Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

AT mall dalawang magkaparehong vending machine ang nagbebenta ng kape. Ang mga vending machine ay sineserbisyuhan sa gabi pagkatapos magsara ang center. Ito ay kilala na ang posibilidad ng kaganapan na "Sa gabi ay maubusan ng kape ang unang makina" ay 0.25. Ang parehong posibilidad ng kaganapan "Sa gabi ang pangalawang makina ay mauubusan ng kape." Ang posibilidad na maubusan ng kape ang parehong vending machine sa gabi ay 0.15. Hanapin ang posibilidad na sa gabi ng araw ay may natitira pang kape sa parehong mga vending machine.

Desisyon.

Isaalang-alang ang mga kaganapan

A = naubos ang kape sa unang makina,

B = magtatapos ang kape sa pangalawang makina.

A B = nauubos ang kape sa parehong makina,

A + B = hindi bababa sa isang makina ang mauubusan ng kape.

Sa pamamagitan ng kondisyon P(A) = P(B) = 0.25; P(A B) = 0.15.

Ang mga kaganapan A at B ay magkasanib, ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang magkasanib na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, na nabawasan ng posibilidad ng kanilang produkto:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0.25 + 0.25 − 0.15 = 0.35.

Samakatuwid, ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan, na ang kape ay mananatili sa parehong mga makina, ay katumbas ng 1 − 0.35 = 0.65.

Sagot: 0.65.

Bigyan natin ng isa pang solusyon.

Ang posibilidad na mananatili ang kape sa unang makina ay 1 − 0.25 = 0.75. Ang posibilidad na mananatili ang kape sa pangalawang makina ay 1 − 0.25 = 0.75. Ang posibilidad na mananatili ang kape sa una o pangalawang vending machine ay 1 − 0.15 = 0.85. Dahil P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), mayroon tayong: 0.85 = 0.75 + 0.75 − X, kung saan ang kinakailangang probabilidad X = 0,65.

Tandaan.

Tandaan na ang mga kaganapan A at B ay hindi independyente. Sa katunayan, ang posibilidad ng produkto ng mga independiyenteng kaganapan ay magiging katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito: P(A·B) = 0.25·0.25 = 0.0625, gayunpaman, ayon sa kundisyon, ang posibilidad na ito ay katumbas ng 0.15.

Elena Alexandrovna Popova 10.10.2018 09:57

Ako, Associate Professor, Kandidato ng Pedagogical Sciences, ay itinuturing na KUMPLETO NA KATANGAHAN AT KATANGAHAN ANG PAGSASAMA NG MGA GAWAIN PARA SA MGA DEPENDENTE NA PANGYAYARI PARA SA MGA PAARALAN. HINDI ALAM ng mga guro ang seksyong ito - Inanyayahan akong mag-lecture sa TV sa mga kurso sa pagsasanay ng guro. Ang seksyong ito ay hindi at hindi maaaring kasama sa programa. HINDI kinakailangan na mag-imbento ng mga pamamaraan nang walang katwiran. Ang ganitong uri ay hindi kasama. Limitahan ang ating sarili sa CLASSICAL DEFINITION OF PROBABILITIES. Oo, pag-aralan mo muna mga aklat-aralin sa paaralan- tingnan kung ano ang isinulat ng mga may-akda tungkol dito. Tingnan ang Zubarev ika-5 baitang. Ni hindi niya alam ang mga simbolo at binibigyan niya ng porsyento ang posibilidad. Matapos matuto mula sa naturang mga aklat-aralin, naniniwala pa rin ang mga mag-aaral na ang posibilidad ay isang porsyento. Lot mga kawili-wiling gawain sa klasikal na kahulugan ng posibilidad. Dapat silang itanong sa mga mag-aaral. Walang limitasyon ang galit ng mga propesor sa unibersidad mula sa IYONG katarantaduhan sa pagpapakilala ng ganitong uri ng mga gawain.

Ang teorya ng probabilidad sa pagsusulit sa matematika ay maaaring iharap kapwa sa anyo ng mga simpleng gawain para sa klasikal na kahulugan ng probabilidad, at sa anyo ng medyo kumplikado, para sa aplikasyon ng mga kaukulang theorems.

