Problemas simples na teoria da probabilidade. Fórmula básica
No livro proposto, que consiste em duas partes, os conceitos básicos relacionados à teoria das probabilidades e à estatística matemática são considerados detalhadamente, as soluções para os problemas que normalmente são oferecidos em KIM no OGE são analisadas detalhadamente, passo a passo. Além disso, os conceitos mais simples de combinatória (números combinatórios para o número de permutações, posicionamentos e combinações sem repetições) são descritos em detalhes, usando exemplos. A apresentação das principais disposições da estatística matemática é feita com o mesmo detalhe, as diferenças entre a média amostral e a moda e a mediana são mostradas com exemplos, e é dada uma explicação em quais casos qual dessas médias devem ser usadas.
O objetivo do manual é desenvolver as habilidades práticas dos alunos na preparação para o exame (em nova forma) no 9º ano de matemática. A coleção contém respostas para todas as opções de tarefas.
O manual destina-se a professores e metodologistas que utilizam testes para se preparar para o Exame Estadual Principal, também pode ser usado por alunos para autoestudo e autocontrole.
Exemplos.
A TV de Marina está quebrada e mostra apenas um canal aleatório. Marina liga a TV. Atualmente, oito dos cinquenta canais exibem comédias. Encontre a probabilidade de Marina entrar em um canal onde não há comédia.
40 atletas participam do campeonato de ginástica: 12 da Argentina, 9 do Brasil e o restante do Paraguai. A ordem em que os ginastas executam é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de que o atleta que competir primeiro seja do Paraguai.
4 atletas da Argentina, 7 atletas do Brasil, 10 atletas do Paraguai e 4 do Uruguai participam da competição de arremesso de peso. A ordem em que os atletas competem é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de que o último competidor seja do Paraguai.
A conferência científica é realizada em 5 dias. Estão previstos um total de 75 relatórios - os três primeiros dias, 11 relatórios cada, os restantes são distribuídos igualmente entre o quarto e o quinto dia. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de que o relatório do professor M. seja agendado para o último dia da conferência?
CONTENTE
Introdução
Parte I. Problemas na teoria da probabilidade
1. O conceito de probabilidade
2. Definição clássica de probabilidade
3. Aplicação da definição clássica de probabilidade
3.1. Regra de soma
3.2. Regra do produto
3.3. Tarefas para calcular probabilidades
4. Método estatístico
4.1. Definição estatística de probabilidade
4.2. Tarefas para calcular probabilidades
5. Usando números combinatórios
5.1. Permutações sem repetição
5.2. Problemas que usam a fórmula para o número de permutações sem repetição
5.3. Canais sem repetição
5.4. Combinações sem repetição
5.5. Escolha do par
5.6. Tarefas adicionais
Parte II. Elementos de estatísticas, tabelas, processamento de dados
1. Características estatísticas
2. Problemas sobre a média aritmética e a mediana
3. A escolha de uma característica estatística para avaliar o fenômeno
4. Tarefas de cálculo de probabilidades e características estatísticas
Respostas.
Download grátis e-book em um formato conveniente, assista e leia:
Baixe o livro OGE 2017, Mathematics, Probability Theory and Elements of Statistics, Ryazanovsky A.R., Mukhin D.G. - fileskachat.com, download rápido e gratuito.
- OGE 2019, Matemática, Coleção de testes de exame, Ryazanovsky A.R., Mukhin D.G.
- OGE 2018, Matemática, Coleção de testes de exame, Ryazanovsky A.R., Mukhin D.G.
- OGE 2017, Matemática, 9º ano, Coleção de testes de exame, Ryazanovsky A.R., Mukhin D.G.
- OGE 2016, Matemática, 9º ano, Coleção de testes de exame, Ryazanovsky A.R., Mukhin D.G., 2016
Os seguintes tutoriais e livros.
BORIS NIKOLAEVICH PERVUSHKIN
Professor de matemática da mais alta categoria
NOU "Escola de Petersburgo "Tete-a-Tete"
Elementos da teoria da probabilidade para o 9º ano OGE e o 11º ano USE em Matemática .
A teoria da probabilidade no exame é tarefas muito simples numeradas B10. Todos podem lidar com eles. De fato, para resolver o problema B10 em versão do exame apenas os conceitos mais básicos da teoria da probabilidade são necessários.
Aleatório o evento é chamado que não pode ser previsto com precisão com antecedência. Pode acontecer ou não.
Você ganhou na loteria - um evento aleatório. Você convidou amigos para comemorar a vitória e, no caminho até você, eles ficaram presos no elevador - também um evento aleatório. É verdade que o mestre estava por perto e libertou toda a empresa em dez minutos - e isso também pode ser considerado um feliz acidente ...
Nossa vida é cheia de eventos aleatórios. Pode-se dizer que cada um deles acontece com algum probabilidade. Muito provavelmente, você está intuitivamente familiarizado com esse conceito. Agora vamos dar uma definição matemática de probabilidade.
