser reduzido em 2. Temos:

Responda

III . Resolução de problemas combinados sobre o uso de fórmulas de combinatória e teoria das probabilidades

Uma tarefa

Petya tinha 4 moedas de rublo e 2 moedas de 2 rublos no bolso. Petya, sem olhar, colocou umas três moedas em outro bolso. Encontre a probabilidade de que ambas as moedas de dois rublos estejam no mesmo bolso.

Solução

Suponha que ambas as moedas de dois rublos realmente acabaram no mesmo bolso, então 2 opções são possíveis: ou Petya não as deslocou ou as deslocou de uma só vez.

No primeiro caso, quando as moedas de dois rublos não foram transferidas, as moedas de 3 rublos teriam que ser transferidas. Como existem 4 dessas moedas no total, o número de maneiras de fazer isso é igual ao número de combinações de 4 por 3:C 4 3 .

No segundo caso, quando ambas as moedas de dois rublos forem transferidas, mais uma moeda de rublo deverá ser transferida. Deve ser escolhido entre 4 existentes, e o número de maneiras de fazer isso é igual ao número de combinações de 4 a 1:C 4 1 .

Agora vamos encontrar o número total de maneiras de deslocar as moedas. Como há 4 + 2 = 6 moedas no total, e apenas 3 delas precisam ser escolhidas, o número total de opções é igual ao número de combinações de 6 a 3:C 6 3 .

Resta encontrar a probabilidade:

Responda

0,4

Mostrar no quadro interativo. Preste atenção ao fato de que, de acordo com a condição do problema, Petya, sem olhar, colocou três moedas em um bolso. Ao responder a essa pergunta, podemos supor que duas moedas de dois rublos realmente permaneceram em um bolso. Consulte a fórmula para adicionar probabilidades. Mostre a fórmula novamente.

Uma tarefa

Petya tinha 2 moedas de 5 rublos e 4 moedas de 10 rublos no bolso. Petya, sem olhar, colocou umas 3 moedas em outro bolso. Encontre a probabilidade de que moedas de cinco rublos estejam agora em bolsos diferentes.

Solução

Para que as moedas de cinco rublos fiquem em bolsos diferentes, você precisa mudar apenas um deles. O número de maneiras de fazer isso é igual ao número de combinações de 2 por 1:C 2 1 .

Como Petya transferiu 3 moedas no total, ele terá que transferir mais 2 moedas de 10 rublos cada. Petya tem 4 dessas moedas, então o número de maneiras é igual ao número de combinações de 4 a 2:C 4 2 .

Resta descobrir quantas opções existem para trocar 3 moedas das 6 disponíveis. Este número, como no problema anterior, é igual ao número de combinações de 6 a 3:C 6 3 .

Encontrando a probabilidade:

NO último passo multiplicamos o número de maneiras de escolher moedas de dois rublos e o número de maneiras de escolher moedas de dez rublos, pois esses eventos são independentes.

Responda

0,6

Assim, problemas com moedas têm sua própria fórmula de probabilidade. É tão simples e importante que pode ser formulado como um teorema.

Teorema

Deixe a moeda ser lançadan uma vez. Então a probabilidade de sair cara exatamentek tempos podem ser encontrados usando a fórmula:

OndeC n k - número de combinações den elementos pork , que é calculado pela fórmula:

Assim, para resolver o problema das moedas, são necessários dois números: o número de lançamentos e o número de caras. Na maioria das vezes, esses números são fornecidos diretamente no texto do problema. Além disso, não importa exatamente o que contar: caudas ou águias. A resposta será a mesma.

À primeira vista, o teorema parece muito complicado. Mas vale a pena praticar um pouco - e você não deseja mais retornar ao algoritmo padrão descrito acima.

A moeda é lançada quatro vezes. Encontre a probabilidade de sair cara exatamente três vezes.

Solução

De acordo com a condição do problema, o número total de arremessos foin = 4. Número necessário de cabeças:k = 3. Substituirn ek na fórmula:

Com o mesmo sucesso, você pode contar o número de caudas:k = 4 − 3 = 1. A resposta será a mesma.

Responda

0,25

Uma tarefa [ Pasta de trabalho“USE 2012 em matemática. Tarefas B6»]

A moeda é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de nunca sair coroa.

Solução

Escrevendo os números novamenten ek . Como a moeda é lançada 3 vezes,n = 3. E como não deve haver caudas,k = 0. Resta substituir os númerosn ek na fórmula:

Deixe-me lembrá-lo que 0! = 1 por definição. É por issoC 3 0 = 1.

