Paksa" Slope tangent bilang tangent ng anggulo ng pagkahilig "sa pagsusulit sa sertipikasyon, maraming mga gawain ang itinalaga nang sabay-sabay. Depende sa kanilang kondisyon, ang nagtapos ay maaaring kailanganin na magbigay ng isang buong sagot at isang maikling sagot. Kapag naghahanda para sa pagsusulit sa matematika, dapat talagang ulitin ng mag-aaral ang mga gawain kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang slope ng tangent.

Ang paggawa nito ay makakatulong sa iyo portal ng edukasyon"Shkolkovo". Ang aming mga dalubhasa ay naghanda at nagpresenta ng teoretikal at praktikal na materyal bilang naa-access hangga't maaari. Ang pagkakaroon ng pamilyar dito, ang mga nagtapos sa anumang antas ng pagsasanay ay magagawang matagumpay na malutas ang mga problema na may kaugnayan sa mga derivatives, kung saan kinakailangan upang mahanap ang tangent ng slope ng tangent.

Mga pangunahing sandali

Upang mahanap ang tama at makatwirang solusyon sa naturang mga gawain sa USE, kinakailangang alalahanin ang pangunahing kahulugan: ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function; ito ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa isang tiyak na punto. Parehong mahalaga na kumpletuhin ang pagguhit. Papayagan ka nitong mahanap ang tamang solusyon sa mga problema sa USE sa derivative, kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang tangent ng slope ng tangent. Para sa kalinawan, pinakamahusay na mag-plot ng graph sa OXY plane.

Kung pamilyar ka na sa pangunahing materyal sa paksa ng derivative at handa ka nang simulan ang paglutas ng mga problema para sa pagkalkula ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng isang tangent, katulad ng GAMITIN ang mga takdang-aralin magagawa mo ito online. Para sa bawat gawain, halimbawa, mga gawain sa paksang "Kaugnayan ng derivative na may bilis at acceleration ng katawan", isinulat namin ang tamang sagot at ang algorithm ng solusyon. Sa kasong ito, maaaring magsanay ang mga mag-aaral sa pagsasagawa ng mga gawain ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Kung kinakailangan, ang ehersisyo ay maaaring i-save sa seksyong "Mga Paborito", upang sa paglaon ay maaari mong talakayin ang desisyon sa guro.

Sa artikulong ito, susuriin namin ang lahat ng uri ng mga problema para sa paghahanap

Tandaan natin geometric na kahulugan ng derivative: kung ang isang tangent ay iguguhit sa graph ng isang function sa isang punto, kung gayon ang slope ng tangent (katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis ) ay katumbas ng derivative ng function sa Ang punto .

Kumuha ng di-makatwirang punto sa tangent na may mga coordinate :

At isaalang-alang kanang tatsulok :

Sa tatsulok na ito

Mula rito

Ito ang equation ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa punto.

Upang isulat ang equation ng tangent, kailangan lamang nating malaman ang equation ng function at ang punto kung saan iginuhit ang tangent. Pagkatapos ay mahahanap natin at .

Mayroong tatlong pangunahing uri ng mga problema sa tangent equation.

1. Nabigyan ng punto ng pakikipag-ugnayan

2. Dahil sa koepisyent ng slope ng tangent, iyon ay, ang halaga ng derivative ng function sa punto.

3. Ibinigay ang mga coordinate ng punto kung saan iginuhit ang tangent, ngunit hindi ito isang tangent point.

Tingnan natin ang bawat uri ng problema.

isa. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function sa punto .

.

b) Hanapin ang halaga ng derivative sa punto . Una naming mahanap ang derivative ng function

Palitan ang mga nahanap na halaga sa tangent equation:

Buksan natin ang mga bracket sa kanang bahagi ng equation. Nakukuha namin:

Sagot: .

2. Hanapin ang abscissas ng mga punto kung saan ang mga function na padaplis sa graph parallel sa x-axis.

Kung ang tangent ay parallel sa x-axis, ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis sero, samakatuwid, ang padaplis ng slope ng padaplis ay zero. Samakatuwid, ang halaga ng derivative ng function sa mga punto ng contact ay katumbas ng zero.

a) Hanapin ang derivative ng function .

b) Equate ang derivative sa zero at hanapin ang mga halaga kung saan ang tangent ay parallel sa axis:

Itinutumbas namin ang bawat kadahilanan sa zero, nakukuha namin:

Sagot: 0;3;5

3 . Sumulat ng mga equation ng tangents sa graph ng isang function , parallel tuwid .