Sa bahaging ito, isinasaalang-alang namin ang mga problema kung saan sapat na gamitin ang kahulugan ng posibilidad. Minsan dito ay ilalapat din natin ang isang formula para sa pagkalkula ng posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan. Bagama't maaaring ibigay ang formula na ito dito, kakailanganin pa rin ito kapag nilulutas ang mga sumusunod na problema.

Teoretikal na bahagi

Ang random na kaganapan ay isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi (imposibleng mahulaan nang maaga) sa panahon ng isang pagmamasid o pagsubok.

Hayaan sa panahon ng pagsusulit (paghahagis ng barya o die, paghila kard ng pagsusulit atbp.) pantay na posibleng resulta ay posible. Halimbawa, kapag naghahagis ng barya, ang bilang ng lahat ng kinalabasan ay 2, dahil maaaring walang iba pang mga resulta maliban sa pagkawala ng "mga buntot" o "mga agila". Kapag naghahagis ng dice, 6 na resulta ang posible, dahil ang alinman sa mga numero mula 1 hanggang 6 ay maaaring lumabas sa itaas na bahagi ng mga dice. Hayaan din ang ilang kaganapan A na paboran ng mga resulta.

Ang posibilidad ng isang kaganapan A ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable para sa kaganapang ito sa kabuuang bilang ng pantay na posibleng mga resulta (ito ang klasikal na kahulugan ng posibilidad). Nagsusulat kami

Halimbawa, hayaan ang kaganapan A na binubuo ng pagkuha ng isang kakaibang bilang ng mga puntos sa isang roll ng isang die. Sa kabuuan, 6 na resulta ang posible: 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa tuktok na mukha ng die. Kasabay nito, ang mga resulta na may 1, 3, 5 na pagkahulog ay paborable para sa kaganapan A. Kaya, .

Tandaan na ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay palaging humahawak, kaya ang posibilidad ng anumang kaganapan A ay nakasalalay sa pagitan, iyon ay . Kung ang iyong sagot ay may posibilidad na higit sa isa, pagkatapos ay nagkamali ka sa isang lugar at kailangan mong i-double-check ang solusyon.

Ang mga pangyayari A at B ay tinatawag kabaligtaran isa't isa kung ang anumang resulta ay paborable para sa eksaktong isa sa kanila.

Halimbawa, kapag nag-roll ng die, ang event na "rolled an odd number" ay kabaligtaran ng event na "rolled an even number."

Ang kaganapang kabaligtaran ng kaganapan A ay tinutukoy. Mula sa kahulugan ng magkasalungat na mga kaganapan ito ay sumusunod
, ibig sabihin,
.

Mga problema tungkol sa pagpili ng mga bagay mula sa isang set

Gawain 1. 24 na koponan ang lumahok sa World Championship. Sa pamamagitan ng pagguhit ng mga palabunutan, dapat silang hatiin sa apat na grupo ng anim na koponan bawat isa. Sa kahon ay may halong mga card na may mga numero ng pangkat:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Ang mga kapitan ng pangkat ay gumuhit ng tig-isang card. Ano ang posibilidad na ang koponan ng Russia ay nasa ikatlong pangkat?

Ang kabuuang bilang ng mga resulta ay katumbas ng bilang ng mga card - mayroong 24 sa kanila. Mayroong 6 na paborableng resulta (dahil ang numero 3 ay nakasulat sa anim na card). Ang nais na posibilidad ay katumbas ng .

Sagot: 0.25.

Gawain 2. Ang isang urn ay naglalaman ng 14 pula, 9 dilaw at 7 berdeng bola. Isang bola ang kinukuha ng random mula sa urn. Ano ang posibilidad na ang bolang ito ay dilaw?

Ang kabuuang bilang ng mga resulta ay katumbas ng bilang ng mga bola: 14 + 9 + 7 = 30. Ang bilang ng mga resultang paborable sa kaganapang ito ay 9. Ang nais na posibilidad ay katumbas ng .

Gawain 3. Mayroong 10 numero sa keypad ng telepono, mula 0 hanggang 9. Ano ang posibilidad na ang isang random na pinindot na numero ay magiging pantay at higit sa 5?

Ang kinalabasan dito ay pagpindot sa isang partikular na key, kaya mayroong 10 pantay na posibleng resulta sa kabuuan. Ang ipinahiwatig na kaganapan ay pinapaboran ng mga kinalabasan, na nangangahulugang pagpindot sa key 6 o 8. Mayroong dalawang ganoong resulta. Ang kinakailangang probabilidad ay .

