Tele2, கட்டணங்கள், கேள்விகளில் உதவி

e ஐ "2.71828க்கு தோராயமாக சமமான ஒரு மாறிலி..." என விவரிப்பது, pi ஐ "3.1415க்கு தோராயமாக சமமான ஒரு விகிதாசார எண்..." என்று அழைப்பது போன்றது. இது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி உண்மை, ஆனால் புள்ளி இன்னும் நம்மைத் தவிர்க்கிறது.

பை என்பது சுற்றளவுக்கும் விட்டத்திற்கும் உள்ள விகிதம், எல்லா வட்டங்களுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இது அனைத்து வட்டங்களாலும் பகிர்ந்து கொள்ளப்படும் அடிப்படை விகிதமாகும், எனவே வட்டங்கள், கோளங்கள், உருளைகள் போன்றவற்றிற்கான சுற்றளவு, பரப்பளவு, தொகுதி மற்றும் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதில் ஈடுபட்டுள்ளது. அனைத்து வட்டங்களும் தொடர்புடையவை என்பதை பை காட்டுகிறது, வட்டங்களிலிருந்து (சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட்) பெறப்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் குறிப்பிடவில்லை.

எண் e என்பது தொடர்ந்து வளர்ந்து வரும் அனைத்து செயல்முறைகளுக்கும் அடிப்படை வளர்ச்சி விகிதமாகும்.மின் எண் உங்களை ஒரு எளிய வளர்ச்சி விகிதத்தை எடுக்க அனுமதிக்கிறது (வேறுபாடு ஆண்டின் இறுதியில் மட்டுமே தெரியும்) மற்றும் இந்த குறிகாட்டியின் கூறுகளை கணக்கிடுகிறது, சாதாரண வளர்ச்சி, இதில் ஒவ்வொரு நானோ விநாடியிலும் (அல்லது இன்னும் வேகமாக) எல்லாம் சிறிது வளரும். மேலும்

e எண் அதிவேக மற்றும் நிலையான வளர்ச்சி அமைப்புகளில் ஈடுபட்டுள்ளது: மக்கள் தொகை, கதிரியக்க சிதைவு, சதவீத கணக்கீடு மற்றும் பல. ஒரே மாதிரியாக வளராத படி அமைப்புகள் கூட e எண்ணைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக மதிப்பிடலாம்.

எந்த எண்ணையும் 1 (அடிப்படை அலகு) இன் "அளவிடப்பட்ட" பதிப்பாகக் கருதுவது போல, எந்த வட்டத்தையும் அலகு வட்டத்தின் "அளவிடப்பட்ட" பதிப்பாகக் கருதலாம் (ஆரம் 1 உடன்). மேலும் எந்த வளர்ச்சி காரணியும் e இன் "அளவிடப்பட்ட" பதிப்பாகக் கருதப்படலாம் ("அலகு" வளர்ச்சி காரணி).

எனவே e என்பது தற்செயலாக எடுக்கப்பட்ட சீரற்ற எண் அல்ல. e என்ற எண், தொடர்ந்து வளர்ந்து வரும் அனைத்து அமைப்புகளும் ஒரே அளவீட்டின் அளவிடப்பட்ட பதிப்புகள் என்ற கருத்தை உள்ளடக்கியது.

அதிவேக வளர்ச்சியின் கருத்து

அடிப்படை அமைப்பைப் பார்த்து ஆரம்பிக்கலாம் இரட்டிப்பாகிறதுஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு. உதாரணமாக:

• ஒவ்வொரு 24 மணி நேரத்திற்கும் பாக்டீரியாக்கள் எண்ணிக்கையில் "இரட்டை" பிரிகின்றன
• இரண்டாக உடைத்தால் இரண்டு மடங்கு நூடுல்ஸ் கிடைக்கும்
• நீங்கள் 100% லாபம் ஈட்டினால் உங்கள் பணம் ஒவ்வொரு ஆண்டும் இரட்டிப்பாகும் (அதிர்ஷ்டம்!)

மேலும் இது போல் தெரிகிறது:

இரண்டால் வகுத்தல் அல்லது இரட்டிப்பாக்குதல் என்பது மிகவும் எளிமையான முன்னேற்றமாகும். நிச்சயமாக, நாம் மூன்று அல்லது நான்கு மடங்கு செய்யலாம், ஆனால் இரட்டிப்பாக்குவது விளக்கத்திற்கு மிகவும் வசதியானது.

கணித ரீதியாக, x பிரிவுகள் இருந்தால், 2^x முறை கிடைக்கும் மேலும் நல்லதுஆரம்பத்தில் இருந்ததை விட. 1 பகிர்வு மட்டுமே செய்யப்பட்டால், நமக்கு 2^1 மடங்கு அதிகமாக கிடைக்கும். 4 பகிர்வுகள் இருந்தால், நமக்கு 2^4=16 பாகங்கள் கிடைக்கும். பொதுவான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

உயரம்= 2 x

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இரட்டிப்பு என்பது 100% அதிகரிப்பு. இந்த சூத்திரத்தை இப்படி மாற்றி எழுதலாம்:

உயரம்= (1+100%) x

இதே சமத்துவம் தான், "2" ஐ அதன் கூறு பகுதிகளாகப் பிரித்தோம், இது சாராம்சத்தில் இந்த எண்: ஆரம்ப மதிப்பு (1) மற்றும் 100%. புத்திசாலி, இல்லையா?

நிச்சயமாக, 100% க்கு பதிலாக வேறு எந்த எண்ணையும் (50%, 25%, 200%) மாற்றலாம் மற்றும் இந்த புதிய குணகத்திற்கான வளர்ச்சி சூத்திரத்தைப் பெறலாம். நேரத் தொடரின் x காலங்களுக்கான பொதுவான சூத்திரம்:

உயரம் = (1+அதிகரிக்கும்) x

இதன் பொருள் நாம் திரும்பும் விகிதம், (1 + ஆதாயம்), "x" முறைகளை ஒரு வரிசையில் பயன்படுத்துகிறோம்.

இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்

எங்கள் சூத்திரம் வளர்ச்சியானது தனித்துவமான படிகளில் நிகழ்கிறது என்று கருதுகிறது. நமது பாக்டீரியாக்கள் காத்திருந்து காத்திருந்து பிறகு பாம்!, கடைசி நிமிடத்தில் அவை எண்ணிக்கையில் இரட்டிப்பாகும். டெபாசிட் மீதான வட்டியில் நமது லாபம் சரியாக 1 வருடத்தில் மாயமாகத் தோன்றும். மேலே எழுதப்பட்ட சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், லாபம் படிகளில் வளரும். பச்சை புள்ளிகள் திடீரென்று தோன்றும்.

ஆனால் உலகம் எப்போதும் இப்படி இருப்பதில்லை. நாம் பெரிதாக்கினால், நமது பாக்டீரியா நண்பர்கள் தொடர்ந்து பிரிக்கப்படுவதைக் காணலாம்:

பச்சை நிற கூட்டாளி ஒன்றுமில்லாமல் தோன்றுவதில்லை: அவர் மெதுவாக நீல பெற்றோரிடமிருந்து வளர்கிறார். 1 காலத்திற்குப் பிறகு (எங்கள் விஷயத்தில் 24 மணிநேரம்), பச்சை நண்பர் ஏற்கனவே முழுமையாக பழுத்திருக்கிறார். முதிர்ச்சியடைந்த பிறகு, அவர் மந்தையின் முழு நீள நீல உறுப்பினராகி, புதிய பச்சை செல்களை உருவாக்க முடியும்.

இந்தத் தகவல் எந்த வகையிலும் நமது சமன்பாட்டை மாற்றுமா?

இல்லை. பாக்டீரியாவைப் பொறுத்தவரை, பாதி-உருவாக்கப்பட்ட பச்சை செல்கள் வளர்ந்து, நீல நிற பெற்றோரிடமிருந்து முழுமையாகப் பிரியும் வரை எதுவும் செய்ய முடியாது. எனவே சமன்பாடு சரியானது.

அடுக்கு , அல்லது .

எண் இ

அடுக்கு பட்டத்தின் அடிப்படை எண் இ. இது ஒரு விகிதாசார எண். இது தோராயமாக சமம்
இ ≈ 2,718281828459045...

எண் e வரிசையின் வரம்பு மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இதுவே அழைக்கப்படுகிறது இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பு:
.

எண் e ஐ ஒரு தொடராகவும் குறிப்பிடலாம்:
.

அதிவேக வரைபடம்

அதிவேக வரைபடம், y = e x.

வரைபடம் அடுக்குகளைக் காட்டுகிறது இஒரு அளவிற்கு எக்ஸ்.
ஒய் (x) = இ x
அடுக்கு ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது என்பதை வரைபடம் காட்டுகிறது.

சூத்திரங்கள்

அடிப்படை சூத்திரங்கள், பட்டம் e இன் அடிப்படையுடன் கூடிய அதிவேகச் செயல்பாட்டிற்கு ஒரே மாதிரியானவை.

;
;
;

ஒரு அதிவேகச் செயல்பாட்டின் தன்னிச்சையான பட்டம் a மூலம் ஒரு அதிவேகத்தின் மூலம் வெளிப்பாடு:
.

தனிப்பட்ட மதிப்புகள்

ஒய் (x) = இ x.
.

பிறகு

அடுக்கு பண்புகள் இ > 1 .

அதிவேகமானது ஒரு சக்தி தளத்துடன் கூடிய அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது

டொமைன், மதிப்புகளின் தொகுப்பு (x) = இ xஅடுக்கு ஒய்
அனைத்து x க்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
- ∞ < x + ∞ .
அதன் வரையறையின் களம்:
0 < y < + ∞ .

அதன் பல அர்த்தங்கள்:

உச்சநிலை, அதிகரித்து, குறைகிறது

அதிவேகமானது ஒரு சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கும் செயல்பாடாகும், எனவே அதற்கு எக்ஸ்ட்ரீமா இல்லை. அதன் முக்கிய பண்புகள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

தலைகீழ் செயல்பாடு
;
.

அதிவேகத்தின் தலைகீழ் இயற்கை மடக்கை ஆகும்.

அடுக்கின் வழித்தோன்றல் இஒரு அளவிற்கு எக்ஸ்வழித்தோன்றல் இஒரு அளவிற்கு எக்ஸ் :
.
சமமாக
.
n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்:

சூத்திரங்களைப் பெறுதல் >>>

ஒருங்கிணைந்த

சிக்கலான எண்கள் சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகின்றன:
,
ஆய்லரின் சூத்திரங்கள்
.

கற்பனை அலகு எங்கே:

; ;
.

ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்பாடுகள்

; ;
;
.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள்

சக்தி தொடர் விரிவாக்கம்
பயன்படுத்திய இலக்கியம்:

ஐ.என். ப்ரோன்ஸ்டீன், கே.ஏ. Semendyaev, பொறியாளர்கள் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதக் கையேடு, "Lan", 2009. NUMBER. இ தோராயமாக 2.718 க்கு சமமான எண், இது பெரும்பாலும் கணிதம் மற்றும்இயற்கை அறிவியல் . உதாரணமாக, ஒரு கதிரியக்க பொருள் காலப்போக்கில் சிதைவடையும் போதுடி பொருளின் அசல் அளவு சமமாக இருக்கும் e-kt , எங்கேகே , எங்கே- கொடுக்கப்பட்ட பொருளின் சிதைவு விகிதத்தை வகைப்படுத்தும் எண். பரஸ்பரம் 1/ , எங்கேகொடுக்கப்பட்ட பொருளின் அணுவின் சராசரி ஆயுட்காலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் சராசரியாக ஒரு அணு சிதைவதற்கு முன் 1/ , எங்கே. மதிப்பு 0.693/ ஒரு கதிரியக்க பொருளின் அரை ஆயுள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. ஒரு பொருளின் அசல் அளவு பாதி சிதைவடையும் நேரம்; 0.693 எண் தோராயமாக பதிவுக்கு சமம்இ NUMBER 2, அதாவது எண் 2 முதல் அடிமட்ட மடக்கை . இதேபோல், ஒரு ஊட்டச்சத்து ஊடகத்தில் உள்ள பாக்டீரியாக்கள் அவற்றின் எண்ணிக்கைக்கு விகிதாசார விகிதத்தில் பெருக்கினால்தற்போதைய தருணம் . உதாரணமாக, ஒரு கதிரியக்க பொருள் காலப்போக்கில் சிதைவடையும் போது, பின்னர் நேரம் கழித்து பாக்டீரியாவின் ஆரம்ப எண்ணிக்கைஎன் மாறுகிறது Ne kt . மின்னோட்டத்தின் குறைப்புஐ தொடர் இணைப்புடன் கூடிய எளிய சுற்று, எதிர்ப்புஆர் மற்றும் தூண்டல்எல் சட்டப்படி நடக்கும் 0 பொருளின் அசல் அளவு சமமாக இருக்கும் e-kt நான் = நான், . மின்னோட்டத்தின் குறைப்புகே = ஆர்/எல் . உதாரணமாக, ஒரு கதிரியக்க பொருள் காலப்போக்கில் சிதைவடையும் போது 0 - நேரத்தின் தற்போதைய வலிமை = 0. இதேபோன்ற சூத்திரங்கள் பிசுபிசுப்பான திரவத்தில் அழுத்தத் தளர்வு மற்றும் தணிப்பை விவரிக்கின்றனகாந்தப்புலம் , எங்கேபெரும்பாலும் ஓய்வு நேரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. புள்ளிவிவரங்களில் மதிப்பு பொருளின் அசல் அளவு சமமாக இருக்கும்காலப்போக்கில் நிகழ்தகவு ஏற்படுகிறது . உதாரணமாக, ஒரு கதிரியக்க பொருள் காலப்போக்கில் சிதைவடையும் போதுசராசரி அதிர்வெண்ணுடன் தற்செயலாக நிகழும் நிகழ்வுகள் எதுவும் இல்லை , எங்கேஒரு யூனிட் நேரத்திற்கு நிகழ்வுகள். என்றால் எஸ்- கீழ் முதலீடு செய்யப்பட்ட பணத்தின் அளவு ஆர்தனித்தனி இடைவெளியில் திரட்டப்படுவதற்குப் பதிலாக தொடர்ச்சியான திரட்டலுடன் வட்டி, பின்னர் நேரம் . உதாரணமாக, ஒரு கதிரியக்க பொருள் காலப்போக்கில் சிதைவடையும் போதுஆரம்ப தொகை அதிகரிக்கும் Setr/100.

எண்ணின் "சர்வவியாதி"க்கான காரணம் NUMBERஅதிவேக செயல்பாடுகள் அல்லது மடக்கைகளைக் கொண்ட கணித பகுப்பாய்வு சூத்திரங்கள், மடக்கைகளை அடித்தளத்திற்கு எடுத்துச் சென்றால் மிகவும் எளிமையாக எழுதப்படுகின்றன. NUMBER 10 அல்லது வேறு எந்த அடிப்படையும் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 10 இன் வழித்தோன்றல் xசமம் (1/ x)பதிவு 10 NUMBER, பதிவின் வழித்தோன்றல் இ x 1/ க்கு சமம் x. அதேபோல், 2 இன் வழித்தோன்றல் xசமம் 2 xபதிவு ஒரு கதிரியக்க பொருளின் அரை ஆயுள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. ஒரு பொருளின் அசல் அளவு பாதி சிதைவடையும் நேரம்; 0.693 எண் தோராயமாக பதிவுக்கு சமம் 2, அதேசமயம் இதன் வழித்தோன்றல் இ xவெறுமனே சமமாக உள்ளது இ x. இதன் பொருள் எண் NUMBERஅடிப்படையாக வரையறுக்கலாம் பி, இதில் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y =பதிவு b xபுள்ளியில் உள்ளது x= 1 தொடுகோடு கள் சாய்வு, 1 க்கு சமம் அல்லது எந்த வளைவு y = b xஉள்ளே உள்ளது x= 0 தொடுகோடு 1க்கு சமமான சாய்வு. தளத்திற்கு மடக்கை NUMBER"இயற்கை" என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவை ln என குறிப்பிடப்படுகின்றன x. சில நேரங்களில் அவை "நேப்பியர்" என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, இது தவறானது, ஏனெனில் உண்மையில் ஜே. நேப்பியர் (1550-1617) வேறுபட்ட தளத்துடன் மடக்கைகளைக் கண்டுபிடித்தார்: எண்ணின் நேப்பியர் மடக்கை xசமம் 10 7 பதிவு 1/ NUMBER (x/10 7) .

பல்வேறு பட்ட சேர்க்கைகள் NUMBERஅவை கணிதத்தில் அடிக்கடி நிகழ்கின்றன, அவை சிறப்புப் பெயர்களைக் கொண்டுள்ளன. இவை, எடுத்துக்காட்டாக, ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள்

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒய்= ch xகேடனரி கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது; இது ஒரு கனமான நீட்டிக்க முடியாத நூல் அல்லது முனைகளில் இருந்து இடைநிறுத்தப்பட்ட சங்கிலியின் வடிவமாகும். ஆய்லரின் சூத்திரங்கள்

எங்கே i 2 = –1, பிணைப்பு எண் NUMBERமுக்கோணவியல் கொண்டது. சிறப்பு வழக்கு x = பபிரபலமான உறவுக்கு வழிவகுக்கிறது இ ஐபி+ 1 = 0, கணிதத்தில் மிகவும் பிரபலமான 5 எண்களை இணைக்கிறது.

பள்ளி கணித பாடங்களில் அனைவரும் கேள்விப்பட்ட மிக முக்கியமான கணித மாறிலிகளில் "e" எண் ஒன்றாகும். மனிதநேயவாதிகளுக்காக மனிதநேயவாதியால் எழுதப்பட்ட ஒரு பிரபலமான கட்டுரையை கருத்துரு வெளியிடுகிறது அணுகக்கூடிய மொழிஆய்லரின் எண் ஏன் மற்றும் ஏன் உள்ளது என்று கூறுவார்கள்.

எங்கள் பணத்திற்கும் ஆய்லரின் எண்ணிற்கும் பொதுவானது என்ன?

எண் போது π (pi) மிகவும் திட்டவட்டமான ஒன்று உள்ளது வடிவியல் பொருள்மேலும் இது பண்டைய கணிதவியலாளர்களால் பயன்படுத்தப்பட்டது, பின்னர் எண் இ(ஆய்லரின் எண்) ஒப்பீட்டளவில் சமீபத்தில் அறிவியலில் அதன் தகுதியான இடத்தைப் பிடித்தது மற்றும் அதன் வேர்கள் நேராக... நிதிச் சிக்கல்களுக்குச் செல்கின்றன.

பணம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டதிலிருந்து, நாணயத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட வட்டி விகிதத்தில் கடன் வாங்கலாம் அல்லது கடன் கொடுக்கலாம் என்பதை மக்கள் உணர்ந்தபோது மிகக் குறைந்த காலமே கடந்துவிட்டது. இயற்கையாகவே, "பண்டைய" வணிகர்கள் "சதவீதம்" என்ற பழக்கமான கருத்தைப் பயன்படுத்தவில்லை, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் ஒரு குறிப்பிட்ட குறிகாட்டியால் அளவு அதிகரிப்பது அவர்களுக்கு நன்கு தெரிந்திருந்தது.

புகைப்படத்தில்: லியோன்ஹார்ட் யூலரின் (1707-1783) படத்துடன் 10 பிராங்குகள் மதிப்புள்ள ரூபாய் நோட்டு.

ஆண்டுக்கு 20% என்ற உதாரணத்தை நாங்கள் ஆராய மாட்டோம், ஏனெனில் அங்கிருந்து யூலர் எண்ணுக்கு வருவதற்கு அதிக நேரம் எடுக்கும். இந்த மாறிலியின் அர்த்தத்தின் மிகவும் பொதுவான மற்றும் தெளிவான விளக்கத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இதற்காக நாம் கொஞ்சம் கற்பனை செய்து பார்க்க வேண்டும், சில வங்கிகள் ஆண்டுக்கு 100% டெபாசிட்டில் பணத்தை வைக்க முன்வருகின்றன.

சிந்தனை-நிதி சோதனை

இந்த சிந்தனைப் பரிசோதனைக்கு, நீங்கள் எந்தத் தொகையையும் எடுத்துக் கொள்ளலாம், இதன் விளைவாக எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஆனால் 1 முதல், எண்ணின் முதல் தோராயமான மதிப்பிற்கு நேரடியாக வரலாம். இ. எனவே, நாம் வங்கியில் 1 டாலரை முதலீடு செய்கிறோம், ஆண்டுக்கு 100% என்ற விகிதத்தில் ஆண்டின் இறுதியில் எங்களிடம் 2 டாலர்கள் இருக்கும்.

ஆனால் இது வருடத்திற்கு ஒரு முறை வட்டியை மூலதனமாக்கினால் (சேர்க்கப்பட்டால்) மட்டுமே. அவர்கள் வருடத்திற்கு இரண்டு முறை மூலதனம் செய்தால் என்ன செய்வது? அதாவது, ஒவ்வொரு ஆறு மாதங்களுக்கும் 50% திரட்டப்படும், மேலும் இரண்டாவது 50% இனி ஆரம்பத் தொகையிலிருந்து திரட்டப்படாது, ஆனால் முதல் 50% அதிகரித்த தொகையிலிருந்து. இதனால் நமக்கு அதிக லாபம் கிடைக்குமா?

எண்ணின் வடிவியல் பொருளைக் காட்டும் காட்சி விளக்கப்படம் π .

நிச்சயமாக அது செய்யும். வருடத்திற்கு இரண்டு முறை மூலதனமாக்கல் மூலம், ஆறு மாதங்களுக்குப் பிறகு, கணக்கில் $1.50 இருக்கும். ஆண்டின் இறுதிக்குள், $1.50 இல் மற்றொரு 50% சேர்க்கப்படும், எனவே மொத்தத் தொகை $2.25 ஆக இருக்கும். ஒவ்வொரு மாதமும் மூலதனமாக்கல் மேற்கொள்ளப்பட்டால் என்ன நடக்கும்?

எங்களுக்கு ஒவ்வொரு மாதமும் 100/12% (அதாவது தோராயமாக 8.(3)%) வரவு வைக்கப்படும், இது இன்னும் அதிக லாபம் தரும் - ஆண்டின் இறுதியில் எங்களிடம் $2.61 இருக்கும். ஒரு வருடத்திற்கு தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான மூலதனமயமாக்கலுக்கான (n) மொத்தத் தொகையைக் கணக்கிடுவதற்கான பொதுவான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

மொத்த தொகை = 1(1+1/n) n

n = 365 மதிப்புடன் (அதாவது, நமது வட்டி ஒவ்வொரு நாளும் மூலதனமாக இருந்தால்), இந்த சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: 1(1+1/365) 365 = $2.71. பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் குறிப்பு புத்தகங்களில் இருந்து, e என்பது தோராயமாக 2.71828 க்கு சமம் என்பதை நாங்கள் அறிவோம், அதாவது, எங்கள் அற்புதமான பங்களிப்பின் தினசரி மூலதனத்தை கருத்தில் கொண்டு, e இன் தோராயமான மதிப்பை நாங்கள் ஏற்கனவே அணுகியுள்ளோம், இது ஏற்கனவே பல கணக்கீடுகளுக்கு போதுமானது.

n இன் வளர்ச்சி காலவரையின்றி தொடரலாம், மேலும் அதன் மதிப்பு அதிகமாக இருந்தால், சில காரணங்களால் நமக்குத் தேவைப்படும் தசம இடம் வரை, யூலர் எண்ணை மிகத் துல்லியமாகக் கணக்கிடலாம்.

இந்த விதி, நிச்சயமாக, நமது நிதி நலன்களுக்கு மட்டும் அல்ல. கணித மாறிலிகள் "நிபுணர்களிடமிருந்து" வெகு தொலைவில் உள்ளன - அவை பயன்பாட்டுத் துறையைப் பொருட்படுத்தாமல் சமமாக வேலை செய்கின்றன. எனவே, நீங்கள் ஆழமாக தோண்டினால், வாழ்க்கையின் எந்தப் பகுதியிலும் அவற்றைக் காணலாம்.

எண் e என்பது அனைத்து மாற்றங்களின் அளவீடு மற்றும் "கணித பகுப்பாய்வின் இயல்பான மொழி" போன்றது என்று மாறிவிடும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, "மாடன்" என்பது வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகிய கருத்துக்களுடன் இறுக்கமாக பிணைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளும் எண்ணற்ற மாற்றங்களைக் கையாளுகின்றன, அவை எண்ணால் சரியாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. இ .

ஆய்லரின் எண்ணின் தனித்துவமான பண்புகள்

எண்ணைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களில் ஒன்றை உருவாக்குவதற்கான விளக்கத்தின் மிகவும் புத்திசாலித்தனமான உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொண்டு இ, நேரடியாக தொடர்புடைய மேலும் சில கேள்விகளை சுருக்கமாக பார்க்கலாம். அவற்றில் ஒன்று: ஆய்லர் எண்ணின் தனித்தன்மை என்ன?

கோட்பாட்டில், முற்றிலும் எந்த கணித மாறிலியும் தனித்துவமானது மற்றும் ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த வரலாற்றைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால், நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள், தலைப்புக்கான உரிமைகோரல் இயற்கை மொழிகணித பகுப்பாய்வு என்பது மிகவும் முக்கியமான கூற்று.

யூலர் செயல்பாட்டிற்கான ϕ(n) இன் முதல் ஆயிரம் மதிப்புகள்.

இருப்பினும், எண் இ அதற்கு காரணங்கள் உள்ளன. y = e x செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைத் திட்டமிடும்போது, ​​ஒரு குறிப்பிடத்தக்க உண்மை தெளிவாகிறது: y என்பது e x க்கு சமம் என்பது மட்டுமல்லாமல், வளைவின் சாய்வு மற்றும் வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதியும் அதே காட்டிக்கு சமமாக இருக்கும். அதாவது, y இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பிலிருந்து கழித்தல் முடிவிலி வரையிலான வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதி.

வேறு எந்த எண்ணும் இதைப் பற்றி பெருமை கொள்ள முடியாது. எங்களுக்கு, மனிதநேயவாதிகள் (அல்லது வெறுமனே கணிதவியலாளர்கள் அல்ல), அத்தகைய அறிக்கை குறைவாகவே கூறுகிறது, ஆனால் கணிதவியலாளர்களே இது மிகவும் முக்கியமானது என்று கூறுகின்றனர். அது ஏன் முக்கியம்? இந்த சிக்கலை மற்றொரு முறை புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்போம்.

ஆய்லரின் எண்ணுக்கு ஒரு முன்நிபந்தனையாக மடக்கை

ஆய்லரின் எண்ணும் இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படை என்பதை பள்ளியிலிருந்து யாராவது நினைவில் வைத்திருக்கலாம். சரி, இது அனைத்து மாற்றங்களின் அளவீடாக அதன் இயல்புடன் ஒத்துப்போகிறது. இன்னும், ஆய்லருக்கும் அதற்கும் என்ன சம்பந்தம்? நியாயமாக, e சில நேரங்களில் நேப்பியர் எண் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் யூலர் இல்லாமல் கதை முழுமையடையாது, அதே போல் மடக்கைகளைக் குறிப்பிடாமல் இருக்கும்.

ஸ்காட்டிஷ் கணிதவியலாளர் ஜான் நேப்பியரால் 17 ஆம் நூற்றாண்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மடக்கைகளில் ஒன்றாகும் முக்கிய நிகழ்வுகள்கணிதத்தின் வரலாறு. 1914 இல் நடந்த இந்த நிகழ்வின் ஆண்டு விழாவில், மோல்டன் பிரபு பின்வருமாறு பேசினார்:

" மடக்கைகளின் கண்டுபிடிப்பு அறிவியல் உலகம்நீல நிறத்தில் இருந்து ஒரு போல்ட் போல. முந்தைய எந்த வேலையும் இந்த கண்டுபிடிப்புக்கு வழிவகுக்கவில்லை, கணிக்கப்படவில்லை அல்லது உறுதியளிக்கவில்லை. அது தனித்து நிற்கிறது, அது உடைகிறது மனித சிந்தனைதிடீரென்று, மற்ற மனங்களின் வேலையிலிருந்து எதையும் கடன் வாங்காமல், கணித சிந்தனையின் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட திசைகளைப் பின்பற்றாமல்."

புகழ்பெற்ற பிரெஞ்சு கணிதவியலாளரும் வானவியலாளருமான பியர்-சைமன் லாப்லேஸ், இந்த கண்டுபிடிப்பின் முக்கியத்துவத்தை இன்னும் வியத்தகு முறையில் வெளிப்படுத்தினார்: "மடக்கைகளின் கண்டுபிடிப்பு, கடினமான உழைப்பின் நேரத்தைக் குறைத்து, வானியலாளர்களின் வாழ்க்கையை இரட்டிப்பாக்கியது." லாப்லேஸை மிகவும் கவர்ந்தது எது? மற்றும் காரணம் மிகவும் எளிது - மடக்கைகள் விஞ்ஞானிகள் பொதுவாக சிக்கலான கணக்கீடுகளில் செலவிடும் நேரத்தை கணிசமாகக் குறைக்க அனுமதித்தன.

பொதுவாக, மடக்கைகள் கணக்கீடுகளை எளிதாக்குகின்றன-அவை சிக்கலான அளவில் ஒரு நிலைக்கு கீழே நகர்த்தப்பட்டன. எளிமையாகச் சொன்னால், பெருக்குவதற்கும் வகுப்பதற்கும் பதிலாக, கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளைச் செய்ய வேண்டியிருந்தது. மேலும் இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

இ- இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படை

மடக்கைத் துறையில் நேப்பியர் ஒரு முன்னோடி - அவர்களின் கண்டுபிடிப்பாளர் என்பதை சாதாரணமாக எடுத்துக்கொள்வோம். குறைந்தபட்சம் அவர் தனது கண்டுபிடிப்புகளை முதலில் வெளியிட்டார். இந்த வழக்கில், கேள்வி எழுகிறது: ஆய்லரின் தகுதி என்ன?

இது எளிமையானது - அவர் நேப்பியரின் கருத்தியல் வாரிசு என்றும், ஸ்காட்டிஷ் விஞ்ஞானியின் வாழ்க்கைப் பணியை அதன் மடக்கை (தர்க்கரீதியாகப் படியுங்கள்) முடிவுக்குக் கொண்டு வந்தவர் என்றும் அழைக்கப்படலாம். சுவாரஸ்யமாக, இது கூட சாத்தியமா?

இயற்கை மடக்கையைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்பட்ட சில மிக முக்கியமான வரைபடம்.

இன்னும் குறிப்பாக, ஆய்லர் இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படையைப் பெற்றார், இப்போது எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது இஅல்லது ஆய்லரின் எண். கூடுதலாக, அவர் தனது பெயரை அறிவியல் வரலாற்றில் வாஸ்யா கனவு காண முடியாததை விட அதிக முறை எழுதினார், அவர் எல்லா இடங்களிலும் "பார்வை" செய்ய முடிந்தது.

துரதிர்ஷ்டவசமாக, மடக்கைகளுடன் பணிபுரியும் குறிப்பிட்ட கொள்கைகள் ஒரு தனி பெரிய கட்டுரையின் தலைப்பு. கால்குலேட்டர்களைப் பற்றி யாரும் கேள்விப்படாத நேரத்தில் மடக்கை அட்டவணைகளைத் தொகுக்க தங்கள் வாழ்நாளின் பல ஆண்டுகளை அர்ப்பணித்த பல அர்ப்பணிப்புள்ள விஞ்ஞானிகளின் பணிக்கு நன்றி என்று இப்போதைக்கு சொன்னால் போதும், அறிவியலின் முன்னேற்றம் பெரிதும் துரிதப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. .

புகைப்படத்தில்: ஜான் நேப்பியர் - ஸ்காட்டிஷ் கணிதவியலாளர், மடக்கை கண்டுபிடித்தவர் (1550-1617.)

இது வேடிக்கையானது, ஆனால் இந்த முன்னேற்றம் இறுதியில் இந்த அட்டவணைகள் வழக்கற்றுப்போவதற்கு வழிவகுத்தது, இதற்குக் காரணம் துல்லியமாக கை கால்குலேட்டர்களின் வருகையாகும், இது இந்த வகை கணக்கீட்டைச் செய்யும் பணியை முழுமையாக எடுத்துக் கொண்டது.

ஸ்லைடு விதிகளைப் பற்றி நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருக்கிறீர்களா? ஒரு காலத்தில், பொறியாளர்கள் அல்லது கணிதவியலாளர்கள் அவர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது, ஆனால் இப்போது அது கிட்டத்தட்ட ஒரு ஆஸ்ட்ரோலேப் போன்றது - சுவாரஸ்யமான கருவி, ஆனால் அன்றாட நடைமுறையை விட அறிவியலின் வரலாற்றின் அடிப்படையில் அதிகம்.

மடக்கையின் அடிப்படையாக இருப்பது ஏன் மிகவும் முக்கியமானது?

மடக்கையின் அடிப்பகுதி எந்த எண்ணாகவும் இருக்கலாம் (உதாரணமாக, 2 அல்லது 10), ஆனால் துல்லியமாக யூலர் எண்ணின் தனித்துவமான பண்புகள் காரணமாக, தளத்திற்கான மடக்கை இஇயற்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது, யதார்த்தத்தின் கட்டமைப்பில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது - அதிலிருந்து தப்பிக்க முடியாது, மேலும் தேவையில்லை, ஏனெனில் இது பல்வேறு துறைகளில் பணிபுரியும் விஞ்ஞானிகளின் வாழ்க்கையை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது.

பாவெல் பெர்டோவின் இணையதளத்தில் இருந்து மடக்கையின் தன்மை பற்றிய புரிந்துகொள்ளக்கூடிய விளக்கத்தை வழங்குவோம். தளத்திற்கு மடக்கை அவாதத்திலிருந்து x x எண்ணைப் பெறுவதற்கு a எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய சக்தி. வரைபட ரீதியாக இது பின்வருமாறு சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது:

log a x = b, இங்கு a என்பது அடிப்படை, x என்பது வாதம், b என்பது மடக்கைச் சமம்.

எடுத்துக்காட்டாக, 2 3 = 8 ⇒ பதிவு 2 8 = 3 (8 இன் அடிப்படை 2 மடக்கை 3 ஆகும், ஏனெனில் 2 3 = 8).

மேலே நாம் மடக்கையின் அடித்தளத்தின் படத்தில் எண் 2 ஐப் பார்த்தோம், ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் சொல்வது மிகவும் அதிகம் திறமையான நடிகர்இந்த பாத்திரம் ஆய்லர் எண்ணால் செய்யப்படுகிறது. அவங்க சொல்றதை எடுத்துக்குவோம்... பிறகு நாமே பார்த்துக்கங்க.

முடிவுகள்

அது உள்ளே இருப்பது மோசமானது உயர் கல்விமிகவும் வலுவாக பிரிக்கப்பட்ட இயற்கை மற்றும் மனிதநேயம். சில நேரங்களில் இது அதிகப்படியான "வளைவுக்கு" வழிவகுக்கிறது மற்றும் இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தில் நன்கு அறிந்த ஒரு நபருடன் மற்ற தலைப்புகளைப் பற்றி பேசுவது முற்றிலும் ஆர்வமற்றது என்று மாறிவிடும்.

இதற்கு நேர்மாறாக, நீங்கள் ஒரு முதல் வகுப்பு இலக்கிய நிபுணராக இருக்கலாம், ஆனால், அதே நேரத்தில், அதே இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்திற்கு வரும்போது முற்றிலும் உதவியற்றவராக இருங்கள். ஆனால் அனைத்து விஞ்ஞானங்களும் அவற்றின் சொந்த வழியில் சுவாரஸ்யமானவை.

"நான் ஒரு மனிதநேயவாதி, ஆனால் நான் சிகிச்சை பெற்று வருகிறேன்" என்ற மேம்படுத்தப்பட்ட திட்டத்தின் கட்டமைப்பிற்குள் எங்கள் சொந்த வரம்புகளை கடக்க முயற்சிப்பதால், மிகவும் பரிச்சயமில்லாத அறிவியல் துறையில் இருந்து புதிதாக ஒன்றைக் கற்றுக்கொள்ளவும், மிக முக்கியமாக புரிந்துகொள்ளவும் உங்களுக்கு உதவியது என்று நம்புகிறோம்.

சரி, ஆய்லரின் எண்ணைப் பற்றி மேலும் அறிய விரும்புவோருக்கு, கணிதத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள ஒருவர் கூட அவர்கள் விரும்பினால் புரிந்து கொள்ளக்கூடிய பல ஆதாரங்களை நாங்கள் பரிந்துரைக்கலாம்: எலி மாயர் தனது புத்தகத்தில் “e: the story of a number”) விரிவாக விவரிக்கிறார். மற்றும் ஆய்லரின் எண்ணின் பின்னணி மற்றும் வரலாறு தெளிவாக உள்ளது.

மேலும், இந்த கட்டுரையின் கீழ் உள்ள "பரிந்துரைக்கப்பட்டது" பிரிவில், யூலரின் எண்ணை தெளிவாக விளக்க முயற்சிக்கும் தொழில்முறை கணிதவியலாளர்களால் படமாக்கப்பட்ட YouTube சேனல்கள் மற்றும் வீடியோக்களின் பெயர்களை நீங்கள் காணலாம், இதனால் அது நிபுணர்கள் அல்லாதவர்களுக்கும் புரியும்.

ஏதோ முக்கியமற்றது போல. இது நடந்தது 1618. நேப்பியரின் மடக்கைப் பணியின் பின்னிணைப்பில், பல்வேறு எண்களின் இயற்கை மடக்கைகளின் அட்டவணை கொடுக்கப்பட்டது. இருப்பினும், அந்த நேரத்தில் ஒரு மடக்கையின் கருத்து ஒரு அடிப்படை போன்ற ஒரு விஷயத்தை சேர்க்காததால், இவை தளத்திற்கு மடக்கைகள் என்பதை யாரும் உணரவில்லை. இதைத்தான் நாம் இப்போது மடக்கை என்று அழைக்கிறோம், தேவையான எண்ணைப் பெற அடித்தளத்தை உயர்த்த வேண்டிய சக்தி. இதற்குப் பிறகு வருவோம். பிற்சேர்க்கையில் உள்ள அட்டவணை பெரும்பாலும் Augthred ஆல் உருவாக்கப்பட்டது, இருப்பினும் ஆசிரியர் அடையாளம் காணப்படவில்லை. சில ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, 1624 இல், அது மீண்டும் கணித இலக்கியத்தில் தோன்றுகிறது, ஆனால் மீண்டும் ஒரு முக்காடு முறையில். இந்த ஆண்டு பிரிக்ஸ் தசம மடக்கையின் எண்ணியல் தோராயத்தைக் கொடுத்தார், ஆனால் அந்த எண் அவரது படைப்பில் குறிப்பிடப்படவில்லை.

எண்ணின் அடுத்த தோற்றம் மீண்டும் சந்தேகத்திற்குரியது. 1647 ஆம் ஆண்டில், செயிண்ட்-வின்சென்ட் ஹைபர்போலா துறையின் பரப்பளவைக் கணக்கிட்டார். மடக்கைகளுடனான தொடர்பை அவர் புரிந்து கொண்டாரா என்பதை யூகிக்க மட்டுமே முடியும், ஆனால் அவர் புரிந்து கொண்டாலும், அவர் எண்ணுக்கு வர வாய்ப்பில்லை. 1661 ஆம் ஆண்டு வரை சமபக்க ஹைப்பர்போலாவிற்கும் மடக்கைக்கும் இடையிலான தொடர்பை ஹ்யூஜென்ஸ் புரிந்து கொள்ளவில்லை. ஒரு சமபக்க ஹைபர்போலாவின் சமபக்க அதிபரவளைவின் வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பகுதி, முதல் வரையிலான இடைவெளியில் சமம் என்பதை நிரூபித்தார். இந்த சொத்து இயற்கை மடக்கைகளின் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது, ஆனால் இது அந்தக் கால கணிதவியலாளர்களால் புரிந்து கொள்ளப்படவில்லை, ஆனால் அவர்கள் மெதுவாக இந்த புரிதலை அணுகினர்.

ஹைஜென்ஸ் 1661 இல் அடுத்த படியை எடுத்தார். அவர் மடக்கை என்று அழைத்த வளைவை வரையறுத்தார் (எங்கள் சொற்களஞ்சியத்தில் அதை அதிவேகமாக அழைப்போம்). இது ஒரு வகை வளைவு. மீண்டும் தசம மடக்கை தோன்றுகிறது, இது 17 தசம இலக்கங்களுக்கு துல்லியமாக ஹ்யூஜென்ஸ் கண்டுபிடிக்கிறது. இருப்பினும், இது ஒரு வகையான மாறிலியாக ஹ்யூஜென்ஸிலிருந்து எழுந்தது மற்றும் ஒரு எண்ணின் மடக்கையுடன் தொடர்புபடுத்தப்படவில்லை (எனவே, மீண்டும் அவை க்கு அருகில் வந்தன, ஆனால் அந்த எண்ணே அடையாளம் காணப்படவில்லை).

மடக்கைகளில் மேலும் வேலையில், மீண்டும் எண் வெளிப்படையாகத் தோன்றாது. இருப்பினும், மடக்கைகள் பற்றிய ஆய்வு தொடர்கிறது. 1668 இல், நிக்கோலஸ் மெர்கேட்டர் ஒரு படைப்பை வெளியிட்டார் மடக்கை தொழில்நுட்பம், இது தொடர் விரிவாக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வேலையில், மெர்கேட்டர் முதலில் அடிப்படை மடக்கைக்கு "இயற்கை மடக்கை" என்ற பெயரைப் பயன்படுத்துகிறார். எண் தெளிவாக மீண்டும் தோன்றவில்லை, ஆனால் பக்கத்தில் எங்கோ மழுப்பலாக உள்ளது.

எண் முதலில் வெளிப்படையான வடிவத்தில் மடக்கைகள் தொடர்பாக அல்ல, ஆனால் எல்லையற்ற தயாரிப்புகள் தொடர்பாக தோன்றுவது ஆச்சரியமாக இருக்கிறது. 1683 இல், ஜேக்கப் பெர்னோலி கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கிறார்

இந்த வரம்பு மற்றும் , இன் முதல் தோராயமாக நாம் நினைக்கக்கூடிய இந்த வரம்புக்கு இடையில் உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க அவர் பைனோமியல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறார். இதை நாம் வரையறையாக எடுத்துக் கொண்டாலும், ஒரு எண் வரம்பாக வரையறுக்கப்படுவது இதுவே முதல் முறை. பெர்னூலி, நிச்சயமாக, அவரது பணிக்கும் மடக்கைப் பணிக்கும் உள்ள தொடர்பைப் புரிந்து கொள்ளவில்லை.

அவர்களின் ஆய்வின் தொடக்கத்தில் மடக்கைகள் அடுக்குகளுடன் எந்த வகையிலும் இணைக்கப்படவில்லை என்று முன்னர் குறிப்பிடப்பட்டது. நிச்சயமாக, சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் அதைக் காண்கிறோம், ஆனால் இது மிகவும் பிற்பகுதியில் உணரும் வழியாகும். இங்கே நாம் உண்மையில் ஒரு மடக்கையின் செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறோம், அதேசமயம் முதலில் மடக்கை கணக்கீடுகளுக்கு உதவும் எண்ணாக மட்டுமே கருதப்பட்டது. மடக்கைச் செயல்பாடு தலைகீழ் அதிவேகமானது என்பதை முதலில் உணர்ந்தவர் ஜேக்கப் பெர்னோலி. மறுபுறம், மடக்கைகள் மற்றும் சக்திகளை இணைத்த முதல் நபர் ஜேம்ஸ் கிரிகோரியாக இருக்கலாம். 1684 ஆம் ஆண்டில், மடக்கைகளுக்கும் சக்திகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பை அவர் நிச்சயமாக அங்கீகரித்தார், ஆனால் அவர் முதல்வராக இல்லாமல் இருக்கலாம்.

1690 இல் இந்த எண் அதன் தற்போதைய வடிவத்தில் தோன்றியது என்பதை நாம் அறிவோம். லீப்னிஸ், ஹியூஜென்ஸுக்கு எழுதிய கடிதத்தில், அதற்கான பதவியைப் பயன்படுத்தினார். இறுதியாக, ஒரு பதவி தோன்றியது (இது நவீனத்துடன் ஒத்துப்போகவில்லை என்றாலும்), இந்த பதவி அங்கீகரிக்கப்பட்டது.

1697 ஆம் ஆண்டில், ஜோஹன் பெர்னோலி அதிவேக செயல்பாட்டைப் படிக்கத் தொடங்கினார் மற்றும் வெளியிடினார் பிரின்சிபியா கால்குலி எக்ஸ்போனென்ஷியல் சியூ பெர்குரென்டியம். இந்த வேலையில், பல்வேறு அதிவேகத் தொடர்களின் தொகைகள் கணக்கிடப்படுகின்றன, மேலும் சில முடிவுகள் அவற்றின் கால-படி-கால ஒருங்கிணைப்பின் மூலம் பெறப்படுகின்றன.

ஆய்லர் பல கணிதக் குறியீடுகளை அறிமுகப்படுத்தினார்
பதவியும் அவருக்கு சொந்தமானது என்பதில் ஆச்சரியமில்லை. அவர் பெயரின் முதல் எழுத்து என்பதால் அந்த எழுத்தை பயன்படுத்தியதாக கூறுவது நகைப்புக்குரியதாகத் தெரிகிறது. இது "அதிவேக" என்ற வார்த்தையிலிருந்து எடுக்கப்பட்டிருக்கலாம் என்பதால் அல்ல, ஆனால் அது "a" க்குப் பிறகு அடுத்த உயிரெழுத்து என்பதால், யூலர் ஏற்கனவே "a" குறியீட்டைப் பயன்படுத்தினார். காரணம் எதுவாக இருந்தாலும், 1731 ஆம் ஆண்டில் யூலரிடமிருந்து கோல்ட்பேக்கிற்கு எழுதிய கடிதத்தில் இந்த குறியீடானது முதன்முதலில் தோன்றுகிறது. அவர் மேலும் படித்தபோது பல கண்டுபிடிப்புகளை செய்தார், ஆனால் 1748 வரை. அனலிசின் இன்பினிடோரமில் அறிமுகம்அவர் தொடர்பான அனைத்து யோசனைகளுக்கும் முழு நியாயம் அளித்தார். என்று காட்டினார்

ஆய்லர் ஒரு எண்ணின் முதல் 18 தசம இடங்களையும் கண்டறிந்தார்:

இருப்பினும், அவர் அவற்றை எவ்வாறு பெற்றார் என்பதை விளக்காமல். இந்த மதிப்பை அவரே கணக்கிட்டார் போலும். உண்மையில், நாம் தொடரின் (1) 20 சொற்களை எடுத்துக் கொண்டால், ஆய்லர் பெற்ற துல்லியத்தைப் பெறுவோம். மற்றவர்கள் மத்தியில் சுவாரஸ்யமான முடிவுகள்சைன் மற்றும் கொசைன் மற்றும் காம்ப்ளக்ஸ் ஆகிய செயல்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பை அவரது பணி காட்டுகிறது அதிவேக செயல்பாடு, இது Moivre இன் சூத்திரத்தில் இருந்து Euler பெறப்பட்டது.

ஆய்லர் ஒரு எண்ணின் சிதைவை தொடர்ச்சியான பின்னங்களாகக் கண்டறிந்து அத்தகைய சிதைவின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுத்தார் என்பது சுவாரஸ்யமானது. குறிப்பாக, அவர் பெற்றார்
மற்றும்
இந்த பின்னங்கள் அதே வழியில் தொடர்கின்றன என்பதற்கான ஆதாரத்தை யூலர் வழங்கவில்லை, ஆனால் அத்தகைய ஆதாரம் இருந்தால், அது பகுத்தறிவற்ற தன்மையை நிரூபிக்கும் என்பதை அவர் அறிந்திருந்தார். உண்மையில், மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் (ஒவ்வொரு முறையும் சேர்க்கிறோம்) அதே வழியில் தொடர்ந்த பின்னம் தொடர்ந்தால், அது ஒருபோதும் குறுக்கிடப்படாது, மேலும் (அதனால்) பகுத்தறிவு இருக்க முடியாது. இது பகுத்தறிவற்ற தன்மையை நிரூபிக்கும் முதல் முயற்சியாகும்.

மிகவும் கணக்கிட முதல் ஒரு பெரிய எண்ணிக்கைஎண்ணின் தசம இடங்கள், 1854 இல் ஷாங்க்ஸ் ஆகும். ஷாங்க்ஸ் கணக்கிட்ட முதல் 137 இடங்கள் சரியானவை என்று கிளெய்ஷர் காட்டினார், ஆனால் பின்னர் ஒரு பிழையைக் கண்டறிந்தார். ஷாங்க்ஸ் அதை சரிசெய்தார், மேலும் 205 தசம இடங்கள் பெறப்பட்டன. உண்மையில், நீங்கள் பற்றி வேண்டும்
எண்ணின் 200 சரியான இலக்கங்களைப் பெற 120 விரிவாக்க விதிமுறைகள் (1).

1864 இல், பெஞ்சமின் பீர்ஸ் எழுதப்பட்ட ஒரு பலகையில் நின்றார்

அவரது விரிவுரைகளில் அவர் தனது மாணவர்களிடம் இவ்வாறு கூறலாம்: "தந்தையர்களே, இதன் பொருள் என்னவென்று எங்களுக்கு சிறிதும் தெரியாது, ஆனால் இது மிகவும் முக்கியமான ஒன்றைக் குறிக்கிறது என்பதை நாங்கள் உறுதியாக நம்பலாம்."

எண்ணின் பகுத்தறிவற்ற தன்மையை யூலர் நிரூபித்தார் என்று பெரும்பாலான மக்கள் நம்புகிறார்கள். இருப்பினும், இது 1873 இல் ஹெர்மைட்டால் செய்யப்பட்டது. எண் இயற்கணிதமாக உள்ளதா என்ற கேள்வி இன்னும் திறந்தே உள்ளது. இந்த திசையின் இறுதி முடிவு என்னவென்றால், எண்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று ஆழ்நிலையானது.

அடுத்து, எண்ணின் அடுத்த தசம இடங்கள் கணக்கிடப்பட்டன. 1884 இல், பூர்மன் 346 இலக்கங்களைக் கணக்கிட்டார், அதில் முதல் 187 ஷாங்க்ஸின் இலக்கங்களுடன் ஒத்துப்போனது, ஆனால் அடுத்தடுத்த இலக்கங்கள் வேறுபட்டன. 1887 ஆம் ஆண்டில், ஆடம்ஸ் தசம மடக்கையின் 272 இலக்கங்களைக் கணக்கிட்டார்.