தலைப்பு " சாய்வு காரணிசாய்வுக் கோணத்தின் தொடுகோடு” சான்றிதழ் தேர்வில் ஒரே நேரத்தில் பல பணிகள் உள்ளன. அவர்களின் நிலையைப் பொறுத்து, பட்டதாரி ஒரு முழுமையான பதிலையோ அல்லது குறுகிய பதிலையோ வழங்க வேண்டியிருக்கும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வை எடுக்கத் தயாராகும் போது, ​​மாணவர் ஒரு தொடுகோடு சாய்வைக் கணக்கிட வேண்டிய பணிகளை நிச்சயமாக மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

இதைச் செய்ய இது உங்களுக்கு உதவும் கல்வி போர்டல்"ஷ்கோல்கோவோ". எங்கள் வல்லுநர்கள் கோட்பாட்டு மற்றும் நடைமுறைப் பொருட்களை மிகவும் அணுகக்கூடிய வகையில் தயாரித்து வழங்கினர். அதை நன்கு அறிந்த பிறகு, எந்த அளவிலான பயிற்சியும் கொண்ட பட்டதாரிகள், டெரிவேடிவ்கள் தொடர்பான சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க முடியும், அதில் தொடு கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

அடிப்படை தருணங்கள்

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இத்தகைய பணிகளுக்கு சரியான மற்றும் பகுத்தறிவு தீர்வைக் கண்டறிய, அடிப்படை வரையறையை நினைவில் கொள்வது அவசியம்: வழித்தோன்றல் ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்றத்தின் விகிதத்தைக் குறிக்கிறது; இது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடு கோணத்தின் தொடுகோடுக்கு சமம். வரைபடத்தை முடிக்க சமமாக முக்கியமானது. வழித்தோன்றலில் பயன்படுத்தப்படும் சிக்கல்களுக்கான சரியான தீர்வைக் கண்டறிய இது உங்களை அனுமதிக்கும், இதில் நீங்கள் தொடு கோணத்தின் தொடுகைக் கணக்கிட வேண்டும். தெளிவுக்காக, OXY விமானத்தில் வரைபடத்தைத் திட்டமிடுவது சிறந்தது.

வழித்தோன்றல்கள் என்ற தலைப்பில் நீங்கள் ஏற்கனவே அடிப்படைப் பொருளைப் பற்றி நன்கு அறிந்திருந்தால் மற்றும் தொடு கோணத்தின் தொடுகைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கத் தயாராக இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள், நீங்கள் இதை ஆன்லைனில் செய்யலாம். ஒவ்வொரு பணிக்கும், எடுத்துக்காட்டாக, "உடலின் வேகம் மற்றும் முடுக்கத்துடன் ஒரு வழித்தோன்றலின் உறவு" என்ற தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்கள், சரியான பதில் மற்றும் தீர்வு வழிமுறையை நாங்கள் எழுதினோம். அதே நேரத்தில், மாணவர்கள் சிக்கலான பல்வேறு நிலைகளில் பணிகளைச் செய்ய பயிற்சி செய்யலாம். தேவைப்பட்டால், பயிற்சியை "பிடித்தவை" பிரிவில் சேமிக்கலாம், இதன் மூலம் நீங்கள் ஆசிரியருடன் தீர்வைப் பற்றி விவாதிக்கலாம்.

இந்த கட்டுரையில் அனைத்து வகையான சிக்கல்களையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம்

நினைவில் கொள்வோம் வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்: ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையப்பட்டால், தொடுகோட்டின் சாய்வு குணகம் (தொடுகோணத்திற்கும் அச்சின் நேர்மறை திசைக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடுக்கு சமம்) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம் புள்ளியில்.

ஆயத்தொகுப்புகளுடன் தொடுகோடு ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

மற்றும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் வலது முக்கோணம் :

இந்த முக்கோணத்தில்

இங்கிருந்து

இது புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.

தொடு சமன்பாட்டை எழுத, செயல்பாட்டின் சமன்பாடு மற்றும் தொடுகோடு வரையப்பட்ட புள்ளி ஆகியவற்றை மட்டுமே நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். பின்னர் நாம் கண்டுபிடிக்கலாம் மற்றும் .

மூன்று முக்கிய வகையான தொடு சமன்பாடு சிக்கல்கள் உள்ளன.

1. தொடர்பு புள்ளி கொடுக்கப்பட்டது

2. தொடு சாய்வு குணகம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பு.

3. தொடு புள்ளி வரையப்பட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, ஆனால் இது தொடுநிலையின் புள்ளி அல்ல.

ஒவ்வொரு வகையான பணிகளையும் பார்ப்போம்.

1 . செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டை எழுதவும் புள்ளியில் .

.

b) புள்ளியில் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும். முதலில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதில்: .

2. செயல்பாடுகள் வரைபடத்துடன் தொடுநிலையாக இருக்கும் புள்ளிகளின் abscissa ஐக் கண்டறியவும் x அச்சுக்கு இணையாக.

தொடுகோடு x-அச்சுக்கு இணையாக இருந்தால், தொடுகோடு மற்றும் அச்சின் நேர் திசைக்கு இடையே உள்ள கோணம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எனவே தொடுகோணத்தின் தொடுகோடு பூஜ்ஜியமாகும். இதன் பொருள் தொடுநிலை புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.

அ) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

b) வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம் மற்றும் தொடுவானது அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

பதில்: 0;3;5

3. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டுகளுக்கான சமன்பாடுகளை எழுதவும் , இணையான நேராக .

ஒரு தொடுகோடு ஒரு கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது. இந்த கோட்டின் சாய்வு -1. தொடுகோடு இந்த கோட்டிற்கு இணையாக இருப்பதால், தொடுகோட்டின் சாய்வும் -1 ஆகும். அது தொடுவானத்தின் சரிவை நாம் அறிவோம், மற்றும், அதன் மூலம், தொடுநிலை புள்ளியில் வழித்தோன்றல் மதிப்பு.

இது தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறியும் இரண்டாவது வகைச் சிக்கலாகும்.

எனவே, டேன்ஜென்சி புள்ளியில் வழித்தோன்றலின் செயல்பாடு மற்றும் மதிப்பு நமக்கு வழங்கப்படுகிறது.

