Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Ang paglalarawan sa e bilang "isang pare-pareho na humigit-kumulang katumbas ng 2.71828..." ay tulad ng pagtawag sa pi na "isang hindi makatwirang numero na tinatayang katumbas ng 3.1415...". Walang alinlangan na ito ay, ngunit ang kakanyahan pa rin eludes sa amin.

Ang numerong pi ay ang ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito, pareho para sa lahat ng mga bilog.. Ito ay isang pangunahing proporsyon na karaniwan sa lahat ng mga bilog, at samakatuwid, ito ay kasangkot sa pagkalkula ng circumference, area, volume at surface area para sa mga bilog, sphere, cylinder, atbp. Ipinapakita ng Pi na ang lahat ng mga lupon ay konektado, hindi banggitin ang mga trigonometriko na pag-andar na nagmula sa mga bilog (sine, cosine, tangent).

Ang bilang e ay ang pangunahing ratio ng paglago para sa lahat ng patuloy na lumalaking proseso. Ang numero e ay nagpapahintulot sa iyo na kumuha ng isang simpleng rate ng paglago (kung saan ang pagkakaiba ay makikita lamang sa katapusan ng taon) at kalkulahin ang mga bahagi ng tagapagpahiwatig na ito, normal na paglago, kung saan bawat nanosecond (o mas mabilis pa) lahat ay lumalaki nang kaunti higit pa.

Ang numerong e ay kasangkot sa parehong exponential at constant growth system: populasyon, radioactive decay, pagkalkula ng interes, at marami, marami pang iba. Kahit na ang mga stepped system na hindi pantay na lumalaki ay maaaring tantiyahin ng bilang e.

Kung paanong ang anumang numero ay maaaring ituring na "naka-scale" na bersyon ng 1 (ang batayang yunit), ang anumang bilog ay maaaring ituring bilang isang "naka-scale" na bersyon ng bilog ng yunit (radius 1). At anumang growth factor ay maaaring ituring bilang isang "scaled" na bersyon ng e (isang "solong" growth factor).

Kaya ang numero e ay hindi isang random na numero na kinuha nang random. Ang numero ay naglalaman ng ideya na ang lahat ng patuloy na lumalagong sistema ay mga pinaliit na bersyon ng parehong sukatan.

Ang konsepto ng exponential growth

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtingin sa pangunahing sistema na doble para sa isang tiyak na tagal ng panahon. Halimbawa:

• Ang bakterya ay nahahati at "nagdodoble" sa mga numero tuwing 24 na oras
• Makakakuha tayo ng dobleng dami ng pansit kung hatiin natin ito sa kalahati
• Doble ang iyong pera bawat taon kung makakakuha ka ng 100% na tubo (swerte!)

At mukhang ganito:

Ang paghahati sa dalawa o pagdodoble ay isang napakasimpleng pag-unlad. Siyempre, maaari tayong mag-triple o quadruple, ngunit ang pagdodoble ay mas maginhawa para sa paliwanag.

Sa matematika, kung mayroon tayong x dibisyon, nakakakuha tayo ng 2^x na beses mas mabuti kaysa noong una. Kung 1 partition lang ang gagawin, makakakuha tayo ng 2^1 times na mas marami. Kung mayroong 4 na partisyon, makakakuha tayo ng 2^4=16 na bahagi. Ang pangkalahatang formula ay ganito ang hitsura:

paglago= 2 x

Sa madaling salita, ang pagdodoble ay 100% na pagtaas. Maaari naming muling isulat ang formula na ito tulad nito:

paglago= (1+100%) x

Ito ay ang parehong pagkakapantay-pantay, hinati lang namin ang "2" sa mga bahaging bahagi nito, na sa esensya ang numerong ito ay: ang paunang halaga (1) plus 100%. Matalino diba?

Siyempre, maaari nating palitan ang anumang iba pang numero (50%, 25%, 200%) sa halip na 100% at makuha ang formula ng paglago para sa bagong ratio na ito. Ang pangkalahatang formula para sa x na mga yugto ng serye ng oras ay magiging ganito:

paglago = (1+paglago) x

Nangangahulugan lamang ito na ginagamit namin ang rate ng return, (1 + growth), "x" na beses sa isang hilera.

