Mit diesem Video beginne ich eine Reihe von Lektionen zum Thema Gleichungssysteme. Heute werden wir über das Lösen von Systemen sprechen lineare Gleichungen Additionsmethode- das ist eines der meisten einfache Wege, aber gleichzeitig einer der effektivsten.

Die Additionsmethode besteht aus drei einfache Schritte:

1. Schauen Sie sich das System an und wählen Sie eine Variable aus, die in jeder Gleichung identische (oder entgegengesetzte) Koeffizienten aufweist.
2. Führen Sie eine algebraische Subtraktion (für entgegengesetzte Zahlen - Addition) von Gleichungen voneinander durch und bringen Sie dann ähnliche Terme mit;
3. Lösen Sie die neue Gleichung, die Sie nach dem zweiten Schritt erhalten.

Wenn alles richtig gemacht ist, erhalten wir am Ausgang eine einzige Gleichung mit einer Variablen- Es wird nicht schwer sein, es zu lösen. Dann müssen Sie nur noch die gefundene Wurzel in das ursprüngliche System einsetzen und die endgültige Antwort erhalten.

In der Praxis ist jedoch nicht alles so einfach. Dafür gibt es mehrere Gründe:

• Das Lösen von Gleichungen mit der Additionsmethode impliziert, dass alle Zeilen Variablen mit gleichen/entgegengesetzten Koeffizienten enthalten müssen. Was tun, wenn diese Anforderung nicht erfüllt ist?
• Nicht immer erhalten wir nach der Addition/Subtraktion von Gleichungen auf die angegebene Weise eine schöne Konstruktion, die leicht gelöst werden kann. Ist es möglich, die Berechnungen irgendwie zu vereinfachen und zu beschleunigen?

Um die Antwort auf diese Fragen zu erhalten und gleichzeitig einige weitere Feinheiten zu verstehen, an denen viele Schüler scheitern, schauen Sie sich meine Videolektion an:

Mit dieser Lektion beginnen wir eine Reihe von Vorlesungen über Gleichungssysteme. Und wir beginnen mit den einfachsten davon, nämlich denen, die zwei Gleichungen und zwei Variablen enthalten. Jeder von ihnen wird linear sein.

Systeme sind Stoff für die 7. Klasse, aber diese Lektion wird auch für Oberstufenschüler nützlich sein, die ihr Wissen zu diesem Thema auffrischen möchten.

Im Allgemeinen gibt es zwei Methoden zur Lösung solcher Systeme:

1. Additionsmethode;
2. Eine Methode, eine Variable durch eine andere auszudrücken.

Heute beschäftigen wir uns mit der ersten Methode – wir verwenden die Methode der Subtraktion und Addition. Dazu müssen Sie jedoch die folgende Tatsache verstehen: Sobald Sie zwei oder mehr Gleichungen haben, können Sie zwei beliebige davon nehmen und sie miteinander addieren. Sie werden Mitglied für Mitglied hinzugefügt, d.h. „X“ werden zu „X“ addiert und Ähnliches wird angegeben, „Y“ mit „Y“ wird wieder ähnlich, und was rechts vom Gleichheitszeichen steht, wird auch zueinander addiert, und Ähnliches wird auch dort angegeben .

Das Ergebnis solcher Machenschaften wird eine neue Gleichung sein, die, wenn sie Wurzeln hat, sicherlich zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung gehören wird. Daher besteht unsere Aufgabe darin, die Subtraktion oder Addition so durchzuführen, dass entweder $x$ oder $y$ verschwindet.

Wie Sie dies erreichen und welches Tool Sie dafür verwenden können – darüber sprechen wir jetzt.

Einfache Probleme durch Addition lösen

Wir lernen also, die Additionsmethode am Beispiel zweier einfacher Ausdrücke anzuwenden.

Aufgabe Nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Beachten Sie, dass $y$ in der ersten Gleichung einen Koeffizienten von $-4$ und in der zweiten $+4$ hat. Sie sind einander entgegengesetzt, daher ist es logisch anzunehmen, dass sich die „Spiele“ gegenseitig zerstören, wenn wir sie addieren. Addiere es und erhalte:

Lösen wir die einfachste Konstruktion:

Super, wir haben das „x“ gefunden. Was sollen wir jetzt damit machen? Wir haben das Recht, es in jede der Gleichungen einzusetzen. Ersetzen wir im ersten:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Antwort: $\left(2;-3 \right)$.