அ) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் -1க்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

முதலில், வழித்தோன்றல் சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வழித்தோன்றலை எண் -1 க்கு சமன் செய்வோம்.

புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

(நிபந்தனையின்படி)

.

b) புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

(நிபந்தனை மூலம்).

இந்த மதிப்புகளை தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

.

பதில்:

4 . வளைவுக்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டை எழுதவும் , ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது

முதலில், புள்ளி ஒரு தொடு புள்ளியா என்பதைச் சரிபார்க்கலாம். ஒரு புள்ளி ஒரு தொடு புள்ளியாக இருந்தால், அது செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு சொந்தமானது, மேலும் அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டில் புள்ளியின் ஆயங்களை மாற்றுவோம்.

தலைப்பு="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ஒரு தொடர்பு புள்ளி அல்ல.

தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான கடைசி வகை சிக்கல் இதுவாகும். முதல் விஷயம் நாம் தொடு புள்ளியின் abscissa ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தொடர்பு புள்ளியாக இருக்கட்டும். புள்ளியானது செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு சேர்ந்தது. இந்த புள்ளியின் ஆயங்களை நாம் தொடு சமன்பாட்டில் மாற்றினால், சரியான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

.

ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு .

புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

முதலில், செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த .

ஒரு புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் சமம் .

தொடுகோடு சமன்பாட்டிற்கான வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவோம். இதற்கான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

இந்த சமன்பாட்டை தீர்ப்போம்.

பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 2 ஆல் குறைக்கவும்:

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை எளிதாக்குவோம் மற்றும் இரு பக்கங்களையும் பெருக்கலாம் - இந்த வெளிப்பாடு கண்டிப்பாக பூஜ்ஜியத்திற்கு மேல்.

சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

அதை தீர்க்கலாம். இதைச் செய்ய, இரண்டு பகுதிகளையும் ஸ்கொயர் செய்து கணினிக்கு செல்லலாம்.

தலைப்பு="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))(">!}

முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம், நாம் பெறுகிறோம்

இரண்டாவது ரூட் நிபந்தனையின் தலைப்பு="8-3x_0>=0) ஐ பூர்த்தி செய்யவில்லை">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

புள்ளியில் உள்ள வளைவுக்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டை எழுதுவோம். இதைச் செய்ய, மதிப்பை சமன்பாட்டில் மாற்றவும் - நாங்கள் ஏற்கனவே பதிவு செய்துள்ளோம்.

பதில்:
.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுகோடு சமன்பாடு

பி. ரோமானோவ், டி. ரோமானோவா,
மாக்னிடோகோர்ஸ்க்,
செல்யாபின்ஸ்க் பகுதி

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுகோடு சமன்பாடு

ITAKA+ ஹோட்டல் வளாகத்தின் ஆதரவுடன் கட்டுரை வெளியிடப்பட்டது. கப்பல் கட்டுபவர்கள் செவெரோட்வின்ஸ்க் நகரில் தங்கியிருக்கும் போது, ​​தற்காலிக வீடுகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கலை நீங்கள் சந்திக்க மாட்டீர்கள். , ஹோட்டல் வளாகமான “ITHAKA+” http://itakaplus.ru இன் இணையதளத்தில், நீங்கள் தினசரி கட்டணத்துடன், எந்த காலத்திற்கும், நகரத்தில் ஒரு குடியிருப்பை எளிதாகவும் விரைவாகவும் வாடகைக்கு எடுக்கலாம்.

அன்று நவீன நிலைகல்வியின் வளர்ச்சி, அதன் முக்கிய பணிகளில் ஒன்று ஆக்கப்பூர்வமாக சிந்திக்கும் ஆளுமையை உருவாக்குவதாகும். ஆராய்ச்சி நடவடிக்கைகளின் அடிப்படைகளில் முறையாக ஈடுபட்டால் மட்டுமே மாணவர்களிடம் படைப்பாற்றல் திறனை வளர்க்க முடியும். மாணவர்கள் தங்கள் படைப்பு சக்திகள், திறன்கள் மற்றும் திறமைகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான அடித்தளம் முழு அளவிலான அறிவு மற்றும் திறன்களை உருவாக்குகிறது. இது சம்பந்தமாக, பள்ளி கணித பாடத்தின் ஒவ்வொரு தலைப்புக்கும் அடிப்படை அறிவு மற்றும் திறன்களின் அமைப்பை உருவாக்குவதில் உள்ள சிக்கல் சிறிய முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது அல்ல. அதே நேரத்தில், முழு அளவிலான திறன்கள் தனிப்பட்ட பணிகளின் செயற்கையான இலக்காக இருக்க வேண்டும், ஆனால் அவற்றை கவனமாக சிந்திக்கும் அமைப்பாக இருக்க வேண்டும். பரந்த பொருளில், ஒரு அமைப்பு என்பது ஒருமைப்பாடு மற்றும் நிலையான கட்டமைப்பைக் கொண்ட ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட ஊடாடும் கூறுகளின் தொகுப்பாகப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுநிலைக்கான சமன்பாட்டை எவ்வாறு எழுதுவது என்பதை மாணவர்களுக்குக் கற்பிப்பதற்கான ஒரு நுட்பத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். அடிப்படையில், தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதில் உள்ள அனைத்து சிக்கல்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட தேவையைப் பூர்த்தி செய்யும் வரிகளின் தொகுப்பிலிருந்து (மூட்டை, குடும்பம்) தேர்ந்தெடுக்க வேண்டியதன் அவசியத்தைக் குறைக்கின்றன - அவை ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுக. இந்த வழக்கில், தேர்வு மேற்கொள்ளப்படும் வரிகளின் தொகுப்பை இரண்டு வழிகளில் குறிப்பிடலாம்:

a) xOy விமானத்தில் கிடக்கும் புள்ளி (கோடுகளின் மத்திய பென்சில்);
b) கோண குணகம் (நேராக கோடுகளின் இணை கற்றை).

இது சம்பந்தமாக, அமைப்பின் கூறுகளை தனிமைப்படுத்த "ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடு" என்ற தலைப்பைப் படிக்கும்போது, ​​​​இரண்டு வகையான சிக்கல்களை நாங்கள் அடையாளம் கண்டோம்:

1) அது கடந்து செல்லும் புள்ளியால் கொடுக்கப்பட்ட தொடுகோட்டில் உள்ள சிக்கல்கள்;
2) அதன் சாய்வால் கொடுக்கப்பட்ட தொடுகோட்டில் உள்ள சிக்கல்கள்.