Vamos começar do próprio um exemplo simples. Você está jogando uma moeda. Cara ou Corôa?
Tal ação, que pode levar a um dos vários resultados, é chamada na teoria da probabilidade teste.
Cara e coroa - duas possíveis êxodo testes.
A águia cairá em um caso entre dois possíveis. Eles disseram aquilo probabilidade que a moeda cai em cara é 1/2.
Vamos jogar um dado. O dado tem seis lados, então há seis resultados possíveis.
Por exemplo, você adivinhou que três pontos vão cair. Este é um resultado de seis possíveis. Na teoria das probabilidades, será chamado resultado favorável.
A probabilidade de obter um triplo é de 1/6 (um resultado favorável em seis possíveis).
A probabilidade de um quatro também é 1/6
Mas a probabilidade do aparecimento do sete é zero. Afinal, não há face com sete pontos no cubo.
A probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados.
Obviamente, a probabilidade não pode ser maior que um.
Aqui está outro exemplo. Há 25 maçãs em um saco, 8 delas são vermelhas, as restantes são verdes. As maçãs não diferem em forma ou tamanho. Você coloca a mão no saco e tira uma maçã ao acaso. A probabilidade de tirar uma maçã vermelha é 8/25 e uma verde é 17/25.
A probabilidade de obter uma maçã vermelha ou verde é 8/25 + 17/25 = 1.
Vamos analisar os problemas da teoria da probabilidade incluídos nas coleções de preparação para o exame.
1. Em uma empresa de táxi em este momento 15 carros grátis: 2 vermelhos, 9 amarelos e 4 verdes. Em uma ligação, um dos carros saiu, que estava mais próximo do cliente. Encontre a probabilidade de um táxi amarelo chegar.
São 15 carros no total, ou seja, um em cada quinze virá até o cliente. São nove amarelos, o que significa que a probabilidade de chegada de um carro amarelo é 9/15, ou seja, 0,6.
2. (Versão demo 2012) Existem apenas 25 bilhetes na coleção de bilhetes de biologia, dois deles contêm uma pergunta sobre cogumelos. No exame, o aluno recebe um bilhete selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que este bilhete não inclua a pergunta sobre cogumelos.
Obviamente, a probabilidade de tirar um bilhete sem perguntar sobre cogumelos é 23/25, ou seja, 0,92.
3. O Comitê de Pais comprou 30 quebra-cabeças para presente de formatura para crianças ano escolar, dos quais 12 com pinturas artista famoso e 18 com imagens de animais. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Vovochka obter o quebra-cabeça do animal.
A tarefa é resolvida de maneira semelhante.
Resposta: 0,6.
4. 20 atletas participam do campeonato de ginástica: 8 da Rússia, 7 dos EUA, o restante da China. A ordem em que os ginastas executam é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de que o último atleta a competir seja da China.
Vamos imaginar que todos os atletas ao mesmo tempo se aproximassem do boné e tirassem dele pedaços de papel com números. Alguns deles obterão o vigésimo número. A probabilidade de ser puxado por um atleta chinês é de 5/20 (já que existem -5 atletas da China). Resposta: 0,25.
5. Pediu-se ao aluno que nomeasse um número de 1 a 100. Qual é a probabilidade de ele nomear um número múltiplo de cinco?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11... 100
A cada quinto o número do conjunto dado é divisível por 5. Portanto, a probabilidade é 1/5.
6. Um dado é lançado. Encontre a probabilidade de obter um número ímpar de pontos.
1, 3, 5 - números ímpares; 2, 4, 6 são pares. A probabilidade de um número ímpar de pontos é 1/2.
Resposta: 0,5.
7. Uma moeda é lançada três vezes. Qual é a probabilidade de duas caras e uma coroa?
Observe que o problema pode ser formulado de forma diferente: três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Não afetará a decisão.
Quantos resultados possíveis você acha que existem?
Lançamos uma moeda. Esta ação tem dois resultados possíveis: cara e coroa
Duas moedas - já quatro resultados:
Três moedas? Isso mesmo, 8 resultados, pois 2 2 2 = 2³ = 8.
Duas caras e uma cauda aparecem três vezes em oito.
Resposta: 3/8.
8. Em um experimento aleatório, dois dados. Encontre a probabilidade de obter 8 pontos no total. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo.
Jogue o primeiro dado - seis resultados. E para cada um deles, mais seis são possíveis - quando lançamos o segundo dado.
Obtemos que esta ação - lançar dois dados - tem um total de 36 resultados possíveis, pois 6² = 36.
E agora a boa notícia:
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2
A probabilidade de obter oito pontos é 5/36 ≈ 0,14.
9. O atirador acerta o alvo com probabilidade de 0,9. Encontre a probabilidade de ele acertar o alvo quatro vezes seguidas.
Se a probabilidade de acerto é 0,9, então a probabilidade de erro é 0,1. Argumentamos da mesma forma que no problema anterior. A probabilidade de dois acertos seguidos é 0,9 0,9 = 0,81. E a probabilidade de quatro acertos seguidos é
0,9 0,9 0,9 0,9 = 0,6561.
