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Exemplo 1. Dada uma função f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Vamos escrever a equação da tangente ao gráfico da função f(x) no ponto do gráfico com a abcissa x 0 = 1.

Solução. Derivada de uma função f(x) existe para qualquer x R . Vamos encontrá-la:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Então f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. A equação tangente tem a forma:

sim = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

sim = 10(x – 1) + 2,

sim = 10x – 8.

Responder. sim = 10x – 8.

Exemplo 2. Dada uma função f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Vamos escrever a equação da tangente ao gráfico da função f(x), paralelo à linha sim = 2x – 11.

Solução. Derivada de uma função f(x) existe para qualquer x R . Vamos encontrá-la:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Como a tangente ao gráfico da função f(x) no ponto da abcissa x 0 é paralelo à linha sim = 2x– 11, então sua inclinação é igual a 2, ou seja, ( x 0) = 2. Vamos encontrar esta abscissa a partir da condição de que 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Esta igualdade é válida somente quando x 0 = 0 e em x 0 = 2. Já que em ambos os casos f(x 0) = 5, então direto sim = 2x + b toca o gráfico da função no ponto (0; 5) ou no ponto (2; 5).

No primeiro caso, a igualdade numérica 5 = 2×0 + é verdadeira b, onde b= 5, e no segundo caso a igualdade numérica 5 = 2×2 + é verdadeira b, onde b = 1.

Então existem duas tangentes sim = 2x+ 5 e sim = 2x+ 1 ao gráfico da função f(x), paralelo à linha sim = 2x – 11.

Responder. sim = 2x + 5, sim = 2x + 1.

Exemplo 3. Dada uma função f(x) = x 2 – 6x+ 7. Vamos escrever a equação da tangente ao gráfico da função f(x), passando pelo ponto A (2; –5).

Solução. Porque f(2) –5, então aponte A não pertence ao gráfico da função f(x). Deixar x 0 - abcissa do ponto tangente.

Derivada de uma função f(x) existe para qualquer x R . Vamos encontrá-la:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Então f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. A equação tangente tem a forma:

sim = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

sim = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Desde o ponto A pertence à tangente, então a igualdade numérica é verdadeira

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

onde x 0 = 0 ou x 0 = 4. Isso significa que através do ponto A você pode desenhar duas tangentes ao gráfico da função f(x).

Se x 0 = 0, então a equação tangente tem a forma sim = –6x+ 7. Se x 0 = 4, então a equação tangente tem a forma sim = 2x – 9.

Responder. sim = –6x + 7, sim = 2x – 9.

Exemplo 4. Funções fornecidas f(x) = x 2 – 2x+ 2 e g(x) = –x 2 – 3. Vamos escrever a equação da tangente comum aos gráficos dessas funções.

Solução. Deixar x 1 - abcissa do ponto de tangência da reta desejada com o gráfico da função f(x), A x 2 - abcissa do ponto de tangência da mesma reta com o gráfico da função g(x).

Derivada de uma função f(x) existe para qualquer x R . Vamos encontrá-la:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Então f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. A equação tangente tem a forma:

sim = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

sim = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Vamos encontrar a derivada da função g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Instruções

Determinamos o coeficiente angular da tangente à curva no ponto M.
A curva que representa o gráfico da função y = f(x) é contínua em uma determinada vizinhança do ponto M (incluindo o próprio ponto M).

Se o valor f'(x0) não existir, então ou não existe tangente ou ela corre verticalmente. Diante disso, a presença de uma derivada da função no ponto x0 se deve à existência de uma tangente não vertical ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)). Neste caso, o coeficiente angular da tangente será igual a f "(x0). Assim, fica claro o significado geométrico da derivada - o cálculo do coeficiente angular da tangente.

Encontre o valor da abcissa do ponto tangente, que é denotado pela letra “a”. Se coincidir com um determinado ponto tangente, então "a" será sua coordenada x. Determine o valor funções f (a) substituindo na equação funções valor de abscissa.

Determine a primeira derivada da equação funções f’(x) e substitua o valor do ponto “a” nele.

Pegue a equação tangente geral, que é definida como y = f(a) = f (a)(x – a), e substitua os valores encontrados de a, f(a), f "(a) nela. Como resultado, a solução do gráfico será encontrada e tangente.

