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Um ângulo é uma figura que consiste em um ponto - o vértice do ângulo e duas meias-linhas diferentes que emanam deste ponto - os lados do ângulo (Fig. 14). Se os lados de um ângulo forem meias-linhas complementares, então o ângulo é chamado de ângulo desenvolvido.

Um ângulo é designado indicando seu vértice, ou indicando seus lados, ou indicando três pontos: o vértice e dois pontos nos lados do ângulo. A palavra "ângulo" às vezes é substituída

O símbolo do Ângulo na Figura 14 pode ser designado de três maneiras:

Diz-se que um raio c passa entre os lados de um ângulo se vier de seu vértice e interceptar algum segmento com extremidades nos lados do ângulo.

Na Figura 15, o raio c passa entre os lados do ângulo ao cruzar o segmento

No caso de um ângulo reto, qualquer raio que emana de seu vértice e diferente de seus lados passa entre os lados do ângulo.

Os ângulos são medidos em graus. Se você pegar um ângulo reto e dividi-lo em 180 ângulos iguais, a medida em graus de cada um desses ângulos é chamada de grau.

As propriedades básicas da medição do ângulo são expressas no seguinte axioma:

Cada ângulo tem uma certa medida de grau, maior que zero. O ângulo girado é 180°. Medida de grauângulo é igual à soma das medidas de graus dos ângulos em que é dividido por qualquer raio que passa entre seus lados.

Isso significa que se um raio c passa entre os lados de um ângulo, então o ângulo é igual à soma dos ângulos

A medida do grau de um ângulo é encontrada usando um transferidor.

Um ângulo igual a 90° é chamado de ângulo reto. Um ângulo menor que 90° é chamado de ângulo agudo. Um ângulo maior que 90° e menor que 180° é chamado de obtuso.

Formulemos a propriedade principal de reservar cantos.

A partir de qualquer meia linha, em um determinado semiplano, você pode colocar um ângulo com uma determinada medida de grau menor que 180°, e apenas um.

Considere a meia linha a. Vamos estendê-lo por ponto de partida A. A linha reta resultante divide o plano em dois semiplanos. A Figura 16 mostra como, usando um transferidor, traçar um ângulo com uma determinada medida de grau de 60° de uma semi-reta até o semiplano superior.

T. 1. 2. Se dois ângulos de uma determinada meia-linha forem colocados em um semiplano, então o lado do ângulo menor, diferente da meia-linha dada, passa entre os lados do ângulo maior.

Sejam os ângulos separados de uma determinada meia linha a em um semiplano, e seja o ângulo menor que o ângulo . O Teorema 1.2 afirma que o raio passa entre os lados do ângulo (Fig. 17).

A bissetriz de um ângulo é o raio que emana de seu vértice, passa entre os lados e divide o ângulo ao meio. Na Figura 18, o raio é a bissetriz do ângulo

Na geometria existe o conceito de ângulo plano. Um ângulo plano é uma parte de um plano delimitada por dois raios diferentes que emanam de um ponto. Esses raios são chamados de lados do ângulo. Existem dois ângulos planos com lados dados. Eles são chamados de adicionais. Na Figura 19, um dos ângulos planos com os lados a e está sombreado.

Instruções

Um arco é uma parte de um círculo delimitado entre dois pontos situados neste círculo. Qualquer arco pode ser expresso através de valores numéricos. Dela característica principal Junto com o comprimento está o valor da medida de grau.

Mas quando um arco é isolado em um círculo, outro é formado. Portanto, para entender inequivocamente de qual arco estamos falando, marque outro ponto no arco selecionado, por exemplo, C. Então ele assumirá a forma ABC.

O segmento formado por dois pontos que limitam o arco é uma corda.

A medida do grau de um arco pode ser encontrada através do valor do ângulo inscrito, que, tendo um vértice no próprio círculo, repousa sobre o arco dado. Tal ângulo é chamado de ângulo inscrito e sua medida de grau é igual à metade do arco sobre o qual ele repousa.

Também existe um ângulo central em um círculo. Ele também repousa sobre o arco desejado, e seu topo não está mais no círculo, mas no centro. E seu valor numérico não é mais igual à metade do grau do arco, mas ao seu valor total.