^
Probabilidade: lógica de força bruta.
O problema B10 sobre moedas do trabalho de diagnóstico em 7 de dezembro parecia difícil para muitos. Aqui está a condição dela:
Petya tinha 2 moedas de 5 rublos e 4 moedas de 10 rublos no bolso. Petya, sem olhar, colocou umas 3 moedas em outro bolso. Encontre a probabilidade de que moedas de cinco rublos estejam agora em bolsos diferentes.
Sabemos que a probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados. Mas como calcular todos esses resultados?
Você pode, é claro, denotar moedas de cinco rublos pelos números 1 e moedas de dez rublos pelos números 2 - e então calcular de quantas maneiras você pode escolher três elementos do conjunto 1 1 2 2 2 2.
No entanto, existe uma solução mais fácil:
Codificamos moedas com números: 1, 2 (são cinco rublos), 3, 4, 5, 6 (são dez rublos). A condição do problema pode agora ser formulada da seguinte forma:
Existem seis fichas numeradas de 1 a 6. De quantas maneiras elas podem ser distribuídas igualmente entre dois bolsos para que as fichas numeradas 1 e 2 não fiquem juntas?
Vamos anotar o que temos no primeiro bolso.
Para fazer isso, faremos todas as combinações possíveis do conjunto 1 2 3 4 5 6. Um conjunto de três fichas será um número de três dígitos. Obviamente, em nossas condições 1 2 3 e 2 3 1 são o mesmo conjunto de fichas. Para não perder nada e não repetir, organizamos os números de três dígitos correspondentes em ordem crescente:
123, 124, 125, 126...
Então? Dissemos que organizamos os números em ordem crescente. Então o seguinte é 134, e então:
135, 136, 145, 146, 156.
Tudo! Passamos por todas as combinações possíveis começando com 1. Continuamos:
234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356,
456.
Há 20 resultados possíveis no total.
Temos uma condição - fichas com números 1 e 2 não devem terminar juntas. Isso significa, por exemplo, que a combinação 356 não nos convém - significa que as fichas 1 e 2 acabaram não no primeiro, mas no segundo bolso. Resultados favoráveis para nós são aqueles em que há apenas 1 ou apenas 2. Aqui estão eles:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - um total de 12 resultados favoráveis.
Então a probabilidade desejada é 12/20.
Eventos que ocorrem na realidade ou em nossa imaginação podem ser divididos em 3 grupos. Estes são certos eventos que estão prestes a acontecer, eventos impossíveis e eventos aleatórios. A teoria da probabilidade estuda eventos aleatórios, ou seja, eventos que podem ou não ocorrer. Este artigo será apresentado em resumo fórmulas de teoria das probabilidades e exemplos de resolução de problemas em teoria das probabilidades, que estarão na 4ª tarefa do USE em matemática (nível de perfil).
Por que precisamos da teoria da probabilidade
Historicamente, a necessidade de estudar esses problemas surgiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento e profissionalização da jogos de azar e o advento do cassino. Era um fenômeno real que exigia seu estudo e pesquisa.
Jogar cartas, dados, roleta criava situações em que qualquer um de um número finito de eventos igualmente prováveis poderia ocorrer. Houve a necessidade de fornecer estimativas numéricas da possibilidade de ocorrência de um evento.
No século 20, ficou claro que essa ciência aparentemente frívola desempenha um papel importante na compreensão dos processos fundamentais que ocorrem no microcosmo. Foi criado teoria moderna probabilidades.
Conceitos básicos da teoria da probabilidade
O objeto de estudo da teoria das probabilidades são os eventos e suas probabilidades. Se o evento for complexo, ele pode ser dividido em componentes simples, cujas probabilidades são fáceis de encontrar.
A soma dos eventos A e B é chamada de evento C, que consiste no fato de que o evento A, ou o evento B, ou os eventos A e B aconteceram ao mesmo tempo.
O produto dos eventos A e B é o evento C, que consiste no fato de que tanto o evento A quanto o evento B aconteceram.
Os eventos A e B são considerados incompatíveis se não podem ocorrer ao mesmo tempo.
Um evento A é dito impossível se não pode acontecer. Tal evento é indicado pelo símbolo .
Um evento A é dito certo se ele irá ocorrer definitivamente. Tal evento é indicado pelo símbolo .
Atribua a cada evento A um número P(A). Esse número P(A) é chamado de probabilidade do evento A se as seguintes condições forem satisfeitas com tal correspondência.
Um caso particular importante é a situação em que há resultados elementares igualmente prováveis e arbitrários desses resultados dos eventos A. Nesse caso, a probabilidade pode ser introduzida pela fórmula . A probabilidade introduzida desta forma é chamada de probabilidade clássica. Pode-se provar que as propriedades 1-4 são válidas neste caso.
