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Beschreibung der Präsentation auf einzelnen Folien:

1 Folie

Beschreibung der Folie:

Schlüsselaufgaben in der Wahrscheinlichkeitstheorie Vorbereitung auf die OGE Nr. 9 MBOU "Gymnasium Nr. 4 benannt nach. WIE. Puschkin“ Zusammengestellt von: Sofina N.Yu.

2 Folie

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Grundlegende überprüfbare Anforderungen für mathematische Ausbildung Nr. 9 OGE in Mathematik Lösen praktische Aufgaben, die eine systematische Aufzählung von Optionen erfordert; die Eintrittswahrscheinlichkeiten zufälliger Ereignisse vergleichen, die Wahrscheinlichkeiten eines zufälligen Ereignisses bewerten, Modelle einer realen Situation vergleichen und untersuchen, indem sie den Apparat der Wahrscheinlichkeit und Statistik verwenden. Nr. 9 - Grundaufgabe. Die maximale Punktzahl für die Erfüllung der Aufgabe beträgt 1.

3 Folie

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist das Verhältnis der Anzahl m der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl n aller gleich möglichen unvereinbaren Ereignisse, die als Ergebnis eines Versuchs oder einer Beobachtung eintreten können.Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Erinnern Sie sich an die Formel zur Berechnung der klassischen Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses Р = n m

4 Folie

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Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Beispiel: Das Elternkomitee kaufte 40 Malvorlagen für Abschlussgeschenke für Kinder Schuljahr. Davon basieren 14 auf den Märchen von A.S. Puschkin und 26 nach den Märchen von G. Kh. Andersen. Geschenke werden zufällig verteilt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass Nastya ein Malbuch bekommt, das auf den Märchen von A.S. Puschkin. Lösung: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Antwort: 0,35.

5 Folie

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Beispiel: Es gab 60 Fragen für die Prüfung. Ivan hat 3 davon nicht gelernt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er auf die gelernte Frage stößt. Lösung: Hier n=60. Ivan hat 3 nicht gelernt, also hat er den ganzen Rest gelernt, d.h. m=60-3=57. P=57/60=0,95. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Antwort: 0,95.

6 Folie

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„Die Reihenfolge wird ausgelost“ Beispiel: 20 Athleten nehmen an der Turnmeisterschaft teil: 8 aus Russland, 7 aus den USA, der Rest aus China. Die Reihenfolge, in der die Turner auftreten, wird durch das Los bestimmt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der fünfte Athlet aus China stammt. Lösung: In der Bedingung des Problems gibt es ein „magisches“ Wort „Los“, was bedeutet, dass wir die Sprechreihenfolge vergessen. Also m= 20-8-7=5 (aus China); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Antwort: 0,25.

7 Folie

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Beispiel: Eine wissenschaftliche Tagung findet in 5 Tagen statt. Insgesamt geplant 75 Berichte - die erste 3 Tage für 17 Berichte, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den 4. und 5. Tag. Die Reihenfolge der Berichte wird ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bericht von Professor Ivanov für den letzten Tag der Konferenz angesetzt wird? Lösung: Tragen wir die Daten in die Tabelle ein. Wir haben das m=12; n = 75. P = 12/75 = 0,16. Antwort: 0,16. „Reihenfolge per Los“ Tag I II III IV V Gesamtzahl der Präsentationen 17 17 17 12 12 75

8 Folie

Beschreibung der Folie:

Ereignishäufigkeit Analog zur Wahrscheinlichkeit findet man die Häufigkeit des Ereignisses, dessen Aufgaben ebenfalls in den Prototypen stehen. Was ist der Unterschied? Wahrscheinlichkeit ist ein vorhersagbarer Wert, und Häufigkeit ist eine Tatsachenfeststellung. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neues Tablet innerhalb eines Jahres repariert wird, beträgt 0,045. In einer bestimmten Stadt kamen von 1000 im Laufe des Jahres verkauften Tablets 51 Stück in der Garantiewerkstatt an. Wie stark unterscheidet sich die Häufigkeit des Ereignisses „Garantiereparatur“ von seiner Wahrscheinlichkeit in dieser Stadt? Lösung: Ermitteln Sie die Häufigkeit des Ereignisses: 51/1000=0,051. Und die Wahrscheinlichkeit ist gleich 0,045 (nach Zustand), was bedeutet, dass in dieser Stadt das Ereignis „Garantiereparatur“ häufiger eintritt als erwartet. Finden wir die Differenz ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Dabei müssen wir berücksichtigen, dass uns NICHT das Vorzeichen der Differenz wichtig ist, sondern nur ihr absoluter Wert. Antwort: 0,006.

9 Folie

Beschreibung der Folie:

Probleme mit der Aufzählung von Optionen ("Münzen", "Matches") Sei k die Anzahl der Münzwürfe, dann die Anzahl der möglichen Ergebnisse: n = 2k. Beispiel: In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf genau einmal kommt. Lösung: Coin Drop Optionen: OO; ODER; RR; RO. Somit ist n = 4. Günstige Ergebnisse: RR und RR. Das heißt, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Antwort: 0,5.

