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NO Shopping duas máquinas de venda automática idênticas vendem café. As máquinas de venda automática são atendidas à noite, após o fechamento do centro. Sabe-se que a probabilidade do evento “À noite a primeira máquina ficará sem café” é de 0,25. A mesma probabilidade do evento "À noite, a segunda máquina ficará sem café". A probabilidade de ambas as máquinas de venda automática ficarem sem café à noite é de 0,15. Encontre a probabilidade de que até a noite do dia ainda haja café em ambas as máquinas de venda automática.

Decisão.

Considere eventos

A = o café acaba na primeira máquina,

B = o café terminará na segunda máquina.

A B = o café acaba nas duas máquinas,

A + B = pelo menos uma máquina ficará sem café.

Pela condição P(A) = P(B) = 0,25; P(AB) = 0,15.

Os eventos A e B são conjuntos, a probabilidade da soma de dois eventos conjuntos é igual à soma das probabilidades desses eventos, reduzida pela probabilidade de seu produto:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Portanto, a probabilidade do evento oposto, que o café permaneça nas duas máquinas, é igual a 1 − 0,35 = 0,65.

Resposta: 0,65.

Vamos dar outra solução.

A probabilidade de que o café permaneça na primeira máquina é 1 − 0,25 = 0,75. A probabilidade de que o café permaneça na segunda máquina é 1 − 0,25 = 0,75. A probabilidade de que o café permaneça na primeira ou na segunda máquina de venda automática é 1 − 0,15 = 0,85. Como P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), temos: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, de onde a probabilidade desejada X = 0,65.

Observação.

Observe que os eventos A e B não são independentes. De fato, a probabilidade do produto de eventos independentes seria igual ao produto das probabilidades desses eventos: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, porém, por condição, essa probabilidade é igual a 0,15.

Elena Alexandrovna Popova 10.10.2018 09:57

Eu, Professor Associado, Candidato a Ciências Pedagógicas, considero COMPLETA ESTUPIDEZ E ESTUPIDEZ INCLUIR TAREFAS PARA EVENTOS DEPENDENTES PARA ESCOLARES. Professores NÃO CONHECEM esta seção - Fui convidado para dar palestras na TV em cursos de formação de professores. Esta seção não está e não pode estar no programa. NÃO é necessário inventar métodos sem justificativa. TAREFAS deste tipo são simplesmente excluídas. Limitamo-nos à DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADES. Sim, estude primeiro livros escolares- veja o que os autores escreveram sobre isso. Olhe para Zubarev 5ª série. Ela nem conhece os símbolos e dá a probabilidade em porcentagem. Depois de aprender com esses livros, os alunos ainda acreditam que a probabilidade é uma porcentagem. Muitos tarefas interessantesà definição clássica de probabilidade. Eles devem ser solicitados aos alunos. Não há limite para a indignação dos professores universitários por seus disparates sobre a introdução deste tipo de tarefas.

A teoria da probabilidade no exame de matemática pode ser apresentada tanto na forma de tarefas simples para a definição clássica de probabilidade, quanto na forma de tarefas bastante complexas, para a aplicação dos teoremas correspondentes.

Nesta parte, consideramos problemas para os quais é suficiente usar a definição de probabilidade. Às vezes, aqui também aplicaremos uma fórmula para calcular a probabilidade do evento oposto. Embora esta fórmula possa ser dispensada aqui, ela ainda será necessária para resolver os seguintes problemas.

Parte teórica

Um evento aleatório é um evento que pode ou não ocorrer (é impossível prever com antecedência) durante uma observação ou teste.

Deixe durante o teste (lançar uma moeda ou um dado, puxar cartão de exame etc.) resultados igualmente possíveis são possíveis. Por exemplo, ao lançar uma moeda, o número de todos os resultados é 2, pois não pode haver outros resultados, exceto a perda de “coroa” ou “águias”. Ao lançar um dado, são possíveis 6 resultados, pois qualquer um dos números de 1 a 6 pode aparecer na face superior do dado. Deixe também que algum evento A seja favorecido pelos resultados.

A probabilidade de um evento A é a razão entre o número de resultados favoráveis ​​para esse evento e o número total de resultados igualmente possíveis (esta é a definição clássica de probabilidade). Nós escrevemos

Por exemplo, deixe o evento A consistir em obter um número ímpar de pontos em um lançamento de um dado. No total, 6 resultados são possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 na face superior do dado. Ao mesmo tempo, resultados com 1, 3, 5 caindo são favoráveis ​​para o evento A. Assim, .

