O que dá a regra do menos para o mais. Como entender por que “mais” para “menos” dá “menos”
Ao ouvir um professor de matemática, a maioria dos alunos percebe o material como um axioma. Ao mesmo tempo, poucas pessoas tentam chegar ao fundo da questão e descobrir por que “menos” por “mais” dá um sinal de “menos” e, ao multiplicar dois números negativos, surge um resultado positivo.
Leis da matemática
A maioria dos adultos não consegue explicar a si mesmos ou aos filhos por que isso acontece. Eles dominaram firmemente esse material na escola, mas nem tentaram descobrir de onde vieram essas regras. Mas em vão. Muitas vezes, as crianças modernas não são tão crédulas; elas precisam ir ao fundo das coisas e entender, digamos, por que um “mais” e um “menos” resultam em um “menos”. E às vezes as molecas fazem perguntas complicadas deliberadamente para aproveitar o momento em que os adultos não conseguem dar uma resposta inteligível. E é realmente um desastre se um jovem professor se mete em problemas...
Aliás, deve-se destacar que a regra citada acima é válida tanto para multiplicação quanto para divisão. O produto de um número negativo por um número positivo dará apenas “menos”. Se estamos falando sobre cerca de dois dígitos com um sinal “-”, o resultado será um número positivo. O mesmo vale para a divisão. Se um dos números for negativo, o quociente também terá um sinal “-”.
Para explicar a correção desta lei da matemática, é necessário formular os axiomas do anel. Mas primeiro você precisa entender o que é. Em matemática, um anel é um conjunto que envolve duas operações em dois elementos. Mas é melhor entender isso com um exemplo.
Axioma do anel
Existem várias leis matemáticas.
- O primeiro deles é comutativo, segundo ele, C + V = V + C.
- O segundo é denominado associativo (V + C) + D = V + (C + D).
A multiplicação (V x C) x D = V x (C x D) também os obedece.
Ninguém cancelou as regras segundo as quais os parênteses são abertos (V + C) x D = V x D + C x D; também é verdade que C x (V + D) = C x V + C x D;
Além disso, foi estabelecido que um elemento especial neutro em adição pode ser introduzido no anel, quando usado será verdadeiro: C + 0 = C. Além disso, para cada C existe um elemento oposto, que pode ser denotado como (-C). Neste caso, C + (-C) = 0.
Derivação de axiomas para números negativos
Tendo aceitado as afirmações acima, podemos responder à pergunta: “Mais e menos dão que sinal?” Conhecendo o axioma da multiplicação de números negativos, é necessário confirmar que de fato (-C) x V = -(C x V). E também que a seguinte igualdade é verdadeira: (-(-C)) = C.
Para fazer isso, primeiro você terá que provar que cada elemento possui apenas um “irmão” oposto a ele. Considere o seguinte exemplo de prova. Vamos tentar imaginar que para C dois números são opostos - V e D. Segue-se que C + V = 0 e C + D = 0, ou seja, C + V = 0 = C + D. Lembrando as leis de comutação e sobre as propriedades do número 0, podemos considerar a soma dos três números: C, V e D. Vamos tentar descobrir o valor de V. É lógico que V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, pois o valor de C + D, como foi assumido acima, é igual a 0. Isso significa V = V + C + D.
O valor para D é derivado da mesma maneira: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. A partir disso, fica claro que V = D.
Para entender por que “mais” para “menos” ainda dá “menos”, você precisa entender o seguinte. Então, para o elemento (-C), C e (-(-C)) são opostos, ou seja, são iguais entre si.
Então é óbvio que 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Segue-se disso que C x V é o oposto de (-)C x V, o que significa (- C) x V = -(C x V).
Para total rigor matemático, também é necessário confirmar que 0 x V = 0 para qualquer elemento. Se você seguir a lógica, então 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Isso significa que somar o produto 0 x V não altera em nada o valor estabelecido. Afinal, este produto é igual a zero.
Conhecendo todos esses axiomas, você pode deduzir não apenas quanto “mais” e “menos” dá, mas também o que acontece ao multiplicar números negativos.
Multiplicando e dividindo dois números com sinal “-”
Se você não se aprofundar nas nuances matemáticas, poderá tentar mais de uma forma simples Explique as regras para lidar com números negativos.
Vamos supor que C - (-V) = D, com base nisso, C = D + (-V), ou seja, C = D - V. Transferimos V e obtemos que C + V = D. Ou seja, C + V = C - (-V). Este exemplo explica porque numa expressão onde existem dois “menos” consecutivos, os sinais mencionados devem ser alterados para “mais”. Agora vamos dar uma olhada na multiplicação.