Ang padaplis ay parallel sa linya. Ang slope ng tuwid na linyang ito ay -1. Dahil ang padaplis ay parallel sa linyang ito, samakatuwid, ang slope ng padaplis ay din -1. Yan ay alam natin ang slope ng tangent, at sa gayon ang halaga ng derivative sa punto ng contact.

Ito ang pangalawang uri ng problema para sa paghahanap ng tangent equation.

Kaya, binibigyan kami ng isang function at ang halaga ng derivative sa punto ng contact.

a) Hanapin ang mga punto kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng -1.

Una, hanapin natin ang derivative equation.

Itumbas natin ang derivative sa bilang na -1.

Hanapin ang halaga ng function sa punto .

(ayon sa kondisyon)

.

b) Hanapin ang equation ng tangent sa graph ng function sa punto .

Hanapin ang halaga ng function sa punto .

(ayon sa kondisyon).

Ipalit ang mga halagang ito sa tangent equation:

.

Sagot:

apat. Sumulat ng isang equation para sa isang tangent sa isang curve , dumadaan sa isang punto

Una, suriin kung ang punto ay hindi isang touch point. Kung ang punto ay isang tangent point, kung gayon ito ay kabilang sa graph ng function, at ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng function. Palitan ang mga coordinate ng punto sa equation ng function.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ay hindi isang punto ng pakikipag-ugnay.

Ito ang huling uri ng problema para sa paghahanap ng tangent equation. Unang bagay kailangan nating hanapin ang abscissa ng point of contact.

Hanapin natin ang halaga.

Hayaan ang punto ng pakikipag-ugnay. Ang punto ay kabilang sa tangent sa graph ng function. Kung papalitan natin ang mga coordinate ng puntong ito sa tangent equation, makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay:

.

Ang halaga ng function sa punto ay .

Hanapin ang halaga ng derivative ng function sa punto .

Hanapin muna natin ang derivative ng function. Ito .

Ang derivative sa isang punto ay .

Palitan natin ang mga expression para sa at sa equation ng tangent. Nakukuha namin ang equation para sa:

Lutasin natin ang equation na ito.

Bawasan ng 2 ang numerator at denominator ng fraction:

Dinadala namin ang kanang bahagi ng equation sa isang karaniwang denominator. Nakukuha namin:

Pasimplehin ang numerator ng fraction at i-multiply ang parehong bahagi sa - ang expression na ito ay mahigpit Higit sa zero.

Nakukuha namin ang equation

Solusyonan natin ito. Upang gawin ito, parisukat namin ang parehong bahagi at pumunta sa system.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Lutasin natin ang unang equation.

Nalulutas namin ang quadratic equation, nakukuha namin

Ang pangalawang ugat ay hindi nakakatugon sa kundisyon na pamagat="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Isulat natin ang equation ng tangent sa curve sa punto . Upang gawin ito, pinapalitan namin ang halaga sa equation Na-record na namin ito.

Sagot:
.

Ang equation ng tangent sa graph ng function

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Rehiyon ng Chelyabinsk

Ang equation ng tangent sa graph ng function

Na-publish ang artikulo sa suporta ng ITAKA+ Hotel Complex. Ang pananatili sa lungsod ng mga gumagawa ng barko na Severodvinsk, hindi mo haharapin ang problema sa paghahanap ng pansamantalang pabahay. , sa website ng hotel complex na "ITAKA +" http://itakaplus.ru, madali at mabilis kang makakapagrenta ng apartment sa lungsod, para sa anumang panahon, na may araw-araw na pagbabayad.

Sa kasalukuyang yugto pag-unlad ng edukasyon bilang isa sa mga pangunahing gawain nito ay ang pagbuo ng isang malikhaing pag-iisip na personalidad. Ang kakayahan para sa pagkamalikhain sa mga mag-aaral ay mapapaunlad lamang kung sila ay sistematikong kasangkot sa mga pangunahing kaalaman sa mga aktibidad sa pananaliksik. Ang pundasyon para sa mga mag-aaral na gamitin ang kanilang mga malikhaing pwersa, kakayahan at talento ay nabuo ng ganap na kaalaman at kasanayan. Kaugnay nito, ang problema sa pagbuo ng isang sistema ng mga pangunahing kaalaman at kasanayan para sa bawat paksa ng kurso sa matematika ng paaralan ay hindi maliit na kahalagahan. Kasabay nito, ang mga ganap na kasanayan ay dapat na ang didaktikong layunin hindi ng mga indibidwal na gawain, ngunit ng kanilang maingat na pinag-isipang sistema. Sa pinakamalawak na kahulugan, ang isang sistema ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga magkakaugnay na nakikipag-ugnayan na mga elemento na may integridad at isang matatag na istraktura.