Problem Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Hier ist die Situation völlig ähnlich, nur mit „X“. Addieren wir sie:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung, lösen wir sie:

Jetzt suchen wir nach $x$:

Antwort: $\left(-3;3 \right)$.

Wichtige Punkte

Wir haben also gerade zwei einfache lineare Gleichungssysteme mit der Additionsmethode gelöst. Noch einmal die wichtigsten Punkte:

1. Wenn es für eine der Variablen entgegengesetzte Koeffizienten gibt, müssen alle Variablen in die Gleichung aufgenommen werden. In diesem Fall wird einer von ihnen zerstört.
2. Wir setzen die gefundene Variable in eine der Systemgleichungen ein, um die zweite zu finden.
3. Der endgültige Antwortdatensatz kann auf unterschiedliche Weise dargestellt werden. Zum Beispiel so - $x=...,y=...$, oder in Form von Punktkoordinaten - $\left(...;... \right)$. Die zweite Option ist vorzuziehen. Das Wichtigste ist, dass die erste Koordinate $x$ und die zweite $y$ ist.
4. Die Regel, die Antwort in Form von Punktkoordinaten zu schreiben, ist nicht immer anwendbar. Es kann beispielsweise nicht verwendet werden, wenn die Variablen nicht $x$ und $y$ sind, sondern beispielsweise $a$ und $b$.

In den folgenden Aufgaben betrachten wir die Technik der Subtraktion, wenn die Koeffizienten nicht entgegengesetzt sind.

Einfache Probleme mit der Subtraktionsmethode lösen

Aufgabe Nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Beachten Sie, dass es hier keine gegensätzlichen, sondern identische Koeffizienten gibt. Daher subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung:

Jetzt setzen wir den Wert $x$ in eine der Systemgleichungen ein. Lass uns zuerst gehen:

Antwort: $\left(2;5\right)$.

Problem Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Wir sehen wieder den gleichen Koeffizienten von $5$ für $x$ in der ersten und zweiten Gleichung. Daher ist es logisch anzunehmen, dass Sie die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren müssen:

Wir haben eine Variable berechnet. Suchen wir nun den zweiten, indem wir beispielsweise den Wert $y$ in die zweite Konstruktion einsetzen:

Antwort: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuancen der Lösung

Was sehen wir also? Im Wesentlichen unterscheidet sich das Schema nicht von der Lösung bisheriger Systeme. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir Gleichungen nicht addieren, sondern subtrahieren. Wir machen algebraische Subtraktion.

Mit anderen Worten: Sobald Sie ein System sehen, das aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten besteht, müssen Sie sich als Erstes die Koeffizienten ansehen. Wenn sie irgendwo gleich sind, werden die Gleichungen subtrahiert, und wenn sie entgegengesetzt sind, wird die Additionsmethode verwendet. Dies geschieht immer so, dass eine davon verschwindet und in der endgültigen Gleichung, die nach der Subtraktion übrig bleibt, nur eine Variable übrig bleibt.

Das ist natürlich noch nicht alles. Nun betrachten wir Systeme, in denen die Gleichungen im Allgemeinen inkonsistent sind. Diese. In ihnen gibt es keine Variablen, die entweder gleich oder gegensätzlich sind. In diesem Fall wird zur Lösung solcher Systeme eine zusätzliche Technik verwendet, nämlich die Multiplikation jeder Gleichung mit einem speziellen Koeffizienten. Wie man es findet und wie man solche Systeme im Allgemeinen löst, darüber werden wir jetzt sprechen.

Lösen von Problemen durch Multiplikation mit einem Koeffizienten

Beispiel 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Wir sehen, dass weder für $x$ noch für $y$ die Koeffizienten nicht nur einander entgegengesetzt sind, sondern auch in keiner Weise mit der anderen Gleichung korrelieren. Diese Koeffizienten verschwinden in keiner Weise, selbst wenn wir die Gleichungen voneinander addieren oder subtrahieren. Daher ist es notwendig, die Multiplikation anzuwenden. Versuchen wir, die Variable $y$ loszuwerden. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit dem Koeffizienten von $y$ aus der zweiten Gleichung und die zweite Gleichung mit dem Koeffizienten von $y$ aus der ersten Gleichung, ohne das Vorzeichen zu berühren. Wir multiplizieren und erhalten ein neues System:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Schauen wir es uns an: Bei $y$ sind die Koeffizienten entgegengesetzt. In einer solchen Situation ist es notwendig, die Additionsmethode zu verwenden. Fügen wir hinzu:

Jetzt müssen wir $y$ finden. Ersetzen Sie dazu $x$ in den ersten Ausdruck:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Antwort: $\left(4;-2 \right)$.