Resolva o problema de uma maneira diferente se o ponto tangente dado não coincidir com o ponto tangente. Neste caso, é necessário substituir “a” em vez de números na equação tangente. Depois disso, em vez das letras “x” e “y”, substitua o valor das coordenadas do ponto determinado. Resolva a equação resultante em que “a” é a incógnita. Insira o valor resultante na equação tangente.

Escreva uma equação para uma tangente com a letra “a” se a definição do problema especificar a equação funções e a equação de uma reta paralela em relação à tangente desejada. Depois disso, precisamos da derivada funções, para a coordenada no ponto “a”. Substitua o valor apropriado na equação tangente e resolva a função.

Uma tangente é uma linha reta , que toca o gráfico da função em um ponto e todos os pontos estão na distância mais curta do gráfico da função. Portanto, a tangente passa tangente ao gráfico da função em um determinado ângulo, e várias tangentes em ângulos diferentes não podem passar pelo ponto de tangência. Equações tangentes e equações normais ao gráfico de uma função são construídas usando a derivada.

A equação tangente é derivada da equação da linha .

Vamos derivar a equação da tangente e depois a equação da normal ao gráfico da função.

sim = kx + b .

Nele k- coeficiente angular.

A partir daqui, obtemos a seguinte entrada:

sim - sim 0 = k(x - x 0 ) .

Valor derivado f "(x 0 ) funções sim = f(x) no ponto x0 igual à inclinação k=tg φ tangente ao gráfico de uma função desenhada através de um ponto M0 (x 0 , sim 0 ) , Onde sim0 = f(x 0 ) . Isso é significado geométrico da derivada .

Assim, podemos substituir k sobre f "(x 0 ) e obtenha o seguinte equação da tangente ao gráfico de uma função :

sim - sim 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Nos problemas que envolvem a composição da equação de uma tangente ao gráfico de uma função (e passaremos a eles em breve), é necessário reduzir a equação obtida da fórmula acima para equação de uma linha reta na forma geral. Para fazer isso, mova todas as letras e números para o lado esquerdo da equação e deixe zero no lado direito.

Agora sobre a equação normal. Normal - esta é uma linha reta que passa pelo ponto de tangência ao gráfico da função perpendicular à tangente. Equação normal :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(sim - sim 0 ) = 0

Para aquecer, você deverá resolver o primeiro exemplo sozinho e, em seguida, analisar a solução. Há todos os motivos para esperar que esta tarefa não seja um “banho frio” para os nossos leitores.

Exemplo 0. Crie uma equação tangente e uma equação normal para o gráfico de uma função em um ponto M (1, 1) .

Exemplo 1. Escreva uma equação tangente e uma equação normal ao gráfico de uma função , se a abcissa for tangente .

Vamos encontrar a derivada da função:

Agora temos tudo o que precisa ser substituído na entrada dada na ajuda teórica para obter a equação tangente. Nós temos

Neste exemplo, tivemos sorte: a inclinação acabou sendo zero, então reduzimos separadamente a equação para aparência geral não era necessário. Agora podemos criar a equação normal:

Na figura abaixo: gráfico de uma função cor Borgonha, tangente Cor verde, laranja normal.

O próximo exemplo também não é complicado: a função, como no anterior, também é um polinômio, mas a inclinação não será igual a zero, então será adicionado mais um passo - trazendo a equação para uma forma geral.

Exemplo 2.

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto tangente:

Vamos encontrar a derivada da função:

.

Vamos encontrar o valor da derivada no ponto de tangência, ou seja, a inclinação da tangente:

Substituímos todos os dados obtidos na “fórmula em branco” e obtemos a equação tangente:

Trazemos a equação à sua forma geral (coletamos todas as letras e números, exceto zero, no lado esquerdo e deixamos zero à direita):

Compomos a equação normal:

Exemplo 3. Escreva uma equação tangente e uma equação normal ao gráfico da função se a abcissa for o ponto tangente.

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto tangente:

Vamos encontrar a derivada da função:

.

Vamos encontrar o valor da derivada no ponto de tangência, ou seja, a inclinação da tangente:

.