Isaalang-alang ang isang pamamaraan para sa pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano gumuhit ng isang equation ng isang tangent sa isang function graph. Sa esensya, ang lahat ng mga gawain para sa paghahanap ng tangent equation ay nabawasan sa pangangailangan na pumili mula sa set (sheaf, family) ng mga linya ng mga ito na nakakatugon sa isang tiyak na kinakailangan - sila ay tangent sa graph ng isang tiyak na function. Sa kasong ito, ang hanay ng mga linya kung saan isinasagawa ang pagpili ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

a) isang punto na nakahiga sa xOy plane (gitnang lapis ng mga linya);
b) angular coefficient (parallel na bundle ng mga linya).

Kaugnay nito, kapag pinag-aaralan ang paksang "Tangent sa graph ng isang function" upang ihiwalay ang mga elemento ng system, natukoy namin ang dalawang uri ng mga gawain:

1) mga gawain sa isang tangent na ibinigay ng isang punto kung saan ito dumaan;
2) mga gawain sa isang padaplis na ibinigay ng slope nito.

Ang pag-aaral upang malutas ang mga problema sa isang tangent ay isinagawa gamit ang algorithm na iminungkahi ng A.G. Mordkovich. Ang pangunahing pagkakaiba nito mula sa mga kilala na ay ang abscissa ng tangent point ay tinutukoy ng titik a (sa halip na x0), na may kaugnayan kung saan ang tangent equation ay kumukuha ng anyo

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(ihambing sa y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ito pamamaraang pamamaraan, sa aming opinyon, ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na mabilis at madaling mapagtanto kung saan nakasulat ang mga coordinate ng kasalukuyang punto sa pangkalahatang tangent equation, at nasaan ang mga touch point.

Algorithm para sa pag-compile ng equation ng tangent sa graph ng function na y = f(x)

1. Italaga gamit ang titik a ang abscissa ng punto ng kontak.
2. Hanapin ang f(a).
3. Hanapin ang f "(x) at f "(a).
4. Palitan ang mga nahanap na numero a, f (a), f "(a) sa pangkalahatang equation ng tangent y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Ang algorithm na ito ay maaaring i-compile batay sa independiyenteng pagpili ng mga operasyon ng mga mag-aaral at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagpapatupad.

Ipinakita ng pagsasanay na ang pare-parehong solusyon ng bawat isa sa mga pangunahing gawain gamit ang algorithm ay nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng kakayahang isulat ang equation ng tangent sa graph ng function sa mga yugto, at ang mga hakbang ng algorithm ay nagsisilbing malakas na mga punto para sa mga aksyon. . Ang diskarte na ito ay tumutugma sa teorya ng unti-unting pagbuo ng mga aksyon sa pag-iisip na binuo ni P.Ya. Galperin at N.F. Talyzina.

Sa unang uri ng mga gawain, dalawang pangunahing gawain ang natukoy:

• ang padaplis ay dumadaan sa isang puntong nakahiga sa kurba (problema 1);
• ang padaplis ay dumadaan sa isang puntong hindi nakalagay sa kurba (Problema 2).

Gawain 1. Ipantay ang tangent sa graph ng function sa puntong M(3; – 2).

Solusyon. Ang puntong M(3; – 2) ay ang punto ng kontak, dahil

1. a = 3 - abscissa ng touch point.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 ang tangent equation.

Gawain 2. Isulat ang mga equation ng lahat ng tangents sa graph ng function na y = - x 2 - 4x + 2, na dumadaan sa puntong M(- 3; 6).

Solusyon. Ang puntong M(– 3; 6) ay hindi isang tangent point, dahil f(– 3) 6 (Larawan 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangent equation.

Ang tangent ay dumadaan sa puntong M(– 3; 6), samakatuwid, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa tangent equation.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
isang 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Kung a = – 4, ang tangent equation ay y = 4x + 18.

Kung ang isang \u003d - 2, kung gayon ang tangent equation ay may anyo na y \u003d 6.

Sa pangalawang uri, ang mga pangunahing gawain ay ang mga sumusunod:

• ang padaplis ay parallel sa ilang tuwid na linya (problema 3);
• ang padaplis ay dumadaan sa ilang anggulo sa ibinigay na linya (Problema 4).

Gawain 3. Isulat ang mga equation ng lahat ng tangents sa graph ng function na y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, parallel sa linya y \u003d 9x + 1.

Solusyon.