Tendo entendido como um arco é calculado através do ângulo apoiado nele, você pode aplicar esta lei na direção oposta e derivar a regra de que o ângulo inscrito que repousa no diâmetro é correto. Como o diâmetro divide o círculo em duas partes iguais, isso significa que qualquer um dos arcos tem valor de 180 graus. Portanto, o ângulo inscrito é de 90 graus.

Além disso, com base no método de busca do valor do grau de um arco, é verdadeira a regra de que os ângulos baseados em um arco têm valor igual.

A medida do grau de um arco é frequentemente usada para calcular o comprimento de um círculo ou do próprio arco. Para fazer isso, use a fórmula L= π*R*α/180.

A palavra "" tem diferentes interpretações. Na geometria, um ângulo é parte de um plano delimitado por dois raios que emanam de um ponto - o vértice. Quando estamos falando sobre sobre ângulos retos, agudos e desdobrados, então são os ângulos geométricos que se referem.

Como qualquer figura geométrica, os ângulos podem ser comparados. A igualdade dos ângulos é determinada pelo movimento. É fácil dividir o ângulo em duas partes iguais. Dividir em três partes é um pouco mais difícil, mas ainda pode ser feito com régua e compasso. Aliás, essa tarefa parecia bastante difícil. Descrever que um ângulo é maior ou menor que outro é geometricamente simples.

A unidade de medida para ângulos é 1/180 de um ângulo desenvolvido. A magnitude do ângulo é um número que indica o quanto o ângulo escolhido como unidade de medida se enquadra na figura em questão.

Todo ângulo tem uma medida de grau maior que zero. Um ângulo reto é de 180 graus. A medida de grau de um ângulo é considerada igual à soma das medidas de grau dos ângulos em que ele é dividido por qualquer raio no plano delimitado por seus lados.

Um ângulo com medida de certo grau não superior a 180 pode ser traçado a partir de qualquer raio em um determinado plano. Além disso, haverá apenas um desses ângulos. A medida de um ângulo plano, que faz parte de um semiplano, é a medida em graus de um ângulo com lados semelhantes. A medida do plano de um ângulo contendo um semiplano é o valor 360 – α, onde α é a medida em grau do ângulo do plano complementar.

A medida do grau de um ângulo permite passar de uma descrição geométrica para uma numérica. Assim, um ângulo reto é um ângulo igual a 90 graus, um ângulo obtuso é um ângulo menor que 180 graus, mas maior que 90, um ângulo agudo não excede 90 graus.

Além dos graus, existe uma medida de ângulo em radianos. Na planimetria, o comprimento é L, o raio é r e o ângulo central correspondente é α. Além disso, esses parâmetros estão relacionados pela relação α = L/r. Esta é a base da medida radiana dos ângulos. Se L=r, então o ângulo α será igual a um radiano. Assim, a medida em radianos de um ângulo é a razão entre o comprimento de um arco desenhado com um raio arbitrário e delimitado entre os lados desse ângulo e o raio do arco. Uma rotação completa em graus (360 graus) corresponde a 2π em radianos. Um é 57,2958 graus.

Vídeo sobre o tema

Fontes:

• fórmula de medida de grau de ângulos

A medição de quantidades planas em graus foi inventada na antiga Babilônia, muito antes do início de nossa era. Os moradores deste estado preferiam o sistema de notação sexagesimal, então dividir os ângulos em 180 ou 360 unidades parece um pouco estranho hoje. No entanto, os propostos em sistema moderno Unidades de medida SI que são múltiplos de Pi são igualmente estranhas. Estas duas opções não se limitam às designações de ângulos utilizadas hoje, por isso a tarefa de converter seus valores em medidas de graus surge com bastante frequência.

Instruções

Se você precisar converter a magnitude de um ângulo em radianos em uma medida de graus, proceda do fato de que um grau corresponde a um número de radianos igual a 1/180 do número Pi. Esta constante matemática possui um número infinito de casas decimais, portanto o fator de conversão também é uma fração decimal infinita. Isto é o que é absolutamente valor exato em formato decimal Não será possível obter, portanto o fator de conversão deverá ser arredondado. Por exemplo, com uma precisão de um bilionésimo de unidade, o coeficiente calculado será igual a 0,017453293. Após arredondar para o número necessário de casas decimais, divida o número original de radianos por este fator e você obterá a medida em graus do ângulo.

Medida de grau do ângulo. Medida radiana do ângulo. Convertendo graus em radianos e vice-versa.

Atenção!
Existem adicionais
materiais na Seção Especial 555.
Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

Na lição anterior aprendemos como medir ângulos em um círculo trigonométrico. Aprendeu a contar ângulos positivos e negativos. Aprendemos como desenhar um ângulo maior que 360 ​​graus. É hora de descobrir como medir ângulos. Principalmente com o número “Pi”, que busca nos confundir em tarefas complicadas, sim...

Problemas padrão em trigonometria com o número "Pi" são bem resolvidos. A memória visual ajuda. Mas qualquer desvio do modelo é um desastre! Para evitar cair - entender necessário. Que é o que faremos agora com sucesso. Quer dizer, vamos entender tudo!

Então, o que os ângulos contam? No curso escolar de trigonometria, são utilizadas duas medidas: medida de grau do ângulo E medida do ângulo radiano. Vejamos essas medidas. Sem isso, não há lugar nenhum na trigonometria.

Medida de grau do ângulo.

De alguma forma, nos acostumamos com os graus. Pelo menos passamos em geometria... E na vida muitas vezes nos deparamos com a frase “girado 180 graus”, por exemplo. Um diploma, em suma, é uma coisa simples...

Sim? Responda-me então o que é um diploma? O quê, não funciona imediatamente? É isso...

Os graus foram inventados na Antiga Babilônia. Foi há muito tempo... há 40 séculos... E eles tiveram uma ideia simples. Eles pegaram e dividiram o círculo em 360 partes iguais. 1 grau é 1/360 de um círculo. Isso é tudo. Eles poderiam ter quebrado em 100 pedaços. Ou 1000. Mas dividiram em 360. Aliás, por que exatamente 360? Como 360 é melhor que 100? 100 parece ser de alguma forma mais suave... Tente responder a esta pergunta. Ou fraco contra a Antiga Babilônia?

Em algum lugar ao mesmo tempo, em Antigo Egito foram atormentados por outra pergunta. Quantas vezes o comprimento de um círculo é maior que o comprimento do seu diâmetro? E eles mediram assim e daquele jeito... Tudo acabou sendo um pouco mais de três. Mas de alguma forma ficou desgrenhado, desigual... Mas eles, os egípcios, não têm culpa. Depois deles, sofreram por mais 35 séculos. Até que finalmente provaram que não importa quão fino você corte um círculo em pedaços iguais, a partir desses pedaços você pode fazer suave o comprimento do diâmetro é impossível... Em princípio, é impossível. Bem, quantas vezes a circunferência é maior que o diâmetro foi estabelecido, é claro. Aproximadamente. 3,1415926...vezes.

Este é o número "Pi". Tão peludo, tão peludo. Após a vírgula há um número infinito de números sem qualquer ordem... Esses números são chamados de irracionais. A propósito, isso significa que de partes iguais de um círculo o diâmetro suave não dobre. Nunca.

Para aplicação práticaÉ comum lembrar apenas dois dígitos após a vírgula. Lembrar:

Como entendemos que a circunferência de um círculo é maior que seu diâmetro em “Pi” vezes, faz sentido lembrar a fórmula da circunferência de um círculo:

Onde eu- circunferência, e d- seu diâmetro.

Útil em geometria.

Para educação geral Acrescentarei que o número “Pi” não é encontrado apenas na geometria... Em vários ramos da matemática, e especialmente na teoria das probabilidades, este número aparece constantemente! Por si só. Além dos nossos desejos. Assim.

Mas voltemos aos graus. Você já descobriu por que na Antiga Babilônia o círculo era dividido em 360 partes iguais? E não por 100, por exemplo? Não? OK. Vou te dar uma versão. Você não pode perguntar aos antigos babilônios... Para construção, ou, digamos, astronomia, é conveniente dividir o círculo em partes iguais. Agora descubra por quais números ele é divisível completamente 100 e quais - 360? E em que versão desses divisores completamente- mais? Esta divisão é muito conveniente para as pessoas. Mas...

Como descobrimos muito depois da Antiga Babilônia, nem todo mundo gosta de diplomas. A matemática superior não gosta deles... A matemática superior é uma senhora séria, organizada de acordo com as leis da natureza. E esta senhora declara: “Hoje você quebrou o círculo em 360 partes, amanhã você o dividirá em 100, depois de amanhã em 245... E o que devo fazer, não, sério...” Eu tive que ouvir. Você não pode enganar a natureza...

Tivemos que introduzir uma medida de ângulo que não dependesse de invenções humanas. Encontrar - radiano!

Medida radiana do ângulo.

O que é um radiano? A definição de radiano ainda é baseada em um círculo. Um ângulo de 1 radiano é um ângulo que corta um arco de um círculo cujo comprimento é ( eu) é igual ao comprimento do raio ( R). Vejamos as fotos.

Um ângulo tão pequeno que é quase inexistente... Passamos o cursor sobre a imagem (ou tocamos na imagem no tablet) e vemos cerca de um radiano. eu = R

Você sente a diferença?

Um radiano é muito mais que um grau. Quantas vezes?

Vejamos a próxima foto. No qual desenhei um semicírculo. O ângulo desdobrado é, naturalmente, 180°.

Agora vou cortar este semicírculo em radianos! Passamos o cursor sobre a imagem e vemos que 180° cabe em 3 radianos e meio.

Quem pode adivinhar a que essa cauda é igual!?

Sim! Essa cauda é 0,1415926.... Olá, número "Pi", ainda não esquecemos de você!

Na verdade, 180° graus contém 3,1415926... radianos. Como você mesmo entende, escrever 3.1415926 o tempo todo... é inconveniente. Portanto, em vez desse número infinito, eles sempre escrevem de forma simples:

Mas na Internet o número

É inconveniente escrever... É por isso que escrevo o nome dele no texto - “Pi”. Não se confunda, ok?...

Agora podemos escrever uma igualdade aproximada de uma forma completamente significativa:

Ou igualdade exata:

Vamos determinar quantos graus tem um radiano. Como? Facilmente! Se houver 180° graus em 3,14 radianos, então haverá 3,14 vezes menos em 1 radiano! Ou seja, dividimos a primeira equação (a fórmula também é uma equação!) por 3,14:

É útil lembrar essa proporção. Um radiano equivale a aproximadamente 60°. Na trigonometria, muitas vezes é necessário estimar e avaliar a situação. É aqui que esse conhecimento ajuda muito.

Mas a principal habilidade deste tópico é convertendo graus em radianos e vice-versa.

Se o ângulo for dado em radianos com o número “Pi”, tudo é muito simples. Sabemos que “Pi” radianos = 180°. Então substituímos radianos por “Pi” - 180°. Obtemos o ângulo em graus. Reduzimos o que está reduzido e a resposta está pronta. Por exemplo, precisamos descobrir quantos graus no ângulo "Pi"/2 radiano? Então escrevemos:

Ou, uma expressão mais exótica:

Fácil, certo?

A tradução reversa é um pouco mais complicada. Mas não muito. Se o ângulo for dado em graus, devemos descobrir a que um grau é igual em radianos e multiplicar esse número pelo número de graus. A que 1° é igual em radianos?

Observamos a fórmula e percebemos que se 180° = “Pi” radianos, então 1° é 180 vezes menor. Ou, em outras palavras, dividimos a equação (uma fórmula também é uma equação!) por 180. Não há necessidade de representar “Pi” como 3,14; Descobrimos que um grau é igual a:

É isso. Multiplicamos o número de graus por este valor e obtemos o ângulo em radianos. Por exemplo:

Ou, da mesma forma:

Como você pode ver, em uma conversa descontraída com digressões líricas Descobriu-se que os radianos são muito simples. E a tradução não é problema... E “Pi” é uma coisa completamente tolerável... Então de onde vem a confusão!?

Vou revelar o segredo. O fato é que nas funções trigonométricas está escrito o símbolo dos graus. Sempre. Por exemplo, sen35°. Este é o seno 35 graus . E o ícone radiano ( alegre) - não escrito! Está implícito. Ou os matemáticos foram dominados pela preguiça, ou por outra coisa... Mas decidiram não escrever. Se não houver símbolos dentro da seno-cotangente, então o ângulo é em radianos ! Por exemplo, cos3 é o cosseno de três radianos .

Isto leva à confusão... Uma pessoa vê “Pi” e acredita que é 180°. Sempre e em todo lugar. A propósito, isso funciona. Por enquanto, os exemplos são padrão. Mas “Pi” é um número! O número é 3,14, mas não graus! Isto é radianos "Pi" = 180°!

Mais uma vez: “Pi” é um número! 3.14. Irracional, mas um número. O mesmo que 5 ou 8. Você pode, por exemplo, executar etapas "Pi". Três passos e um pouco mais. Ou compre quilos de doces "Pi". Se um vendedor educado se deparar...

"Pi" é um número! O que, eu te irritei com essa frase? Você já entendeu tudo há muito tempo? OK. Vamos verificar. Diga-me, qual número é maior?

Ou o que é menos?

Isso é meio que uma série perguntas fora do padrão, o que pode levá-lo ao estupor...

Se você também caiu em estupor, lembre-se do feitiço: “Pi” é um número! 3.14. No primeiro seno está claramente afirmado que o ângulo é em graus! Portanto, é impossível substituir “Pi” por 180°! Os graus "Pi" são aproximadamente 3,14°. Portanto, podemos escrever:

Não há notações no segundo seno. Então, aí - radianos! É aqui que substituir “Pi” por 180° funcionará perfeitamente. Convertendo radianos em graus, conforme escrito acima, obtemos:

Resta comparar esses dois senos. O que. esqueci como? Usando um círculo trigonométrico, é claro! Desenhe um círculo, desenhe ângulos aproximados de 60° e 1,05°. Vamos ver quais são os senos desses ângulos. Resumindo, tudo está descrito no final do tópico sobre o círculo trigonométrico. Num círculo (mesmo o torto!) será claramente visível que sen60° significativamente mais do que sen1,05°.

Faremos exatamente a mesma coisa com os cossenos. No círculo desenharemos ângulos de aproximadamente 4 graus e 4 radiano(Você esqueceu a que 1 radiano é aproximadamente igual?). O círculo dirá tudo! Claro, cos4 é menor que cos4°.

Vamos praticar o uso de medidas angulares.

Converta esses ângulos de graus para radianos:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Você deve obter esses valores em radianos (em uma ordem diferente!)

0

A propósito, destaquei especificamente as respostas em duas linhas. Bem, vamos descobrir quais são os cantos da primeira linha? Pelo menos em graus, pelo menos em radianos?

Sim! Estes são os eixos do sistema de coordenadas! Se você olhar para um círculo trigonométrico, então o lado móvel do ângulo com esses valores cabe exatamente nos eixos. Esses valores precisam ser conhecidos. E notei o ângulo de 0 graus (0 radianos) por um bom motivo. E então algumas pessoas simplesmente não conseguem encontrar esse ângulo em um círculo... E, conseqüentemente, ficam confusos nas funções trigonométricas de zero... Outra coisa é que a posição do lado móvel em zero graus coincide com a posição em 360°, então há coincidências completas no círculo próximo.

Na segunda linha também existem ângulos especiais... São 30°, 45° e 60°. E o que há de tão especial neles? Nada de especial. A única diferença entre esses ângulos e todos os outros é que você deve saber sobre esses ângulos Todos. E onde eles estão localizados e quais funções trigonométricas esses ângulos possuem. Digamos o valor sen100° você não precisa saber. UM sen45°- por favor, seja tão gentil! Este é um conhecimento obrigatório, sem o qual não há nada a fazer em trigonometria... Mas mais sobre isso na próxima lição.

Enquanto isso, vamos continuar treinando. Converta esses ângulos de radianos para graus:

Você deve obter resultados como este (desordenados):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Funcionou? Então podemos assumir que convertendo graus em radianos e vice-versa- não é mais problema seu.) Mas traduzir ângulos é o primeiro passo para entender a trigonometria. Lá você também precisa trabalhar com senos e cossenos. E com tangentes e cotangentes também...

O segundo passo poderoso é a capacidade de determinar a posição de qualquer ângulo em um círculo trigonométrico. Tanto em graus quanto em radianos. Vou te dar dicas chatas sobre essa habilidade ao longo da trigonometria, sim...) Se você sabe tudo (ou acha que sabe tudo) sobre o círculo trigonométrico e a medição de ângulos no círculo trigonométrico, você pode conferir. Resolva estas tarefas simples:

1. Em que quarto os ângulos se enquadram:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Facilmente? Vamos continuar:

2. Em que quarto os cantos se enquadram:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Não tem problema também? Bem, olhe...)

3. Você pode colocar os cantos em quartos:

Você poderia? Bem, você dá..)

4. Em quais eixos o canto cairá:

e canto:

Também é fácil? Hum...)

5. Em que quadrante se enquadram os cantos:

E funcionou!? Bem, então eu realmente não sei...)

6. Determine em qual quarto os cantos se enquadram:

1, 2, 3 e 20 radianos.

Eu só darei uma resposta para última pergunta(ele é um pouco complicado) última tarefa. Um ângulo de 20 radianos cairá no primeiro quarto.

Não darei o resto das respostas, não por ganância.) Simplesmente, se você ainda não decidi algo você duvida como resultado, ou gasto na tarefa nº 4 mais de 10 segundos, você está mal orientado em um círculo. Este será o seu problema em toda a trigonometria. É melhor livrar-se dele (o problema, não a trigonometria!) imediatamente. Isso pode ser feito no tópico: Trabalho prático com o círculo trigonométrico na seção 555.

Diz como resolver tais tarefas de forma simples e correta. Bem, essas tarefas foram resolvidas, é claro. E a quarta tarefa foi resolvida em 10 segundos. Sim, foi decidido que qualquer um pode fazer isso!

Se você está absolutamente confiante em suas respostas e não está interessado em maneiras simples e sem problemas de trabalhar com radianos, não precisa visitar 555. Não insisto.)

Uma boa compreensão é uma razão boa o suficiente para seguir em frente!)

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A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Notas importantes!
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Termos básicos.

Você se lembra bem de todos os nomes associados ao círculo? Por precaução, deixe-nos lembrá-lo - veja as fotos - atualize seus conhecimentos.

Bem, em primeiro lugar - O centro de um círculo é um ponto a partir do qual as distâncias de todos os pontos do círculo são iguais.

Em segundo lugar - raio - um segmento de linha conectando o centro e um ponto no círculo.

Existem muitos raios (tantos quantos pontos no círculo), mas Todos os raios têm o mesmo comprimento.

Às vezes, brevemente raio eles chamam isso exatamente comprimento do segmento“o centro é um ponto do círculo” e não o segmento em si.

E aqui está o que acontece se você conectar dois pontos em um círculo? Também é um segmento?

Então, esse segmento é chamado "acorde".

Assim como no caso do raio, o diâmetro costuma ser o comprimento de um segmento que conecta dois pontos de um círculo e passa pelo centro. A propósito, como o diâmetro e o raio estão relacionados? Olhe com atenção. Claro o raio é igual à metade do diâmetro.

Além dos acordes, também existem secantes.

Lembra da coisa mais simples?

Ângulo central é o ângulo entre dois raios.

E agora - o ângulo inscrito

Ângulo inscrito - o ângulo entre duas cordas que se cruzam em um ponto de um círculo.

Neste caso, dizem que o ângulo inscrito repousa sobre um arco (ou sobre uma corda).

Veja a foto:

Medições de arcos e ângulos.

Circunferência. Arcos e ângulos são medidos em graus e radianos. Primeiro, sobre graus. Não há problemas com ângulos - você precisa aprender como medir o arco em graus.

A medida de grau (tamanho do arco) é o valor (em graus) do ângulo central correspondente

O que a palavra “apropriado” significa aqui? Vejamos com atenção:

Você vê dois arcos e dois ângulos centrais? Bem, isso corresponde a um arco maior ângulo maior(e está tudo bem que seja maior), e um arco menor corresponde a um ângulo menor.

Então, concordamos: o arco contém o mesmo número de graus que o ângulo central correspondente.

E agora sobre o que é assustador - sobre radianos!

Que tipo de animal é esse “radiano”?

Imaginar: Radianos são uma forma de medir ângulos... em raios!

Um ângulo de radianos é um ângulo central cujo comprimento do arco é igual ao raio do círculo.

Então surge a pergunta - quantos radianos existem em um ângulo reto?

Em outras palavras: quantos raios “cabem” em um semicírculo? Ou de outra forma: quantas vezes o comprimento de um semicírculo é maior que o raio?

Os cientistas fizeram esta pergunta na Grécia Antiga.

E assim, depois longa pesquisa eles descobriram que a razão entre a circunferência e o raio não quer ser expressa em números “humanos” como, etc.

E nem é possível expressar essa atitude através das raízes. Ou seja, acontece que é impossível dizer que meio círculo é vezes ou vezes maior que o raio! Você pode imaginar como foi incrível para as pessoas descobrirem isso pela primeira vez?! Para a relação entre o comprimento de um semicírculo e o raio, os números “normais” não eram suficientes. Eu tive que digitar uma carta.

Então, - este é um número que expressa a razão entre o comprimento do semicírculo e o raio.

Agora podemos responder à pergunta: quantos radianos existem num ângulo reto? Ele contém radianos. Precisamente porque metade do círculo é vezes maior que o raio.

Povos antigos (e não tão antigos) ao longo dos séculos (!) tentei calcular com mais precisão esse número misterioso, para melhor expressá-lo (pelo menos aproximadamente) por meio de números “comuns”. E agora somos incrivelmente preguiçosos - dois sinais depois de um dia agitado são suficientes para nós, estamos acostumados

Pense bem, isso significa, por exemplo, que o comprimento de um círculo com raio de um é aproximadamente igual, mas esse comprimento exato é simplesmente impossível de anotar com um número “humano” - você precisa de uma letra. E então esta circunferência será igual. E claro, a circunferência do raio é igual.

Voltemos aos radianos.

Já descobrimos que um ângulo reto contém radianos.

O que temos:

Isso significa que estou feliz, isto é, estou feliz. Da mesma forma, obtém-se uma placa com os ângulos mais populares.

A relação entre os valores dos ângulos inscritos e centrais.

Há um fato surpreendente:

O ângulo inscrito tem metade do tamanho do ângulo central correspondente.

Veja como essa afirmação fica na foto. Um ângulo central “correspondente” é aquele cujas extremidades coincidem com as extremidades do ângulo inscrito e o vértice está no centro. E, ao mesmo tempo, o ângulo central “correspondente” deve “olhar” para a mesma corda () que o ângulo inscrito.

Por que isso acontece? Vejamos primeiro um caso simples. Deixe um dos acordes passar pelo centro. Às vezes acontece assim, certo?

O que acontece aqui? Vamos considerar. Afinal, é isósceles e - raios. Então, (rotulou-os).

Agora vamos dar uma olhada. Este é o canto externo para! Lembramos que um ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos não adjacentes a ele e escrevemos:

Aquilo é! Efeito inesperado. Mas também existe um ângulo central para o inscrito.

Isto significa que para este caso provaram que o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito. Mas dói demais caso especial: Não é verdade que o acorde nem sempre passa direto pelo centro? Mas tudo bem, agora esse caso específico vai nos ajudar muito. Veja: segundo caso: deixe o centro ficar dentro.

Vamos fazer isso: desenhe o diâmetro. E então... vemos duas fotos que já foram analisadas no primeiro caso. Portanto já temos isso

Isso significa (no desenho, a)

Bem, isso deixa o último caso: o centro está fora do canto.

Fazemos a mesma coisa: desenhamos o diâmetro através da ponta. Tudo é igual, mas em vez de uma soma há uma diferença.

É isso!

Vamos agora formar duas consequências principais e muito importantes da afirmação de que o ângulo inscrito é metade do ângulo central.

Corolário 1

Todos os ângulos inscritos baseados em um arco são iguais entre si.

Ilustramos:

Existem inúmeros ângulos inscritos baseados em um mesmo arco (temos esse arco), eles podem parecer completamente diferentes, mas todos possuem o mesmo ângulo central (), o que significa que todos esses ângulos inscritos são iguais entre si.

Corolário 2

O ângulo subtendido pelo diâmetro é um ângulo reto.

Veja: qual ângulo é central?

Certamente, . Mas ele é igual! Bem, portanto (assim como muitos outros ângulos inscritos apoiados em) e é igual.

Ângulo entre dois acordes e secantes

Mas e se o ângulo que nos interessa NÃO estiver inscrito e NÃO for central, mas, por exemplo, assim:

ou assim?

É possível expressá-lo de alguma forma através de alguns ângulos centrais? Acontece que é possível. Olha: estamos interessados.

a) (como canto externo para). Mas - inscrito, repousa sobre o arco -. - inscrito, repousa sobre o arco - .

Pela beleza eles dizem:

O ângulo entre as cordas é igual à metade da soma dos valores angulares dos arcos encerrados neste ângulo.

Eles escrevem isso por uma questão de brevidade, mas é claro, ao usar esta fórmula, você precisa ter em mente os ângulos centrais

b) E agora - “lá fora”! Como pode ser isso? Sim, quase o mesmo! Só agora (novamente aplicamos a propriedade do ângulo externo para). Isso é agora.

E isso significa... Vamos trazer beleza e brevidade às notas e ao texto:

O ângulo entre as secantes é igual à metade da diferença nos valores angulares dos arcos encerrados neste ângulo.

Bem, agora você está munido de todo o conhecimento básico sobre ângulos relacionados a um círculo. Vá em frente, enfrente os desafios!

CÍRCULO E ÂNGULO INSINALADO. NÍVEL MÉDIO

Até uma criança de cinco anos sabe o que é um círculo, certo? Os matemáticos, como sempre, têm uma definição obscura sobre o assunto, mas não a daremos (veja), mas lembremos como são chamados os pontos, retas e ângulos associados a um círculo.

Termos importantes

Bem, em primeiro lugar:

centro do círculo- um ponto do qual todos os pontos do círculo estão à mesma distância.

Em segundo lugar:

Existe outra expressão aceita: “a corda contrai o arco”. Aqui na figura, por exemplo, a corda subtende o arco. E se um acorde passa repentinamente pelo centro, então ele tem um nome especial: “diâmetro”.

A propósito, como o diâmetro e o raio estão relacionados? Olhe com atenção. Claro

E agora - os nomes dos cantos.

Natural, não é? Os lados do ângulo se estendem do centro - o que significa que o ângulo é central.

É aqui que às vezes surgem dificuldades. Prestar atenção - NENHUM ângulo dentro de um círculo está inscrito, mas apenas aquele cujo vértice “assenta” no próprio círculo.

Vamos ver a diferença nas fotos:

Outra maneira eles dizem:

Há um ponto complicado aqui. Qual é o ângulo central “correspondente” ou “próprio”? Apenas um ângulo com o vértice no centro do círculo e as extremidades nas extremidades do arco? Na verdade. Veja o desenho.

Um deles, porém, nem parece um canto – é maior. Mas um triângulo não pode ter mais ângulos, mas um círculo pode muito bem! Assim: o arco menor AB corresponde a um ângulo menor (laranja), e o arco maior corresponde a um ângulo maior. Simples assim, não é?

A relação entre as magnitudes dos ângulos inscritos e centrais

Lembre-se desta afirmação muito importante:

Nos livros didáticos eles gostam de escrever o mesmo fato assim:

Não é verdade que a formulação é mais simples com ângulo central?

Mas ainda assim, vamos encontrar uma correspondência entre as duas formulações e, ao mesmo tempo, aprender a encontrar nos desenhos o ângulo central “correspondente” e o arco sobre o qual “repousa” o ângulo inscrito.

Veja: aqui está um círculo e um ângulo inscrito:

Onde está o seu ângulo central “correspondente”?

Vejamos novamente:

Qual é a regra?

Mas! Neste caso, é importante que os ângulos inscritos e centrais “olhem” para o arco de um lado. Aqui, por exemplo:

Curiosamente, azul! Porque o arco é longo, maior que meio círculo! Portanto, nunca se confunda!

Que consequência pode ser deduzida da “metade” do ângulo inscrito?

Mas, por exemplo:

Ângulo subtendido pelo diâmetro

Você já percebeu que os matemáticos adoram falar sobre as mesmas coisas. em palavras diferentes? Por que eles precisam disso? Veja, a linguagem da matemática, embora formal, está viva e, portanto, como na linguagem comum, toda vez que você quiser dizê-la da maneira que for mais conveniente. Bem, já vimos o que significa “um ângulo apoiado num arco”. E imagine, a mesma imagem é chamada “um ângulo repousa sobre uma corda”. Qual deles? Sim, claro, para quem aperta esse arco!

Quando é mais conveniente confiar em um acorde do que em um arco?

Bem, especialmente quando este acorde tem diâmetro.

Existe uma declaração surpreendentemente simples, bonita e útil para tal situação!

Veja: aqui está o círculo, o diâmetro e o ângulo que nele repousa.

CÍRCULO E ÂNGULO INSINALADO. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

1. Conceitos básicos.

3. Medições de arcos e ângulos.

Um ângulo de radianos é um ângulo central cujo comprimento do arco é igual ao raio do círculo.

Este é um número que expressa a razão entre o comprimento de um semicírculo e seu raio.

A circunferência do raio é igual a.

4. A relação entre os valores dos ângulos inscritos e centrais.

Bem, o assunto acabou. Se você está lendo estas linhas, significa que você é muito legal.

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Agora o mais importante.

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