Sagot: 0.2.

Gawain 4. Ano ang posibilidad na ang random na piniling natural na numero mula 4 hanggang 23 ay nahahati ng 3?

Sa segment mula 4 hanggang 23 mayroong 23 - 4 + 1 = 20 natural na mga numero, kaya mayroong 20 posibleng resulta. Sa segment na ito, ang mga sumusunod na numero ay multiple ng tatlo: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Mayroong 6 na bilang sa kabuuan, kaya 6 na resulta ang pumapabor sa pinag-uusapang kaganapan. Ang nais na posibilidad ay katumbas ng .

Sagot: 0.3.

Gawain 5. Sa 20 tiket na inaalok sa pagsusulit, 17 lamang ang masasagot ng mag-aaral. Ano ang posibilidad na hindi masagutan ng mag-aaral ang tiket na pinili nang random?

1st way.

Dahil ang estudyante ay makakasagot ng 17 ticket, hindi siya makakasagot ng 3 ticket. Ang posibilidad na makakuha ng isa sa mga tiket na ito ay, ayon sa kahulugan, .

2nd way.

Ipahiwatig sa pamamagitan ng A ang kaganapan na "maaaring sagutin ng mag-aaral ang tiket". Tapos . Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan ay =1 - 0.85 = 0.15.

Sagot: 0.15.

Gawain 6. Sa championship ritmikong himnastiko 20 atleta ang lumahok: 6 mula sa Russia, 5 mula sa Germany, ang iba ay mula sa France. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga gymnast ay gumaganap ay tinutukoy ng lot. Hanapin ang posibilidad na ang ikapitong atleta ay mula sa France.

Mayroong 20 mga atleta sa kabuuan, lahat sila ay may pantay na pagkakataon na gumanap sa ikapito. Samakatuwid, mayroong 20 pantay na malamang na mga resulta. Mula sa France 20 - 6 - 5 = 9 na atleta, kaya mayroong 9 na paborableng resulta para sa kaganapang ito. Ang kinakailangang probabilidad ay .

Sagot: 0.45.

Gawain 7. Ang siyentipikong kumperensya ay gaganapin sa loob ng 5 araw. Isang kabuuang 50 ulat ang binalak - ang unang tatlong araw, 12 ulat bawat isa, ang iba ay pantay na ibinahagi sa pagitan ng ikaapat at ikalimang araw. Ang pagkakasunud-sunod ng mga ulat ay tinutukoy ng isang draw. Ano ang posibilidad na ang ulat ni Propesor N. ay maiiskedyul para sa huling araw ng kumperensya?

Una, alamin natin kung gaano karaming mga ulat ang naka-iskedyul para sa huling araw. Ang mga ulat ay naka-iskedyul para sa unang tatlong araw. Mayroon pa ring 50 - 36 = 14 na ulat na pantay na ipinamamahagi sa pagitan ng natitirang dalawang araw, kaya ang mga ulat ay naka-iskedyul para sa huling araw.

Isasaalang-alang namin bilang resulta ang serial number ng ulat ni Propesor N. Mayroong 50 katulad na posibleng mga resulta. Mayroong 7 resulta na pabor sa ipinahiwatig na kaganapan (ang huling 7 numero sa listahan ng mga ulat). Ang kinakailangang probabilidad ay .

Sagot: 0.14.

Gawain 8. Mayroong 10 upuan sa sasakyang panghimpapawid sa tabi ng mga emergency exit at 15 upuan sa likod ng mga partisyon na naghihiwalay sa mga cabin. Ang natitirang mga upuan ay hindi maginhawa para sa mga pasahero matangkad. Ang pasaherong K. ay matangkad. Hanapin ang posibilidad na sa pagpaparehistro random na pagpili ang pasahero K. ay makakakuha ng komportableng upuan kung mayroong 200 upuan sa eroplano.

Ang kinalabasan sa problemang ito ay ang pagpili ng lokasyon. Sa kabuuan mayroong 200 pantay na posibleng resulta. Paboran ang kaganapan "ang napiling lugar ay maginhawa" 15 + 10 = 25 resulta. Ang kinakailangang probabilidad ay .

Sagot: 0.125.

Gawain 9. Sa 1000 coffee grinder na na-assemble sa pabrika, 7 piraso ang may depekto. Sinusuri ng eksperto ang isang random na piniling gilingan ng kape mula sa 1000 na ito. Hanapin ang posibilidad na ang gilingan ng kape na sinusuri ay may depekto.