Beispiel Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Auch hier sind die Koeffizienten für keine der Variablen konsistent. Lassen Sie uns mit den Koeffizienten von $y$ multiplizieren:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Unser neues System ist äquivalent zum vorherigen, aber die Koeffizienten von $y$ sind einander entgegengesetzt, und daher ist es einfach, die Additionsmethode hier anzuwenden:

Finden wir nun $y$, indem wir $x$ in die erste Gleichung einsetzen:

Antwort: $\left(-2;1 \right)$.

Nuancen der Lösung

Die wichtigste Regel hierbei lautet: Wir multiplizieren immer nur mit positiven Zahlen – das erspart Ihnen dumme und beleidigende Fehler beim Vorzeichenwechsel. Im Allgemeinen ist das Lösungsschema recht einfach:

1. Wir betrachten das System und analysieren jede Gleichung.
2. Wenn wir sehen, dass weder $y$ noch $x$ die Koeffizienten konsistent sind, d.h. Wenn sie weder gleich noch entgegengesetzt sind, gehen wir wie folgt vor: Wir wählen die Variable aus, die wir entfernen müssen, und schauen uns dann die Koeffizienten dieser Gleichungen an. Wenn wir die erste Gleichung mit dem Koeffizienten der zweiten multiplizieren und die zweite entsprechend mit dem Koeffizienten der ersten multiplizieren, erhalten wir am Ende ein System, das dem vorherigen völlig äquivalent ist, und die Koeffizienten von $ y$ wird konsistent sein. Alle unsere Aktionen oder Transformationen zielen nur darauf ab, eine Variable in eine Gleichung zu bekommen.
3. Wir finden eine Variable.
4. Wir setzen die gefundene Variable in eine der beiden Gleichungen des Systems ein und finden die zweite.
5. Wir schreiben die Antwort in Form von Punktkoordinaten, wenn wir die Variablen $x$ und $y$ haben.

Aber selbst ein so einfacher Algorithmus hat seine eigenen Feinheiten, zum Beispiel können die Koeffizienten von $x$ oder $y$ Brüche und andere „hässliche“ Zahlen sein. Diese Fälle betrachten wir nun gesondert, da man in ihnen etwas anders vorgehen kann als nach dem Standardalgorithmus.

Probleme mit Brüchen lösen

Beispiel 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Beachten Sie zunächst, dass die zweite Gleichung Brüche enthält. Beachten Sie jedoch, dass Sie 4 $ durch 0,8 $ dividieren können. Wir erhalten 5 $. Lassen Sie uns die zweite Gleichung mit $5$ multiplizieren:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Wir subtrahieren die Gleichungen voneinander:

Wir haben $n$ gefunden, jetzt zählen wir $m$:

Antwort: $n=-4;m=5$

Beispiel Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Rechts.\]

Hier gibt es wie im vorherigen System gebrochene Koeffizienten, aber für keine der Variablen passen die Koeffizienten ganzzahlig oft ineinander. Daher verwenden wir den Standardalgorithmus. $p$ loswerden:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Wir verwenden die Subtraktionsmethode:

Finden wir $p$, indem wir $k$ in die zweite Konstruktion einsetzen:

Antwort: $p=-4;k=-2$.

Nuancen der Lösung

Das ist alles Optimierung. In der ersten Gleichung haben wir überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert, sondern in der zweiten Gleichung mit 5 $. Als Ergebnis erhielten wir eine konsistente und sogar identische Gleichung für die erste Variable. Im zweiten System folgten wir einem Standardalgorithmus.