1. a - abscissa ng touch point.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ngunit, sa kabilang banda, f "(a) \u003d 9 (kondisyon ng parallelism). Kaya, kailangan nating lutasin ang equation 3a 2 - 6a \u003d 9. Ang mga ugat nito a \u003d - 1, a \u003d 3 (Fig . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 ay ang tangent equation;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 ay ang tangent equation.

Gawain 4. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = 0.5x 2 - 3x + 1, na dumadaan sa isang anggulo na 45 ° sa tuwid na linya y = 0 (Fig. 4).

Solusyon. Mula sa kundisyon f "(a) \u003d tg 45 ° nakita namin ang isang: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - abscissa ng touch point.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - ang equation ng tangent.

Madaling ipakita na ang solusyon ng anumang iba pang problema ay nabawasan sa solusyon ng isa o ilang pangunahing problema. Isaalang-alang ang sumusunod na dalawang problema bilang isang halimbawa.

1. Isulat ang mga equation ng tangents sa parabola y = 2x 2 - 5x - 2, kung ang mga tangent ay bumalandra sa tamang anggulo at ang isa sa mga ito ay humipo sa parabola sa punto na may abscissa 3 (Fig. 5).

Solusyon. Dahil ang abscissa ng punto ng kontak ay ibinigay, ang unang bahagi ng solusyon ay nabawasan sa pangunahing problema 1.

1. a \u003d 3 - ang abscissa ng punto ng contact ng isa sa mga gilid ng tamang anggulo.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - ang equation ng unang tangent.

Hayaan ang a ay ang anggulo ng pagkahilig ng unang tangent. Dahil ang mga tangent ay patayo, kung gayon ang anggulo ng pagkahilig ng pangalawang padaplis. Mula sa equation na y = 7x – 20 ng unang tangent mayroon tayong tg a = 7. Hanapin

Nangangahulugan ito na ang slope ng pangalawang padaplis ay .

Ang karagdagang solusyon ay nabawasan sa pangunahing gawain 3.

Hayaan ang B(c; f(c)) ang padaplis na punto ng pangalawang linya, kung gayon

1. - abscissa ng pangalawang punto ng contact.
2.
3.
4.
ay ang equation ng ikalawang tangent.

Tandaan. Mas madaling mahahanap ang angular coefficient ng tangent kung alam ng mga mag-aaral ang ratio ng coefficients ng perpendicular lines k 1 k 2 = - 1.

2. Isulat ang mga equation ng lahat ng karaniwang tangent sa mga function graph

Solusyon. Ang gawain ay nabawasan sa paghahanap ng mga abscissas ng mga punto ng pakikipag-ugnay ng mga karaniwang tangent, iyon ay, sa paglutas ng pangunahing problema 1 sa pangkalahatang mga termino, pag-compile ng isang sistema ng mga equation at pagkatapos ay paglutas nito (Larawan 6).

1. Hayaang a ang abscissa ng touch point na nasa graph ng function na y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Hayaang c ang abscissa ng tangent point na nasa graph ng function
2.
3. f "(c) = c.
4.

Dahil ang mga tangent ay karaniwan, kung gayon

Kaya y = x + 1 at y = - 3x - 3 ay karaniwang mga tangent.

Ang pangunahing layunin ng mga gawain na isinasaalang-alang ay upang ihanda ang mga mag-aaral para sa pagkilala sa sarili ng uri ng pangunahing gawain kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga gawain na nangangailangan ng ilang mga kasanayan sa pananaliksik (ang kakayahang mag-analisa, maghambing, mag-generalize, maglagay ng hypothesis, atbp.). Kasama sa mga naturang gawain ang anumang gawain kung saan ang pangunahing gawain ay kasama bilang isang bahagi. Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa ang problema (kabaligtaran sa problema 1) ng paghahanap ng isang function mula sa pamilya ng mga tangent nito.

3. Para sa ano b at c ang mga linyang y \u003d x at y \u003d - 2x tangent sa graph ng function na y \u003d x 2 + bx + c?

Solusyon.

Hayaang t ang abscissa ng punto ng kontak ng linyang y = x na may parabola y = x 2 + bx + c; p ay ang abscissa ng punto ng contact ng linya y = - 2x na may parabola y = x 2 + bx + c. Pagkatapos ang tangent equation na y = x ay kukuha ng form na y = (2t + b)x + c - t 2 , at ang tangent equation na y = - 2x ay kukuha ng form na y = (2p + b)x + c - p 2 .

Bumuo at lutasin ang isang sistema ng mga equation

Sagot:

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Isulat ang mga equation ng tangents na iginuhit sa graph ng function na y = 2x 2 - 4x + 3 sa mga intersection point ng graph na may linyang y = x + 3.

Sagot: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9.5.

