Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Ang Kagalakan ng X

Isang Guided Tour ng Math, mula One hanggang Infinity

Na-publish na may pahintulot mula kay Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Nakalaan ang lahat ng karapatan

© Pagsasalin sa Russian, publikasyon sa Russian, disenyo. Mann, Ivanov at Ferber LLC, 2014

Lahat ng karapatan ay nakalaan. Walang bahagi ng elektronikong bersyon ng aklat na ito ang maaaring kopyahin sa anumang anyo o sa anumang paraan, kabilang ang pag-post sa Internet o mga corporate network, para sa pribado o pampublikong paggamit nang walang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.

Ang legal na suporta para sa publishing house ay ibinibigay ni law firm"Vegas-Lex"

* * *

Ang aklat na ito ay mahusay na kinumpleto ng:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexible na kamalayan

Carol Dweck

Physics ng stock market

James Weatherall

Paunang Salita

Mayroon akong isang kaibigan na, sa kabila ng kanyang craft (siya ay isang artista), ay mahilig sa agham. Tuwing magkakasama kami, masigasig siyang nagsasalita pinakabagong mga nagawa sa sikolohiya o quantum mechanics. Ngunit sa sandaling magsimula kaming mag-usap tungkol sa matematika, nakaramdam siya ng panginginig sa kanyang mga tuhod, na labis na ikinagagalit niya. Nagrereklamo siya na hindi lamang ang mga kakaibang simbolo ng matematika na ito ay sumasalungat sa kanyang pang-unawa, ngunit kung minsan ay hindi niya alam kung paano bigkasin ang mga ito.

Sa katunayan, ang dahilan ng kanyang pagtanggi sa matematika ay mas malalim. Wala siyang ideya kung ano ang ginagawa ng mga mathematician sa pangkalahatan at kung ano ang ibig nilang sabihin kapag sinabi nilang elegante ang isang binigay na patunay. Minsan nagbibiruan kami na kailangan ko lang maupo at simulan ang pagtuturo sa kanya mula sa pinakabatayan, literal na 1 + 1 = 2, at pumunta nang malalim sa math hangga't kaya niya.

At bagaman ang ideyang ito ay tila baliw, ito mismo ang susubukan kong ipatupad sa aklat na ito. Gagabayan kita sa lahat ng pangunahing sangay ng agham, mula sa aritmetika hanggang sa mas mataas na matematika, upang sa wakas ay samantalahin ito ng mga nagnanais ng pangalawang pagkakataon. At sa pagkakataong ito hindi mo na kailangang maupo sa isang mesa. Hindi ka gagawin ng aklat na ito na isang dalubhasa sa matematika. Ngunit makakatulong ito sa iyo na maunawaan kung ano ang pinag-aaralan ng disiplina na ito at kung bakit ito ay kaakit-akit para sa mga nakakaunawa nito.

Upang linawin kung ano ang ibig kong sabihin sa buhay ng mga numero at ang kanilang pag-uugali na hindi natin makontrol, bumalik tayo sa Furry Paws Hotel. Ipagpalagay na ibibigay na ni Humphrey ang order, ngunit bigla siyang tinawag ng mga penguin mula sa ibang silid at humingi din ng parehong dami ng isda. Ilang beses dapat isigaw ni Humphrey ang salitang "isda" pagkatapos makatanggap ng dalawang order? Kung wala siyang natutunan tungkol sa mga numero, kailangan niyang sumigaw ng maraming beses na may mga penguin sa magkabilang silid. O, gamit ang mga numero, maaari niyang ipaliwanag sa kusinero na kailangan niya ng anim na isda para sa isang numero at anim para sa isa pa. Ngunit ang talagang kailangan niya ay isang bagong konsepto: karagdagan. Kapag na-master na niya ito, buong pagmamalaki niyang sasabihin na kailangan niya ng six plus six (o, kung poser siya, labindalawa) na isda.

Ito ay ang parehong proseso ng malikhaing bilang noong una tayong nakaisip ng mga numero. Kung paanong pinadali ng mga numero ang pagbibilang kaysa sa paglilista nang paisa-isa, pinapadali ng karagdagan ang pagkalkula ng anumang halaga. Kasabay nito, ang gumagawa ng pagkalkula ay bubuo bilang isang mathematician. Sa siyentipiko, ang ideyang ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ang paggamit ng mga tamang abstraction ay humahantong sa mas malalim na pananaw sa kakanyahan ng isyu at higit na kapangyarihan sa paglutas nito.

Sa lalong madaling panahon, marahil, kahit na si Humphrey ay matanto na ngayon ay maaari na siyang palaging magbilang.

Gayunpaman, sa kabila ng walang katapusang pananaw, palaging may ilang limitasyon ang ating pagkamalikhain. Maaari tayong magpasya kung ano ang ibig sabihin ng 6 at +, ngunit kapag nagawa na natin, ang mga resulta ng mga expression tulad ng 6 + 6 ay lampas sa ating kontrol. Dito ang lohika ay mag-iiwan sa amin ng walang pagpipilian. Sa ganitong kahulugan, palaging kasama sa matematika ang parehong imbensyon, kaya at pambungad: kami mag-imbento konsepto, ngunit bukas kanilang mga kahihinatnan. Tulad ng lilinawin ng mga susunod na kabanata, sa matematika ang ating kalayaan ay nakasalalay sa kakayahang magtanong at magpumilit sa paghahanap ng mga sagot nang hindi kinakailangang mag-imbento ng mga ito sa ating sarili.

2. Stone arithmetic

Tulad ng anumang kababalaghan sa buhay, ang aritmetika ay may dalawang panig: pormal at nakakaaliw (o mapaglaro).

Pinag-aralan namin ang pormal na bahagi sa paaralan. Doon ay ipinaliwanag nila sa amin kung paano gumawa ng mga hanay ng mga numero, pagdaragdag at pagbabawas ng mga ito, kung paano pala ang mga ito kapag gumagawa ng mga kalkulasyon sa mga spreadsheet kapag pinupunan ang mga tax return at naghahanda taunang ulat. Ang bahaging ito ng aritmetika ay tila mahalaga sa marami mula sa praktikal na pananaw, ngunit ganap na walang saya.

