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Planen Sie einen Workshop für Mathematiklehrer an der Bildungseinrichtung der Stadt Tula zum Thema „Lösen von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik aus den Abschnitten: Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie“. Lehrmethodik“

Zeit: 12 00 ; 15 00

Veranstaltungsort: MBOU "Lyceum No. 1", Büro. Nr. 8

ICH. Wahrscheinlichkeitsprobleme lösen

1. Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung

Wir als Lehrer wissen bereits, dass die Hauptaufgabentypen im Einheitlichen Staatsexamen in der Wahrscheinlichkeitstheorie auf der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit basieren. Erinnern wir uns, was man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nennt?

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der für ein bestimmtes Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse.

Unser wissenschaftlicher und methodischer Verbund von Mathematiklehrern hat sich entwickelt allgemeines Schema Lösen von Wahrscheinlichkeitsproblemen. Ich möchte Sie darauf aufmerksam machen. Übrigens haben wir unsere Arbeitserfahrungen geteilt und in den Materialien, die wir Ihnen zur gemeinsamen Diskussion der Problemlösung zur Verfügung gestellt haben, dieses Diagramm angegeben. Ich möchte es jedoch aussprechen.

Unserer Meinung nach hilft dieses Schema dabei, alles schnell logisch in Einzelteile zu sortieren, und danach kann das Problem sowohl für den Lehrer als auch für die Schüler viel einfacher gelöst werden.

Daher möchte ich die folgende Aufgabe im Detail analysieren.

Ich wollte mit Ihnen gemeinsam sprechen, um die Methodik zu erklären, wie man den Jungs eine solche Lösung vermitteln kann, bei der die Jungs dieses typische Problem verstehen und anschließend diese Probleme selbst verstehen.

Was ist ein Zufallsexperiment in diesem Problem? Jetzt müssen wir ein elementares Ereignis in diesem Experiment isolieren. Was ist dieses elementare Ereignis? Lassen Sie uns sie auflisten.

Fragen zur Aufgabe?

Liebe Kolleginnen und Kollegen, Sie haben sich offensichtlich auch mit Wahrscheinlichkeitsproblemen mit Würfeln befasst. Ich denke, wir müssen es analysieren, denn es hat seine eigenen Nuancen. Lassen Sie uns dieses Problem anhand des Schemas analysieren, das wir Ihnen vorgeschlagen haben. Da auf jeder Seite des Würfels eine Zahl von 1 bis 6 steht, sind die Elementarereignisse die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Wir haben herausgefunden, dass die Gesamtzahl der Elementarereignisse 6 beträgt. Lassen Sie uns bestimmen welche Elementarereignisse das Ereignis begünstigen. Nur zwei Ereignisse begünstigen dieses Ereignis – 5 und 6 (da sich aus der Bedingung ergibt, dass 5 und 6 Punkte herausfallen sollten).

Erklären Sie, dass alle Elementarereignisse gleichermaßen möglich sind. Welche Fragen wird es zur Aufgabe geben?

Woran erkennt man, dass eine Münze symmetrisch ist? Um es klarzustellen: Manchmal führen bestimmte Formulierungen zu Missverständnissen. Lassen Sie uns dieses Problem konzeptionell verstehen. Lassen Sie uns gemeinsam mit Ihnen im beschriebenen Experiment herausfinden, was die grundlegenden Ergebnisse sein könnten. Habt ihr alle eine Ahnung, wo Kopf und wo Zahl ist? Welche Ausstiegsmöglichkeiten gibt es? Gibt es weitere Veranstaltungen? Wie hoch ist die Gesamtzahl der Veranstaltungen? Dem Problem entsprechend ist bekannt, dass es genau einmal Köpfe gab. Dies bedeutet, dass dieses EreignisElementarereignisse aus diesen vier ORs und ROs sind günstig; dies kann nicht zweimal passieren. Wir verwenden die Formel, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet. Zur Erinnerung: Die Antworten in Teil B müssen entweder eine ganze Zahl oder eine Dezimalzahl sein.

Wir zeigen es auf der interaktiven Tafel. Wir haben das Problem gelesen. Was ist das grundlegende Ergebnis dieser Erfahrung? Stellen Sie klar, dass das Paar geordnet ist – das heißt, die Zahl fiel auf den ersten Würfel und auf den zweiten Würfel. Bei jedem Problem gibt es Momente, in denen Sie rationale Methoden und Formen wählen und die Lösung in Form von Tabellen, Diagrammen usw. präsentieren müssen. Bei diesem Problem ist es praktisch, eine solche Tabelle zu verwenden. Ich gebe Ihnen eine vorgefertigte Lösung, aber während der Lösung stellt sich heraus, dass es bei diesem Problem sinnvoll ist, eine Lösung in Form einer Tabelle zu verwenden. Lassen Sie uns erklären, was die Tabelle bedeutet. Sie können verstehen, warum in den Spalten 1, 2, 3, 4, 5, 6 steht.

Lass uns ein Quadrat zeichnen. Die Linien entsprechen den Ergebnissen des ersten Wurfs – es gibt sechs davon, weil der Würfel sechs Seiten hat. Das Gleiche gilt für die Spalten. In jede Zelle schreiben wir die Summe der gezogenen Punkte. Wir zeigen die fertige Tabelle. Färben wir die Zellen ein, in denen die Summe acht ergibt (da dies in der Bedingung erforderlich ist).

Ich glaube, dass das nächste Problem nach der Analyse der vorherigen den Kindern gegeben werden kann, damit sie es selbst lösen können.

Bei den folgenden Aufgaben besteht keine Notwendigkeit, alle elementaren Ergebnisse aufzuschreiben. Es reicht aus, einfach ihre Anzahl zu zählen.

(Keine Lösung) Ich habe den Jungs dieses Problem gegeben, damit sie es selbst lösen können. Algorithmus zur Lösung des Problems

1. Definieren Sie, woraus ein Zufallsexperiment besteht und was ein Zufallsereignis ist.

2. Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Elementarereignisse.

3. Finden Sie die Anzahl der Ereignisse, die für das in der Problemstellung angegebene Ereignis günstig sind.

4. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mithilfe der Formel.

Den Schülern kann eine Frage gestellt werden: Wenn 1000 Batterien zum Verkauf angeboten werden und davon 6 defekt sind, wie wird dann die ausgewählte Batterie bestimmt? Worum geht es in unserer Aufgabe? Als nächstes stelle ich die Frage, was hier als Zahl verwendet wirdund ich schlage vor, dass Sie es findenNummer. Als nächstes frage ich: Was ist das Ereignis hier? Wie viele Akkumulatoren reichen aus, um eine Veranstaltung abzuschließen? Als nächstes berechnen wir mithilfe der Formel diese Wahrscheinlichkeit.

Hier kann den Jungs eine zweite Lösung angeboten werden. Lassen Sie uns besprechen, was diese Methode sein könnte?

1. Welches Ereignis können wir jetzt in Betracht ziehen?

2. Wie finde ich die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses?

Die Jungs müssen über diese Formeln informiert werden. Sie sind wie folgt

Die achte Aufgabe kann den Kindern auch alleine angeboten werden, da sie der sechsten Aufgabe ähnelt. Es kann ihnen als angeboten werden selbständiges Arbeiten oder auf einer Karte neben der Tafel.

Diese Aufgabe kann im Zusammenhang mit den derzeit stattfindenden Olympischen Spielen gelöst werden. Obwohl an den Aufgaben unterschiedliche Ereignisse beteiligt sind, sind die Aufgaben typisch.

2. Die einfachsten Regeln und Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (entgegengesetzte Ereignisse, Summe von Ereignissen, Produkt von Ereignissen)

Dies ist eine Aufgabe von USE-Sammlung. Wir zeigen die Lösung an der Tafel an. Welche Fragen sollten wir den Schülern stellen, um dieses Problem zu verstehen?

1. Wie viele Maschinen gab es? Wenn es zwei Maschinen gibt, dann gibt es bereits zwei Ereignisse. Ich stelle den Kindern eine Frage: Wie wird die Veranstaltung aussehen?? Was wird die zweite Veranstaltung sein?

2. ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Wir müssen es nicht berechnen, da es in der Bedingung angegeben ist. Je nach Problemlage beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass „in beiden Maschinen der Kaffee ausgeht“, 0,12. Es gab Ereignis A, es gab Ereignis B. Und ein neues Ereignis erscheint? Ich stelle den Kindern eine Frage – welche? Dies ist der Fall, wenn beide Maschinen keinen Kaffee mehr haben. In diesem Fall handelt es sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie um ein neues Ereignis, das als Schnittpunkt zweier Ereignisse A und B bezeichnet und so bezeichnet wird.