Observe que a dupla desigualdade sempre vale, então a probabilidade de qualquer evento A está no intervalo, isto é . Se sua resposta tiver uma probabilidade maior que um, você cometeu um erro em algum lugar e precisa verificar novamente a solução.

Os eventos A e B são chamados oposto entre si se algum resultado for favorável para exatamente um deles.

Por exemplo, ao lançar um dado, o evento "tirou um número ímpar" é o oposto do evento "tirou um número par".

O evento oposto ao evento A é denotado. Da definição de eventos opostos segue
, meios,
.

Problemas ao selecionar objetos de um conjunto

Tarefa 1. 24 equipes participam do Campeonato Mundial. Por sorteio, eles devem ser divididos em quatro grupos de seis equipes cada. Na caixa estão cartões mistos com números de grupo:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Os capitães de equipe compram uma carta cada. Qual é a probabilidade de a equipe russa estar no terceiro grupo?

O número total de resultados é igual ao número de cartões - são 24. Existem 6 resultados favoráveis ​​(já que o número 3 está escrito em seis cartões). A probabilidade desejada é igual a .

Resposta: 0,25.

Tarefa 2. Uma urna contém 14 bolas vermelhas, 9 amarelas e 7 verdes. Uma bola é retirada ao acaso da urna. Qual é a probabilidade de que essa bola seja amarela?

O número total de resultados é igual ao número de bolas: 14 + 9 + 7 = 30. O número de resultados favoráveis ​​a este evento é 9. A probabilidade desejada é igual a .

Tarefa 3. Há 10 números no teclado do telefone, de 0 a 9. Qual é a probabilidade de que um número pressionado aleatoriamente seja par e maior que 5?

O resultado aqui é pressionar uma determinada tecla, então há 10 resultados igualmente possíveis no total. O evento indicado é favorecido pelos resultados, o que significa pressionar a tecla 6 ou 8. Existem dois desses resultados. A probabilidade necessária é .

Resposta: 0,2.

Tarefa 4. Qual é a probabilidade de que um número natural escolhido aleatoriamente de 4 a 23 seja divisível por 3?

No segmento de 4 a 23 existem 23 - 4 + 1 = 20 números naturais, então existem 20 resultados possíveis. Neste segmento, os seguintes números são múltiplos de três: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Existem 6 desses números no total, então 6 resultados favorecem o evento em questão. A probabilidade desejada é igual a .

Resposta: 0,3.

Tarefa 5. Dos 20 bilhetes oferecidos no exame, o aluno consegue responder apenas 17. Qual é a probabilidade de o aluno não conseguir responder ao bilhete escolhido ao acaso?

1ª via.

Como o aluno pode responder 17 tickets, ele não pode responder 3 tickets. A probabilidade de obter um desses bilhetes é, por definição, .

2ª via.

Denote por A o evento "o aluno pode responder ao bilhete". Então . A probabilidade do evento oposto é =1 - 0,85 = 0,15.

Resposta: 0,15.

Tarefa 6. No campeonato ginástica rítmica Participam 20 atletas: 6 da Rússia, 5 da Alemanha, o restante da França. A ordem em que os ginastas executam é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de que o sétimo atleta seja da França.

São 20 atletas no total, todos com chances iguais de chegar ao sétimo lugar. Portanto, existem 20 resultados igualmente prováveis. Da França 20 - 6 - 5 = 9 atletas, portanto há 9 resultados favoráveis ​​para este evento. A probabilidade necessária é .

Resposta: 0,45.

Tarefa 7. A conferência científica é realizada em 5 dias. Estão previstos um total de 50 relatórios - os três primeiros dias, 12 relatórios cada, os restantes são distribuídos igualmente entre o quarto e o quinto dia. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de que o relatório do Professor N. seja agendado para o último dia da conferência?

Primeiro, vamos descobrir quantos relatórios estão programados para o último dia. Os relatórios estão programados para os três primeiros dias. Ainda há 50 - 36 = 14 relatórios que são distribuídos igualmente entre os dois dias restantes, portanto, os relatórios são agendados para o último dia.