Responda

0,125

Tarefa [Exame experimental em matemática 2012. Irkutsk]

Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada 4 vezes. Encontre a probabilidade de que caras saiam mais vezes do que coroas.

Solução

Para que haja mais caras do que coroas, elas devem cair 3 vezes (então haverá 1 coroa) ou 4 (então não haverá coroa nenhuma). Vamos encontrar a probabilidade de cada um desses eventos.

Deixarp 1 - a probabilidade de sair cara 3 vezes. Entãon = 4, k = 3. Temos:

Agora vamos encontrarp 2 - a probabilidade de sair cara todas as 4 vezes. Nesse cason = 4, k = 4. Temos:

Para obter a resposta, resta somar as probabilidadesp 1 ep 2 . Lembre-se: você só pode adicionar probabilidades para eventos mutuamente exclusivos. Nós temos:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Responda

0,3125

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4. Material de referência

Eventos que ocorrem na realidade ou em nossa imaginação podem ser divididos em 3 grupos. Estes são certos eventos que estão prestes a acontecer, eventos impossíveis e eventos aleatórios. A teoria da probabilidade estuda eventos aleatórios, ou seja, eventos que podem ou não ocorrer. Este artigo será apresentado em resumo fórmulas de teoria das probabilidades e exemplos de resolução de problemas em teoria das probabilidades, que estarão na 4ª tarefa do USE em matemática (nível de perfil).

Por que precisamos da teoria da probabilidade

Historicamente, a necessidade de estudar esses problemas surgiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento e profissionalização da jogos de azar e o advento do cassino. Era um fenômeno real que exigia seu estudo e pesquisa.

Jogar cartas, dados, roleta criava situações em que qualquer um de um número finito de eventos igualmente prováveis ​​poderia ocorrer. Houve a necessidade de fornecer estimativas numéricas da possibilidade de ocorrência de um evento.

No século 20, ficou claro que essa ciência aparentemente frívola desempenha um papel importante na compreensão dos processos fundamentais que ocorrem no microcosmo. Foi criado teoria moderna probabilidades.

Conceitos básicos da teoria da probabilidade

O objeto de estudo da teoria das probabilidades são os eventos e suas probabilidades. Se o evento for complexo, ele pode ser dividido em componentes simples, cujas probabilidades são fáceis de encontrar.

A soma dos eventos A e B é chamada de evento C, que consiste no fato de que o evento A, ou o evento B, ou os eventos A e B aconteceram ao mesmo tempo.

O produto dos eventos A e B é o evento C, que consiste no fato de que tanto o evento A quanto o evento B aconteceram.

Os eventos A e B são considerados incompatíveis se não podem ocorrer ao mesmo tempo.

Um evento A é dito impossível se não pode acontecer. Tal evento é indicado pelo símbolo .

Um evento A é dito certo se ele irá ocorrer definitivamente. Tal evento é indicado pelo símbolo .

Atribua a cada evento A um número P(A). Esse número P(A) é chamado de probabilidade do evento A se as seguintes condições forem satisfeitas com tal correspondência.

Um caso especial importante é a situação em que há resultados elementares igualmente prováveis ​​e arbitrários desses resultados dos eventos A. Nesse caso, a probabilidade pode ser introduzida pela fórmula . A probabilidade introduzida desta forma é chamada de probabilidade clássica. Pode-se provar que as propriedades 1-4 são válidas neste caso.

Problemas na teoria da probabilidade, que são encontrados no exame de matemática, estão relacionados principalmente à probabilidade clássica. Tais tarefas podem ser muito simples. Particularmente simples são os problemas da teoria das probabilidades em versões de demonstração. É fácil calcular o número de resultados favoráveis, o número de todos os resultados é escrito diretamente na condição.

Obtemos a resposta de acordo com a fórmula.

Um exemplo de uma tarefa do exame em matemática para determinar a probabilidade

Há 20 tortas na mesa - 5 com repolho, 7 com maçã e 8 com arroz. Marina quer tomar uma torta. Qual é a probabilidade de que ela pegue o bolo de arroz?

Solução.