10 Folie

Beschreibung der Folie:

Beispiel: Vor Beginn eines Fußballspiels wirft der Schiedsrichter eine Münze, um festzustellen, welche Mannschaft zuerst den Ball hat. Das Team „Mercury“ spielt abwechselnd mit den Teams „Mars“, „Jupiter“, „Uranus“. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in allen Spielen das Recht, den Ball zu besitzen, von der Mannschaft "Mercury" gewonnen wird? Probleme bei der Aufzählung von Optionen ("Münzen", "Streichhölzer") Lösung: Lassen Sie uns das Besitzrecht des ersten Balls der Mannschaft "Mercury" im Spiel mit einer der anderen drei Mannschaften als "Zahl" bezeichnen. Dann ist das Besitzrecht am zweiten Ball dieser Mannschaft „Adler“. Schreiben wir also alle möglichen Ergebnisse auf, wenn man dreimal eine Münze wirft. "O" - Kopf, "R" - Zahl. ; d. h. n = 8; m=1. P = 1/8 = 0,125. Antwort: 0,125 n = 23 „Mars“ „Jupiter“ „Uranus“

11 Folie

Beschreibung der Folie:

Aufgaben für "Würfel" ( Würfel) Sei k die Anzahl der Würfelwürfe, dann die Anzahl der möglichen Ergebnisse: n = 6k. Beispiel: Dasha würfelt zweimal. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ihre Gesamtzahl 8 gewürfelt hat. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel. Antwort: 0,14. Lösung: Die Summe der beiden Würfel muss 8 Punkte betragen. Dies ist möglich, wenn folgende Kombinationen vorliegen: 2 und 6 6 und 2 3 und 5 5 und 3 4 und 4 m= 5 (5 geeignete Kombinationen) n=36 P= 5/36 = 0,13(8)

12 Folie

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Unabhängige Ereignisse und das Gesetz der Multiplikation Die Wahrscheinlichkeit, sowohl das 1. als auch das 2. und das n. Ereignis zu finden, ergibt sich aus der Formel: P = P1 * P2 * ... * Pn Beispiel: Ein Biathlet schießt fünfmal auf Scheiben. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Scheiben die ersten drei Mal getroffen und die letzten beiden verfehlt hat. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel. Antwort: 0,02. Lösung: Das Ergebnis jedes nächsten Schusses hängt nicht von den vorherigen ab. Daher werden die Ereignisse „Treffer beim ersten Schuss“, „Treffer beim zweiten Schuss“ usw. unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Treffer beträgt 0,8. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers ist also 1 - 0,8 = 0,2. 1 Schuss: 0,8 2 Schuss: 0,8 3 Schuss: 0,8 4 Schuss: 0,2 5 Schuss: 0,2 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

13 Folie

Beschreibung der Folie:

Kombinationen von „und“-Gesetzen und „oder“-Gesetzen Beispiel: Ein Büro kauft Schreibwaren für Mitarbeiter von 3 verschiedenen Firmen. Darüber hinaus machen die Produkte der 1. Firma 40% aller Lieferungen aus, und der Rest der 2. Firma wird zu gleichen Teilen aufgeteilt. Es stellte sich heraus, dass 2% der Stifte der 2. Firma defekt sind. Der Heiratsanteil in der 1. bzw. 3. Firma beträgt 1 % bzw. 3 %. Mitarbeiter A nahm einen Kugelschreiber aus einer neuen Lieferung. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es richtig ist. Lösung: Die Produkte der 2. und 3. Firma sind (100%-40%):2=30% der Lieferungen. P(Ehe) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (wartungsfähige Stifte) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Antwort: 0,981.

Einfache Aufgaben

Auf dem Tisch liegen 25 Kuchen: 7 - mit Marmelade, 9 - mit Kartoffeln, der Rest mit Kohl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kuchen Kohl enthält?

0,36

Das Taxi beschäftigt 40 Autos: 14 sind Lada-Marken, 8 sind Renault-Marken, 2 sind Mercedes-Marken und der Rest sind Skoda-Marken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mercedes zu Ihrem Anruf kommt?

0,05

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln eine Zahl von mindestens drei herauskommt.

Ira, Dima, Vasya, Natasha und Andrey passieren den Standard in 60 Metern. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Mädchen am schnellsten läuft?

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein in einer Unterführung gekauftes Telefon gefälscht ist, beträgt 0,83. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das im Übergang gekaufte Telefon keine Fälschung ist?

0,17

20 Mannschaften nehmen an dem Basketballturnier teil, darunter auch das Team „Guys“. Alle Mannschaften werden in 4 Gruppen eingeteilt: A, B, C, D. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft „Jungs“ in Gruppe A ist?

0,25

Der Lotteriebeutel enthält Fässer, die von 5 bis einschließlich 94 nummeriert sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das aus der Tüte entnommene Fass enthält zweistellige Zahl? Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

0,94

Vor der Prüfung hat Igor bis zuletzt durchgehalten und es geschafft, nur 5 von 80 Tickets zu lernen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er auf ein gelerntes Ticket stößt.

0,0625

Anya schaltet das Radio ein und wählt zufällig eine Funkwelle aus. Insgesamt fängt ihr Funkempfänger 20 Funkwellen ein und nur 7 davon kommen an dieser Moment Musik spielt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Anya auf eine musikalische Welle fällt.

0,35

In jeder zwanzigsten Flasche Soda ist unter dem Deckel ein Code mit einem Gewinn versteckt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Flasche einen Gewinncode unter der Kappe hat.

0,05

Aufgaben sind schwieriger

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte dreistellige Zahl durch 5 teilbar ist?

0,2

Die Körpergröße (in cm) von fünf Schülern wird erfasst: 166, 158, 132, 136, 170. Wie stark weicht das arithmetische Mittel dieser Zahlenreihe von ihrem Median ab?