ஏ.ஜி முன்மொழியப்பட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி தொடுநிலை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பயிற்சி மேற்கொள்ளப்பட்டது. மொர்ட்கோவிச். ஏற்கனவே அறியப்பட்டவற்றிலிருந்து அதன் அடிப்படை வேறுபாடு என்னவென்றால், தொடு புள்ளியின் அப்சிஸ்ஸா a (x0 க்கு பதிலாக) என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, எனவே தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) உடன் ஒப்பிடவும்). இது முறையான நுட்பம், எங்கள் கருத்துப்படி, பொதுவான தொடு சமன்பாட்டில் தற்போதைய புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் எங்கு எழுதப்பட்டுள்ளன, மற்றும் தொடு புள்ளிகள் எங்கே என்பதை மாணவர்கள் விரைவாகவும் எளிதாகவும் புரிந்து கொள்ள அனுமதிக்கிறது.

y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான அல்காரிதம்

1. தொடுகோடு புள்ளியின் abscissa ஐ எழுத்து a உடன் குறிப்பிடவும்.
2. f(a) கண்டுபிடி.
3. f "(x) மற்றும் f "(a) ஐக் கண்டறியவும்.
4. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்கள் a, f(a), f "(a) y = f(a) = f "(a)(x – a) என்ற பொதுவான தொடுகோடு சமன்பாட்டில் மாற்றவும்.

இந்த வழிமுறையானது மாணவர்களின் செயல்பாடுகளின் சுயாதீன அடையாளம் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாட்டின் வரிசை ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் தொகுக்கப்படலாம்.

ஒரு அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு முக்கிய பிரச்சனைக்கும் வரிசையான தீர்வு, நிலைகளில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாட்டை எழுதும் திறன்களை உருவாக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது, மேலும் வழிமுறையின் படிகள் செயல்களுக்கான குறிப்பு புள்ளிகளாக செயல்படுகின்றன. . இந்த அணுகுமுறை P.Ya ஆல் உருவாக்கப்பட்ட மன செயல்களின் படிப்படியான உருவாக்கம் கோட்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது. கால்பெரின் மற்றும் என்.எஃப். தாலிசினா.

முதல் வகை பணிகளில், இரண்டு முக்கிய பணிகள் அடையாளம் காணப்பட்டன:

• தொடுவானம் வளைவில் இருக்கும் ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது (சிக்கல் 1);
• தொடுவானம் வளைவில் இல்லாத ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது (சிக்கல் 2).

பணி 1. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதவும் புள்ளியில் எம்(3; – 2).

தீர்வு. புள்ளி M(3; – 2) என்பது ஒரு தொடு புள்ளி, என்பதால்

1. a = 3 – தொடு புள்ளியின் abscissa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – தொடுகோடு சமன்பாடு.

சிக்கல் 2. M(– 3; 6) என்ற புள்ளியின் வழியாக செல்லும் y = – x 2 – 4x + 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு அனைத்து தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளையும் எழுதவும்.

தீர்வு. புள்ளி M(- 3; 6) ஒரு தொடு புள்ளி அல்ல, ஏனெனில் f(- 3) 6 (படம் 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – தொடுகோடு சமன்பாடு.

தொடுகோடு புள்ளி M(- 3; 6) வழியாக செல்கிறது, எனவே, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் தொடுகோடு சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

a = – 4 எனில், தொடுகோடு சமன்பாடு y = 4x + 18 ஆகும்.

a = – 2 எனில், தொடுகோடு சமன்பாடு y = 6 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

இரண்டாவது வகை, முக்கிய பணிகள் பின்வருமாறு இருக்கும்:

• தொடுகோடு சில கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது (சிக்கல் 3);
• கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் தொடுகோடு செல்கிறது (சிக்கல் 4).

சிக்கல் 3. y = x 3 – 3x 2 + 3 என்ற செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில், y = 9x + 1 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக அனைத்து தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளையும் எழுதவும்.

தீர்வு.

1. a – தொடு புள்ளியின் abscissa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

ஆனால், மறுபுறம், f "(a) = 9 (இணைநிலை நிலை). இதன் பொருள் நாம் 3a 2 – 6a = 9 சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும். இதன் வேர்கள் a = – 1, a = 3 (படம் 3) )

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 - தொடுகோடு சமன்பாடு;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – தொடுகோடு சமன்பாடு.

சிக்கல் 4. y = 0.5x 2 - 3x + 1 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள், 45 ° கோணத்தில் y = 0 (படம் 4) க்கு நேர்கோட்டில் செல்கிறது.

தீர்வு. f "(a) = tan 45° என்ற நிலையில் இருந்து a: a – 3 = 1 ஐக் காண்கிறோம்^a = 4.

1. a = 4 – தொடு புள்ளியின் abscissa.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – தொடுகோடு சமன்பாடு.

மற்ற எந்த பிரச்சனைக்கும் தீர்வு ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முக்கிய பிரச்சனைகளை தீர்ப்பது என்று காட்டுவது எளிது. பின்வரும் இரண்டு பிரச்சனைகளை உதாரணமாகக் கவனியுங்கள்.

1. தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளை y = 2x 2 – 5x – 2 க்கு எழுதவும், தொடுகோணங்கள் வலது கோணங்களில் வெட்டினால், அவற்றில் ஒன்று abscissa 3 (படம் 5) உடன் புள்ளியில் பரவளையைத் தொட்டால்.

தீர்வு. தொடு புள்ளியின் abscissa கொடுக்கப்பட்டதால், தீர்வின் முதல் பகுதி முக்கிய பிரச்சனை 1 ஆக குறைக்கப்படுகிறது.

1. a = 3 - வலது கோணத்தின் பக்கங்களில் ஒன்றின் தொடு புள்ளியின் abscissa.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – முதல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு.

ஒரு விடுங்கள் முதல் தொடுகோடு சாய்வின் கோணம். தொடுகோடுகள் செங்குத்தாக இருப்பதால், இரண்டாவது தொடுகோணத்தின் சாய்வின் கோணம். சமன்பாட்டிலிருந்து y = 7x – 20 முதல் தொடுகோடு நம்மிடம் tg உள்ளது a = 7. கண்டுபிடிப்போம்

இதன் பொருள் இரண்டாவது தொடுகோட்டின் சாய்வு சமமாக உள்ளது.