Problemas na teoria da probabilidade, que são encontrados no exame de matemática, estão relacionados principalmente à probabilidade clássica. Tais tarefas podem ser muito simples. Particularmente simples são os problemas da teoria das probabilidades em versões de demonstração. É fácil calcular o número de resultados favoráveis, o número de todos os resultados é escrito diretamente na condição.
Obtemos a resposta de acordo com a fórmula.
Um exemplo de uma tarefa do exame em matemática para determinar a probabilidade
Há 20 tortas na mesa - 5 com repolho, 7 com maçã e 8 com arroz. Marina quer tomar uma torta. Qual é a probabilidade de que ela pegue o bolo de arroz?
Solução.
São 20 resultados elementares equiprováveis no total, ou seja, Marina pode levar qualquer uma das 20 tortas. Mas precisamos estimar a probabilidade de Marina levar o bolinho de arroz, ou seja, onde A é a escolha do bolinho de arroz. Isso significa que temos um total de 8 resultados favoráveis (escolhendo tortas de arroz), então a probabilidade será determinada pela fórmula:
Eventos Independentes, Opostos e Arbitrários
No entanto, tarefas mais complexas começaram a aparecer no banco aberto de tarefas. Portanto, chamemos a atenção do leitor para outras questões estudadas na teoria das probabilidades.
Os eventos A e B são chamados independentes se a probabilidade de cada um deles não depender da ocorrência do outro evento.
O evento B consiste no fato de que o evento A não ocorreu, ou seja, o evento B é oposto ao evento A. A probabilidade do evento oposto é igual a um menos a probabilidade do evento direto, ou seja. .
Teoremas de adição e multiplicação, fórmulas
Para eventos arbitrários A e B, a probabilidade da soma desses eventos é igual à soma de suas probabilidades sem a probabilidade de seu evento conjunto, ou seja, .
Para eventos independentes A e B, a probabilidade do produto desses eventos é igual ao produto de suas probabilidades, ou seja, nesse caso .
As duas últimas afirmações são chamadas de teoremas da adição e multiplicação de probabilidades.
Nem sempre contar o número de resultados é tão simples. Em alguns casos, é necessário usar fórmulas combinatórias. O mais importante é contar o número de eventos que satisfazem certas condições. Às vezes, esses cálculos podem se tornar tarefas independentes.
De quantas maneiras 6 alunos podem se sentar em 6 cadeiras vazias? O primeiro aluno ocupará qualquer um dos 6 lugares. Cada uma destas opções corresponde a 5 formas de colocação do segundo aluno. Para o terceiro aluno há 4 vagas livres, para o quarto - 3, para o quinto - 2, o sexto ocupará o único lugar restante. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto, que é indicado pelo símbolo 6! e leia "seis fatorial".
No caso geral, a resposta a esta pergunta é dada pela fórmula do número de permutações de n elementos.No nosso caso, .
Considere agora outro caso com nossos alunos. De quantas maneiras 2 alunos podem se sentar em 6 lugares vazios? O primeiro aluno ocupará qualquer um dos 6 lugares. Cada uma destas opções corresponde a 5 formas de colocação do segundo aluno. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto.
No caso geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de colocações de n elementos por k elementos
No nosso caso .
E o último desta série. Quantas maneiras existem de escolher 3 alunos entre 6? O primeiro aluno pode ser escolhido de 6 maneiras, o segundo de 5 maneiras e o terceiro de 4 maneiras. Mas entre essas opções, os mesmos três alunos ocorrem 6 vezes. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa calcular o valor: . No caso geral, a resposta a esta pergunta é dada pela fórmula do número de combinações de elementos por elementos:
No nosso caso .
Exemplos de resolução de problemas do exame em matemática para determinar a probabilidade
Tarefa 1. Da coleção, ed. Yashchenko.
São 30 tortas no prato: 3 com carne, 18 com repolho e 9 com cerejas. Sasha escolhe aleatoriamente uma torta. Encontre a probabilidade de que ele acabe com uma cereja.
.
Resposta: 0,3.
Problema 2. Da coleção, ed. Yashchenko.
Em cada lote de 1000 lâmpadas, uma média de 20 defeituosas. Encontre a probabilidade de que uma lâmpada escolhida aleatoriamente de um lote seja boa.
Solução: O número de lâmpadas que podem ser reparadas é 1000-20=980. Então, a probabilidade de que uma lâmpada retirada ao acaso do lote seja útil é:
Resposta: 0,98.
A probabilidade de que o aluno U. resolva corretamente mais de 9 problemas em um teste de matemática é 0,67. A probabilidade de que U. resolva corretamente mais de 8 problemas é 0,73. Encontre a probabilidade de que U. resolva corretamente exatamente 9 problemas.
Se imaginarmos uma reta numérica e nela marcarmos os pontos 8 e 9, veremos que a condição "U. resolva corretamente exatamente 9 problemas” está incluído na condição “U. resolver corretamente mais de 8 problemas", mas não se aplica à condição "W. resolver corretamente mais de 9 problemas.
