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Die Beschreibung von e als „eine Konstante, die ungefähr 2,71828 entspricht …“, ist so, als würde man Pi „eine irrationale Zahl, die ungefähr 3,1415 entspricht …“ nennen. Das ist zweifellos richtig, aber der Punkt bleibt uns noch unklar.

Pi ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, das für alle Kreise gleich ist. Es handelt sich um eine grundlegende Proportion, die allen Kreisen gemeinsam ist, und daher an der Berechnung von Umfang, Fläche, Volumen und Oberfläche von Kreisen, Kugeln, Zylindern usw. beteiligt. Pi zeigt, dass alle Kreise zusammenhängen, ganz zu schweigen von den von Kreisen abgeleiteten trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens).

Die Zahl e ist das grundlegende Wachstumsverhältnis für alle kontinuierlich wachsenden Prozesse. Mit der e-Zahl können Sie eine einfache Wachstumsrate (bei der der Unterschied erst am Jahresende sichtbar ist) heranziehen und die Komponenten dieses Indikators berechnen, das normale Wachstum, bei dem mit jeder Nanosekunde (oder noch schneller) alles ein wenig wächst mehr.

Die Zahl e ist sowohl an exponentiellen als auch an konstanten Wachstumssystemen beteiligt: ​​Bevölkerung, radioaktiver Zerfall, Prozentberechnung und viele, viele andere. Auch Stufensysteme, die nicht gleichmäßig wachsen, können mit der Zahl e angenähert werden.

So wie man sich jede Zahl als „skalierte“ Version von 1 (der Basiseinheit) vorstellen kann, kann man sich jeden Kreis als „skalierte“ Version des Einheitskreises (mit Radius 1) vorstellen. Und jeder Wachstumsfaktor kann als „skalierte“ Version von e (dem „Einheits“-Wachstumsfaktor) betrachtet werden.

Die Zahl e ist also keine zufällig ausgewählte Zahl. Die Zahl e verkörpert die Idee, dass alle kontinuierlich wachsenden Systeme skalierte Versionen derselben Metrik sind.

Konzept des exponentiellen Wachstums

Schauen wir uns zunächst das Grundsystem an Doppel für einen bestimmten Zeitraum. Zum Beispiel:

• Bakterien teilen sich und „verdoppeln“ ihre Zahl alle 24 Stunden
• Wir bekommen doppelt so viele Nudeln, wenn wir sie halbieren
• Ihr Geld verdoppelt sich jedes Jahr, wenn Sie 100 % Gewinn erzielen (Glück!)

Und es sieht ungefähr so ​​aus:

Das Teilen durch zwei oder das Verdoppeln ist ein sehr einfacher Vorgang. Natürlich können wir verdreifachen oder vervierfachen, aber eine Verdoppelung ist zur Erklärung praktischer.

Wenn wir x Divisionen haben, erhalten wir mathematisch gesehen das 2^x-fache mehr gut als am Anfang. Wenn nur eine Partition erstellt wird, erhalten wir das 2^1-fache. Bei 4 Partitionen erhalten wir 2^4=16 Teile. Die allgemeine Formel sieht so aus:

Höhe= 2 x

Mit anderen Worten: Eine Verdoppelung ist eine Steigerung um 100 %. Wir können diese Formel folgendermaßen umschreiben:

Höhe= (1+100 %) x

Dies ist die gleiche Gleichheit, wir haben lediglich „2“ in seine Bestandteile geteilt, was im Wesentlichen diese Zahl ist: der Anfangswert (1) plus 100 %. Schlau, oder?

Natürlich können wir anstelle von 100 % eine beliebige andere Zahl (50 %, 25 %, 200 %) einsetzen und so die Wachstumsformel für diesen neuen Koeffizienten erhalten. Die allgemeine Formel für x Perioden der Zeitreihe lautet:

Höhe = (1+Zunahme)X

Das bedeutet einfach, dass wir die Rendite (1 + Gewinn) „x“ Mal hintereinander verwenden.

Schauen wir genauer hin

Unsere Formel geht davon aus, dass Wachstum in diskreten Schritten erfolgt. Unsere Bakterien warten und warten und dann bam!, und in letzter Minute verdoppelt sich ihre Zahl. Unser Gewinn aus den Zinsen auf die Einlage erscheint auf magische Weise genau nach einem Jahr. Basierend auf der oben beschriebenen Formel wachsen die Gewinne schrittweise. Plötzlich erscheinen grüne Punkte.

Aber die Welt ist nicht immer so. Wenn wir hineinzoomen, können wir sehen, dass sich unsere Bakterienfreunde ständig teilen:

Der grüne Kerl entsteht nicht aus dem Nichts: Er wächst langsam aus dem blauen Elternteil heraus. Nach einer Zeitspanne (in unserem Fall 24 Stunden) ist der grüne Freund bereits vollreif. Mit zunehmender Reife wird er zu einem vollwertigen blauen Mitglied der Herde und kann selbst neue grüne Zellen bilden.

Werden diese Informationen unsere Gleichung in irgendeiner Weise verändern?

Nein. Bei Bakterien können halbfertige grüne Zellen noch nichts tun, bis sie erwachsen sind und sich vollständig von ihren blauen Eltern trennen. Die Gleichung stimmt also.

Der Exponent wird als , oder bezeichnet.

Nummer e

Die Basis des Exponentengrades ist Nummer e. Dies ist eine irrationale Zahl. Es ist ungefähr gleich
e ≈ 2,718281828459045...

Die Zahl e wird durch den Grenzwert der Folge bestimmt. Dies ist das sogenannte zweite wunderbare Grenze:
.

Die Zahl e kann auch als Reihe dargestellt werden:
.

Exponentialdiagramm

Exponentialgraph, y = e x .

Die Grafik zeigt die Exponentialfunktion e bis zu einem gewissen Grad X.
j (x) = e x
Die Grafik zeigt, dass der Exponent monoton ansteigt.

Formeln

Die Grundformeln sind dieselben wie für die Exponentialfunktion mit einer Basis vom Grad e.

;
;
;

Ausdruck einer Exponentialfunktion mit beliebiger Basis vom Grad a durch eine Exponentialfunktion:
.

Private Werte

Lass dich (x) = e x.
.

Dann

Exponenteneigenschaften e > 1 .

Der Exponent hat die Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit Potenzbasis

Domäne, Wertemenge (x) = e x Exponent y
für alle x definiert.
- ∞ < x + ∞ .
Sein Definitionsbereich:
0 < y < + ∞ .

Seine vielen Bedeutungen:

Extreme, zunehmend, abnehmend

Die Exponentialfunktion ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf. Seine Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt.

Umkehrfunktion
;
.

Der Kehrwert des Exponenten ist der natürliche Logarithmus.

Ableitung des Exponenten e bis zu einem gewissen Grad X Derivat e bis zu einem gewissen Grad X :
.
gleich
.
Ableitung n-ter Ordnung:

Formeln ableiten > > >

Integral

Komplexe Zahlen Operationen mit komplexen Zahlen werden mit ausgeführt:
,
Eulers Formeln
.

Wo ist die imaginäre Einheit:

; ;
.

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

; ;
;
.

Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen

Erweiterung der Potenzreihen
Verwendete Literatur:

IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009. NUMMER. e Eine Zahl, die ungefähr 2,718 entspricht und häufig in der Mathematik und Mathematik vorkommt Naturwissenschaften . Zum Beispiel, wenn eine radioaktive Substanz mit der Zeit zerfällt T Von der ursprünglichen Stoffmenge bleibt ein Bruchteil gleich e–kt , Wo k , Wo– eine Zahl, die die Zerfallsgeschwindigkeit einer bestimmten Substanz charakterisiert. Kehrwert von 1/ , Wo wird die durchschnittliche Lebensdauer eines Atoms einer bestimmten Substanz genannt, da ein Atom im Durchschnitt eine Zeit von 1/ existiert, bevor es zerfällt , Wo. Wert 0,693/ nennt man die Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffes, d.h. die Zeit, in der die Hälfte der ursprünglichen Menge eines Stoffes zerfällt; die Zahl 0,693 entspricht ungefähr log e NUMMER 2, d.h. Logarithmus der Zahl 2 zur Basis . Ähnlich verhält es sich, wenn sich Bakterien in einem Nährmedium proportional zu ihrer Anzahl vermehren gegenwärtiger Moment . Zum Beispiel, wenn eine radioaktive Substanz mit der Zeit zerfällt, dann nach einiger Zeit anfängliche Bakterienzahl N verwandelt sich in Ne kt . Dämpfung des elektrischen Stroms ICH in einer einfachen Schaltung mit Reihenschaltung Widerstand R und Induktivität L geschieht nach dem Gesetz 0 Von der ursprünglichen Stoffmenge bleibt ein Bruchteil gleich e–kt Ich = Ich, . Dämpfung des elektrischen Stroms k = R/L . Zum Beispiel, wenn eine radioaktive Substanz mit der Zeit zerfällt 0 – aktuelle Stärke zum jeweiligen Zeitpunkt = 0. Ähnliche Formeln beschreiben Spannungsrelaxation in einer viskosen Flüssigkeit und Dämpfung Magnetfeld , Wo oft Entspannungszeit genannt. In der Statistik der Wert Von der ursprünglichen Stoffmenge bleibt ein Bruchteil gleich auftritt als die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe der Zeit . Zum Beispiel, wenn eine radioaktive Substanz mit der Zeit zerfällt Es gab keine Ereignisse, die zufällig mit einer durchschnittlichen Häufigkeit auftraten , Wo Ereignisse pro Zeiteinheit. Wenn S- der investierte Geldbetrag R Zinsen mit kontinuierlicher Abgrenzung statt Abgrenzung in diskreten Zeitabständen, dann nach Zeit . Zum Beispiel, wenn eine radioaktive Substanz mit der Zeit zerfällt Der anfängliche Betrag erhöht sich auf Setr/100.

Der Grund für die „Allgegenwart“ der Zahl NUMMER liegt darin, dass mathematische Analyseformeln, die Exponentialfunktionen oder Logarithmen enthalten, einfacher geschrieben werden, wenn die Logarithmen zur Basis genommen werden NUMMER und nicht 10 oder eine andere Basis. Zum Beispiel die Ableitung von log 10 X gleich (1/ X)Protokoll 10 NUMMER, während die Ableitung von log ex ist einfach gleich 1/ X. Ebenso die Ableitung von 2 X gleich 2 X Protokoll nennt man die Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffes, d.h. die Zeit, in der die Hälfte der ursprünglichen Menge eines Stoffes zerfällt; die Zahl 0,693 entspricht ungefähr log 2, während die Ableitung von ex gleicht einfach ex. Dies bedeutet, dass die Zahl NUMMER als Basis definiert werden B, bei dem der Graph der Funktion y = Protokoll b x hat an der Stelle X= 1 Tangente s Neigung, gleich 1, oder bei dem die Kurve y = b x hat drin X= 0 Tangente mit Steigung gleich 1. Logarithmen zur Basis NUMMER werden „natürlich“ genannt und mit ln bezeichnet X. Manchmal werden sie auch „Nepier“ genannt, was falsch ist, da tatsächlich J. Napier (1550–1617) Logarithmen mit einer anderen Basis erfunden hat: den Nepier-Logarithmus der Zahl X entspricht 10 7 log 1/ NUMMER (X/10 7) .

Verschiedene Studiengangskombinationen NUMMER Sie kommen in der Mathematik so häufig vor, dass sie besondere Namen haben. Dies sind beispielsweise hyperbolische Funktionen

Graph einer Funktion j= Kap X Oberleitung genannt; Dies ist die Form eines schweren, nicht dehnbaren Fadens oder einer Kette, die an den Enden hängt. Eulers Formeln

Wo ich 2 = –1, Bindungszahl NUMMER mit Trigonometrie. Sonderfall x = p führt zu der berühmten Beziehung e ip+ 1 = 0, verbindet die 5 berühmtesten Zahlen der Mathematik.

Die Zahl „e“ ist eine der wichtigsten mathematischen Konstanten, von der jeder im Mathematikunterricht in der Schule gehört hat. Concepture veröffentlicht einen populären Aufsatz, geschrieben von einem Humanisten für Humanisten, in dem zugängliche Sprache wird sagen, warum und warum die Eulersche Zahl existiert.

Was haben unser Geld und die Eulersche Zahl gemeinsam?

Während die Nummer π (pi) Es gibt ein ganz bestimmtes geometrische Bedeutung und es wurde von alten Mathematikern verwendet, dann die Zahl e(Eulers Zahl) hat erst vor relativ kurzer Zeit ihren wohlverdienten Platz in der Wissenschaft eingenommen und ihre Wurzeln reichen direkt in finanzielle Fragen zurück.

Seit der Erfindung des Geldes ist sehr wenig Zeit vergangen, als den Menschen klar wurde, dass Währungen zu einem bestimmten Zinssatz geliehen oder verliehen werden können. Natürlich verwendeten „alte“ Geschäftsleute nicht den bekannten Begriff „Prozentsatz“, aber eine Erhöhung des Betrags um einen bestimmten Indikator über einen bestimmten Zeitraum war ihnen vertraut.

Auf dem Foto: eine Banknote im Wert von 10 Franken mit dem Bild von Leonhard Euler (1707-1783).

Wir werden uns nicht näher mit dem Beispiel mit 20 % pro Jahr befassen, da es zu lange dauert, von dort zur Euler-Zahl zu gelangen. Lassen Sie uns die Bedeutung dieser Konstante am häufigsten und klarsten erklären. Dazu müssen wir uns ein wenig vorstellen und uns vorstellen, dass uns eine Bank anbietet, Geld zu 100 % pro Jahr einzuzahlen.

Gedankenfinanzielles Experiment

Für dieses Gedankenexperiment können Sie einen beliebigen Betrag nehmen und das Ergebnis wird immer identisch sein, aber ausgehend von 1 können wir direkt zum ersten Näherungswert der Zahl kommen e. Nehmen wir also an, wir investieren 1 Dollar auf die Bank. Bei einem Zinssatz von 100 % pro Jahr werden wir am Ende des Jahres 2 Dollar haben.

Dies ist jedoch nur möglich, wenn die Zinsen einmal im Jahr aktiviert (addiert) werden. Was wäre, wenn sie zweimal im Jahr Kapital schlagen würden? Das heißt, alle sechs Monate werden 50 % abgegrenzt, und die zweiten 50 % werden nicht mehr vom ursprünglichen Betrag, sondern von dem um die ersten 50 % erhöhten Betrag abgegrenzt. Wird das für uns profitabler sein?

Visuelle Infografik, die die geometrische Bedeutung der Zahl zeigt π .

Natürlich wird es so sein. Bei einer Kapitalisierung zweimal im Jahr haben wir nach sechs Monaten 1,50 $ auf dem Konto. Bis zum Jahresende kommen weitere 50 % von 1,50 $ hinzu, so dass der Gesamtbetrag 2,25 $ beträgt. Was passiert, wenn die Kapitalisierung jeden Monat durchgeführt wird?

Jeden Monat werden uns 100/12 % (also ca. 8,(3) %) gutgeschrieben, was sich als noch profitabler erweisen wird – am Ende des Jahres werden wir 2,61 $ haben. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Gesamtbetrags für eine beliebige Anzahl von Kapitalisierungen (n) pro Jahr sieht wie folgt aus:

Gesamtbetrag = 1(1+1/n) n

Es stellt sich heraus, dass wir mit einem Wert von n = 365 (das heißt, wenn unsere Zinsen jeden Tag kapitalisiert werden) diese Formel erhalten: 1(1+1/365) 365 = 2,71 $. Aus Lehr- und Nachschlagewerken wissen wir, dass e ungefähr 2,71828 beträgt, d.

Das Wachstum von n kann unbegrenzt weitergehen, und je größer sein Wert, desto genauer können wir die Euler-Zahl berechnen, bis hin zur Dezimalstelle, die wir aus irgendeinem Grund benötigen.

Diese Regel beschränkt sich natürlich nicht nur auf unsere finanziellen Interessen. Mathematische Konstanten sind alles andere als „Spezialisten“ – sie funktionieren unabhängig vom Anwendungsgebiet gleich gut. Wenn Sie also tief graben, können Sie sie in fast jedem Lebensbereich finden.

Es stellt sich heraus, dass die Zahl e so etwas wie ein Maß für alle Veränderungen und „die natürliche Sprache der mathematischen Analyse“ ist. Schließlich ist „Matan“ eng mit den Konzepten der Differenzierung und Integration verbunden, und beide Operationen befassen sich mit unendlich kleinen Änderungen, die durch die Zahl so perfekt charakterisiert werden e .

Einzigartige Eigenschaften der Euler-Zahl

Nachdem wir das verständlichste Beispiel für eine Erklärung des Aufbaus einer der Formeln zur Berechnung einer Zahl betrachtet haben e Schauen wir uns kurz ein paar weitere Fragen an, die sich direkt darauf beziehen. Und eine davon: Was ist so einzigartig an der Euler-Zahl?

Theoretisch ist absolut jede mathematische Konstante einzigartig und jede hat ihre eigene Geschichte, aber, sehen Sie, den Anspruch auf den Titel natürliche Sprache Die mathematische Analyse ist eine ziemlich gewichtige Behauptung.

Die ersten tausend Werte von ϕ(n) für die Euler-Funktion.

Allerdings ist die Zahl e Dafür gibt es Gründe. Beim Zeichnen eines Diagramms der Funktion y = e x wird eine bemerkenswerte Tatsache deutlich: Nicht nur ist y gleich e x, sondern auch die Steigung der Kurve und die Fläche unter der Kurve entsprechen demselben Indikator. Das heißt, die Fläche unter der Kurve von einem bestimmten Wert von y bis minus unendlich.

Keine andere Zahl kann sich damit rühmen. Für uns Humanisten (oder einfach NICHT Mathematiker) sagt eine solche Aussage wenig, aber die Mathematiker selbst behaupten, dass dies sehr wichtig ist. Warum ist es wichtig? Wir werden versuchen, dieses Problem ein anderes Mal zu verstehen.

Logarithmus als Voraussetzung für die Eulersche Zahl

Vielleicht erinnert sich jemand aus der Schule, dass die Eulersche Zahl auch die Basis des natürlichen Logarithmus ist. Nun, das steht im Einklang mit seiner Natur als Maß für alle Veränderungen. Doch was hat Euler damit zu tun? Der Fairness halber sei angemerkt, dass e manchmal auch als Napier-Zahl bezeichnet wird, aber ohne Euler wäre die Geschichte unvollständig, ebenso wie ohne die Erwähnung von Logarithmen.

Die Erfindung des Logarithmus im 17. Jahrhundert durch den schottischen Mathematiker John Napier wurde zu einem der Großveranstaltungen Geschichte der Mathematik. Bei der Jubiläumsfeier dieses Ereignisses im Jahr 1914 äußerte sich Lord Moulton wie folgt darüber:

„Die Erfindung des Logarithmus war für wissenschaftliche Welt wie ein Blitz aus heiterem Himmel. Keine frühere Arbeit hat dazu geführt, diese Entdeckung vorhergesagt oder versprochen. Es steht abseits, es bricht aus menschliches Denken plötzlich, ohne etwas von der Arbeit anderer Köpfe zu übernehmen und ohne den damals bereits bekannten Richtungen des mathematischen Denkens zu folgen.“

Pierre-Simon Laplace, der berühmte französische Mathematiker und Astronom, drückte die Bedeutung dieser Entdeckung noch dramatischer aus: „Die Erfindung der Logarithmen verdoppelte das Leben des Astronomen, indem sie die Stunden mühsamer Arbeit verkürzte.“ Was hat Laplace so beeindruckt? Und der Grund ist ganz einfach: Logarithmen haben es Wissenschaftlern ermöglicht, die Zeit, die normalerweise für umständliche Berechnungen aufgewendet wird, erheblich zu reduzieren.

Im Allgemeinen vereinfachten Logarithmen Berechnungen – sie verschoben sie auf der Komplexitätsskala um eine Ebene nach unten. Einfach ausgedrückt: Anstatt zu multiplizieren und zu dividieren, mussten wir Additions- und Subtraktionsoperationen durchführen. Und das ist viel effektiver.

e- Basis des natürlichen Logarithmus

Nehmen wir an, dass Napier ein Pionier auf dem Gebiet der Logarithmen war – ihr Erfinder. Zumindest veröffentlichte er seine Erkenntnisse zuerst. In diesem Fall stellt sich die Frage: Was ist Eulers Verdienst?

Es ist ganz einfach: Er kann als Napiers ideologischer Erbe und als der Mann bezeichnet werden, der das Lebenswerk des schottischen Wissenschaftlers zu seinem logarithmischen (sprich logischen) Abschluss brachte. Interessant, ist das überhaupt möglich?

Ein sehr wichtiger Graph, der mit dem natürlichen Logarithmus erstellt wurde.

Genauer gesagt leitete Euler die Basis des natürlichen Logarithmus ab, die heute als Zahl bekannt ist e oder Eulers Zahl. Darüber hinaus hat er seinen Namen öfter in die Geschichte der Wissenschaft geschrieben, als Vasya sich jemals hätte erträumen können, der es anscheinend geschafft hat, überall zu „besuchen“.

Leider sind die spezifischen Prinzipien der Arbeit mit Logarithmen Gegenstand eines separaten großen Artikels. Vorerst genügt es also zu sagen, dass der Fortschritt der Wissenschaft dank der Arbeit einer Reihe engagierter Wissenschaftler, die buchstäblich Jahre ihres Lebens der Erstellung logarithmischer Tabellen gewidmet haben, zu einer Zeit, als noch nie jemand etwas von Taschenrechnern gehört hatte, erheblich beschleunigt wurde .

Auf dem Foto: John Napier – schottischer Mathematiker, Erfinder des Logarithmus (1550-1617).

Es ist lustig, aber dieser Fortschritt führte letztendlich dazu, dass diese Tabellen veraltet waren, und der Grund dafür war genau das Aufkommen von Handrechnern, die die Aufgabe, diese Art von Berechnung durchzuführen, vollständig übernahmen.

Vielleicht haben Sie auch schon von Rechenschiebern gehört? Einst konnten Ingenieure oder Mathematiker nicht ohne sie auskommen, doch heute ist es fast wie ein Astrolabium – interessantes Werkzeug, aber mehr in Bezug auf die Geschichte der Wissenschaft als in der Alltagspraxis.

Warum ist es so wichtig, die Basis eines Logarithmus zu sein?

Es stellt sich heraus, dass die Basis des Logarithmus eine beliebige Zahl sein kann (zum Beispiel 2 oder 10), aber gerade aufgrund der einzigartigen Eigenschaften der Euler-Zahl ist der Logarithmus zur Basis e natürlich genannt. Es ist sozusagen in die Struktur der Realität eingebaut – es gibt kein Entkommen und auch keine Notwendigkeit, weil es das Leben von Wissenschaftlern, die in verschiedenen Bereichen arbeiten, erheblich vereinfacht.

Lassen Sie uns auf der Website von Pavel Berdov eine verständliche Erklärung der Natur des Logarithmus geben. Logarithmus zur Basis A aus Argument X ist die Potenz, mit der die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Grafisch wird dies wie folgt dargestellt:

log a x = b, wobei a die Basis, x das Argument und b der Logarithmus ist.

Zum Beispiel: 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist 3, weil 2 3 = 8).

Oben haben wir die Zahl 2 im Bild der Basis des Logarithmus gesehen, aber Mathematiker sagen das am häufigsten talentierter Schauspieler Diese Rolle spielt die Euler-Zahl. Nehmen wir sie beim Wort... Und schauen Sie es sich dann selbst an.

Schlussfolgerungen

Es ist wahrscheinlich schlimm, dass es drinnen ist höhere Bildung so stark getrennt sind natürlich und Geisteswissenschaften. Manchmal führt dies zu einer zu großen „Schiefe“ und es stellt sich heraus, dass es absolut uninteressant ist, mit einer Person, die sich beispielsweise in Physik und Mathematik gut auskennt, über andere Themen zu sprechen.

Und umgekehrt kann man ein erstklassiger Literaturspezialist sein, aber gleichzeitig völlig hilflos sein, wenn es um die gleiche Physik und Mathematik geht. Aber alle Wissenschaften sind auf ihre Art interessant.

Wir hoffen, dass wir Ihnen durch den Versuch, unsere eigenen Grenzen im Rahmen des improvisierten Programms „Ich bin Humanist, aber ich befinde mich in Behandlung“ zu überwinden, dabei geholfen haben, etwas Neues aus einem nicht ganz vertrauten wissenschaftlichen Bereich zu lernen und vor allem zu verstehen.

Nun, für diejenigen, die mehr über die Euler-Zahl erfahren möchten, können wir mehrere Quellen empfehlen, die auch jemand, der weit von der Mathematik entfernt ist, verstehen kann, wenn er möchte: Eli Maor beschreibt dies ausführlich in seinem Buch „e: Die Geschichte einer Zahl“. und klar der Hintergrund und die Geschichte der Euler-Zahl.

Außerdem finden Sie im Abschnitt „Empfohlen“ unter diesem Artikel die Namen von YouTube-Kanälen und Videos, die von professionellen Mathematikern gefilmt wurden, um die Euler-Zahl so klar zu erklären, dass sie auch für Laien verständlich ist. Es stehen russische Untertitel zur Verfügung.

Wie etwas Unbedeutendes. Dies geschah im Jahr 1618. Im Anhang zu Napiers Werk über Logarithmen wurde eine Tabelle mit natürlichen Logarithmen verschiedener Zahlen angegeben. Allerdings erkannte niemand, dass es sich dabei um Logarithmen zur Basis handelte, da der Begriff eines Logarithmus damals so etwas wie eine Basis noch nicht beinhaltete. Dies nennen wir heute einen Logarithmus, die Potenz, mit der die Basis erhöht werden muss, um die erforderliche Zahl zu erhalten. Wir werden später darauf zurückkommen. Die Tabelle im Anhang wurde höchstwahrscheinlich von Augthred erstellt, der Autor wurde jedoch nicht identifiziert. Einige Jahre später, im Jahr 1624, taucht es erneut in der mathematischen Literatur auf, allerdings erneut in verschleierter Form. In diesem Jahr lieferte Briggs eine numerische Annäherung an den Dezimallogarithmus, die Zahl selbst wird in seiner Arbeit jedoch nicht erwähnt.

Das nächste Erscheinen der Nummer ist erneut zweifelhaft. Im Jahr 1647 berechnete Saint-Vincent die Fläche des Hyperbelsektors. Ob er den Zusammenhang mit Logarithmen verstand, kann nur vermutet werden, aber selbst wenn er es verstanden hätte, wäre es unwahrscheinlich, dass er zur Zahl selbst kommen könnte. Erst 1661 verstand Huygens den Zusammenhang zwischen der gleichseitigen Hyperbel und den Logarithmen. Er bewies, dass die Fläche unter dem Graphen einer gleichseitigen Hyperbel im Intervall von bis gleich ist. Diese Eigenschaft bildet die Grundlage für natürliche Logarithmen, aber die damaligen Mathematiker verstanden dies nicht, sie näherten sich diesem Verständnis jedoch langsam.

Huygens machte 1661 den nächsten Schritt. Er definierte eine Kurve, die er logarithmisch nannte (in unserer Terminologie nennen wir sie exponentiell). Dies ist eine Typkurve. Und wieder taucht der dezimale Logarithmus auf, der laut Huygens auf 17 Dezimalstellen genau ist. Sie entstand jedoch bei Huygens als eine Art Konstante und war nicht mit dem Logarithmus einer Zahl verbunden (sie näherten sich also wieder an, aber die Zahl selbst bleibt unerkannt).

In weiteren Arbeiten zu Logarithmen taucht die Zahl wiederum nicht explizit auf. Das Studium der Logarithmen geht jedoch weiter. Im Jahr 1668 veröffentlichte Nicolaus Mercator ein Werk Logarithmotechnik, das eine Serienerweiterung enthält. In dieser Arbeit verwendet Mercator zunächst die Bezeichnung „natürlicher Logarithmus“ für den Basislogarithmus. Die Zahl taucht offensichtlich nicht wieder auf, bleibt aber irgendwo daneben verborgen.

Es ist überraschend, dass die Zahl zum ersten Mal in expliziter Form nicht im Zusammenhang mit Logarithmen, sondern im Zusammenhang mit unendlichen Produkten auftritt. Im Jahr 1683 versucht Jacob Bernoulli es zu finden

Er verwendet den Binomialsatz, um zu beweisen, dass dieser Grenzwert zwischen und liegt, was wir uns als erste Näherung für vorstellen können. Obwohl wir davon ausgehen, dass dies die Definition von ist, ist dies das erste Mal, dass eine Zahl als Grenzwert definiert wurde. Bernoulli verstand natürlich nicht den Zusammenhang zwischen seiner Arbeit und der Arbeit über Logarithmen.

Es wurde bereits erwähnt, dass Logarithmen zu Beginn ihrer Studie in keiner Weise mit Exponenten verbunden waren. Natürlich finden wir das aus der Gleichung, aber das ist eine viel spätere Art der Wahrnehmung. Hier meinen wir eigentlich eine Funktion mit einem Logarithmus, während der Logarithmus zunächst nur als Zahl betrachtet wurde, die bei Berechnungen hilft. Jacob Bernoulli war möglicherweise der Erste, der erkannte, dass die logarithmische Funktion die umgekehrte Exponentialfunktion ist. Andererseits könnte James Gregory der erste gewesen sein, der Logarithmen und Potenzen miteinander verbunden hat. 1684 erkannte er sicherlich den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen, aber er war möglicherweise nicht der Erste.

Wir wissen, dass die Zahl in ihrer heutigen Form im Jahr 1690 erschien. Leibniz verwendete die Bezeichnung in einem Brief an Huygens. Schließlich erschien eine Bezeichnung (obwohl sie nicht mit der modernen übereinstimmte), und diese Bezeichnung wurde anerkannt.

Im Jahr 1697 begann Johann Bernoulli mit dem Studium der Exponentialfunktion und veröffentlichte Das Prinzip der Exponentialkalküle ist ihr Percurrentium. In dieser Arbeit werden die Summen verschiedener Exponentialreihen berechnet und einige Ergebnisse werden durch deren Term-für-Term-Integration erhalten.

Euler führte so viele mathematische Notationen ein
Es überrascht nicht, dass die Bezeichnung auch ihm gehört. Es erscheint lächerlich zu sagen, dass er den Buchstaben verwendet hat, weil es der erste Buchstabe seines Namens ist. Das liegt wahrscheinlich nicht einmal daran, dass es vom Wort „exponential“ abgeleitet ist, sondern einfach daran, dass es sich um den nächsten Vokal nach „a“ handelt und Euler in seinem Werk bereits die Notation „a“ verwendet hatte. Unabhängig vom Grund erscheint die Notation erstmals in einem Brief von Euler an Goldbach im Jahr 1731. Während seiner weiteren Studien machte er viele Entdeckungen, jedoch erst 1748. Einführung in Analysin infinitorum Er begründete alle diesbezüglichen Ideen vollständig. Das hat er gezeigt

Euler hat auch die ersten 18 Dezimalstellen einer Zahl gefunden:

allerdings ohne zu erklären, wie er sie bekommen hat. Es sieht so aus, als hätte er diesen Wert selbst berechnet. Wenn wir etwa 20 Terme der Reihe (1) nehmen, erhalten wir tatsächlich die Genauigkeit, die Euler erreicht hat. Unter anderem interessante Ergebnisse Seine Arbeit zeigt den Zusammenhang zwischen den Funktionen Sinus und Cosinus und dem Komplex Exponentialfunktion, die Euler aus Moivres Formel abgeleitet hat.

Interessant ist, dass Euler sogar die Zerlegung einer Zahl in Kettenbrüche fand und Beispiele für eine solche Zerlegung anführte. Insbesondere erhielt er
Und
Euler lieferte keinen Beweis dafür, dass diese Brüche auf die gleiche Weise fortbestehen, aber er wusste, dass ein solcher Beweis die Irrationalität beweisen würde. Wenn der Kettenbruch für genauso fortgesetzt würde wie im obigen Beispiel (wir fügen jedes Mal hinzu), dann würde er niemals unterbrochen werden und (und könnte daher) nicht rational sein. Dies ist offensichtlich der erste Versuch, Irrationalität zu beweisen.

Der erste, der ganz gerechnet hat große Zahl Dezimalstellen der Zahl, war Shanks im Jahr 1854. Glaisher zeigte, dass die ersten 137 von Shanks berechneten Stellen korrekt waren, stellte dann aber einen Fehler fest. Shanks korrigierte es und es wurden 205 Dezimalstellen ermittelt. In Wirklichkeit brauchen Sie ungefähr
120 Erweiterungsterme (1), um 200 korrekte Ziffern der Zahl zu erhalten.

Im Jahr 1864 stand Benjamin Peirce neben einer Tafel, auf der geschrieben stand

In seinen Vorlesungen könnte er seinen Studenten sagen: „Meine Herren, wir haben nicht die geringste Ahnung, was das bedeutet, aber wir können sicher sein, dass es etwas sehr Wichtiges bedeutet.“

Die meisten Menschen glauben, dass Euler die Irrationalität der Zahl bewiesen hat. Dies wurde jedoch 1873 von Hermite durchgeführt. Die Frage, ob die Zahl algebraisch ist, bleibt weiterhin offen. Das Endergebnis in dieser Richtung ist, dass mindestens eine der Zahlen transzendent ist.

Als nächstes wurden die nächsten Dezimalstellen der Zahl berechnet. Im Jahr 1884 berechnete Boorman 346 Ziffern, von denen die ersten 187 mit den Ziffern von Shanks übereinstimmten, die folgenden jedoch unterschiedlich waren. Im Jahr 1887 berechnete Adams die 272 Stellen des Dezimallogarithmus.