Diagonal da base de uma fórmula piramidal. O que torna a pirâmide um milagre geométrico?
Tutorial em vídeo 2: Problema da pirâmide. Volume da pirâmide
Tutorial em vídeo 3: Problema da pirâmide. Pirâmide correta
Palestra: Pirâmide, sua base, costelas laterais, altura, superfície lateral; pirâmide triangular; pirâmide regular
Pirâmide, suas propriedadesPirâmide- Esse corpo volumétrico, que tem um polígono em sua base e todas as suas faces consistem em triângulos.
Um caso especial de pirâmide é um cone com um círculo na base.
Vejamos os principais elementos da pirâmide:
Apótema- este é um segmento que conecta o topo da pirâmide com o meio da borda inferior da face lateral. Em outras palavras, esta é a altura da borda da pirâmide.
Na figura você pode ver os triângulos ADS, ABS, BCS, CDS. Se você olhar atentamente os nomes, verá que cada triângulo tem uma letra comum em seu nome - S. Ou seja, isso significa que todas as faces laterais (triângulos) convergem em um ponto, que é chamado de topo da pirâmide .
O segmento OS que conecta o vértice ao ponto de intersecção das diagonais da base (no caso de triângulos - no ponto de intersecção das alturas) é denominado altura da pirâmide.
Uma seção diagonal é um plano que passa pelo topo da pirâmide, bem como por uma das diagonais da base.
Como a superfície lateral da pirâmide é composta por triângulos, para encontrar a área total da superfície lateral é necessário encontrar a área de cada face e somá-las. O número e a forma das faces dependem da forma e do tamanho dos lados do polígono que fica na base.
O único plano de uma pirâmide que não pertence ao seu vértice é denominado base pirâmides.
Na figura vemos que a base é um paralelogramo, porém pode ser qualquer polígono arbitrário.
Propriedades:
Considere o primeiro caso de uma pirâmide, em que ela possui arestas do mesmo comprimento:
- Um círculo pode ser desenhado ao redor da base dessa pirâmide. Se você projetar o topo dessa pirâmide, sua projeção estará localizada no centro do círculo.
- Os ângulos na base da pirâmide são iguais em cada face.
- Nesse caso, uma condição suficiente para que um círculo possa ser descrito em torno da base da pirâmide, e também para que todas as arestas tenham comprimentos diferentes, podem ser considerados os mesmos ângulos entre a base e cada aresta das faces.
Se você se deparar com uma pirâmide na qual os ângulos entre as faces laterais e a base são iguais, então as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Você será capaz de descrever um círculo ao redor da base da pirâmide, cujo vértice está projetado exatamente no centro.
- Se você desenhar cada borda lateral da altura até a base, elas terão o mesmo comprimento.
- Para encontrar a área da superfície lateral dessa pirâmide, basta encontrar o perímetro da base e multiplicá-lo pela metade do comprimento da altura.
- S bp = 0,5P oc H.
- Tipos de pirâmide.
- Dependendo de qual polígono está na base da pirâmide, eles podem ser triangulares, quadrangulares, etc. Se um polígono regular (com lados iguais) estiver na base da pirâmide, então essa pirâmide será chamada de regular.
Pirâmide triangular regular
Uma pirâmide triangular é uma pirâmide que possui um triângulo em sua base. A altura desta pirâmide é a perpendicular que desce do topo da pirâmide até sua base.
Encontrando a altura de uma pirâmide
Como encontrar a altura de uma pirâmide? Muito simples! Para encontrar a altura de qualquer pirâmide triangular você pode usar a fórmula do volume: V = (1/3)Sh, onde S é a área da base, V é o volume da pirâmide, h é sua altura. A partir desta fórmula, derivamos a fórmula da altura: para encontrar a altura de uma pirâmide triangular, você precisa multiplicar o volume da pirâmide por 3 e depois dividir o valor resultante pela área da base, será: h = (3V)/S. Como a base de uma pirâmide triangular é um triângulo, você pode usar a fórmula para calcular a área de um triângulo. Se soubermos: a área do triângulo S e seu lado z, então de acordo com a fórmula da área S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, onde h é a altura da pirâmide, γ é a aresta do triângulo; o ângulo entre os lados do triângulo e os próprios dois lados, então usando a seguinte fórmula: S = (1/2)γφsinQ, onde γ, φ são os lados do triângulo, encontramos a área do triângulo. O valor do seno do ângulo Q precisa ser consultado na tabela de senos, que está disponível na Internet. A seguir, substituímos o valor da área na fórmula da altura: h = (2S)/γ. Se a tarefa exigir o cálculo da altura de uma pirâmide triangular, então o volume da pirâmide já é conhecido.