Tingnan natin nang maigi

Ipinapalagay ng aming pormula na nangyayari ang paglago sa magkakahiwalay na mga hakbang. Ang aming mga bakterya ay naghihintay at maghintay, at pagkatapos ay bam!, at sa huling minuto ay doble sila sa bilang. Ang aming tubo sa interes mula sa deposito ay lilitaw nang eksakto pagkatapos ng 1 taon. Batay sa formula na nakasulat sa itaas, ang mga kita ay lumalaki sa mga hakbang. Biglang lumilitaw ang mga berdeng tuldok.

Ngunit ang mundo ay hindi palaging ganito. Kung mag-zoom in tayo, makikita natin na ang ating mga kaibigang bacteria ay patuloy na naghahati:

Ang berdeng bata ay hindi lumalabas sa wala: dahan-dahan itong lumaki mula sa asul na magulang. Pagkatapos ng 1 tagal ng panahon (24 na oras sa aming kaso), ang berdeng kaibigan ay hinog na. Sa pagkakaroon ng matured, siya ay naging isang ganap na asul na miyembro ng kawan at maaari siyang lumikha ng mga bagong berdeng selula mismo.

Mababago ba ng impormasyong ito ang ating equation?

Hindi. Sa kaso ng bacteria, ang kalahating nabuong berdeng mga selula ay wala pa ring magagawa hanggang sa sila ay lumaki at ganap na humiwalay sa kanilang mga asul na magulang. Kaya tama ang equation.

Ang exponent ay tinutukoy bilang , o .

e numero

Ang base ng antas ng exponent ay e numero. Ito ay isang hindi makatwirang numero. Ito ay tinatayang katumbas
e ≈ 2,718281828459045...

Ang numero e ay tinutukoy sa pamamagitan ng limitasyon ng pagkakasunod-sunod. Ito ang tinatawag na pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
.

Gayundin, ang numero e ay maaaring katawanin bilang isang serye:
.

Tsart ng exhibitor

Exponent plot, y = e x .

Ipinapakita ng graph ang exponent, e hanggang sa X.
y (x) = e x
Ipinapakita ng graph na monotonically tumataas ang exponent.

Mga formula

Ang mga pangunahing formula ay kapareho ng para sa exponential function na may base ng degree e.

;
;
;

Pagpapahayag ng exponential function na may arbitrary na base ng degree a sa pamamagitan ng exponent:
.

Mga pribadong halaga

Hayaan ang y (x) = e x. Pagkatapos
.

Mga Katangian ng Exponent

Ang exponent ay may mga katangian ng isang exponential function na may base ng degree e > 1 .

Domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga

Exponent y (x) = e x tinukoy para sa lahat ng x .
Ang saklaw nito ay:
- ∞ < x + ∞ .
Ang hanay ng mga kahulugan nito:
0 < y < + ∞ .

Extremes, pagtaas, pagbaba

Ang exponent ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

Baliktad na pag-andar

Ang reciprocal ng exponent ay ang natural na logarithm.
;
.

Derivative ng exponent

Derivative e hanggang sa X ay katumbas ng e hanggang sa X :
.
Derivative ng nth order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

integral

Mga kumplikadong numero

Ang mga operasyon na may kumplikadong mga numero ay isinasagawa gamit Mga formula ng Euler:
,
nasaan ang imaginary unit:
.

Mga expression sa mga tuntunin ng hyperbolic function

; ;
.

Mga expression sa mga tuntunin ng trigonometriko function

; ;
;
.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

NUMBER e. Isang numero na humigit-kumulang katumbas ng 2.718, na kadalasang matatagpuan sa matematika at mga likas na agham. Halimbawa, sa panahon ng pagkabulok ng isang radioactive substance pagkatapos ng isang panahon t mula sa paunang halaga ng sangkap ay nananatiling isang fraction na katumbas ng e–kt, saan k- isang numero na nagpapakilala sa rate ng pagkabulok ng isang naibigay na sangkap. Reciprocal 1/ k ay tinatawag na average na tagal ng buhay ng isang atom ng isang partikular na sangkap, dahil, sa karaniwan, ang isang atom, bago mabulok, ay umiiral nang isang oras 1/ k. Halaga 0.693/ k ay tinatawag na kalahating buhay ng isang radioactive substance, i.e. ang oras na aabutin para sa kalahati ng orihinal na halaga ng sangkap ay mabulok; ang bilang na 0.693 ay tinatayang katumbas ng log e 2, ibig sabihin. base logarithm ng 2 e. Katulad nito, kung ang bakterya sa isang nutrient medium ay dumami sa isang rate na proporsyonal sa kanilang bilang sa sa sandaling ito, pagkatapos pagkatapos ng oras t paunang bilang ng bakterya N nagiging Ne kt. Pagpapalambing ng electric current ako sa isang simpleng circuit na may isang serye na koneksyon, paglaban R at inductance L nangyayari ayon sa batas ako = ako 0 e–kt, saan k = R/L, ako 0 - kasalukuyang lakas sa panahong iyon t= 0. Ang mga katulad na formula ay naglalarawan ng stress relaxation sa isang malapot na likido at pamamasa magnetic field. Numero 1/ k madalas na tinutukoy bilang oras ng pagpapahinga. Sa mga istatistika, ang halaga e–kt nangyayari bilang ang posibilidad na sa paglipas ng panahon t walang mga kaganapan na nagaganap nang random na may average na dalas k mga kaganapan sa bawat yunit ng oras. Kung ang S- halaga ng pera na namuhunan r interes na may tuloy-tuloy na accrual sa halip na accrual sa mga discrete interval, pagkatapos ay sa oras t ang paunang halaga ay tataas sa Setr/100.