Consideraremos como resultado o número de série do relatório do Professor N. Existem 50 resultados igualmente possíveis e 7 resultados que favorecem o evento indicado (os 7 últimos números da lista de relatórios). A probabilidade necessária é .

Resposta: 0,14.

Tarefa 8. Há 10 lugares a bordo da aeronave junto às saídas de emergência e 15 lugares atrás das divisórias que separam as cabines. O resto dos assentos são inconvenientes para os passageiros alto. O passageiro K. é alto. Encontre a probabilidade de que no momento do registro seleção aleatória o passageiro K. terá um assento confortável se houver 200 assentos no avião.

O resultado neste problema é a escolha do local. No total, existem 200 resultados igualmente possíveis. Favorecer o evento "o local escolhido é conveniente" 15 + 10 = 25 resultados. A probabilidade necessária é .

Resposta: 0,125.

Tarefa 9. Dos 1000 moinhos de café montados na fábrica, 7 peças estão com defeito. O especialista verifica um moedor de café selecionado aleatoriamente dentre esses 1.000. Encontre a probabilidade de que o moedor de café que está sendo verificado esteja com defeito.

Ao escolher um moedor de café aleatoriamente, 1000 resultados são possíveis, o evento A "o moedor de café selecionado está com defeito" é favorável para 7 resultados. Por definição de probabilidade.

Resposta: 0,007.

Tarefa 10. A fábrica produz refrigeradores. Em média, para cada 100 refrigeradores de alta qualidade, existem 15 refrigeradores com defeitos ocultos. Encontre a probabilidade de que a geladeira comprada seja de alta qualidade. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo.

Esta tarefa é semelhante à anterior. No entanto, a frase “para cada 100 refrigeradores de qualidade, há 15 com defeitos” nos diz que 15 peças defeituosas não estão incluídas na qualidade 100. Portanto, o número total de resultados é 100 + 15 = 115 (igual ao número total de geladeiras), os resultados favoráveis ​​são 100. A probabilidade necessária é . Para calcular o valor aproximado de uma fração, é conveniente usar a divisão por um canto. Obtemos 0,869... que é 0,87.

Resposta: 0,87.

Tarefa 11. Antes do início da primeira rodada do campeonato de tênis, os participantes são divididos aleatoriamente em pares de jogos por sorteio. No total, 16 tenistas participam do campeonato, incluindo 7 participantes da Rússia, incluindo Maxim Zaitsev. Encontre a probabilidade de que na primeira rodada Maxim Zaitsev jogue com qualquer tenista da Rússia.

Como na tarefa anterior, você precisa ler cuidadosamente a condição e entender qual é o resultado e qual é o resultado favorável (por exemplo, a aplicação impensada da fórmula de probabilidade leva à resposta errada).

Aqui o resultado é o rival de Maxim Zaitsev. Como há 16 jogadores de tênis no total, e Maxim não pode jogar sozinho, há 16 - 1 = 15 resultados igualmente prováveis. Um resultado favorável é um rival da Rússia. Existem 7 resultados favoráveis ​​- 1 = 6 (excluímos o próprio Maxim entre os russos). A probabilidade necessária é .

Resposta: 0,4.

Tarefa 12. A seção de futebol é frequentada por 33 pessoas, entre elas dois irmãos - Anton e Dmitry. Os participantes da seção são divididos aleatoriamente em três equipes de 11 pessoas cada. Encontre a probabilidade de Anton e Dmitry estarem no mesmo time.

Vamos formar equipes colocando sequencialmente os jogadores em lugares vazios, começando com Anton e Dmitry. Primeiro, vamos colocar Anton em um lugar selecionado aleatoriamente de 33 lugares livres.Agora colocamos Dmitry em um lugar vazio (vamos considerar a escolha de um lugar para ele como resultado). Existem 32 vagas gratuitas no total (uma já foi ocupada por Anton), então há 32 resultados possíveis no total. Restam 10 lugares livres na mesma equipe com Anton, então o evento "Anton e Dmitry na mesma equipe" é favorecido por 10 resultados. A probabilidade deste evento é .

Resposta: 0,3125.

Tarefa 13. Relógios mecânicos com um mostrador de doze horas em algum momento quebrou e parou de andar. Encontre a probabilidade de que o ponteiro das horas esteja congelado quando atinge 11, mas não atinge 2 horas.