Verwenden wir die Wahrscheinlichkeitsadditionsformel. Die Formel lautet wie folgt

Wir geben es Ihnen im Referenzmaterial und die Jungs können diese Formel erhalten. Damit können Sie die Wahrscheinlichkeit einer Summe von Ereignissen ermitteln. Wir wurden nach der Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses gefragt, deren Wahrscheinlichkeit mithilfe der Formel ermittelt wird.

Aufgabe 13 verwendet das Konzept eines Produkts von Ereignissen, dessen Formel zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit im Anhang angegeben ist.

3. Probleme bei der Verwendung von Holz mögliche Optionen

Basierend auf den Bedingungen des Problems ist es einfach, ein Diagramm zu erstellen und die angegebenen Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln.

Mit deren Hilfe theoretisches Material Haben Sie mit Studierenden über die Lösung solcher Probleme gesprochen? Haben Sie einen möglichen Baum oder andere Methoden verwendet, um solche Probleme zu lösen? Haben Sie das Konzept der Graphen erklärt? In der fünften oder sechsten Klasse haben Kinder solche Probleme, deren Analyse das Konzept der Graphen ergibt.

Ich möchte Sie fragen: Haben Sie und Ihre Schüler darüber nachgedacht, bei der Lösung von Wahrscheinlichkeitsproblemen einen Baum möglicher Optionen zu verwenden? Tatsache ist, dass nicht nur das Einheitliche Staatsexamen solche Aufgaben hat, sondern auch recht komplexe Probleme aufgetaucht sind, die wir jetzt lösen werden.

Lassen Sie uns mit Ihnen die Methodik zur Lösung solcher Probleme besprechen. Wenn sie mit meiner Methodik übereinstimmt, wie ich den Jungs erkläre, fällt es mir leichter, mit Ihnen zusammenzuarbeiten. Wenn nicht, helfe ich Ihnen bei der Lösung dieses Problems.

Lassen Sie uns die Ereignisse besprechen. Welche Ereignisse in Problem 17 können isoliert werden?

Beim Konstruieren eines Baumes auf einer Ebene wird ein Punkt bezeichnet, der als Wurzel des Baumes bezeichnet wird. Als nächstes beginnen wir, die Ereignisse zu betrachtenUnd. Wir werden ein Segment konstruieren (in der Wahrscheinlichkeitstheorie wird es Zweig genannt). Die Bedingung besagt, dass die erste Fabrik 30 % produziert Mobiltelefone diese Marke (welche? Die, die sie produzieren), was bedeutet in im Moment Ich frage die Studenten: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Fabrik Telefone dieser Marke produziert, die sie produzieren? Da es sich bei dem Ereignis um die Freigabe eines Telefons im ersten Werk handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses 30 % oder 0,3. Die restlichen Telefone wurden in der zweiten Fabrik hergestellt – wir bauen das zweite Segment und die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt 0,7.

Den Schülern wird die Frage gestellt: Welche Art von Telefon könnte in der ersten Fabrik hergestellt werden? Mit oder ohne Defekt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein von der ersten Fabrik hergestelltes Telefon einen Defekt aufweist? Die Bedingung besagt, dass es gleich 0,01 ist. Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das von der ersten Fabrik hergestellte Telefon keinen Defekt aufweist? Da dieses Ereignis dem gegebenen entgegengesetzt ist, ist seine Wahrscheinlichkeit gleich.

Sie müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass das Telefon defekt ist. Es könnte aus der ersten Fabrik stammen, vielleicht aber auch aus der zweiten. Dann verwenden wir die Formel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten und stellen fest, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist, dass das Telefon mit einem Defekt aus der ersten Fabrik stammt und dass das Telefon mit einem Defekt aus der zweiten Fabrik stammt. Wir ermitteln die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Telefon einen Defekt aufweist und in der ersten Fabrik hergestellt wurde, indem wir die Formel „Produkt der Wahrscheinlichkeiten“ verwenden, die im Anhang angegeben ist.

4. Einer der meisten komplexe Aufgaben von der Unified State Exam Bank für Wahrscheinlichkeit

Schauen wir uns zum Beispiel die Nr. 320199 der FIPI Task Bank an. Dies ist eine der schwierigsten Aufgaben in B6.

Um in das Institut für die Fachrichtung „Linguistik“ aufgenommen zu werden, muss der Bewerber Z. beim Einheitlichen Staatsexamen in jedem der drei Fächer – Mathematik, Russische Sprache und eine Fremdsprache – mindestens 70 Punkte erreichen. Um sich für die Fachrichtung „Handel“ einzuschreiben, müssen Sie in jedem der drei Fächer – Mathematik, Russische Sprache und Sozialkunde – mindestens 70 Punkte erreichen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Bewerber Z. in Mathematik mindestens 70 Punkte erhält, beträgt 0,6, in Russisch - 0,8 Fremdsprache- 0,7 und in Sozialkunde - 0,5.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Z. sich für mindestens eine der beiden genannten Fachrichtungen einschreiben kann.

Beachten Sie, dass es bei der Aufgabe nicht darum geht, ob ein Bewerber namens Z. gleichzeitig Linguistik und Wirtschaft studieren und zwei Diplome erhalten wird. Hier gilt es die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass Z. sich in mindestens eine dieser beiden Fachrichtungen einschreiben kann, also die erforderliche Punktzahl erreicht.

Um in mindestens eine der beiden Fachrichtungen aufgenommen zu werden, muss Z. in Mathematik mindestens 70 Punkte erreichen. Und auf Russisch. Und auch - Sozialkunde oder Fremdsprachen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass er in Mathematik 70 Punkte erreicht, beträgt 0,6.

Die Wahrscheinlichkeit, in Mathematik und Russisch Punkte zu erzielen, ist gleich.

Befassen wir uns mit Fremd- und Sozialkunde. Die für uns passenden Optionen sind, wenn der Bewerber Punkte in Sozialwissenschaften, Auslandsstudien oder beidem erzielt hat. Die Option ist nicht geeignet, wenn er weder in der Sprache noch in der „Gesellschaft“ Punkte erzielt hat. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Sozialkunde oder Fremdsprache mit mindestens 70 Punkten zu bestehen, gleich ist. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit, Mathematik, Russisch und Sozialkunde oder Fremdsprachen zu bestehen, gleich

Das ist die Antwort.

II . Kombinatorische Probleme lösen

1. Anzahl der Kombinationen und Fakultäten

Schauen wir uns kurz das theoretische Material an.

AusdruckN ! liest sich „en-faktoriell“ und bezeichnet das Produkt von allem natürliche Zahlen von 1 bisN inklusive:N ! = 1 · 2 · 3 · ... ·N .

Darüber hinaus glaubt man in der Mathematik per Definition, dass 0! = 1. Ein solcher Ausdruck ist selten, kommt aber dennoch bei Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie vor.

Definition

Lassen Sie es Objekte (Bleistifte, Süßigkeiten, was auch immer) geben, aus denen Sie genau unterschiedliche Objekte auswählen möchten. Dann wird die Anzahl der Optionen für eine solche Wahl aufgerufenAnzahl der Kombinationen aus Elementen von. Diese Zahl wird nach einer speziellen Formel bestimmt und berechnet.

Bezeichnung

Was gibt uns diese Formel? Tatsächlich kann fast kein ernstes Problem ohne sie gelöst werden.

Zum besseren Verständnis schauen wir uns ein paar einfache kombinatorische Probleme an:

Aufgabe

Der Barkeeper hat 6 Sorten grünen Tee. Um eine Teezeremonie durchzuführen, müssen Sie genau drei verschiedene Sorten grünen Tee servieren. Auf wie viele Arten kann der Barkeeper eine Bestellung ausführen?

Lösung

Hier ist alles einfach: Es gibtN = 6 Sorten zur Auswahlk = 3 Sorten. Die Anzahl der Kombinationen lässt sich mit der Formel ermitteln:

Antwort

In die Formel einsetzen. Wir können nicht alle Probleme lösen, aber typische Aufgaben Wir haben sie aufgeschrieben und werden Ihnen zur Kenntnis gebracht.

Aufgabe

In einer Gruppe von 20 Studierenden müssen Sie zwei Vertreter auswählen, die auf der Konferenz sprechen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

Lösung

Noch einmal: Das ist alles, was wir habenN = 20 Studenten, aber Sie müssen wählenk = 2 Studenten. Finden Sie die Anzahl der Kombinationen:

Bitte beachten Sie: Die in den verschiedenen Fakultäten enthaltenen Faktoren sind rot markiert. Diese Multiplikatoren lassen sich problemlos reduzieren und reduzieren so den Gesamtaufwand an Berechnungen deutlich.