மேலும் தீர்வு முக்கிய பணி 3 க்கு வருகிறது.

B(c; f(c)) இரண்டாவது வரியின் தொடு புள்ளியாக இருக்கட்டும்

1. - தொடுநிலையின் இரண்டாவது புள்ளியின் abscissa.
2.
3.
4.
- இரண்டாவது தொடுகோட்டின் சமன்பாடு.

குறிப்பு. மாணவர்கள் k 1 k 2 = – 1 என்ற செங்குத்து கோடுகளின் குணகங்களின் விகிதத்தை அறிந்தால், தொடுகோட்டின் கோணக் குணகத்தை எளிதாகக் கண்டறியலாம்.

2. அனைத்து பொதுவான தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளை சார்புகளின் வரைபடங்களுக்கு எழுதவும்

தீர்வு. பொதுவான தொடுகோடுகளின் தொடு புள்ளிகளின் abscissa ஐக் கண்டறிவதில் பணி வருகிறது, அதாவது முக்கிய பிரச்சனை 1 ஐ பொது வடிவத்தில் தீர்ப்பது, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை வரைந்து பின்னர் அதைத் தீர்ப்பது (படம் 6).

1. y = x 2 + x + 1 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள தொடு புள்ளியின் abscissa ஆக இருக்கட்டும்.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் இருக்கும் தொடு புள்ளியின் abscissa ஆக c இருக்கட்டும்
2.
3. f "(c) = c.
4.

தொடுகோடுகள் பொதுவானவை என்பதால்

எனவே y = x + 1 மற்றும் y = – 3x – 3 ஆகியவை பொதுவான தொடுகோடுகள்.

கருதப்படும் பணிகளின் முக்கிய குறிக்கோள், சில ஆராய்ச்சி திறன்கள் (பகுத்தாய்வு, ஒப்பிட்டு, பொதுமைப்படுத்துதல், கருதுகோளை முன்வைக்கும் திறன் போன்றவை) தேவைப்படும் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது முக்கிய பிரச்சனையின் வகையை சுயாதீனமாக அடையாளம் காண மாணவர்களை தயார்படுத்துவதாகும். அத்தகைய பணிகளில் எந்த பணியும் அடங்கும், அதில் முக்கிய பணி ஒரு அங்கமாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. அதன் தொடுகோடுகளின் குடும்பத்திலிருந்து ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலை (சிக்கல் 1 க்கு நேர்மாறாக) உதாரணமாகக் கருதுவோம்.

3. y = x 2 + bx + c செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு y = x மற்றும் y = – 2x தொடுகோடுகள் எதற்காக b மற்றும் c?

தீர்வு.

t என்பது பரவளைய y = x 2 + bx + c உடன் y = x என்ற நேர்கோட்டின் தொடு புள்ளியின் abscissa ஆக இருக்கட்டும்; p என்பது பரவளைய y = x 2 + bx + c உடன் y = – 2x என்ற நேர்கோட்டின் தொடுநிலைப் புள்ளியின் abscissa ஆகும். பின்னர் y = x என்ற தொடுகோடு சமன்பாடு y = (2t + b)x + c – t 2 வடிவத்தையும், y = – 2x என்ற தொடுகோடு சமன்பாடு y = (2p + b)x + c – p 2 வடிவத்தையும் எடுக்கும். .

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கி தீர்ப்போம்

பதில்:

சுயாதீனமாக தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்கள்

1. y = 2x 2 – 4x + 3 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகளை வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் y = x + 3 என்ற வரியுடன் எழுதவும்.

பதில்: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. a இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு, y = x 2 - ax செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோடு வரைபடத்தின் புள்ளியில் abscissa x 0 = 1 புள்ளி M(2; 3) வழியாக செல்கிறது?

பதில்: a = 0.5.

3. p இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு நேர்கோடு y = px – 5 வளைவு y = 3x 2 – 4x – 2 ஐத் தொடுகிறது?

பதில்: ப 1 = – 10, ப 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் அனைத்து பொதுவான புள்ளிகளையும் P(0; 16) புள்ளியின் மூலம் இந்த வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகையும் கண்டறியவும்.

பதில்: A(2; – 2), B(- 4; 52).

5. பரவளைய y = x 2 + 6x + 10 மற்றும் நேர் கோட்டிற்கு இடையே உள்ள குறுகிய தூரத்தைக் கண்டறியவும்

பதில்:

6. y = x 2 – x + 1 வளைவில், வரைபடத்தின் தொடுகோடு y – 3x + 1 = 0 என்ற நேர் கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

பதில்: எம்(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – | செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதவும் 4x |, இது இரண்டு புள்ளிகளில் தொடுகிறது. ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள்.

பதில்: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 என்ற கோடு y = x 4 + 3x 2 + 2x வளைவை வெட்டவில்லை என்பதை நிரூபிக்கவும். அவற்றின் நெருங்கிய புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

பதில்:

9. பரவளையத்தில் y = x 2, இரண்டு புள்ளிகள் abscissas x 1 = 1, x 2 = 3. இந்த புள்ளிகள் வழியாக ஒரு secant வரையப்பட்டது. பரவளையத்தின் எந்தப் புள்ளியில் அதன் தொடுகோடு செகண்டிற்கு இணையாக இருக்கும்? செகண்ட் மற்றும் டேன்ஜென்ட் சமன்பாடுகளை எழுதுங்கள்.

பதில்: y = 4x – 3 – secant சமன்பாடு; y = 4x – 4 – தொடுகோடு சமன்பாடு.

10. q கோணத்தைக் கண்டறியவும் y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டுகளுக்கு இடையில், 0 மற்றும் 1 ஆகிய புள்ளிகளுடன் வரையப்பட்டது.

பதில்: q = 45°.

11. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு எந்தப் புள்ளிகளில் ஆக்ஸ் அச்சுடன் 135° கோணத்தை உருவாக்குகிறது?

பதில்: A(0; – 1), B(4; 3).