Maaari mo lamang makilala ang nakakaaliw na bahagi ng aritmetika sa proseso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika {3}. Gayunpaman, ito ay natural na tulad ng pag-usisa ng isang bata {4}.

Sa sanaysay na "The Mathematician's Lament," iminungkahi ni Paul Lockhart na pag-aralan ang mga numero sa mas konkretong mga halimbawa kaysa karaniwan: hinihiling niya sa atin na isipin ang mga ito bilang isang bilang ng mga bato. Halimbawa, ang numero 6 ay tumutugma sa sumusunod na hanay ng mga pebbles:

Malamang na hindi ka makakita ng anumang kakaiba dito. Ang paraan nito. Hanggang sa simulan nating manipulahin ang mga numero, halos magkapareho sila. Magsisimula ang laro kapag nakatanggap kami ng isang gawain.

Halimbawa, tingnan natin ang mga set na naglalaman ng 1 hanggang 10 bato at subukang gumawa ng mga parisukat mula sa mga ito. Magagawa lamang ito sa dalawang set ng 4 at 9 na bato, dahil 4 = 2 × 2 at 9 = 3 × 3. Nakukuha natin ang mga numerong ito sa pamamagitan ng pag-square ng ibang numero (iyon ay, pag-aayos ng mga bato sa isang parisukat).

Narito ang isang gawain na mayroon mas malaking bilang mga solusyon: kailangan mong malaman kung aling mga set ang gagawa ng isang parihaba kung ayusin mo ang mga bato sa dalawang hanay na may pantay na bilang ng mga elemento. Ang mga set ng 2, 4, 6, 8 o 10 na bato ay angkop dito; ang bilang ay dapat na pantay. Kung susubukan naming ayusin ang mga natitirang set na may kakaibang bilang ng mga bato sa dalawang hanay, palagi kaming magtatapos sa dagdag na bato.

Ngunit hindi lahat ay nawala para sa mga awkward na numerong ito! Kung kukuha ka ng dalawang ganoong set, ang mga karagdagang elemento ay makakahanap ng isang pares, at ang kabuuan ay magiging even: odd number + odd number = even number.

Kung palawigin natin ang mga panuntunang ito sa mga numero pagkatapos ng 10, at ipagpalagay na ang bilang ng mga hilera sa isang parihaba ay maaaring higit sa dalawa, kung gayon ang ilang mga kakaibang numero ay magbibigay-daan sa mga naturang parihaba na maidagdag. Halimbawa, ang numero 15 ay maaaring bumuo ng 3 × 5 na parihaba.

Samakatuwid, kahit na ang 15 ay walang alinlangan na isang kakaibang numero, ito ay isang pinagsama-samang numero at maaaring katawanin bilang tatlong hanay ng limang bato bawat isa. Gayundin, ang anumang entry sa multiplication table ay gumagawa ng sarili nitong parihabang grupo ng mga pebbles.

Ngunit ang ilang mga numero, tulad ng 2, 3, 5 at 7, ay ganap na walang pag-asa. Wala kang mailalatag mula sa kanila maliban sa ayusin ang mga ito sa anyo ng isang simpleng linya (isang hilera). Ang mga kakaibang matigas ang ulo ang mga sikat na prime number.

Kaya nakikita natin na ang mga numero ay maaaring magkaroon ng mga kakaibang istruktura na nagbibigay sa kanila ng isang tiyak na karakter. Ngunit upang maunawaan ang buong saklaw ng kanilang pag-uugali, kailangan mong umatras mula sa mga indibidwal na numero at obserbahan kung ano ang nangyayari sa panahon ng kanilang pakikipag-ugnayan.

Halimbawa, sa halip na magdagdag lamang ng dalawang kakaibang numero, idagdag natin ang lahat ng posibleng pagkakasunod-sunod ng mga kakaibang numero, simula sa 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Nakakagulat, ang mga kabuuan na ito ay palaging nagiging perpektong mga parisukat. (Nasabi na namin na ang 4 at 9 ay maaaring irepresenta bilang mga parisukat, at para sa 16 = 4 × 4 at 25 = 5 × 5 ay totoo rin ito.) Ang isang mabilis na pagkalkula ay nagpapakita na ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mas malalaking mga kakaibang numero at , tila. , ay may posibilidad na infinity. Ngunit ano ang koneksyon sa pagitan ng mga kakaibang numero sa kanilang "dagdag" na mga bato at ang mga klasikong simetriko na mga numero na bumubuo ng mga parisukat? Sa pamamagitan ng tamang paglalagay ng mga pebbles, maaari nating gawing malinaw kung ano ang natatanging katangian eleganteng patunay. {5}

Ang susi dito ay ang obserbasyon na ang mga kakaibang numero ay maaaring katawanin bilang equilateral na mga anggulo, ang sunud-sunod na overlap na bumubuo ng isang parisukat!

Ang isang katulad na paraan ng pangangatuwiran ay ipinakita sa isa pang kamakailang nai-publish na libro. Sa kaakit-akit na nobela ni Yoko Ogawa na The Housekeeper at ang Ang propesor ay tungkol sa isang matalino ngunit walang pinag-aralan na dalaga at ang kanyang sampung taong gulang na anak na lalaki. Isang babae ang tinanggap para alagaan ang isang matandang mathematician na ang panandaliang memorya, dahil sa isang traumatikong pinsala sa utak, ay nagpapanatili lamang ng impormasyon tungkol sa huling 80 minuto ng kanyang buhay. Nawala sa kasalukuyan, nag-iisa sa kanyang kurbadong kubo, na walang iba kundi mga numero, sinubukan ng propesor na makipag-usap sa kasambahay sa tanging paraan na alam niya: sa pamamagitan ng pagtatanong tungkol sa laki ng sapatos o petsa ng kapanganakan nito at pakikipag-usap sa kanya tungkol sa kanyang mga gastos. Nagpakain din ang professor espesyal na pakikiramay sa anak ng kasambahay, na tinawag niyang Ruth (Root - root), dahil ang bata ay may patag na ulo sa itaas, at ito ay nagpapaalala sa kanya ng notasyon sa matematika para sa square root √.