No entanto, a condição "U. resolver corretamente mais de 9 problemas" está contido na condição "U. resolver corretamente mais de 8 problemas. Assim, se designarmos eventos: “W. resolva corretamente exatamente 9 problemas" - através de A, "U. resolver corretamente mais de 8 problemas" - através de B, "U. resolva corretamente mais de 9 problemas ”através de C. Então a solução ficará assim:
Resposta: 0,06.
No exame de geometria, o aluno responde a uma pergunta da lista de perguntas do exame. A probabilidade de que esta seja uma questão de trigonometria é 0,2. A probabilidade de que esta seja uma pergunta de cantos externos é de 0,15. Não há perguntas relacionadas a esses dois tópicos ao mesmo tempo. Encontre a probabilidade de o aluno obter uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame.
Vamos pensar nos eventos que temos. Recebemos dois eventos incompatíveis. Ou seja, ou a questão estará relacionada ao tópico "Trigonometria", ou ao tópico "Ângulos externos". De acordo com o teorema da probabilidade, a probabilidade de eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades de cada evento, devemos encontrar a soma das probabilidades desses eventos, ou seja:
Resposta: 0,35.
A sala é iluminada por uma lanterna com três lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é de 0,29. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime dentro de um ano.
Vamos considerar possíveis eventos. Temos três lâmpadas, cada uma das quais pode ou não queimar independentemente de qualquer outra lâmpada. São eventos independentes.
Em seguida, indicaremos as variantes de tais eventos. Aceitamos a notação: - a lâmpada está acesa, - a lâmpada está queimada. E imediatamente a seguir calculamos a probabilidade de um evento. Por exemplo, a probabilidade de um evento em que ocorreram três eventos independentes “a lâmpada queimou”, “a lâmpada está acesa”, “a lâmpada está acesa”: .
Observe que existem apenas 7 eventos incompatíveis favoráveis a nós.A probabilidade de tais eventos é igual à soma das probabilidades de cada um dos eventos: .
Resposta: 0,975608.
Você pode ver outro problema na imagem:
Assim, você e eu entendemos o que é a teoria da probabilidade, fórmulas e exemplos de resolução de problemas para os quais você pode encontrar na versão do exame.
UMK qualquer
Teoria da probabilidade
no OGE e no Exame Estadual Unificado
Território de Altai
Tarefas
na probabilidade
com um dado
(dados)
1. Determine a probabilidade de que um número ímpar de pontos saia quando um dado (dado) é lançado.
A solução do problema:
Número ímpar - 3 (1; 3; 5)
Resposta: P=0,5
2. Determine a probabilidade de que quando um dado (dado) é lançado, menos de 4 pontos caiam.
A solução do problema:
Total de eventos - 6 (6 números de 1 a 6 podem cair)
Menos de 4 pontos - 3 (1; 2; 3)
Resposta: P=0,5
3 . Determine a probabilidade de que mais de 3 pontos caiam quando um dado (dado) é lançado.
A solução do problema:
Total de eventos - 6 (6 números de 1 a 6 podem cair)
Mais de 3 pontos - 3 (4; 5; 6)
Resposta: P=0,5
quatro. Determine a probabilidade de que, quando um dado (dado) é lançado, mais de 2 pontos caiam. Arredonde sua resposta para décimos.
A solução do problema:
Total de eventos - 6 (6 números de 1 a 6 podem cair)
Mais de 2 pontos - 2 (3; 4; 5; 6)
P = 4:6 = 0,66…
Resposta: P=0,7
5. Um dado é lançado duas vezes. Encontre a probabilidade de que a soma dos dois números sorteados seja ímpar.
A solução do problema:
O valor será ímpar quando: 1) aparecer pela primeira vez ímpar número, e no segundo até. 2) pela primeira vez - até, e pela segunda vez ímpar .
1) 3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número ímpar no primeiro lançamento.
3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número par na segunda jogada.
0,5 0,5 \u003d 0,25 - porque esses dois eventos devem ocorrer juntos. 2) 3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número par no primeiro lançamento.
3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número ímpar na segunda jogada.
0,5 0,5 \u003d 0,25 - porque esses dois eventos devem ocorrer juntos.
3) 0,25 + 0,25 = 0,5
Resposta: P=0,5
6. Um dado é lançado duas vezes. Encontre a probabilidade de que o maior dos dois números sorteados seja 5. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.
A solução do problema:
1) O primeiro rolo vai rolar 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 e o segundo rolo vai rolar 5 2) O primeiro rolo vai rolar 5 e o segundo rolo vai rolar 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5
- 5: 6 \u003d 5/6 - a probabilidade de 1 cair; 2; 3; quatro; 5
5/6 1/6 = 5/36 - a probabilidade de que ambos os eventos ocorram
- 1:6 = 1/6 - probabilidade de um 5
5: 6 = 5/6 - probabilidade de 1; 2; 3; quatro; 5
1/6 5/6 \u003d 5/36 - a probabilidade de que ambos os eventos ocorram
- 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…
Responda: 0,3
7. Um dado é lançado duas vezes. Encontre a probabilidade de que um número maior que 3 seja lançado pelo menos uma vez.
A solução do problema:
1) O primeiro rolo vai rolar 1, ou 2, ou 3, e o segundo rolo vai rolar 4; ou 5 ou 6 2) No primeiro lançamento, um 4 será lançado; ou 5 ou 6, e no segundo lançamento sairá 1 ou 2 ou 3. 3) No primeiro lançamento sairá 4; ou 5 ou 6, e na segunda jogada um 4 ou 5 ou 6 sairá.