Ang dahilan ng "omnipresence" ng numero e ay ang mga formula ng mathematical analysis na naglalaman ng exponential function o logarithms ay mas madaling isulat kung ang logarithms ay kinuha sa base e, hindi 10 o ibang base. Halimbawa, ang derivative ng log 10 x katumbas ng (1/ x)log 10 e, habang ang derivative ng log ex ay 1/ x. Katulad nito, ang derivative ng 2 x katumbas ng 2 x log e 2, habang ang derivative ng e x katumbas lang ex. Nangangahulugan ito na ang numero e maaaring tukuyin bilang batayan b, kung saan ang graph ng function y= log b x ay nasa punto x= 1 padaplis sa salik ng slope, katumbas ng 1, o kung saan ang curve y = b x ay nasa x= 0 tangent na may slope na katumbas ng 1. Base logarithms e ay tinatawag na "natural" at tinutukoy ng ln x. Minsan tinatawag din silang "non-Perian", na hindi totoo, dahil sa katotohanan ay nag-imbento si J. Napier (1550–1617) ng mga logarithm na may ibang base: ang non-Perian logarithm ng isang numero x katumbas ng 10 7 log 1/ e (x/10 7) .

Iba't ibang mga kumbinasyon ng degree e ay karaniwan sa matematika na mayroon silang mga espesyal na pangalan. Ito ay, halimbawa, ang mga hyperbolic function

Function Graph y=ch x tinatawag na catenary; ang isang mabigat na hindi mapalawak na sinulid o kadena na sinuspinde sa mga dulo ay may ganoong hugis. Mga formula ng Euler

saan i 2 = -1, bind number e may trigonometrya. espesyal na kaso x = p humahantong sa sikat na relasyon ip+ 1 = 0, na nag-uugnay sa 5 pinakasikat na numero sa matematika.

Ang bilang na "e" ay isa sa pinakamahalagang mathematical constant na narinig ng lahat sa mga aralin sa matematika sa paaralan. Naglalathala ang Concepture ng isang tanyag na sanaysay na isinulat ng isang humanist para sa humanities, kung saan sa simpleng wika ipaliwanag kung bakit at bakit umiiral ang numero ng Euler.

Ano ang pagkakatulad ng ating pera at ang numero ng Euler?

Habang ang numero π (pi) ay medyo tiyak geometric na kahulugan at ito ay ginamit ng mga sinaunang mathematician, pagkatapos ay ang numero e Ang (Euler number) ay nakakuha ng nararapat na lugar sa agham kamakailan lamang at ang mga ugat nito ay dumiretso ... sa mga isyu sa pananalapi.

Mula nang maimbento ang pera, napakaliit na oras ang lumipas nang hulaan ng mga tao na ang pera ay maaaring hiramin o pautangin sa isang tiyak na porsyento. Naturally, ang mga "sinaunang" negosyante ay hindi gumamit ng konsepto ng "porsiyento" na pamilyar sa amin, ngunit ang pagtaas sa halaga ng ilang partikular na tagapagpahiwatig sa loob ng isang takdang panahon ay pamilyar sa kanila.

Sa larawan: isang banknote na nagkakahalaga ng 10 francs na may larawan ni Leonhard Euler (1707-1783).

Hindi kami pupunta sa 20% na halimbawa ng APR dahil masyadong matagal bago makarating sa numero ng Euler. Gamitin natin ang pinakakaraniwan at mailarawang paliwanag ng kahulugan ng pare-parehong ito, at para dito kailangan nating mangarap ng kaunti at isipin na may ilang bangko na nag-aalok sa atin na magdeposito ng pera sa 100% bawat taon.