São 20 resultados elementares equiprováveis ​​no total, ou seja, Marina pode levar qualquer uma das 20 tortas. Mas precisamos estimar a probabilidade de Marina levar o bolinho de arroz, ou seja, onde A é a escolha do bolinho de arroz. Isso significa que temos um total de 8 resultados favoráveis ​​(escolhendo tortas de arroz), então a probabilidade será determinada pela fórmula:

Eventos Independentes, Opostos e Arbitrários

No entanto, em jarra aberta tarefas começaram a atender tarefas mais complexas. Portanto, chamemos a atenção do leitor para outras questões estudadas na teoria das probabilidades.

Os eventos A e B são chamados independentes se a probabilidade de cada um deles não depender da ocorrência do outro evento.

O evento B consiste no fato de que o evento A não ocorreu, ou seja, o evento B é oposto ao evento A. A probabilidade do evento oposto é igual a um menos a probabilidade do evento direto, ou seja. .

Teoremas de adição e multiplicação, fórmulas

Para eventos arbitrários A e B, a probabilidade da soma desses eventos é igual à soma de suas probabilidades sem a probabilidade de seu evento conjunto, ou seja, .

Para eventos independentes A e B, a probabilidade do produto desses eventos é igual ao produto de suas probabilidades, ou seja, nesse caso .

As duas últimas afirmações são chamadas de teoremas da adição e multiplicação de probabilidades.

Nem sempre contar o número de resultados é tão simples. Em alguns casos, é necessário usar fórmulas combinatórias. O mais importante é contar o número de eventos que satisfazem certas condições. Às vezes, esses cálculos podem se tornar tarefas independentes.

De quantas maneiras 6 alunos podem se sentar em 6 cadeiras vazias? O primeiro aluno ocupará qualquer um dos 6 lugares. Cada uma destas opções corresponde a 5 formas de colocação do segundo aluno. Para o terceiro aluno há 4 vagas livres, para o quarto - 3, para o quinto - 2, o sexto ocupará o único lugar restante. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto, que é indicado pelo símbolo 6! e leia "seis fatorial".

No caso geral, a resposta a esta pergunta é dada pela fórmula do número de permutações de n elementos.No nosso caso, .

Considere agora outro caso com nossos alunos. De quantas maneiras 2 alunos podem se sentar em 6 lugares vazios? O primeiro aluno ocupará qualquer um dos 6 lugares. Cada uma destas opções corresponde a 5 formas de colocação do segundo aluno. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto.

No caso geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de colocações de n elementos por k elementos

No nosso caso .

E o último desta série. Quantas maneiras existem de escolher 3 alunos entre 6? O primeiro aluno pode ser escolhido de 6 maneiras, o segundo de 5 maneiras e o terceiro de 4 maneiras. Mas entre essas opções, os mesmos três alunos ocorrem 6 vezes. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa calcular o valor: . No caso geral, a resposta a esta pergunta é dada pela fórmula do número de combinações de elementos por elementos:

No nosso caso .

Exemplos de resolução de problemas do exame em matemática para determinar a probabilidade

Tarefa 1. Da coleção, ed. Yashchenko.

São 30 tortas no prato: 3 com carne, 18 com repolho e 9 com cerejas. Sasha escolhe aleatoriamente uma torta. Encontre a probabilidade de que ele acabe com uma cereja.

.

Resposta: 0,3.

Problema 2. Da coleção, ed. Yashchenko.

Em cada lote de 1000 lâmpadas, uma média de 20 defeituosas. Encontre a probabilidade de que uma lâmpada escolhida aleatoriamente de um lote seja boa.

Solução: O número de lâmpadas que podem ser reparadas é 1000-20=980. Então, a probabilidade de que uma lâmpada retirada ao acaso do lote seja útil é:

Resposta: 0,98.

A probabilidade de que o aluno U. resolva corretamente mais de 9 problemas em um teste de matemática é 0,67. A probabilidade de que U. resolva corretamente mais de 8 problemas é 0,73. Encontre a probabilidade de que U. resolva corretamente exatamente 9 problemas.

Se imaginarmos uma reta numérica e nela marcarmos os pontos 8 e 9, veremos que a condição "U. resolva corretamente exatamente 9 problemas” está incluído na condição “U. resolver corretamente mais de 8 problemas", mas não se aplica à condição "W. resolver corretamente mais de 9 problemas.

No entanto, a condição "U. resolver corretamente mais de 9 problemas" está contido na condição "U. resolver corretamente mais de 8 problemas. Assim, se designarmos eventos: “W. resolva corretamente exatamente 9 problemas" - através de A, "U. resolver corretamente mais de 8 problemas" - através de B, "U. resolva corretamente mais de 9 problemas ”através de C. Então a solução ficará assim:

Resposta: 0,06.