Isang araw inalok ng propesor ang bata simpleng gawain– hanapin ang kabuuan ng lahat ng mga numero mula 1 hanggang 10. Matapos maingat na pagsamahin ni Ruth ang lahat ng mga numero at ibabalik ang sagot na (55), hiniling sa kanya ng propesor na maghanap ng mas madaling paraan. Mahahanap kaya niya ang sagot? wala ordinaryong pagdaragdag ng mga numero? Sinipa ni Ruth ang isang upuan at sumigaw, "Hindi makatarungan!"

Unti-unti, nahuhulog din ang kasambahay sa mundo ng mga numero at lihim na sinusubukang lutasin ang problemang ito sa kanyang sarili. "Hindi ko maintindihan kung bakit interesado ako sa isang palaisipan ng mga bata na walang praktikal na gamit," sabi niya. “Noong una gusto kong pasayahin ang propesor, ngunit unti-unting naging labanan ang araling ito sa pagitan ko at ng mga numero. Paggising ko sa umaga, naghihintay na sa akin ang equation:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Ang pangunahing problema sa matematika ng paaralan ay walang mga problema. Oo, alam ko kung ano ang pumasa sa mga problema sa klase: ang mga walang lasa, nakakainip na pagsasanay. “Narito ang hamon. Narito kung paano ito lutasin. Oo, may mga ganyan sa pagsusulit. Mga problema sa takdang-aralin 1-15.” Nakakalungkot na paraan para matuto ng matematika: maging isang sinanay na chimpanzee.

Paul Lockhard

mula sa sanaysay na "The Cry of a Mathematician"

Ang matematika ay marahil ang isa sa mga kakaibang sangay ng agham. Walang ibang paksa ang nagsasama-sama ng napakaraming kabaligtaran: mula sa higpit ng mga pormal na patunay hanggang sa kakayahang "makita" ang ilang mga konstruksyon. Ang matematika ay may parehong panloob at panlabas na kagandahan. Wala nang mas kapana-panabik kaysa sa paglutas mga problema sa matematika. At walang ibang asignatura ang itinuturo sa paaralan nang napakahina.

Saan ka karaniwang nagsisimulang mag-aral ng matematika sa paaralan? Mula sa pagbibigay ng 7-8 taong gulang na mga bata ng hindi maintindihang hanay ng mga simbolo at kahulugan at isang sistema ng mga algorithm para sa paglalapat ng gobbledygook na ito. Ang ilang mga bagay, halimbawa, ang multiplication table, ay kabisado.

Sa mga sumusunod na klase batay sa sistemang ito, sasabihan at mapipilitan ang mga mag-aaral na isaulo ang isang hanay ng mga shamanic rituals na nagpapahintulot sa kanila na lutasin ang mga problemang pinahirapan. Lilitaw ang mga bagong kahulugan, gaya ng "proper fraction" at " hindi wastong bahagi"nang walang kaunting paliwanag kung saan ito nanggaling at, higit sa lahat, bakit. Espesyal na atensyon ay nakatuon sa paglutas ng mga walang silbi at pinahirapang mga problema sa teksto na may parehong kaugnayan sa katotohanan tulad ng mga algorithm mismo.

Bilang isang maliit na pagsubok, maaari mong tanungin ang iyong sarili na tandaan: ilang beses sa iyong buhay kailangan mong matukoy ang isang wasto o hindi wastong bahagi?

Napilitan akong matuto sa pamamagitan ng puso: ang parisukat ng kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga parisukat na nadagdagan ng kanilang dobleng produkto. Wala akong kahit kaunting ideya kung ano ang ibig sabihin nito; nang hindi ko na matandaan ang mga salitang ito, hinampas ako ng guro sa ulo ng isang libro, na, gayunpaman, ay hindi nakapagpasigla ng kaunti sa aking talino.

Bertrand Russell

English philosopher, logician at mathematician

Kasabay nito, walang awang pipigilan ng mga guro ang anumang hindi pagsang-ayon. Subukang magsulat ng 5/2 sa halip na 2 1/2 (na palagi kong gustong tumutol: kung mayroon akong tatlong mansanas, bawat isa ay nahahati sa kalahati, pagkatapos ay kukuha ako ng 5 kalahati, hindi 2 mansanas at 1 kalahati).

Ang paksang ito ay maaaring ipagpatuloy nang medyo mahabang panahon. Bukod dito, nagawa na ito sa sanaysay ni Paul Lockhart na "The Lament of a Mathematician". Ito ay nagpapakita ng "Who's to Blame" nang maayos. Ngunit ang sagot sa pangalawang mahalagang tanong - "Ano ang gagawin" - ay hindi naibigay.

Ang isang variant na sagot sa tanong na ito ay ibinigay sa isang kahanga-hangang libro, kamakailan-lamang na isinalin sa Russian. Ang libro ay tinatawag na "The Pleasure of X".

Kasiyahan mula sa x

Kung hindi mo maipaliwanag ang isang bagay sa isang anim na taong gulang na bata, hindi mo ito naiintindihan sa iyong sarili.

Albert Einstein

Ito ang librong iyon dapat maging desktop para sa sinumang guro ng anumang teknikal na asignatura, maging ito ay matematika o computer science.

Ang may-akda ng treat na ito, si Steven Strogatz, ay isang world-class na mathematician at guro ng applied mathematics sa Cornell University sa USA (isa sa mga nangungunang teknikal na unibersidad sa mundo). At, sa paghusga sa libro, pinagsama ng lalaking ito ang dalawang magagandang katangian na ginawa nitong bestseller: Si Steven Strogatz ay isang malakas na matematiko at guro na pinagsama sa isa.

Maaari kang magturo, ngunit hindi mo alam ang paksa. Marunong kang marunong magturo, pero hindi ka marunong magturo. Maaari mong gawin ang pareho, ngunit karaniwan. Ibang uri si Steven Strogatz: alam at alam niya kung paano magturo ng tama.

Tungkol saan ang aklat na ito? Sa katunayan, tungkol sa lahat ng bagay na kahit papaano ay may kaugnayan sa matematika. Sa unang sulyap, ang mga seksyon ng aklat ay pinili nang magulo (Mga Numero, Ratio, Mga Figure, Panahon ng Pagbabago, Maraming Mukha ng Data, Posibleng Hangganan), ngunit habang nagbabasa ka, nagsisimula kang maunawaan kung ano ang gustong ipahiwatig ng may-akda. Ang libro ay batay sa pananaliksik. Pananaliksik na isinagawa ng may-akda kasama ang mambabasa.