(-C) x (-V) = D, você pode adicionar e subtrair dois produtos idênticos à expressão, o que não alterará seu valor: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.
Lembrando as regras para trabalhar com colchetes, obtemos:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Segue-se disso que C x V = (-C) x (-V).
Da mesma forma, pode ser provado que a divisão de dois números negativos resultará em um número positivo.
Regras matemáticas gerais
Claro, esta explicação não é adequada para crianças em idade escolar classes júnior que estão apenas começando a aprender números negativos abstratos. É melhor que eles expliquem objetos visíveis, manipulando o termo familiar através do espelho. Por exemplo, brinquedos inventados, mas inexistentes, estão localizados lá. Eles podem ser exibidos com um sinal “-”. A multiplicação de dois objetos espelhados os transfere para outro mundo, que é equiparado ao real, ou seja, como resultado temos números positivos. Mas multiplicar um número abstrato negativo por um positivo fornece apenas um resultado familiar a todos. Afinal, “mais” multiplicado por “menos” dá “menos”. É verdade que as crianças não tentam realmente compreender todas as nuances matemáticas.
Embora, convenhamos, para muitas pessoas, mesmo com ensino superior Muitas regras permanecem um mistério. Todos tomam como certo o que os professores lhes ensinam, sem dificuldade em aprofundar todas as complexidades que a matemática esconde. “Menos” para “menos” dá “mais” - todos, sem exceção, sabem disso. Isto é verdade tanto para números inteiros quanto para números fracionários.
1) Por que menos um vezes menos um é igual a mais um?2) Por que menos um vezes mais um é igual a menos um?
“O inimigo do meu inimigo é meu amigo.”
A resposta mais fácil é: “Porque estas são as regras para operar com números negativos”. Regras que aprendemos na escola e aplicamos ao longo da vida. No entanto, os livros didáticos não explicam por que as regras são como são. Tentaremos primeiro compreender isto com base na história do desenvolvimento da aritmética e depois responderemos a esta questão do ponto de vista da matemática moderna.
Era uma vez, as pessoas só sabiam números naturais: 1, 2, 3, ... Eles eram usados para contar utensílios, saques, inimigos, etc. Mas os números em si são totalmente inúteis - você precisa saber como lidar com eles. A adição é clara e compreensível e, além disso, a soma de dois números naturais também é um número natural (um matemático diria que o conjunto dos números naturais é fechado pela operação de adição). A multiplicação é essencialmente o mesmo que a adição quando se trata de números naturais. Na vida, muitas vezes realizamos ações relacionadas a essas duas operações (por exemplo, ao fazer compras, somamos e multiplicamos), e é estranho pensar que nossos ancestrais as encontraram com menos frequência - a adição e a multiplicação foram dominadas pela humanidade há muito tempo. atrás. Muitas vezes é necessário dividir algumas quantidades por outras, mas aqui o resultado nem sempre é expresso como um número natural - foi assim que surgiram os números fracionários.
Claro, você também não pode prescindir da subtração. Mas, na prática, normalmente subtraímos o número menor do número maior e não há necessidade de usar números negativos. (Se eu tiver 5 doces e der 3 para minha irmã, então terei 5 - 3 = 2 doces restantes, mas não posso dar a ela 7 doces mesmo que queira.) Isso pode explicar por que as pessoas não usaram números negativos para um muito tempo.
Números negativos aparecem em documentos indianos desde o século VII d.C.; Os chineses aparentemente começaram a usá-los um pouco antes. Eram utilizados para contabilizar dívidas ou em cálculos intermediários para simplificar a solução de equações - eram apenas uma ferramenta para obter uma resposta positiva. O facto de os números negativos, ao contrário dos números positivos, não expressarem a presença de nenhuma entidade causou forte desconfiança. As pessoas evitavam literalmente números negativos: se um problema tivesse uma resposta negativa, elas acreditavam que não havia resposta alguma. Esta desconfiança persistiu durante muito tempo, e até Descartes, um dos “fundadores” da matemática moderna, chamou-as de “falsas” (no século XVII!).
Considere, por exemplo, a equação 7x - 17 = 2x - 2. Pode ser resolvido desta forma: mova os termos com a incógnita para a esquerda e o resto para a direita, vai acabar 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. Com esta solução, nem encontramos números negativos.
Mas foi possível acidentalmente fazer diferente: mover os termos com o desconhecido para o lado direito e obter 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Para encontrar a incógnita, você precisa dividir um número negativo por outro: x = (-15)/(-5). Mas a resposta correta é conhecida e resta concluir que (-15)/(-5) = 3 .