Eksperimento sa pag-iisip-pinansyal

Para sa mental na eksperimentong ito, maaari kang kumuha ng anumang halaga at ang resulta ay palaging magkapareho, ngunit simula sa 1, maaari tayong direktang makarating sa unang tinatayang halaga ng numero e. Dahil, sabihin nating nag-iinvest tayo ng $1 sa isang bangko, sa rate na 100% kada taon sa katapusan ng taon magkakaroon tayo ng $2.

Ngunit ito ay kung ang interes ay naka-capitalize (idinagdag) isang beses sa isang taon. Paano kung sila ay na-capitalize dalawang beses sa isang taon? Iyon ay, 50% ang sisingilin tuwing anim na buwan, at ang pangalawang 50% ay sisingilin hindi mula sa paunang halaga, ngunit mula sa halagang nadagdagan ng unang 50%. Magiging mas kapaki-pakinabang ba ito para sa atin?

Visual infographic na nagpapakita ng geometric na kahulugan ng numero π .

Siyempre gagawin ito. Sa capitalization dalawang beses sa isang taon, makalipas ang anim na buwan magkakaroon tayo ng $1.50 sa account. Sa pagtatapos ng taon, isa pang 50% ng $1.50 ang idadagdag, para sa kabuuang $2.25. Ano ang mangyayari kung ang capitalization ay isinasagawa bawat buwan?

Sisingilin tayo ng 100/12% (iyon ay, humigit-kumulang 8.(3)%) bawat buwan, na magiging mas kumikita - sa pagtatapos ng taon magkakaroon tayo ng 2.61 dolyar. Ang pangkalahatang formula para sa pagkalkula ng kabuuang halaga para sa isang arbitrary na bilang ng mga capitalization (n) bawat taon ay ganito ang hitsura:

Kabuuang kabuuan = 1(1+1/n) n

Lumalabas na sa halagang n = 365 (iyon ay, kung ang aming interes ay naka-capitalize araw-araw), nakukuha namin ang sumusunod na formula: 1(1+1/365) 365 = $2.71. Mula sa mga aklat-aralin at sangguniang libro, alam natin na ang e ay humigit-kumulang katumbas ng 2.71828, iyon ay, kung isasaalang-alang ang pang-araw-araw na capitalization ng aming kamangha-manghang kontribusyon, nakarating na kami sa isang tinatayang halaga ng e, na sapat na para sa maraming mga kalkulasyon.

Ang paglaki ng n ay maaaring ipagpatuloy nang walang hanggan, at kung mas malaki ang halaga nito, mas tumpak na makalkula natin ang numero ng Euler, hanggang sa punto ng desimal na kailangan natin, sa anumang dahilan.

Ang panuntunang ito, siyempre, ay hindi limitado lamang sa ating mga interes sa pananalapi. Ang mga pare-parehong matematika ay malayo sa "makitid na mga espesyalista" - gumagana ang mga ito nang pantay-pantay anuman ang larangan ng aplikasyon. Samakatuwid, ang isang mahusay na paghuhukay, maaari mong mahanap ang mga ito sa halos anumang lugar ng buhay.

Ito ay lumalabas na ang bilang e ay isang bagay na tulad ng isang sukatan ng lahat ng mga pagbabago at "ang natural na wika ng mathematical analysis." Pagkatapos ng lahat, ang "matan" ay mahigpit na nakatali sa mga konsepto ng pagkita ng kaibhan at pagsasama, at ang parehong mga operasyong ito ay nakikitungo sa mga walang katapusang pagbabago, na napakaganda ng katangian ng numero. e .

Mga Natatanging Katangian ng Numero ng Euler

Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang sa pinaka-maiintindihan na halimbawa ng pagpapaliwanag sa pagbuo ng isa sa mga formula para sa pagkalkula ng numero e, maikling isaalang-alang ang ilang higit pang tanong na direktang nauugnay dito. At isa sa kanila: ano ang kakaiba sa numero ng Euler?

Sa teorya, ganap na anumang pare-parehong matematika ay natatangi at bawat isa ay may sariling kasaysayan, ngunit, makikita mo, ang pag-angkin sa pamagat natural na wika mathematical analysis ay isang medyo mabigat na claim.

Ang unang libong halaga ng ϕ(n) para sa Euler function.