Ang hanay ng mga problemang isinasaalang-alang ay napakalaki. Sinuman, kahit na isang taong lubos na nakakaalam ng matematika, ay matututo ng bago mula dito. Sa kasong ito, sila ay itinuturing na praktikal na mga problema(halimbawa, pagkalkula ng interes na natanggap sa mga pagbabahagi na namuhunan sa stock market), at ganap na abstract.

Maraming problema ang ibinibigay sa kontekstong pangkasaysayan. Dito nais kong tumira nang hiwalay: ngayon ang kasaysayan ng pag-unlad ng matematika ay itinapon sa halos lahat ng mga aklat-aralin. Samantala, sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa kontekstong pangkasaysayan ay mapupuntahan ang isa - mula simpleng aritmetika sa mga modernong teoryang matematika.

Isaalang-alang, halimbawa, ang mga quadratic equation. Ilang luha ang ibinuhos ng mga mag-aaral at guro sa pagtatangkang alalahanin ang spell: Ang x one-two ay katumbas ng minus be plus o minus ang ugat ng be squared minus apat a-ce at hatiin ang lahat sa dalawang a.

Sa pamamagitan ng paraan, ang paraan ng pagsulat na ito ay hindi na tama ayon sa mga bagong pamantayan sa matematika - approx. editor.

Naaalala pa rin ng mga taong may magandang memorya at/o “nasa alam” ang teorama ni Vieta. Ngunit sa halip na lahat ng ito, si Stephen Strogatz ay nagbibigay ng isang eleganteng paliwanag, na imbento ni al-Khwarizmi, sa tulong nito, nang walang anumang mga formula, madali at natural na makakahanap ka ng solusyon (kahit na hindi kumpleto: sa oras na iyon ang mga negatibong numero ay hindi pa malawak. ginamit). At, sinisiguro ko sa iyo, sinumang magbabasa ng desisyong ito ay maaalala ito magpakailanman. Unang beses.

Mula sa kabanata hanggang kabanata ang pagiging kumplikado ng mga gawain ay tumataas. Ngunit hindi nawawala ang pag-unawa, na siyang espesyal na kasiyahan sa pagbabasa ng “The Pleasure of X.” Ang mambabasa ay nahuhulog sa kapaligiran na nilikha ng may-akda para sa kanya, halos sa isang matapang na bagong mundo.

Hindi ko alam kung ano ang maihahambing sa librong ito. Marahil sa sikat na Feyman na mga lecture sa physics o sa "You've got to be kidding me, Mr. Feyman." Ngunit isang bagay ang sigurado: ang aklat na ito ay mag-iiwan ng marka sa kaluluwa ng mga nagbabasa nito.

Ang matematika ang pinakatumpak at unibersal na wika agham, ngunit posible bang ipaliwanag ang damdamin ng tao gamit ang mga numero? Mga pormula ng pag-ibig, mga binhi ng kaguluhan at romantikong kaugalian na mga equation - Naglalathala ang T&P ng isang kabanata mula sa aklat ng isa sa ang pinakamahusay na mga guro matematika sa mundo ni Stephen Strogatz, The Pleasure of X, na inilathala ni Mann, Ivanov at Ferber.

Sa tagsibol, isinulat ni Tennyson, imahinasyon binata madaling lumingon sa mga saloobin ng pag-ibig. Sa kasamaang palad, ang potensyal na kapareha ng isang binata ay maaaring magkaroon ng kanyang sariling mga ideya tungkol sa pag-ibig, at pagkatapos ay ang kanilang relasyon ay mapupuno ng mga unos at down na ginagawang kapana-panabik at napakasakit ng pag-ibig. Ang ilang mga nagdurusa mula sa hindi nasusukli na pag-ibig ay naghahanap ng paliwanag para sa mga pag-ibig na ito sa alak, ang iba sa mga tula. At sasangguni kami sa calculus.

Ang pagsusuri sa ibaba ay magiging magkadikit, ngunit ito ay tumatalakay sa mga seryosong paksa. Higit pa rito, habang ang pag-unawa sa mga batas ng pag-ibig ay maaaring makatakas sa atin, ang mga batas ng walang buhay na mundo ay pinag-aaralang mabuti ngayon. Kinukuha nila ang anyo ng mga differential equation na naglalarawan kung paano nagbabago ang magkakaugnay na mga variable sa bawat sandali depende sa kanilang kasalukuyang mga halaga. Ang gayong mga equation ay maaaring walang gaanong kinalaman sa pag-iibigan, ngunit maaari nilang ipaliwanag kung bakit, sa mga salita ng isa pang makata, "ang landas ng tunay na pag-ibig ay hindi tumatakbo nang maayos." Upang ilarawan ang paraan ng mga differential equation, ipagpalagay na mahal ni Romeo si Juliet, ngunit sa aming bersyon ng kuwento si Juliet ay isang mahilig sa paglipad. Kung gaano siya kamahal ni Romeo, mas gusto niyang itago sa kanya. Ngunit nang nanlamig si Romeo sa kanya, nagsimula itong magmukhang kakaiba sa kanya. Gayunpaman, ang batang magkasintahan ay may posibilidad na ipakita ang kanyang mga damdamin: kumikinang siya kapag mahal siya nito, at lumalamig kapag napopoot siya sa kanya.

Ano ang mangyayari sa ating mga magkasintahan? Paano sila kinakain ng pag-ibig at naglalaho sa paglipas ng panahon? Dito nagliligtas ang differential calculus. Sa pamamagitan ng paglikha ng mga equation na nagbubuod sa waxing at waning na damdamin ni Romeo at Juliet, at pagkatapos ay lutasin ang mga ito, maaari nating mahulaan ang takbo ng relasyon ng mag-asawa. Ang pinakahuling pagbabala para sa kanya ay isang tragically walang katapusang siklo ng pag-ibig at poot. At least quarter of this time magkakaroon sila ng mutual love.