12. புள்ளி A(1; 8) வளைவுக்கு ஒரு தொடுகோடு வரையப்பட்டது. ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு இடையே உள்ள தொடு பகுதியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

பதில்:

13. y = x 2 – x + 1 மற்றும் y = 2x 2 – x + 0.5 ஆகிய சார்புகளின் வரைபடங்களுக்கு அனைத்து பொதுவான தொடுகோடுகளின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

பதில்: y = – 3x மற்றும் y = x.

14. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும் x அச்சுக்கு இணையாக.

பதில்:

15. பரவளைய y = x 2 + 2x – 8 x அச்சில் எந்த கோணத்தில் வெட்டுகிறது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

பதில்: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. செயல்பாட்டு வரைபடம் அனைத்து புள்ளிகளையும் கண்டறியவும், ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள தொடுகோடு, இந்த வரைபடத்தின் நேர்மறை அரை-அச்சுகளை குறுக்கிடுகிறது, அவற்றிலிருந்து சமமான பகுதிகளை வெட்டுகிறது.

பதில்: A(– 3; 11).

17. கோடு y = 2x + 7 மற்றும் பரவளையம் y = x 2 – 1 புள்ளிகள் M மற்றும் N இல் வெட்டுகின்றன. M மற்றும் N புள்ளிகளில் பரவளையத்தின் தொடுகோடு கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளி K ஐக் கண்டறியவும்.

பதில்: கே(1; – 9).

18. b இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு y = x 3 – 3x + 15 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு y = 9x + b டேன்ஜென்ட் கோடு?

பதில்: – 1; 31.

19. y = 2x 2 + 3x – 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் y = kx – 10 என்ற நேர்கோட்டில் ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளி மட்டுமே k இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு உள்ளது? k இன் காணப்படும் மதிப்புகளுக்கு, புள்ளியின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

பதில்: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. b இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு, y = bx 3 – 2x 2 – 4 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுவானானது, abscissa x 0 = 2 புள்ளியுடன் M(1; 8) புள்ளியைக் கடக்கிறது?

பதில்: b = – 3.

21. ஆக்ஸ் அச்சில் உச்சியுடன் கூடிய ஒரு பரவளையமானது புள்ளி B இல் A(1; 2) மற்றும் B(2; 4) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டைத் தொடுகிறது. பரவளையத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

பதில்:

22. குணகம் k இன் எந்த மதிப்பில் பரவளையம் y = x 2 + kx + 1 ஆக்ஸ் அச்சைத் தொடுகிறது?

பதில்: k = d 2.

23. நேர்கோடு y = x + 2 மற்றும் வளைவு y = 2x 2 + 4x – 3 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

29. 45° கோணத்தில் ஆக்ஸ் அச்சின் நேர்மறையான திசையுடன் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கும் ஜெனரேட்டர்களுக்கும் இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

பதில்:

20

பதில்: நேர்கோடு y = 4x + 3.

இலக்கியம்

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பள்ளி மாணவர்களுக்கும் பல்கலைக்கழகங்களுக்குள் நுழைபவர்களுக்கும் 3600 சிக்கல்கள். - எம்., பஸ்டர்ட், 1999.
2. Mordkovich A. இளம் ஆசிரியர்களுக்கான கருத்தரங்கு நான்கு. தலைப்பு: வழித்தோன்றல் பயன்பாடுகள். - எம்., "கணிதம்", எண். 21/94.
3. மன நடவடிக்கைகளின் படிப்படியான ஒருங்கிணைப்பு கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் அறிவு மற்றும் திறன்களை உருவாக்குதல். / எட். பி.யா. கல்பெரினா, என்.எஃப். தாலிசினா. - எம்., மாஸ்கோ மாநில பல்கலைக்கழகம், 1968.

முதல் நிலை

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாடு. விரிவான வழிகாட்டி (2019)

வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன என்று உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியுமா? இல்லையென்றால், முதலில் தலைப்பைப் படியுங்கள். எனவே உங்களுக்கு வழித்தோன்றல் தெரியும் என்று சொல்கிறீர்கள். இப்போது சரிபார்ப்போம். வாதத்தின் அதிகரிப்பு சமமாக இருக்கும்போது செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும். சமாளித்தாயா? அது வேலை செய்ய வேண்டும். இப்போது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும். பதில்: . நடந்ததா? இந்த எடுத்துக்காட்டுகளில் ஏதேனும் உங்களுக்கு ஏதேனும் சிரமங்கள் இருந்தால், நீங்கள் தலைப்புக்குத் திரும்பி அதை மீண்டும் படிக்குமாறு நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறேன். தலைப்பு மிகவும் பெரியது என்று எனக்குத் தெரியும், இல்லையெனில் மேற்கொண்டு செல்வதில் அர்த்தமில்லை. சில செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள்:

வரைபட வரியில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுப்போம். அதன் abscissa ஆகட்டும், பிறகு ordinate சமம். பின்னர் நாம் புள்ளிக்கு அருகில் உள்ள abscissa உடன் புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்; அதன் ஒழுங்குமுறை:

இந்த புள்ளிகள் வழியாக ஒரு நேர்கோடு வரைவோம். இது ஒரு செகண்ட் என்று அழைக்கப்படுகிறது (வடிவியலில் உள்ளது போல). அச்சுக்கு நேர் கோட்டின் சாய்வின் கோணத்தை குறிப்போம். முக்கோணவியலைப் போலவே, இந்த கோணம் x-அச்சு எதிர் கடிகார திசையில் இருந்து அளவிடப்படுகிறது. கோணம் என்ன மதிப்புகளை எடுக்க முடியும்? இந்த நேர்கோட்டை எப்படி சாய்த்தாலும், ஒரு பாதி மேலே ஒட்டிக்கொண்டிருக்கும். எனவே, அதிகபட்ச சாத்தியமான கோணம் , மற்றும் குறைந்தபட்ச சாத்தியமான கோணம் . பொருள், . கோணம் சேர்க்கப்படவில்லை, ஏனெனில் இந்த வழக்கில் நேர் கோட்டின் நிலை சரியாக ஒத்துப்போகிறது, மேலும் சிறிய கோணத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது மிகவும் தர்க்கரீதியானது. படத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது நேர் கோடு abscissa அச்சுக்கு இணையாகவும், a என்பது ஆர்டினேட் அச்சாகவும் இருக்கும்:

படத்தில் இருந்து பார்க்க முடியும், ஏ. பின்னர் அதிகரிப்பு விகிதம்:

(இது செவ்வகமாக இருப்பதால்).