Encontramos a equação tangente:

Antes de trazer a equação para sua forma geral, é preciso “pentear” um pouco: multiplicar termo por termo por 4. Fazemos isso e trazemos a equação para sua forma geral:

Compomos a equação normal:

Exemplo 4. Escreva uma equação tangente e uma equação normal ao gráfico da função se a abcissa for o ponto tangente.

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto tangente:

.

Vamos encontrar a derivada da função:

Vamos encontrar o valor da derivada no ponto de tangência, ou seja, a inclinação da tangente:

.

Obtemos a equação tangente:

Trazemos a equação para sua forma geral:

Compomos a equação normal:

Um erro comum ao escrever equações tangentes e normais é não perceber que a função dada no exemplo é complexa e calcular sua derivada como a derivada de uma função simples. Os exemplos a seguir já são de funções complexas(a lição correspondente será aberta em uma nova janela).

Exemplo 5. Escreva uma equação tangente e uma equação normal ao gráfico da função se a abcissa for o ponto tangente.

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto tangente:

Atenção! Esta função- complexo, pois o argumento tangente (2 x) é em si uma função. Portanto, encontramos a derivada de uma função como a derivada de uma função complexa.

Tangenteé uma linha reta que passa por um ponto da curva e coincide com ele neste ponto até a primeira ordem (Fig. 1).

Outra definição: esta é a posição limite da secante em Δ x→0.

Explicação: Pegue uma linha reta que cruze a curva em dois pontos: A E b(Ver foto). Esta é uma secante. Vamos girá-lo no sentido horário até encontrar apenas um ponto comum com a curva. Isso nos dará uma tangente.

Definição estrita de tangente:

Tangente ao gráfico de uma função f, diferenciável no ponto xÓ, é uma linha reta que passa pelo ponto ( xÓ; f(xÓ)) e tendo uma inclinação f′( xÓ).

A inclinação tem uma linha reta da forma você =kx +b. Coeficiente k e é declive esta linha reta.

O coeficiente angular é igual à tangente do ângulo agudo formado por esta reta com o eixo das abcissas:

Aqui o ângulo α é o ângulo entre a linha reta você =kx +b e direção positiva (isto é, anti-horária) do eixo x. É chamado ângulo de inclinação de uma linha reta(Fig. 1 e 2).

Se o ângulo de inclinação for reto você =kx +b agudo, então a inclinação é um número positivo. O gráfico está aumentando (Fig. 1).

Se o ângulo de inclinação for reto você =kx +bé obtuso, então a inclinação é um número negativo. O gráfico está diminuindo (Fig. 2).

Se a linha reta for paralela ao eixo x, então o ângulo de inclinação da linha reta é zero. Neste caso, a inclinação da reta também é zero (já que a tangente de zero é zero). A equação da linha reta será semelhante a y = b (Fig. 3).

Se o ângulo de inclinação de uma reta é 90º (π/2), ou seja, é perpendicular ao eixo das abcissas, então a reta é dada pela igualdade x =c, Onde c– algum número real (Fig. 4).

Equação da tangente ao gráfico de uma funçãosim = f(x) no ponto xÓ:

Exemplo: Encontre a equação da tangente ao gráfico da função f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 no ponto com abcissa 2.

Solução.

Seguimos o algoritmo.

1) Ponto de contato xÓé igual a 2. Calcule f(xÓ):

f(xÓ) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Encontre f′( x). Para fazer isso, aplicamos as fórmulas de diferenciação descritas na seção anterior. De acordo com essas fórmulas, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Significa:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Agora, usando o valor resultante f′( x), calcular f′( xÓ):

f′( xÓ) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Assim, temos todos os dados necessários: xÓ = 2, f(xÓ) = 1, f ′( xÓ) = 4. Substitua esses números na equação tangente e encontre a solução final:

você = f(xÓ) + f′( xÓ) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Resposta: y = 4x – 7.

O artigo fornece uma explicação detalhada das definições, significado geométrico derivada com notação gráfica. A equação de uma reta tangente será considerada com exemplos, serão encontradas as equações de uma tangente a curvas de 2ª ordem.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definição 1

O ângulo de inclinação da reta y = k x + b é denominado ângulo α, que é medido da direção positiva do eixo x até a reta y = k x + b na direção positiva.

