Instruções

Método 2. Suponhamos que o paralelepípedo retangular seja um cubo. Um cubo é um paralelepípedo retangular, cada face é representada por um quadrado. Portanto, todos os seus lados são iguais. Então, para calcular o comprimento de sua diagonal, será expresso da seguinte forma:

Fontes:

• fórmula diagonal do retângulo

Um paralelepípedo é um caso especial de prisma, no qual todas as seis faces são paralelogramos ou retângulos. Um paralelepípedo com faces retangulares também é chamado de retangular. Um paralelepípedo tem quatro diagonais que se cruzam. Se três arestas a, b, c forem fornecidas, você poderá encontrar todas as diagonais de um paralelepípedo retangular realizando construções adicionais.

Instruções

Encontre a diagonal do paralelepípedo m. Para fazer isso, encontre a hipotenusa desconhecida em a, n, m: m² = n² + a². Substituir valores conhecidos e calcule a raiz quadrada. O resultado obtido será a primeira diagonal do paralelepípedo m.

Da mesma forma, desenhe sequencialmente todas as outras três diagonais do paralelepípedo. Além disso, para cada um deles, execute construção adicional de diagonais de faces adjacentes. Considerando os triângulos retângulos formados e aplicando o teorema de Pitágoras, encontre os valores das diagonais restantes.

Vídeo sobre o tema

Fontes:

• encontrar um paralelepípedo

A hipotenusa é o lado oposto ângulo reto. Pernas são os lados de um triângulo adjacente a um ângulo reto. Em relação aos triângulos ABC e ACD: AB e BC, AD e DC–, AC é a hipotenusa comum para ambos os triângulos (o desejado diagonal). Portanto, AC = quadrado AB + quadrado BC ou AC b = quadrado AD + quadrado DC. Substitua os comprimentos laterais retângulo na fórmula acima e calcule o comprimento da hipotenusa (diagonal retângulo).

Por exemplo, os lados retângulo ABCD são iguais aos seguintes valores: AB = 5 cm e BC = 7 cm. O quadrado da diagonal AC de um dado retângulo de acordo com o teorema de Pitágoras: AC ao quadrado = quadrado AB + quadrado BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 cm2. Use uma calculadora para calcular a raiz quadrada de 74. Você deve obter 8,6 cm (arredondado). Observe que de acordo com uma das propriedades retângulo, suas diagonais são iguais. Então o comprimento da segunda diagonal BD retângulo ABCD é igual ao comprimento da diagonal AC. Para o exemplo acima, este valor

Nesta lição todos poderão estudar o tema “Paralelepípedo retangular”. No início da lição, repetiremos o que são paralelepípedos arbitrários e retos, lembrando as propriedades de suas faces opostas e diagonais do paralelepípedo. A seguir veremos o que é um cubóide e discutiremos suas propriedades básicas.

Tópico: Perpendicularidade de retas e planos

Lição: Cubóide

Uma superfície composta por dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e quatro paralelogramos ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 é chamada paralelepípedo(Fig. 1).

Arroz. 1 Paralelepípedo

Ou seja: temos dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), eles ficam em planos paralelos de modo que as arestas laterais AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sejam paralelas. Assim, uma superfície composta por paralelogramos é chamada paralelepípedo.

Assim, a superfície de um paralelepípedo é a soma de todos os paralelogramos que o compõem.

1. As faces opostas de um paralelepípedo são paralelas e iguais.

(as formas são iguais, ou seja, podem ser combinadas por sobreposição)

Por exemplo:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelos iguais por definição),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (já que AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (já que AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo).

2. As diagonais de um paralelepípedo se cruzam em um ponto e são cortadas ao meio por este ponto.

As diagonais do paralelepípedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se cruzam em um ponto O, e cada diagonal é dividida ao meio por este ponto (Fig. 2).

Arroz. 2 As diagonais de um paralelepípedo se cruzam e são divididas ao meio pelo ponto de intersecção.

3. Existem três quádruplos de arestas iguais e paralelas de um paralelepípedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definição. Um paralelepípedo é dito reto se suas arestas laterais são perpendiculares às bases.

