Unang antas

Pag-convert ng mga Expression. Detalyadong Teorya (2019)

Pag-convert ng mga Expression

Madalas nating marinig ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwang nakikita natin ang ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Ito ay mas simple," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lamang!) Isang ordinaryong numero (oo, sa impiyerno gamit ang mga titik na ito).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Nabasa mo na ba? Kung oo, handa ka na ngayon.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon tingnan natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimpleng isa ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Kinuha mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw sa matematika ang mga titik sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, ang mga katulad na termino ay at.

naaalala mo ba

Upang magdala ng mga katulad na paraan upang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa bawat isa at makakuha ng isang termino.

Paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang isang sulat ay isang upuan. Kung gayon, ano ang katumbas ng ekspresyon? Dalawang upuan at tatlong upuan, ilan ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito: .

Upang maiwasan ang kalituhan, hayaan iba't ibang titik kumakatawan sa iba't ibang bagay. Halimbawa, - ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa isang monomial ang coefficient ay pantay. At sa loob nito ay pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng mga katulad ay:

Mga halimbawa:

Magbigay ng mga katulad:

Mga sagot:

2. (at katulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Kadalasan ito ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang resultang expression ay kailangang i-factorize, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga pamamaraan ng pag-factor ng mga expression nang detalyado sa paksang "", kaya dito kailangan mo lamang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, magpasya ng ilan mga halimbawa(kailangang i-factorize):

Mga solusyon:

3. Pagbawas ng isang fraction.

Well, ano ang maaaring maging mas kaaya-aya kaysa sa pagtawid sa bahagi ng numerator at denominator at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Iyan ang kagandahan ng pagbabawas.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang mabawasan ang isang fraction kailangan mo:

1) numerator at denominator factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang ma-cross out.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang bagay tipikal na pagkakamali kapag kinokontrata. Bagama't simple ang paksang ito, maraming tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi nauunawaan iyon bawasan- ibig sabihin nito hatiin numerator at denominator ay magkaparehong numero.

Walang mga pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay isang kabuuan.

Halimbawa: kailangan nating gawing simple.

Ginagawa ito ng ilang tao: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

Gagawin ito ng "pinakamatalino": .

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, na nangangahulugang maaari itong mabawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi naka-factor.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay factorized, na nangangahulugan na maaari mong bawasan ito, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mo itong hatiin kaagad sa:

Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tandaan madaling paraan kung paano matukoy kung ang isang expression ay factorized:

Ang operasyong arithmetic na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng isang expression ay ang "master" na operasyon. Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay factorized). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi factorized (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang pagsama-samahin, lutasin ang ilan sa iyong sarili mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na factorization:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang pamilyar na operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang salik at idagdag/ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominador at medyo prime, iyon ay, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Unang bagay dito pinaghalong fraction ginagawa namin ang mga ito sa mga hindi tama, at pagkatapos ay sundin ang karaniwang pattern:

Ito ay ganap na naiibang usapin kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa isang simpleng bagay:

a) Ang mga denominador ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: hinahanap natin ang common denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang factor at idagdag/bawas ang mga numerator:

Ngayon sa numerator maaari kang magbigay ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominador ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng isang karaniwang denominador na walang mga titik:

· una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang salik;

· pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng mga karaniwang salik nang paisa-isa;

· at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang hindi karaniwang mga kadahilanan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, isinasaalang-alang muna natin ang mga ito sa mga pangunahing salik:

Bigyang-diin natin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isa-isa nating isulat ang mga karaniwang salik at idagdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Balik tayo sa mga letra. Ang mga denominator ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

· salik ang mga denominador;

· tukuyin ang mga karaniwang (magkaparehong) salik;

· isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

· paramihin ang mga ito sa lahat ng iba pang hindi karaniwang mga kadahilanan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) salik ang mga denominador:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

So may common denominator dito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

sa isang antas

sa isang antas

sa isang antas

sa isang antas.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan para sa iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Anong natutunan mo?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag binawasan mo ang mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Kaya multiply sa. At i-multiply sa:

Tatawagin natin ang mga expression na hindi maaaring i-factorize na "elementary factor." Halimbawa, - ito ay isang elementary factor. - Pareho. Ngunit hindi: maaari itong i-factorize.

Paano ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang “”).

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At haharapin natin sila sa parehong paraan.

Nakita natin na ang parehong denominator ay may multiplier. Mapupunta ito sa karaniwang denominator sa antas (tandaan kung bakit?).