2. Para sa anong mga halaga ng a ang tangent na iginuhit sa graph ng function na y \u003d x 2 - ax sa punto ng graph na may abscissa x 0 \u003d 1 ay dumadaan sa puntong M (2; 3) ?

Sagot: a = 0.5.

3. Para sa anong mga halaga ng p ang linyang y = px - 5 ay dumadampi sa kurba y = 3x 2 - 4x - 2?

Sagot: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Hanapin ang lahat ng mga karaniwang punto ng graph ng function na y = 3x - x 3 at ang tangent na iginuhit sa graph na ito sa pamamagitan ng puntong P(0; 16).

Sagot: A(2; - 2), B(- 4; 52).

5. Hanapin ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng parabola y = x 2 + 6x + 10 at ng linya

Sagot:

6. Sa curve y \u003d x 2 - x + 1, hanapin ang punto kung saan ang tangent sa graph ay parallel sa linyang y - 3x + 1 \u003d 0.

Sagot: M(2; 3).

7. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = x 2 + 2x - | 4x | na humipo dito sa dalawang punto. Gumawa ng drawing.

Sagot: y = 2x - 4.

8. Patunayan na ang linyang y = 2x – 1 ay hindi nagsasalubong sa kurba y = x 4 + 3x 2 + 2x. Hanapin ang distansya sa pagitan ng kanilang pinakamalapit na mga punto.

Sagot:

9. Sa parabola y \u003d x 2, dalawang puntos na may abscissas x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3 ang kinuha. Sa anong punto ng parabola magiging parallel ang padaplis dito sa secant na iginuhit? Isulat ang mga equation para sa secant at tangent.

Sagot: y \u003d 4x - 3 - secant equation; y = 4x – 4 ay ang tangent equation.

10. Hanapin ang anggulo q sa pagitan ng mga tangent sa graph ng function na y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, na iginuhit sa mga puntong may abscissas 0 at 1.

Sagot: q = 45°.

11. Sa anong mga punto ang tangent sa function graph ay bumubuo ng isang anggulo ng 135° sa Ox axis?

Sagot: A(0; - 1), B(4; 3).

12. Sa puntong A(1; 8) sa kurba iginuhit ang isang tangent. Hanapin ang haba ng tangent segment na nakapaloob sa pagitan ng mga coordinate axes.

Sagot:

13. Isulat ang equation ng lahat ng karaniwang tangent sa mga graph ng mga function y \u003d x 2 - x + 1 at y \u003d 2x 2 - x + 0.5.

Sagot: y = - 3x at y = x.

14. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tangent sa function graph parallel sa x-axis.

Sagot:

15. Tukuyin sa kung anong mga anggulo ang parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 na nag-intersect sa x-axis.

Sagot: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Sa graph ng function hanapin ang lahat ng mga punto, ang padaplis sa bawat isa kung saan sa graph na ito ay nag-intersect sa mga positibong semiax ng mga coordinate, na pinuputol ang pantay na mga segment mula sa kanila.

Sagot: A(-3; 11).

17. Ang linyang y = 2x + 7 at ang parabola y = x 2 – 1 ay nagsalubong sa mga puntong M at N. Hanapin ang intersection point K ng mga linyang padaplis sa parabola sa mga puntong M at N.

Sagot: K(1; - 9).

18. Para sa anong mga halaga ng b ang linyang y \u003d 9x + b padaplis sa graph ng function na y \u003d x 3 - 3x + 15?

Sagot: - 1; 31.

19. Para sa anong mga halaga ng k ang linyang y = kx – 10 ay may isang karaniwang punto lamang na may graph ng function na y = 2x 2 + 3x – 2? Para sa mga nahanap na halaga ng k, tukuyin ang mga coordinate ng punto.

Sagot: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Para sa anong mga halaga ng b ang padaplis na iginuhit sa graph ng function na y = bx 3 – 2x 2 – 4 sa puntong may abscissa x 0 = 2 ay dumadaan sa puntong M(1; 8)?

Sagot: b = - 3.

21. Ang isang parabola na may vertex sa x-axis ay padaplis sa isang linyang dumadaan sa mga puntos A(1; 2) at B(2; 4) sa punto B. Hanapin ang equation ng parabola.

Sagot:

22. Sa anong halaga ng coefficient k ang parabola y \u003d x 2 + kx + 1 ay humahawak sa Ox axis?

Sagot: k = q 2.

23. Hanapin ang mga anggulo sa pagitan ng linyang y = x + 2 at ang curve y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tangent sa graph ng mga function generator na may positibong direksyon ng Ox axis sa isang anggulo na 45 °.