Nach den Statistiken eines kleinen Landes ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das geborene Baby ein Junge ist, 0,507 beträgt. 2017 wurden hierzulande durchschnittlich 486 Mädchen auf 1.000 Babys geboren. Wie unterschiedlich ist die Häufigkeit weiblicher Geburten im Jahr 2017 hierzulande von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?

0,007

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden gezogenen Zahlen 3 oder 7 ist. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

0,22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte dreistellige Zahl durch 2 teilbar ist?

0,5

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Münzwürfen genau einmal Zahl kommt.

0,5

Ein Würfel wird zweimal geworfen, bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male eine Zahl größer als drei fällt. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

0,31

Nach den Statistiken eines kleinen Landes ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein geborenes Baby ein Junge wird, 0,594 beträgt. 2017 wurden hierzulande durchschnittlich 513 Mädchen auf 1.000 Babys geboren. Wie unterschiedlich ist die Häufigkeit weiblicher Geburten im Jahr 2017 hierzulande von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?

0,107

Die Körpergröße (in cm) von fünf Schülern wird erfasst: 184, 145, 176, 192, 174. Wie stark weicht das arithmetische Mittel dieser Zahlenreihe von ihrem Median ab?

1,8

Die durchschnittliche Größe der Einwohner des Dorfes „Riesen“ beträgt 194 cm. Die Größe von Nikolai Petrovich beträgt 195 cm. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

1) Einer der Dorfbewohner muss 194 cm groß sein.

2) Nikolai Petrovich ist der größte Einwohner des Dorfes.

3) Es wird definitiv mindestens einen Mann aus diesem Dorf unter Nikolai Petrovich geben.

4) Es wird auf jeden Fall mindestens einen Einwohner aus diesem Dorf unterhalb von Nikolai Petrovich geben.

4

Schwierige Aufgaben

Der Schütze schießt 4 Mal mit einer Waffe auf die Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, dass er das Ziel mit einem Schuss genau trifft, beträgt 0,5. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel die ersten beiden Male trifft und die letzten beiden verfehlt.

0,0625

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Akku defekt ist, beträgt 0,05. Der Kunde im Laden wählt zufällig ein Paket mit zwei Akkus aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Batterien in Ordnung sind.

0,9025

Der Schütze schießt 5 Mal hintereinander auf die Scheiben. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel beim Abfeuern zu treffen, beträgt 0,7. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze die Scheiben die ersten vier Male trifft, und das letzte Mal verpasst. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel.

Ereignisse, die in der Realität oder in unserer Vorstellung auftreten, können in 3 Gruppen eingeteilt werden. Dies sind bestimmte Ereignisse, die eintreten müssen, unmögliche Ereignisse und zufällige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht zufällige Ereignisse, d.h. Ereignisse, die eintreten können oder nicht. Dieser Artikel erscheint in Zusammenfassung wahrscheinlichkeitstheoretische Formeln und Beispiele zur Lösung Probleme, die in der 4. Aufgabe der USE in Mathematik (Profilebene) behandelt werden.

Wozu brauchen wir die Wahrscheinlichkeitstheorie?

Historisch gesehen entstand im 17. Jahrhundert im Zusammenhang mit der Entwicklung und Professionalisierung der Glücksspiel und das Aufkommen des Casinos. Es war ein echtes Phänomen, das sein Studium und seine Erforschung erforderte.

Das Spielen von Karten, Würfeln und Roulette schuf Situationen, in denen eine endliche Anzahl von gleich wahrscheinlichen Ereignissen eintreten konnte. Es bestand die Notwendigkeit, numerische Schätzungen der Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses anzugeben.

Im 20. Jahrhundert wurde deutlich, dass diese scheinbar frivole Wissenschaft eine wichtige Rolle für das Verständnis der grundlegenden Prozesse spielt, die im Mikrokosmos ablaufen. Wurde erstellt moderne Theorie Wahrscheinlichkeiten.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Der Untersuchungsgegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Wenn das Ereignis komplex ist, kann es in einfache Komponenten zerlegt werden, deren Wahrscheinlichkeiten leicht zu finden sind.

Die Summe der Ereignisse A und B wird als Ereignis C bezeichnet, was darin besteht, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B oder Ereignis A und B gleichzeitig stattgefunden haben.

Das Produkt der Ereignisse A und B ist das Ereignis C, das darin besteht, dass sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B stattgefunden haben.

Die Ereignisse A und B heißen inkompatibel, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können.

Ein Ereignis A heißt unmöglich, wenn es nicht eintreten kann. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol gekennzeichnet.

Ein Ereignis A heißt sicher, wenn es mit Sicherheit eintritt. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol gekennzeichnet.

Jedem Ereignis A sei eine Nummer P(A) zugeordnet. Diese Zahl P(A) wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt, wenn die folgenden Bedingungen mit einer solchen Entsprechung erfüllt sind.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Situation, in der es gleich wahrscheinliche elementare Ergebnisse gibt und beliebige dieser Ergebnisse die Ereignisse A bilden. In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit durch die Formel eingeführt werden. Die so eingeführte Wahrscheinlichkeit heißt klassische Wahrscheinlichkeit. Es kann bewiesen werden, dass die Eigenschaften 1-4 in diesem Fall gelten.

Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die in der Klausur in Mathematik zu finden sind, beziehen sich hauptsächlich auf die klassische Wahrscheinlichkeit. Solche Aufgaben können sehr einfach sein. Besonders einfach sind Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie Demoversionen. Es ist einfach, die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen, die Anzahl aller Ergebnisse wird direkt in die Bedingung geschrieben.