Na figura, a direção x é indicada por uma seta verde e um arco verde, e o ângulo de inclinação por um arco vermelho. A linha azul refere-se à linha reta.

Definição 2

A inclinação da linha reta y = k x + b é chamada de coeficiente numérico k.

O coeficiente angular é igual à tangente da reta, ou seja, k = t g α.

• O ângulo de inclinação de uma linha reta é igual a 0 somente se x for paralelo e a inclinação for igual a zero, porque a tangente de zero é 0. Isso significa que a forma da equação será y = b.
• Se o ângulo de inclinação da linha reta y = k x + b for agudo, então as condições 0 são satisfeitas< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, e há um aumento no gráfico.
• Se α = π 2, então a localização da linha é perpendicular a x. A igualdade é especificada por x = c com o valor c sendo um número real.
• Se o ângulo de inclinação da linha reta y = k x + b for obtuso, então corresponde às condições π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Uma secante é uma reta que passa por 2 pontos da função f(x). Em outras palavras, uma secante é uma linha reta traçada através de quaisquer dois pontos no gráfico de uma determinada função.

A figura mostra que AB é uma secante, e f(x) é uma curva preta, α é um arco vermelho, indicando o ângulo de inclinação da secante.

Quando o coeficiente angular de uma linha reta é igual à tangente do ângulo de inclinação, é claro que a tangente de um triângulo retângulo A B C pode ser encontrada pela razão entre o lado oposto e o adjacente.

Definição 4

Obtemos uma fórmula para encontrar uma secante da forma:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, onde as abcissas dos pontos A e B são os valores x A, x B e f (x A), f (x B) são as funções de valores nesses pontos.

Obviamente, o coeficiente angular da secante é determinado usando a igualdade k = f (x B) - f (x A) x B - x A ou k = f (x A) - f (x B) x A - x B , e a equação deve ser escrita como y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ou
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

A secante divide o gráfico visualmente em 3 partes: à esquerda do ponto A, de A a B, à direita de B. A figura abaixo mostra que existem três secantes que são consideradas coincidentes, ou seja, são definidas por meio de um equação semelhante.

Por definição, é claro que a reta e sua secante neste caso coincidem.

Uma secante pode cruzar o gráfico de uma determinada função várias vezes. Se houver uma equação da forma y = 0 para uma secante, então o número de pontos de intersecção com a senóide é infinito.

Definição 5

Tangente ao gráfico da função f(x) no ponto x 0 ; f (x 0) é uma linha reta que passa por um determinado ponto x 0; f (x 0), com a presença de um segmento que possui muitos valores de x próximos de x 0.

Exemplo 1

Vamos dar uma olhada mais de perto no exemplo abaixo. Então fica claro que a reta definida pela função y = x + 1 é considerada tangente a y = 2 x no ponto com coordenadas (1; 2). Para maior clareza, é necessário considerar gráficos com valores próximos de (1; 2). A função y = 2 x é mostrada em preto, a linha azul é a linha tangente e o ponto vermelho é o ponto de intersecção.

Obviamente, y = 2 x se funde com a reta y = x + 1.

Para determinar a tangente, devemos considerar o comportamento da tangente A B à medida que o ponto B se aproxima infinitamente do ponto A. Para maior clareza, apresentamos um desenho.

A secante AB, indicada pela linha azul, tende para a posição da própria tangente, e o ângulo de inclinação da secante α começará a tender para o ângulo de inclinação da própria tangente α x.

Definição 6

A tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto A é considerada a posição limite da secante A B quando B tende para A, ou seja, B → A.

Agora vamos considerar o significado geométrico da derivada de uma função em um ponto.

Vamos considerar a secante A B para a função f (x), onde A e B com coordenadas x 0, f (x 0) e x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) e ∆ x é denotado como o incremento do argumento. Agora a função terá a forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Para maior clareza, vamos dar um exemplo de desenho.

Vamos considerar o resultado triângulo retângulo A B C. Usamos a definição de tangente para resolver, ou seja, obtemos a relação ∆ y ∆ x = t g α . Da definição de uma tangente segue que lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . De acordo com a regra da derivada em um ponto, temos que a derivada f (x) no ponto x 0 é chamada de limite da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento, onde ∆ x → 0 , então denotamos como f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Segue-se que f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, onde k x é denotado como a inclinação da tangente.