Deixe a borda lateral AA 1 ser perpendicular à base (Fig. 3). Isso significa que a reta AA 1 é perpendicular às retas AD e AB, que ficam no plano da base. Isso significa que as faces laterais contêm retângulos. E as bases contêm paralelogramos arbitrários. Denotemos ∠BAD = φ, o ângulo φ pode ser qualquer.

Arroz. 3 Paralelepípedo direito

Assim, um paralelepípedo reto é um paralelepípedo em que as arestas laterais são perpendiculares às bases do paralelepípedo.

Definição. O paralelepípedo é chamado retangular, se suas bordas laterais forem perpendiculares à base. As bases são retângulos.

O paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 é retangular (Fig. 4), se:

1. AA 1 ⊥ ABCD (aresta lateral perpendicular ao plano da base, ou seja, um paralelepípedo reto).

2. ∠BAD = 90°, ou seja, a base é um retângulo.

Arroz. 4 Paralelepípedo retangular

Um paralelepípedo retangular possui todas as propriedades de um paralelepípedo arbitrário. Mas existem propriedades adicionais derivadas da definição de cubóide.

Então, cubóideé um paralelepípedo cujas arestas laterais são perpendiculares à base. A base de um cubóide é um retângulo.

1. Em um paralelepípedo retangular, todas as seis faces são retângulos.

ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 são retângulos por definição.

2. As costelas laterais são perpendiculares à base. Isso significa que todas as faces laterais de um paralelepípedo retangular são retângulos.

3. Todos os ângulos diédricos de um paralelepípedo retangular são retos.

Consideremos, por exemplo, o ângulo diédrico de um paralelepípedo retangular com aresta AB, ou seja, o ângulo diédrico entre os planos ABC 1 e ABC.

AB é uma aresta, o ponto A 1 está em um plano - no plano ABB 1, e o ponto D no outro - no plano A 1 B 1 C 1 D 1. Então o ângulo diédrico em consideração também pode ser denotado da seguinte forma: ∠A 1 ABD.

Vamos pegar o ponto A na aresta AB. AA 1 é perpendicular à aresta AB no plano АВВ-1, AD é perpendicular à aresta AB no plano ABC. Isso significa que ∠A 1 AD é o ângulo linear de um determinado ângulo diédrico. ∠A 1 AD = 90°, o que significa que o ângulo diédrico na aresta AB é 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Da mesma forma, está provado que quaisquer ângulos diédricos de um paralelepípedo retangular são retos.

O quadrado da diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões.

Observação. Os comprimentos das três arestas que emanam de um vértice de um cubóide são as medidas do cubóide. Às vezes são chamados de comprimento, largura e altura.

Dado: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepípedo retangular (Fig. 5).

Prove: .

Arroz. 5 Paralelepípedo retangular

Prova:

A reta CC 1 é perpendicular ao plano ABC e, portanto, à reta AC. Isso significa que o triângulo CC 1 A é retângulo. De acordo com o teorema de Pitágoras:

Considere o triângulo retângulo ABC. De acordo com o teorema de Pitágoras:

Mas BC e AD são lados opostos do retângulo. Então AC = DC. Então:

Porque , Um , Que. Como CC 1 = AA 1, era isso que precisava ser provado.

As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais.

Vamos denotar as dimensões do paralelepípedo ABC como a, b, c (ver Fig. 6), então AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Um paralelepípedo retangular (PP) nada mais é do que um prisma cuja base é um retângulo. Para um PP, todas as diagonais são iguais, o que significa que qualquer uma das suas diagonais é calculada usando a fórmula:

• a, em direção à base do PP;

  com sua altura.

Outra definição pode ser dada considerando o sistema de coordenadas retangulares cartesianas:

A diagonal PP é o vetor raio de qualquer ponto no espaço, dado por coordenadas x, y e z no sistema de coordenadas cartesianas. Este vetor raio até o ponto é traçado a partir da origem. E as coordenadas do ponto serão as projeções do vetor raio (diagonais do PP) sobre eixos coordenados. As projeções coincidem com os vértices deste paralelepípedo.



Um paralelepípedo retangular é um tipo de poliedro composto por 6 faces, na base das quais há um retângulo. Uma diagonal é um segmento de linha que conecta vértices opostos de um paralelogramo.

A fórmula para encontrar o comprimento de uma diagonal é que o quadrado da diagonal é igual à soma dos quadrados das três dimensões do paralelogramo.



Encontrei na Internet uma boa tabela de diagramas com uma listagem completa de tudo o que está no paralelepípedo. Existe uma fórmula para encontrar a diagonal, que é denotada por d.

Há uma imagem da aresta, do vértice e de outras coisas importantes para o paralelepípedo.



Se o comprimento, altura e largura (a,b,c) de um paralelepípedo retangular forem conhecidos, a fórmula para calcular a diagonal será semelhante a esta:



Normalmente, os professores não oferecem aos seus alunos uma fórmula simples, mas fazem esforços para que eles possam derivá-la por conta própria, fazendo perguntas importantes:

• o que precisamos saber, que dados temos?
• quais propriedades tem um paralelepípedo retangular?
• o teorema de Pitágoras se aplica aqui? Como?
• Existem dados suficientes para aplicar o teorema de Pitágoras ou são necessários outros cálculos?

Normalmente, depois de responder às questões colocadas, os alunos podem facilmente deduzir esta fórmula por conta própria.

As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais. Bem como as diagonais de suas faces opostas. O comprimento da diagonal pode ser calculado conhecendo o comprimento das arestas do paralelogramo que emana de um vértice. Esse comprimento é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos comprimentos de suas arestas.



Um cubóide é um dos chamados poliedros, que consiste em 6 faces, cada uma das quais é um retângulo. Uma diagonal é um segmento que conecta vértices opostos de um paralelogramo. Se o comprimento, largura e altura de um paralelepípedo retangular forem considerados a, b, c, respectivamente, então a fórmula para sua diagonal (D) será semelhante a esta: D^2=a^2+b^2+c ^2.



Diagonal de um paralelepípedo retangularé um segmento conectando seus vértices opostos. Então nós temos cubóide com diagonal d e lados a, b, c. Uma das propriedades de um paralelepípedo é que o quadrado comprimento diagonal d é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões a, b, c. Daí a conclusão é que comprimento diagonal pode ser facilmente calculado usando a seguinte fórmula:



Também:

Como encontrar a altura de um paralelepípedo?

• Quadrado diagonal, de um paralelepípedo quadrado (ver propriedades de um paralelepípedo quadrado) é igual à soma dos quadrados de seus três lados diferentes (largura, altura, espessura) e, portanto, as diagonais de um paralelepípedo quadrado são iguais à raiz de esta soma.

  Lembro-me do currículo escolar de geometria, podemos dizer o seguinte: a diagonal de um paralelepípedo é igual à raiz quadrada obtida da soma de seus três lados (são designados por letras minúsculas a, b, c).

  O comprimento da diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados de seus lados.

  Pelo que eu sei desde currículo escolar, classe 9, se não me engano, e se não me falha a memória, então a diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos três lados.

  o quadrado da diagonal é igual à soma dos quadrados da largura, altura e comprimento, com base nesta fórmula obtemos a resposta, a diagonal é igual à raiz quadrada da soma de suas três dimensões diferentes, com letras elas denotar ncz abc

Um paralelepípedo é uma figura geométrica cujas 6 faces são paralelogramos.

Dependendo do tipo desses paralelogramos, distinguem-se os seguintes tipos de paralelepípedos:

• direto;
• inclinado;
• retangular.

Um paralelepípedo reto é um prisma quadrangular cujas arestas formam um ângulo de 90° com o plano da base.

Um paralelepípedo retangular é um prisma quadrangular, cujas faces são retângulos. Um cubo é um tipo de prisma quadrangular em que todas as faces e arestas são iguais entre si.

As características de uma figura predeterminam suas propriedades. Isso inclui as seguintes 4 declarações:

É simples lembrar todas as propriedades acima, elas são fáceis de entender e são derivadas logicamente com base no tipo e nas características do corpo geométrico. No entanto, declarações simples podem ser extremamente úteis ao resolver tarefas típicas de USE e economizarão o tempo necessário para passar no teste.

Fórmulas paralelepípedas

Para encontrar respostas para o problema, não basta conhecer apenas as propriedades da figura. Você também pode precisar de algumas fórmulas para encontrar a área e o volume de um corpo geométrico.

A área das bases é encontrada da mesma forma que o indicador correspondente de um paralelogramo ou retângulo. Você mesmo pode escolher a base do paralelogramo. Via de regra, na resolução de problemas é mais fácil trabalhar com um prisma cuja base é um retângulo.

A fórmula para encontrar a superfície lateral de um paralelepípedo também pode ser necessária em tarefas de teste.

Exemplos de resolução de tarefas típicas do Exame de Estado Unificado

Tarefa 1.

Dado: um paralelepípedo retangular com dimensões de 3, 4 e 12 cm.
Necessário encontre o comprimento de uma das diagonais principais da figura.
Solução: Qualquer solução para um problema geométrico deve começar com a construção de um desenho correto e claro, no qual serão indicados o “dado” e o valor desejado. A figura abaixo mostra um exemplo da execução correta das condições da tarefa.

Tendo examinado o desenho feito e lembrando todas as propriedades do corpo geométrico, chegamos ao único o caminho certo soluções. Aplicando a 4ª propriedade de um paralelepípedo, obtemos a seguinte expressão:

Após cálculos simples obtemos a expressão b2=169, portanto b=13. A resposta para a tarefa foi encontrada; você não precisa gastar mais do que 5 minutos procurando e desenhando.

Na geometria distinguem-se os seguintes tipos de paralelepípedos: paralelepípedos retangulares (as faces do paralelepípedos são retângulos); um paralelepípedo reto (suas faces laterais funcionam como retângulos); paralelepípedo inclinado (suas faces laterais atuam como perpendiculares); um cubo é um paralelepípedo com dimensões absolutamente idênticas e as faces do cubo são quadradas. Os paralelepípedos podem ser inclinados ou retos.

Os principais elementos de um paralelepípedo são que as duas faces do representado figura geométrica, que não possuem uma aresta comum são opostas e aquelas que possuem são adjacentes. Os vértices do paralelepípedo, que não pertencem à mesma face, atuam em frente um do outro. Um paralelepípedo tem uma dimensão - são três arestas que possuem um vértice comum.

O segmento de reta que conecta vértices opostos é chamado de diagonal. As quatro diagonais de um paralelepípedo, que se cruzam em um ponto, são simultaneamente divididas ao meio.

Para determinar a diagonal de um paralelepípedo, é necessário determinar os lados e arestas, que são conhecidos pelas condições do problema. Com três costelas conhecidas UM , EM , COM desenhe uma diagonal no paralelepípedo. De acordo com a propriedade do paralelepípedo, que diz que todos os seus ângulos são retos, a diagonal é determinada. Construa uma diagonal a partir de uma das faces do paralelepípedo. As diagonais devem ser traçadas de forma que a diagonal da face, a diagonal desejada do paralelepípedo e a aresta conhecida formem um triângulo. Depois que um triângulo for formado, encontre o comprimento dessa diagonal. A diagonal do outro triângulo resultante atua como hipotenusa, portanto pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, que deve ser obtido pela raiz quadrada. Assim descobrimos o valor da segunda diagonal. Para encontrar a primeira diagonal de um paralelepípedo no formado triângulo retângulo, também é necessário encontrar a hipotenusa desconhecida (seguindo o teorema de Pitágoras). Usando o mesmo exemplo, encontre sequencialmente as três diagonais restantes existentes no paralelepípedo, realizando construções adicionais de diagonais que formam triângulos retângulos e resolva usando o teorema de Pitágoras.

Um paralelepípedo retangular (PP) nada mais é do que um prisma cuja base é um retângulo. Para um PP, todas as diagonais são iguais, o que significa que qualquer uma das suas diagonais é calculada usando a fórmula:

a, c - lados da base do PP;

c é sua altura.

Outra definição pode ser dada considerando o sistema de coordenadas retangulares cartesianas:

A diagonal PP é o vetor raio de qualquer ponto no espaço especificado pelas coordenadas x, y e z no sistema de coordenadas cartesianas. Este vetor raio até o ponto é traçado a partir da origem. E as coordenadas do ponto serão as projeções do vetor raio (diagonais do PP) nos eixos coordenados. As projeções coincidem com os vértices deste paralelepípedo.

Paralelepípedo e seus tipos

Se traduzirmos literalmente seu nome do grego antigo, descobrimos que é uma figura composta por planos paralelos. Existem as seguintes definições equivalentes de paralelepípedo:

• um prisma com base em forma de paralelogramo;
• um poliedro, cada face do qual é um paralelogramo.

Seus tipos são diferenciados dependendo da figura que está em sua base e de como as costelas laterais são direcionadas. Em geral, falamos sobre paralelepípedo inclinado, cuja base e todas as faces são paralelogramos. Se as faces laterais da vista anterior se tornarem retângulos, então ela precisará ser chamada direto. E retangular e a base também possui ângulos de 90º.

Além disso, na geometria tentam representar esta última de tal forma que seja perceptível que todas as arestas são paralelas. A propósito, aqui está a principal diferença entre matemáticos e artistas. É importante que este último transmita o corpo de acordo com a lei da perspectiva. E neste caso, o paralelismo das costelas é completamente invisível.

Sobre as notações introduzidas

Nas fórmulas abaixo são válidas as notações indicadas na tabela.

Fórmulas para um paralelepípedo inclinado

Primeiro e segundo para áreas:

A terceira é calcular o volume de um paralelepípedo:

Como a base é um paralelogramo, para calcular sua área será necessário usar as expressões apropriadas.

Fórmulas para um paralelepípedo retangular

Semelhante ao primeiro ponto - duas fórmulas para áreas:

E mais um para volume:

Primeira tarefa

Doença. Dado um paralelepípedo retangular cujo volume precisa ser encontrado. A diagonal é conhecida - 18 cm - e o fato de formar ângulos de 30 e 45 graus com o plano da face lateral e da borda lateral, respectivamente.

Solução. Para responder à questão do problema, você precisará conhecer todos os lados de três triângulos retângulos. Eles fornecerão os valores necessários das arestas pelas quais você precisa calcular o volume.

Primeiro você precisa descobrir onde está o ângulo de 30º. Para fazer isso, desenhe uma diagonal da face lateral do mesmo vértice de onde foi desenhada a diagonal principal do paralelogramo. O ângulo entre eles será o necessário.

O primeiro triângulo que dará um dos valores dos lados da base será o seguinte. Ele contém o lado necessário e duas diagonais desenhadas. É retangular. Agora você precisa usar a proporção entre o cateto oposto (lado da base) e a hipotenusa (diagonal). É igual ao seno de 30º. Ou seja, o lado desconhecido da base será determinado como a diagonal multiplicada pelo seno de 30º ou ½. Que seja designado pela letra “a”.

O segundo será um triângulo contendo uma diagonal conhecida e uma aresta com a qual forma 45º. Também é retangular e você pode usar novamente a proporção entre o cateto e a hipotenusa. Em outras palavras, borda lateral em diagonal. É igual ao cosseno de 45º. Ou seja, “c” é calculado como o produto da diagonal pelo cosseno de 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

No mesmo triângulo você precisa encontrar outra perna. Isso é necessário para calcular a terceira incógnita - “in”. Que seja designado pela letra “x”. Pode ser facilmente calculado usando o teorema de Pitágoras:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Agora precisamos considerar outro triângulo retângulo. Já contém festas conhecidas“c”, “x” e aquele que precisa ser contado, “b”:

em = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Todas as três quantidades são conhecidas. Você pode usar a fórmula do volume e calculá-lo:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm3).

Responder: o volume do paralelepípedo é 729√2 cm 3.

Segunda tarefa

Doença. Você precisa encontrar o volume de um paralelepípedo. Nele, sabe-se que os lados do paralelogramo que fica na base têm 3 e 6 cm, bem como seu ângulo agudo - 45º. A nervura lateral tem inclinação em relação à base de 30º e é igual a 4 cm.

Solução. Para responder à questão do problema, é necessário seguir a fórmula que foi escrita para o volume de um paralelepípedo inclinado. Mas ambas as quantidades são desconhecidas nele.

A área da base, ou seja, de um paralelogramo, será determinada por uma fórmula na qual é necessário multiplicar os lados conhecidos e o seno do ângulo agudo entre eles.

Então = 3 * 6 sen 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

A segunda quantidade desconhecida é a altura. Pode ser desenhado a partir de qualquer um dos quatro vértices acima da base. Pode ser encontrado em um triângulo retângulo em que a altura é o cateto e a aresta lateral é a hipotenusa. Neste caso, um ângulo de 30º está oposto à altura desconhecida. Isso significa que podemos usar a razão entre o cateto e a hipotenusa.

n = 4 * sen 30º = 4 * 1/2 = 2.

Agora todos os valores são conhecidos e o volume pode ser calculado:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm3).

Responder: o volume é 18 √2 cm3.

Terceira tarefa

Doença. Encontre o volume de um paralelepípedo se souber que ele é reto. Os lados de sua base formam um paralelogramo e são iguais a 2 e 3 cm. O ângulo agudo entre eles é de 60º. A diagonal menor do paralelepípedo é igual à diagonal maior da base.

Solução. Para saber o volume de um paralelepípedo, utilizamos a fórmula com área da base e altura. Ambas as quantidades são desconhecidas, mas são fáceis de calcular. O primeiro é a altura.

Como a diagonal menor do paralelepípedo coincide em tamanho com a base maior, elas podem ser designadas pela mesma letra d. Ângulo maior um paralelogramo tem 120º, pois forma 180º com um agudo. Deixe a segunda diagonal da base ser designada pela letra “x”. Agora, para as duas diagonais da base, podemos escrever os teoremas do cosseno:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Não faz sentido encontrar valores sem quadrados, pois mais tarde eles serão elevados novamente à segunda potência. Depois de substituir os dados, obtemos:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 porque 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Agora a altura, que também é a borda lateral do paralelepípedo, será uma perna do triângulo. A hipotenusa será a diagonal conhecida do corpo, e a segunda perna será “x”. Podemos escrever o Teorema de Pitágoras:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Portanto: n = √12 = 2√3 (cm).

Agora a segunda incógnita é a área da base. Pode ser calculado usando a fórmula mencionada no segundo problema.

Então = 2 * 3 sen 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Combinando tudo na fórmula do volume, obtemos:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm3).

Resposta: V = 18 cm3.

Quarta tarefa

Doença. É necessário descobrir o volume de um paralelepípedo que atenda às seguintes condições: a base é um quadrado com 5 cm de lado; as faces laterais são losangos; um dos vértices localizados acima da base é equidistante de todos os vértices situados na base.

Solução. Primeiro você precisa lidar com a condição. Não há dúvidas com o primeiro ponto sobre o quadrado. A segunda, sobre os losangos, deixa claro que o paralelepípedo é inclinado. Além disso, todas as suas arestas são iguais a 5 cm, já que os lados do losango são iguais. E a partir do terceiro fica claro que as três diagonais traçadas dele são iguais. São dois que ficam nas faces laterais, e o último fica dentro do paralelepípedo. E essas diagonais são iguais à aresta, ou seja, também têm 5 cm de comprimento.

Para determinar o volume, você precisará de uma fórmula escrita para um paralelepípedo inclinado. Novamente não há quantidades conhecidas nele. Porém, a área da base é fácil de calcular porque é um quadrado.

Então = 5 2 = 25 (cm 2).

A situação com a altura é um pouco mais complicada. Será assim em três figuras: um paralelepípedo, uma pirâmide quadrangular e um triângulo isósceles. Esta última circunstância deve ser aproveitada.

Como é a altura, é uma perna de um triângulo retângulo. A hipotenusa nele será uma aresta conhecida, e o segundo cateto é igual à metade da diagonal do quadrado (a altura também é a mediana). E a diagonal da base é fácil de encontrar:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm3).

Responder: 62,5 √2 (cm3).