இப்போது அதைக் குறைப்போம். பின்னர் புள்ளி புள்ளியை நெருங்கும். அது எல்லையற்றதாக மாறும்போது, ​​புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு விகிதம் சமமாகிறது. செகண்டிற்கு என்ன நடக்கும்? புள்ளி புள்ளிக்கு எல்லையற்ற நெருக்கமாக இருக்கும், அதனால் அவை ஒரே புள்ளியாகக் கருதப்படலாம். ஆனால் ஒரு வளைவுடன் ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு வேறு ஒன்றும் இல்லை தொடுகோடு(இந்த வழக்கில், இந்த நிலை ஒரு சிறிய பகுதியில் மட்டுமே சந்திக்கப்படுகிறது - புள்ளிக்கு அருகில், ஆனால் இது போதும்). இந்த வழக்கில் செகண்ட் எடுக்கிறது என்று சொல்கிறார்கள் வரம்பு நிலை.

செகண்டின் சாய்வின் கோணத்தை அச்சுக்கு அழைப்போம். பின்னர் அது வழித்தோன்றல் என்று மாறிவிடும்

அது வழித்தோன்றல் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும்.

தொடுகோடு என்பது ஒரு கோடு என்பதால், இப்போது ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டை நினைவில் கொள்வோம்:

குணகம் என்ன பொறுப்பு? நேர்க்கோட்டின் சாய்வுக்கு. இது அழைக்கப்படுகிறது: சாய்வு. இதற்கு என்ன அர்த்தம்? மேலும் இது நேர்கோட்டிற்கும் அச்சிற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக உள்ளது என்பதும் உண்மை! எனவே இதுதான் நடக்கும்:

ஆனால் அதிகரித்து வரும் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு இந்த விதியைப் பெற்றோம். செயல்பாடு குறைந்துவிட்டால் என்ன மாறும்? பார்ப்போம்:
இப்போது கோணங்கள் மழுங்கிவிட்டன. மேலும் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எதிர்மறையானது. மீண்டும் கருத்தில் கொள்வோம்: . மறுபுறம், . நாம் பெறுகிறோம்: , அதாவது, எல்லாம் கடந்த முறை போலவே உள்ளது. புள்ளியை மீண்டும் புள்ளிக்கு இயக்குவோம், மற்றும் செகண்ட் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட நிலையை எடுக்கும், அதாவது, அது புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு மாறும். எனவே, இறுதி விதியை உருவாக்குவோம்:
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இந்த புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோணத்தின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும், அல்லது (அதேதான்) இந்த தொடுகோட்டின் சாய்வு:

அது தான் வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்.சரி, இவை அனைத்தும் சுவாரஸ்யமானவை, ஆனால் நமக்கு இது ஏன் தேவை? இங்கே உதாரணமாக:
படம் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், அப்சிஸ்ஸா புள்ளியில் அதன் தொடுகையும் காட்டுகிறது. புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.
நாம் சமீபத்தில் கண்டறிந்தபடி, தொடுநிலைப் புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பு, தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமம், இது அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு இந்த தொடுகோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடுக்கு சமம்: . இதன் பொருள் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறிய நாம் தொடு கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். படத்தில் நாம் தொடுகோட்டில் இரண்டு புள்ளிகளைக் குறித்துள்ளோம், அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் நமக்குத் தெரியும். எனவே இந்தப் புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் செங்கோண முக்கோணத்தின் கட்டுமானத்தை முடித்து, தொடுகோணத்தின் தொடுகோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்!

அச்சுக்கு தொடுகோடு சாய்வின் கோணம். இந்த கோணத்தின் தொடுகோடு கண்டுபிடிக்கலாம்: . எனவே, ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் சமமாக இருக்கும்.
பதில்:. இப்போது நீங்களே முயற்சி செய்யுங்கள்:

பதில்கள்:

தெரிந்து கொள்வது வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள், உள்ளூர் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்ற விதியை நாம் மிக எளிமையாக விளக்கலாம். உண்மையில், இந்த புள்ளிகளில் உள்ள வரைபடத்தின் தொடுகோடு "கிடைமட்டமானது", அதாவது x-அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது:

இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் என்ன? நிச்சயமாக, பூஜ்ஜியம்! மேலும் பூஜ்ஜியத்தின் தொடுகையும் பூஜ்ஜியமாகும். எனவே வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

"செயல்பாடுகளின் மோனோடோனிசிட்டி" என்ற தலைப்பில் இதைப் பற்றி மேலும் வாசிக்க. தீவிர புள்ளிகள்."

இப்போது தன்னிச்சையான தொடுகோடுகளில் கவனம் செலுத்துவோம். எங்களிடம் சில செயல்பாடுகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, . நாம் அதன் வரைபடத்தை வரைந்துள்ளோம், ஒரு கட்டத்தில் அதற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைய விரும்புகிறோம். உதாரணமாக, ஒரு கட்டத்தில். நாங்கள் ஒரு ஆட்சியாளரை எடுத்து, அதை வரைபடத்துடன் இணைத்து வரைகிறோம்:

இந்த வரியைப் பற்றி நமக்கு என்ன தெரியும்? ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் ஒரு கோடு பற்றி தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய மிக முக்கியமான விஷயம் என்ன? ஏனெனில் நேர்கோடு என்பது ஒரு படம் நேரியல் செயல்பாடு, அதன் சமன்பாட்டை அறிந்து கொள்வது மிகவும் வசதியாக இருக்கும். அதாவது, சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்கள்

ஆனால் எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்! இது தொடுகோட்டின் சாய்வாகும், இது அந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம்:

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இது இப்படி இருக்கும்:

இப்போது எஞ்சியிருப்பது அதைக் கண்டுபிடிப்பதுதான். இது pears ஷெல் போன்ற எளிது: அனைத்து பிறகு - மதிப்பு. வரைபட ரீதியாக, இது ஆர்டினேட் அச்சுடன் கோட்டின் குறுக்குவெட்டின் ஒருங்கிணைப்பு ஆகும் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அச்சின் அனைத்து புள்ளிகளிலும்):