Convencionalmente, o mostrador pode ser dividido em 12 setores localizados entre as marcas dos números vizinhos (entre 12 e 1, 1 e 2, 2 e 3, ..., 11 e 12). Consideraremos a parada do ponteiro das horas em um dos setores indicados como resultado. No total, existem 12 resultados igualmente possíveis. Este evento é favorecido por três resultados (setores entre 11 e 12, 12 e 1, 1 e 2). A probabilidade desejada é igual a .

Resposta: 0,25.

Resumir

Depois de estudar o material sobre resolução de problemas simples em teoria das probabilidades, recomendo concluir tarefas para uma solução independente, que publicamos em nosso canal no Telegram. Você também pode verificar a exatidão de sua implementação inserindo seu respostas no formulário proposto.

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Fonte “Preparação para o exame. Matemática. Teoria das Probabilidades”. Editado por F. F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov

Trazido para a data em jarra aberta USE problemas em matemática (mathege.ru), cuja solução é baseada em apenas uma fórmula, que é a definição clássica de probabilidade.

A maneira mais fácil de entender a fórmula é com exemplos.
Exemplo 1 Há 9 bolas vermelhas e 3 azuis na cesta. As bolas diferem apenas na cor. Ao acaso (sem olhar) obtemos um deles. Qual é a probabilidade de que a bola escolhida dessa maneira seja azul?

Comente. Em problemas de probabilidade, algo acontece (neste caso, nossa ação de puxar a bola) que pode ter resultado diferente- resultado. Deve-se notar que o resultado pode ser visto de diferentes maneiras. "Nós tiramos uma bola" também é um resultado. "Tiramos a bola azul" é o resultado. "Nós tiramos essa bola particular de todas as bolas possíveis" - essa visão menos generalizada do resultado é chamada de resultado elementar. São os resultados elementares que se entendem na fórmula para calcular a probabilidade.

Decisão. Agora calculamos a probabilidade de escolher uma bola azul.
Evento A: "a bola escolhida acabou sendo azul"
Número total de todos os resultados possíveis: 9+3=12 (número de todas as bolas que conseguimos sortear)
Número de resultados favoráveis ​​para o evento A: 3 (o número desses resultados em que o evento A ocorreu - ou seja, o número de bolas azuis)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Resposta: 0,25

Vamos calcular para o mesmo problema a probabilidade de escolher uma bola vermelha.
O número total de resultados possíveis permanecerá o mesmo, 12. O número de resultados favoráveis: 9. A probabilidade desejada: 9/12=3/4=0,75

A probabilidade de qualquer evento está sempre entre 0 e 1.
Às vezes, na linguagem cotidiana (mas não na teoria das probabilidades!) A probabilidade dos eventos é estimada em porcentagem. A transição entre avaliação matemática e conversacional é feita multiplicando (ou dividindo) por 100%.
Então,
Nesse caso, a probabilidade é zero para eventos que não podem acontecer - improvável. Por exemplo, em nosso exemplo, essa seria a probabilidade de tirar uma bola verde da cesta. (O número de resultados favoráveis ​​é 0, P(A)=0/12=0 se contados de acordo com a fórmula)
A probabilidade 1 tem eventos que vão acontecer com certeza, sem opções. Por exemplo, a probabilidade de que "a bola escolhida seja vermelha ou azul" é para o nosso problema. (Número de resultados favoráveis: 12, P(A)=12/12=1)

Vimos um exemplo clássico que ilustra a definição de probabilidade. Todos os problemas de USE semelhantes na teoria das probabilidades são resolvidos usando esta fórmula.
Em vez de bolas vermelhas e azuis, pode haver maçãs e peras, meninos e meninas, bilhetes aprendidos e não aprendidos, bilhetes contendo e não contendo uma pergunta sobre um determinado tópico (protótipos , ), sacos defeituosos e de alta qualidade ou bombas de jardim (protótipos , ) - o princípio permanece o mesmo.

Eles diferem um pouco na formulação do problema da teoria da probabilidade USE, onde você precisa calcular a probabilidade de um evento ocorrer em um determinado dia. ( , ) Como nas tarefas anteriores, você precisa determinar o que é um resultado elementar e, em seguida, aplicar a mesma fórmula.

Exemplo 2 A conferência dura três dias. No primeiro e segundo dias, 15 falantes cada, no terceiro dia - 20. Qual é a probabilidade de que o relatório do professor M. caia no terceiro dia, se a ordem dos relatórios for determinada por sorteio?