Wir erhalten die Antwort gemäß der Formel.

Ein Beispiel für eine Aufgabe aus der Prüfung in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit

Auf dem Tisch liegen 20 Pasteten – 5 mit Kohl, 7 mit Äpfeln und 8 mit Reis. Marina möchte einen Kuchen essen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Reiskuchen nimmt?

Lösung.

Es gibt insgesamt 20 gleichwahrscheinliche Elementarergebnisse, das heißt, Marina kann jeden der 20 Kuchen nehmen. Aber wir müssen die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass Marina das Reispastetchen nimmt, das heißt, wobei A die Wahl des Reispastetchens ist. Das bedeutet, dass wir insgesamt 8 günstige Ergebnisse haben (Reiskuchen wählen) Dann wird die Wahrscheinlichkeit durch die Formel bestimmt:

Unabhängige, entgegengesetzte und willkürliche Ereignisse

Allerdings hinein offenes Glas Aufgaben begannen, komplexere Aufgaben zu erfüllen. Lassen Sie uns daher die Aufmerksamkeit des Lesers auf andere Fragen lenken, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden.

Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit jedes von ihnen nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eingetreten ist.

Ereignis B besteht darin, dass Ereignis A nicht eingetreten ist, d.h. Ereignis B ist dem Ereignis A entgegengesetzt. Die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des direkten Ereignisses, d.h. .

Additions- und Multiplikationssätze, Formeln

Für beliebige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit der Summe dieser Ereignisse gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Ereignisses, d.h. .

Für unabhängige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit des Produkts dieser Ereignisse gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, d. h. in diesem Fall .

Die letzten 2 Aussagen werden die Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten genannt.

Es ist nicht immer so einfach, die Anzahl der Ergebnisse zu zählen. In einigen Fällen ist es notwendig, kombinatorische Formeln zu verwenden. Das Wichtigste ist, die Anzahl der Ereignisse zu zählen, die zufriedenstellend sind gewisse Bedingungen. Manchmal können solche Berechnungen zu eigenständigen Aufgaben werden.

Auf wie viele Arten können 6 Schüler auf 6 leeren Plätzen sitzen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten, den zweiten Schüler zu platzieren. Für den dritten Schüler gibt es 4 freie Plätze, für den vierten - 3, für den fünften - 2, der sechste nimmt den einzigen verbleibenden Platz ein. Um die Anzahl aller Optionen zu finden, müssen Sie das Produkt finden, das mit dem Symbol 6 gekennzeichnet ist! und lesen Sie "sechs Fakultät".

Die Antwort auf diese Frage liefert im allgemeinen Fall die Formel für die Anzahl der Permutationen von n Elementen, in unserem Fall .

Betrachten Sie nun einen anderen Fall mit unseren Schülern. Auf wie viele Arten können 2 Schüler auf 6 leeren Plätzen sitzen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten, den zweiten Schüler zu platzieren. Um die Anzahl aller Optionen zu finden, müssen Sie das Produkt finden.

Im allgemeinen Fall wird diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Platzierungen von n Elementen mal k Elementen beantwortet

In unserem Fall .

Und das letzte in dieser Reihe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 von 6 Schülern auszuwählen? Der erste Schüler kann auf 6 Arten gewählt werden, der zweite auf 5 Arten und der dritte auf 4 Arten. Aber unter diesen Optionen kommen die gleichen drei Schüler 6 Mal vor. Um die Anzahl aller Optionen zu finden, müssen Sie den Wert berechnen: . Im allgemeinen Fall wird diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Kombinationen von Elementen für Elemente beantwortet:

In unserem Fall .

Beispiele zur Lösung von Aufgaben aus der Prüfung in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1. Aus der Sammlung, hrsg. Jaschtschenko.

Auf einem Teller liegen 30 Pasteten: 3 mit Fleisch, 18 mit Kohl und 9 mit Kirschen. Sasha wählt zufällig einen Kuchen aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er mit einer Kirsche endet.

.

Antwort: 0,3.

Aufgabe 2. Aus der Sammlung, hrsg. Jaschtschenko.

In jeder Charge von 1000 Glühbirnen sind durchschnittlich 20 defekte. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge ausgewählte Glühbirne gut ist.

Lösung: Die Anzahl der betriebsbereiten Glühbirnen beträgt 1000-20=980. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der Charge entnommene Glühbirne brauchbar ist:

Antwort: 0,98.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Schülerin U. bei einem Mathetest mehr als 9 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass U. mehr als 8 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,73. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass U. genau 9 Aufgaben richtig löst.

Wenn wir uns einen Zahlenstrahl vorstellen und darauf die Punkte 8 und 9 markieren, dann sehen wir, dass die Bedingung „U. genau 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. mehr als 8 Aufgaben richtig lösen", trifft aber nicht auf die Bedingung "W. mehr als 9 Aufgaben richtig lösen.

Allerdings ist die Bedingung „U. mehr als 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. mehr als 8 Aufgaben richtig lösen. Wenn wir also Ereignisse bezeichnen: „W. genau 9 Aufgaben richtig lösen" - bis A, "U. mehr als 8 Aufgaben richtig lösen" - bis B, "U. mehr als 9 Probleme richtig lösen “durch C. Dann sieht die Lösung so aus:

Antwort: 0,06.