No exame de geometria, o aluno responde a uma pergunta da lista de perguntas do exame. A probabilidade de que esta seja uma questão de trigonometria é 0,2. A probabilidade de que esta seja uma pergunta de cantos externos é de 0,15. Não há perguntas relacionadas a esses dois tópicos ao mesmo tempo. Encontre a probabilidade de o aluno obter uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame.

Vamos pensar nos eventos que temos. Recebemos dois eventos incompatíveis. Ou seja, ou a questão estará relacionada ao tópico "Trigonometria", ou ao tópico "Ângulos externos". De acordo com o teorema da probabilidade, a probabilidade de eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades de cada evento, devemos encontrar a soma das probabilidades desses eventos, ou seja:

Resposta: 0,35.

A sala é iluminada por uma lanterna com três lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é de 0,29. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime dentro de um ano.

Vamos considerar possíveis eventos. Temos três lâmpadas, cada uma das quais pode ou não queimar independentemente de qualquer outra lâmpada. São eventos independentes.

Em seguida, indicaremos as variantes de tais eventos. Aceitamos a notação: - a lâmpada está acesa, - a lâmpada está queimada. E imediatamente a seguir calculamos a probabilidade de um evento. Por exemplo, a probabilidade de um evento em que ocorreram três eventos independentes “a lâmpada queimou”, “a lâmpada está acesa”, “a lâmpada está acesa”: .

Atenção candidatos! Várias tarefas do exame são analisadas aqui. O resto, os mais interessantes, estão em nosso material de vídeo gratuito. Assista e aja!

Vamos começar com tarefas simples e conceitos básicos da teoria das probabilidades.
Aleatório Um evento é chamado de evento que não pode ser previsto com precisão com antecedência. Pode acontecer ou não.
Você ganhou na loteria - um evento aleatório. Você convidou amigos para comemorar a vitória e, no caminho até você, eles ficaram presos no elevador - também um evento aleatório. É verdade que o mestre estava por perto e libertou toda a empresa em dez minutos - e isso também pode ser considerado um feliz acidente ...

Nossa vida é cheia de eventos aleatórios. Pode-se dizer que cada um deles acontece com algum probabilidade. Muito provavelmente, você está intuitivamente familiarizado com esse conceito. Agora vamos dar uma definição matemática de probabilidade.

Vamos começar do próprio um exemplo simples. Você está jogando uma moeda. Cara ou Corôa?

Tal ação, que pode levar a um dos vários resultados, é chamada na teoria da probabilidade teste.

Cara e coroa - duas possíveis êxodo testes.

A águia cairá em um caso entre dois possíveis. Eles disseram aquilo probabilidade que a moeda dá cara é igual a .

Vamos jogar um dado. O dado tem seis lados, então há seis resultados possíveis.

Por exemplo, você adivinhou que três pontos vão cair. Este é um resultado de seis possíveis. Na teoria das probabilidades, será chamado resultado favorável.

A probabilidade de obter um triplo é (um resultado favorável em seis possíveis).

A probabilidade de um quatro também é

Mas a probabilidade do aparecimento do sete é zero. Afinal, não há face com sete pontos no cubo.

A probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de resultados favoráveis ​​e o número total de resultados.

Obviamente, a probabilidade não pode ser maior que um.

Aqui está outro exemplo. Em um saco de maçãs, das quais são vermelhas, o resto é verde. As maçãs não diferem em forma ou tamanho. Você coloca a mão no saco e tira uma maçã ao acaso. A probabilidade de tirar uma maçã vermelha é , e uma verde é .

A probabilidade de obter uma maçã vermelha ou verde é .

Vamos analisar os problemas da teoria da probabilidade incluídos nas coleções de preparação para o exame.

. A empresa de táxi está atualmente livre de carros: vermelho, amarelo e verde. Em uma ligação, um dos carros saiu, que estava mais próximo do cliente. Encontre a probabilidade de um táxi amarelo chegar.

São carros no total, ou seja, um em cada quinze virá até o cliente. São nove amarelos, o que significa que a probabilidade de chegada de um carro amarelo é , ou seja .

. (Versão demo) Na coleção de bilhetes sobre biologia de todos os bilhetes, em dois deles há uma pergunta sobre cogumelos. No exame, o aluno recebe um bilhete selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que este bilhete não inclua a pergunta sobre cogumelos.