Ang kadahilanan ay elementarya, at wala silang isang karaniwang kadahilanan, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Bago mo i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

Malaki! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Gaya ng dati, i-factorize natin ang mga denominator. Sa unang denominator ay inilagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang karaniwang mga kadahilanan. Ngunit kung titingnan mong mabuti, magkatulad sila... At totoo ito:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, ito ay naging ganito: sa loob ng bracket ay ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras ang pag-sign sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon, dalhin natin ito sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Suriin natin ngayon.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito kailangan nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito: .

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang bahagyang parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Ano ang gagawin kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, ang parehong bagay! Una sa lahat, siguraduhin natin iyon maximum na halaga ang mga salik sa mga denominador ay pareho:

Pakitandaan: kung babaguhin mo ang mga sign sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga palatandaan sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay muling nagbabago sa kabaligtaran. Bilang resulta, ito (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin ang buong unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idagdag dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisusulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Iyon ay, ito ay lumalabas na ganito:

Hmm... Malinaw kung ano ang gagawin sa mga fraction. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan nating gawing fraction ang dalawa! Tandaan natin: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling nakalimutan mo). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na ngayon. At nasa unahan natin ang pinakasimple, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numerical expression? Tandaan sa pamamagitan ng pagkalkula ng kahulugan ng expression na ito:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, hayaan mong ipaalala ko sa iyo.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong ilang mga multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari silang gawin sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang expression sa mga bracket ay sinusuri nang wala sa turn!

Kung ang ilang mga bracket ay pinarami o hinati sa isa't isa, una naming kalkulahin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung marami pang bracket sa loob ng bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Kapag kinakalkula ang isang expression, ano ang dapat mong gawin muna? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pamamaraan para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit ito ay hindi katulad ng isang expression na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika, kailangan mong gawin ang mga algebraic, iyon ay, ang mga aksyon na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para ma-factorize, kailangan mong gamitin ang I o ilagay lang ang common factor sa labas ng mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinapasimple namin ang expression sa mga bracket. May pagkakaiba tayo ng mga fraction, at ang layunin natin ay ipakita ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idinagdag:

Imposibleng pasimplehin pa ang ekspresyong ito;

2) Nakukuha namin ang:

Pagpaparami ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas simple.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

OK tapos na ang lahat Ngayon. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Una, idagdag natin ang mga fraction sa panaklong, kaya sa halip na dalawang fraction ay makakakuha tayo ng isa. Pagkatapos ay gagawa tayo ng dibisyon ng mga fraction. Well, idagdag natin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko ang mga hakbang sa eskematiko:

Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon sa pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang punto na lumitaw ang mga katulad sa ating bansa, ipinapayong ilabas agad ang mga ito.

2. Ang parehong naaangkop sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling lumitaw ang pagkakataon upang mabawasan, dapat itong samantalahin. Ang pagbubukod ay para sa mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominador, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At kung ano ang ipinangako sa simula pa lamang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, pagkatapos ay pinagkadalubhasaan mo ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

MGA PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) ang mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket, paglalapat nito, atbp.
• Pagbawas ng isang fraction: Ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, na hindi nagbabago sa halaga ng fraction.
  1) numerator at denominator factorize
  2) kung ang numerator at denominator ay may mga karaniwang kadahilanan, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring mabawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Tandaan 1

Ang isang Boolean function ay maaaring isulat gamit ang isang Boolean expression at pagkatapos ay maaaring ilipat sa isang logic circuit. Kinakailangang gawing simple ang mga lohikal na expression upang makuha ang pinakasimpleng (at samakatuwid ay mas mura) lohikal na circuit na posible. Sa katunayan, ang isang lohikal na pag-andar, isang lohikal na pagpapahayag at isang lohikal na circuit ay tatlong magkakaibang mga wika na nagsasalita tungkol sa isang nilalang.

Upang gawing simple ang paggamit ng mga lohikal na expression mga batas ng lohika ng algebra.

Ang ilang mga pagbabagong-anyo ay katulad ng mga pagbabagong-anyo ng mga formula sa klasikal na algebra (pag-aalis ng karaniwang salik sa mga bracket, gamit ang commutative at combinational na mga batas, atbp.), habang ang iba pang mga pagbabago ay batay sa mga katangian na wala sa mga operasyon ng classical algebra (gamit ang distributive batas para sa conjunction, mga batas ng pagsipsip, gluing, mga panuntunan ni de Morgan, atbp.).

Ang mga batas ng lohikal na algebra ay binuo para sa mga pangunahing lohikal na operasyon - "HINDI" - inversion (negation), "AT" - conjunction (logical multiplication) at "OR" - disjunction (lohikal na karagdagan).