O que este exemplo simples demonstra? Em primeiro lugar, fica clara a lógica que determinou as regras para operar com números negativos: os resultados dessas ações devem corresponder às respostas obtidas de outra forma, sem números negativos. Em segundo lugar, ao permitir o uso de números negativos, nos livramos do tedioso (se a equação for mais complicada, com um grande número termos) buscando um caminho de solução em que todas as operações sejam realizadas apenas em números naturais. Além disso, podemos já não pensar sempre no significado das quantidades transformadas - e isto já é um passo no sentido de transformar a matemática numa ciência abstracta.
As regras para operar com números negativos não foram formadas imediatamente, mas tornaram-se uma generalização de numerosos exemplos que surgiram na resolução de problemas aplicados. Em geral, o desenvolvimento da matemática pode ser dividido em etapas: cada etapa seguinte difere da anterior em um novo nível de abstração no estudo de objetos. Assim, no século XIX, os matemáticos perceberam que inteiros e polinômios, apesar de todas as suas diferenças externas, têm muito em comum: ambos podem ser somados, subtraídos e multiplicados. Essas operações obedecem às mesmas leis - tanto no caso dos números quanto no caso dos polinômios. Mas nem sempre é possível dividir números inteiros entre si para que o resultado seja inteiro novamente. É o mesmo com polinômios.
Em seguida, foram descobertos outros conjuntos de objetos matemáticos nos quais tais operações poderiam ser realizadas: séries de potências formais, funções contínuas... Finalmente, chegou-se ao entendimento de que se você estudar as propriedades das próprias operações, os resultados poderão então ser aplicados a todos esses conjuntos de objetos (esta abordagem é típica de toda a matemática moderna).
Como resultado, surgiu um novo conceito: anel. É apenas um conjunto de elementos mais ações que podem ser executadas neles. As regras fundamentais aqui são as regras (elas são chamadas axiomas), a que estão sujeitas as ações, e não a natureza dos elementos do conjunto (aqui está, novo nível abstrações!). Querendo enfatizar que é a estrutura que surge após a introdução dos axiomas que é importante, os matemáticos dizem: um anel de inteiros, um anel de polinômios, etc. A partir dos axiomas, podem-se deduzir outras propriedades dos anéis.
Formularemos os axiomas do anel (que, claro, são semelhantes às regras para operar com números inteiros) e depois provaremos que, em qualquer anel, multiplicar um menos por um menos produz um mais.
Anelé um conjunto com duas operações binárias (ou seja, cada operação envolve dois elementos do anel), que são tradicionalmente chamadas de adição e multiplicação, e os seguintes axiomas:
- a adição de elementos do anel está sujeita a comutatividade ( A + B = B + A para quaisquer elementos UM E B) e associativo ( A + (B + C) = (A + B) + C) leis; no anel existe um elemento especial 0 (elemento neutro por adição) tal que A+0=A, e para qualquer elemento UM existe um elemento oposto (denotado (-UM)), O que UMA + (-A) = 0 ;
- a multiplicação obedece à lei combinacional: A·(B·C) = (A·B)·C ;
- Adição e multiplicação estão relacionadas pelas seguintes regras para abertura de parênteses: (A + B) C = A C + B C E A (B + C) = A B + A C .
Observe que os anéis, na construção mais geral, não requerem nem a comutabilidade da multiplicação, nem sua invertibilidade (ou seja, a divisão nem sempre pode ser feita), nem a existência de uma unidade - um elemento neutro na multiplicação. Se introduzirmos esses axiomas, obteremos diferentes estruturas algébricas, mas nelas todos os teoremas comprovados para anéis serão verdadeiros.
Agora provamos que para quaisquer elementos UM E B de um anel arbitrário é verdadeiro, em primeiro lugar, (-A) B = -(A B), e em segundo lugar (-(-A)) = UMA. Declarações sobre unidades seguem facilmente disto: (-1) 1 = -(1 1) = -1 E (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1 .
Para fazer isso, precisaremos estabelecer alguns fatos. Primeiro provamos que cada elemento pode ter apenas um oposto. Na verdade, deixe o elemento UM existem dois opostos: B E COM. Aquilo é A + B = 0 = A + C. Vamos considerar a quantia A+B+C. Utilizando as leis associativas e comutativas e a propriedade do zero, obtemos que, por um lado, a soma é igual a B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, e por outro lado, é igual C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Significa, B=C .
Notemos agora que UM, E (-(-UM)) são opostos do mesmo elemento (-UM), então eles devem ser iguais.