Obviamente, a probabilidade de tirar um bilhete sem perguntar sobre os cogumelos é , ou seja, .

. O Comitê de Pais comprou quebra-cabeças para presentes de formatura para crianças ano escolar, dos quais com fotos artista famoso e fotos de animais. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Vovochka obter o quebra-cabeça do animal.

A tarefa é resolvida de maneira semelhante.

Responda: .

. Os atletas participam do campeonato de ginástica: da Rússia, dos EUA, o resto - da China. A ordem em que os ginastas executam é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de que o último atleta a competir seja da China.

Vamos imaginar que todos os atletas ao mesmo tempo se aproximassem do boné e tirassem dele pedaços de papel com números. Alguns deles obterão o vigésimo número. A probabilidade de um atleta chinês retirar é igual (já que os atletas são da China). Responda: .

. O aluno foi solicitado a nomear um número de até . Qual é a probabilidade de ele nomear um número que é um múltiplo de cinco?

A cada quinto um número do conjunto dado é divisível por . Então a probabilidade é .

Um dado é lançado. Encontre a probabilidade de obter um número ímpar de pontos.

Números ímpares; - até. A probabilidade de um número ímpar de pontos é .

Responda: .

. A moeda é lançada três vezes. Qual é a probabilidade de duas caras e uma coroa?

Observe que o problema pode ser formulado de forma diferente: três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Não afetará a decisão.

Quantos resultados possíveis você acha que existem?

Lançamos uma moeda. Esta ação tem dois resultados possíveis: cara e coroa

Duas moedas - já quatro resultados:

Três moedas? Isso mesmo, resultados, uma vez que .

Duas caras e uma cauda aparecem três vezes em oito.

Responda: .

. Em um experimento aleatório, dois dados são lançados. Encontre a probabilidade de que a soma derrube pontos. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo.

Jogue o primeiro dado - seis resultados. E para cada um deles, mais seis são possíveis - quando lançamos o segundo dado.

Obtemos que esta ação lançou dois dados- todos os resultados possíveis, uma vez que .

E agora a boa notícia:

A probabilidade de obter oito pontos é .

>. O atirador acerta o alvo com probabilidade. Encontre a probabilidade de ele acertar o alvo quatro vezes seguidas.

Se a probabilidade de acertar é igual, então a probabilidade de errar é . Argumentamos da mesma forma que no problema anterior. A probabilidade de dois acertos seguidos é . E a probabilidade de quatro acertos seguidos é igual a .

Probabilidade: lógica de força bruta.

Aqui está uma tarefa do trabalho de diagnóstico, que parecia difícil para muitos.

Petya tinha moedas de rublo e moedas de rublo no bolso. Petya, sem olhar, colocou algumas moedas em outro bolso. Encontre a probabilidade de que moedas de cinco rublos estejam agora em bolsos diferentes.

Sabemos que a probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de resultados favoráveis ​​e o número total de resultados. Mas como calcular todos esses resultados?

Você pode, é claro, denotar moedas de cinco rublos por números e moedas de dez rublos por números - e depois calcular de quantas maneiras você pode escolher três elementos do conjunto .

No entanto, existe uma solução mais fácil:

Codificamos moedas com números:, (estes são cinco rublos), (estes são dez rublos). A condição do problema pode agora ser formulada da seguinte forma:

Existem seis fichas numeradas de a . De quantas maneiras elas podem ser distribuídas igualmente entre dois bolsos para que as fichas com números e não acabem juntas?

Vamos anotar o que temos no primeiro bolso.

Para fazer isso, vamos compor todas as combinações possíveis do conjunto . Um conjunto de três fichas será um número de três dígitos. É óbvio que sob nossas condições e são o mesmo conjunto de tokens. Para não perder nada e não repetir, organizamos os números de três dígitos correspondentes em ordem crescente:

Tudo! Tentamos todas as combinações possíveis começando com . Nós continuamos:

resultados totais possíveis.

Temos uma condição - fichas com números e não devem estar juntas. Isso significa, por exemplo, que a combinação não nos convém - significa que as fichas e ambas acabaram não no primeiro, mas no segundo bolso. Resultados favoráveis ​​para nós são aqueles em que há apenas ou apenas. Aqui estão eles:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - resultados favoráveis ​​totais.

Então a probabilidade necessária é .

Que tarefas esperam por você no exame de matemática?

Vamos analisar um dos problemas mais difíceis da teoria das probabilidades.