Ang batas ng double negation ay nangangahulugan na ang "HINDI" na operasyon ay nababaligtad: kung ilalapat mo ito ng dalawang beses, pagkatapos ay sa dulo ang lohikal na halaga ay hindi magbabago.

Ang batas ng ibinukod na gitna ay nagsasaad na ang anumang lohikal na pagpapahayag ay alinman sa totoo o mali (“walang pangatlo”). Samakatuwid, kung $A=1$, kung gayon ang $\bar(A)=0$ (at kabaliktaran), na nangangahulugan na ang pagsasama ng mga dami na ito ay palaging katumbas ng zero, at ang disjunction ay palaging katumbas ng isa.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Pasimplehin natin ang formula na ito:

Larawan 3.

Kasunod nito na ang $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Sagot: Naglalaro ng chess ang mga mag-aaral na $B$, $C$ at $D$, ngunit hindi naglalaro ang mag-aaral na $A$.

Kapag pinasimple ang mga lohikal na expression, maaari mong gawin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:

1. Palitan ang lahat ng "di-basic" na operasyon (katumbas, implikasyon, eksklusibong O, atbp.) ng kanilang mga expression sa pamamagitan ng mga pangunahing operasyon ng inversion, conjunction at disjunction.
2. Palawakin ang mga pagbabaligtad ng mga kumplikadong expression ayon sa mga panuntunan ni De Morgan sa paraang mananatili lamang ang mga pagpapatakbo ng negation para sa mga indibidwal na variable.
3. Pagkatapos ay pasimplehin ang expression gamit ang mga pambungad na bracket, paglalagay ng mga karaniwang salik sa labas ng mga bracket at iba pang mga batas ng lohikal na algebra.

Halimbawa 2

Dito, ang panuntunan ni De Morgan, ang batas sa pamamahagi, ang batas ng ibinukod na gitna, ang commutative na batas, ang batas ng pag-uulit, muli ang commutative na batas at ang batas ng pagsipsip ay sunud-sunod na ginagamit.

Kadalasan ang mga gawain ay nangangailangan ng isang pinasimpleng sagot. Bagama't tama ang parehong pinasimple at hindi pinasimple na mga sagot, maaaring ibaba ng iyong tagapagturo ang iyong marka kung hindi mo pasimplehin ang iyong sagot. Bukod dito, ang pinasimple na mathematical expression ay mas madaling gamitin. Samakatuwid, napakahalagang matutunang gawing simple ang mga expression.

Mga hakbang

Tamang pagkakasunud-sunod para sa paggawa ng mga operasyon sa matematika

1. Tandaan ang tamang pagkakasunud-sunod para sa pagsasagawa ng mga operasyong matematikal. Kapag pinasimple ang isang mathematical expression, mayroong isang tiyak na pagkakasunud-sunod na dapat sundin, dahil ang ilang mga mathematical na operasyon ay mauuna kaysa sa iba at dapat gawin muna (sa katunayan, ang hindi pagsunod sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay magdadala sa iyo sa isang hindi tamang resulta). Alalahanin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga operasyong matematikal: pagpapahayag sa panaklong, pagpaparami, pagpaparami, paghahati, pagdaragdag, pagbabawas.

   • Tandaan na ang pag-alam sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay magbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang karamihan sa mga simpleng expression, ngunit upang gawing simple ang isang polynomial (isang expression na may variable) kailangan mong malaman ang mga espesyal na trick (tingnan ang susunod na seksyon).

2. Magsimula sa pamamagitan ng paglutas ng expression sa panaklong. Sa matematika, ang mga panaklong ay nagpapahiwatig na ang expression sa loob ng mga ito ay dapat na suriin muna. Samakatuwid, kapag pinasimple ang anumang mathematical expression, magsimula sa pamamagitan ng paglutas ng expression na nakapaloob sa mga panaklong (hindi mahalaga kung anong mga operasyon ang kailangan mong gawin sa loob ng mga panaklong). Ngunit tandaan na kapag nagtatrabaho sa isang expression na nakapaloob sa mga bracket, dapat mong sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon, iyon ay, ang mga termino sa mga bracket ay unang pinarami, hinati, idinagdag, binabawasan, at iba pa.

   • Halimbawa, pasimplehin natin ang expression 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Dito tayo magsisimula sa mga expression sa mga bracket: 5 + 2 = 7 at 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Ang expression sa pangalawang pares ng mga panaklong ay pinasimple sa 5 dahil ang 4/2 ay dapat na hatiin muna (ayon sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon). Kung hindi mo susundin ang utos na ito, makakakuha ka ng maling sagot: 3 + 4 = 7 at 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Kung may isa pang pares ng panaklong sa mga panaklong, simulan ang pagpapasimple sa pamamagitan ng paglutas ng expression sa panloob na mga panaklong at pagkatapos ay magpatuloy sa paglutas ng expression sa mga panlabas na panaklong.