Qual é o resultado elementar aqui? - Atribuir o relatório de um professor a um de todos os números de série possíveis para um discurso. 15+15+20=50 pessoas participam do sorteio. Assim, o relatório do professor M. pode receber um dos 50 números. Isso significa que existem apenas 50 resultados elementares.
Quais são os resultados favoráveis? - Aqueles em que acontece que o professor vai falar no terceiro dia. Ou seja, os últimos 20 números.
De acordo com a fórmula, a probabilidade P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Resposta: 0,4

O sorteio aqui é o estabelecimento de uma correspondência aleatória entre pessoas e lugares ordenados. No exemplo 2, a partida foi considerada em termos de qual dos lugares poderia ocupar pessoa especial. Você pode abordar a mesma situação do outro lado: qual das pessoas com qual probabilidade poderia chegar a um determinado local (protótipos , , , ):

Exemplo 3 5 alemães, 8 franceses e 3 estonianos participam do sorteio. Qual é a probabilidade de que o primeiro (/segundo/sétimo/último - não importa) seja um francês.

O número de resultados elementares é o número de todas as pessoas possíveis que poderiam chegar a um determinado lugar por sorteio. 5+8+3=16 pessoas.
Resultados favoráveis ​​- os franceses. 8 pessoas.
Probabilidade desejada: 8/16=1/2=0,5
Resposta: 0,5

O protótipo é um pouco diferente. Existem tarefas sobre moedas () e dados(), um pouco mais criativo. As soluções para esses problemas podem ser encontradas nas páginas de protótipos.

Aqui estão alguns exemplos de lançamento de moedas ou lançamento de dados.

Exemplo 4 Quando lançamos uma moeda, qual é a probabilidade de sair coroa?
Resultados 2 - cara ou coroa. (acredita-se que a moeda nunca cai na borda) Resultado favorável - coroa, 1.
Probabilidade 1/2=0,5
Resposta: 0,5.

Exemplo 5 E se jogarmos uma moeda duas vezes? Qual é a probabilidade de sair cara nas duas vezes?
O principal é determinar quais resultados elementares consideraremos ao lançar duas moedas. Depois de lançar duas moedas, um dos seguintes resultados pode ocorrer:
1) PP - nas duas vezes saiu coroa
2) PO - coroa na primeira vez, cara na segunda vez
3) OP - a primeira vez cara, a segunda vez coroa
4) OO - heads-up ambas as vezes
Não há outras opções. Isso significa que existem 4 resultados elementares. Apenas o primeiro é favorável, 1.
Probabilidade: 1/4=0,25
Resposta: 0,25

Qual é a probabilidade de que dois lançamentos de uma moeda dêem coroa?
O número de resultados elementares é o mesmo, 4. Os resultados favoráveis ​​são o segundo e o terceiro, 2.
Probabilidade de obter uma cauda: 2/4 = 0,5

Em tais problemas, outra fórmula pode ser útil.
Se com um lance de uma moeda opções temos 2 resultados, então para dois lançamentos os resultados serão 2 2=2 2 =4 (como no exemplo 5), para três lançamentos 2 2 2=2 3 =8, para quatro: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … para N lances existem 2·2·...·2=2 N resultados possíveis.

Assim, você pode encontrar a probabilidade de obter 5 coroas em 5 lançamentos de moedas.
O número total de resultados elementares: 2 5 =32.
Resultados favoráveis: 1. (RRRRRR - todas as 5 vezes caudas)
Probabilidade: 1/32=0,03125

O mesmo vale para os dados. Com um lance, há 6 resultados possíveis. Então, para dois lances: 6 6=36, para três 6 6 6=216, etc.

Exemplo 6 Jogamos um dado. Qual a probabilidade de obter um número par?

Total de resultados: 6, de acordo com o número de faces.
Favorável: 3 resultados. (2, 4, 6)
Probabilidade: 3/6=0,5

Exemplo 7 Jogue dois dados. Qual é a probabilidade de que o total saia 10? (arredondar para centésimos)

Existem 6 resultados possíveis para um dado. Assim, para dois, de acordo com a regra acima, 6,6=36.
Que resultados serão favoráveis ​​para um total de 10 cair?
10 deve ser decomposto na soma de dois números de 1 a 6. Isso pode ser feito de duas maneiras: 10=6+4 e 10=5+5. Assim, para cubos, as opções são possíveis:
(6 no primeiro e 4 no segundo)
(4 no primeiro e 6 no segundo)
(5 no primeiro e 5 no segundo)
No total, 3 opções. Probabilidade desejada: 3/36=1/12=0,08
Resposta: 0,08

Outros tipos de problemas B6 serão discutidos em um dos seguintes artigos "Como resolver".