O primeiro fato é assim: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, aquilo é (-A)·B oposto A·B, o que significa que é igual -(AB) .
Para ser matematicamente rigoroso, vamos também explicar por que 0·B = 0 para qualquer elemento B. Na verdade, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Ou seja, a adição 0·B não altera o valor. Portanto, este produto é igual a zero.
E o fato de haver exatamente um zero no anel (afinal, os axiomas dizem que tal elemento existe, mas nada é dito sobre sua singularidade!), deixaremos ao leitor como um simples exercício.
Evgeny Epifanov, Terra (Sol III).
Duas negativas fazem uma afirmativa- Esta é uma regra que aprendemos na escola e aplicamos ao longo da vida. E qual de nós estava interessado em saber por quê? Claro, é mais fácil lembrar essa afirmação sem fazer perguntas desnecessárias e sem se aprofundar na essência do problema. Agora já existem informações suficientes que precisam ser “digeridas”. Mas para quem ainda está interessado nesta questão, tentaremos dar uma explicação deste fenômeno matemático.
Desde os tempos antigos, as pessoas usam números naturais positivos: 1, 2, 3, 4, 5,... Os números eram usados para contar gado, colheitas, inimigos, etc. Ao somar e multiplicar dois números positivos, sempre obtinham um número positivo; ao dividir uma quantidade por outra, nem sempre obtinham números naturais - era assim que apareciam os números fracionários. E quanto à subtração? Desde a infância sabemos que é melhor somar menos a mais e subtrair menos de mais e, novamente, não usamos números negativos. Acontece que se eu tiver 10 maçãs, só posso dar a alguém menos de 10 ou 10. Não tenho como dar 13 maçãs, porque não as tenho. Por muito tempo não houve necessidade de números negativos.
Somente a partir do século 7 DC. Números negativos foram utilizados em alguns sistemas de contagem como grandezas auxiliares que possibilitaram a obtenção de um número positivo na resposta.
Vejamos um exemplo, 6x – 30 = 3x – 9. Para encontrar a resposta é necessário deixar os termos com incógnitas no lado esquerdo, e o restante à direita: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 . Ao resolver esta equação, não havia números negativos. Poderíamos mover termos com incógnitas para o lado direito e sem incógnitas para a esquerda: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Ao dividir um número negativo por um número negativo, obtemos uma resposta positiva: x = 7.
O que vemos?
Trabalhar com números negativos deve nos levar à mesma resposta que trabalhar apenas com números positivos. Não precisamos mais pensar na impossibilidade prática e no significado das ações - elas nos ajudam a resolver o problema com muito mais rapidez, sem reduzir a equação a uma forma apenas com números positivos. No nosso exemplo, não usamos cálculos complexos, mas quando grandes quantidades Acrescentar cálculos com números negativos pode facilitar nosso trabalho.
Com o tempo, após longos experimentos e cálculos, foi possível identificar as regras que regem todos os números e operações sobre eles (em matemática são chamados de axiomas). Foi daqui que veio um axioma que afirma que quando dois números negativos são multiplicados, obtemos um número positivo.
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Ao ouvir um professor de matemática, a maioria dos alunos percebe o material como um axioma. Ao mesmo tempo, poucas pessoas tentam chegar ao fundo da questão e descobrir por que “menos” por “mais” dá um sinal de “menos” e, ao multiplicar dois números negativos, surge um resultado positivo.
Leis da matemática
A maioria dos adultos não consegue explicar a si mesmos ou aos filhos por que isso acontece. Eles dominaram firmemente esse material na escola, mas nem tentaram descobrir de onde vieram essas regras. Mas em vão. Muitas vezes, as crianças modernas não são tão crédulas; elas precisam ir ao fundo das coisas e entender, digamos, por que um “mais” e um “menos” resultam em um “menos”. E às vezes as molecas fazem perguntas complicadas deliberadamente para aproveitar o momento em que os adultos não conseguem dar uma resposta inteligível. E é realmente um desastre se um jovem professor se mete em problemas...
Aliás, deve-se destacar que a regra citada acima é válida tanto para multiplicação quanto para divisão. O produto de um número negativo por um positivo dará apenas um “menos”. Se estivermos falando de dois dígitos com sinal “-”, o resultado será um número positivo. números for negativo, então o quociente também terá um sinal "-" ".
Para explicar a correção desta lei da matemática, é necessário formular os axiomas do anel. Mas primeiro você precisa entender o que é. Em matemática, um anel é um conjunto que envolve duas operações em dois elementos. Mas é melhor entender isso com um exemplo.