Ou seja, descobrimos que f ' (x) pode existir no ponto x 0, e como a tangente a um determinado gráfico da função no ponto de tangência igual a x 0, f 0 (x 0), onde o valor de a inclinação da tangente no ponto é igual à derivada no ponto x 0 . Então obtemos que k x = f " (x 0) .

O significado geométrico da derivada de uma função em um ponto é que ela dá o conceito da existência de uma tangente ao gráfico no mesmo ponto.

Para escrever a equação de qualquer reta em um plano, é necessário ter um coeficiente angular com o ponto por onde ela passa. Sua notação é considerada x 0 na interseção.

A equação tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto x 0, f 0 (x 0) assume a forma y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Isso significa que o valor final da derivada f "(x 0) pode determinar a posição da tangente, ou seja, verticalmente, desde que lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ e lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ou ausência total sob a condição lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

A localização da tangente depende do valor de seu coeficiente angular k x = f "(x 0). Quando paralelo ao eixo o x, obtemos que k k = 0, quando paralelo a cerca de y - k x = ∞, e a forma de a equação tangente x = x 0 aumenta com k x > 0, diminui à medida que k x< 0 .

Exemplo 2

Compile uma equação para a tangente ao gráfico da função y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 no ponto com coordenadas (1; 3) e determine o ângulo de inclinação.

Solução

Por condição, temos que a função esteja definida para todos os números reais. Descobrimos que o ponto com as coordenadas especificadas pela condição, (1; 3) é um ponto de tangência, então x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

É necessário encontrar a derivada no ponto com valor - 1. Nós entendemos isso

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

O valor de f' (x) no ponto de tangência é a inclinação da tangente, que é igual à tangente da inclinação.

Então k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Segue-se que α x = a r c t g 3 3 = π 6

Responder: a equação tangente assume a forma

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Para maior clareza, damos um exemplo em uma ilustração gráfica.

A cor preta é usada para o gráfico da função original, Cor azul– imagem de uma tangente, ponto vermelho – ponto de tangência. A figura à direita mostra uma visão ampliada.

Exemplo 3

Determine a existência de uma tangente ao gráfico de uma determinada função
y = 3 · x - 1 5 + 1 no ponto com coordenadas (1 ; 1) . Escreva uma equação e determine o ângulo de inclinação.

Solução

Por condição, temos que o domínio de definição de uma determinada função seja considerado o conjunto de todos os números reais.

Vamos prosseguir para encontrar a derivada

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Se x 0 = 1, então f' (x) é indefinido, mas os limites são escritos como lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ e lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , o que significa o existência tangente vertical no ponto (1; 1).

Responder: a equação terá a forma x = 1, onde o ângulo de inclinação será igual a π 2.

Para maior clareza, vamos representá-lo graficamente.

Exemplo 4

Encontre os pontos no gráfico da função y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, onde

1. Não há tangente;
2. A tangente é paralela a x;
3. A tangente é paralela à reta y = 8 5 x + 4.

Solução

É necessário atentar para o escopo da definição. Por condição, temos que a função esteja definida no conjunto de todos os números reais. Expandimos o módulo e resolvemos o sistema com intervalos x ∈ - ∞ ; 2 e [-2; + ∞) . Nós entendemos isso

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

É necessário diferenciar a função. Nós temos isso

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Quando x = − 2, então a derivada não existe porque os limites unilaterais não são iguais nesse ponto:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Calculamos o valor da função no ponto x = - 2, onde obtemos isso

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, ou seja, a tangente no ponto ( - 2; - 2) não existirá.
2. A tangente é paralela a x quando a inclinação é zero. Então k x = t g α x = f "(x 0). Ou seja, é necessário encontrar os valores de tal x quando a derivada da função o transforma em zero. Ou seja, os valores de f ' (x) serão os pontos de tangência, onde a tangente é paralela a x .

Quando x ∈ - ∞ ; - 2, então - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, e para x ∈ (- 2; + ∞) obtemos 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Calcule os valores da função correspondentes

1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 e 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Portanto - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 são considerados os pontos necessários do gráfico da função.

Vamos considerar imagem gráfica soluções.