Gayunpaman, ang bilang e may mga dahilan para diyan. Kapag pinaplano ang function na y \u003d e x, isang kapansin-pansin na katotohanan ang ipinahayag: hindi lamang y ang katumbas ng e x, ang parehong tagapagpahiwatig ay katumbas ng gradient ng curve at ang lugar sa ilalim ng curve. Iyon ay, ang lugar sa ilalim ng curve mula sa isang tiyak na halaga ng y hanggang minus infinity.

Walang ibang numero ang maaaring magyabang nito. Para sa amin, mga humanista (well, o HINDI lang mga mathematician), ang nasabing pahayag ay kakaunti ang sinasabi, ngunit ang mga mathematician mismo ang nagsasabi na ito ay napakahalaga. Bakit ito mahalaga? Susubukan naming harapin ang isyung ito sa ibang pagkakataon.

Ang logarithm bilang premise ng Euler number

Marahil ay may nakakaalala mula sa paaralan na ang numero ng Euler ay ang batayan din ng natural na logarithm. Well, ito ay naaayon sa likas na katangian nito, bilang isang sukatan ng lahat ng mga pagbabago. Gayunpaman, ano ang kinalaman ni Euler dito? Upang maging patas, ang e ay tinatawag ding numero ng Napier, ngunit ang kuwento ay hindi kumpleto kung wala si Euler, tulad ng walang pagbanggit ng mga logarithms.

Ang pag-imbento ng logarithms noong ika-17 siglo ng Scottish mathematician na si John Napier ay isa sa mga pangunahing kaganapan kasaysayan ng matematika. Sa pagdiriwang bilang parangal sa anibersaryo ng kaganapang ito, na naganap noong 1914, sinabi ni Lord Moulton (Lord Moulton) tungkol sa kanya:

"Ang pag-imbento ng logarithms ay para sa siyentipikong mundo parang kulog mula sa maaliwalas na kalangitan. Walang nakaraang gawain ang humantong dito, hinulaan o ipinangako ang pagtuklas na ito. Ito ay namumukod-tango, ito ay biglang nawala sa pag-iisip ng tao, nang hindi nanghihiram ng anuman mula sa gawain ng ibang mga isipan at nang hindi sumusunod sa mga direksyon ng matematikal na pag-iisip na alam na noon.

Si Pierre-Simon Laplace, ang sikat na French mathematician at astronomer, ay nagpahayag ng kahalagahan ng pagtuklas na ito nang higit na kapansin-pansing: "Ang pag-imbento ng logarithms, sa pamamagitan ng pagbawas ng mga oras ng maingat na trabaho, ay nadoble ang buhay ng isang astronomer." Ano ang labis na nagpahanga kay Laplace? At ang dahilan ay napaka-simple - pinahintulutan ng mga logarithms ang mga siyentipiko na makabuluhang bawasan ang oras na karaniwang ginugugol sa masalimuot na mga kalkulasyon.

Sa kabuuan, pinadali ng logarithms ang mga kalkulasyon—binaba ang mga ito sa isang antas sa sukat ng pagiging kumplikado. Sa madaling salita, sa halip na multiply at hatiin, kailangan mong magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas. At ito ay mas mahusay.

e- base ng natural na logarithm

Isipin natin ang katotohanan na si Napier ay isang pioneer sa larangan ng logarithms - ang kanilang imbentor. At least nai-publish muna niya ang kanyang mga natuklasan. Sa kasong ito, ang tanong ay lumitaw: ano ang merito ni Euler?

Ito ay simple - maaari siyang tawaging ideolohikal na tagapagmana ng Napier at ang taong nagdala sa gawain ng buhay ng isang Scottish na siyentipiko sa isang logarithmic (basahin ang lohikal) na konklusyon. Ito ba ay kawili-wili sa lahat posible?

Ilang napakahalagang graph na binuo gamit ang natural na logarithm.

Higit na partikular, nakuha ni Euler ang base ng natural na logarithm, na kilala ngayon bilang numero e o numero ng Euler. Bilang karagdagan, ipinasok niya ang kanyang pangalan sa kasaysayan ng agham nang maraming beses na hindi pinangarap ni Vasya, na, tila, pinamamahalaang "bisitahin" kahit saan.

Sa kasamaang palad, partikular na ang mga prinsipyo ng pagtatrabaho sa logarithms ay ang paksa ng isang hiwalay na malaking artikulo. Kaya sa ngayon, sapat na na sabihin na salamat sa gawain ng maraming dedikadong siyentipiko na literal na nagtalaga ng mga taon ng kanilang buhay sa pag-compile ng mga logarithmic table sa panahong wala pang nakarinig ng mga calculator, ang pag-unlad ng agham ay bumilis nang husto. .