Para entrar no instituto para a especialidade "Linguística", o candidato Z. deve marcar pelo menos 70 pontos no Exame Unificado do Estado em cada uma das três disciplinas - matemática, russo e língua estrangeira. Para se inscrever na especialidade "Comércio", você precisa marcar pelo menos 70 pontos em cada uma das três disciplinas - matemática, língua russa e estudos sociais.

A probabilidade de que o candidato Z. receba pelo menos 70 pontos em matemática é de 0,6, em russo - 0,8, em língua estrangeira - 0,7 e em estudos sociais - 0,5.
Encontre a probabilidade de que Z. consiga ingressar em pelo menos uma das duas especialidades mencionadas.

Observe que o problema não pergunta se um candidato chamado Z. estudará linguística e comércio ao mesmo tempo e receberá dois diplomas. Aqui precisamos encontrar a probabilidade de que Z. consiga entrar em pelo menos uma dessas duas especialidades - ou seja, ele obterá o número necessário de pontos.
Para ingressar em pelo menos uma das duas especialidades, Z. deve obter pelo menos 70 pontos em matemática. E em russo. E ainda - ciências sociais ou estrangeiras.
A probabilidade de marcar 70 pontos em matemática para ele é de 0,6.
A probabilidade de marcar pontos em matemática e russo é de 0,6 0,8.

Vamos lidar com estudos estrangeiros e sociais. As opções são adequadas para nós quando o candidato obteve pontos em estudos sociais, em uma língua estrangeira ou em ambos. A opção não é adequada quando ele não obteve pontos nem em linguagem nem em “sociedade”. Isso significa que a probabilidade de passar em estudos sociais ou estrangeiros em pelo menos 70 pontos é igual a
1 – 0,5 0,3.
Como resultado, a probabilidade de passar em matemática, estudos russos e sociais ou estrangeiros é igual a
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Esta é a resposta.

evento aleatorio Qualquer evento que pode ou não ocorrer como resultado de alguma experiência.

Probabilidade do evento Ré igual à razão entre o número de resultados favoráveis k entre todos os resultados possíveis. n, ou seja

p=\frac(k)(n)

Fórmulas para adição e multiplicação da teoria da probabilidade

\bar(A) evento chamado oposto ao evento A, se o evento A não ocorreu.

Soma de probabilidades eventos opostos é igual a um, ou seja,

P(\bar(A)) + P(A) =1

• A probabilidade de um evento não pode ser maior que 1.
• Se a probabilidade de um evento for 0, então ele não acontecerá.
• Se a probabilidade de um evento for 1, então ele acontecerá.

Teorema da adição de probabilidade:

"A probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos."

P(A+B) = P(A) + P(B)

Probabilidade quantidades dois eventos conjuntosé igual à soma das probabilidades desses eventos sem levar em conta sua ocorrência conjunta:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema da multiplicação de probabilidade

"A probabilidade do produto de dois eventos é igual ao produto das probabilidades de um deles pela probabilidade condicional do outro, calculada sob a condição de que o primeiro tenha ocorrido."

P(AB)=P(A)*P(B)

Desenvolvimentos chamado incompatível, se o aparecimento de um deles exclui o aparecimento de outros. Ou seja, apenas um determinado evento pode ocorrer, ou outro.

Desenvolvimentos chamado articulação, a menos que a ocorrência de um deles impeça a ocorrência do outro.

Dois eventos aleatórios A e B são chamados independente, se a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Caso contrário, os eventos A e B são chamados dependentes.

Aula-aula sobre o tema "teoria das probabilidades"

Tarefa número 4 do exame 2016.

nível do perfil.

1 Grupo: trabalhos sobre o uso da fórmula de probabilidade clássica.

• Exercício 1. Empresa de táxi tem 60 disponíveis carros; 27 deles são pretos com inscrições amarelas nas laterais, os demais são cor amarela com letras pretas. Encontre a probabilidade de um carro amarelo com inscrições pretas chegar a uma chamada aleatória.

• Tarefa 2. Misha, Oleg, Nastya e Galya lançam a sorte - quem deve começar o jogo. Encontre a probabilidade de Galya não iniciar o jogo.

• Tarefa 3. Em média, de 1.000 bombas de jardim vendidas, 7 vazam. Encontre a probabilidade de que uma bomba selecionada aleatoriamente não vaze.