2) 3: 6 = 0,5 - probabilidade de 4; 5; 6
3: 6 \u003d 0,5 - probabilidade de cair 1; 2; 3
0,5 0,5 \u003d 0,25 - a probabilidade de que ambos os eventos ocorram
3) 3: 6 = 0,5 - probabilidade de 4; 5; 6
3: 6 \u003d 0,5 - probabilidade de cair 4; 5; 6
0,5 0,5 \u003d 0,25 - a probabilidade de que ambos os eventos ocorram
4) 0,25+ 0,25 + 0,25 = 0,75 Resposta: 0,75
Tarefas
na probabilidade
com moedas
8. Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada duas vezes. Encontre a probabilidade de sair cara exatamente 1 vez .
A solução do problema: Vamos encontrar o número de resultados possíveis, passar por todas as opções de lançamentos. Vamos fazer uma tabela e mostrar todas as opções:
2: 4 \u003d 0,5 - a probabilidade de cair cara no lance.
2) Resposta: 0,5
9. Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de sair cara exatamente Três vezes .
A solução do problema:
1 arremesso
2 arremesso
3 arremesso
1:8 = 0,125 é a probabilidade de que o lançamento dê cara.
Resposta: 0,125
10. Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de sair cara exatamente 2 vezes .
A solução do problema:
1 arremesso
2 arremesso
3 arremesso
3: 8 \u003d 0,375 - a probabilidade de que a cara caia no lance.
Resposta: 0,375
onze . Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de nunca sair cara.
A solução do problema:
1 arremesso
2 arremesso
3 arremesso
1:8 = 0,125 - a probabilidade de que o lançamento dê cara.
Resposta: 0,125
Tarefas
na probabilidade
(vários)
12. Sabe-se que em alguma região a probabilidade de que o bebê nascido seja menino é de 0,512. Em 2010, havia uma média de 477 meninas por 1.000 bebês nascidos nesta região. Quão diferente é a frequência de ter uma menina em 2010 nesta região da probabilidade deste evento?
A solução do problema:
- 1 - 0,512 = 0,488 –
2) 477: 1000 = 0,477 - a probabilidade de ter meninas em 2010
3) 0,488 - 0,477=0,011
Responda: 0,011
13. Sabe-se que em alguma região a probabilidade de que o bebê nascido seja menino é de 0,486. Em 2011, havia uma média de 522 meninas por 1.000 bebês nascidos nesta região. Como a frequência de ter uma menina em 2011 nesta região difere da probabilidade deste evento?
A solução do problema:
- 1 - 0,486 = 0,514 – a probabilidade de ter meninas na região
2) 522: 1000 = 0,522 - a probabilidade de ter meninas em 2011
3) 0,522 - 0,514 = 0,008
Responda: 0,008
14. Stas escolhe um número de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 48.
A solução do problema:
- 999 - 99 = 900 – apenas três algarismos
2) 999: 48 = 20,8125 - ou seja Total 20 os numeros sao divisiveis por 48
- Destes, dois números são de dois dígitos - isso é 48 e 96, então 20 - 2 = 18
4) 18: 900 = 0,02
Responda: 0,02
quinze . Andrew escolhe um número aleatório de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 33.
A solução do problema:
- 999 - 99 = 900 – apenas três algarismos
2) 999: 33 = 30,29… - ou seja Total 30 os numeros sao divisiveis por 33
- Destes, três números são de dois dígitos - este é 33, 66, 99 então 30 - 3 = 27
4) 27: 900 = 0,03
Responda: 0,03
16 . A cada quatro latas de café, de acordo com os termos da promoção, há um prêmio. Os prêmios são distribuídos aleatoriamente entre os bancos. Alya compra uma lata de café na esperança de ganhar um prêmio. Encontre a probabilidade de que Alya não encontre o prêmio em seu banco.
A solução do problema:
1) 1: 4 = 0,25 - a probabilidade de ganhar um prêmio.
2) 1 - 0,25 = 0,75 - a probabilidade de não receber um prêmio
Resposta: 0,75
17. No exame de geometria, o aluno recebe uma questão da lista de questões do exame. A probabilidade de que esta seja uma pergunta de cantos externos é de 0,35. A probabilidade de que esta seja uma pergunta do círculo inscrito é 0,2. Não há perguntas relacionadas a esses dois tópicos ao mesmo tempo. Encontre a probabilidade de o aluno obter uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame.
Solução:
A probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos: 0,35 + 0,2 = 0,52
Resposta: 0,52
18. Um biatleta atira cinco vezes nos alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é 0,8. Encontre a probabilidade de o biatleta acertar os alvos nas três primeiras vezes e errar as duas últimas. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo.