Na fábrica de revestimentos cerâmicos, 5% dos revestimentos produzidos são defeituosos. Durante o controle de qualidade do produto, apenas 40% dos ladrilhos defeituosos são encontrados. As restantes peças são enviadas para venda. Encontre a probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente durante a compra não tenha defeitos. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

Decisão

Durante o controle de qualidade do produto, são detectados 40% dos ladrilhos defeituosos, que representam 5% dos ladrilhos produzidos, e não são colocados à venda. Isso significa que 0,4 5% = 2% das telhas produzidas não são colocadas à venda. O restante das telhas produzidas - 100% - 2% = 98% vai à venda.

Livre de defeitos 100% - 95% das telhas produzidas. A probabilidade de que a peça comprada não tenha defeito é de 95% : 98% = \frac(95)(98)\aprox 0,97

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Doença

A probabilidade de que a bateria não esteja carregada é 0,15. O cliente da loja compra um pacote aleatório que contém duas dessas baterias. Encontre a probabilidade de que ambas as baterias neste pacote estejam carregadas.

Decisão

A probabilidade de que a bateria esteja carregada é 1-0,15 = 0,85. Vamos encontrar a probabilidade do evento "ambas as baterias estão carregadas". Denote por A e B os eventos “o primeiro acumulador é carregado” e “o segundo acumulador é carregado”. Temos P(A) = P(B) = 0,85. O evento "ambas as baterias estão carregadas" é a interseção dos eventos A \ cap B, sua probabilidade é igual a P(A\capB) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Doença

A probabilidade de o novo máquina de lavar durante o ano irá para reparação de garantia, igual a 0,065. Numa determinada cidade, foram vendidas 1200 máquinas de lavar durante o ano, das quais 72 peças foram transferidas para a oficina de garantia. Determine quão diferente é a frequência relativa da ocorrência do evento de "reparo em garantia" de sua probabilidade nesta cidade?

Decisão

A frequência do evento “a máquina de lavar roupa entrará em reparo em garantia dentro de um ano” é igual a \frac(72)(1200) = 0,06. Difere da probabilidade por 0,065-0,06=0,005.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Doença

A probabilidade de que a caneta seja defeituosa é 0,05. O cliente na loja compra um pacote aleatório que contém duas canetas. Encontre a probabilidade de que ambas as canetas neste pacote sejam boas.

Decisão

A probabilidade de que a caneta esteja em boas condições é 1-0,05 = 0,95. Vamos encontrar a probabilidade do evento "ambos os handles estão funcionando". Denote por A e B os eventos "o primeiro identificador está funcionando" e "o segundo identificador está funcionando". Temos P(A) = P(B) = 0,95. O evento “ambos os handles são bons” é a interseção dos eventos A \ cap B, sua probabilidade é igual a P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Doença

A imagem mostra um labirinto. O besouro rasteja no labirinto no ponto de "Entrada". O besouro não pode se virar e rastejar na direção oposta, então a cada bifurcação ele escolhe um dos caminhos em que ainda não esteve. Qual é a probabilidade de que o besouro chegue à saída D se a escolha caminho adicionalé aleatório.

Decisão

Vamos colocar setas nas encruzilhadas nas direções em que o besouro pode se mover (veja a Fig.).

Vamos escolher em cada uma das interseções uma direção dentre duas possíveis, e vamos supor que, quando atingir a interseção, o besouro se moverá na direção que escolhemos.

Para que o besouro alcance a saída D, a direção indicada pela linha vermelha sólida deve ser escolhida em cada interseção. No total, a escolha da direção é feita 4 vezes, cada vez independentemente da escolha anterior. A probabilidade de que uma seta vermelha sólida seja selecionada toda vez é \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Doença

São 16 atletas na seção, entre eles dois amigos - Olya e Masha. Os atletas são distribuídos aleatoriamente em 4 grupos iguais. Encontre a probabilidade de Olya e Masha estarem no mesmo grupo.