• Tarefa 4. Há apenas 15 ingressos na coleção de ingressos em química, em 6 deles há uma pergunta sobre o tema "Ácidos". Encontre a probabilidade de um aluno obter uma pergunta sobre o tópico "Ácidos" em um bilhete selecionado aleatoriamente no exame.

• Tarefa 5. 45 atletas competem no campeonato de mergulho, entre eles 4 mergulhadores da Espanha e 9 mergulhadores dos EUA. A ordem das apresentações é determinada por um sorteio. Encontre a probabilidade de que o vigésimo quarto saltador seja dos Estados Unidos.

• Tarefa 6. A conferência científica é realizada em 3 dias. Estão previstos um total de 40 relatórios - 8 relatórios no primeiro dia, os restantes são distribuídos igualmente entre o segundo e o terceiro dia. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de que o relatório do professor M. seja agendado para o último dia da conferência?

• Exercício 1. Antes do início da primeira rodada do campeonato de tênis, os participantes são divididos aleatoriamente em duplas por sorteio. No total, 26 tenistas participam do campeonato, incluindo 9 participantes da Rússia, incluindo Timofey Trubnikov. Encontre a probabilidade de que na primeira rodada Timofey Trubnikov jogue com qualquer tenista da Rússia.

• Tarefa 2. Antes do início da primeira rodada do campeonato de badminton, os participantes são divididos aleatoriamente em pares de jogos por sorteio. No total, 76 jogadores de badminton participam do campeonato, incluindo 22 atletas da Rússia, incluindo Viktor Polyakov. Encontre a probabilidade de que na primeira rodada Victor Polyakov jogue com qualquer jogador de badminton da Rússia.

• Tarefa 3. Há 16 alunos na classe, entre eles dois amigos - Oleg e Mikhail. A turma é dividida aleatoriamente em 4 grupos iguais. Encontre a probabilidade de que Oleg e Mikhail estejam no mesmo grupo.

• Tarefa 4. Há 33 alunos na classe, entre eles dois amigos - Andrey e Mikhail. Os alunos são divididos aleatoriamente em 3 grupos iguais. Encontre a probabilidade de Andrey e Mikhail estarem no mesmo grupo.

• Exercício 1: Na fábrica de louças cerâmicas, 20% dos pratos produzidos estão com defeito. Durante o controle de qualidade do produto, 70% das placas defeituosas são detectadas. As demais placas estão à venda. Encontre a probabilidade de que uma placa selecionada aleatoriamente no momento da compra não tenha defeitos. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

• Tarefa 2. Na fábrica de louças cerâmicas, 30% dos pratos produzidos estão com defeito. Durante o controle de qualidade do produto, 60% das placas defeituosas são detectadas. As demais placas estão à venda. Encontre a probabilidade de que uma placa selecionada aleatoriamente no momento da compra seja defeituosa. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

• Tarefa 3: Duas fábricas produzem o mesmo vidro para faróis de carros. A primeira fábrica produz 30% desses vidros, a segunda - 70%. A primeira fábrica produz 3% de óculos defeituosos e a segunda - 4%. Encontre a probabilidade de que um copo comprado acidentalmente em uma loja seja defeituoso.

2 Grupo: encontrar a probabilidade do evento oposto.

• Exercício 1. A probabilidade de acertar o centro do alvo a uma distância de 20 m para um atirador profissional é de 0,85. Encontre a probabilidade de não atingir o centro do alvo.

• Tarefa 2. Ao fabricar rolamentos com diâmetro de 67 mm, a probabilidade de o diâmetro diferir do especificado em menos de 0,01 mm é de 0,965. Encontre a probabilidade de um rolamento aleatório ter um diâmetro menor que 66,99 mm ou maior que 67,01 mm.

3 Grupo: Encontrar a probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos eventos incompatíveis. Fórmula de adição de probabilidade.

• Exercício 1. Encontre a probabilidade de um dado rolar 5 ou 6.

• Tarefa 2. Há 30 bolas em uma urna: 10 vermelhas, 5 azuis e 15 brancas. Encontre a probabilidade de tirar uma bola colorida.

• Tarefa 3. O atirador atira em um alvo dividido em 3 áreas. A probabilidade de acertar a primeira área é 0,45, a segunda - 0,35. Encontre a probabilidade de o atirador acertar a primeira ou a segunda área com um tiro.

• Tarefa 4. Um ônibus circula diariamente do centro do distrito para a vila. A probabilidade de que na segunda-feira haja menos de 18 passageiros no ônibus é de 0,95. A probabilidade de haver menos de 12 passageiros é 0,6. Encontre a probabilidade de que o número de passageiros esteja entre 12 e 17.