Solução:
probabilidade de acerto - 0,8
probabilidade de falha - 0,2
Os eventos miss e hit são independentes, então
19. Existem duas máquinas de pagamento na loja. Cada um deles pode ser defeituoso com uma probabilidade de 0,12, independentemente do outro autômato. Encontre a probabilidade de que pelo menos um autômato seja útil.
Solução:
Encontre a probabilidade de que ambos os autômatos sejam defeituosos.
Esses eventos são independentes, ou seja, 0,12² = 0,0144
O evento em que pelo menos um dos
autômato é o oposto, então 1 - 0,0144 = 0,9856
Resposta: 0,9856
20. Em Shopping duas máquinas de venda automática idênticas vendem café. A probabilidade de que a máquina fique sem café até o final do dia é 0,3. A probabilidade de que ambas as máquinas fiquem sem café é 0,16. Encontre a probabilidade de que no final do dia ainda haja café em ambas as máquinas de venda automática.
Solução:
Considere os eventos:
A - o café terminará na primeira máquina
B - o café terminará na segunda máquina
A B – o café terminará em ambas as máquinas de venda automática
A + B - o café terminará em pelo menos uma máquina
Assim, a probabilidade do evento oposto (o café permanecerá em ambas as máquinas) é igual a
Resposta: 0,56
21. Duas fábricas produzem o mesmo vidro para faróis de automóveis. A primeira fábrica produz 45% desses vidros, a segunda - 55%. A primeira fábrica produz 3% de óculos defeituosos e a segunda - 1%. Encontre a probabilidade de que um copo comprado acidentalmente em uma loja seja defeituoso.
Solução:
A probabilidade de que o vidro comprado na primeira fábrica seja defeituoso: 0,45 0,03 = 0,0135
Probabilidade do vidro adquirido na segunda fábrica estar com defeito: 0,55 0,01 = 0,0055
Isso significa que a probabilidade total de que o vidro comprado acidentalmente em uma loja seja defeituoso: 0,0135 + 0,0055 = 0,019
Resposta: 0,019
Fontes
Tarefas banco aberto tarefas em matemática FIPI, 2014-2015 http://www.fipi.ru/
Moeda - https :// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg
Dados - http ://clipstock.ucoz.ru/_ ph/21/365284339.jpg
http ://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/% D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675
OGE 2016 - http :// www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg
Descrição da apresentação em slides individuais:
1 slide
Descrição do slide:
Tarefas-chave na teoria das probabilidades Preparação para o OGE No. 9 MBOU "Ginásio No. 4 em homenagem. COMO. Pushkin” Compilado por: Sofina N.Yu.
2 slides
Descrição do slide:
Requisitos básicos verificáveis para treinamento matemático No. 9 OGE em matemática Resolver tarefas práticas, exigindo uma enumeração sistemática de opções; comparar as chances de ocorrência de eventos aleatórios, avaliar as probabilidades de um evento aleatório, comparar e explorar modelos de uma situação real usando o aparato de probabilidade e estatística. No. 9 - tarefa básica. A pontuação máxima para completar a tarefa é 1.
3 slides
Descrição do slide:
A probabilidade de um evento A é a razão entre o número m de resultados favoráveis a esse evento e o número total n de todos os eventos incompatíveis igualmente possíveis que podem ocorrer como resultado de uma tentativa ou observação. A definição clássica de probabilidade Lembre-se da fórmula para calcular a probabilidade clássica de um evento aleatório Р = n m
4 slides
Descrição do slide:
Definição Clássica de Probabilidade Exemplo: Um PTA comprou 40 livros para colorir para dar às crianças no final do ano letivo. Destes, 14 são baseados nos contos de fadas de A.S. Pushkin e 26 anos baseado nos contos de fadas de G.Kh. Andersen. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Nastya ganhar um livro de colorir baseado nos contos de fadas de A.S. Pushkin. Solução: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Resposta: 0,35.
5 slides
Descrição do slide:
Exemplo: Havia 60 questões para o exame. Ivan não aprendeu 3 deles. Encontre a probabilidade de ele se deparar com a questão aprendida. Solução: Aqui n=60. Ivan não aprendeu 3, então aprendeu todo o resto, ou seja, m=60-3=57. P=57/60=0,95. Definição clássica de probabilidade Resposta: 0,95.
6 slides
Descrição do slide:
“A ordem é determinada por sorteio” Exemplo: 20 atletas participam do campeonato de ginástica: 8 da Rússia, 7 dos EUA, o restante da China. A ordem em que os ginastas executam é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de que o quinto atleta seja da China. Solução: Na condição do problema há uma palavra “mágica” “lote”, o que significa que esquecemos a ordem de falar. Assim, m= 20-8-7=5 (da China); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Resposta: 0,25.