In der Geometrieprüfung beantwortet der Schüler eine Frage aus der Liste der Prüfungsfragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine trigonometrische Frage handelt, beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies eine Outer Corners-Frage ist, beträgt 0,15. Es gibt keine Fragen zu diesen beiden Themen gleichzeitig. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen bekommt.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Veranstaltungen wir haben. Wir erhalten zwei inkompatible Ereignisse. Das heißt, die Frage bezieht sich entweder auf das Thema „Trigonometrie“ oder auf das Thema „Außenwinkel“. Nach dem Wahrscheinlichkeitssatz ist die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses, wir müssen die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse finden, das heißt:

Antwort: 0,35.

Der Raum wird von einer Laterne mit drei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe in einem Jahr durchbrennt, beträgt 0,29. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe innerhalb eines Jahres nicht durchbrennt.

Betrachten wir mögliche Ereignisse. Wir haben drei Glühbirnen, von denen jede unabhängig von jeder anderen Glühbirne durchbrennen kann oder nicht. Dies sind eigenständige Veranstaltungen.

Dann werden wir die Varianten solcher Ereignisse angeben. Wir akzeptieren die Notation: - die Glühbirne ist an, - die Glühbirne ist durchgebrannt. Und gleich als nächstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, bei dem drei unabhängige Ereignisse „die Glühbirne durchgebrannt“, „die Glühbirne brennt“, „die Glühbirne brennt“ eingetreten sind: .

UMK beliebig

Wahrscheinlichkeitstheorie

an der OGE und dem Einheitlichen Staatsexamen

Altai-Territorium

Aufgaben

auf Wahrscheinlichkeit

mit einem Würfel

(Würfel)

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Anzahl von Punkten herausfällt, wenn ein Würfel (Würfel) geworfen wird.

Die Lösung des Problems:

Ungerade Zahl - 3 (1; 3; 5)

Antwort: P=0,5

2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen eines Würfels (Würfel) weniger als 4 Punkte herausfallen.

Die Lösung des Problems:

Ereignisse insgesamt - 6 (6 Zahlen von 1 bis 6 können herausfallen)

Weniger als 4 Punkte - 3 (1; 2; 3)

Antwort: P=0,5

3 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 Punkte herausfallen, wenn ein Würfel (Würfel) geworfen wird.

Die Lösung des Problems:

Ereignisse insgesamt - 6 (6 Zahlen von 1 bis 6 können herausfallen)

Mehr als 3 Punkte - 3 (4; 5; 6)

Antwort: P=0,5

vier . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen eines Würfels (Würfel) mehr als 2 Punkte herausfallen. Runden Sie Ihre Antwort auf Zehntel.

Die Lösung des Problems:

Ereignisse insgesamt - 6 (6 Zahlen von 1 bis 6 können herausfallen)

Mehr als 2 Punkte - 2 (3; 4; 5; 6)

P = 4:6 = 0,66…

Antwort: P=0,7

5. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden gezogenen Zahlen ungerade ist.

Die Lösung des Problems:

Der Betrag ist ungerade, wenn: 1) er zum ersten Mal auftaucht seltsam Nummer, und in der zweiten eben. 2) zum ersten Mal - eben, und das zweite Mal seltsam .

1) 3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf eine ungerade Zahl zu bekommen.

3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eine gerade Zahl zu erhalten.

0,5 0,5 \u003d 0,25 - weil diese beiden Ereignisse müssen zusammen auftreten. 2) 3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine gerade Zahl zu erhalten.

3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eine ungerade Zahl zu erhalten.

0,5 0,5 \u003d 0,25 - weil diese beiden Ereignisse müssen zusammen auftreten.

3) 0,25 + 0,25 = 0,5

Antwort: P=0,5

6. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die größte der beiden gezogenen Zahlen 5 ist. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

Die Lösung des Problems:

1) Der erste Wurf würfelt 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5 und der zweite Wurf würfelt 5 2) Der erste Wurf würfelt 5 und der zweite Wurf würfelt 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5

• 5: 6 \u003d 5/6 - die Wahrscheinlichkeit, dass 1 herausfällt; 2; 3; vier; 5

5/6 1/6 = 5/36 - die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten

• 1:6 = 1/6 - Wahrscheinlichkeit einer 5

5: 6 = 5/6 - Wahrscheinlichkeit 1; 2; 3; vier; 5

1/6 5/6 \u003d 5/36 - die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten

• 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…

Antworten: 0,3

7. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine Zahl größer als 3 gewürfelt wird.

Die Lösung des Problems:

1) Der erste Wurf wird 1, oder 2 oder 3 würfeln und der zweite Wurf wird 4 würfeln; oder 5 oder 6 2) Beim ersten Wurf wird eine 4 gewürfelt; oder 5 oder 6, und beim zweiten Wurf wird eine 1 oder 2 oder 3 gewürfelt 3) Beim ersten Wurf wird eine 4 gewürfelt; oder 5 oder 6, und beim zweiten Wurf kommt eine 4 oder 5 oder 6 heraus.

2) 3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit von 4; 5; 6

3: 6 \u003d 0,5 - Ausfallwahrscheinlichkeit 1; 2; 3

0,5 0,5 \u003d 0,25 - die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten

3) 3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit von 4; 5; 6

3: 6 \u003d 0,5 - Ausfallwahrscheinlichkeit 4; 5; 6

0,5 0,5 \u003d 0,25 - die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten

4) 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75 Antwort: 0,75

Aufgaben

auf Wahrscheinlichkeit

mit Münzen

8. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen 1 mal .