அதை வரைவோம் (எனவே அது செவ்வகமானது). பின்னர் (தொடுகோணத்திற்கும் x-அச்சுக்கும் இடையில் ஒரே கோணத்தில்). என்ன மற்றும் சமம்? படம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது, ஏ. பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

பெறப்பட்ட அனைத்து சூத்திரங்களையும் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டில் இணைக்கிறோம்:

இப்போது நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

1. கண்டுபிடி தொடுகோடு சமன்பாடுஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டிற்கு.
2. ஒரு பரவளையத்தின் தொடுகோடு அச்சை ஒரு கோணத்தில் வெட்டுகிறது. இந்த தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.
3. கோடு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு இணையாக உள்ளது. தொடு புள்ளியின் abscissa ஐக் கண்டறியவும்.
4. கோடு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு இணையாக உள்ளது. தொடு புள்ளியின் abscissa ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு டேன்ஜெண்டின் சமன்பாடு. சுருக்கமான விளக்கம் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரங்கள்

ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு சார்பின் வழித்தோன்றல் இந்த புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் தொடுகோடு அல்லது இந்த தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமம்:

ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுகோடு சமன்பாடு:

தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

சரி, தலைப்பு முடிந்தது. இந்த வரிகளை நீங்கள் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் மிகவும் கூலாக இருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

ஏனென்றால் 5% பேர் மட்டுமே தாங்களாகவே ஏதாவது ஒன்றை மாஸ்டர் செய்ய முடியும். நீங்கள் இறுதிவரை படித்தால், நீங்கள் இந்த 5% இல் இருக்கிறீர்கள்!

இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொண்டீர்கள். மேலும், நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், இது... இது சூப்பர்! உங்கள் சகாக்களில் பெரும்பாலானவர்களை விட நீங்கள் ஏற்கனவே சிறந்தவர்.

பிரச்சனை என்னவென்றால், இது போதாது ...

எதற்காக?

வெற்றிக்காக ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் தேர்ச்சி, பட்ஜெட்டில் கல்லூரியில் சேருவதற்கும், மிக முக்கியமாக, வாழ்நாள் முழுவதும்.

நான் உன்னை எதையும் நம்ப வைக்க மாட்டேன், ஒன்று மட்டும் சொல்கிறேன்...

பெற்ற மக்கள் ஒரு நல்ல கல்வி, அதைப் பெறாதவர்களை விட அதிகமாக சம்பாதிக்கவும். இது புள்ளிவிவரம்.

ஆனால் இது முக்கிய விஷயம் அல்ல.

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறார்கள் (அத்தகைய ஆய்வுகள் உள்ளன). ஒருவேளை இன்னும் பல வாய்ப்புகள் அவர்களுக்கு முன்னால் திறக்கப்பட்டு வாழ்க்கை பிரகாசமாகிவிடுமா? தெரியாது...

ஆனால் நீங்களே யோசியுங்கள்...

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மற்றவர்களை விட சிறப்பாக இருக்கவும், இறுதியில் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவும் என்ன செய்ய வேண்டும்?

இந்த தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் உங்கள் கையைப் பெறுங்கள்.

தேர்வின் போது உங்களிடம் தியரி கேட்கப்படாது.

உனக்கு தேவைப்படும் நேரத்திற்கு எதிராக பிரச்சனைகளை தீர்க்க.

மேலும், நீங்கள் அவற்றைத் தீர்க்கவில்லை என்றால் (நிறைய!), நீங்கள் நிச்சயமாக எங்காவது ஒரு முட்டாள் தவற்றைச் செய்வீர்கள் அல்லது நேரமில்லாமல் இருப்பீர்கள்.

இது விளையாட்டைப் போன்றது - நிச்சயமாக வெற்றி பெற நீங்கள் அதை பல முறை மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

நீங்கள் எங்கு வேண்டுமானாலும் சேகரிப்பைக் கண்டறியவும், அவசியம் தீர்வுகளுடன், விரிவான பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவு, முடிவு, முடிவு!

நீங்கள் எங்கள் பணிகளைப் பயன்படுத்தலாம் (விரும்பினால்) மற்றும் நாங்கள் நிச்சயமாக அவற்றை பரிந்துரைக்கிறோம்.

எங்கள் பணிகளை சிறப்பாகப் பயன்படுத்த, நீங்கள் தற்போது படித்துக்கொண்டிருக்கும் YouClever பாடப்புத்தகத்தின் ஆயுளை நீட்டிக்க உதவ வேண்டும்.

எப்படி? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. இந்த கட்டுரையில் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளையும் திறக்கவும் - 299 ரப்.
2. பாடப்புத்தகத்தின் அனைத்து 99 கட்டுரைகளிலும் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகலைத் திறக்கவும் - 999 ரப்.

ஆம், எங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் இதுபோன்ற 99 கட்டுரைகள் உள்ளன மற்றும் அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகல் மற்றும் அவற்றில் உள்ள அனைத்து மறைக்கப்பட்ட உரைகளும் உடனடியாக திறக்கப்படும்.

இரண்டாவது வழக்கில் நாங்கள் உங்களுக்கு கொடுப்போம்சிமுலேட்டர் "ஒவ்வொரு தலைப்புக்கும், சிக்கலான அனைத்து நிலைகளிலும் தீர்வுகள் மற்றும் பதில்களுடன் 6000 சிக்கல்கள்." எந்தவொரு தலைப்பிலும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் உங்கள் கைகளைப் பெற இது நிச்சயமாக போதுமானதாக இருக்கும்.

உண்மையில், இது ஒரு சிமுலேட்டரை விட அதிகம் - முழு நிரல்தயாரிப்பு. தேவைப்பட்டால், நீங்கள் அதை இலவசமாகவும் பயன்படுத்தலாம்.

அனைத்து உரைகள் மற்றும் நிரல்களுக்கான அணுகல் தளத்தின் இருப்பு முழு காலத்திற்கும் வழங்கப்படுகிறது.

முடிவில்...

எங்கள் பணிகள் உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், மற்றவர்களைக் கண்டறியவும். கோட்பாட்டில் மட்டும் நிற்காதீர்கள்.