Antwort

190

Aufgabe

An das Lager wurden 17 Server mit diversen Mängeln geliefert, die doppelt so viel kosteten wie normale Server. Der Direktor kaufte 14 solcher Server für die Schule und nutzte das eingesparte Geld in Höhe von 200.000 Rubel für den Kauf weiterer Geräte. Auf wie viele Arten kann der Direktor defekte Server auswählen?

Lösung

Das Problem enthält eine ganze Reihe zusätzlicher Daten, die verwirrend sein können. Am meisten wichtige Fakten: Es gibt allesN = 17 Server und der Direktor benötigtk = 14 Server. Wir zählen die Anzahl der Kombinationen:

Verkleinerte Multiplikatoren werden wiederum rot angezeigt. Insgesamt gab es 680 Kombinationen. Generell hat der Regisseur eine große Auswahl.

Antwort

680

Diese Aufgabe ist schwierig, da sie zusätzliche Daten enthält. Sie führen viele Studierende davon ab, die richtige Entscheidung zu treffen. Insgesamt gab es 17 Server, und der Direktor musste 14 auswählen. Wenn wir sie in die Formel einsetzen, erhalten wir 680 Kombinationen.

2. Gesetz der Multiplikation

Definition

Gesetz der Multiplikation in der Kombinatorik: Die Anzahl der Kombinationen (Wege, Kombinationen) in unabhängigen Mengen wird multipliziert.

Mit anderen Worten, lass es seinA Möglichkeiten, eine Aktion auszuführen undB Möglichkeiten, eine andere Aktion auszuführen. Der Weg besteht auch darin, dass diese Aktionen unabhängig sind, d. h. stehen in keinerlei Zusammenhang zueinander. Dann können Sie die Anzahl der Möglichkeiten zum Ausführen der ersten und zweiten Aktion mithilfe der Formel ermitteln:C = A · B .

Aufgabe

Petya hat 4 Münzen zu 1 Rubel und 2 Münzen zu 10 Rubel. Petja nahm, ohne hinzusehen, 1 Münze mit einem Nennwert von 1 Rubel und eine weitere Münze mit einem Nennwert von 10 Rubel aus seiner Tasche, um einen Stift für 11 Rubel zu kaufen. Auf wie viele Arten kann er diese Münzen auswählen?

Lösung

Also, zuerst bekommt Petyak = 1 Münze vonN = 4 verfügbare Münzen mit einem Nennwert von 1 Rubel. Die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, istC 4 1 = ... = 4.

Dann greift Petja noch einmal in seine Tasche und holt herausk = 1 Münze vonN = 2 verfügbare Münzen mit einem Nennwert von 10 Rubel. Hier ist die Anzahl der Kombinationen gleichC 2 1 = ... = 2.

Da diese Aktionen unabhängig voneinander sind, ist die Gesamtzahl der Optionen gleichC = 4 · 2 = 8.

Antwort

Aufgabe

In einem Korb befinden sich 8 weiße und 12 schwarze Bälle. Auf wie viele Arten kann man aus diesem Korb zwei weiße und zwei schwarze Kugeln bekommen?

Lösung

Gesamt im WarenkorbN = 8 weiße Kugeln zur Auswahlk = 2 Bälle. Es ist machbarC 8 2 = ... = 28 verschiedene Arten.

Darüber hinaus enthält der WarenkorbN = 12 schwarze Kugeln, aus denen Sie erneut auswählen müssenk = 2 Bälle. Die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, istC 12 2 = ... = 66.

Da die Wahl einer weißen Kugel und die Wahl einer schwarzen Kugel unabhängige Ereignisse sind, wird die Gesamtzahl der Kombinationen nach dem Multiplikationsgesetz berechnet:C = 28 · 66 = 1848. Wie Sie sehen, gibt es viele Möglichkeiten.

Antwort

1848

Das Multiplikationsgesetz zeigt, auf wie viele Arten eine komplexe Aktion ausgeführt werden kann, die aus zwei oder mehr einfachen besteht – vorausgesetzt, sie sind alle unabhängig.

3. Additionsgesetz

Wenn das Gesetz der Multiplikation mit „isolierten“ Ereignissen arbeitet, die nicht voneinander abhängen, dann ist im Gesetz der Addition das Gegenteil der Fall. Es geht um sich gegenseitig ausschließende Ereignisse, die nie gleichzeitig stattfinden.

Beispielsweise schließen sich die Ereignisse „Petja hat 1 Münze aus der Tasche“ und „Petja hat keine einzige Münze aus der Tasche“ ausschließende Ereignisse aus, da es unmöglich ist, eine Münze herauszunehmen, ohne eine herauszunehmen.

Ebenso schließen sich die Ereignisse „Zufälliger Ball ist weiß“ und „Zufälliger Ball ist schwarz“ gegenseitig aus.

Definition

Gesetz der Addition in der Kombinatorik: wenn zwei sich gegenseitig ausschließende Aktionen ausgeführt werden könnenA UndB Wenn Sie die Methoden entsprechend anpassen, können diese Ereignisse kombiniert werden. Dadurch wird ein neues Ereignis erstellt, das Sie ausführen könnenX = A + B Wege.

Mit anderen Worten: Bei der Kombination sich gegenseitig ausschließender Aktionen (Ereignisse, Optionen) summiert sich die Anzahl ihrer Kombinationen.

Wir können sagen, dass das Additionsgesetz ein logisches „ODER“ in der Kombinatorik ist, wenn wir mit einer der sich gegenseitig ausschließenden Optionen zufrieden sind. Umgekehrt ist das Gesetz der Multiplikation ein logisches „UND“, bei dem wir an der gleichzeitigen Ausführung sowohl der ersten als auch der zweiten Aktion interessiert sind.

Aufgabe

In einem Korb befinden sich 9 schwarze und 7 rote Bälle. Der Junge nimmt 2 gleichfarbige Bälle heraus. Auf wie viele Arten kann er dies tun?

Lösung

Wenn die Kugeln die gleiche Farbe haben, gibt es nur wenige Möglichkeiten: Sie sind entweder beide schwarz oder rot. Offensichtlich schließen sich diese Optionen gegenseitig aus.

Im ersten Fall muss der Junge wählenk = 2 schwarze Kugeln ausN = 9 verfügbar. Die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, istC 9 2 = ... = 36.

Ebenso wählen wir im zweiten Fallk = 2 rote Kugeln ausN = 7 möglich. Die Anzahl der Wege ist gleichC 7 2 = ... = 21.

Es bleibt die Gesamtzahl der Wege zu ermitteln. Da sich die Möglichkeiten mit schwarzen und roten Kugeln gegenseitig ausschließen, gilt nach dem Additionsgesetz:X = 36 + 21 = 57.

Antwort57

Aufgabe

Der Stand verkauft 15 Rosen und 18 Tulpen. Ein Schüler der 9. Klasse möchte drei Blumen für seinen Klassenkameraden kaufen, und alle Blumen müssen gleich sein. Auf wie viele Arten kann er einen solchen Blumenstrauß basteln?

Lösung

Je nach Bedingung müssen alle Blüten gleich sein. Das heißt, wir kaufen entweder 3 Rosen oder 3 Tulpen. Ohnehin,k = 3.

Bei Rosen müssen Sie wählenN = 15 Optionen, also die Anzahl der KombinationenC 15 3 = ... = 455. Für TulpenN = 18 und die Anzahl der Kombinationen beträgtC 18 3 = ... = 816.

Da Rosen und Tulpen einander ausschließende Optionen sind, arbeiten wir nach dem Additionsgesetz. Wir erhalten die Gesamtzahl der OptionenX = 455 + 816 = 1271. Das ist die Antwort.

Antwort

1271

Zusätzliche Bedingungen und Einschränkungen

Sehr oft enthält der Problemtext zusätzliche Bedingungen, die den für uns interessanten Kombinationen erhebliche Einschränkungen auferlegen. Vergleichen Sie zwei Sätze:

Es gibt ein Set mit 5 Stiften in verschiedenen Farben. Auf wie viele Arten kann man 3 Stifte auswählen, um eine Zeichnung zu skizzieren?

Es gibt ein Set mit 5 Stiften in verschiedenen Farben. Auf wie viele Arten kann man drei Stifte zum Umreißen einer Zeichnung auswählen, wenn einer davon unbedingt rot sein muss?

Im ersten Fall haben wir das Recht, beliebige Farben zu nehmen – es gibt keine weiteren Einschränkungen. Im zweiten Fall ist alles komplizierter, da wir einen roten Stift auswählen müssen (wir gehen davon aus, dass er im Originalset enthalten ist).

Offensichtlich reduzieren etwaige Einschränkungen die endgültige Anzahl der Optionen erheblich. Wie können Sie in diesem Fall die Anzahl der Kombinationen ermitteln? Denken Sie einfach an diese Regel:

Lass es eine Reihe von gebenN Elemente zur Auswahlk Elemente. Bei der Einführung zusätzlicher Beschränkungen der AnzahlN Undk um den gleichen Betrag verringern.

Mit anderen Worten: Wenn Sie von 5 Stiften 3 auswählen müssen und einer davon rot sein soll, müssen Sie einen auswählenN = 5 − 1 = jeweils 4 Elementek = 3 − 1 = 2 Elemente. Also stattC 5 3 muss gezählt werdenC 4 2 .

Sehen wir uns nun an, wie diese Regel funktioniert konkrete Beispiele:

Aufgabe

In einer Gruppe von 20 Studierenden, darunter 2 exzellente Studierende, müssen Sie 4 Personen für die Teilnahme an der Konferenz auswählen. Auf wie viele Arten können diese vier ausgewählt werden, wenn exzellente Studierende zur Konferenz kommen müssen?

Lösung

Es gibt also eine Gruppe vonN = 20 Studenten. Aber Sie müssen nur wählenk = 4 davon. Gäbe es keine zusätzlichen Einschränkungen, wäre die Anzahl der Optionen gleich der Anzahl der KombinationenC 20 4 .

Allerdings wurde uns eine zusätzliche Bedingung gestellt: Unter diesen vier müssen 2 hervorragende Studierende sein. Gemäß der obigen Regel reduzieren wir also die ZahlenN Undk um 2. Wir haben:

Antwort

153

Aufgabe

Petja hat 8 Münzen in der Tasche, davon 6 Rubelmünzen und 2 10-Rubel-Münzen. Petja steckt etwa drei Münzen in eine andere Tasche. Auf wie viele Arten kann Petja das tun, wenn bekannt ist, dass beide 10-Rubel-Münzen in der anderen Tasche gelandet sind?

Lösung

Das gibt es alsoN = 8 Münzen. Petya wechseltk = 3 Münzen, davon 2 Zehn-Rubel-Münzen. Es stellt sich heraus, dass von 3 Münzen, die übertragen werden, 2 bereits fixiert sind, also die ZahlenN Undk muss um 2 reduziert werden. Wir haben:

Antwort

III . Lösen kombinierter Probleme mit Formeln der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie

Aufgabe

Petja hatte 4 Rubelmünzen und 2 Rubelmünzen in seiner Tasche. Petja steckte, ohne hinzusehen, etwa drei Münzen in eine andere Tasche. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich beide Zwei-Rubel-Münzen in derselben Tasche befinden.

Lösung

Nehmen wir an, dass beide Zwei-Rubel-Münzen tatsächlich in derselben Tasche gelandet sind, dann gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder hat Petja sie gar nicht überwiesen, oder er hat beide auf einmal überwiesen.

Im ersten Fall, wenn keine Zwei-Rubel-Münzen verschoben wurden, müssen Sie 3-Rubel-Münzen verschieben. Da es insgesamt 4 solcher Münzen gibt, entspricht die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, der Anzahl der Kombinationen von 4 mal 3:C 4 3 .

Im zweiten Fall, wenn beide Zwei-Rubel-Münzen übertragen wurden, muss eine weitere Rubel-Münze übertragen werden. Es muss aus 4 vorhandenen ausgewählt werden, und die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, entspricht der Anzahl der Kombinationen von 4 mal 1:C 4 1 .

Lassen Sie uns nun die Gesamtzahl der Möglichkeiten ermitteln, die Münzen neu anzuordnen. Da es insgesamt 4 + 2 = 6 Münzen gibt und Sie nur 3 davon auswählen müssen, entspricht die Gesamtzahl der Optionen der Anzahl der Kombinationen von 6 mal 3:C 6 3 .

Es bleibt die Wahrscheinlichkeit zu finden:

Antwort

0,4

Auf dem interaktiven Whiteboard anzeigen. Beachten Sie, dass Petja je nach Problemstellung drei Münzen in eine Tasche steckte, ohne hinzusehen. Bei der Beantwortung dieser Frage können wir davon ausgehen, dass tatsächlich zwei Zwei-Rubel-Münzen in einer Tasche verblieben sind. Beziehen Sie sich auf die Formel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten. Zeigen Sie die Formel noch einmal an.

Aufgabe

Petja hatte 2 Münzen zu 5 Rubel und 4 Münzen zu 10 Rubel in seiner Tasche. Petja steckte, ohne hinzusehen, etwa drei Münzen in eine andere Tasche. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Fünf-Rubel-Münzen jetzt in verschiedenen Taschen befinden.

Lösung

Um Fünf-Rubel-Münzen in verschiedenen Taschen aufzubewahren, müssen Sie nur eine davon bewegen. Die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, entspricht der Anzahl der Kombinationen von 2 mal 1:C 2 1 .

Da Petja insgesamt 3 Münzen verschoben hat, muss er noch 2 weitere Münzen zu je 10 Rubel verschieben. Petya hat 4 solcher Münzen, daher ist die Anzahl der Wege gleich der Anzahl der Kombinationen von 4 mal 2:C 4 2 .

Es bleibt abzuwarten, wie viele Möglichkeiten es gibt, 3 von 6 verfügbaren Münzen zu übertragen. Diese Größe ist, wie im vorherigen Problem, gleich der Anzahl der Kombinationen von 6 mal 3:C 6 3 .

Wir finden die Wahrscheinlichkeit:

IN letzter Schritt Wir haben die Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl von Zwei-Rubel-Münzen und die Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl von Zehn-Rubel-Münzen multipliziert, da diese Ereignisse unabhängig voneinander sind.

Antwort

0,6

Münzprobleme haben also ihre eigene Wahrscheinlichkeitsformel. Es ist so einfach und wichtig, dass es als Theorem formuliert werden kann.

Satz

Lassen Sie die Münze werfenN einmal. Dann steigt die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landenk mal, kann mit der Formel ermittelt werden:

WoC N k - Anzahl der Kombinationen vonN Elemente vonk , die nach der Formel berechnet wird:

Um das Münzproblem zu lösen, benötigt man also zwei Zahlen: die Anzahl der Würfe und die Anzahl der Köpfe. Meistens werden diese Zahlen direkt im Problemtext angegeben. Darüber hinaus spielt es keine Rolle, was genau Sie zählen: Zahl oder Kopf. Die Antwort wird dieselbe sein.

Auf den ersten Blick erscheint der Satz zu umständlich. Wenn Sie jedoch ein wenig üben, möchten Sie nicht mehr zum oben beschriebenen Standardalgorithmus zurückkehren.

Die Münze wird viermal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal „Kopf“ zu bekommen.

Lösung

Je nach Aufgabe betrug die Gesamtzahl der WürfeN = 4. Erforderliche Anzahl Adler:k = 3. ErsatzN Undk in die Formel:

Genauso einfach können Sie die Anzahl der Köpfe zählen:k = 4 − 3 = 1. Die Antwort wird dieselbe sein.

Antwort

0,25

Aufgabe [ Arbeitsbuch„Einheitliches Staatsexamen 2012 in Mathematik. Probleme B6"]

Die Münze wird dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie niemals Köpfe bekommen.

Lösung

Schreiben Sie die Zahlen noch einmal aufN Undk . Da die Münze dreimal geworfen wird,N = 3. Und da es keine Köpfe geben sollte,k = 0. Jetzt müssen nur noch die Zahlen ersetzt werdenN Undk in die Formel:

Ich möchte Sie daran erinnern, dass 0! = 1 per Definition. DeshalbC 3 0 = 1.

Antwort

0,125

Problem [Prüfung des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik 2012. Irkutsk]

Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze viermal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass „Kopf“ häufiger vorkommt als „Zahl“.

Lösung

Damit es mehr Kopf als Zahl gibt, müssen sie entweder dreimal (dann gibt es 1 Zahl) oder viermal (dann gibt es überhaupt keine Zahl) erscheinen. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ereignisse ermitteln.

LassenP 1 - die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe dreimal erscheinen. DannN = 4, k = 3. Wir haben:

Jetzt lasst uns findenP 2 - die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Mal „Kopf“ erscheint. In diesem FallN = 4, k = 4. Wir haben:

Um die Antwort zu erhalten, müssen nur noch die Wahrscheinlichkeiten addiert werdenP 1 UndP 2 . Denken Sie daran: Sie können nur Wahrscheinlichkeiten für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse hinzufügen. Wir haben:

P = P 1 + P 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Antwort

0,3125

Um Ihnen Zeit zu sparen, wenn Sie sich mit den Jungs auf das Einheitliche Staatsexamen und das Staatsexamen vorbereiten, haben wir Lösungen für viele weitere Probleme vorgestellt, die Sie auswählen und gemeinsam mit den Jungs lösen können.

GIA-Materialien, Einheitliches Staatsexamen verschiedener Jahre, Lehrbücher und Websites.

IV. Referenzmaterial

Ereignisse, die in der Realität oder in unserer Vorstellung passieren, können in drei Gruppen eingeteilt werden. Dies sind bestimmte Ereignisse, die definitiv eintreten werden, unmögliche Ereignisse und zufällige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht zufällige Ereignisse, d. h. Ereignisse, die eintreten können oder auch nicht. Dieser Artikel wird in vorgestellt kurz Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele zur Lösung von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die in Aufgabe 4 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (Profilniveau) enthalten sein werden.

Warum brauchen wir Wahrscheinlichkeitstheorie?

Historisch gesehen entstand die Notwendigkeit, diese Probleme im 17. Jahrhundert im Zusammenhang mit der Entwicklung und Professionalisierung zu untersuchen Glücksspiel und die Entstehung von Casinos. Dies war ein reales Phänomen, das eigene Studien und Forschungen erforderte.

Das Spielen von Karten, Würfeln und Roulette schuf Situationen, in denen eine endliche Anzahl gleich möglicher Ereignisse eintreten konnte. Es bestand Bedarf an numerischen Schätzungen der Möglichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses.

Im 20. Jahrhundert wurde klar, dass diese scheinbar frivole Wissenschaft eine wichtige Rolle beim Verständnis der grundlegenden Prozesse im Mikrokosmos spielt. Wurde erstellt moderne Theorie Wahrscheinlichkeiten.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Gegenstand des Studiums der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Wenn ein Ereignis komplex ist, kann es in einfache Komponenten zerlegt werden, deren Wahrscheinlichkeiten leicht zu ermitteln sind.

Die Summe der Ereignisse A und B wird als Ereignis C bezeichnet und besteht darin, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B oder die Ereignisse A und B gleichzeitig aufgetreten sind.

Das Produkt der Ereignisse A und B ist ein Ereignis C, was bedeutet, dass sowohl Ereignis A als auch Ereignis B eingetreten sind.

Die Ereignisse A und B werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können.

Ein Ereignis A heißt unmöglich, wenn es nicht eintreten kann. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol angezeigt.

Ein Ereignis A heißt sicher, wenn es sicher eintritt. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol angezeigt.

Jedem Ereignis A sei eine Zahl P(A) zugeordnet. Diese Zahl P(A) wird als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnet, wenn die folgenden Bedingungen mit dieser Entsprechung erfüllt sind.

Ein wichtiger Sonderfall ist der Fall, dass gleichwahrscheinliche Elementarausgänge vorliegen und beliebige dieser Ausfälle Ereignisse A bilden. In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit über die Formel eingegeben werden. Die auf diese Weise eingeführte Wahrscheinlichkeit wird klassische Wahrscheinlichkeit genannt. Es kann nachgewiesen werden, dass in diesem Fall die Eigenschaften 1-4 erfüllt sind.

Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie, die beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik auftreten, beziehen sich hauptsächlich auf die klassische Wahrscheinlichkeit. Solche Aufgaben können sehr einfach sein. Besonders einfach sind Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie Demo-Optionen. Es ist einfach, die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen; die Anzahl aller Ergebnisse wird direkt in die Bedingung geschrieben.

Die Antwort erhalten wir mit der Formel.

Ein Beispiel für eine Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung

Auf dem Tisch liegen 20 Kuchen – 5 mit Kohl, 7 mit Äpfeln und 8 mit Reis. Marina will den Kuchen essen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Reiskuchen nimmt?

Lösung.

Es gibt 20 gleichwahrscheinliche Elementarergebnisse, das heißt, Marina kann jeden der 20 Kuchen nehmen. Aber wir müssen die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass Marina die Reistorte nehmen wird, das heißt, wobei A die Wahl der Reistorte ist. Dies bedeutet, dass die Anzahl der günstigen Ergebnisse (Auswahl an Kuchen mit Reis) nur 8 beträgt. Dann wird die Wahrscheinlichkeit durch die Formel bestimmt:

Unabhängige, gegensätzliche und willkürliche Ereignisse

Allerdings in offenes Glas Es traten komplexere Aufgaben auf. Lassen Sie uns daher die Aufmerksamkeit des Lesers auf andere Themen lenken, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden.

Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eintritt.

Ereignis B bedeutet, dass Ereignis A nicht eingetreten ist, d. h. Ereignis B ist das Gegenteil von Ereignis A. Die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des direkten Ereignisses, d.h. .

Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze, Formeln

Für beliebige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit der Summe dieser Ereignisse gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Ereignisses, d.h. .

Für die unabhängigen Ereignisse A und B ist die Eintrittswahrscheinlichkeit dieser Ereignisse gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, d.h. in diesem Fall.

Die letzten beiden Aussagen werden als Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten bezeichnet.

Die Anzahl der Ergebnisse zu zählen ist nicht immer so einfach. In manchen Fällen ist es notwendig, kombinatorische Formeln zu verwenden. In diesem Fall ist es am wichtigsten, die Anzahl der erfüllten Ereignisse zu zählen bestimmte Bedingungen. Manchmal können solche Berechnungen zu eigenständigen Aufgaben werden.

Auf wie viele Arten können 6 Schüler auf 6 freien Plätzen Platz nehmen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten für den zweiten Studierenden, einen Platz einzunehmen. Für den dritten Studierenden sind noch 4 Plätze frei, für den vierten 3, für den fünften 2 und der sechste wird den einzigen verbleibenden Platz einnehmen. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie das Produkt finden, das mit dem Symbol 6 gekennzeichnet ist! und lautet „sechs Fakultäten“.

Im allgemeinen Fall ergibt sich die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Permutationen von n Elementen.

Betrachten wir nun einen anderen Fall mit unseren Schülern. Auf wie viele Arten können zwei Schüler auf sechs freien Plätzen Platz nehmen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten für den zweiten Studierenden, einen Platz zu belegen. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie das Produkt finden.

Im Allgemeinen wird die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Platzierungen von n Elementen über k Elementen gegeben

In unserem Fall.

Und der letzte Fall dieser Serie. Auf wie viele Arten kann man drei von sechs Schülern auswählen? Der erste Schüler kann auf sechs Arten ausgewählt werden, der zweite auf fünf Arten und der dritte auf vier Arten. Aber unter diesen Optionen tauchen dieselben drei Schüler sechsmal auf. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie den Wert berechnen: . Im Allgemeinen ergibt sich die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Elementkombinationen pro Element:

In unserem Fall.

Beispiele für die Lösung von Problemen aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1. Aus der Sammlung herausgegeben von. Jaschtschenko.

Auf dem Teller liegen 30 Pasteten: 3 mit Fleisch, 18 mit Kohl und 9 mit Kirschen. Sasha wählt zufällig einen Kuchen aus. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er am Ende eine Kirsche bekommt.

.

Antwort: 0,3.

Aufgabe 2. Aus der Sammlung herausgegeben von. Jaschtschenko.

In jeder Charge von 1000 Glühbirnen sind durchschnittlich 20 defekt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge entnommene Glühbirne funktioniert.

Lösung: Die Anzahl der funktionierenden Glühbirnen beträgt 1000-20=980. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge entnommene Glühbirne funktioniert:

Antwort: 0,98.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Schüler U. bei einer Mathe-Prüfung mehr als 9 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass U mehr als 8 Probleme richtig löst, beträgt 0,73. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass U genau 9 Probleme richtig löst.

Wenn wir uns einen Zahlenstrahl vorstellen und darauf die Punkte 8 und 9 markieren, dann sehen wir, dass die Bedingung „U. wird genau 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. wird mehr als 8 Aufgaben richtig lösen“, gilt jedoch nicht für die Bedingung „U. wird mehr als 9 Probleme richtig lösen.“

Die Bedingung „U. wird mehr als 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. wird mehr als 8 Probleme richtig lösen.“ Wenn wir also Ereignisse bezeichnen: „U. wird genau 9 Probleme richtig lösen“ – durch A, „U. wird mehr als 8 Probleme richtig lösen“ – durch B, „U. wird mehr als 9 Probleme richtig lösen“ durch C. Diese Lösung wird so aussehen:

Antwort: 0,06.

Bei einer Geometrieprüfung beantwortet ein Student eine Frage aus einer Liste von Prüfungsfragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Trigonometriefrage handelt, beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Frage zu Außenwinkeln handelt, beträgt 0,15. Es gibt keine Fragen, die sich gleichzeitig auf diese beiden Themen beziehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen erhält.

Denken wir darüber nach, welche Veranstaltungen wir haben. Wir erhalten zwei inkompatible Ereignisse. Das heißt, entweder bezieht sich die Frage auf das Thema „Trigonometrie“ oder auf das Thema „Außenwinkel“. Gemäß dem Wahrscheinlichkeitssatz ist die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses. Wir müssen die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ermitteln, das heißt:

Antwort: 0,35.

Der Raum wird von einer Laterne mit drei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe innerhalb eines Jahres durchbrennt, beträgt 0,29. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe im Laufe des Jahres nicht durchbrennt.

Betrachten wir mögliche Ereignisse. Wir haben drei Glühbirnen, von denen jede unabhängig von jeder anderen Glühbirne durchbrennen kann oder auch nicht. Es handelt sich um eigenständige Veranstaltungen.

Dann zeigen wir die Möglichkeiten für solche Veranstaltungen auf. Wir verwenden die folgenden Schreibweisen: - die Glühbirne ist an, - die Glühbirne ist durchgebrannt. Und gleich als nächstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bei dem drei unabhängige Ereignisse „die Glühbirne ist durchgebrannt“, „die Glühbirne ist an“, „die Glühbirne ist an“ aufgetreten: , wobei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „die Glühbirne.“ ist an“ wird als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet, das dem Ereignis „Die Glühbirne ist nicht an“ entgegengesetzt ist, nämlich: .

Achtung Bewerber! Hier werden mehrere USE-Aufgaben besprochen. Den Rest, der noch interessanter ist, finden Sie in unserem kostenlosen Video. Zuschauen und machen!

Wir beginnen mit einfache Aufgaben und Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Zufällig Ein Ereignis, das im Voraus nicht genau vorhergesagt werden kann, wird aufgerufen. Es kann entweder passieren oder nicht.
Sie haben im Lotto gewonnen – ein zufälliges Ereignis. Sie haben Freunde eingeladen, um Ihren Sieg zu feiern, und auf dem Weg zu Ihnen blieben sie im Aufzug stecken – ebenfalls ein zufälliges Ereignis. Es stellte sich zwar heraus, dass der Meister in der Nähe war und die gesamte Kompanie innerhalb von zehn Minuten befreite – und auch dies kann als glücklicher Zufall angesehen werden...

Unser Leben ist voller zufälliger Ereignisse. Über jeden von ihnen können wir sagen, dass es bei einigen passieren wird Wahrscheinlichkeit. Höchstwahrscheinlich sind Sie mit diesem Konzept intuitiv vertraut. Wir werden nun die mathematische Definition der Wahrscheinlichkeit geben.

Fangen wir ganz von vorne an einfaches Beispiel. Du wirfst eine Münze. Kopf oder Zahl?

Eine solche Aktion, die zu einem von mehreren Ergebnissen führen kann, nennt man in der Wahrscheinlichkeitstheorie prüfen.

Kopf und Zahl – zwei möglich Ergebnis Tests.

In einem von zwei möglichen Fällen fallen Köpfe heraus. Das sagen sie Wahrscheinlichkeit dass die Münze auf „Kopf“ landet, ist .

Lass uns würfeln. Da der Würfel sechs Seiten hat, gibt es auch sechs mögliche Ergebnisse.

Sie haben sich zum Beispiel gewünscht, dass drei Punkte erscheinen würden. Dies ist eines von sechs möglichen Ergebnissen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird es heißen günstiges Ergebnis.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Drei zu bekommen, ist gleich (ein positives Ergebnis von sechs möglichen).

Die Wahrscheinlichkeit von vier ist ebenfalls

Aber die Wahrscheinlichkeit, dass eine Sieben erscheint, ist Null. Schließlich gibt es auf dem Würfel keine Kante mit sieben Punkten.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht dem Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse.

Offensichtlich kann die Wahrscheinlichkeit nicht größer als eins sein.

Hier ist ein weiteres Beispiel. In einer Tüte sind Äpfel, einige davon sind rot, der Rest ist grün. Die Äpfel unterscheiden sich weder in Form noch Größe. Du steckst deine Hand in die Tüte und nimmst zufällig einen Apfel heraus. Die Wahrscheinlichkeit, einen roten Apfel zu ziehen, ist gleich und die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Apfel zu ziehen, ist gleich.

Die Wahrscheinlichkeit, einen roten oder grünen Apfel zu bekommen, ist gleich.

Lassen Sie uns Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie analysieren, die in den Sammlungen zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen enthalten sind.

. Das Taxiunternehmen verfügt derzeit über kostenlose Autos: rot, gelb und grün. Eines der Autos, das dem Kunden zufällig am nächsten war, reagierte auf den Anruf. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein gelbes Taxi zu ihr kommt.

Es gibt insgesamt Autos, das heißt, eines von fünfzehn kommt zum Kunden. Es gibt neun gelbe Autos, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein gelbes Auto ankommt, gleich ist.

. (Demoversion) In der Biologie-Sammlung gibt es von allen Tickets eine Frage zu Pilzen. Während der Prüfung erhält der Student ein zufällig ausgewähltes Ticket. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ticket keine Frage zu Pilzen enthält.

Offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeit, ein Los zu ziehen, ohne nach Pilzen zu fragen, gleich , also .

. Das Elternkomitee kaufte Puzzles als Abschlussgeschenke für Kinder. akademisches Jahr, davon mit Gemälden berühmte Künstler und mit Tierbildern. Die Geschenke werden nach dem Zufallsprinzip verteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Vovochka ein Rätsel mit einem Tier bekommt.

Das Problem wird auf ähnliche Weise gelöst.

Antwort: .

. An der Turnmeisterschaft nehmen Athleten aus Russland, aus den USA und dem Rest aus China teil. Die Reihenfolge der Turnerinnen wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte teilnehmende Athlet aus China stammt.

Stellen wir uns vor, alle Sportler näherten sich gleichzeitig dem Hut und zogen daraus Zettel mit Zahlen heraus. Einige von ihnen werden die Nummer zwanzig bekommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein chinesischer Athlet es schafft, ist gleich (da die Athleten aus China kommen). Antwort: .

. Der Schüler wurde gebeten, die Nummer von bis zu nennen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Zahl nennt, die ein Vielfaches von fünf ist?

Jeder fünfte Eine Zahl aus dieser Menge ist durch teilbar. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit gleich ist.

Es wird gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Punktzahl zu erreichen.

Ungerade Zahlen; - sogar. Die Wahrscheinlichkeit einer ungeraden Punktzahl beträgt .

Antwort: .

. Die Münze wird dreimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Köpfe und einen Schwanz gibt?

Beachten Sie, dass das Problem anders formuliert werden kann: Es wurden drei Münzen gleichzeitig geworfen. Dies hat keinen Einfluss auf die Entscheidung.

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es Ihrer Meinung nach?

Wir werfen eine Münze. Diese Aktion hat zwei mögliche Ergebnisse: Kopf und Zahl.

Zwei Münzen – schon vier Ergebnisse:

Drei Münzen? Das ist richtig, Ergebnisse, denn .

In drei von acht Fällen erscheinen zwei Köpfe und eine Zahl.

Antwort: .

. Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl gewürfelt wird. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.

Wir werfen den ersten Würfel – sechs Ergebnisse. Und für jeden davon sind sechs weitere möglich – wenn wir den zweiten Würfel werfen.

Das bekommen wir bei dieser Aktion – zwei werfen Würfel- insgesamt mögliche Ergebnisse, da .

Und jetzt - günstige Ergebnisse:

Die Wahrscheinlichkeit, acht Punkte zu bekommen, beträgt .

>. Der Schütze trifft das Ziel mit Wahrscheinlichkeit. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er das Ziel viermal hintereinander trifft.

Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Treffers gleich ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags . Wir argumentieren auf die gleiche Weise wie im vorherigen Problem. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer hintereinander ist gleich. Und die Wahrscheinlichkeit für vier Treffer hintereinander ist gleich.

Wahrscheinlichkeit: Brute-Force-Logik.

Hier handelt es sich um ein Problem aus der Diagnosearbeit, das für viele Menschen schwierig war.

Petja hatte Münzen im Wert von Rubel und Münzen im Wert von Rubel in seiner Tasche. Ohne hinzusehen steckte Petja ein paar Münzen in eine andere Tasche. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Fünf-Rubel-Münzen jetzt in verschiedenen Taschen befinden.

Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses dem Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse entspricht. Aber wie berechnet man all diese Ergebnisse?

Sie können natürlich Fünf-Rubel-Münzen mit Zahlen und Zehn-Rubel-Münzen mit Zahlen kennzeichnen – und dann zählen, auf wie viele Arten Sie drei Elemente aus dem Set auswählen können.

Es gibt jedoch eine einfachere Lösung:

Wir kodieren die Münzen mit Zahlen: , (das sind Fünf-Rubel-Münzen), (das sind Zehn-Rubel-Münzen). Der Problemzustand lässt sich nun wie folgt formulieren:

Es gibt sechs Chips mit Zahlen von bis. Auf wie viele Arten können sie gleichmäßig auf zwei Taschen verteilt werden, sodass die Chips mit den Zahlen nicht zusammen landen?

Schreiben wir auf, was wir in unserer ersten Tasche haben.

Dazu stellen wir aus dem Set alle möglichen Kombinationen zusammen. Ein Satz von drei Chips ergibt eine dreistellige Zahl. Offensichtlich sind in unseren Verhältnissen die gleichen Chips verbaut. Damit wir nichts verpassen oder uns wiederholen, ordnen wir die entsprechenden dreistelligen Zahlen aufsteigend an:

Alle! Wir sind alle möglichen Kombinationen durchgegangen, beginnend mit . Machen wir weiter:

Insgesamt mögliche Ergebnisse.

Wir haben eine Bedingung: Chips mit Zahlen sollten nicht zusammen liegen. Das bedeutet zum Beispiel, dass uns die Kombination nicht passt – das bedeutet, dass beide Chips nicht im ersten, sondern im zweiten Fach landeten. Für uns günstige Ergebnisse sind solche, bei denen es entweder nur oder nur gibt. Hier sind sie:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – insgesamt positive Ergebnisse.

Dann ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit gleich.

Welche Aufgaben erwarten Sie beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik?

Lassen Sie uns eines der komplexen Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie analysieren.

Um in das Institut für die Fachrichtung „Linguistik“ aufgenommen zu werden, muss der Bewerber Z. beim Einheitlichen Staatsexamen in jedem der drei Fächer – Mathematik, Russische Sprache und eine Fremdsprache – mindestens 70 Punkte erreichen. Um sich für die Fachrichtung „Handel“ einzuschreiben, müssen Sie in jedem der drei Fächer – Mathematik, Russische Sprache und Sozialkunde – mindestens 70 Punkte erreichen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Bewerber Z. in Mathematik mindestens 70 Punkte erhält, beträgt 0,6, in Russisch - 0,8, in einer Fremdsprache - 0,7 und in Sozialkunde - 0,5.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Z. sich für mindestens eine der beiden genannten Fachrichtungen einschreiben kann.

Beachten Sie, dass es bei der Aufgabe nicht darum geht, ob ein Bewerber namens Z. gleichzeitig Linguistik und Wirtschaft studieren und zwei Diplome erhalten wird. Hier gilt es die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass Z. sich in mindestens eine dieser beiden Fachrichtungen einschreiben kann, also die erforderliche Punktzahl erreicht.
Um in mindestens eine der beiden Fachrichtungen aufgenommen zu werden, muss Z. in Mathematik mindestens 70 Punkte erreichen. Und auf Russisch. Und auch - Sozialkunde oder Fremdsprachen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er in Mathematik 70 Punkte erreicht, beträgt 0,6.
Die Wahrscheinlichkeit, in Mathematik und Russisch Punkte zu erzielen, beträgt 0,6 0,8.

Befassen wir uns mit Fremd- und Sozialkunde. Die für uns passenden Optionen sind, wenn der Bewerber Punkte in Sozialwissenschaften, Auslandsstudien oder beidem erzielt hat. Die Option ist nicht geeignet, wenn er weder in der Sprache noch in der „Gesellschaft“ Punkte erzielt hat. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Sozialkunde oder Fremdsprache mit mindestens 70 Punkten zu bestehen, gleich ist
1 – 0,5 0,3.
Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit, Mathematik, Russisch und Sozialkunde oder Fremdsprachen zu bestehen, gleich
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Das ist die Antwort.

Zufälliges Ereignis - jedes Ereignis, das aufgrund einer Erfahrung eintreten kann oder auch nicht.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses R gleich dem Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse k zur Anzahl der möglichen Ergebnisse N, d.h.

p=\frac(k)(n)

Formeln zur Addition und Multiplikation der Wahrscheinlichkeitstheorie

Ereignis \bar(A) angerufen im Gegensatz zu Ereignis A, wenn Ereignis A nicht eingetreten ist.

Summe der Wahrscheinlichkeiten der entgegengesetzten Ereignisse ist gleich eins, d.h.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann nicht größer als 1 sein.
• Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 0 ist, wird es nicht eintreten.
• Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 1 ist, dann wird es passieren.

Wahrscheinlichkeitsadditionssatz:

„Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.“

P(A+B) = P(A) + P(B)

Wahrscheinlichkeit Beträge zwei gemeinsame Veranstaltungen gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ohne Berücksichtigung ihres gemeinsamen Auftretens:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz

„Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens zweier Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des einen und der bedingten Wahrscheinlichkeit des anderen, berechnet unter der Bedingung, dass das erste eingetreten ist.“

P(AB)=P(A)*P(B)

Veranstaltungen werden aufgerufen unvereinbar, wenn das Erscheinen eines von ihnen das Erscheinen anderer ausschließt. Das heißt, es kann nur das eine oder andere bestimmte Ereignis eintreten.

Veranstaltungen werden aufgerufen gemeinsam, wenn das Eintreten des einen das Eintreten des anderen nicht ausschließt.

Zwei zufällige Ereignisse A und B werden aufgerufen unabhängig, wenn das Eintreten eines von ihnen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht ändert. Andernfalls heißen die Ereignisse A und B abhängig.

Unterrichtsvorlesung zum Thema „Wahrscheinlichkeitstheorie“

Aufgabe Nr. 4 aus dem Einheitlichen Staatsexamen 2016.

Profilebene.

1 Gruppe: Aufgaben zur Verwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsformel.

• Aufgabe 1. Das Taxiunternehmen hat 60 zur Verfügung Personenkraftwagen; 27 davon sind schwarz mit gelben Aufschriften an den Seiten, der Rest ist schwarz Gelb mit schwarzen Aufschriften. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein gelbes Auto mit schwarzer Aufschrift auf einen zufälligen Anruf reagiert.

• Aufgabe 2. Mischa, Oleg, Nastya und Galya schütteten aus, wer das Spiel beginnen sollte. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Galya das Spiel nicht startet.

• Aufgabe 3. Im Durchschnitt sind von 1000 verkauften Gartenpumpen 7 undicht. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig zur Steuerung ausgewählte Pumpe kein Leck aufweist.

• Aufgabe 4. Es gibt nur 15 Tickets in der Ticketsammlung Chemie, 6 davon enthalten eine Frage zum Thema „Säuren“. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student auf einem zufällig ausgewählten Prüfungsticket eine Frage zum Thema „Säuren“ erhält.

• Aufgabe 5. 45 Athleten nehmen an der Tauchmeisterschaft teil, darunter 4 Taucher aus Spanien und 9 Taucher aus den USA. Die Reihenfolge der Aufführungen wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein US-amerikanischer Springer vierundzwanzig Jahre alt wird.

• Aufgabe 6. Die wissenschaftliche Konferenz dauert drei Tage. Insgesamt sind 40 Berichte geplant – 8 Berichte am ersten Tag, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den zweiten und dritten Tag. Die Reihenfolge der Berichte wird durch das Los bestimmt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Vortrag von Professor M. am letzten Tag der Konferenz stattfinden wird?

• Aufgabe 1. Vor Beginn der ersten Runde der Tennismeisterschaft werden die Teilnehmer per Los nach dem Zufallsprinzip in Spielpaare eingeteilt. Insgesamt nehmen 26 Tennisspieler an der Meisterschaft teil, darunter 9 Teilnehmer aus Russland, darunter Timofey Trubnikov. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Timofey Trubnikov in der ersten Runde mit einem beliebigen Tennisspieler aus Russland spielen wird.

• Aufgabe 2. Vor Beginn der ersten Runde der Badminton-Meisterschaft werden die Teilnehmer per Los nach dem Zufallsprinzip in Spielpaare eingeteilt. Insgesamt nehmen 76 Badmintonspieler an der Meisterschaft teil, darunter 22 Athleten aus Russland, darunter Viktor Polyakov. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Viktor Polyakov in der ersten Runde mit einem beliebigen Badmintonspieler aus Russland spielen wird.

• Aufgabe 3. Die Klasse besteht aus 16 Schülern, darunter zwei Freunde – Oleg und Mikhail. Die Klasse wird nach dem Zufallsprinzip in 4 gleich große Gruppen eingeteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Oleg und Mikhail zur selben Gruppe gehören.

• Aufgabe 4. Die Klasse besteht aus 33 Schülern, darunter zwei Freunde – Andrey und Mikhail. Die Schüler werden nach dem Zufallsprinzip in 3 gleich große Gruppen eingeteilt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Andrey und Mikhail in derselben Gruppe sind.

• Aufgabe 1: In einer Keramikgeschirrfabrik sind 20 % der produzierten Teller defekt. Bei der Produktqualitätskontrolle werden 70 % der fehlerhaften Platten identifiziert. Die restlichen Teller sind im Angebot. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein beim Kauf zufällig ausgewählter Teller keine Mängel aufweist. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

• Aufgabe 2. In einer Keramikgeschirrfabrik sind 30 % der produzierten Teller defekt. Bei der Produktqualitätskontrolle werden 60 % der fehlerhaften Platten identifiziert. Die restlichen Teller sind im Angebot. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein beim Kauf zufällig ausgewähltes Schild einen Defekt aufweist. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

• Aufgabe 3: Zwei Fabriken produzieren identische Gläser für Autoscheinwerfer. Die erste Fabrik produziert 30 % dieser Gläser, die zweite 70 %. Die erste Fabrik produziert 3 % fehlerhaftes Glas, die zweite 4 %. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass versehentlich in einem Geschäft gekauftes Glas defekt ist.

2 Gruppe: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses.

• Aufgabe 1. Die Wahrscheinlichkeit, aus einer Entfernung von 20 m die Zielmitte zu treffen, beträgt für einen professionellen Schützen 0,85. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, die Mitte des Ziels zu verfehlen.

• Aufgabe 2. Bei der Herstellung von Lagern mit einem Durchmesser von 67 mm beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser um weniger als 0,01 mm vom angegebenen Durchmesser abweicht, 0,965. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Lager einen Durchmesser von weniger als 66,99 mm oder mehr als 67,01 mm hat.

3 Gruppe: Ermitteln der Wahrscheinlichkeit des Auftretens mindestens eines der inkompatiblen Ereignisse. Formel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten.

• Aufgabe 1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln 5 oder 6 Punkte erhalten.

• Aufgabe 2. In einer Urne befinden sich 30 Kugeln: 10 rote, 5 blaue und 15 weiße. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, eine farbige Kugel zu ziehen.

• Aufgabe 3. Der Schütze schießt auf ein Ziel, das in 3 Bereiche unterteilt ist. Die Wahrscheinlichkeit, den ersten Bereich zu treffen, beträgt 0,45, die zweite 0,35. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze mit einem Schuss entweder den ersten oder den zweiten Bereich trifft.

• Aufgabe 4. Vom Bezirkszentrum fährt täglich ein Bus ins Dorf. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich am Montag weniger als 18 Fahrgäste im Bus befinden, liegt bei 0,95. Die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als 12 Passagiere gibt, beträgt 0,6. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Passagiere zwischen 12 und 17 liegt.

• Aufgabe 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Wasserkocher länger als ein Jahr hält, liegt bei 0,97. Die Wahrscheinlichkeit, dass es länger als zwei Jahre hält, beträgt 0,89. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als zwei Jahre, aber mehr als ein Jahr hält.

• Aufgabe 6. Die Wahrscheinlichkeit, dass Student U. bei einer Biologieprüfung mehr als 9 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,61. Die Wahrscheinlichkeit, dass U mehr als 8 Probleme richtig löst, beträgt 0,73. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass U genau 9 Probleme richtig löst.

4 Gruppe: Die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens unabhängiger Ereignisse. Formel zur Wahrscheinlichkeitsmultiplikation.

• Aufgabe 1. Der Raum wird durch eine Laterne mit zwei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe innerhalb eines Jahres durchbrennt, beträgt 0,3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe im Laufe des Jahres nicht durchbrennt.

• Aufgabe 2. Der Raum wird von einer Laterne mit drei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe innerhalb eines Jahres durchbrennt, beträgt 0,3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe im Laufe des Jahres nicht durchbrennt.

• Aufgabe 3. Es gibt zwei Verkäufer im Laden. Jeder von ihnen ist mit einem Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 beschäftigt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem zufälligen Zeitpunkt beide Verkäufer gleichzeitig beschäftigt sind (angenommen, die Kunden kommen unabhängig voneinander).

• Aufgabe 4. Es gibt drei Verkäufer im Laden. Jeder von ihnen ist mit einem Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 beschäftigt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem zufälligen Zeitpunkt alle drei Verkäufer gleichzeitig beschäftigt sind (angenommen, die Kunden kommen unabhängig voneinander).

• Aufgabe 5: Anhand von Kundenrezensionen beurteilte Michail Michailowitsch die Zuverlässigkeit der beiden Online-Shops. Die Wahrscheinlichkeit, dass das gewünschte Produkt von Filiale A geliefert wird, beträgt 0,81. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Produkt von Filiale B geliefert wird, beträgt 0,93. Michail Michailowitsch bestellte Waren gleichzeitig in beiden Geschäften. Unter der Annahme, dass Online-Shops unabhängig voneinander arbeiten, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass kein Shop das Produkt liefert.

• Aufgabe 6: Spielt Großmeister A. mit Weiß, dann gewinnt er gegen Großmeister B. mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Wenn A. Schwarz spielt, dann gewinnt A. gegen B. mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4. Die Großmeister A. und B. spielen zwei Spiele und im zweiten Spiel ändern sie die Farbe der Spielsteine. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass A. beide Male gewinnt.

5 Gruppe: Probleme bei der Verwendung beider Formeln.

• Aufgabe 1: Alle Patienten mit Verdacht auf Hepatitis werden einer Blutuntersuchung unterzogen. Ergibt der Test eine Hepatitis, gilt das Testergebnis als positiv. Bei Patienten mit Hepatitis ergibt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 ein positives Ergebnis. Wenn der Patient keine Hepatitis hat, kann der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02 ein falsch positives Ergebnis liefern. Es ist bekannt, dass 66 % der mit Verdacht auf Hepatitis aufgenommenen Patienten tatsächlich an Hepatitis leiden. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient, der mit Verdacht auf Hepatitis in die Klinik aufgenommen wird, positiv getestet wird.

• Aufgabe 2. Cowboy John hat eine Chance von 0,9, eine Fliege an der Wand zu treffen, wenn er einen geschossenen Revolver abfeuert. Wenn John einen unvisierten Revolver abfeuert, trifft er die Fliege mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2. Auf dem Tisch liegen 10 Revolver, von denen nur 4 verschossen sind. Cowboy John sieht eine Fliege an der Wand, schnappt sich zufällig den ersten Revolver, den er findet, und schießt auf die Fliege. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass John verfehlt.

Aufgabe 3:

In einigen Bereichen zeigten Beobachtungen:

1. Wenn ein Junimorgen klar ist, beträgt die Regenwahrscheinlichkeit an diesem Tag 0,1. 2. Wenn ein Junimorgen bewölkt ist, beträgt die Regenwahrscheinlichkeit tagsüber 0,4. 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Morgen im Juni bewölkt sein wird, beträgt 0,3.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem beliebigen Tag im Juni keinen Regen gibt.

Aufgabe 4. Bei Artilleriefeuer feuert das automatische System einen Schuss auf das Ziel ab. Wird das Ziel nicht zerstört, feuert das System einen zweiten Schuss ab. Die Schüsse werden wiederholt, bis das Ziel zerstört ist. Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Ziel beim ersten Schuss zu zerstören, beträgt 0,3 und bei jedem weiteren Schuss 0,9. Wie viele Schüsse sind erforderlich, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu zerstören, mindestens 0,96 beträgt?