• Tarefa 5. A probabilidade de uma nova chaleira elétrica durar mais de um ano é de 0,97. A probabilidade de que dure mais de dois anos é de 0,89. Encontre a probabilidade de que dure menos de dois anos, mas mais de um ano.

• Tarefa 6. A probabilidade de que o aluno U. resolva corretamente mais de 9 tarefas em um teste de biologia é 0,61. A probabilidade de que U. resolva corretamente mais de 8 problemas é 0,73. Encontre a probabilidade de que U. resolva corretamente exatamente 9 problemas.

4 Grupo: Probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes. Fórmula de multiplicação de probabilidade.

• Exercício 1. A sala é iluminada por uma lanterna com duas lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é 0,3. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime dentro de um ano.

• Tarefa 2. A sala é iluminada por uma lanterna com três lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é 0,3. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime dentro de um ano.

• Tarefa 3. Há dois vendedores na loja. Cada um deles está ocupado com um cliente com probabilidade de 0,4. Encontre a probabilidade de que em um momento aleatório ambos os vendedores estejam ocupados ao mesmo tempo (suponha que os clientes entrem independentemente um do outro).

• Tarefa 4. Há três vendedores na loja. Cada um deles está ocupado com um cliente com probabilidade de 0,2. Encontre a probabilidade de que em um momento aleatório todos os três vendedores estejam ocupados ao mesmo tempo (suponha que os clientes entrem independentemente um do outro).

• Tarefa 5: De acordo com as avaliações dos clientes, Mikhail Mikhailovich apreciou a confiabilidade de duas lojas online. A probabilidade de que o produto desejado seja entregue na loja A é 0,81. A probabilidade de que este produto seja entregue da loja B é 0,93. Mikhail Mikhailovich encomendou as mercadorias de uma só vez em ambas as lojas. Assumindo que as lojas online operam independentemente umas das outras, encontre a probabilidade de que nenhuma das lojas entregue as mercadorias.

• Tarefa 6: Se o grão-mestre A. jogar com as brancas, ele vence o grão-mestre B. com uma probabilidade de 0,6. Se A. joga preto, então A. vence B. com uma probabilidade de 0,4. Os Grão-Mestres A. e B. jogam duas partidas e, na segunda partida, mudam a cor das peças. Encontre a probabilidade de que A. ganhe as duas vezes.

5 Grupo: Tarefas para a aplicação de ambas as fórmulas.

• Exercício 1: Todos os pacientes com suspeita de hepatite fazem um exame de sangue. Se o teste revelar hepatite, o resultado do teste é chamado de positivo. Em pacientes com hepatite, a análise dá um resultado positivo com probabilidade de 0,9. Se o paciente não tiver hepatite, o teste pode dar um resultado falso positivo com probabilidade de 0,02. Sabe-se que 66% dos pacientes admitidos com suspeita de hepatite realmente têm hepatite. Encontre a probabilidade de que o resultado do teste de um paciente admitido na clínica com suspeita de hepatite seja positivo.

• Tarefa 2. Cowboy John acerta uma mosca na parede com probabilidade de 0,9 se ele atirar com um revólver. Se John disparar um revólver cego, ele acerta uma mosca com probabilidade de 0,2. Há 10 revólveres sobre a mesa, dos quais apenas 4 são disparados. Cowboy John vê uma mosca na parede, pega aleatoriamente o primeiro revólver que encontra e atira na mosca. Encontre a probabilidade de que John erre.

Tarefa 3:

Em algumas áreas, as observações mostraram:

1. Se a manhã de junho for clara, então a probabilidade de chuva nesse dia é 0,1. 2. Se a manhã de junho estiver nublada, então a probabilidade de chuva durante o dia é de 0,4. 3. A probabilidade de uma manhã nublada em junho é de 0,3.

Encontre a probabilidade de que não chova em um dia aleatório de junho.

Tarefa 4. Durante o disparo de artilharia, o sistema automático dispara contra o alvo. Se o alvo não for destruído, o sistema dispara novamente. Os tiros são repetidos até que o alvo seja destruído. A probabilidade de destruir um determinado alvo com o primeiro tiro é de 0,3 e com cada tiro subsequente é de 0,9. Quantos tiros serão necessários para garantir que a probabilidade de destruir o alvo seja de pelo menos 0,96?