7 slides
Descrição do slide:
Exemplo: Uma conferência científica é realizada em 5 dias. Total planejado 75 relatórios - o primeiro 3 dias para 17 relatórios, os restantes são distribuídos igualmente entre o 4º e o 5º dias. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de que o relatório do professor Ivanov seja agendado para o último dia da conferência? Solução: Vamos colocar os dados na tabela. Temos que m=12; n=75. P=12/75=0,16. Resposta: 0,16. “Ordem determinada por sorteio” Dia I II III IV V Total de apresentações 17 17 17 12 12 75
8 slides
Descrição do slide:
Frequência do evento Da mesma forma que a probabilidade, encontra-se a frequência do evento, cujas tarefas também estão nos protótipos. Qual é a diferença? A probabilidade é um valor previsível e a frequência é uma declaração de fato. Exemplo: A probabilidade de um novo tablet ser consertado em um ano é 0,045. Em uma determinada cidade, de 1.000 tablets vendidos durante o ano, 51 peças chegaram à oficina de garantia. Quão diferente é a frequência do evento de “reparo em garantia” de sua probabilidade nesta cidade? Solução: Encontre a frequência do evento: 51/1000=0,051. E a probabilidade é de 0,045 (de acordo com a condição), o que significa que nesta cidade o evento de “reparo em garantia” ocorre com mais frequência do que o esperado. Vamos encontrar a diferença ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Ao mesmo tempo, devemos levar em conta que o sinal da diferença NÃO é importante para nós, mas apenas seu valor absoluto. Resposta: 0,006.
9 slide
Descrição do slide:
Problemas com enumeração de opções ("moedas", "jogos") Seja k o número de lançamentos de moedas, então o número de resultados possíveis: n = 2k. Exemplo: Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada duas vezes. Encontre a probabilidade de sair cara exatamente uma vez. Solução: Opções de lançamento de moedas: OO; OU; RR; RO. Assim, n=4. Resultados favoráveis: RR e RR. Ou seja, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Resposta: 0,5.
10 slides
Descrição do slide:
Exemplo: Antes do início de uma partida de futebol, o árbitro lança uma moeda para determinar qual time terá a bola primeiro. A equipe "Mercúrio" joga por sua vez com as equipes "Marte", "Júpiter", "Urano". Encontre a probabilidade de que em todas as partidas o direito de posse da bola seja conquistado pela equipe "Mercúrio"? Problemas com a enumeração de opções ("moedas", "partidas") Solução: Vamos designar o direito de posse da primeira bola da equipe "Mercúrio" na partida com uma das outras três equipes como "Coroa". Então o direito de posse da segunda bola desta equipe é “Águia”. Então, vamos anotar todos os resultados possíveis de jogar uma moeda três vezes. "O" - cara, "R" - coroa. ; isto é, n=8; m=1. P=1/8=0,125. Resposta: 0,125 n = 23 "Marte" "Júpiter" "Urano"
11 slide
Descrição do slide:
Problemas sobre "dados" (dados) Seja k o número de lançamentos dos dados, então o número de resultados possíveis: n = 6k. Exemplo: Dasha rola um dado duas vezes. Encontre a probabilidade de que o total dela tenha dado 8. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo. Resposta: 0,14. Solução: A soma dos dois dados deve ser 8 pontos. Isso é possível se houver as seguintes combinações: 2 e 6 6 e 2 3 e 5 5 e 3 4 e 4 m= 5 (5 combinações adequadas) n=36 P= 5/36 = 0,13(8)
12 slides
Descrição do slide:
Eventos independentes e a lei da multiplicação A probabilidade de encontrar tanto o 1º como o 2º e o n-ésimo evento é determinada pela fórmula: P = P1 * P2 * ... * Pn Exemplo: Um biatleta atira cinco vezes nos alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é 0,8. Encontre a probabilidade de o biatleta acertar os alvos nas três primeiras vezes e errar as duas últimas. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo. Resposta: 0,02. Solução: O resultado de cada próximo disparo não depende dos anteriores. Portanto, os eventos “bater no primeiro tiro”, “bater no segundo tiro”, etc. independente. A probabilidade de cada acerto é 0,8. Portanto, a probabilidade de um erro é 1 - 0,8 = 0,2. 1 tiro: 0,8 2 tiro: 0,8 3 tiro: 0,8 4 tiro: 0,2 5 tiro: 0,2 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
13 slide
Descrição do slide:
Combinações de leis "e" e leis "ou" Exemplo: Um escritório compra artigos de papelaria para funcionários de 3 empresas diferentes. Além disso, os produtos da 1ª empresa representam 40% de todas as entregas, e o restante da 2ª empresa é dividido igualmente. Descobriu-se que 2% das canetas da 2ª empresa estão com defeito. A porcentagem de casamento na 1ª e 3ª firmas, respectivamente, é de 1% e 3%. O funcionário A pegou uma caneta de uma nova entrega. Encontre a probabilidade de que ela esteja correta. Solução: Os produtos da 2ª e 3ª firmas são (100%-40%):2=30% dos suprimentos. P (casamento) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (canetas reparáveis) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Resposta: 0,981.