3. Exponentiate. Matapos malutas ang mga expression sa panaklong, lumipat sa exponentiation (tandaan na ang isang kapangyarihan ay may isang exponent at isang base). Itaas ang katumbas na expression (o numero) sa isang kapangyarihan at palitan ang resulta sa expression na ibinigay sa iyo.

   • Sa aming halimbawa, ang tanging expression (numero) sa kapangyarihan ay 3 2: 3 2 = 9. Sa expression na ibinigay sa iyo, palitan ang 3 2 ng 9 at makakakuha ka ng: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Paramihin. Tandaan na ang multiplication operation ay maaaring katawanin ng mga sumusunod na simbolo: "x", "∙" o "*". Ngunit kung walang mga simbolo sa pagitan ng numero at variable (halimbawa, 2x) o sa pagitan ng numero at numero sa panaklong (halimbawa, 4(7)), ito ay isa ring multiplication operation.

   • Sa aming halimbawa, mayroong dalawang pagpapatakbo ng pagpaparami: 2x (dalawang pinarami ng variable na “x”) at 4(7) (apat na pinarami ng pito). Hindi namin alam ang halaga ng x, kaya iiwan namin ang expression na 2x. 4(7) = 4 x 7 = 28. Ngayon ay maaari mong muling isulat ang expression na ibinigay sa iyo tulad ng sumusunod: 2x + 28 + 9 - 5.

5. hatiin. Tandaan na ang operasyon ng paghahati ay maaaring katawanin ng mga sumusunod na simbolo: “/”, “÷” o “–” (makikita mo ang huling karakter sa mga fraction). Halimbawa, ang 3/4 ay tatlo na hinati sa apat.

   • Sa aming halimbawa, wala nang operasyon ng paghahati, dahil hinati mo na ang 4 sa 2 (4/2) kapag nilulutas ang expression sa mga panaklong. Kaya maaari kang magpatuloy sa susunod na hakbang. Tandaan na ang karamihan sa mga expression ay hindi naglalaman ng lahat ng mga mathematical operations (ilan lamang sa mga ito).

6. Tiklupin. Kapag nagdadagdag ng mga termino ng isang expression, maaari kang magsimula sa termino sa pinakamalayong (sa kaliwa), o maaari mong idagdag ang mga terminong madaling magdagdag ng una. Halimbawa, sa expression na 49 + 29 + 51 +71, mas madaling magdagdag ng 49 + 51 = 100, pagkatapos ay 29 + 71 = 100 at sa wakas ay 100 + 100 = 200. Mas mahirap magdagdag ng ganito: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Sa aming halimbawa 2x + 28 + 9 + 5 mayroong dalawang pagpapatakbo ng karagdagan. Magsimula tayo sa pinakalabas (kaliwa) na termino: 2x + 28; hindi ka maaaring magdagdag ng 2x at 28 dahil hindi mo alam ang halaga ng variable na "x". Samakatuwid, magdagdag ng 28 + 9 = 37. Ngayon ang expression ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: 2x + 37 - 5.

7. Ibawas. Ito ang huling operasyon sa tamang pagkakasunud-sunod ng pagsasagawa ng mga mathematical operations. Sa yugtong ito, maaari ka ring magdagdag ng mga negatibong numero o gawin ito sa yugto ng pagdaragdag ng mga termino - hindi ito makakaapekto sa panghuling resulta sa anumang paraan.

   • Sa aming halimbawa 2x + 37 - 5 mayroon lamang isang operasyon ng pagbabawas: 37 - 5 = 32.

8. Sa yugtong ito, pagkatapos gawin ang lahat ng mga operasyong matematikal, dapat kang makakuha ng pinasimple na expression. Ngunit kung ang expression na ibinigay sa iyo ay naglalaman ng isa o higit pang mga variable, pagkatapos ay tandaan na ang variable na termino ay mananatiling tulad nito. Ang paglutas (hindi pagpapasimple) ng isang expression na may isang variable ay nagsasangkot ng paghahanap ng halaga ng variable na iyon. Minsan ang mga variable na expression ay maaaring gawing simple gamit ang mga espesyal na pamamaraan (tingnan ang susunod na seksyon).

   • Sa aming halimbawa, ang huling sagot ay 2x + 32. Hindi mo maaaring idagdag ang dalawang termino hangga't hindi mo nalalaman ang halaga ng variable na "x". Kapag nalaman mo na ang halaga ng variable, madali mong mapapasimple ang binomial na ito.