A linha preta é o gráfico da função, os pontos vermelhos são os pontos de tangência.

1. Quando as linhas são paralelas, os coeficientes angulares são iguais. Então é necessário procurar pontos no gráfico da função onde a inclinação será igual ao valor 8 5. Para fazer isso, você precisa resolver uma equação da forma y "(x) = 8 5. Então, se x ∈ - ∞; - 2, obtemos que - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, e se x ∈ ( - 2 ; + ∞), então 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

A primeira equação não tem raízes porque o discriminante é menor que zero. Vamos escrever isso

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Outra equação tem duas raízes reais, então

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Vamos prosseguir para encontrar os valores da função. Nós entendemos isso

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Pontos com valores – 1; 4 15, 5; 8 3 são os pontos nos quais as tangentes são paralelas à reta y = 8 5 x + 4.

Responder: linha preta – gráfico da função, linha vermelha – gráfico de y = 8 5 x + 4, linha azul – tangentes nos pontos - 1; 4 15, 5; 8 3.

Pode haver um número infinito de tangentes para determinadas funções.

Exemplo 5

Escreva as equações de todas as tangentes disponíveis da função y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, que estão localizadas perpendicularmente à linha reta y = - 2 x + 1 2.

Solução

Para compilar a equação tangente, é necessário encontrar o coeficiente e as coordenadas do ponto tangente, com base na condição de perpendicularidade das retas. A definição é a seguinte: o produto dos coeficientes angulares perpendiculares às retas é igual a - 1, ou seja, escrito como k x · k ⊥ = - 1. Da condição temos que o coeficiente angular está localizado perpendicularmente à reta e é igual a k ⊥ = - 2, então k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Agora você precisa encontrar as coordenadas dos pontos de contato. Você precisa encontrar x e então seu valor para uma determinada função. Observe que a partir do significado geométrico da derivada no ponto
x 0 obtemos que k x = y "(x 0). A partir desta igualdade encontramos os valores de x para os pontos de contato.

Nós entendemos isso

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sen 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sen 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sen 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sen 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sen 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Esta equação trigonométrica será usada para calcular as ordenadas dos pontos tangentes.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ou 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sen 1 9 + 2 πk ou 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sen 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sen 1 9 + 2 πk ou x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sen 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z é um conjunto de inteiros.

x pontos de contato foram encontrados. Agora você precisa prosseguir para a busca pelos valores de y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sen 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ou y 0 = 3 - 1 - sen 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ou y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ou y 0 = - 4 5 + 1 3

Disto obtemos que 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + arc sen 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 são os pontos de tangência.

Responder: as equações necessárias serão escritas como

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sen 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sen 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Para uma representação visual, considere uma função e uma tangente em uma linha de coordenadas.

A figura mostra que a função está localizada no intervalo [-10; 10], onde a linha preta é o gráfico da função, as linhas azuis são as tangentes, que estão localizadas perpendicularmente à linha dada da forma y = - 2 x + 1 2. Os pontos vermelhos são pontos de contato.

As equações canônicas das curvas de 2ª ordem não são funções de valor único. As equações tangentes para eles são compiladas de acordo com esquemas conhecidos.

Tangente a um círculo

Para definir um círculo com centro no ponto x c e n t e r ; y centro e raio R, aplique a fórmula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Esta igualdade pode ser escrita como uma união de duas funções:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

A primeira função está localizada na parte superior e a segunda na parte inferior, conforme mostrado na figura.

Para compilar a equação de um círculo no ponto x 0; y 0 , que está localizado no semicírculo superior ou inferior, você deve encontrar a equação do gráfico de uma função da forma y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ou y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y centralize no ponto indicado.

Quando em pontos x c e n t e r ; y centro + R e x centro ; As tangentes y c e n t e r - R podem ser dadas pelas equações y = y c e n t e r + R e y = y c e n t e r - R , e nos pontos x c e n t e r + R ; y centro e
x c e n t e r - R ; y centro será paralelo a o y, então obtemos equações da forma x = x c e n t e r + R e x = x c e n t e r - R .

Tangente a uma elipse

Quando a elipse tem centro em x c e n t e r ; y centro com semieixos a e b, então ele pode ser especificado usando a equação x - x centro 2 a 2 + y - y centro 2 b 2 = 1.