Sagot:

30. Hanapin ang locus ng vertices ng lahat ng parabola ng anyong y = x 2 + ax + b na humahawak sa linyang y = 4x - 1.

Sagot: tuwid na linya y = 4x + 3.

Panitikan

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra and the Beginnings of Analysis: 3600 Problems for Schoolchildren and University Applicants. - M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Ang ika-apat na seminar para sa mga batang guro. Ang paksa ay "Mga Derivative Application". - M., "Mathematics", No. 21/94.
3. Pagbuo ng kaalaman at kasanayan batay sa teorya ng unti-unting asimilasyon ng mga aksyong pangkaisipan. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moscow State University, 1968.

Unang antas

Ang equation ng tangent sa graph ng function. Comprehensive Guide (2019)

Alam mo na ba kung ano ang derivative? Kung hindi, basahin mo muna ang thread. So sabi mo alam mo yung derivative. Ngayon suriin natin. Hanapin ang increment ng function kapag ang increment ng argument ay katumbas ng. Inayos mo ba? Dapat itong gumana. Ngayon hanapin ang derivative ng function sa isang punto. Sagot: . Nangyari? Kung ang alinman sa mga halimbawang ito ay mahirap, lubos kong inirerekumenda na bumalik ka sa paksa at pag-aralan itong muli. Alam ko na ang paksa ay napakalaki, ngunit kung hindi man ay walang saysay na magpatuloy pa. Isaalang-alang ang graph ng ilang function:

Pumili tayo ng isang tiyak na punto sa linya ng graph. Hayaan ang abscissa nito, kung gayon ang ordinate ay pantay. Pagkatapos ay pumili kami ng isang puntong malapit sa puntong may abscissa; ang ordinate nito ay:

Gumuhit tayo ng linya sa mga puntong ito. Ito ay tinatawag na secant (tulad ng sa geometry). Tukuyin natin ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa axis bilang. Tulad ng sa trigonometrya, ang anggulong ito ay sinusukat mula sa positibong direksyon ng x-axis na pakaliwa. Anong mga halaga ang maaaring kunin ng isang anggulo? Kahit paano mo ikiling ang tuwid na linyang ito, mananatili pa rin ang kalahati. Samakatuwid, ang pinakamataas na posibleng anggulo ay , at ang pinakamababang posible ay . Ibig sabihin, . Ang anggulo ay hindi kasama, dahil ang posisyon ng linya sa kasong ito ay eksaktong nag-tutugma sa, at ito ay mas lohikal na pumili ng isang mas maliit na anggulo. Kumuha ng isang punto sa figure upang ang tuwid na linya ay parallel sa abscissa axis, at - ordinate:

Makikita sa pigura na a. Pagkatapos ang ratio ng mga pagtaas:

(dahil ito ay hugis-parihaba).

Bawasan natin ngayon. Pagkatapos ang punto ay lalapit sa punto. Kapag ito ay naging infinitesimal, ang ratio ay magiging katumbas ng derivative ng function sa punto. Ano ang magiging secant sa kasong ito? Ang punto ay magiging walang katapusang malapit sa punto, kaya maaari silang ituring na parehong punto. Ngunit ang isang tuwid na linya na mayroon lamang isang karaniwang punto na may kurba ay walang iba kundi padaplis(sa kasong ito, ang kundisyong ito ay nasiyahan lamang sa isang maliit na lugar - malapit sa punto, ngunit ito ay sapat na). Sinasabi nila na sa kasong ito ang secant ay sumasakop limitahan ang posisyon.

Tawagan natin ang anggulo ng inclination ng secant sa axis. Pagkatapos ito ay lumiliko out na ang derivative

yan ay ang derivative ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Dahil ang tangent ay isang tuwid na linya, alalahanin natin ngayon ang equation ng isang tuwid na linya:

Para saan ang ratio? Para sa slope ng isang tuwid na linya. Ito ay tinatawag na ganito: dalisdis. Ano ang ibig sabihin nito? At ang katotohanan na ito ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng linya at ng axis! Ibig sabihin, ganito ang nangyayari:

Ngunit nakuha namin ang panuntunang ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa pagtaas ng function. Ano ang mangyayari kung bumababa ang function? Tingnan natin:
Ngayon ang mga sulok ay mapurol. At ang pagtaas ng function ay negatibo. Isaalang-alang muli: . Sa kabilang kamay, . Nakukuha namin:, iyon ay, lahat, tulad ng huling pagkakataon. Idirekta natin muli ang punto sa punto, at ang secant ay kukuha ng limitasyon na posisyon, iyon ay, ito ay magiging isang tangent sa graph ng function sa punto. Kaya, bumalangkas tayo ng panghuling tuntunin:
Ang derivative ng function sa isang partikular na punto ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent sa graph ng function sa puntong ito, o (na pareho) ang slope ng tangent na ito:

Iyon na iyon geometric na kahulugan ng derivative. Okay, lahat ng ito ay kawili-wili, ngunit bakit kailangan natin ito? Dito halimbawa:
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function at isang tangent dito sa isang punto na may abscissa. Hanapin ang halaga ng derivative ng function sa isang punto.
Solusyon.
Tulad ng nalaman natin kamakailan, ang halaga ng derivative sa punto ng contact ay katumbas ng slope ng tangent, na kung saan ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent na ito sa x-axis: . Kaya, upang mahanap ang halaga ng derivative, kailangan nating hanapin ang tangent ng slope ng tangent. Sa figure, minarkahan namin ang dalawang puntos na nakahiga sa isang tangent, ang mga coordinate na alam sa amin. Kaya't kumpletuhin natin ang right-angled triangle na dumadaan sa mga puntong ito, at hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng padaplis!

Ang anggulo ng pagkahilig ng padaplis sa axis ay. Hanapin natin ang padaplis ng anggulong ito: . Kaya, ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng.
Sagot:. Ngayon subukan ito sa iyong sarili:

Mga sagot:

Alam geometric na kahulugan ng derivative, napakasimpleng maipaliwanag ng isa ang tuntunin na ang derivative sa punto ng lokal na maximum o minimum ay katumbas ng zero. Sa katunayan, ang tangent sa graph sa mga puntong ito ay "pahalang", iyon ay, parallel sa x-axis:

Ano ang anggulo sa pagitan ng mga parallel na linya? Syempre, zero! At ang tangent ng zero ay zero din. Kaya ang derivative ay zero:

Magbasa nang higit pa tungkol dito sa paksang "Monotonicity ng mga pag-andar. matinding puntos.

Ngayon, tumuon tayo sa mga arbitrary tangents. Ipagpalagay na mayroon kaming ilang function, halimbawa, . Iginuhit namin ang graph nito at gusto naming gumuhit ng tangent dito sa isang punto. Halimbawa, sa isang punto. Kumuha kami ng isang ruler, ilakip ito sa graph at gumuhit:

Ano ang alam natin tungkol sa linyang ito? Ano ang pinakamahalagang bagay na dapat malaman tungkol sa isang tuwid na linya sa isang coordinate plane? Dahil ang tuwid na linya ay ang imahe linear function, magiging maginhawang malaman ang equation nito. Iyon ay, ang mga coefficient sa equation

Pero alam na natin! Ito ang slope ng tangent, na katumbas ng derivative ng function sa puntong iyon:

Sa aming halimbawa ito ay magiging ganito:

Ngayon ay nananatiling mahahanap. Ito ay mas simple kaysa sa simple: pagkatapos ng lahat - ang halaga sa. Sa graphically, ito ang coordinate ng intersection ng tuwid na linya kasama ang y-axis (pagkatapos ng lahat, sa lahat ng mga punto ng axis):

Gumuhit tayo (kaya na - hugis-parihaba). Pagkatapos (sa parehong anggulo sa pagitan ng tangent at ng x-axis). Ano ang at katumbas ng? Ang figure ay malinaw na nagpapakita na, a. Pagkatapos makuha namin:

Pinagsasama namin ang lahat ng nakuha na mga formula sa equation ng isang tuwid na linya:

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. hanapin tangent equation sa isang function sa isang punto.
2. Ang padaplis sa parabola ay nag-intersect sa axis sa isang anggulo. Hanapin ang equation para sa tangent na ito.
3. Ang linya ay parallel sa tangent sa graph ng function. Hanapin ang abscissa ng point of contact.
4. Ang linya ay parallel sa tangent sa graph ng function. Hanapin ang abscissa ng point of contact.

Mga solusyon at sagot:

EQUATION NG FUNCTION TANGENT SA GRAPH. MAIKLING PAGLALARAWAN AT BATAYANG FORMULA

Ang derivative ng function sa isang partikular na punto ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent sa graph ng function sa puntong ito, o ang slope ng tangent na ito:

Ang equation ng tangent sa graph ng isang function sa isang punto:

Algorithm ng mga aksyon para sa paghahanap ng tangent equation:

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa sa isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Nalaman mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...

Para saan?

Para sa matagumpay pagpasa sa pagsusulit, para sa pagpasok sa institute sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...

Mga taong nakatanggap magandang edukasyon, kumikita ng mas malaki kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kinakailangan upang makatiyak na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?

PUNUAN ANG IYONG KAMAY, SOLUSYON NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.

At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 kuskusin.
2. I-unlock ang access sa lahat ng nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - 999 kuskusin.

Oo, mayroon kaming 99 na mga naturang artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Sa pangalawang kaso bibigyan ka namin simulator "6000 mga gawain na may mga solusyon at sagot, para sa bawat paksa, para sa lahat ng antas ng pagiging kumplikado." Ito ay tiyak na sapat upang makuha ang iyong kamay sa paglutas ng mga problema sa anumang paksa.

Sa katunayan, ito ay higit pa sa isang simulator - buong programa paghahanda. Kung kinakailangan, maaari mo ring gamitin ito nang LIBRE.

Ang access sa lahat ng mga teksto at programa ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin!

Uri ng trabaho: 7

Kundisyon

Ang linyang y=3x+2 ay padaplis sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10. Hanapin ang b , dahil ang abscissa ng touch point ay mas mababa sa zero.

Solusyon

Hayaang x_0 ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10 kung saan dumadaan ang tangent sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, ibig sabihin, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sa kabilang banda, ang tangent point ay kabilang sa parehong graph ng function at ng padaplis, i.e. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga touch point ay mas mababa sa zero, samakatuwid x_0=-1, pagkatapos b=3+24x_0=-21.

Sagot

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometriko na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang linyang y=-3x+4 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=-x^2+5x-7. Hanapin ang abscissa ng point of contact.

Solusyon

Ang slope ng linya sa graph ng function na y=-x^2+5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay y"(x_0). Ngunit y"=-2x+5, so y"(x_0)=- 2x_0+5. Angular ang koepisyent ng linyang y=-3x+4 na tinukoy sa kondisyon ay -3.Ang magkatulad na linya ay may parehong mga slope.Samakatuwid, nakita namin ang isang halagang x_0 na =-2x_0 +5=-3.

Nakukuha namin ang: x_0 = 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. Antas ng profile". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometriko na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Solusyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang tangent ay dumadaan sa mga puntos na A(-6; 2) at B(-1; 1). Tukuyin sa pamamagitan ng C(-6; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=-6 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulong ABC (makikita sa pigura na ito ay matalim). Pagkatapos ang linyang AB ay bumubuo ng obtuse angle \pi -\alpha na may positibong direksyon ng Ox axis.

Tulad ng alam mo, ang tg(\pi -\alpha) ang magiging halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x_0. pansinin mo yan tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Mula dito, sa pamamagitan ng mga pormula ng pagbabawas, nakukuha namin ang: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometriko na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang linyang y=-2x-4 ay padaplis sa graph ng function na y=16x^2+bx+12. Hanapin ang b , dahil ang abscissa ng touch point ay mas malaki sa zero.

Solusyon

Hayaang ang x_0 ay ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=16x^2+bx+12 kung saan

ay padaplis sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, ibig sabihin, y "(x_0)=32x_0+b=-2. Sa kabilang banda, ang tangent point ay kabilang sa parehong graph ng function at ng padaplis, ibig sabihin, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga touch point ay mas malaki kaysa sa zero, samakatuwid x_0=1, pagkatapos ay b=-2-32x_0=-34.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometriko na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function ay parallel sa tuwid na linya y=6.

Solusyon

Ang linyang y=6 ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakita namin ang mga naturang punto kung saan ang tangent sa function graph ay parallel sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 4 na extremum point.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometriko na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang linyang y=4x-6 ay kahanay ng tangent sa graph ng function na y=x^2-4x+9. Hanapin ang abscissa ng point of contact.

Solusyon

Ang slope ng tangent sa graph ng function na y \u003d x ^ 2-4x + 9 sa isang arbitrary point x_0 ay y "(x_0). Ngunit y" \u003d 2x-4, na nangangahulugang y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Ang slope ng tangent y \u003d 4x-7 na tinukoy sa kondisyon ay katumbas ng 4. Ang mga parallel na linya ay may parehong mga slope. Samakatuwid, nakita namin ang isang halaga na x_0 na 2x_0-4 \u003d 4. Nakukuha namin : x_0 \u003d 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometriko na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x_0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x_0.

Solusyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang tangent ay dumadaan sa mga puntong A(1; 1) at B(5; 4). Tukuyin sa pamamagitan ng C(5; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=5 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulo BAC (makikita sa pigura na ito ay matalim). Pagkatapos ang linyang AB ay bumubuo ng isang anggulo \alpha na may positibong direksyon ng axis ng Ox.