Kapag pumipili ng isang gilingan ng kape nang random, 1000 resulta ang posible, ang kaganapang A "ang napiling gilingan ng kape ay may sira" ay paborable para sa 7 resulta. Sa pamamagitan ng kahulugan ng posibilidad.

Sagot: 0.007.

Gawain 10. Ang halaman ay gumagawa ng mga refrigerator. Sa karaniwan, sa bawat 100 de-kalidad na refrigerator, mayroong 15 refrigerator na may mga nakatagong depekto. Hanapin ang posibilidad na ang biniling refrigerator ay may mataas na kalidad. I-round ang resulta sa pinakamalapit na hundredth.

Ang gawaing ito ay katulad ng nauna. Gayunpaman, ang mga salitang "para sa bawat 100 kalidad na refrigerator, mayroong 15 na may mga depekto" ay nagsasabi sa amin na may sira 15 piraso ay hindi kasama sa 100 kalidad. Samakatuwid, ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan ay 100 + 15 = 115 (katumbas ng kabuuang bilang ng mga refrigerator), ang mga paborableng resulta ay 100. Ang kinakailangang probabilidad ay . Upang kalkulahin ang tinatayang halaga ng isang fraction, ito ay maginhawa upang gamitin ang paghahati sa pamamagitan ng isang sulok. Nakukuha namin ang 0.869 ... na 0.87.

Sagot: 0.87.

Gawain 11. Bago magsimula ang unang round ng tennis championship, ang mga kalahok ay random na hinati sa mga pares ng laro sa pamamagitan ng pag-drawing. Sa kabuuan, 16 na manlalaro ng tennis ang lumahok sa kampeonato, kabilang ang 7 kalahok mula sa Russia, kasama si Maxim Zaitsev. Hanapin ang posibilidad na sa unang round ay lalaruin ni Maxim Zaitsev ang sinumang manlalaro ng tennis mula sa Russia.

Tulad ng sa nakaraang gawain, kailangan mong maingat na basahin ang kondisyon at maunawaan kung ano ang kinalabasan at kung ano ang kanais-nais na kinalabasan (halimbawa, ang walang pag-iisip na aplikasyon ng formula ng posibilidad ay humahantong sa maling sagot).

Narito ang kinalabasan ay ang karibal ni Maxim Zaitsev. Dahil mayroong 16 na manlalaro ng tennis sa kabuuan, at hindi makalaro ni Maxim ang kanyang sarili, mayroong 16 - 1 = 15 na pantay na posibleng resulta. Ang isang kanais-nais na kinalabasan ay isang karibal mula sa Russia. Mayroong 7 tulad na kanais-nais na mga resulta - 1 = 6 (ibinubukod namin si Maxim mismo mula sa mga Ruso). Ang kinakailangang probabilidad ay .

Sagot: 0.4.

Gawain 12. Ang seksyon ng football ay dinaluhan ng 33 katao, kasama ng dalawang kapatid na lalaki - sina Anton at Dmitry. Ang mga dumalo sa seksyon ay sapalarang nahahati sa tatlong pangkat na may tig-11 katao. Hanapin ang posibilidad na sina Anton at Dmitry ay nasa parehong koponan.

Bumuo tayo ng mga koponan sa pamamagitan ng sunud-sunod na paglalagay ng mga manlalaro sa mga bakanteng lugar, habang nagsisimula kina Anton at Dmitry. Una, ilagay natin si Anton sa isang random na napiling lugar mula sa 33 libreng mga lugar. Ngayon ay inilagay natin si Dmitry sa isang walang laman na lugar (isasaalang-alang natin ang pagpili ng isang lugar para sa kanya bilang kinalabasan). Mayroong 32 libreng lugar sa kabuuan (ang isa ay nakuha na ni Anton), kaya mayroong 32 posibleng resulta sa kabuuan. May 10 libreng lugar na natitira sa parehong koponan kasama si Anton, kaya ang kaganapang "Anton at Dmitry sa parehong koponan" ay pinapaboran ng 10 mga resulta. Ang posibilidad ng kaganapang ito ay .

Sagot: 0.3125.

Gawain 13. Mga mekanikal na relo na may labindalawang oras na dial sa isang punto ay nasira at huminto sa paglalakad. Hanapin ang posibilidad na ang kamay ng oras ay nagyelo kapag umabot sa 11 ngunit hindi umabot sa 2 o'clock.

Conventionally, ang dial ay maaaring nahahati sa 12 sektor na matatagpuan sa pagitan ng mga marka ng mga kalapit na numero (sa pagitan ng 12 at 1, 1 at 2, 2 at 3, ..., 11 at 12). Isasaalang-alang namin ang paghinto ng orasan sa isa sa mga ipinahiwatig na sektor bilang resulta. Sa kabuuan mayroong 12 pantay na posibleng resulta. Ang kaganapang ito ay pinapaboran ng tatlong resulta (mga sektor sa pagitan ng 11 at 12, 12 at 1, 1 at 2). Ang nais na posibilidad ay katumbas ng .

Sagot: 0.25.

Ibuod

Matapos pag-aralan ang materyal sa paglutas ng mga simpleng problema sa teorya ng probabilidad, inirerekumenda kong kumpletuhin ang mga gawain para sa isang independiyenteng solusyon, na inilathala namin sa aming Telegram channel. Maaari mo ring suriin ang kawastuhan ng kanilang pagpapatupad sa pamamagitan ng paglalagay ng iyong mga sagot sa iminungkahing porma.

Salamat sa pagbabahagi ng artikulo sa mga social network

Pinagmulan "Paghahanda para sa pagsusulit. Matematika.Teoryang Probability”. Inedit ni F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov

Dinala sa petsa bukas na garapon GAMITIN ang mga problema sa matematika (mathege.ru), ang solusyon nito ay batay lamang sa isang pormula, na siyang klasikal na kahulugan ng posibilidad.

Ang pinakamadaling paraan upang maunawaan ang formula ay may mga halimbawa.
Halimbawa 1 Mayroong 9 na pulang bola at 3 asul na bola sa basket. Ang mga bola ay naiiba lamang sa kulay. Sa random (nang hindi tumitingin) makuha namin ang isa sa kanila. Ano ang posibilidad na ang bola na pinili sa ganitong paraan ay magiging asul?

Magkomento. Sa mga probabilidad na problema, may mangyayari (sa kasong ito, ang pagkilos natin sa paghila ng bola) na maaaring magkaroon magkaibang resulta- kinalabasan. Dapat tandaan na ang resulta ay maaaring matingnan sa iba't ibang paraan. "Naglabas kami ng bola" ay isang resulta din. "Nabunot namin ang asul na bola" ang resulta. "Iginuhit namin ang partikular na bolang ito sa lahat ng posibleng bola" - ang hindi gaanong pangkalahatan na pagtingin sa resulta ay tinatawag na elementarya na kinalabasan. Ito ang elementarya na kinalabasan na sinadya sa formula para sa pagkalkula ng probabilidad.

Desisyon. Ngayon ay kinakalkula namin ang posibilidad ng pagpili ng isang asul na bola.
Event A: "naging asul ang napiling bola"
Kabuuang bilang ng lahat ng posibleng resulta: 9+3=12 (bilang ng lahat ng bola na maaari naming ibunot)
Bilang ng mga kanais-nais na resulta para sa kaganapan A: 3 (ang bilang ng mga naturang resulta kung saan nangyari ang kaganapan A - iyon ay, ang bilang ng mga asul na bola)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Sagot: 0.25

Kalkulahin natin para sa parehong problema ang posibilidad ng pagpili ng pulang bola.
Ang kabuuang bilang ng mga posibleng resulta ay mananatiling pareho, 12. Ang bilang ng mga paborableng resulta: 9. Ang gustong probabilidad: 9/12=3/4=0.75

Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay palaging nasa pagitan ng 0 at 1.
Minsan sa pang-araw-araw na pagsasalita (ngunit hindi sa teorya ng posibilidad!) Ang posibilidad ng mga kaganapan ay tinatantya bilang isang porsyento. Ang paglipat sa pagitan ng mathematical at conversational assessment ay ginagawa sa pamamagitan ng pagpaparami (o paghahati) ng 100%.
Kaya,
Sa kasong ito, ang posibilidad ay zero para sa mga kaganapan na hindi maaaring mangyari - hindi malamang. Halimbawa, sa aming halimbawa, ito ang posibilidad na gumuhit ng berdeng bola mula sa basket. (Ang bilang ng mga kanais-nais na resulta ay 0, P(A)=0/12=0 kung binibilang ayon sa formula)
Ang Probability 1 ay may mga kaganapan na talagang tiyak na mangyayari, nang walang mga pagpipilian. Halimbawa, ang posibilidad na "ang napiling bola ay magiging pula o asul" ay para sa ating problema. (Bilang ng mga kanais-nais na resulta: 12, P(A)=12/12=1)

Tumingin kami sa isang klasikong halimbawa na naglalarawan ng kahulugan ng posibilidad. Ang lahat ng mga katulad na problema sa PAGGAMIT sa teorya ng posibilidad ay nalutas gamit ang formula na ito.
Sa halip na pula at asul na mga bola, maaaring mayroong mga mansanas at peras, mga lalaki at babae, natutunan at hindi pinag-aralan na mga tiket, mga tiket na naglalaman at hindi naglalaman ng isang tanong sa isang partikular na paksa (prototypes , ), may sira at de-kalidad na mga bag o garden pump (prototypes , ) - ang prinsipyo ay nananatiling pareho.

Ang mga ito ay bahagyang naiiba sa pagbabalangkas ng problema ng USE probability theory, kung saan kailangan mong kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan na magaganap sa isang tiyak na araw. ( , ) Tulad ng sa mga nakaraang gawain, kailangan mong tukuyin kung ano ang elementarya na kinalabasan, at pagkatapos ay ilapat ang parehong formula.

Halimbawa 2 Ang kumperensya ay tumatagal ng tatlong araw. Sa una at ikalawang araw, 15 tagapagsalita bawat isa, sa ikatlong araw - 20. Ano ang posibilidad na mahulog ang ulat ni Propesor M. sa ikatlong araw, kung ang pagkakasunud-sunod ng mga ulat ay tinutukoy ng lottery?

Ano ang kinalabasan ng elementarya dito? - Pagtatalaga ng ulat ng propesor sa isa sa lahat ng posibleng serial number para sa isang talumpati. 15+15+20=50 tao ang lumahok sa draw. Kaya, ang ulat ni Propesor M. ay maaaring makatanggap ng isa sa 50 numero. Nangangahulugan ito na mayroon lamang 50 elementarya na kinalabasan.
Ano ang mga kanais-nais na kinalabasan? - Ang mga kung saan ito ay lumabas na ang propesor ay magsasalita sa ikatlong araw. Ibig sabihin, ang huling 20 numero.
Ayon sa formula, ang posibilidad na P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Sagot: 0.4

Ang pagguhit ng mga palabunutan dito ay ang pagtatatag ng isang random na pagsusulatan sa pagitan ng mga tao at mga order na lugar. Sa halimbawa 2, ang laban ay isinasaalang-alang sa mga tuntunin kung alin sa mga lugar ang maaaring kunin espesyal na tao. Maaari mong lapitan ang parehong sitwasyon mula sa kabilang panig: sino sa mga taong may posibilidad na makarating sa isang partikular na lugar (prototypes , , , ):

Halimbawa 3 5 Germans, 8 Frenchmen at 3 Estonians ang lumahok sa draw. Ano ang posibilidad na ang una (/pangalawa/ikapito/huling - hindi mahalaga) ay magiging isang Pranses.

Ang bilang ng mga elementary na kinalabasan ay ang bilang ng lahat ng posibleng tao na maaaring makarating sa isang partikular na lugar sa pamamagitan ng lot. 5+8+3=16 na tao.
Mga kanais-nais na kinalabasan - ang Pranses. 8 tao.
Ninanais na posibilidad: 8/16=1/2=0.5
Sagot: 0.5

Ang prototype ay bahagyang naiiba. May mga gawain tungkol sa mga barya () at dais(), medyo mas malikhain. Ang mga solusyon sa mga problemang ito ay matatagpuan sa mga pahina ng prototype.

Narito ang ilang halimbawa ng coin tossing o dice tossing.

Halimbawa 4 Kapag naghagis tayo ng barya, ano ang posibilidad na makakuha ng mga buntot?
Kinalabasan 2 - ulo o buntot. (pinaniniwalaan na ang barya ay hindi kailanman nahuhulog sa gilid) Paborableng kinalabasan - mga buntot, 1.
Probability 1/2=0.5
Sagot: 0.5.

Halimbawa 5 Paano kung mag-flip tayo ng barya ng dalawang beses? Ano ang posibilidad na ito ay lalabas sa dalawang beses?
Ang pangunahing bagay ay upang matukoy kung aling mga elementarya na kinalabasan ang isasaalang-alang natin kapag naghahagis ng dalawang barya. Pagkatapos maghagis ng dalawang barya, maaaring mangyari ang isa sa mga sumusunod na resulta:
1) PP - parehong beses na ito ay dumating sa mga buntot
2) PO - unang beses na mga buntot, pangalawang beses na mga ulo
3) OP - ang unang beses na ulo, ang pangalawang pagkakataon ay buntot
4) OO - tumungo sa dalawang beses
Walang ibang mga pagpipilian. Nangangahulugan ito na mayroong 4 na elementarya na kinalabasan. Ang una lang ang paborable, 1.
Probability: 1/4=0.25
Sagot: 0.25

Ano ang posibilidad na ang dalawang paghagis ng barya ay mapunta sa mga buntot?
Ang bilang ng mga elementary na kinalabasan ay pareho, 4. Ang mga kanais-nais na resulta ay ang pangalawa at pangatlo, 2.
Ang posibilidad na makakuha ng isang buntot: 2/4=0.5

Sa ganitong mga problema, maaaring magamit ang isa pang formula.
Kung sa isang paghagis ng barya mga pagpipilian mayroon kaming 2 resulta, pagkatapos para sa dalawang paghagis ang mga resulta ay 2 2=2 2 =4 (tulad ng sa halimbawa 5), ​​para sa tatlong paghagis 2 2 2=2 3 =8, para sa apat: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … para sa N throws mayroong 2·2·...·2=2 N posibleng resulta.

Kaya, mahahanap mo ang posibilidad na makakuha ng 5 tails sa 5 coin tosses.
Ang kabuuang bilang ng elementarya na kinalabasan: 2 5 =32.
Mga kanais-nais na resulta: 1. (RRRRRR - lahat ng 5 beses na buntot)
Probability: 1/32=0.03125

Ang parehong ay totoo para sa dice. Sa isang paghagis, mayroong 6 na posibleng resulta. Kaya, para sa dalawang paghagis: 6 6=36, para sa tatlong 6 6 6=216, atbp.

Halimbawa 6 Naghahagis kami ng dice. Ano ang posibilidad na makakuha ng even number?

Kabuuang resulta: 6, ayon sa bilang ng mga mukha.
Kanais-nais: 3 resulta. (2, 4, 6)
Probability: 3/6=0.5

Halimbawa 7 Maghagis ng dalawang dice. Ano ang posibilidad na ang kabuuang roll ay 10? (round to hundredths)

Mayroong 6 na posibleng resulta para sa isang pagkamatay. Kaya naman, para sa dalawa, ayon sa tuntunin sa itaas, 6·6=36.
Anong mga resulta ang magiging paborable para sa kabuuang 10 na mahulog?
Ang 10 ay dapat mabulok sa kabuuan ng dalawang numero mula 1 hanggang 6. Magagawa ito sa dalawang paraan: 10=6+4 at 10=5+5. Kaya, para sa mga cube, posible ang mga pagpipilian:
(6 sa una at 4 sa pangalawa)
(4 sa una at 6 sa pangalawa)
(5 sa una at 5 sa pangalawa)
Sa kabuuan, 3 pagpipilian. Ninanais na posibilidad: 3/36=1/12=0.08
Sagot: 0.08

Ang iba pang uri ng mga problema sa B6 ay tatalakayin sa isa sa mga sumusunod na artikulong "Paano Lutasin".

Sa pabrika ng ceramic tile, 5% ng mga tile na ginawa ay may depekto. Sa panahon ng kontrol sa kalidad ng produkto, 40% lang ng mga may sira na tile ang makikita. Ang natitirang mga tile ay ipinadala para sa pagbebenta. Hanapin ang posibilidad na ang isang tile na pinili nang random sa panahon ng pagbili ay walang mga depekto. Bilugan ang iyong sagot sa pinakamalapit na ikadaan.

Desisyon

Sa panahon ng kontrol sa kalidad ng produkto, 40% ng mga may sira na tile ang natukoy, na bumubuo sa 5% ng mga tile na ginawa, at hindi ito ibinebenta. Nangangahulugan ito na 0.4 5% = 2% ng mga ginawang tile ay hindi ibinebenta. Ang natitira sa mga ginawang tile - 100% - 2% = 98% ay ibinebenta.

Libre sa mga depekto 100% - 95% ng mga ginawang tile. Ang posibilidad na ang binili na tile ay walang depekto ay 95% : 98% = \frac(95)(98)\approx 0.97

Sagot

Kundisyon

Ang posibilidad na hindi na-charge ang baterya ay 0.15. Bumili ang customer sa tindahan ng random na pakete na naglalaman ng dalawa sa mga bateryang ito. Hanapin ang posibilidad na ang parehong mga baterya sa paketeng ito ay na-charge.

Desisyon

Ang posibilidad na na-charge ang baterya ay 1-0.15 = 0.85. Hanapin natin ang posibilidad ng kaganapang "parehong baterya ay naka-charge". Tukuyin sa pamamagitan ng A at B ang mga kaganapan na "sinisingil ang unang nagtitipon" at "sisingilin ang pangalawang nagtitipon". Nakuha namin ang P(A) = P(B) = 0.85. Ang kaganapang "parehong baterya ay sisingilin" ay ang intersection ng mga kaganapan A \ cap B, ang posibilidad nito ay katumbas ng P(A\capB) = P(A)\cdot P(B) = 0.85\cdot 0.85 = 0,7225.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang posibilidad na ang bago washing machine sa panahon ng taon ay mapupunta sa warranty repair, katumbas ng 0.065. Sa isang partikular na lungsod, 1200 washing machine ang naibenta sa taon, kung saan 72 piraso ang inilipat sa warranty workshop. Tukuyin kung gaano kaiba ang relatibong dalas ng paglitaw ng kaganapang "pag-aayos ng warranty" mula sa posibilidad nito sa lungsod na ito?

Desisyon

Ang dalas ng kaganapan "ang washing machine ay pupunta sa warranty repair sa loob ng isang taon" ay katumbas ng \frac(72)(1200) = 0.06. Naiiba ito sa probabilidad ng 0.065-0.06=0.005.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang posibilidad na ang panulat ay may depekto ay 0.05. Ang customer sa tindahan ay bumili ng random na pakete na naglalaman ng dalawang panulat. Hanapin ang posibilidad na ang parehong panulat sa paketeng ito ay mabuti.

Desisyon

Ang posibilidad na ang panulat ay nasa mabuting kondisyon ay 1-0.05 = 0.95. Hanapin natin ang posibilidad ng kaganapan na "ang parehong mga hawakan ay gumagana". Ipahiwatig sa pamamagitan ng A at B ang mga kaganapan na "ang unang hawakan ay gumagana" at "ang pangalawang hawakan ay gumagana". Nakuha namin ang P(A) = P(B) = 0.95. Ang kaganapan na "parehong hawakan ay mabuti" ay ang intersection ng mga kaganapan A \ cap B, ang posibilidad nito ay katumbas ng P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0.95\cdot 0.95 = 0,9025.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang larawan ay nagpapakita ng isang labirint. Gumagapang ang beetle sa maze sa "Entrance" point. Ang salagubang ay hindi maaaring umikot at gumagapang sa kabilang direksyon, kaya sa bawat sangang bahagi ay pinipili nito ang isa sa mga landas na hindi pa nito nararating. Ano ang posibilidad na ang salagubang ay lumabas sa D kung pipiliin karagdagang paraan ay random.

Desisyon

Maglagay tayo ng mga arrow sa sangang-daan sa mga direksyon kung saan maaaring gumalaw ang beetle (tingnan ang Fig.).

Pumili tayo sa bawat intersection ng isang direksyon sa dalawang posibleng direksyon, at ipagpalagay natin na kapag tumama ito sa intersection, lilipat ang beetle sa direksyon na pinili natin.

Upang maabot ng beetle ang exit D, dapat piliin ang direksyon na ipinahiwatig ng solidong pulang linya sa bawat intersection. Sa kabuuan, ang pagpili ng direksyon ay ginawa ng 4 na beses, sa bawat oras anuman ang nakaraang pagpipilian. Ang posibilidad na ang isang solid na pulang arrow ay napili sa bawat oras ay \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Mayroong 16 na atleta sa seksyon, kasama ng dalawang kaibigan - sina Olya at Masha. Ang mga atleta ay random na itinalaga sa 4 na pantay na grupo. Hanapin ang posibilidad na sina Olya at Masha ay nasa parehong pangkat.