Problema 6.12. Mesma pergunta do problema anterior, mas para um pentágono regular (dica: veja o problema 3.5).

Problema 6.13. No Problema 4.8 foi dito que como valor aproximado do cosseno de um pequeno ângulo α, podemos tomar o número 1, ou seja, o valor da função cosseno em zero. E se, sem mais delongas, tomarmos 0 = sen 0 como um valor aproximado para o seno de um pequeno ângulo α? Por que isso é ruim?

Arroz. 6.4. O ponto M se move ao longo de uma ciclóide.

Problema 6.14. Considere uma roda de raio 1 tocando o eixo x na origem (Fig. 6.4). Suponhamos que a roda role ao longo do eixo x na direção positiva com uma velocidade de 1 (ou seja, durante o tempo t seu centro se desloca t para a direita).

a) Desenhe (aproximadamente) uma curva que será descrita pelo ponto M, tocando o eixo das abcissas no primeiro momento.

b) Encontre qual será a abcissa e a ordenada do ponto M após o tempo t após o início do movimento.

6.1. Eixo tangente

Nesta seção definimos seno e cosseno geometricamente, como ordenada e abscissa de um ponto, e tangente - algebricamente, como sen t/cos t. É possível, entretanto, dar à tangente um significado geométrico.

Para fazer isso, desenhe através do ponto com coordenadas (1; 0) (a origem no círculo trigonométrico) uma tangente ao círculo trigonométrico - uma linha reta paralela ao eixo

Arroz. 6.5. Eixo tangente.

ordenar Vamos chamar essa linha reta de eixo tangente (Fig. 6.5). Este nome é justificado da seguinte forma: seja M um ponto no círculo trigonométrico correspondente ao número t. Vamos continuar o raio SM até cruzar com o eixo tangente. Acontece então que a ordenada do ponto de intersecção é igual a tg t.

Na verdade, os triângulos NOS e MP S na Fig. 6,5, obviamente

Maio SM é paralelo ao eixo tangente e a tangente não pode ser determinada usando nosso método. Isso não é surpreendente: a abcissa desses pontos é 0, então cos t = 0 para os valores correspondentes de t, e tg t = sin t/ cos t não está definido.

6.2. Sinais de funções trigonométricas

Vamos descobrir em quais valores de t o seno, o cosseno e a tangente são positivos e em quais valores eles são negativos. De acordo com a definição, sin t é a ordenada de um ponto no círculo trigonométrico correspondente ao número t. Portanto sen t > 0 se o ponto t estiver ligado

O sinal da função trigonométrica depende unicamente do quadrante coordenado em que o argumento numérico está localizado. Da última vez, aprendemos a converter argumentos de uma medida em radianos para uma medida em graus (veja a lição “Medida em radianos e graus de um ângulo”) e, em seguida, determinar esse mesmo quarto de coordenadas. Agora vamos determinar o sinal do seno, cosseno e tangente.

O seno do ângulo α é a ordenada (coordenada y) de um ponto em um círculo trigonométrico que ocorre quando o raio é girado pelo ângulo α.

O cosseno do ângulo α é a abcissa (coordenada x) de um ponto em um círculo trigonométrico, que ocorre quando o raio é girado pelo ângulo α.

A tangente do ângulo α é a razão entre o seno e o cosseno. Ou, o que dá no mesmo, a razão entre a coordenada y e a coordenada x.

Notação: sin α = y; cos α = x ; tg α = y : x .

Todas essas definições são familiares para você desde a álgebra do ensino médio. No entanto, não estamos interessados ​​nas definições em si, mas nas consequências que surgem no círculo trigonométrico. Dê uma olhada:

A cor azul indica a direção positiva do eixo OY (eixo das ordenadas), o vermelho indica a direção positiva do eixo OX (eixo das abcissas). Neste "radar" os sinais das funções trigonométricas tornam-se óbvios. Em particular:

1. sen α > 0 se o ângulo α estiver no quadrante de coordenadas I ou II. Isso ocorre porque, por definição, o seno é uma ordenada (coordenada y). E a coordenada y será positiva justamente nos trimestres das coordenadas I e II;
2. cos α > 0, se o ângulo α estiver no 1º ou 4º quadrante de coordenadas. Porque só aí a coordenada x (também conhecida como abcissa) será maior que zero;
3. tan α > 0 se o ângulo α estiver no quadrante de coordenadas I ou III. Isto decorre da definição: afinal, tan α = y : x, portanto é positivo apenas onde os sinais de x e y coincidem. Isso acontece no primeiro trimestre de coordenadas (aqui x > 0, y > 0) e no terceiro trimestre de coordenadas (x< 0, y < 0).

Para maior clareza, observemos os sinais de cada função trigonométrica - seno, cosseno e tangente - em “radares” separados. Obtemos a seguinte imagem:

Nota: em minhas discussões nunca falei sobre a quarta função trigonométrica – cotangente. O fato é que os sinais cotangentes coincidem com os sinais tangentes - não existem regras especiais aí.

Agora proponho considerar exemplos semelhantes aos problemas B11 da prova do Exame Estadual Unificado de matemática, realizada em 27 de setembro de 2011. Afinal, melhor maneira compreender a teoria é prática. É aconselhável ter muita prática. Claro, as condições das tarefas foram ligeiramente alteradas.

Tarefa. Determine os sinais de funções e expressões trigonométricas (os valores das próprias funções não precisam ser calculados):

1. pecado(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5π/3);
4. sen (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sen (5π/6) cos (7π/4);
7. bronzeado (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

O plano de ação é o seguinte: primeiro convertemos todos os ângulos das medidas em radianos para graus (π → 180°) e, em seguida, verificamos em qual quarto de coordenadas está o número resultante. Conhecendo os bairros, podemos facilmente encontrar a sinalização - de acordo com as regras que acabamos de descrever. Nós temos:

1. sen (3π/4) = sen (3 · 180°/4) = sen 135°. Desde 135° ∈ , este é um ângulo do quadrante de coordenadas II. Mas o seno no segundo quarto é positivo, então sen (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Porque 210° ∈ , este é o ângulo do terceiro quadrante de coordenadas, no qual todos os cossenos são negativos. Portanto cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. A partir de 300° ∈ , estamos no quarto IV, onde a tangente assume valores negativos. Portanto bronzeado (5π/3)< 0;
4. sen (3π/4) cos (5π/6) = sen (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sen 135° cos 150°. Vamos lidar com o seno: porque 135° ∈ , este é o segundo trimestre em que os senos são positivos, ou seja, sen (3π/4) > 0. Agora trabalhamos com cosseno: 150° ∈ - novamente o segundo quarto, os cossenos lá são negativos. Portanto cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Observamos o cosseno: 120° ∈ é o quarto da coordenada II, então cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Novamente obtivemos um produto em que os fatores possuem sinais diferentes. Como “menos por mais dá menos”, temos: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sen (5π/6) cos (7π/4) = sen (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sen 150° cos 315°. Trabalhamos com seno: desde 150° ∈ , estamos falando sobre sobre o quarto de coordenadas II, onde os senos são positivos. Portanto, sen (5π/6) > 0. Da mesma forma, 315° ∈ é o quarto da coordenada IV, os cossenos ali são positivos. Portanto cos (7π/4) > 0. Obtivemos o produto de dois números positivos - tal expressão é sempre positiva. Concluímos: sen (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Mas o ângulo 135° ∈ é o segundo quarto, ou seja, tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Como “menos por mais dá um sinal de menos”, temos: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Observamos o argumento da cotangente: 240° ∈ é o quarto da coordenada III, portanto ctg (4π/3) > 0. Da mesma forma, para a tangente temos: 30° ∈ é o quarto da coordenada I, ou seja, o ângulo mais simples. Portanto tan (π/6) > 0. Novamente temos duas expressões positivas - o seu produto também será positivo. Portanto cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

Concluindo, vejamos mais alguns tarefas complexas. Além de descobrir o sinal da função trigonométrica, você terá que fazer um pouco de matemática aqui - exatamente como é feito nos problemas reais B11. Em princípio, estes são problemas quase reais que realmente aparecem no Exame Estadual Unificado em matemática.

Tarefa. Encontre sen α se sen 2 α = 0,64 e α ∈ [π/2; π].

Como sen 2 α = 0,64, temos: sen α = ±0,8. Resta decidir: mais ou menos? Por condição, ângulo α ∈ [π/2; π] é o quarto da coordenada II, onde todos os senos são positivos. Portanto, sin α = 0,8 - a incerteza com sinais é eliminada.

Tarefa. Encontre cos α se cos 2 α = 0,04 e α ∈ [π; 3π/2].

Agimos de forma semelhante, ou seja, tire a raiz quadrada: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Por condição, ângulo α ∈ [π; 3π/2], ou seja, Estamos falando do terceiro trimestre de coordenadas. Todos os cossenos são negativos, então cos α = −0,2.

Tarefa. Encontre sin α se sin 2 α = 0,25 e α ∈ .

Temos: sen 2 α = 0,25 ⇒ sen α = ±0,5. Olhamos novamente para o ângulo: α ∈ é o quarto da coordenada IV, no qual, como sabemos, o seno será negativo. Assim, concluímos: sen α = −0,5.

Tarefa. Encontre tan α se tan 2 α = 9 e α ∈ .

Tudo é igual, apenas para a tangente. Extraia a raiz quadrada: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Mas de acordo com a condição, o ângulo α ∈ é o quarto da coordenada I. Todas as funções trigonométricas, incl. tangente, existem positivos, então tan α = 3. É isso!

Centrado no ponto A.
α é o ângulo expresso em radianos.

Tangente ( bronzeado α) é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto oposto |BC|

ao comprimento da perna adjacente |AB| . Cotangente () ctgα

é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente |AB|

ao comprimento da perna oposta |BC| . Tangente Onde

n - todo. EM
.
;
;
.

Literatura ocidental

tangente é denotada da seguinte forma:

ao comprimento da perna oposta |BC| . Tangente Onde

Gráfico da função tangente, y = tan x
.
Co-tangente
;
;
.

Na literatura ocidental, a cotangente é denotada da seguinte forma:

As seguintes notações também são aceitas:

Gráfico da função cotangente, y = ctg x

Propriedades de tangente e cotangente Periodicidade Funções y = tg x e y =

ctg x

são periódicos com período π.

Paridade

As funções tangente e cotangente são ímpares. TangenteÁreas de definição e valores, aumentando, diminuindo

Zeros, y =

Interceptar pontos com o eixo das ordenadas, x =

; ;
; ;
;

Fórmulas

Expressões usando seno e cosseno

Fórmulas para tangente e cotangente de soma e diferença

As restantes fórmulas são fáceis de obter, por exemplo

Produto de tangentes

Fórmula para a soma e diferença de tangentes

Esta tabela apresenta os valores das tangentes e cotangentes para determinados valores do argumento.

;
;

Expressões usando números complexos

; .

.
Expressões através de funções hiperbólicas
.
Derivados

Derivada de enésima ordem em relação à variável x da função:

Derivando fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >

Integrais Expansões de série Para obter a expansão da tangente em potências de x, é necessário considerar vários termos da expansão em uma série de potências para as funções pecado x E

porque x

e divida esses polinômios entre si,.
Isso produz as seguintes fórmulas. No . no .
;
;
Onde
Bn

- Números de Bernoulli. Eles são determinados a partir da relação de recorrência:

Onde .

Ou de acordo com a fórmula de Laplace:

Funções inversas Tangente Onde

As funções inversas de tangente e cotangente são arcotangente e arcotangente, respectivamente.

Funções inversas Tangente Onde

Arctangente, arcg
, Onde
Arcotangente, arcoctg

Literatura usada: EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009. G. Korn, Manual de Matemática para Cientistas e Engenheiros, 2012. Coordenadas correspondem a sin (θ), onde θ é a magnitude do ângulo.

• Se você achar difícil lembrar esta regra, basta lembrar que no par (cos; sin) “o seno vem por último”.
• Esta regra pode ser derivada considerando triângulos retângulos e determinação dessas funções trigonométricas (o seno de um ângulo é igual à razão entre o comprimento do oposto e o cosseno - da perna adjacente à hipotenusa).

Círculo trigonométrico. Círculo unitário. Círculo numérico. O que é?

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Para quem é muito "não muito..."
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