Axioma do anel
Existem várias leis matemáticas.
- O primeiro deles é comutativo, segundo ele, C + V = V + C.
- O segundo é denominado associativo (V + C) + D = V + (C + D).
A multiplicação (V x C) x D = V x (C x D) também os obedece.
Ninguém cancelou as regras segundo as quais os parênteses são abertos (V + C) x D = V x D + C x D; também é verdade que C x (V + D) = C x V + C x D;
Além disso, foi estabelecido que um elemento especial neutro em adição pode ser introduzido no anel, quando usado será verdadeiro: C + 0 = C. Além disso, para cada C existe um elemento oposto, que pode ser denotado como (-C). Neste caso, C + (-C) = 0.
Derivação de axiomas para números negativos
Tendo aceitado as afirmações acima, podemos responder à pergunta: “Mais e menos dão que sinal?” Conhecendo o axioma da multiplicação de números negativos, é necessário confirmar que de fato (-C) x V = -(C x V). E também que a seguinte igualdade é verdadeira: (-(-C)) = C.
Para fazer isso, primeiro você terá que provar que cada elemento possui apenas um “irmão” oposto. Considere o seguinte exemplo de prova. Vamos tentar imaginar que para C dois números são opostos - V e D. Segue-se que C + V = 0 e C + D = 0, ou seja, C + V = 0 = C + D. Lembrando as leis de comutação e sobre as propriedades do número 0, podemos considerar a soma dos três números: C, V e D. Vamos tentar descobrir o valor de V. É lógico que V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, pois o valor de C + D, como foi assumido acima, é igual a 0. Isso significa V = V + C + D.
O valor para D é derivado da mesma maneira: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. A partir disso, fica claro que V = D.
Para entender por que “mais” para “menos” ainda dá “menos”, você precisa entender o seguinte. Então, para o elemento (-C), C e (-(-C)) são opostos, ou seja, são iguais entre si.
Então é óbvio que 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Segue-se disso que C x V é o oposto de (-)C x V, o que significa (- C) x V = -(C x V).
Para total rigor matemático, também é necessário confirmar que 0 x V = 0 para qualquer elemento. Se você seguir a lógica, então 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Isso significa que somar o produto 0 x V não altera em nada o valor estabelecido. Afinal, este produto é igual a zero.
Conhecendo todos esses axiomas, você pode deduzir não apenas quanto “mais” e “menos” dá, mas também o que acontece quando você multiplica números negativos.
Multiplicando e dividindo dois números com sinal “-”
Se você não se aprofundar nas nuances matemáticas, poderá tentar explicar as regras para operar com números negativos de uma forma mais simples.
Vamos supor que C - (-V) = D, com base nisso, C = D + (-V), ou seja, C = D - V. Transferimos V e obtemos que C + V = D. Ou seja, C + V = C - (-V). Este exemplo explica porque numa expressão onde existem dois “menos” consecutivos, os sinais mencionados devem ser alterados para “mais”. Agora vamos dar uma olhada na multiplicação.
(-C) x (-V) = D, você pode adicionar e subtrair dois produtos idênticos à expressão, o que não alterará seu valor: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.
Lembrando as regras para trabalhar com colchetes, obtemos:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Segue-se disso que C x V = (-C) x (-V).
Da mesma forma, pode ser provado que a divisão de dois números negativos resultará em um número positivo.
Regras matemáticas gerais
É claro que esta explicação não é adequada para alunos do ensino fundamental que estão apenas começando a aprender números negativos abstratos. É melhor que eles expliquem sobre objetos visíveis, manipulando o termo “espelho” com o qual estão familiarizados. Por exemplo, há brinquedos inventados, mas inexistentes. Eles podem ser exibidos com um sinal “-”. A multiplicação de dois objetos espelhados os transfere para outro mundo, que é equiparado ao real, ou seja, como resultado temos números positivos. Mas multiplicar um número abstrato negativo por um positivo fornece apenas um resultado familiar a todos. Afinal, “mais” multiplicado por “menos” dá “menos”. É verdade que as crianças não tentam realmente compreender todas as nuances matemáticas. 
Embora, para ser sincero, para muitas pessoas, mesmo com ensino superior, muitas regras permanecem um mistério. Todos tomam como certo o que os professores lhes ensinam, sem dificuldade em aprofundar todas as complexidades que a matemática esconde. “Menos” para “menos” dá “mais” - todos, sem exceção, sabem disso. Isso é verdade tanto para números inteiros quanto para números fracionários.
Atenção, somente HOJE!
- Métodos de classificação em programação: classificação por bolha