Sa larawan: John Napier - Scottish mathematician, imbentor ng logarithm (1550-1617.)

Ito ay nakakatawa, ngunit ang pag-unlad na ito, sa huli, ay humantong sa pagkaluma ng mga talahanayan na ito, at ang dahilan para dito ay tiyak ang hitsura ng mga calculator ng kamay, na ganap na kinuha ang gawain ng pagsasagawa ng ganitong uri ng pagkalkula.

Marahil ay narinig mo na ang mga panuntunan sa slide? Noong unang panahon, hindi magagawa ng mga inhinyero o mathematician kung wala sila, ngunit ngayon ito ay halos tulad ng isang astrolabe - kawili-wiling kasangkapan, ngunit sa halip sa mga tuntunin ng kasaysayan ng agham kaysa sa pang-araw-araw na kasanayan.

Bakit mahalagang maging batayan ng logarithm?

Lumalabas na ang base ng logarithm ay maaaring maging anumang numero (halimbawa, 2 o 10), ngunit, tiyak dahil sa mga natatanging katangian ng numero ng Euler, ang base logarithm e tinatawag na natural. Ito ay, bilang ito ay, na binuo sa istraktura ng katotohanan - walang pagtakas mula dito, at ito ay hindi kinakailangan, dahil ito ay lubos na pinasimple ang buhay ng mga siyentipiko na nagtatrabaho sa iba't ibang larangan.

Narito ang isang maliwanag na paliwanag ng likas na katangian ng logarithm mula sa site ng Pavel Berdov. batayang logarithm a mula sa argumento x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha ang numerong x. Sa graphically, ito ay ipinahiwatig bilang mga sumusunod:

log a x = b, kung saan a ang base, x ang argumento, b ang katumbas ng logarithm.

Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay 3 dahil 2 3 = 8).

Sa itaas nakita namin ang numero 2 bilang batayan ng logarithm, ngunit sinasabi ng mga mathematician na ang pinaka mahuhusay na artista para sa papel na ito - ang numero ng Euler. Kunin natin ang kanilang salita para dito... At pagkatapos ay titingnan natin para sa ating sarili.

mga konklusyon

Malamang masama iyon sa loob mataas na edukasyon so strongly separated natural at humanitarian sciences. Minsan ito ay humahantong sa masyadong malakas na "skew" at lumalabas na talagang hindi kawili-wiling makipag-usap sa isang taong bihasa, halimbawa, sa pisika at matematika, sa iba pang mga paksa.

At vice versa, maaari kang maging isang first-class na espesyalista sa panitikan, ngunit, sa parehong oras, maging ganap na walang magawa pagdating sa parehong pisika at matematika. Ngunit ang lahat ng mga agham ay kawili-wili sa kanilang sariling paraan.

Inaasahan namin na kami, na sinusubukang malampasan ang aming sariling mga limitasyon sa loob ng balangkas ng impromptu na programa na "Ako ay isang humanist, ngunit sumasailalim ako sa medikal na paggamot", ay nakatulong sa iyo na matuto at, higit sa lahat, maunawaan ang isang bagong bagay mula sa isang hindi pamilyar na larangang pang-agham. .

Kaya, para sa mga gustong matuto nang higit pa tungkol sa numero ng Euler, maaari kaming magrekomenda ng ilang mga mapagkukunan na kahit na ang isang taong malayo sa matematika ay maaaring maunawaan kung nais nila: Eli Maor sa kanyang aklat na "e: ang kuwento ng isang numero" ("e: ang kuwento ng isang numero ”) ay naglalarawan nang detalyado at sa paraang naa-access ang background at kasaysayan ng numero ng Euler.

Gayundin, sa seksyong "Inirerekomenda" sa ilalim ng artikulong ito, mahahanap mo ang mga pangalan ng mga channel at video sa youtube na kinunan ng mga propesyonal na mathematician na sinusubukang malinaw na ipaliwanag ang numero ng Euler upang kahit na ang mga hindi espesyalista ay maunawaan ito, mayroong mga Russian subtitle.