Upang maabot ang konklusyong ito, ipinapalagay ko na ang pag-uugali ni Romeo ay maaaring imodelo gamit ang isang differential equation,

na naglalarawan kung paano nagbabago ang kanyang pag-ibig ® sa susunod na sandali (dt). Ayon sa equation na ito, ang halaga ng pagbabago (dR) ay direktang proporsyonal (na may proportionality coefficient a) sa pagmamahal ni Juliet (J). Ang relasyong ito ay sumasalamin sa kung ano ang alam na natin: Ang pag-ibig ni Romeo ay tumataas kapag mahal siya ni Juliet, ngunit ito ay nagpapahiwatig din na ang pag-ibig ni Romeo ay tumataas sa direktang proporsyon sa kung gaano siya kamahal ni Juliet. Ang pagpapalagay na ito ng isang linear na relasyon ay emosyonal na hindi kapani-paniwala, ngunit ginagawa nitong mas madali ang paglutas ng equation.

Sa kaibahan, ang pag-uugali ni Juliet ay maaaring imodelo gamit ang equation

Ang negatibong tanda sa harap ng constant b ay sumasalamin na ang kanyang pag-ibig ay lumalamig habang tumitindi ang pagmamahal ni Romeo.

Ang tanging bagay na natitira upang matukoy ay ang kanilang mga unang damdamin (iyon ay, ang mga halaga ng R at J sa oras t = 0). Pagkatapos nito, ang lahat ng kinakailangang mga parameter ay itatakda. Maaari naming gamitin ang computer upang sumulong nang dahan-dahan, hakbang-hakbang, baguhin ang mga halaga ng R at J ayon sa mga differential equation na inilarawan sa itaas. Sa katunayan, gamit ang pangunahing teorama ng integral calculus, mahahanap natin ang solusyon nang analytical. Dahil simple ang modelo, ang integral calculus ay gumagawa ng isang pares ng mga komprehensibong formula na nagsasabi sa atin kung gaano mamahalin (o kapopootan) ni Romeo at Juliet ang isa't isa anumang oras sa hinaharap.

Ang mga differential equation na ipinakita sa itaas ay dapat na pamilyar sa mga estudyante ng physics: Romeo at Juliet ay kumikilos tulad ng mga simpleng harmonic oscillator. Kaya, hinuhulaan ng modelo na ang mga function na R (t) at J (t), na naglalarawan ng pagbabago sa kanilang mga ratios sa paglipas ng panahon, ay magiging sinusoids, bawat isa sa kanila ay tumataas at bumababa, ngunit ang kanilang pinakamataas na halaga ay hindi nag-tutugma.

"Ito ay isang hangal na ideya upang ilarawan relasyong may pag-ibig Ang paggamit ng mga differential equation ay pumasok sa aking isipan noong ako ay umibig sa unang pagkakataon at sinusubukan kong unawain ang hindi maintindihan na pag-uugali ng aking kasintahan"

Ang modelo ay maaaring gawing mas makatotohanan sa iba't ibang paraan. Halimbawa, maaaring tumugon si Romeo hindi lamang sa damdamin ni Juliet, kundi pati na rin sa kanyang damdamin. Paano kung isa siya sa mga taong takot na abandunahin na nagsimula siyang magpalamig ng kanyang damdamin. O kabilang siya sa ibang uri ng lalaki na mahilig magdusa - kaya mahal niya ito.

Idagdag sa mga senaryo na ito ang dalawa pang pag-uugali ni Romeo: tumugon siya sa pagmamahal ni Juliet sa pamamagitan ng pagtaas o pagpapahina ng sarili niyang pagmamahal - at makikita mo na mayroong apat na magkakaibang istilo ng pag-uugali sa isang relasyon sa pag-ibig. Iminungkahi ng aking mga mag-aaral at mga estudyante ng grupo ni Peter Christopher sa Worcester Polytechnic Institute na tawagan ang mga kinatawan ng mga ganitong uri tulad nito: ang Hermit o Evil Misanthrope para sa Romeo na nagpapalamig sa kanyang damdamin at lumalayo kay Juliet, at ang Narcissistic Blockhead at Flirting Fink para sa isa na nagpapainit sa kanyang sigasig, ngunit tinanggihan ni Juliet. (Maaari mong isipin mga pangngalang pantangi para sa lahat ng mga uri na ito).

Kahit na ang mga halimbawang ibinigay ay hindi kapani-paniwala, ang mga uri ng mga equation na naglalarawan sa mga ito ay lubos na insightful. Kinakatawan nila ang pinakamakapangyarihang mga tool na nilikha ng sangkatauhan para magkaroon ng kahulugan sa materyal na mundo. Gumamit si Sir Isaac Newton ng mga differential equation upang matuklasan ang sikreto ng paggalaw ng planeta. Gamit ang mga equation na ito, pinag-isa niya ang terrestrial at celestial sphere, na nagpapakita na ang parehong mga batas ng paggalaw ay nalalapat sa pareho.

Halos 350 taon pagkatapos ng Newton, naunawaan ng sangkatauhan na ang mga batas ng pisika ay palaging ipinahayag sa wika ng mga differential equation. Totoo ito para sa mga equation na naglalarawan sa daloy ng init, hangin at tubig, para sa mga batas ng kuryente at magnetism, kahit na para sa atom, kung saan naghahari ang quantum mechanics.

Sa lahat ng pagkakataon teoretikal na pisika dapat mahanap ang tamang differential equation at lutasin ang mga ito. Nang matuklasan ni Newton ang susi na ito sa mga lihim ng Uniberso at natanto ang malaking kahalagahan nito, inilathala niya ito sa anyo ng isang Latin na anagram. Maluwag na isinalin, ito ay parang ganito: "Kapaki-pakinabang ang paglutas ng mga differential equation."

Ang hangal na ideya na ilarawan ang mga relasyon sa pag-ibig gamit ang mga differential equation ay dumating sa akin noong ako ay umibig sa unang pagkakataon at sinusubukan kong unawain ang hindi maintindihan na pag-uugali ng aking kasintahan. Ito ay romansa sa tag-init sa pagtatapos ng ikalawang taon ng kolehiyo. Ako noon ay napakahawig ng unang Romeo, at siya - ang unang Juliet. Ang paikot-ikot na katangian ng aming relasyon ay nagdulot sa akin na baliw hanggang sa napagtanto ko na pareho kaming kumikilos nang wala sa inertia, alinsunod sa isang simpleng push-pull rule. Ngunit sa pagtatapos ng tag-araw, ang aking equation ay nagsimulang bumagsak, at ako ay naging mas nalilito. Ito pala ang nangyari isang mahalagang kaganapan, na hindi ko isinaalang-alang: siya dating magkasintahan gusto siyang bumalik.

