Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b *a c = a b+c). Ang batas sa matematika na ito ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer exponents. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos kahit saan kung saan kinakailangan upang gawing simple ang masalimuot na multiplikasyon sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang mga logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Sa simple at naa-access na wika.

Kahulugan sa matematika

Ang logarithm ay isang expression ng sumusunod na anyo: log a b=c, iyon ay, ang logarithm ng anumang hindi negatibong numero (iyon ay, anumang positibo) "b" sa base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan "c ” kung saan kinakailangan na itaas ang base na “a” upang sa huli ay makuha ang halagang "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng isang kapangyarihan na mula 2 hanggang sa kinakailangang kapangyarihan ay makakakuha ka ng 8. Pagkatapos gumawa ng ilang mga kalkulasyon sa iyong ulo, makuha namin ang numero 3! At totoo iyon, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng sagot bilang 8.

Mga uri ng logarithms

Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. Mayroong tatlong magkakahiwalay na uri ng logarithmic expression:

1. Natural logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e = 2.7).
2. Decimal a, kung saan ang base ay 10.
3. Logarithm ng anumang numero b sa base a>1.

Ang bawat isa sa kanila ay malulutas sa isang karaniwang paraan, kabilang ang pagpapagaan, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang solong logarithm gamit ang logarithmic theorems. Upang makuha ang tamang mga halaga ng logarithms, dapat mong tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang mga ito.

Mga panuntunan at ilang mga paghihigpit

Sa matematika, mayroong ilang mga patakaran-mga hadlang na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at ang katotohanan. Halimbawa, imposibleng hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kunin ang pantay na ugat ng mga negatibong numero. Ang mga logarithm ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunang gumana kahit na may mahaba at may kakayahang logarithmic na mga expression:

• ang base "a" ay dapat palaging Higit sa zero, at sa parehong oras ay hindi katumbas ng 1, kung hindi man mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
• kung a > 0, pagkatapos ay a b >0, lumalabas na ang "c" ay dapat ding mas malaki sa zero.

Paano malutas ang mga logarithms?

Halimbawa, ang gawain ay ibinigay upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x = 100. Ito ay napakadali, kailangan mong pumili ng isang kapangyarihan sa pamamagitan ng pagtaas ng numero sampu kung saan makakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 = 100.

Ngayon, katawanin natin ang expression na ito sa logarithmic form. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nilulutas ang mga logarithm, halos lahat ng mga aksyon ay nagsasama-sama upang mahanap ang kapangyarihan kung saan kinakailangan upang ipasok ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.

Upang tumpak na matukoy ang halaga ng isang hindi kilalang degree, kailangan mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na pag-iisip at kaalaman sa talahanayan ng multiplikasyon. Gayunpaman para sa malalaking halaga kakailanganin mo ng talahanayan ng mga degree. Maaari itong magamit kahit na sa mga walang alam tungkol sa kumplikado mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c kung saan itinataas ang numero a. Sa intersection, ang mga cell ay naglalaman ng mga halaga ng numero na ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit na ang pinakatotoong humanist ay mauunawaan!

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Lumalabas na kapag ilang kundisyon ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equality. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang base 3 logarithm ng 81 na katumbas ng apat (log 3 81 = 4). Para sa mga negatibong kapangyarihan ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 = 1/32 isinulat namin ito bilang isang logarithm, nakukuha namin ang log 2 (1/32) = -5. Isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Titingnan natin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation sa ibaba, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.

Ang sumusunod na expression ay ibinigay: log 2 (x-1) > 3 - ito ay isang logarithmic inequality, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng logarithmic sign. At din sa expression ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa bilang tatlo.

Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang partikular na numerical values ​​sa sagot, habang kapag nilulutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, parehong saklaw ng katanggap-tanggap. ang mga halaga at ang mga puntos ay tinutukoy na lumalabag sa pagpapaandar na ito. Bilang resulta, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay ng mga indibidwal na numero, tulad ng sa sagot sa isang equation, ngunit isang tuluy-tuloy na serye o hanay ng mga numero.

Mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms

Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain ng paghahanap ng mga halaga ng logarithm, ang mga katangian nito ay maaaring hindi kilala. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Titingnan natin ang mga halimbawa ng mga equation sa ibang pagkakataon, tingnan muna natin ang bawat property nang mas detalyado.

1. Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: a logaB =B. Nalalapat lamang ito kapag ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.
2. Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sa kasong ito kinakailangan ay: d, s 1 at s 2 > 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa logarithmic formula na ito, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaang mag-log a s 1 = f 1 at mag-log a s 2 = f 2, pagkatapos ay a f1 = s 1, a f2 = s 2. Nakukuha namin na s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (mga katangian ng degrees ), at pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, na siyang kailangang patunayan.
3. Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Ang theorem sa anyo ng isang formula ay tumatagal ng sumusunod na anyo: log a q b n = n/q log a b.

Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of logarithm." Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay batay sa natural na postulates. Tingnan natin ang patunay.

Hayaang mag-log a b = t, lumalabas na a t =b. Kung itataas natin ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;

ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n, samakatuwid mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Ang teorama ay napatunayan.

Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay

Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithms ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at isa ring kinakailangang bahagi ng mga pagsusulit sa matematika. Para sa pagpasok sa unibersidad o pagpasa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika kailangan mong malaman kung paano lutasin nang tama ang mga ganitong problema.

Sa kasamaang palad, walang iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy hindi kilalang halaga Walang ganoong bagay bilang isang logarithm, ngunit maaari mo itong ilapat sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng matematika o logarithmic equation. ilang mga tuntunin. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o humantong sa pangkalahatang hitsura. Maaari mong gawing simple ang mahabang logarithmic expression kung gagamitin mo nang tama ang mga katangian ng mga ito. Kilalanin natin sila nang mabilis.

Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, dapat nating matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo: ang isang halimbawang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.

Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan nilang matukoy ang kapangyarihan kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Upang malutas ang mga natural na logarithms, kailangan mong ilapat ang mga logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga katangian. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problemang logarithmic ng iba't ibang uri.

Paano Gumamit ng Mga Logarithm Formula: May Mga Halimbawa at Solusyon

Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms.

1. Ang pag-aari ng logarithm ng isang produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan na palawakin pinakamahalaga mga numero b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ang sagot ay 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - tulad ng nakikita mo, gamit ang ikaapat na pag-aari ng kapangyarihan ng logarithm, nalutas namin ang isang tila kumplikado at hindi malulutas na expression. Kailangan mo lamang i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang mga exponent value sa sign ng logarithm.

Mga takdang-aralin mula sa Unified State Exam

Ang logarithms ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na ang maraming problema sa logarithmic sa Unified State Exam (pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa paaralan). Kadalasan, ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadaling bahagi ng pagsusulit ng pagsusulit), kundi pati na rin sa bahagi C (ang pinakamasalimuot at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nangangailangan ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".

Ang mga halimbawa at solusyon sa mga problema ay kinuha mula sa opisyal Mga pagpipilian sa Pinag-isang State Exam. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.

Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4, samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.

• Pinakamainam na bawasan ang lahat ng logarithms sa parehong base upang ang solusyon ay hindi masalimuot at nakakalito.
• Ang lahat ng mga expression sa ilalim ng logarithm sign ay ipinahiwatig bilang positibo, samakatuwid, kapag ang exponent ng isang expression na nasa ilalim ng logarithm sign at bilang base nito ay kinuha bilang isang multiplier, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat na positibo.

Patuloy kaming nag-aaral ng logarithms. Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin pagkalkula ng logarithms, ang prosesong ito ay tinatawag na logarithm. Una ay mauunawaan natin ang pagkalkula ng logarithms sa pamamagitan ng kahulugan. Susunod, tingnan natin kung paano matatagpuan ang mga halaga ng logarithms gamit ang kanilang mga katangian. Pagkatapos nito, tututukan namin ang pagkalkula ng logarithms sa pamamagitan ng unang tinukoy na mga halaga ng iba pang logarithms. Panghuli, alamin natin kung paano gumamit ng mga talahanayan ng logarithm. Ang buong teorya ay binibigyan ng mga halimbawa na may mga detalyadong solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Pagkalkula ng logarithms sa pamamagitan ng kahulugan

Sa pinakasimpleng mga kaso posible na gumanap nang mabilis at madali paghahanap ng logarithm sa pamamagitan ng kahulugan. Tingnan natin kung paano nangyayari ang prosesong ito.

Ang kakanyahan nito ay upang kumatawan sa bilang b sa anyong a c, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm, ang numero c ay ang halaga ng logarithm. Iyon ay, ayon sa kahulugan, ang sumusunod na hanay ng mga pagkakapantay-pantay ay tumutugma sa paghahanap ng logarithm: log a b=log a a c =c.

Kaya, ang pagkalkula ng logarithm sa pamamagitan ng kahulugan ay bumababa sa paghahanap ng isang numero c na ang isang c = b, at ang numero c mismo ay ang nais na halaga ng logarithm.

Isinasaalang-alang ang impormasyon sa mga nakaraang talata, kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay ibinigay ng isang tiyak na kapangyarihan ng logarithm base, maaari mong agad na ipahiwatig kung ano ang katumbas ng logarithm - ito ay katumbas ng exponent. Ipakita natin ang mga solusyon sa mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang log 2 2 −3, at kalkulahin din ang natural na logarithm ng numerong e 5,3.

Solusyon.

Ang kahulugan ng logarithm ay nagpapahintulot sa atin na agad na sabihin na ang log 2 2 −3 =−3. Sa katunayan, ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay katumbas ng base 2 sa −3 na kapangyarihan.

Katulad nito, nakita natin ang pangalawang logarithm: lne 5.3 =5.3.

Sagot:

log 2 2 −3 =−3 at lne 5,3 =5,3.

Kung ang numero b sa ilalim ng logarithm sign ay hindi tinukoy bilang isang kapangyarihan ng base ng logarithm, pagkatapos ay kailangan mong maingat na tumingin upang makita kung ito ay posible na magkaroon ng isang representasyon ng numero b sa form a c . Kadalasan ang representasyong ito ay medyo halata, lalo na kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay katumbas ng base sa kapangyarihan ng 1, o 2, o 3, ...

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithms log 5 25 , at .

Solusyon.

Madaling makita na 25=5 2, ito ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang unang logarithm: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng pangalawang logarithm. Ang numero ay maaaring katawanin bilang isang kapangyarihan ng 7: (tingnan kung kinakailangan). Kaya naman, .

Isulat muli natin ang ikatlong logarithm sa sumusunod na anyo. Ngayon ay makikita mo na , kung saan napagpasyahan namin iyon . Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm .

Sa madaling sabi, ang solusyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: .

Sagot:

log 5 25=2 , At .

Kapag sa ilalim ng logarithm sign mayroong isang sapat na malaki natural na numero, kung gayon hindi masasaktan na i-factor ito sa mga pangunahing kadahilanan. Madalas itong nakakatulong na kumatawan sa isang numero bilang ilang kapangyarihan ng base ng logarithm, at samakatuwid ay kalkulahin ang logarithm na ito sa pamamagitan ng kahulugan.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng logarithm.

Solusyon.

Ang ilang mga katangian ng logarithms ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na tukuyin ang halaga ng logarithms. Kasama sa mga katangiang ito ang pag-aari ng logarithm ng isa at ang pag-aari ng logarithm ng isang numero na katumbas ng base: log 1 1=log a a 0 =0 at log a a=log a a 1 =1. Iyon ay, kapag sa ilalim ng logarithm sign mayroong isang numero 1 o isang numero na katumbas ng base ng logarithm, kung gayon sa mga kasong ito ang logarithm ay katumbas ng 0 at 1, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa.

Ano ang katumbas ng logarithms at log10?

Solusyon.

Dahil , pagkatapos ay mula sa kahulugan ng logarithm ito ay sumusunod .

Sa pangalawang halimbawa, ang numero 10 sa ilalim ng logarithm sign ay tumutugma sa base nito, kaya ang decimal logarithm ng sampu ay katumbas ng isa, iyon ay, lg10=lg10 1 =1.

Sagot:

AT lg10=1 .

Tandaan na ang pagkalkula ng logarithms ayon sa kahulugan (na tinalakay natin sa nakaraang talata) ay nagpapahiwatig ng paggamit ng equality log a a p =p, na isa sa mga katangian ng logarithms.

Sa pagsasagawa, kapag ang isang numero sa ilalim ng logarithm sign at ang base ng logarithm ay madaling kinakatawan bilang isang kapangyarihan ng isang tiyak na numero, napaka-maginhawang gamitin ang formula. , na tumutugma sa isa sa mga katangian ng logarithms. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng paghahanap ng logarithm, na naglalarawan ng paggamit ng formula na ito.

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithm.

Solusyon.

Sagot:

.

Ang mga katangian ng logarithms na hindi nabanggit sa itaas ay ginagamit din sa mga kalkulasyon, ngunit pag-uusapan natin ito sa mga sumusunod na talata.

Paghahanap ng mga logarithm sa pamamagitan ng iba pang kilalang logarithms

Ang impormasyon sa talatang ito ay nagpapatuloy sa paksa ng paggamit ng mga katangian ng logarithms kapag kinakalkula ang mga ito. Ngunit dito ang pangunahing pagkakaiba ay ang mga katangian ng logarithm ay ginagamit upang ipahayag ang orihinal na logarithm sa mga tuntunin ng isa pang logarithm, ang halaga nito ay kilala. Magbigay tayo ng isang halimbawa para sa paglilinaw. Sabihin nating alam natin na log 2 3≈1.584963, pagkatapos ay mahahanap natin, halimbawa, log 2 6 sa pamamagitan ng paggawa ng kaunting pagbabago gamit ang mga katangian ng logarithm: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Sa halimbawa sa itaas, sapat na para sa amin na gamitin ang property ng logarithm ng isang produkto. Gayunpaman, mas madalas na kinakailangan na gumamit ng isang mas malawak na arsenal ng mga katangian ng logarithms upang makalkula ang orihinal na logarithm sa pamamagitan ng mga ibinigay.

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithm ng 27 hanggang base 60 kung alam mo na log 60 2=a at log 60 5=b.

Solusyon.

Kaya kailangan nating hanapin ang log 60 27 . Madaling makita na ang 27 = 3 3 , at ang orihinal na logarithm, dahil sa pag-aari ng logarithm ng kapangyarihan, ay maaaring muling isulat bilang 3·log 60 3 .

Ngayon tingnan natin kung paano ipahayag ang log 60 3 sa mga tuntunin ng mga kilalang logarithms. Ang pag-aari ng logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang equality log 60 60=1. Sa kabilang banda, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . kaya, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Kaya naman, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Sa wakas, kinakalkula namin ang orihinal na logarithm: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Sagot:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng kahulugan ng formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ng form . Pinapayagan ka nitong lumipat mula sa logarithms na may anumang base patungo sa logarithms na may isang tiyak na base, ang mga halaga nito ay kilala o posible na mahanap ang mga ito. Karaniwan, mula sa orihinal na logarithm, gamit ang formula ng paglipat, lumipat sila sa logarithms sa isa sa mga base 2, e o 10, dahil para sa mga base na ito mayroong mga talahanayan ng logarithms na nagpapahintulot sa isang tiyak na lawak tumpak na kalkulahin ang kanilang mga halaga. Sa susunod na talata ay ipapakita natin kung paano ito ginagawa.

Logarithm table at ang mga gamit nito

Para sa tinatayang pagkalkula ng mga halaga ng logarithm ay maaaring gamitin mga talahanayan ng logarithm. Ang pinakakaraniwang ginagamit na base 2 logarithm table, natural logarithm table, at decimal logarithm table. Kapag nagtatrabaho sa sistema ng decimal na numero, maginhawang gumamit ng talahanayan ng mga logarithms batay sa base ten. Sa tulong nito matututunan nating hanapin ang mga halaga ng logarithms.

Ang ipinakita na talahanayan ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang mga halaga ng decimal logarithms ng mga numero mula 1,000 hanggang 9,999 (na may tatlong decimal na lugar) na may katumpakan ng isang sampung libo. Susuriin namin ang prinsipyo ng paghahanap ng halaga ng isang logarithm gamit ang isang talahanayan ng decimal logarithms sa tiyak na halimbawa- mas malinaw sa ganoong paraan. Hanapin natin ang log1.256.

Sa kaliwang hanay ng talahanayan ng mga decimal logarithms makikita natin ang unang dalawang digit ng numerong 1.256, iyon ay, nakita natin ang 1.2 (ang numerong ito ay binilog sa asul para sa kalinawan). Ang ikatlong digit ng numerong 1.256 (digit 5) ay matatagpuan sa una o huling linya sa kaliwa ng dobleng linya (ang numerong ito ay binilog ng pula). Ang ikaapat na digit ng orihinal na numero 1.256 (digit 6) ay matatagpuan sa una o huling linya sa kanan ng dobleng linya (ang numerong ito ay binibigyang bilog ng berdeng linya). Ngayon nakita namin ang mga numero sa mga cell ng talahanayan ng mga logarithms sa intersection ng minarkahang hilera at minarkahang mga haligi (ang mga numerong ito ay naka-highlight kahel). Ang kabuuan ng mga minarkahang numero ay nagbibigay ng nais na halaga ng decimal logarithm na tumpak sa ikaapat na decimal place, iyon ay, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Posible ba, gamit ang talahanayan sa itaas, upang mahanap ang mga halaga ng decimal logarithms ng mga numero na may higit sa tatlong digit pagkatapos ng decimal point, pati na rin ang mga lumalampas sa saklaw mula 1 hanggang 9.999? Oo kaya mo. Ipakita natin kung paano ito ginagawa gamit ang isang halimbawa.

Kalkulahin natin ang lg102.76332. Una kailangan mong isulat numero sa karaniwang anyo: 102.76332=1.0276332·10 2. Pagkatapos nito, ang mantissa ay dapat na bilugan sa ikatlong decimal na lugar, mayroon kami 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, habang ang orihinal na decimal logarithm ay humigit-kumulang katumbas ng logarithm ng resultang numero, ibig sabihin, kumukuha kami ng log102.76332≈lg1.028·10 2. Ngayon inilalapat namin ang mga katangian ng logarithm: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Sa wakas, nakita namin ang halaga ng logarithm lg1.028 mula sa talahanayan ng decimal logarithms lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Bilang resulta, ang buong proseso ng pagkalkula ng logarithm ay ganito: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sa konklusyon, ito ay nagkakahalaga ng noting na gamit ang isang talahanayan ng decimal logarithms maaari mong kalkulahin ang tinatayang halaga ng anumang logarithm. Upang gawin ito, sapat na gamitin ang formula ng paglipat upang pumunta sa decimal logarithms, hanapin ang kanilang mga halaga sa talahanayan, at isagawa ang natitirang mga kalkulasyon.

Halimbawa, kalkulahin natin ang log 2 3 . Ayon sa formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm, mayroon kaming . Mula sa talahanayan ng decimal logarithms makikita natin ang log3≈0.4771 at log2≈0.3010. kaya, .

Bibliograpiya.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook para sa mga baitang 10 - 11 ng mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).

log a r b r =log a b o mag-log a b= mag-log a r b r

Ang halaga ng logarithm ay hindi magbabago kung ang base ng logarithm at ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay itataas sa parehong kapangyarihan.

Ang mga positibong numero lamang ang maaaring nasa ilalim ng logarithm sign, at ang base ng logarithm ay hindi katumbas ng isa.

Mga halimbawa.

1) Ihambing ang log 3 9 at log 9 81.

log 3 9=2, dahil 3 2 =9;

log 9 81=2, dahil 9 2 =81.

Kaya log 3 9=log 9 81.

Tandaan na ang base ng pangalawang logarithm ay katumbas ng square ng base ng unang logarithm: 9=3 2, at ang numero sa ilalim ng sign ng pangalawang logarithm ay katumbas ng square ng numero sa ilalim ng sign ng una. logarithm: 81=9 2. Ito ay lumalabas na ang parehong numero at ang base ng unang logarithm log 3 9 ay itinaas sa pangalawang kapangyarihan, at ang halaga ng logarithm ay hindi nagbago mula dito:

Susunod, mula nang i-extract ang ugat n ika degree mula sa gitna A ay ang pagtaas ng isang numero A sa antas ( 1/n), pagkatapos mula sa log 9 81 maaari kang makakuha ng log 3 9 sa pamamagitan ng pagkuha ng square root ng numero at mula sa base ng logarithm:

2) Suriin ang pagkakapantay-pantay: log 4 25=log 0.5 0.2.

Tingnan natin ang unang logarithm. Pagkuha ng square root ng base 4 at mula sa gitna 25 ; nakukuha natin: log 4 25=log 2 5.

Tingnan natin ang pangalawang logarithm. Logarithm base: 0.5= 1/2. Ang numero sa ilalim ng sign ng logarithm na ito: 0.2= 1/5. Itaas natin ang bawat isa sa mga numerong ito sa minus first power:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Kaya log 0.5 0.2=log 2 5. Konklusyon: ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo.

Lutasin ang equation:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Bawasan natin ang logarithms mula sa kaliwa hanggang sa base 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Kunin ang square root ng numero at ang base ng unang logarithm. I-extract ang pang-apat na ugat ng numero at ang base ng pangalawang logarithm.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). I-convert ang kabuuan ng logarithms sa logarithm ng produkto.

3x 2 =5x+2. Natanggap pagkatapos ng potentiation.

3x 2 -5x-2=0. Nilulutas namin ang isang quadratic equation gamit ang pangkalahatang formula para sa isang kumpletong quadratic equation:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 tunay na ugat.

Pagsusulit.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ mag-log a b

Logarithm ng isang numero b batay sa isang n katumbas ng produkto ng fraction 1/ n sa logarithm ng isang numero b batay sa a.

Hanapin:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , kung ito ay kilala na log 2 3=b,log 5 2=c.

Solusyon.

Lutasin ang mga equation:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5.25.

Solusyon.

Bawasan natin ang logarithms na ito sa base 2. Ilapat ang formula: log a n b=(1/ n)∙ mag-log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5.25;

log 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. Narito ang mga katulad na termino:

(1+0.5+0.25) log 2 x=5.25;

1.75 log 2 x=5.25 |:1.75

log 2 x=3. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm:

2) 0.5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0.25.

Solusyon.

I-convert natin ang logarithm sa base 16 sa base 4.

0.5log 4 (x-2)+0.5log 4 (x-3)=0.25 |:0.5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0.5. I-convert natin ang kabuuan ng logarithms sa logarithm ng produkto.

log 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0.5. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm:

x 2 -5x+4=0. Ayon sa teorama ni Vieta: x 1 =1; x 2 =4. Ang unang halaga ng x ay hindi gagana, dahil sa x = 1 ang logarithms ng pagkakapantay-pantay na ito ay hindi umiiral, dahil

Mga positibong numero lamang ang maaaring nasa ilalim ng logarithm sign.

Pagsusulit.

Suriin natin ang equation na ito sa x=4.

0.5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

0.5log 4 2+log 16 1=0.25

log a b=log c b/log c a b batay sa A Logarithm ng isang numero katumbas ng logarithm ng numero b sa isang bagong batayan Sa A b sa isang bagong batayan.

, na hinati sa logarithm ng lumang base

Mga halimbawa:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Kalkulahin:, kung ito ay kilala na 1) log 5 7≈0,8451; lg7≈0,6990.

lg5 c / b lg5 log

a.

log 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090. Sagot:≈1,209 0≈1,209 .

log 5 7 5 7 2) log , kung ito ay kilala na≈1,9459; ln7≈1,6094.

ln5 lg5 c / b lg5 log

Solusyon. Ilapat ang formula: log a b =log

log 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090. Sagot:≈1,209 1≈1,209 .

log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

Hanapin ang x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3. lg5 c / b lg5 Ginagamit namin ang formula: log a = mag-log a b

. Nakukuha namin:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 ..

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3. lg5 c / b lg5 Ginagamit namin ang formula: log 2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10

log a b . Nakukuha namin:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Pahina 1 ng 1 1

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

kasi \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento at base ng logarithm

Ang argumento ng isang logarithm ay karaniwang nakasulat sa antas nito, at ang base ay nakasulat sa subscript na mas malapit sa logarithm sign. At ganito ang kababasa ng entry na ito: "logarithm ng dalawampu't lima hanggang base five."

Paano makalkula ang logarithm?

Upang makalkula ang logarithm, kailangan mong sagutin ang tanong: sa anong kapangyarihan dapat itaas ang base upang makuha ang argumento?

Halimbawa, kalkulahin ang logarithm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(4\) upang makuha ang \(16\)? Halatang pangalawa. kaya naman:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(\sqrt(5)\) upang makuha ang \(1\)? Anong kapangyarihan ang gumagawa ng anumang numero uno? Syempre si Zero!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(\sqrt(7)\) upang makuha ang \(\sqrt(7)\)? Una, ang anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(3\) upang makuha ang \(\sqrt(3)\)? Mula sa alam namin na iyon ay isang fractional na kapangyarihan, na nangangahulugang ang square root ay ang kapangyarihan ng \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Halimbawa : Kalkulahin ang logarithm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solusyon :

Sagot : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Bakit naimbento ang logarithm?

Upang maunawaan ito, lutasin natin ang equation: \(3^(x)=9\). Itugma lang ang \(x\) para gumana ang pagkakapantay-pantay. Siyempre, \(x=2\).

Ngayon lutasin ang equation: \(3^(x)=8\).Ano ang katumbas ng x? Iyon ang punto.

Ang pinakamatalino ay magsasabi: "Ang X ay mas mababa ng kaunti sa dalawa." Paano eksaktong isulat ang numerong ito? Upang masagot ang tanong na ito, naimbento ang logarithm. Salamat sa kanya, ang sagot dito ay maaaring isulat bilang \(x=\log_(3)(8)\).

Gusto kong bigyang-diin na \(\log_(3)(8)\), tulad ng anumang logarithm ay isang numero lamang. Oo, mukhang hindi karaniwan, ngunit ito ay maikli. Dahil kung gusto naming isulat ito sa form decimal, pagkatapos ay magiging ganito ang hitsura: \(1.892789260714.....\)

Halimbawa : Lutasin ang equation \(4^(5x-4)=10\)

Solusyon :

Sagot : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimal at natural logarithms

Gaya ng nakasaad sa kahulugan ng isang logarithm, ang base nito ay maaaring maging anumang positibong numero maliban sa isang \((a>0, a\neq1)\). At sa lahat ng posibleng mga base, mayroong dalawa na madalas na nangyayari na ang isang espesyal na maikling notasyon ay naimbento para sa mga logarithms sa kanila:

Natural logarithm: isang logarithm na ang base ay ang numero ni Euler na \(e\) (katumbas ng humigit-kumulang \(2.7182818…\)), at ang logarithm ay isinusulat bilang \(\ln(a)\).

Yan ay, Ang \(\ln(a)\) ay kapareho ng \(\log_(e)(a)\)

Decimal Logarithm: Ang logarithm na ang base ay 10 ay nakasulat na \(\lg(a)\).

Yan ay, Ang \(\lg(a)\) ay kapareho ng \(\log_(10)(a)\), kung saan ang \(a\) ay ilang numero.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Ang logarithms ay may maraming katangian. Ang isa sa kanila ay tinatawag na "Basic Logarithmic Identity" at ganito ang hitsura:

Direktang sumusunod ang property na ito mula sa kahulugan. Tingnan natin nang eksakto kung paano nangyari ang formula na ito.

Tandaan natin maikling tala mga kahulugan ng logarithm:

kung \(a^(b)=c\), kung gayon \(\log_(a)(c)=b\)

Ibig sabihin, ang \(b\) ay kapareho ng \(\log_(a)(c)\). Pagkatapos ay maaari nating isulat ang \(\log_(a)(c)\) sa halip na \(b\) sa formula na \(a^(b)=c\). Ito ay naging \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ang pangunahing logarithmic identity.

Makakahanap ka ng iba pang mga katangian ng logarithms. Sa kanilang tulong, maaari mong pasimplehin at kalkulahin ang mga halaga ng mga expression na may logarithms, na mahirap direktang kalkulahin.

Halimbawa : Hanapin ang halaga ng expression na \(36^(\log_(6)(5))\)

Solusyon :

Sagot : \(25\)

Paano magsulat ng isang numero bilang isang logarithm?

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang anumang logarithm ay isang numero lamang. Totoo rin ang kabaligtaran: anumang numero ay maaaring isulat bilang logarithm. Halimbawa, alam namin na ang \(\log_(2)(4)\) ay katumbas ng dalawa. Pagkatapos sa halip na dalawa ay maaari mong isulat ang \(\log_(2)(4)\).

Ngunit ang \(\log_(3)(9)\) ay katumbas din ng \(2\), na nangangahulugang maaari din nating isulat ang \(2=\log_(3)(9)\) . Gayundin sa \(\log_(5)(25)\), at sa \(\log_(9)(81)\), atbp. Ibig sabihin, lumalabas

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Kaya, kung kailangan natin, maaari tayong sumulat ng dalawa bilang isang logarithm na may anumang base kahit saan (maging ito sa isang equation, sa isang expression, o sa isang hindi pagkakapantay-pantay) - isinusulat lang natin ang base squared bilang isang argumento.

Pareho ito sa triple – maaari itong isulat bilang \(\log_(2)(8)\), o bilang \(\log_(3)(27)\), o bilang \(\log_(4)( 64) \)... Dito isusulat namin ang base sa kubo bilang argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

At kasama ang apat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

At may minus one:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

At kasama ang isang ikatlo:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Anumang numero \(a\) ay maaaring katawanin bilang logarithm na may base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Halimbawa : Hanapin ang kahulugan ng expression \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solusyon :

Sagot : \(1\)

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.