Die Lösung des Problems: Lassen Sie uns die Anzahl der möglichen Ergebnisse ermitteln und alle Optionen für Würfe durchgehen. Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen und alle Optionen zeigen:

2: 4 \u003d 0,5 - die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe beim Wurf fallen.

2) Antwort: 0,5

9. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen dreimal .

Die Lösung des Problems:

1 Wurf

2 werfen

3 werfen

1:8 = 0,125 ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf Kopf landet.

Antwort: 0,125

10. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen 2 mal .

Die Lösung des Problems:

1 Wurf

2 werfen

3 werfen

3: 8 \u003d 0,375 - die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe beim Wurf fallen.

Antwort: 0,375

elf . In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe niemals auftauchen.

Die Lösung des Problems:

1 Wurf

2 werfen

3 werfen

1:8 = 0,125 - die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf Kopf landet.

Antwort: 0,125

Aufgaben

auf Wahrscheinlichkeit

(verschiedene)

12. Es ist bekannt, dass in einigen Regionen die Wahrscheinlichkeit, dass das geborene Baby ein Junge ist, 0,512 beträgt. Im Jahr 2010 wurden in dieser Region durchschnittlich 477 Mädchen auf 1.000 Babys geboren. Wie unterscheidet sich die Häufigkeit, 2010 in dieser Region ein Mädchen zu bekommen, von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?

Die Lösung des Problems:

• 1 - 0,512 = 0,488 –

2) 477: 1000 = 0,477 - die Wahrscheinlichkeit, 2010 Mädchen zu bekommen

3) 0,488 - 0,477=0,011

Antworten: 0,011

13. Es ist bekannt, dass in einigen Regionen die Wahrscheinlichkeit, dass das geborene Baby ein Junge ist, 0,486 beträgt. Im Jahr 2011 wurden in dieser Region durchschnittlich 522 Mädchen auf 1.000 Babys geboren. Wie unterscheidet sich die Häufigkeit, 2011 in dieser Region ein Mädchen zu bekommen, von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?

Die Lösung des Problems:

• 1 - 0,486 = 0,514 – die Wahrscheinlichkeit, Mädchen in der Region zu haben

2) 522: 1000 = 0,522 - die Wahrscheinlichkeit, 2011 Mädchen zu bekommen

3) 0,522 - 0,514 = 0,008

Antworten: 0,008

14. Stas wählt eine dreistellige Zahl. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es durch 48 teilbar ist.

Die Lösung des Problems:

• 999 - 99 = 900 – nur dreistellige Zahlen

2) 999: 48 = 20,8125 - d.h. Gesamt 20 Zahlen sind durch 48 teilbar

• Davon sind zwei Zahlen zweistellig - das ist 48 und 96, dann 20 - 2 = 18

4) 18: 900 = 0,02

Antworten: 0,02

fünfzehn . Andrew wählt eine zufällige dreistellige Zahl. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es durch 33 teilbar ist.

Die Lösung des Problems:

• 999 - 99 = 900 – nur dreistellige Zahlen

2) 999: 33 = 30,29… - d.h. Gesamt 30 Zahlen sind durch 33 teilbar

• Davon sind drei Zahlen zweistellig - das ist 33, 66, 99 dann 30 - 3 = 27

4) 27: 900 = 0,03

Antworten: 0,03

16 . In jeder vierten Dose Kaffee gibt es laut Aktionsbedingungen einen Preis. Die Preise werden nach dem Zufallsprinzip auf die Banken verteilt. Alya kauft eine Dose Kaffee in der Hoffnung, einen Preis zu gewinnen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Alya den Preis nicht in ihrer Bank findet.

Die Lösung des Problems:

1) 1: 4 = 0,25 - die Wahrscheinlichkeit, einen Preis zu erhalten.

2) 1 - 0,25 = 0,75 - die Wahrscheinlichkeit, keinen Preis zu bekommen

Antwort: 0,75

17. Bei der Geometrieprüfung bekommt der Student eine Frage aus der Liste der Prüfungsfragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Outer Corners-Frage handelt, beträgt 0,35. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Inkreisfrage handelt, beträgt 0,2. Es gibt keine Fragen zu diesen beiden Themen gleichzeitig. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen bekommt.

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier unvereinbarer Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse: 0,35 + 0,2 = 0,52

Antwort: 0,52

18. Ein Biathlet schießt fünfmal auf Scheiben. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Scheiben die ersten drei Mal getroffen und die letzten beiden verfehlt hat. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel.

Lösung:

Trefferwahrscheinlichkeit - 0,8

Verfehlungswahrscheinlichkeit - 0,2

Die Miss- und Hit-Ereignisse sind unabhängig, also

19. Es gibt zwei Zahlungsautomaten im Geschäft. Jeder von ihnen kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,12 fehlerhaft sein, unabhängig vom anderen Automaten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Automat funktionsfähig ist.

Lösung:

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Automaten fehlerhaft sind.

Diese Ereignisse sind unabhängig, d.h. 0,12² = 0,0144

Das Ereignis, dass mindestens einer der

Automat ist das Gegenteil, also 1 - 0,0144 = 0,9856

Antwort: 0,9856

20. Ein Einkaufszentrum zwei identische Verkaufsautomaten verkaufen Kaffee. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Maschine am Ende des Tages der Kaffee ausgeht, beträgt 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, dass beiden Maschinen der Kaffee ausgeht, beträgt 0,16. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass am Ende des Tages in beiden Automaten noch Kaffee übrig ist.

Lösung:

Betrachten Sie die Ereignisse:

A - Kaffee endet in der ersten Maschine

B - Kaffee endet in der zweiten Maschine

A B – Kaffee endet in beiden Automaten

A + B - Kaffee wird in mindestens einer Maschine enden

Daher ist die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses (Kaffee verbleibt in beiden Maschinen) gleich

Antwort: 0,56

21. Zwei Fabriken produzieren das gleiche Glas für Autoscheinwerfer. Die erste Fabrik produziert 45 % dieser Gläser, die zweite 55 %. Die erste Fabrik produziert 3% der defekten Gläser und die zweite - 1%. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein versehentlich in einem Geschäft gekauftes Glas defekt ist.

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass das in der ersten Fabrik gekaufte Glas defekt ist: 0,45 0,03 = 0,0135

Wahrscheinlichkeit, dass das in der zweiten Fabrik gekaufte Glas defekt ist: 0,55 0,01 = 0,0055

Das bedeutet, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass versehentlich in einem Geschäft gekauftes Glas defekt ist: 0,0135 + 0,0055 = 0,019

Antwort: 0,019

Quellen

Aufgaben der offenen Aufgabenbank Mathematik FIPI, 2014-2015 http://www.fipi.ru/

Münze - https :// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg

Würfel - http ://clipstock.ucoz.ru/_ ph/21/365284339.jpg

http ://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/% D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675

OG 2016 - http :// www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg

Bisher in der offenen Bank von USE-Problemen in der Mathematik (mathege.ru) vorgestellt, deren Lösung auf nur einer Formel basiert, die eine klassische Definition der Wahrscheinlichkeit ist.

Der einfachste Weg, die Formel zu verstehen, ist mit Beispielen.
Beispiel 1 Im Korb befinden sich 9 rote und 3 blaue Bälle. Die Kugeln unterscheiden sich nur in der Farbe. Zufällig (ohne hinzusehen) bekommen wir einen davon. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die so ausgewählte Kugel blau ist?

Kommentar. Bei Wahrscheinlichkeitsproblemen passiert etwas (in diesem Fall unsere Aktion, den Ball zu ziehen), das haben kann unterschiedliches Ergebnis- Ergebnis. Es ist zu beachten, dass das Ergebnis auf unterschiedliche Weise betrachtet werden kann. "Wir haben einen Ball rausgeholt" ist auch ein Ergebnis. „Wir haben den blauen Ball rausgeholt“ lautet das Ergebnis. "Wir haben diese bestimmte Kugel aus allen möglichen Kugeln gezogen" - diese am wenigsten verallgemeinerte Sicht auf das Ergebnis wird als elementares Ergebnis bezeichnet. Es sind die elementaren Ergebnisse, die in der Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit gemeint sind.

Lösung. Jetzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu wählen.
Ereignis A: „Der gewählte Ball war blau“
Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse: 9+3=12 (Anzahl aller Bälle, die wir ziehen konnten)
Anzahl der für Ereignis A günstigen Ergebnisse: 3 (die Anzahl solcher Ergebnisse, bei denen Ereignis A eingetreten ist - dh die Anzahl der blauen Kugeln)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Antwort: 0,25

Berechnen wir für dasselbe Problem die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu wählen.
Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse bleibt gleich 12. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse: 9. Die gewünschte Wahrscheinlichkeit: 9/12 = 3/4 = 0,75

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1.
Manchmal wird in der Alltagssprache (aber nicht in der Wahrscheinlichkeitstheorie!) die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in Prozent geschätzt. Der Übergang zwischen mathematischer und sprachlicher Bewertung erfolgt durch Multiplikation (bzw. Division) mit 100 %.
So,
In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse, die nicht eintreten können, null – unwahrscheinlich. In unserem Beispiel wäre dies beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel aus dem Korb zu ziehen. (Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist 0, P(A)=0/12=0, wenn nach der Formel gezählt wird)
Wahrscheinlichkeit 1 hat Ereignisse, die mit absoluter Sicherheit eintreten werden, ohne Optionen. Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass "der gewählte Ball entweder rot oder blau ist", für unser Problem. (Anzahl günstiger Ergebnisse: 12, P(A)=12/12=1)

Wir haben uns ein klassisches Beispiel angesehen, das die Definition von Wahrscheinlichkeit veranschaulicht. Alle ähnlichen USE-Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie werden mit dieser Formel gelöst.
Statt roter und blauer Kugeln können Äpfel und Birnen, Jungen und Mädchen, gelernte und ungelernte Tickets, Tickets mit und ohne Frage zu einem Thema (Prototypen , ), defekte und hochwertige Taschen oder Gartenpumpen (Prototypen , ) - das Prinzip bleibt gleich.

Etwas abweichen in der Formulierung des Problems der Theorie USE Wahrscheinlichkeiten, wo Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen müssen, dass ein Ereignis an einem bestimmten Tag eintritt. ( , ) Wie in den vorherigen Aufgaben müssen Sie bestimmen, was ein elementares Ergebnis ist, und dann dieselbe Formel anwenden.

Beispiel 2 Die Konferenz dauert drei Tage. Am ersten und zweiten Tag jeweils 15 Referenten, am dritten Tag - 20. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Referat von Professor M. am dritten Tag fällt, wenn die Reihenfolge der Referate per Los bestimmt wird?