Aber wie findet man die Zahlen, mit denen man Gleichungen multipliziert? Denn wenn wir mit Brüchen multiplizieren, erhalten wir neue Brüche. Daher müssen die Brüche mit einer Zahl multipliziert werden, die eine neue ganze Zahl ergibt, und anschließend müssen die Variablen nach dem Standardalgorithmus mit Koeffizienten multipliziert werden.

Abschließend möchte ich Sie auf das Format zur Aufzeichnung der Antwort aufmerksam machen. Wie ich bereits sagte, da wir hier nicht $x$ und $y$, sondern andere Werte haben, verwenden wir eine nicht standardmäßige Notation der Form:

Komplexe Gleichungssysteme lösen

Als letzte Anmerkung zum heutigen Video-Tutorial schauen wir uns ein paar wirklich komplexe Systeme an. Ihre Komplexität wird darin bestehen, dass sie sowohl links als auch rechts Variablen haben. Um sie zu lösen, müssen wir daher eine Vorverarbeitung anwenden.

System Nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Jede Gleichung birgt eine gewisse Komplexität. Betrachten wir daher jeden Ausdruck als eine reguläre lineare Konstruktion.

Insgesamt erhalten wir das endgültige System, das dem Original entspricht:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Schauen wir uns die Koeffizienten von $y$ an: $3$ passt zweimal in $6$, also multiplizieren wir die erste Gleichung mit $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Die Koeffizienten von $y$ sind jetzt gleich, also subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung: $$

Suchen wir nun $y$:

Antwort: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

System Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Lassen Sie uns den ersten Ausdruck umwandeln:

Kommen wir zum zweiten Punkt:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Insgesamt wird unser Ausgangssystem die folgende Form annehmen:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Wenn wir uns die Koeffizienten von $a$ ansehen, sehen wir, dass die erste Gleichung mit $2$ multipliziert werden muss:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Konstruktion:

Suchen wir nun $a$:

Antwort: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Das ist alles. Ich hoffe, dass dieses Video-Tutorial Ihnen hilft, dieses schwierige Thema zu verstehen, nämlich das Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme. Es wird noch viele weitere Lektionen zu diesem Thema geben: Wir werden uns mehr ansehen komplexe Beispiele, wo es mehr Variablen geben wird und die Gleichungen selbst bereits nichtlinear sein werden. Wir sehen uns wieder!

In dieser Lektion werden wir uns weiterhin mit der Methode zur Lösung von Gleichungssystemen befassen, nämlich der Methode algebraische Addition. Betrachten wir zunächst die Anwendung dieser Methode am Beispiel linearer Gleichungen und deren Wesen. Erinnern wir uns auch daran, wie man Koeffizienten in Gleichungen ausgleicht. Und wir werden mit dieser Methode eine Reihe von Problemen lösen.

Thema: Gleichungssysteme

Lektion: Algebraische Additionsmethode

1. Methode der algebraischen Addition am Beispiel linearer Systeme

Lassen Sie uns überlegen algebraische Additionsmethode am Beispiel linearer Systeme.

Beispiel 1. Lösen Sie das System

Wenn wir diese beiden Gleichungen addieren, hebt sich y auf und es bleibt eine Gleichung für x übrig.

Wenn wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren, heben sich die x auf und wir erhalten eine Gleichung für y. Dies ist die Bedeutung der algebraischen Additionsmethode.

Wir haben das System gelöst und uns an die Methode der algebraischen Addition erinnert. Wiederholen wir das Wesentliche: Wir können Gleichungen addieren und subtrahieren, müssen aber sicherstellen, dass wir eine Gleichung mit nur einer Unbekannten erhalten.

2. Methode der algebraischen Addition mit vorläufigem Koeffizientenausgleich

Beispiel 2. Lösen Sie das System

Der Term ist in beiden Gleichungen vorhanden, daher ist die algebraische Additionsmethode praktisch. Subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung.

Antwort: (2; -1).

Nach der Analyse des Gleichungssystems können Sie also erkennen, dass die Methode der algebraischen Addition geeignet ist, und sie anwenden.

Betrachten wir ein anderes lineares System.

3. Lösung nichtlinearer Systeme

Beispiel 3. Lösen Sie das System

Wir wollen y loswerden, aber die Koeffizienten von y sind in den beiden Gleichungen unterschiedlich. Gleichen wir sie aus; dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3, die zweite mit 4.