   Pagpapasimple ng mga kumplikadong expression

   1. Pagdaragdag ng mga katulad na termino. Tandaan na maaari ka lamang magbawas at magdagdag ng mga katulad na termino, iyon ay, mga termino na may parehong variable at parehong exponent. Halimbawa, maaari kang magdagdag ng 7x at 5x, ngunit hindi ka maaaring magdagdag ng 7x at 5x 2 (dahil magkaiba ang mga exponent).

      • Nalalapat din ang panuntunang ito sa mga miyembrong may maraming variable. Halimbawa, maaari kang magdagdag ng 2xy 2 at -3xy 2 , ngunit hindi ka maaaring magdagdag ng 2xy 2 at -3x 2 y o 2xy 2 at -3y 2 .
      • Tingnan natin ang isang halimbawa: x 2 + 3x + 6 - 8x. Narito ang mga katulad na termino ay 3x at 8x, kaya maaari silang idagdag nang magkasama. Ang isang pinasimpleng expression ay ganito ang hitsura: x 2 - 5x + 6.

   2. Pasimplehin ang fraction ng numero. Sa naturang fraction, ang numerator at ang denominator ay naglalaman ng mga numero (walang variable). Ang isang fraction ng numero ay maaaring gawing simple sa maraming paraan. Una, hatiin lamang ang denominator sa numerator. Pangalawa, i-factor ang numerator at denominator at kanselahin ang mga katulad na salik (dahil ang paghahati ng isang numero sa sarili ay magbibigay sa iyo ng 1). Sa madaling salita, kung ang numerator at denominator ay may parehong salik, maaari mo itong i-drop at makakuha ng pinasimpleng fraction.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang fraction na 36/60. Gamit ang isang calculator, hatiin ang 36 sa 60 upang makakuha ng 0.6. Ngunit maaari mong pasimplehin ang fraction na ito sa ibang paraan sa pamamagitan ng pag-factor ng numerator at denominator: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Dahil 6/6 = 1, ang pinasimple na fraction ay: 1 x 6/10 = 6/10. Ngunit ang fraction na ito ay maaari ding gawing simple: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Kung ang isang fraction ay naglalaman ng variable, maaari mong kanselahin ang mga katulad na salik sa variable. I-factor ang numerator at denominator at kanselahin ang mga katulad na salik, kahit na naglalaman ang mga ito ng variable (tandaan na ang mga katulad na salik dito ay maaaring naglalaman ng variable o hindi).

      • Tingnan natin ang isang halimbawa: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ang expression na ito ay maaaring isulat muli (factored) sa anyo: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Dahil ang terminong 3x ay nasa numerator at denominator, maaari mo itong kanselahin upang magbigay ng pinasimpleng expression: (x + 1)/(5 - x). Tingnan natin ang isa pang halimbawa: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Pakitandaan na hindi mo maaaring kanselahin ang anumang mga termino - ang magkatulad na mga kadahilanan lamang na naroroon sa parehong numerator at denominator ang kinansela. Halimbawa, sa expression (x(x + 2))/x, ang variable (factor) "x" ay nasa numerator at denominator, kaya ang "x" ay maaaring bawasan upang makakuha ng pinasimple na expression: (x + 2)/1 = x + 2. Gayunpaman, sa expression (x + 2)/x, ang variable na “x” ay hindi maaaring bawasan (dahil ang “x” ay hindi isang salik sa numerator).

   4. Buksan ang panaklong. Upang gawin ito, i-multiply ang termino sa labas ng mga panaklong sa bawat termino sa mga panaklong. Minsan nakakatulong itong gawing simple kumplikadong pagpapahayag. Nalalapat ito sa parehong mga miyembro na mga pangunahing numero, at sa mga miyembrong naglalaman ng variable.

      • Halimbawa, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, at 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Pakitandaan na sa mga fractional na expression ay hindi na kailangang buksan ang mga panaklong kung ang numerator at denominator ay may parehong salik. Halimbawa, sa expression (3(x 2 + 8))/3x hindi na kailangang palawakin ang mga panaklong, dahil dito maaari mong kanselahin ang factor ng 3 at makuha ang pinasimple na expression (x 2 + 8)/x. Mas madaling gamitin ang expression na ito; kung palawakin mo ang mga panaklong, makukuha mo ang sumusunod na kumplikadong expression: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Mga salik na polynomial. Gamit ang pamamaraang ito, maaari mong gawing simple ang ilang mga expression at polynomial. Ang Factoring ay ang kabaligtaran na operasyon ng pagbubukas ng mga panaklong, iyon ay, ang isang expression ay isinulat bilang produkto ng dalawang expression, na ang bawat isa ay nakapaloob sa mga panaklong. Sa ilang mga kaso, pinapayagan ka ng factoring na bawasan ang parehong expression. Sa mga espesyal na kaso (karaniwang quadratic equation), ang factoring ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation.

      • Isaalang-alang ang expression na x 2 - 5x + 6. Ito ay naka-factor: (x - 3)(x - 2). Kaya, kung, halimbawa, ang expression ay ibinigay (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), maaari mo itong muling isulat bilang (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), bawasan ang expression (x - 2) at kumuha ng pinasimple na expression (x - 3)/2.
      • Ang factoring polynomials ay ginagamit upang malutas (hanapin ang mga ugat) equation (ang equation ay isang polynomial na katumbas ng 0). Halimbawa, isaalang-alang ang equation x 2 - 5x + 6 = 0. Sa pamamagitan ng factoring nito, makakakuha ka ng (x - 3)(x - 2) = 0. Dahil ang anumang expression na pinarami ng 0 ay katumbas ng 0, maaari nating isulat ito tulad ng ito : x - 3 = 0 at x - 2 = 0. Kaya, x = 3 at x = 2, ibig sabihin, natagpuan mo ang dalawang ugat ng equation na ibinigay sa iyo.

§ 1 Ang konsepto ng pagpapasimple ng literal na pagpapahayag

Sa araling ito, makikilala natin ang konsepto ng "katulad na mga termino" at, gamit ang mga halimbawa, matututuhan natin kung paano isagawa ang pagbabawas ng magkatulad na mga termino, kaya pinapasimple ang mga literal na expression.

Alamin natin ang kahulugan ng konseptong "pagpapasimple". Ang salitang "pagpapasimple" ay nagmula sa salitang "pasimplehin". Ang gawing simple ay nangangahulugang gawing simple, mas simple. Samakatuwid, upang gawing simple ang isang pagpapahayag ng titik ay gawin itong mas maikli, na may pinakamababang bilang ng mga aksyon.

Isaalang-alang ang expression na 9x + 4x. Ito ay isang literal na expression na isang kabuuan. Ang mga termino dito ay ipinakita bilang mga produkto ng isang numero at isang titik. Ang numerical factor ng naturang mga termino ay tinatawag na coefficient. Sa expression na ito, ang mga coefficient ay ang mga numero 9 at 4. Pakitandaan na ang salik na kinakatawan ng titik ay pareho sa parehong termino ng kabuuan na ito.

Alalahanin natin ang distributive law of multiplication:

Upang i-multiply ang isang kabuuan sa isang numero, maaari mong i-multiply ang bawat termino sa numerong iyon at idagdag ang mga resultang produkto.

SA pangkalahatang pananaw nakasulat tulad ng sumusunod: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Ang batas na ito ay totoo sa parehong direksyon ac + bc = (a + b) ∙ c

Ilapat natin ito sa ating literal na pagpapahayag: ang kabuuan ng mga produkto ng 9x at 4x ay katumbas ng isang produkto na ang unang salik ay katumbas ng kabuuan ng 9 at 4, ang pangalawang salik ay x.

9 + 4 = 13, iyon ay 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

Sa halip na tatlong aksyon sa expression, mayroon na lamang isang aksyon na natitira - multiplikasyon. Nangangahulugan ito na ginawa naming mas simple ang aming literal na pagpapahayag, i.e. pinasimple ito.

§ 2 Pagbawas ng mga katulad na termino

Ang mga terminong 9x at 4x ay naiiba lamang sa kanilang mga coefficient - ang mga naturang termino ay tinatawag na magkatulad. Ang bahagi ng titik ng magkatulad na termino ay pareho. Kasama rin sa mga katulad na termino ang mga numero at pantay na termino.

Halimbawa, sa expression na 9a + 12 - 15 magkatulad na termino ay ang mga numero 12 at -15, at sa kabuuan ng produkto ng 12 at 6a, ang numero 14 at ang produkto ng 12 at 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) ang pantay na termino na kinakatawan ng produkto ng 12 at 6a.

Mahalagang tandaan na ang mga termino na ang mga coefficient ay pantay, ngunit ang mga salik ng mga titik ay naiiba, ay hindi magkatulad, kahit na kung minsan ay kapaki-pakinabang na ilapat ang distributive law ng multiplikasyon sa kanila, halimbawa, ang kabuuan ng mga produkto 5x at 5y ay katumbas ng produkto ng numero 5 at ang kabuuan ng x at y

5x + 5y = 5(x + y).

Pasimplehin natin ang expression -9a + 15a - 4 + 10.

Ang mga katulad na termino sa kasong ito ay mga termino -9a at 15a, dahil nagkakaiba lamang sila sa kanilang mga coefficient. Ang kanilang letter multiplier ay pareho, at ang mga termino -4 at 10 ay magkatulad din, dahil sila ay mga numero. Magdagdag ng mga katulad na termino:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Nakukuha namin ang: 6a + 6.

Sa pamamagitan ng pagpapasimple ng pagpapahayag, nakita namin ang mga kabuuan ng magkatulad na termino sa matematika ito ay tinatawag na pagbabawas ng magkatulad na termino;

Kung mahirap magdagdag ng mga naturang termino, maaari kang makabuo ng mga salita para sa kanila at magdagdag ng mga bagay.

Halimbawa, isaalang-alang ang expression:

Para sa bawat titik ay kukuha kami ng aming sariling bagay: b-apple, c-pear, pagkatapos ay makakakuha kami ng: 2 mansanas minus 5 peras plus 8 peras.

Maaari ba nating ibawas ang mga peras mula sa mga mansanas? Syempre hindi. Ngunit maaari tayong magdagdag ng 8 peras sa minus 5 peras.

Ipakita natin ang mga katulad na termino -5 peras + 8 peras. Ang mga magkatulad na termino ay may parehong bahagi ng titik, kaya kapag nagdadala ng mga katulad na termino sapat na upang idagdag ang mga coefficient at idagdag ang bahagi ng titik sa resulta:

(-5 + 8) peras - makakakuha ka ng 3 peras.

Pagbabalik sa ating literal na pagpapahayag, mayroon tayong -5 s + 8 s = 3 s. Kaya, pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, nakuha namin ang expression na 2b + 3c.

Kaya, sa araling ito nakilala mo ang konsepto ng "magkatulad na mga termino" at natutunan kung paano gawing simple ang mga ekspresyon ng titik sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga katulad na termino.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. Mathematics. ika-6 na baitang: mga plano ng aralin sa aklat-aralin I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // author-compiler L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Mathematics. Ika-6 na baitang: aklat-aralin para sa mga mag-aaral institusyong pang-edukasyon. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Mathematics. Ika-6 na baitang: aklat-aralin para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov at iba pa/inedit ni G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Russian Academy of Sciences, Russian Academy of Education. M.: "Enlightenment", 2010.
4. Mathematics. Ika-6 na baitang: pag-aaral para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. Mathematics. Ika-6 na baitang: aklat-aralin/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Mga larawang ginamit:

Ang anumang wika ay maaaring magpahayag ng parehong impormasyon sa iba't ibang salita at mga rebolusyon. Ang wikang matematika ay walang pagbubukod. Ngunit ang parehong expression ay maaaring katumbas na nakasulat sa iba't ibang paraan. At sa ilang mga sitwasyon, ang isa sa mga entry ay mas simple. Pag-uusapan natin ang tungkol sa pagpapasimple ng mga expression sa araling ito.

Ang mga tao ay nakikipag-usap iba't ibang wika. Para sa amin, ang isang mahalagang paghahambing ay ang pares na "Wikang Ruso - wikang matematika". Ang parehong impormasyon ay maaaring ipaalam sa iba't ibang wika. Ngunit, bukod dito, maaari itong bigkasin sa iba't ibang paraan sa isang wika.

Halimbawa: "Si Petya ay kaibigan ni Vasya", "Si Vasya ay kaibigan ni Petya", "Si Petya at Vasya ay magkaibigan". Iba ang sinabi, pero pareho lang. Mula sa alinman sa mga pariralang ito ay mauunawaan natin kung ano ang pinag-uusapan natin.

Tingnan natin ang pariralang ito: "Ang batang si Petya at ang batang si Vasya ay magkaibigan." Naiintindihan namin ang ibig naming sabihin pinag-uusapan natin. Gayunpaman, hindi namin gusto ang tunog ng pariralang ito. Hindi ba natin maaaring pasimplehin ito, sabihin ang parehong bagay, ngunit mas simple? "Boy and boy" - maaari mong sabihin nang isang beses: "Magkaibigan sina Petya at Vasya."

"Boys"... Hindi ba malinaw sa pangalan nila na hindi sila babae? Inalis namin ang "mga lalaki": "Magkaibigan sina Petya at Vasya." At ang salitang "kaibigan" ay maaaring mapalitan ng "mga kaibigan": "Si Petya at Vasya ay magkaibigan." Bilang resulta, ang una, mahaba, pangit na parirala ay pinalitan ng katumbas na pahayag na mas madaling sabihin at mas madaling maunawaan. Pinasimple namin ang pariralang ito. Ang pasimplehin ay nangangahulugang sabihin ito nang mas simple, ngunit hindi mawala o baluktutin ang kahulugan.