Was ist hier das elementare Ergebnis? - Zuordnung eines Professorenberichts zu einer von allen möglichen Seriennummern für eine Rede. An der Verlosung nehmen 15+15+20=50 Personen teil. So kann der Bericht von Professor M. eine von 50 Nummern erhalten. Dies bedeutet, dass es nur 50 elementare Ergebnisse gibt.
Was sind die günstigen Ergebnisse? - Diejenigen, bei denen sich herausstellt, dass der Professor am dritten Tag sprechen wird. Das heißt, die letzten 20 Zahlen.
Nach der Formel ist die Wahrscheinlichkeit P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Antwort: 0,4

Die Verlosung ist hier die Herstellung einer zufälligen Korrespondenz zwischen Personen und geordneten Orten. In Beispiel 2 wurde das Spiel dahingehend betrachtet, welche der Plätze eingenommen werden könnten besondere Person. Sie können die gleiche Situation auch von der anderen Seite angehen: Welche der Personen könnten mit welcher Wahrscheinlichkeit an einen bestimmten Ort gelangen (Prototypen , , , ):

Beispiel 3 An der Verlosung nehmen 5 Deutsche, 8 Franzosen und 3 Esten teil. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste (/zweite/siebte/letzte – egal) ein Franzose ist?

Die Anzahl der Elementarergebnisse ist die Anzahl aller möglichen Personen, die per Los an einen bestimmten Ort gelangen könnten. 5+8+3=16 Personen.
Günstige Ergebnisse - die Franzosen. 8 Personen.
Gewünschte Wahrscheinlichkeit: 8/16=1/2=0,5
Antwort: 0,5

Der Prototyp ist etwas anders. Es gibt Aufgaben zu Münzen () und Würfeln (), die etwas kreativer sind. Lösungen für diese Probleme finden Sie auf den Prototypseiten.

Hier sind einige Beispiele für das Werfen von Münzen oder Würfeln.

Beispiel 4 Wenn wir eine Münze werfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir Zahl bekommen?
Ergebnisse 2 - Kopf oder Zahl. (Es wird angenommen, dass die Münze niemals auf den Rand fällt) Günstiges Ergebnis - Zahl, 1.
Wahrscheinlichkeit 1/2=0,5
Antwort: 0,5.

Beispiel 5 Was ist, wenn wir eine Münze zweimal werfen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male Kopf fällt?
Die Hauptsache ist, zu bestimmen, welche elementaren Ergebnisse wir beim Werfen von zwei Münzen berücksichtigen werden. Nach dem Werfen von zwei Münzen kann eines der folgenden Ergebnisse eintreten:
1) PP - beide Male kam es zu Schwänzen
2) PO – beim ersten Mal Zahl, beim zweiten Mal Kopf
3) OP - beim ersten Mal Kopf, beim zweiten Mal Zahl
4) OO – Heads up beide Male
Es gibt keine anderen Optionen. Das bedeutet, dass es 4 elementare Ergebnisse gibt, von denen nur das erste günstig ist, 1.
Wahrscheinlichkeit: 1/4=0,25
Antwort: 0,25

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Würfe einer Münze auf Zahl landen?
Die Anzahl der elementaren Ergebnisse ist gleich, 4. Günstige Ergebnisse sind das zweite und dritte, 2.
Wahrscheinlichkeit, ein Ende zu bekommen: 2/4=0,5

Bei solchen Problemen kann eine andere Formel hilfreich sein.
Wenn mit einem Münzwurf Optionen haben wir 2 Ergebnisse, dann sind die Ergebnisse für zwei Würfe 2 2=2 2 =4 (wie in Beispiel 5), für drei Würfe 2 2 2=2 3 =8, für vier Würfe: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … für N Würfe gibt es 2·2·...·2=2 N mögliche Ergebnisse.

Sie können also die Wahrscheinlichkeit ermitteln, bei 5 Münzwürfen 5 Zahlen zu erhalten.
Die Gesamtzahl der elementaren Ergebnisse: 2 5 = 32.
Günstige Ergebnisse: 1. (RRRRRR - alle 5 Mal Schwänze)
Wahrscheinlichkeit: 1/32=0,03125

Dasselbe gilt für die Würfel. Bei einem Wurf gibt es 6 mögliche Ergebnisse, also bei zwei Würfen: 6 6=36, bei drei 6 6 6=216 usw.

Beispiel 6 Wir würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu erhalten?

Gesamtergebnisse: 6, je nach Anzahl der Gesichter.
Günstig: 3 Ergebnisse. (2, 4, 6)
Wahrscheinlichkeit: 3/6=0,5

Beispiel 7 Wirf zwei Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 10 ergibt? (auf Hundertstel runden)

Es gibt 6 mögliche Ergebnisse für einen Würfel. Daher ist für zwei nach obiger Regel 6·6=36.
Welche Ergebnisse werden günstig sein, damit insgesamt 10 ausfallen?
10 muss in die Summe zweier Zahlen von 1 bis 6 zerlegt werden. Dies kann auf zwei Arten geschehen: 10=6+4 und 10=5+5. Für Würfel sind also Optionen möglich:
(6 auf dem ersten und 4 auf dem zweiten)
(4 beim ersten und 6 beim zweiten)
(5 auf dem ersten und 5 auf dem zweiten)
Insgesamt 3 Möglichkeiten. Gewünschte Wahrscheinlichkeit: 3/36=1/12=0,08
Antwort: 0,08

Andere Arten von B6-Problemen werden in einem der folgenden „How to Solve“-Artikel besprochen.