Tulad ng isang bagay na hindi gaanong mahalaga. Nangyari ito noong 1618. Sa isang apendiks sa gawain ni Napier sa logarithms, ibinigay ang isang talahanayan ng mga natural na logarithms ng iba't ibang numero. Gayunpaman, walang nakaunawa na ang mga ito ay mga batayang logarithm, dahil ang isang bagay bilang isang base ay hindi kasama sa konsepto ng logarithm ng panahong iyon. Ito ngayon ang tinatawag nating logarithm na kapangyarihan kung saan dapat itataas ang base upang makuha ang kinakailangang numero. Babalik tayo dito mamaya. Ang talahanayan sa apendiks ay malamang na ginawa ni Ougthred, kahit na ang may-akda ay hindi kredito. Pagkalipas ng ilang taon, noong 1624, muling lumitaw sa literatura ng matematika, ngunit muling nakatalukbong. Sa taong ito, nagbigay si Briggs ng numerical approximation ng decimal logarithm, ngunit ang numero mismo ay hindi binanggit sa kanyang trabaho.

Ang susunod na paglitaw ng numero ay muling nagdududa. Noong 1647, kinakalkula ni Saint-Vincent ang lugar ng isang hyperbolic sector. Naiintindihan man niya ang koneksyon sa logarithms, maaari lamang hulaan ng isa, ngunit kahit na maunawaan niya, malamang na hindi siya makarating sa numero mismo. Noon lamang 1661 naunawaan ni Huygens ang koneksyon sa pagitan ng isosceles hyperbola at logarithms. Pinatunayan niya na ang lugar sa ilalim ng graph ng isang isosceles hyperbola ng isang isosceles hyperbola sa pagitan mula sa hanggang ay katumbas ng . Ang pag-aari na ito ay gumagawa ng batayan ng mga natural na logarithms, ngunit ang mga mathematician noong panahong iyon ay hindi naiintindihan ito, ngunit dahan-dahan nilang nilapitan ang pag-unawang ito.

Huygens ang sumunod na hakbang noong 1661. Tinukoy niya ang isang kurba na tinawag niyang logarithmic (sa ating terminolohiya ay tatawagin natin itong exponential). Ito ang view curve. At muli mayroong decimal logarithm, na nakita ni Huygens na may katumpakan na 17 decimal digit. Gayunpaman, nagmula ito sa Huygens bilang isang uri ng pare-pareho at hindi nauugnay sa logarithm ng numero (kaya, muli silang naging malapit sa , ngunit ang numero mismo ay nananatiling hindi nakikilala).

Sa karagdagang trabaho sa logarithms, muli, ang numero ay hindi hayagang lilitaw. Gayunpaman, ang pag-aaral ng logarithms ay nagpapatuloy. Noong 1668, naglathala si Nicolaus Mercator ng isang akda Logarithmotechnia, na naglalaman ng serye ng pagpapalawak ng . Sa gawaing ito, ginamit muna ni Mercator ang pangalang "natural logarithm" para sa batayang logarithm. Ang numero ay malinaw na hindi muling lilitaw, ngunit nananatiling mailap sa isang lugar sa gilid.

Nakakagulat, ang numero sa isang tahasang anyo sa unang pagkakataon ay lumitaw hindi na may kaugnayan sa mga logarithms, ngunit may kaugnayan sa walang katapusang mga produkto. Noong 1683 sinubukang hanapin ni Jacob Bernoulli

Ginagamit niya ang binomial theorem upang patunayan na ang limitasyong ito ay nasa pagitan ng at , at ito ay maaari nating isipin bilang isang unang pagtatantya ng numero . Bagama't itinuturing namin ito bilang isang kahulugan, ito ang unang pagkakataon na ang isang numero ay tinukoy bilang isang limitasyon. Si Bernoulli, siyempre, ay hindi naiintindihan ang koneksyon sa pagitan ng kanyang trabaho at ang gawain sa logarithms.

Nauna nang nabanggit na ang mga logarithms sa simula ng kanilang pag-aaral ay hindi nauugnay sa mga exponent sa anumang paraan. Siyempre, mula sa equation nalaman natin na , ngunit ito ay isang mas huling paraan ng pag-iisip. Dito namin talagang ibig sabihin ang logarithm ay isang function, samantalang noong una ang logarithm ay itinuturing lamang bilang isang numero na nakatulong sa mga kalkulasyon. Marahil si Jacob Bernoulli ang unang napagtanto na ang logarithmic function ay inversely exponential. Sa kabilang banda, ang unang mag-uugnay ng logarithms at kapangyarihan ay maaaring si James Gregory. Noong 1684, tiyak na nakilala niya ang koneksyon sa pagitan ng logarithms at kapangyarihan, ngunit maaaring hindi siya ang una.