Uma elipse e um círculo podem ser denotados pela combinação de duas funções, nomeadamente a semi-elipse superior e inferior. Então nós entendemos isso

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Se as tangentes estão localizadas nos vértices da elipse, então elas são paralelas em torno de x ou em torno de y. Abaixo, para maior clareza, considere a figura.

Exemplo 6

Escreva a equação da tangente à elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 em pontos com valores de x iguais a x = 2.

Solução

É necessário encontrar os pontos tangentes que correspondem ao valor x = 2. Substituímos na equação existente da elipse e descobrimos que

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Então 2; 5 3 2 + 5 e 2; - 5 3 2 + 5 são os pontos tangentes que pertencem à semi-elipse superior e inferior.

Vamos prosseguir para encontrar e resolver a equação da elipse em relação a y. Nós entendemos isso

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Obviamente, a meia elipse superior é especificada usando uma função da forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, e a metade inferior da elipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Vamos aplicar um algoritmo padrão para criar uma equação para uma tangente ao gráfico de uma função em um ponto. Escrevemos que a equação da primeira tangente no ponto 2; 5 3 2 + 5 será parecido

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Descobrimos que a equação da segunda tangente com um valor no ponto
2; - 5 3 2 + 5 assume a forma

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficamente, as tangentes são designadas da seguinte forma:

Tangente à hipérbole

Quando uma hipérbole tem centro em x c e n t e r ; y centro e vértices x centro + α; y c e n t e r e x c ​​e n t e r - α ; y c e n t e r , a desigualdade x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ocorre, se com vértices x c e n t e r ; y centro + b e x centro ; y c e n t e r - b , então é especificado usando a desigualdade x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Uma hipérbole pode ser representada como duas funções combinadas da forma

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ou y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

No primeiro caso temos que as tangentes são paralelas a y, e no segundo são paralelas a x.

Segue-se que para encontrar a equação da tangente a uma hipérbole é necessário descobrir a qual função pertence o ponto de tangência. Para determinar isso, é necessário substituir nas equações e verificar a identidade.

Exemplo 7

Escreva uma equação para a tangente à hipérbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 no ponto 7; - 3 3 - 3 .

Solução

É necessário transformar o registro da solução para encontrar uma hipérbole usando 2 funções. Nós entendemos isso

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 e y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

É necessário identificar a qual função pertence um determinado ponto de coordenadas 7; - 3 3 - 3 .

Obviamente, para verificar a primeira função é necessário y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, então o ponto não pertence ao gráfico, já que a igualdade não é válida.

Para a segunda função temos que y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, o que significa que o ponto pertence ao gráfico dado. A partir daqui você deve encontrar a inclinação.

Nós entendemos isso

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Responder: a equação tangente pode ser representada como

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Está claramente representado assim:

Tangente a uma parábola

Para criar uma equação para a tangente à parábola y = a x 2 + b x + c no ponto x 0, y (x 0), você deve usar um algoritmo padrão, então a equação assumirá a forma y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Tal tangente no vértice é paralela a x.

Você deve definir a parábola x = a y 2 + b y + c como a união de duas funções. Portanto, precisamos resolver a equação para y. Nós entendemos isso

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Vamos descrevê-lo graficamente como:

Para descobrir se um ponto x 0, y (x 0) pertence a uma função, proceda com cuidado de acordo com o algoritmo padrão. Tal tangente será paralela a oy em relação à parábola.

Exemplo 8

Escreva a equação da tangente ao gráfico x - 2 y 2 - 5 y + 3 quando tivermos um ângulo tangente de 150°.

Solução

Começamos a solução representando a parábola como duas funções. Nós entendemos isso

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

O valor da inclinação é igual ao valor da derivada no ponto x 0 desta função e é igual à tangente do ângulo de inclinação.

Nós temos:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

A partir daqui determinamos o valor x para os pontos de contato.

A primeira função será escrita como

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Obviamente, não existem raízes reais, pois obtivemos um valor negativo. Concluímos que não existe tangente com ângulo de 150° para tal função.

A segunda função será escrita como

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Temos que os pontos de contato são 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Responder: a equação tangente assume a forma

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Vamos representá-lo graficamente desta forma:

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