Sa matematika, tinatawag natin ang problemang ito na three-body problem. Ito ay malinaw na hindi malulutas, lalo na sa konteksto ng astronomiya, kung saan ito unang lumitaw. Matapos lutasin ni Newton ang mga differential equation para sa problemang may dalawang katawan (na nagpapaliwanag kung bakit gumagalaw ang mga planeta sa mga elliptical orbit sa paligid ng Araw), ibinaling niya ang kanyang atensyon sa problemang tatlong-katawan para sa Araw, Lupa, at Buwan. Ni siya o ang iba pang mga siyentipiko ay hindi nagawang lutasin ito. Nang maglaon ay natuklasan na ang problema sa tatlong katawan ay naglalaman ng mga binhi ng kaguluhan, ibig sabihin, sa mahabang panahon ang kanilang pag-uugali ay hindi mahuhulaan.

Walang alam si Newton tungkol sa chaos dynamics, ngunit ayon sa kanyang kaibigan na si Edmund Halley, nagreklamo siya na ang problema sa tatlong katawan ay nagbigay sa kanya ng sakit ng ulo at pinananatili siya nang madalas na hindi na niya iniisip ang tungkol dito.

Narito ako sa iyo, Sir Isaac.

Ang aklat na ito ay mahusay na kinumpleto ng:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexible na kamalayan

Carol Dweck

Physics ng stock market

James Weatherall

Ang Kagalakan ng X

Isang Guided Tour ng Math, mula One hanggang Infinity

Stephen Strogatz

Ang kasiyahan ng X

Isang nakakatuwang paglalakbay sa mundo ng matematika mula sa isa sa mga pinakamahusay na guro sa mundo

Impormasyon mula sa publisher

Na-publish sa Russian sa unang pagkakataon

Na-publish na may pahintulot mula kay Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Ang kasiyahan ng X. Isang kamangha-manghang paglalakbay sa mundo ng matematika mula sa isa sa mga pinakamahusay na guro sa mundo / Stephen Strogatz; lane mula sa Ingles - M.: Mann, Ivanov at Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Maaaring baguhin ng aklat na ito ang iyong saloobin sa matematika. Binubuo ito ng mga maikling kabanata, sa bawat isa ay makakatuklas ka ng bago. Malalaman mo kung gaano kapaki-pakinabang ang mga numero para sa pag-aaral sa mundo sa paligid mo, mauunawaan mo ang kagandahan ng geometry, makikilala mo ang biyaya ng integral calculus, makumbinsi ka sa kahalagahan ng mga istatistika at makikipag-ugnay ka sa kawalang-hanggan . Ang may-akda ay nagpapaliwanag ng mga pangunahing ideya sa matematika nang simple at elegante, na may makikinang na mga halimbawa na mauunawaan ng lahat.

Lahat ng karapatan ay nakalaan.

Walang bahagi ng aklat na ito ang maaaring kopyahin sa anumang anyo nang walang nakasulat na pahintulot ng mga may hawak ng copyright.

Ang legal na suporta para sa publishing house ay ibinibigay ng Vegas-Lex law firm.

© Steven Strogatz, 2012 Nakalaan ang lahat ng karapatan

© Pagsasalin sa Russian, publikasyon sa Russian, disenyo. Mann, Ivanov at Ferber LLC, 2014

Paunang Salita

Mayroon akong isang kaibigan na, sa kabila ng kanyang craft (siya ay isang artista), ay mahilig sa agham. Sa tuwing magkakasama kami, masigasig siyang nagsasalita tungkol sa pinakabagong mga pag-unlad sa sikolohiya o quantum mechanics. Ngunit sa sandaling magsimula kaming mag-usap tungkol sa matematika, nakaramdam siya ng panginginig sa kanyang mga tuhod, na labis na ikinagagalit niya. Nagrereklamo siya na hindi lamang ang mga kakaibang simbolo ng matematika na ito ay sumasalungat sa kanyang pang-unawa, ngunit kung minsan ay hindi niya alam kung paano bigkasin ang mga ito.

Sa katunayan, ang dahilan ng kanyang pagtanggi sa matematika ay mas malalim. Wala siyang ideya kung ano ang ginagawa ng mga mathematician sa pangkalahatan at kung ano ang ibig nilang sabihin kapag sinabi nilang elegante ang isang binigay na patunay. Minsan nagbibiruan kami na kailangan ko lang maupo at simulan ang pagtuturo sa kanya mula sa pinakabatayan, literal na 1 + 1 = 2, at pumunta nang malalim sa math hangga't kaya niya.

At bagaman ang ideyang ito ay tila baliw, ito mismo ang susubukan kong ipatupad sa aklat na ito. Gagabayan kita sa lahat ng pangunahing sangay ng agham, mula sa aritmetika hanggang sa mas mataas na matematika, upang sa wakas ay samantalahin ito ng mga nagnanais ng pangalawang pagkakataon. At sa pagkakataong ito hindi mo na kailangang maupo sa isang mesa. Hindi ka gagawin ng aklat na ito na isang dalubhasa sa matematika. Ngunit makakatulong ito sa iyo na maunawaan kung ano ang pinag-aaralan ng disiplina na ito at kung bakit ito ay kaakit-akit para sa mga nakakaunawa nito.

Tuklasin namin kung paano makakatulong ang mga slam dunks ni Michael Jordan na ipaliwanag ang pangunahing calculus. Ipapakita ko sa iyo ang isang simple at kamangha-manghang paraan upang maunawaan ang pangunahing teorama ng Euclidean geometry - ang Pythagorean Theorem. Susubukan naming makuha ang ilalim ng ilan sa mga misteryo ng buhay, malaki at maliit: pinatay ba ni Jay Simpson ang kanyang asawa; kung paano muling iposisyon ang isang kutson upang ito ay tumagal hangga't maaari; ilang partner ang kailangang baguhin bago magpakasal - at makikita natin kung bakit mas malaki ang ilang infinity kaysa sa iba.