Alam namin na ang numero ay lumitaw tulad ng ngayon sa 1690. Sa isang liham kay Huygens, ginamit ni Leibniz ang notasyon para dito. Sa wakas, lumitaw ang isang pagtatalaga (bagaman hindi ito tumutugma sa modernong isa), at kinilala ang pagtatalaga na ito.

Noong 1697, sinimulan ni Johann Bernoulli na pag-aralan ang exponential function at inilathala Principia calculi exponentialum seu percurrentium. Sa papel na ito, ang mga kabuuan ng iba't ibang exponential series ay kinakalkula, at ang ilang mga resulta ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasama ng mga ito sa pamamagitan ng termino.

Ipinakilala ni Euler ang napakaraming mathematical notation na
not surprisingly, sa kanya din ang designation. Parang katawa-tawang sabihin na gumamit siya ng sulat dahil ito ang unang letra ng kanyang pangalan. Ito ay malamang na hindi kahit na ito ay kinuha mula sa salitang "exponential", ngunit dahil lamang ito ang susunod na patinig pagkatapos ng "a", at ginamit na ni Euler ang pagtatalaga na "a" sa kanyang trabaho. Anuman ang dahilan, ang pagtatalaga ay unang lumitaw sa isang liham mula kay Euler kay Goldbach noong 1731. Panimula sa Analysin infinitorum nagbigay siya ng kumpletong katwiran para sa lahat ng ideyang may kaugnayan sa . Ipinakita niya iyon

Natagpuan din ni Euler ang unang 18 decimal na lugar ng isang numero:

gayunpaman, nang hindi ipinaliwanag kung paano niya nakuha ang mga ito. Mukhang siya mismo ang nagkalkula ng halagang ito. Sa katunayan, kung kukuha ka ng humigit-kumulang 20 termino ng serye (1), makukuha mo ang katumpakan na nakuha ni Euler. Kabilang sa iba pa kawili-wiling mga resulta sa kanyang trabaho, ang relasyon sa pagitan ng mga function na sine at cosine at ang complex exponential function, na hinango ni Euler sa formula ni De Moivre.

Kapansin-pansin na natagpuan pa ni Euler ang pagpapalawak ng isang numero sa patuloy na mga fraction at nagbigay ng mga halimbawa ng naturang pagpapalawak. Sa partikular, natanggap niya
at
Si Euler ay hindi nagbigay ng patunay na ang mga fraction na ito ay nagpapatuloy sa parehong paraan, ngunit alam niya na kung mayroong ganoong patunay, kung gayon ito ay magpapatunay ng hindi makatwiran. Sa katunayan, kung ang patuloy na fraction para sa nagpapatuloy sa parehong paraan tulad ng sa sample sa itaas (sa bawat oras na idaragdag namin ng ), hindi ito kailanman maaantala, at (samakatuwid, at ) ay hindi maaaring maging makatwiran. Malinaw, ito ang unang pagtatangka upang patunayan ang hindi makatwiran.

Ang unang nagkalkula ng lubos malaking numero Ang mga decimal na lugar ay Shanks (Shanks) noong 1854 Glaisher (Glaisher) ay nagpakita na ang unang 137 digit na nakalkula ng Shanks ay tama, ngunit pagkatapos ay nakakita ng isang error. Itinama ito ni Shanks, at nakuha ang 205 decimal na lugar. Sa katunayan, kailangan mo ng tungkol sa
120 expansion terms (1) para makakuha ng 200 tamang digit.

Noong 1864, tumayo si Benjamin Pierce (Peirce) sa pisara kung saan nakasulat

Sa kanyang mga lektura, maaari niyang sabihin sa kanyang mga estudyante, "Mga ginoo, wala kaming ideya kung ano ang ibig sabihin nito, ngunit makatitiyak kami na ito ay isang napakahalagang kahulugan."

Karamihan ay naniniwala na pinatunayan ni Euler ang hindi makatwiran ng numero. Gayunpaman, ito ay ginawa ni Hermite noong 1873. Ito ay isang bukas na tanong kung ang numero ay algebraic. Ang huling resulta sa direksyong ito ay ang hindi bababa sa isa sa mga numero ay transendental.

Susunod, kinakalkula ang susunod na mga decimal na lugar ng numero. Noong 1884, kinakalkula ni Boorman ang 346 na numero ng numero , kung saan ang unang 187 ay kasabay ng mga palatandaan ng Shanks, ngunit ang mga kasunod ay naiiba. Noong 1887, kinakalkula ni Adams ang 272 digit ng decimal logarithm.