Sa wikang matematika, halos pareho ang nangyayari. Isa at iisang bagay ang masasabi, iba ang pagkakasulat. Ano ang ibig sabihin ng pasimplehin ang isang expression? Nangangahulugan ito na para sa orihinal na expression mayroong maraming mga katumbas na expression, iyon ay, ang mga iyon ay pareho ang ibig sabihin. At mula sa lahat ng iba't ibang ito dapat nating piliin ang pinakasimpleng, sa aming opinyon, o ang pinaka-angkop para sa aming karagdagang mga layunin.

Halimbawa, isaalang-alang ang numeric na expression . Ito ay magiging katumbas ng .

Katumbas din ito ng unang dalawa: .

Lumalabas na pinasimple namin ang aming mga expression at natagpuan ang pinakamaikling katumbas na expression.

Para sa mga numeric na expression, kailangan mong palaging gawin ang lahat ng mga hakbang at makuha ang katumbas na expression bilang isang solong numero.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng literal na pagpapahayag . Malinaw, ito ay magiging mas simple.

Kapag pinasimple ang mga literal na expression, kinakailangang gawin ang lahat ng posibleng aksyon.

Kailangan bang gawing simple ang isang expression? Hindi, kung minsan ay mas maginhawa para sa atin na magkaroon ng katumbas ngunit mas mahabang pagpasok.

Halimbawa: kailangan mong ibawas ang isang numero mula sa isang numero.

Posibleng kalkulahin, ngunit kung ang unang numero ay kinakatawan ng katumbas nitong notasyon: , kung gayon ang mga kalkulasyon ay magiging madalian: .

Iyon ay, ang isang pinasimple na expression ay hindi palaging kapaki-pakinabang para sa amin para sa karagdagang mga kalkulasyon.

Gayunpaman, kadalasan ay nahaharap tayo sa isang gawain na parang "pasimplehin ang expression."

Pasimplehin ang expression: .

Solusyon

1) Isagawa ang mga aksyon sa una at pangalawang bracket: .

2) Kalkulahin natin ang mga produkto: .

Malinaw, ang huling expression ay may mas simpleng anyo kaysa sa una. Pinasimple namin ito.

Upang gawing simple ang expression, dapat itong mapalitan ng katumbas (katumbas).

Upang matukoy ang katumbas na expression na kailangan mo:

1) isagawa ang lahat ng posibleng aksyon,

2) gamitin ang mga katangian ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati upang gawing simple ang mga kalkulasyon.

Mga katangian ng karagdagan at pagbabawas:

1. Commutative property ng karagdagan: ang muling pagsasaayos ng mga termino ay hindi nagbabago sa kabuuan.

2. Combinative property ng karagdagan: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlong numero sa unang numero.

3. Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan mula sa isang numero: upang ibawas ang isang kabuuan mula sa isang numero, maaari mong ibawas ang bawat termino nang hiwalay.

Mga katangian ng multiplikasyon at paghahati

1. Commutative property ng multiplication: ang muling pagsasaayos ng mga salik ay hindi nagbabago sa produkto.

2. Combinative property: upang i-multiply ang isang numero sa produkto ng dalawang numero, maaari mo muna itong i-multiply sa unang factor, at pagkatapos ay i-multiply ang resultang produkto sa pangalawang factor.

3. Distributive property ng multiplication: upang ma-multiply ang isang numero sa isang sum, kailangan mong i-multiply ito sa bawat term nang hiwalay.

Tingnan natin kung paano talaga namin ginagawa ang mga kalkulasyon ng kaisipan.

Kalkulahin:

Solusyon

1) Isipin natin kung paano

2) Isipin natin ang unang salik bilang kabuuan bit terms at gawin ang pagpaparami:

3) maaari mong isipin kung paano at gawin ang pagpaparami:

4) Palitan ang unang salik ng katumbas na kabuuan:

Ang distributive law ay maaari ding gamitin sa reverse side: .

Sundin ang mga hakbang:

1) 2)

Solusyon

1) Para sa kaginhawahan, maaari mong gamitin ang distributive law, ngunit gamitin ito sa kabaligtaran na direksyon - alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.

2) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket

Kinakailangang bumili ng linoleum para sa kusina at pasilyo. Lugar ng kusina - , pasilyo - . Mayroong tatlong uri ng mga linoleum: para sa, at rubles para sa. Magkano ang bawat halaga? tatlong uri linoleum? (Larawan 1)

kanin. 1. Ilustrasyon para sa pahayag ng problema

Solusyon

Paraan 1. Maaari mong hiwalay na malaman kung magkano ang pera na kakailanganin upang bumili ng linoleum para sa kusina, at pagkatapos ay sa pasilyo at idagdag ang mga resultang produkto.