Ang matematika ay nasa lahat ng dako, kailangan mo lamang matutunang kilalanin ito. Maaari mong makita ang sine wave sa likod ng zebra, marinig ang mga dayandang ng Euclid's theorems sa Deklarasyon ng Kalayaan; ano ang masasabi ko, kahit sa mga tuyong ulat na nauna sa Unang Digmaang Pandaigdig, may mga negatibong numero. Maaari mo ring makita kung paano sa aming buhay ngayon Ang mga bagong direksyon sa matematika ay nakakaimpluwensya sa atin, halimbawa, kapag naghahanap tayo ng mga restaurant gamit ang isang computer o sinusubukang maunawaan man lang, at mas mabuti pa, makaligtas sa nakakatakot na pagbabago-bago ng stock market.

Ang aklat na ito ay mahusay na kinumpleto ng:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexible na kamalayan

Carol Dweck

Physics ng stock market

James Weatherall

Ang Kagalakan ng X

Isang Guided Tour ng Math, mula One hanggang Infinity

Stephen Strogatz

Ang kasiyahan ng X

Isang kamangha-manghang paglalakbay sa mundo ng matematika mula sa isa sa mga pinakamahusay na guro sa mundo

Impormasyon mula sa publisher

Na-publish sa Russian sa unang pagkakataon

Na-publish na may pahintulot mula kay Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Ang kasiyahan ng X. Isang kamangha-manghang paglalakbay sa mundo ng matematika mula sa isa sa mga pinakamahusay na guro sa mundo / Stephen Strogatz; lane mula sa Ingles - M.: Mann, Ivanov at Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Maaaring baguhin ng aklat na ito ang iyong saloobin sa matematika. Binubuo ito ng mga maikling kabanata, sa bawat isa ay makakatuklas ka ng bago. Malalaman mo kung gaano kapaki-pakinabang ang mga numero para sa pag-aaral sa mundo sa paligid mo, mauunawaan mo ang kagandahan ng geometry, makikilala mo ang biyaya ng integral calculus, makumbinsi ka sa kahalagahan ng mga istatistika at makikipag-ugnay ka sa kawalang-hanggan . Ang may-akda ay nagpapaliwanag ng mga pangunahing ideya sa matematika nang simple at elegante, na may makikinang na mga halimbawa na mauunawaan ng lahat.

Lahat ng karapatan ay nakalaan.

Walang bahagi ng aklat na ito ang maaaring kopyahin sa anumang anyo nang walang nakasulat na pahintulot ng mga may hawak ng copyright.

Ang legal na suporta para sa publishing house ay ibinibigay ng Vegas-Lex law firm.

© Steven Strogatz, 2012 Nakalaan ang lahat ng karapatan

© Pagsasalin sa Russian, publikasyon sa Russian, disenyo. Mann, Ivanov at Ferber LLC, 2014

Paunang Salita

Mayroon akong isang kaibigan na, sa kabila ng kanyang craft (siya ay isang artista), ay mahilig sa agham. Sa tuwing magkakasama kami, masigasig siyang nagsasalita tungkol sa pinakabagong mga pag-unlad sa sikolohiya o quantum mechanics. Ngunit sa sandaling magsimula kaming mag-usap tungkol sa matematika, nakaramdam siya ng panginginig sa kanyang mga tuhod, na labis na ikinagagalit niya. Nagrereklamo siya na hindi lamang ang mga kakaibang simbolo ng matematika na ito ay sumasalungat sa kanyang pang-unawa, ngunit kung minsan ay hindi niya alam kung paano bigkasin ang mga ito.

Sa katunayan, ang dahilan ng kanyang pagtanggi sa matematika ay mas malalim. Wala siyang ideya kung ano ang ginagawa ng mga mathematician sa pangkalahatan at kung ano ang ibig nilang sabihin kapag sinabi nilang elegante ang isang binigay na patunay. Minsan nagbibiruan kami na kailangan ko lang maupo at simulan ang pagtuturo sa kanya mula sa pinakabatayan, literal na 1 + 1 = 2, at pumunta nang malalim sa math hangga't kaya niya.

At bagaman ang ideyang ito ay tila baliw, ito mismo ang susubukan kong ipatupad sa aklat na ito. Gagabayan kita sa lahat ng pangunahing sangay ng agham, mula sa aritmetika hanggang sa mas mataas na matematika, upang sa wakas ay samantalahin ito ng mga nagnanais ng pangalawang pagkakataon. At sa pagkakataong ito hindi mo na kailangang maupo sa isang mesa. Hindi ka gagawin ng aklat na ito na isang dalubhasa sa matematika. Ngunit makakatulong ito sa iyo na maunawaan kung ano ang pinag-aaralan ng disiplina na ito at kung bakit ito ay kaakit-akit para sa mga nakakaunawa nito.

Tuklasin namin kung paano makakatulong ang mga slam dunks ni Michael Jordan na ipaliwanag ang pangunahing calculus. Ipapakita ko sa iyo ang isang simple at kamangha-manghang paraan upang maunawaan ang pangunahing teorama ng Euclidean geometry - ang Pythagorean Theorem. Susubukan naming makuha ang ilalim ng ilan sa mga misteryo ng buhay, malaki at maliit: pinatay ba ni Jay Simpson ang kanyang asawa; kung paano muling iposisyon ang isang kutson upang ito ay tumagal hangga't maaari; ilang partner ang kailangang baguhin bago magpakasal - at makikita natin kung bakit mas malaki ang ilang infinity kaysa sa iba.

Ang matematika ay nasa lahat ng dako, kailangan mo lamang matutunang kilalanin ito. Maaari mong makita ang sine wave sa likod ng zebra, marinig ang mga dayandang ng Euclid's theorems sa Deklarasyon ng Kalayaan; ano ang masasabi ko, kahit sa mga tuyong ulat na nauna sa Unang Digmaang Pandaigdig, may mga negatibong numero. Makikita mo rin kung paano naiimpluwensyahan ng mga bagong larangan ng matematika ang ating buhay ngayon, halimbawa, kapag naghanap tayo ng mga restaurant gamit ang computer o sinubukan nating maunawaan man lang, o mas mabuti pa, makaligtas sa nakakatakot na pagbabagu-bago ng stock market.