Beispiel 4. Lösen Sie das System

Lassen Sie uns die Koeffizienten für x ausgleichen

Sie können es auch anders machen – gleichen Sie die Koeffizienten für y aus.

Wir haben das System gelöst, indem wir die algebraische Additionsmethode zweimal angewendet haben.

Die algebraische Additionsmethode ist auch zur Lösung nichtlinearer Systeme anwendbar.

Beispiel 5. Lösen Sie das System

Addieren wir diese Gleichungen und wir werden y los.

Das gleiche System kann durch zweimaliges Anwenden der algebraischen Additionsmethode gelöst werden. Lassen Sie uns von einer Gleichung eine andere addieren und davon subtrahieren.

Beispiel 6. Lösen Sie das System

Antwort:

Beispiel 7. Lösen Sie das System

Mit der Methode der algebraischen Addition werden wir den xy-Term los. Lassen Sie uns die erste Gleichung mit multiplizieren.

Die erste Gleichung bleibt unverändert, statt der zweiten schreiben wir die algebraische Summe.

Antwort:

Beispiel 8. Lösen Sie das System

Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 2, um ein perfektes Quadrat zu isolieren.

Unsere Aufgabe beschränkte sich auf die Lösung von vier einfachen Systemen.

4. Fazit

Wir haben die Methode der algebraischen Addition am Beispiel der Lösung linearer und nichtlinearer Systeme untersucht. An Nächste Lektion Betrachten wir die Methode zur Einführung neuer Variablen.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Lehrbuch. Für die Allgemeinbildung Institutionen. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: Abb.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Schüler Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina und andere – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. Klasse: pädagogisch. für Studierende der Allgemeinbildung. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu., Sidorov Yu. 9.Klasse. 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12. Aufl., gelöscht. - M.: 2010. - 224 S.: Abb.

6. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 2. Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. – 12. Auflage, rev. - M.: 2010.-223 S.: Abb.

1. College-Bereich. ru in Mathematik.

2. Internetprojekt „Aufgaben“.

3. Bildungsportal„ICH WERDE DIE VERWENDUNG LÖSEN.“

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Schüler allgemeinbildender Einrichtungen / A.G. Mordkovich, T.N. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 125 - 127.

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Algebraische Additionsmethode

Sie können ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten lösen verschiedene Wege- grafische Methode oder Variablenersetzungsmethode.

In dieser Lektion lernen wir eine andere Methode zur Lösung von Systemen kennen, die Ihnen wahrscheinlich gefallen wird – die Methode der algebraischen Addition.

Woher kam die Idee, etwas in Systeme zu integrieren? Beim Lösen von Systemen Hauptproblem ist das Vorhandensein zweier Variablen, da wir nicht wissen, wie man Gleichungen mit zwei Variablen löst. Das bedeutet, dass einer von ihnen auf rechtliche Weise ausgeschlossen werden muss. Und solche legitimen Wege sind mathematische Regeln und Eigenschaften.

Eine dieser Eigenschaften ist: Die Summe der entgegengesetzten Zahlen ist Null. Das heißt, wenn eine der Variablen entgegengesetzte Koeffizienten hat, ist ihre Summe gleich Null und wir können diese Variable aus der Gleichung ausschließen. Es ist klar, dass wir nicht das Recht haben, nur Terme mit der von uns benötigten Variablen hinzuzufügen. Sie müssen die gesamten Gleichungen addieren, d. h. Fügen Sie ähnliche Begriffe separat auf der linken und dann auf der rechten Seite hinzu. Als Ergebnis erhalten wir eine neue Gleichung, die nur eine Variable enthält. Schauen wir uns das Gesagte anhand konkreter Beispiele an.

Wir sehen, dass es in der ersten Gleichung eine Variable y gibt und in der zweiten die Gegenzahl -y. Dies bedeutet, dass diese Gleichung durch Addition gelöst werden kann.

Eine der Gleichungen bleibt unverändert. Jeder, der Ihnen am besten gefällt.

Aber die zweite Gleichung erhält man, indem man diese beiden Gleichungen Term für Term addiert. Diese. Wir addieren 3x mit 2x, wir addieren y mit -y, wir addieren 8 mit 7.

Wir erhalten ein Gleichungssystem

Die zweite Gleichung dieses Systems ist eine einfache Gleichung mit einer Variablen. Daraus finden wir x = 3. Wenn wir den gefundenen Wert in die erste Gleichung einsetzen, finden wir y = -1.

Antwort: (3; - 1).

Musterdesign:

Lösen Sie ein Gleichungssystem mit der algebraischen Additionsmethode

In diesem System gibt es keine Variablen mit entgegengesetzten Koeffizienten. Aber wir wissen, dass beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multipliziert werden können. Multiplizieren wir die erste Gleichung des Systems mit 2.

Dann nimmt die erste Gleichung die Form an:

Jetzt sehen wir, dass die Variable x entgegengesetzte Koeffizienten hat. Das bedeutet, dass wir dasselbe tun wie im ersten Beispiel: Wir lassen eine der Gleichungen unverändert. Zum Beispiel 2y + 2x = 10. Und die Sekunde erhalten wir durch Addition.

Jetzt haben wir ein Gleichungssystem:

Wir finden leicht aus der zweiten Gleichung y = 1 und dann aus der ersten Gleichung x = 4.

Musterdesign:

Fassen wir zusammen:

Wir haben gelernt, wie man Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten mithilfe der algebraischen Additionsmethode löst. Daher kennen wir jetzt drei Hauptmethoden zur Lösung solcher Systeme: die grafische Methode, die Variablenersetzungsmethode und die Additionsmethode. Mit diesen Methoden kann nahezu jedes System gelöst werden. In komplexeren Fällen kommt eine Kombination dieser Techniken zum Einsatz.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. Klasse in 2 Teilen, Teil 1, Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen / A.G. Mordkowitsch. – 10. Auflage, überarbeitet – Moskau, „Mnemosyne“, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. Klasse in 2 Teilen, Teil 2, Problembuch für Bildungseinrichtungen / [A.G. Mordkovich und andere]; herausgegeben von A.G. Mordkovich – 10. Auflage, überarbeitet – Moskau, „Mnemosyne“, 2007.
3. IHR. Tulchinskaya, Algebra 7. Klasse. Blitzumfrage: Ein Handbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen, 4. Auflage, überarbeitet und erweitert, Moskau, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. Klasse. Thematisch Testarbeiten V neue Form für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen, herausgegeben von A.G. Mordkovich, Moskau, „Mnemosyne“, 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. Klasse. Unabhängige Arbeit für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen, herausgegeben von A.G. Mordkovich – 6. Auflage, stereotyp, Moskau, „Mnemosyne“, 2010.

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Regeln für die Eingabe von Gleichungen

Als Variable kann jeder lateinische Buchstabe fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) usw.

Bei der Eingabe von Gleichungen Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall werden die Gleichungen zunächst vereinfacht. Die Gleichungen nach Vereinfachungen müssen linear sein, d.h. der Form ax+by+c=0 mit der Genauigkeit der Reihenfolge der Elemente.
Zum Beispiel: 6x+1 = 5(x+y)+2

In Gleichungen können Sie nicht nur ganze Zahlen, sondern auch Brüche in Form von Dezimalzahlen und gewöhnlichen Brüchen verwenden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Die ganzzahligen und gebrochenen Teile in Dezimalbrüchen können entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Zum Beispiel: 2,1n + 3,5m = 55

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Ganzer Teil durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &

Beispiele.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Gleichungssystem lösen

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Eine kleine Theorie.

Lösen linearer Gleichungssysteme. Substitutionsmethode

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode:
1) eine Variable aus einer Gleichung des Systems durch eine andere ausdrücken;
2) den resultierenden Ausdruck anstelle dieser Variablen in eine andere Gleichung des Systems einsetzen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Drücken wir y durch x aus der ersten Gleichung aus: y = 7-3x. Wenn wir den Ausdruck 7-3x anstelle von y in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir das System:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es lässt sich leicht zeigen, dass das erste und das zweite System die gleichen Lösungen haben. Im zweiten System enthält die zweite Gleichung nur eine Variable. Lösen wir diese Gleichung:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Wenn wir 1 anstelle von x in die Gleichung y=7-3x einsetzen, finden wir den entsprechenden Wert von y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paar (1;4) - Lösung des Systems

Man nennt Gleichungssysteme in zwei Variablen, die die gleichen Lösungen haben Äquivalent. Als gleichwertig gelten auch Systeme, die keine Lösungen haben.

Lösen linearer Gleichungssysteme durch Addition

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen – die Additionsmethode. Bei der Lösung von Systemen auf diese Weise sowie bei der Lösung durch Substitution wechseln wir von diesem System zu einem anderen, äquivalenten System, in dem eine der Gleichungen nur eine Variable enthält.

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Additionsmethode:
1) Multiplizieren Sie die Gleichungen des Systems Term für Term und wählen Sie Faktoren so aus, dass die Koeffizienten einer der Variablen entgegengesetzte Zahlen werden;
2) Addieren Sie die linke und rechte Seite der Systemgleichungen Term für Term;
3) Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen;
4) Finden Sie den entsprechenden Wert der zweiten Variablen.

Beispiel. Lösen wir das Gleichungssystem:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

In den Gleichungen dieses Systems sind die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen. Wenn wir die linke und rechte Seite der Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 3x=33. Ersetzen wir eine der Gleichungen des Systems, zum Beispiel die erste, durch die Gleichung 3x=33. Holen wir uns das System
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Aus der Gleichung 3x=33 finden wir, dass x=11. Wenn wir diesen x-Wert in die Gleichung \(x-3y=38\) einsetzen, erhalten wir eine Gleichung mit der Variablen y: \(11-3y=38\). Lösen wir diese Gleichung:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Somit haben wir die Lösung des Gleichungssystems durch Addition gefunden: \(x=11; y=-9\) oder \((11;-9)\)

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass in den Gleichungen des Systems die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen sind, haben wir seine Lösung auf die Lösung eines äquivalenten Systems reduziert (indem wir beide Seiten jeder Gleichung des ursprünglichen Systems summierten), in dem eine der Gleichungen enthält nur eine Variable.

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Bei der Additionsmethode werden die Gleichungen eines Systems Term für Term addiert und eine oder beide (mehrere) Gleichungen können mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden. Dadurch kommen sie zu einem äquivalenten SLE, bei dem es in einer der Gleichungen nur eine Variable gibt.

Um das System zu lösen Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) folge diesen Schritten:

1. Wählen Sie eine Variable aus, für die dieselben Koeffizienten erstellt werden.

2. Jetzt müssen Sie die Gleichungen addieren oder subtrahieren und erhalten eine Gleichung mit einer Variablen.

Systemlösung- das sind die Schnittpunkte der Funktionsgraphen.

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1.

Gegebenes System:

Nachdem Sie dieses System analysiert haben, können Sie feststellen, dass die Koeffizienten der Variablen gleich groß und unterschiedlich im Vorzeichen sind (-1 und 1). In diesem Fall können die Gleichungen Term für Term einfach hinzugefügt werden:

Die rot eingekreisten Handlungen führen wir gedanklich aus.

Das Ergebnis der Term-für-Term-Addition war das Verschwinden der Variablen j. Genau das ist die Bedeutung der Methode – eine der Variablen loszuwerden.

-4 - j + 5 = 0 → j = 1,

In Systemform sieht die Lösung etwa so aus:

Antwort: X = -4 , j = 1.

Beispiel 2.

Gegebenes System:

In diesem Beispiel können Sie die „Schul“-Methode verwenden, sie hat jedoch einen ziemlich großen Nachteil: Wenn Sie eine beliebige Variable aus einer beliebigen Gleichung ausdrücken, erhalten Sie eine Lösung in gewöhnlichen Brüchen. Aber das Lösen von Brüchen nimmt viel Zeit in Anspruch und die Wahrscheinlichkeit, Fehler zu machen, steigt.

Daher ist es besser, die Term-für-Term-Addition (Subtraktion) von Gleichungen zu verwenden. Analysieren wir die Koeffizienten der entsprechenden Variablen:

Sie müssen eine Zahl finden, durch die geteilt werden kann 3 und weiter 4 , und es ist notwendig, dass diese Zahl so gering wie möglich ist. Das kleinstes gemeinsames Vielfaches. Wenn es für Sie schwierig ist, eine passende Zahl zu finden, können Sie die Koeffizienten multiplizieren: .

Nächster Schritt:

Wir multiplizieren die 1. Gleichung mit ,

Wir multiplizieren die 3. Gleichung mit ,