"புரிகிறது" மற்றும் "என்னால் தீர்க்க முடியும்" என்பது முற்றிலும் வேறுபட்ட திறன்கள். உங்களுக்கு இரண்டும் தேவை.

சிக்கல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்!

வேலை வகை: 7

நிலை

நேர்கோடு y=3x+2 என்பது y=-12x^2+bx-10 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுவானது. தொடு புள்ளியின் abscissa பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருப்பதால் b ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

x_0 என்பது y=-12x^2+bx-10 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள புள்ளியின் abscissa ஆக இருக்கட்டும், இதன் மூலம் இந்த வரைபடத்தின் தொடுகோடு செல்கிறது.

x_0 புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பு, தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமம், அதாவது, y"(x_0)=-24x_0+b=3. மறுபுறம், டேன்ஜென்சியின் புள்ளி இரண்டு வரைபடத்திற்கும் ஒரே நேரத்தில் சொந்தமானது. செயல்பாடு மற்றும் தொடுகோடு, அதாவது -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் \begin(வழக்குகள்) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \முடிவு(வழக்குகள்)

இந்த அமைப்பைத் தீர்க்கும் போது, ​​நாம் x_0^2=1 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது x_0=-1 அல்லது x_0=1. abscissa நிபந்தனையின்படி, தொடு புள்ளிகள் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக உள்ளன, எனவே x_0=-1, பின்னர் b=3+24x_0=-21.

பதில்

வேலை வகை: 7
தலைப்பு: வழித்தோன்றல்களின் வடிவியல் பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு

நிலை

நேர்கோடு y=-3x+4 என்பது y=-x^2+5x-7 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டுக்கு இணையாக உள்ளது. தொடு புள்ளியின் abscissa ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி x_0 இல் y=-x^2+5x-7 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு நேர்கோட்டின் கோண குணகம் y"(x_0) க்கு சமம். ஆனால் y"=-2x+5, அதாவது y" (x_0)=-2x_0+5 என்ற நிலையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள y=-3x+4 க்கு இணையான கோடுகளுக்கு சமமான x_0 மதிப்பு உள்ளது -2x_0 +5=-3.

நாம் பெறுவது: x_0 = 4.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை" எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

வேலை வகை: 7
தலைப்பு: வழித்தோன்றல்களின் வடிவியல் பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு

நிலை

தீர்வு

புள்ளி A(-6; 2) மற்றும் B(-1; 1) ஆகிய புள்ளிகள் வழியாக தொடுகோடு செல்கிறது என்பதை படத்தில் இருந்து தீர்மானிக்கிறோம். x=-6 மற்றும் y=1 ஆகிய கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை C(-6; 1) ஆல் குறிப்போம், மற்றும் \alpha கோணம் ABC (அது தீவிரமானது என்பதை படத்தில் காணலாம்). பின்னர் நேர்கோடு AB ஆனது ஆக்ஸ் அச்சின் நேர் திசையுடன் \pi -\alpha கோணத்தை உருவாக்குகிறது.

அறியப்பட்டபடி, tg(\pi -\alpha) என்பது x_0 புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பாக இருக்கும். அதை கவனி tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.இங்கிருந்து, குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

வேலை வகை: 7
தலைப்பு: வழித்தோன்றல்களின் வடிவியல் பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு

நிலை

y=-2x-4 என்ற நேர்கோடு y=16x^2+bx+12 செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுகோடு உள்ளது. தொடு புள்ளியின் abscissa பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதால் b ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

y=16x^2+bx+12 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள புள்ளியின் abscissa ஆக x_0 இருக்கட்டும்.

இந்த வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு உள்ளது.

x_0 புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பு, தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமம், அதாவது, y"(x_0)=32x_0+b=-2. மறுபுறம், டேன்ஜென்சியின் புள்ளி இரண்டு வரைபடத்திற்கும் ஒரே நேரத்தில் சொந்தமானது. செயல்பாடு மற்றும் தொடுகோடு, அதாவது 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் \begin(வழக்குகள்) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \முடிவு(வழக்குகள்)

கணினியைத் தீர்க்கும் போது, ​​நாம் x_0^2=1 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது x_0=-1 அல்லது x_0=1. abscissa நிபந்தனையின்படி, தொடு புள்ளிகள் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும், எனவே x_0=1, பின்னர் b=-2-32x_0=-34.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

வேலை வகை: 7
தலைப்பு: வழித்தோன்றல்களின் வடிவியல் பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு

நிலை

படம் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது, இது இடைவெளியில் (-2; 8) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு y=6 என்ற நேர் கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

நேர்கோடு y=6 ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். இந்த அட்டவணையில், அத்தகைய புள்ளிகள் தீவிர புள்ளிகள் (அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்). நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, 4 தீவிர புள்ளிகள் உள்ளன.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

வேலை வகை: 7
தலைப்பு: வழித்தோன்றல்களின் வடிவியல் பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு

நிலை

y=4x-6 என்ற நேர்கோடு y=x^2-4x+9 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டுக்கு இணையாக உள்ளது. தொடு புள்ளியின் abscissa ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

தன்னிச்சையான புள்ளி x_0 இல் y=x^2-4x+9 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வு y"(x_0) க்கு சமம். ஆனால் y"=2x-4, அதாவது y"(x_0)= 2x_0-4 நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள y =4x-7 இன் சாய்வு 4. இணையான கோடுகள் 2x_0-4=4 என்ற அதே கோணக் குணகங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன.

பதில்

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

வேலை வகை: 7
தலைப்பு: வழித்தோன்றல்களின் வடிவியல் பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு

நிலை

படம் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், அப்சிஸ்ஸா x_0 உடன் புள்ளியில் அதன் தொடுகையும் காட்டுகிறது. x_0 புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

புள்ளிகள் A(1; 1) மற்றும் B(5; 4) மூலம் தொடுவானம் செல்கிறது என்பதை படத்தில் இருந்து தீர்மானிக்கிறோம். x=5 மற்றும் y=1 கோடுகளின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியை C(5; 1) ஆல் குறிப்போம், மற்றும் \alpha கோணம் BAC (அது தீவிரமானது என்பதை படத்தில் காணலாம்). பின்னர் நேர்கோடு AB ஆனது ஆக்ஸ் அச்சின் நேர் திசையுடன் \alpha ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது.