Um triângulo é um polígono com três lados, ou uma linha tracejada fechada com três elos, ou uma figura formada por três segmentos conectando três pontos que não estão na mesma linha reta (ver Fig. 1).

Elementos básicos do triângulo abc

Picos – pontos A, B e C;

Festas – segmentos a = BC, b = AC e c = AB conectando os vértices;

Ângulos – α, β, γ formados por três pares de lados. Os ângulos são frequentemente designados da mesma forma que os vértices, com as letras A, B e C.

O ângulo formado pelos lados de um triângulo e situado em sua área interna é denominado ângulo interno, e o adjacente a ele é o ângulo adjacente do triângulo (2, p. 534).

Alturas, medianas, bissetrizes e linhas médias de um triângulo

Além dos elementos principais de um triângulo, também são considerados outros segmentos com propriedades interessantes: alturas, medianas, bissetoras e linhas médias.

Altura

Alturas do triângulo- são perpendiculares que caem dos vértices do triângulo para lados opostos.

Para traçar a altura, você deve realizar os seguintes passos:

1) desenhe uma linha reta contendo um dos lados do triângulo (se a altura for traçada a partir do vértice de um ângulo agudo em um triângulo obtuso);

2) a partir do vértice oposto à linha traçada, desenhe um segmento do ponto até esta linha, formando com ela um ângulo de 90 graus.

O ponto de intersecção da altura com o lado do triângulo é chamado base de altura (ver Fig. 2).

Propriedades das altitudes do triângulo

Em um triângulo retângulo, a altitude traçada a partir do vértice ângulo certo, divide-o em dois triângulos semelhantes ao triângulo original.

Em um triângulo acutângulo, suas duas alturas separam dele triângulos semelhantes.

Se o triângulo for agudo, então todas as bases das alturas pertencem aos lados do triângulo e, em um triângulo obtuso, duas alturas caem na continuação dos lados.

Três altitudes em um triângulo agudo se cruzam em um ponto e este ponto é chamado ortocentro triângulo.

Mediana

Medianas(do latim mediana – “meio”) - são segmentos que conectam os vértices do triângulo com os pontos médios dos lados opostos (ver Fig. 3).

Para construir a mediana, você deve realizar os seguintes passos:

1) encontre o meio do lado;

2) conecte o ponto que fica no meio do lado do triângulo com o vértice oposto com um segmento.

Propriedades das medianas do triângulo

A mediana divide um triângulo em dois triângulos de áreas iguais.

As medianas de um triângulo se cruzam em um ponto, que divide cada uma delas na proporção de 2:1, contando a partir do vértice. Este ponto é chamado Centro de gravidade triângulo.

O triângulo inteiro é dividido por suas medianas em seis triângulos iguais.

Bissetriz

Bissetoras(do latim bis - duas vezes e seko - corte) são os segmentos de linha reta encerrados dentro de um triângulo que divide seus ângulos ao meio (ver Fig. 4).

Para construir uma bissetriz, você deve executar as seguintes etapas:

1) construir um raio saindo do vértice do ângulo e dividindo-o em duas partes iguais (a bissetriz do ângulo);

2) encontre o ponto de intersecção da bissetriz do ângulo do triângulo com o lado oposto;

3) selecione um segmento conectando o vértice do triângulo com o ponto de intersecção no lado oposto.

Propriedades das bissetrizes do triângulo

A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em uma proporção igual à proporção dos dois lados adjacentes.

As bissetoras dos ângulos internos de um triângulo se cruzam em um ponto. Este ponto é chamado de centro do círculo inscrito.

As bissetoras dos ângulos internos e externos são perpendiculares.

Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a extensão do lado oposto, então ADBD=ACBC.

As bissetrizes de um ângulo interno e dois ângulos externos de um triângulo se cruzam em um ponto. Este ponto é o centro de um dos três círculos deste triângulo.

As bases das bissetrizes de dois ângulos internos e um externo de um triângulo estão na mesma linha reta se a bissetriz do ângulo externo não for paralela ao lado oposto do triângulo.

Se as bissetoras dos ângulos externos de um triângulo não são paralelas aos lados opostos, então suas bases estão na mesma linha reta.

1. A mediana divide um triângulo em dois triângulos de áreas iguais.

2. As medianas do triângulo se cruzam em um ponto, que divide cada uma delas na proporção de 2:1, contando a partir do vértice. Este ponto é chamado Centro de gravidade triângulo.

3. Todo o triângulo é dividido pelas suas medianas em seis triângulos iguais.

Propriedades das bissetrizes do triângulo

1. A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados desse ângulo.

2. A bissetriz do ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes: .

3. O ponto de intersecção das bissetrizes de um triângulo é o centro do círculo inscrito neste triângulo.

Propriedades das altitudes do triângulo

1. Em um triângulo retângulo, a altitude traçada a partir do vértice do ângulo reto o divide em dois triângulos semelhantes ao original.

2. Em um triângulo acutângulo, duas de suas alturas separam dele outras semelhantes triângulos.

Propriedades das bissetoras perpendiculares de um triângulo

1. Cada ponto da bissetriz perpendicular a um segmento é equidistante das extremidades deste segmento. O inverso também é verdadeiro: todo ponto equidistante das extremidades de um segmento está na bissetriz perpendicular a ele.

2. O ponto de intersecção das bissetoras perpendiculares traçadas aos lados do triângulo é o centro do círculo circunscrito a esse triângulo.

Propriedade da linha média de um triângulo

A linha média de um triângulo é paralela a um de seus lados e igual à metade desse lado.

Semelhança de triângulos

Dois triângulos semelhante se uma das seguintes condições, chamada sinais de semelhança:

· dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos de outro triângulo;

· dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo, e os ângulos formados por esses lados são iguais;

· três lados de um triângulo são respectivamente proporcionais a três lados de outro triângulo.

Em triângulos semelhantes, as linhas correspondentes (alturas, medianas, bissetoras, etc.) são proporcionais.

Teorema dos senos

Teorema do cosseno

um 2= b2+ c2- 2a.C. porque

Fórmulas de área de triângulo

1. Triângulo Livre

uma, b, c - lados; - ângulo entre os lados a E b; - semiperímetro; R- raio do círculo circunscrito; r- raio do círculo inscrito; S- quadrado; eh- altura desenhada para lado a.

S = ah uma

S = ab pecado

S = pr

2. Triângulo retângulo

uma, b - pernas; c- hipotenusa; h c - altura desenhada para o lado c.

S = ch c S = ab

3. Triângulo Equilátero

Quadriláteros

Propriedades de um paralelogramo

· lados opostos são iguais;

· ângulos opostos são iguais;

· as diagonais são divididas ao meio pelo ponto de intersecção;

· a soma dos ângulos adjacentes a um lado é 180°;

A soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados de todos os lados:

d 1 2 +d 2 2 =2(uma 2 +b 2).

Um quadrilátero é um paralelogramo se:

1. Seus dois lados opostos são iguais e paralelos.

2. Os lados opostos são iguais aos pares.

3. Os ângulos opostos são iguais aos pares.

4. As diagonais são divididas ao meio pelo ponto de intersecção.

Propriedades de um trapézio

· sua linha média é paralela às bases e igual à sua meia soma;

· se o trapézio é isósceles, então suas diagonais são iguais e os ângulos da base são iguais;

· se o trapézio for isósceles, então um círculo pode ser descrito em torno dele;

· se a soma das bases for igual à soma dos lados, então um círculo pode ser inscrito nela.

Propriedades do retângulo

As diagonais são iguais.

Um paralelogramo é um retângulo se:

1. Um de seus ângulos é reto.

2. Suas diagonais são iguais.

Propriedades de um losango

· todas as propriedades de um paralelogramo;

As diagonais são perpendiculares;

As diagonais são as bissetrizes de seus ângulos.

1. Um paralelogramo é um losango se:

2. Seus dois lados adjacentes são iguais.

3. Suas diagonais são perpendiculares.

4. Uma das diagonais é a bissetriz do seu ângulo.

Propriedades de um quadrado

· todos os cantos do quadrado estão certos;

· as diagonais de um quadrado são iguais, mutuamente perpendiculares, o ponto de intersecção divide e divide os cantos do quadrado.

Um retângulo é um quadrado se tiver alguma característica de losango.

Fórmulas básicas

1. Qualquer quadrilátero convexo
d1,d2 - diagonais; - o ângulo entre eles; S- quadrado.

S=d 1 d 2 pecado

Primeiro nível

Mediana. Guia visual (2019)

1. Qual é a mediana?

É muito simples!

Pegue um triângulo:

Marque o meio em um dos lados.

E conecte-se ao vértice oposto!

A linha resultante e há uma mediana.

2. Propriedades da mediana.

O que boas propriedades a mediana tem?

1) Vamos imaginar que o triângulo é retangular. Existem essas coisas, certo?

Por que??? O que um ângulo reto tem a ver com isso?

Vamos observar com atenção. Não apenas um triângulo, mas... um retângulo. Porque você pergunta?

Mas você anda na Terra - você vê que ela é redonda? Não, claro, para fazer isso você precisa olhar a Terra do espaço. Então olhamos para o nosso triângulo retângulo “do espaço”.

Vamos desenhar uma diagonal:

Você se lembra que as diagonais de um retângulo igual E compartilhar ponto de intersecção ao meio? (Se não lembra, veja o tópico)

Isso significa que metade da segunda diagonal é nossa mediana. As diagonais são iguais e, claro, suas metades também. Isso é o que vamos conseguir

Não vamos provar esta afirmação, mas para acreditar, pense por si mesmo: existe realmente algum outro paralelogramo com diagonais iguais diferente de um retângulo? Claro que não! Bem, isso significa que a mediana pode ser igual a meio lado apenas num triângulo retângulo.

Vamos ver como essa propriedade ajuda a resolver problemas.

Aqui, tarefa:
Para os lados; . Desenhado do topo mediana. Descubra se.

Viva! Você pode aplicar o teorema de Pitágoras! Viu como é ótimo? Se não soubéssemos disso mediana igual a meio lado

Aplicamos o teorema de Pitágoras:

2) E agora vamos ter não apenas um, mas todo três medianas! Como eles se comportam?

Lembre-se muito fato importante:

Difícil? Olha a foto:

Medianas e se cruzam em um ponto.

E….(provamos isso, mas por enquanto Lembrar!):

• - duas vezes mais que;
• - duas vezes mais que;
• - duas vezes mais que.

Você já está cansado? Você será forte o suficiente para o próximo exemplo? Agora vamos aplicar tudo o que falamos!

Tarefa: Em um triângulo, são desenhadas medianas e, que se cruzam em um ponto. Descubra se

Vamos encontrar usando o teorema de Pitágoras:

Agora vamos aplicar o conhecimento sobre o ponto de intersecção das medianas.

Vamos definir isso. Segmento, A. Se tudo não estiver claro, veja a foto.

Já descobrimos isso.

Significa, ; .

No problema somos questionados sobre um segmento.

Em nossa notação.

Responder: .

Apreciado? Agora tente você mesmo aplicar seu conhecimento sobre a mediana!

MEDIANA. NÍVEL MÉDIO

1. A mediana divide o lado ao meio.

Isso é tudo? Ou talvez ela divida outra coisa ao meio? Imagine isso!

2. Teorema: A mediana divide a área ao meio.

Por que? Vamos lembrar o máximo forma simplesárea do triângulo.

E aplicamos essa fórmula duas vezes!

Veja, a mediana é dividida em dois triângulos: e. Mas! Eles têm a mesma altura -! Somente nesta altura ele cai para o lado, e em - do lado da continuação. Surpreendentemente, isso também acontece: os triângulos são diferentes, mas a altura é a mesma. E agora aplicaremos a fórmula duas vezes.

O que isso significaria? Olha a foto. Na verdade, existem duas afirmações neste teorema. Você percebeu isso?

Primeira declaração: as medianas se cruzam em um ponto.

Segunda declaração: O ponto de intersecção da mediana é dividido em uma proporção, contando a partir do vértice.

Vamos tentar desvendar o segredo deste teorema:

Vamos conectar os pontos e. O que aconteceu?

Agora vamos desenhar outra linha do meio: marque o meio - coloque um ponto, marque o meio - coloque um ponto.

Agora - a linha do meio. Aquilo é

1. paralelo;

Notou alguma coincidência? Ambos e são paralelos. E e.

O que se segue disso?

1. paralelo;

Claro, apenas para um paralelogramo!

Isso significa que é um paralelogramo. E daí? Vamos lembrar as propriedades de um paralelogramo. Por exemplo, o que você sabe sobre as diagonais de um paralelogramo? Isso mesmo, eles dividem o ponto de intersecção ao meio.

Vejamos o desenho novamente.

Ou seja, a mediana é dividida por pontos em três partes iguais. E exatamente o mesmo.

Isso significa que ambas as medianas foram separadas por um ponto na razão, ou seja, e.

O que acontecerá com a terceira mediana? Voltemos ao início. Oh Deus?! Não, agora tudo será muito mais curto. Vamos descartar a mediana e fazer as medianas e.

Agora imagine que realizamos exatamente o mesmo raciocínio que para as medianas e. E então?

Acontece que a mediana dividirá a mediana exatamente da mesma maneira: em uma proporção, contando a partir do ponto.

Mas quantos pontos podem existir em um segmento que o divide em uma proporção, contando a partir do ponto?

Claro, apenas um! E já vimos isso - esse é o ponto.

O que aconteceu no final?

A mediana definitivamente passou! Todas as três medianas passaram por ele. E todos ficaram divididos em atitude, contando de cima para baixo.

Então resolvemos (provamos) o teorema. A solução acabou sendo um paralelogramo dentro de um triângulo.

4. Fórmula para comprimento mediano

Como encontrar o comprimento da mediana se os lados são conhecidos? Tem certeza de que precisa disso? Vamos revelar um segredo terrível: esta fórmula não é muito útil. Mesmo assim, vamos escrever, mas não vamos provar (se você estiver interessado na prova, veja o próximo nível).

Como podemos entender por que isso acontece?

Vamos observar com atenção. Não apenas um triângulo, mas um retângulo.

Então vamos considerar um retângulo.

Você notou que nosso triângulo é exatamente a metade desse retângulo?

Vamos desenhar uma diagonal

Você se lembra que as diagonais de um retângulo são iguais e dividem o ponto de intersecção ao meio? (Se não lembra, veja o tópico)
Mas uma das diagonais é a nossa hipotenusa! Isso significa que o ponto de intersecção das diagonais é o meio da hipotenusa. Foi chamado de nosso.

Isto significa que metade da segunda diagonal é a nossa mediana. As diagonais são iguais e, claro, suas metades também. Isso é o que vamos conseguir

Além disso, isso só acontece em um triângulo retângulo!

Não vamos provar esta afirmação, mas para acreditar, pense por si mesmo: existe algum outro paralelogramo com diagonais iguais, exceto um retângulo? Claro que não! Bem, isso significa que a mediana pode ser igual a meio lado apenas num triângulo retângulo. Vamos ver como essa propriedade ajuda a resolver problemas.

Aqui está a tarefa:

Para os lados; . A mediana é traçada a partir do vértice. Descubra se.

Viva! Você pode aplicar o teorema de Pitágoras! Viu como é ótimo? Se não soubéssemos que a mediana é metade do lado apenas em um triângulo retângulo, não há como resolver esse problema. E agora podemos!

Aplicamos o teorema de Pitágoras:

MEDIANA. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

1. A mediana divide o lado ao meio.

2. Teorema: a mediana divide a área ao meio

4. Fórmula para comprimento mediano

Teorema inverso: se a mediana for igual à metade do lado, então o triângulo é retângulo e essa mediana é desenhada até a hipotenusa.

Bem, o assunto acabou. Se você está lendo estas linhas, significa que você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas conseguem dominar algo sozinhas. E se você ler até o fim, você está nesses 5%!

Agora o mais importante.

Você entendeu a teoria sobre este tópico. E, repito, isso... isso é simplesmente fantástico! Você já é melhor do que a grande maioria de seus colegas.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

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Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

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Mas isto não é o principal.

O principal é que eles fiquem MAIS FELIZES (existem estudos desse tipo). Talvez porque muito mais oportunidades se abram diante deles e a vida se torne mais brilhante? Não sei...

Mas pense por si mesmo...

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Propriedades da mediana triângulo retângulo

Determinando a mediana

• As medianas de um triângulo se cruzam em um ponto e são divididas por este ponto em duas partes na proporção de 2:1, contando a partir do vértice do ângulo. O ponto de sua intersecção é chamado de centro de gravidade do triângulo (relativamente raramente em problemas, o termo “centróide” é usado para designar este ponto),
• A mediana divide um triângulo em dois triângulos de tamanhos iguais.
• Um triângulo é dividido por três medianas em seis triângulos iguais.
• O lado maior do triângulo corresponde à mediana menor.

Os problemas de geometria propostos para solução utilizam principalmente os seguintes propriedades da mediana de um triângulo retângulo.

• A soma dos quadrados das medianas colocadas nos catetos de um triângulo retângulo é igual a cinco quadrados da mediana colocadas na hipotenusa (Fórmula 1)
• Mediana caiu para a hipotenusa de um triângulo retângulo igual à metade da hipotenusa(Fórmula 2)
• A mediana da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao raio do círculo circunscrito em torno dado triângulo retângulo (Fórmula 2)
• A mediana baixada para a hipotenusa é igual à metade da raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos(Fórmula 3)
• A mediana abaixada até a hipotenusa é igual ao quociente do comprimento da perna dividido por dois senos do ângulo agudo oposto à perna (Fórmula 4)
• A mediana abaixada até a hipotenusa é igual ao quociente do comprimento da perna dividido por dois cossenos do ângulo agudo adjacente à perna (Fórmula 4)
• A soma dos quadrados dos lados de um triângulo retângulo é igual a oito quadrados da mediana reduzida à sua hipotenusa (Fórmula 5)

Notação em fórmulas:

um, b- pernas de um triângulo retângulo

c- hipotenusa de um triângulo retângulo

Se denotarmos um triângulo como ABC, então

AC = A

(aquilo é lados a,b,c- são opostos aos ângulos correspondentes)

eu a- mediana desenhada para a perna a

eu b- mediana desenhada para a perna b

eu c - mediana de um triângulo retângulo, desenhado para a hipotenusa com

α (alfa)- ângulo CAB lado oposto a

Problema sobre mediana em triângulo retângulo

As medianas de um triângulo retângulo traçado até os catetos são iguais a 3 cm e 4 cm, respectivamente. Encontre a hipotenusa do triângulo

Solução

Antes de começar a resolver o problema, prestemos atenção à razão entre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo e a mediana que desce sobre ela. Para fazer isso, vamos recorrer às fórmulas 2, 4, 5 propriedades da mediana em um triângulo retângulo. Essas fórmulas indicam claramente a razão entre a hipotenusa e a mediana, que é reduzida a ela como 1 para 2. Portanto, para conveniência de cálculos futuros (o que não afetará de forma alguma a correção da solução, mas a tornará mais conveniente), denotamos os comprimentos das pernas AC e BC pelas variáveis ​​x e y como 2x e 2y (não x e y).

Considere o triângulo retângulo ADC. O ângulo C é correto de acordo com as condições do problema, a perna AC é comum ao triângulo ABC e a perna CD é igual à metade BC de acordo com as propriedades da mediana. Então, de acordo com o teorema de Pitágoras

AC 2 + CD 2 = AD 2

Como AC = 2x, CD = y (já que a mediana divide a perna em duas partes iguais), então
4x 2 + y 2 = 9

Simultaneamente, considere o triângulo retângulo EBC. Também possui um ângulo reto C de acordo com as condições do problema, o cateto BC é comum ao cateto BC do triângulo original ABC, e o cateto EC, pela propriedade da mediana, é igual à metade do cateto AC do triângulo original. ABC.
De acordo com o teorema de Pitágoras:
CE 2 + BC 2 = SER 2

Como EC = x (a mediana divide a perna ao meio), BC = 2y, então
x 2 + 4y 2 = 16

Como os triângulos ABC, EBC e ADC estão interligados por lados comuns, ambas as equações resultantes também estão interligadas.
Vamos resolver o sistema de equações resultante.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

Ao estudar qualquer tema de um curso escolar, você pode selecionar um determinado mínimo de problemas e, tendo dominado os métodos para resolvê-los, os alunos serão capazes de resolver qualquer problema no nível dos requisitos do programa sobre o tema em estudo. Proponho considerar problemas que permitirão ver as inter-relações de tópicos individuais no curso escolar de matemática. Portanto, o sistema compilado de tarefas é Meios eficazes repetição, generalização e sistematização material educacional enquanto prepara os alunos para o exame.

Para passar no exame não será supérfluo Informações adicionais sobre alguns elementos de um triângulo. Consideremos as propriedades da mediana de um triângulo e os problemas para resolver quais dessas propriedades podem ser usadas. As tarefas propostas implementam o princípio da diferenciação de níveis. Todas as tarefas são condicionalmente divididas em níveis (o nível é indicado entre parênteses após cada tarefa).

Vamos relembrar algumas propriedades da mediana de um triângulo

Propriedade 1. Prove que a mediana de um triângulo abc, desenhado a partir do vértice A, menos da metade da soma dos lados AB E A.C..

Prova

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Propriedade 2. A mediana corta o triângulo em duas áreas iguais.

Prova

Vamos desenhar do vértice B do triângulo ABC a mediana BD e a altura BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Como o segmento BD é a mediana, então

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Mediana" align="left" width="196" height="75 src=">!} Propriedade 4. As medianas de um triângulo dividem o triângulo em 6 triângulos iguais.

Prova

Vamos provar que a área de cada um dos seis triângulos em que as medianas dividem o triângulo ABC é igual à área do triângulo ABC. Para fazer isso, considere, por exemplo, o triângulo AOF e solte uma perpendicular AK do vértice A até a linha BF.

Devido à propriedade 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Mediana" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Propriedade 6. A mediana de um triângulo retângulo traçado a partir do vértice do ângulo reto é igual à metade da hipotenusa.

Prova

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Mediana" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Consequências:1. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está no meio da hipotenusa.

2. Se em um triângulo o comprimento da mediana for igual à metade do comprimento do lado para o qual ela é desenhada, então esse triângulo é retângulo.

TAREFAS

Ao resolver cada problema subsequente, são utilizadas propriedades comprovadas.

№1 Tópicos: Dobrando a mediana. Dificuldade: 2+

Sinais e propriedades de um paralelogramo Notas: 8,9

Doença

Na continuação da mediana SOU. triângulo abc por ponto M segmento adiado Médico, igual SOU.. Prove que o quadrilátero ABDC- paralelogramo.

Solução

Vamos usar um dos sinais de um paralelogramo. Diagonais de um quadrilátero ABDC cruzar em um ponto M e divida ao meio, então o quadrilátero ABDC- paralelogramo.