Isang serye ng 15 artikulo sa ilalim ng pangkalahatang pamagat na "Mga Pangunahing Kaalaman ng Matematika" ay lumabas online sa katapusan ng Enero 2010. Bilang tugon sa kanilang publikasyon, bumuhos ang mga liham at komento mula sa mga mambabasa sa lahat ng edad, kabilang ang maraming estudyante at guro. Mayroon ding mga simpleng mausisa na tao na, sa isang kadahilanan o iba pa, "naligaw ng landas" sa pag-unawa sa agham ng matematika; ngayon naramdaman nilang may na-miss sila O mahusay, at gustong subukang muli. Lalo akong natuwa sa pasasalamat ng aking mga magulang dahil, sa tulong ko, naipaliwanag nila ang matematika sa kanilang mga anak, at sila mismo ang nagsimulang mas maunawaan ito. Tila kahit na ang aking mga kasamahan at kasama, masigasig na mga tagahanga ng agham na ito, ay nasisiyahan sa pagbabasa ng mga artikulo, maliban sa mga sandaling iyon na nag-aagawan sila sa isa't isa upang mag-alok ng lahat ng uri ng mga rekomendasyon para sa pagpapabuti ng aking utak.

Sa kabila ng popular na paniniwala, mayroong isang malinaw na interes sa matematika sa lipunan, kahit na maliit na pansin ang binabayaran sa hindi pangkaraniwang bagay na ito. Ang tanging naririnig natin ay takot sa matematika, ngunit marami ang gustong subukang maunawaan ito nang mas mabuti. At sa sandaling mangyari ito, magiging mahirap na alisin ang mga ito.

Ipakikilala sa iyo ng aklat na ito ang pinakakumplikado at advanced na mga ideya mula sa mundo ng matematika. Ang mga kabanata ay maliit, madaling basahin at hindi partikular na nakadepende sa isa't isa. Kabilang sa mga ito ang mga kasama sa unang serye ng mga artikulo sa New York Times. Kaya, sa sandaling makaramdam ka ng kaunting pagkagutom sa matematika, huwag mag-atubiling kunin ang susunod na kabanata. Kung nais mong maunawaan nang mas detalyado ang isang tanong na interesado sa iyo, pagkatapos ay sa dulo ng aklat ay may mga tala na may karagdagang impormasyon at mga rekomendasyon kung ano pa ang mababasa mo tungkol dito.

Para sa kaginhawahan ng mga mambabasa na mas gusto ang isang hakbang-hakbang na diskarte, hinati ko ang materyal sa anim na bahagi alinsunod sa tradisyonal na pagkakasunud-sunod ng pag-aaral ng mga paksa.

Ang Bahagi I "Mga Numero" ay nagsisimula sa ating paglalakbay sa aritmetika sa kindergarten At mababang Paaralan. Ipinapakita nito kung gaano kapaki-pakinabang ang mga numero at kung gaano kaepektibo ang mga ito sa paglalarawan sa mundo sa paligid natin.

Ang Bahagi II, "Mga Ratio," ay inililipat ang atensyon mula sa mga numero sa kanilang sarili sa mga relasyon sa pagitan nila. Ang mga ideyang ito ay nasa puso ng algebra at ang mga unang kasangkapan para sa paglalarawan kung paano nakakaapekto ang isang bagay sa isa pa, na nagpapakita ng sanhi-at-epekto na relasyon ng iba't ibang bagay: supply at demand, stimulus at tugon - sa madaling salita, lahat ng uri ng mga relasyon na nagpapayaman at sari-sari ang mundo.

Ang Bahagi III "Mga Figure" ay hindi nagsasabi tungkol sa mga numero at simbolo, ngunit tungkol sa mga numero at espasyo - ang domain ng geometry at trigonometrya. Ang mga paksang ito, kasama ang paglalarawan ng lahat ng nakikitang bagay sa pamamagitan ng mga anyo, lohikal na pangangatwiran at patunay, ay nagpapataas ng matematika sa bagong antas katumpakan.

Sa Part IV, Time for a Change, titingnan natin ang calculus, ang pinakakapana-panabik at magkakaibang sangay ng matematika. Ginagawang posible ng Calculus na mahulaan ang trajectory ng mga planeta, ang mga cycle ng tides at ginagawang posible na maunawaan at ilarawan ang lahat ng pana-panahong pagbabago ng mga proseso at phenomena sa Uniberso at sa loob natin. Ang isang mahalagang lugar sa bahaging ito ay ibinibigay sa pag-aaral ng kawalang-hanggan, ang pacification na kung saan ay naging isang pambihirang tagumpay na nagpapahintulot sa mga kalkulasyon na gumana. Ang pag-compute ay nakatulong sa paglutas ng maraming problema na lumitaw sa sinaunang mundo, at ito sa huli ay humantong sa isang rebolusyon sa agham at modernong mundo.

Ang Bahagi V, "Ang Maraming Mukha ng Data," ay tumatalakay sa probabilidad, istatistika, network, at agham ng datos—bago pa ring mga larangan, na isinilang mula sa hindi gaanong maayos na mga aspeto ng ating buhay, tulad ng pagkakataon at suwerte, kawalan ng katiyakan, panganib , pagkakaiba-iba, kaguluhan, pagtutulungan. Gamit ang mga tamang tool ng matematika at ang mga naaangkop na uri ng data, matututo tayong makakita ng mga pattern sa daloy ng randomness.

Sa pagtatapos ng ating paglalakbay sa Part VI, “The Limits of the Possible,” lalapitan natin ang mga limitasyon ng kaalaman sa matematika, ang hangganang rehiyon sa pagitan ng kung ano ang alam na at kung ano ang mailap at hindi pa nalalaman. Muli nating dadaan ang mga paksa sa pagkakasunud-sunod na pamilyar na natin: mga numero, ratios, figure, pagbabago at kawalang-hanggan - ngunit sa parehong oras ay titingnan natin ang bawat isa sa kanila nang mas malalim, sa modernong pagkakatawang-tao nito.