Pirâmide triangular regular
Encontre a altura de uma pirâmide triangular regular, ou seja, uma pirâmide em que todas as faces são triângulos equiláteros, conhecendo o tamanho da aresta γ. Neste caso, as arestas da pirâmide são os lados dos triângulos equiláteros. A altura de uma pirâmide triangular regular será: h = γ√(2/3), onde γ é a aresta do triângulo equilátero, h é a altura da pirâmide. Se a área da base (S) for desconhecida e apenas o comprimento da aresta (γ) e o volume (V) do poliedro forem dados, então a variável necessária na fórmula da etapa anterior deve ser substituída pelo seu equivalente, que é expresso em termos do comprimento da aresta. A área de um triângulo (regular) é igual a 1/4 do produto do comprimento do lado deste triângulo ao quadrado pela raiz quadrada de 3. Substituímos esta fórmula em vez da área da base no anterior fórmula, e obtemos a seguinte fórmula: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). O volume de um tetraedro pode ser expresso através do comprimento de sua aresta, então a partir da fórmula de cálculo da altura de uma figura, você pode remover todas as variáveis e deixar apenas o lado da face triangular da figura. O volume de tal pirâmide pode ser calculado dividindo por 12 do produto o comprimento cúbico de sua face pela raiz quadrada de 2.
Substituindo esta expressão na fórmula anterior, obtemos a seguinte fórmula de cálculo: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Além disso, um prisma triangular regular pode ser inscrito em uma esfera, e conhecendo apenas o raio da esfera (R), pode-se encontrar a altura do próprio tetraedro. O comprimento da aresta do tetraedro é: γ = 4R/√6. Substituímos a variável γ por esta expressão na fórmula anterior e obtemos a fórmula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. A mesma fórmula pode ser obtida conhecendo o raio (R) de um círculo inscrito em um tetraedro. Neste caso, o comprimento da aresta do triângulo será igual a 12 relações entre a raiz quadrada de 6 e o raio. Substituímos esta expressão na fórmula anterior e temos: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Como encontrar a altura de uma pirâmide quadrangular regular
Para responder à questão de como encontrar o comprimento da altura de uma pirâmide, você precisa saber o que é uma pirâmide regular. Uma pirâmide quadrangular é uma pirâmide que possui um quadrilátero em sua base. Se nas condições do problema tivermos: volume (V) e área da base (S) da pirâmide, então a fórmula para calcular a altura do poliedro (h) será a seguinte - divida o volume multiplicado por 3 pela área S: h = (3V)/S. Dada a base quadrada de uma pirâmide com determinado volume (V) e comprimento lateral γ, substitua a área (S) da fórmula anterior pelo quadrado do comprimento lateral: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. A altura de uma pirâmide regular h = SO passa exatamente pelo centro do círculo circunscrito próximo à base. Como a base desta pirâmide é um quadrado, o ponto O é o ponto de intersecção das diagonais AD e BC. Temos: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. A seguir, no triângulo retângulo SOC encontramos (usando o teorema de Pitágoras): SO = √(SC 2 -OC 2). Agora você sabe como encontrar a altura de uma pirâmide regular.
Instruções
Caso na base pirâmides encontra-se um quadrado, o comprimento de sua diagonal é conhecido, bem como o comprimento da aresta deste pirâmides, Que altura esse pirâmides pode ser expresso a partir do teorema de Pitágoras, porque um triângulo formado por uma aresta pirâmides, e metade da diagonal na base é um triângulo retângulo.
O teorema de Pitágoras afirma que o quadrado da hipotenusa em um triângulo retângulo é igual em tamanho à soma dos quadrados de seus catetos (a² = b² + c²). Borda pirâmides- hipotenusa, um dos catetos tem metade da diagonal do quadrado. Em seguida, o comprimento da perna desconhecida (altura) é encontrado usando as fórmulas:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².
Para tornar ambas as situações tão claras e compreensíveis quanto possível, você pode considerar um par.
Exemplo 1: Área base pirâmides 46 cm², seu volume é de 120 cm³. Com base nesses dados, a altura pirâmides está localizado assim:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
Resposta: a altura disso pirâmides terá aproximadamente 7,83 cm
Exemplo 2: você pirâmides, na base do qual está um polígono - um quadrado, sua diagonal é 14 cm, o comprimento da aresta é 15 cm. De acordo com esses dados, para encontrar. altura pirâmides, você precisa usar a seguinte fórmula (que é uma consequência do teorema de Pitágoras):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 centímetros
Resposta: a altura disso pirâmidesé √29 cm ou aproximadamente 5,4 cm
observação
Se na base da pirâmide houver um quadrado ou outro polígono regular, então essa pirâmide pode ser chamada de regular. Essa pirâmide tem várias propriedades:
suas costelas laterais são iguais;
suas faces são triângulos isósceles iguais entre si;
em torno de tal pirâmide pode-se descrever uma esfera e também inscrevê-la.
Fontes:
- Pirâmide correta
Uma pirâmide é uma figura cuja base é um polígono e suas faces são triângulos com um vértice comum a todos. EM tarefas típicas muitas vezes é necessário construir e determinar o comprimento de uma perpendicular traçada a partir de um vértice pirâmides ao plano de sua base. O comprimento deste segmento é chamado de altura pirâmides.
Você vai precisar
- - governante
- - lápis
- - bússola
Instruções
Para completar, construa uma pirâmide de acordo com as condições da tarefa. Por exemplo, para construir um tetraedro regular, você precisa desenhar uma figura para que todas as 6 arestas sejam iguais entre si. Se você precisa construir altura quadrangular, então apenas 4 arestas da base devem ser iguais. Então você pode construir as arestas das faces laterais desiguais às arestas do polígono. Nomeie a pirâmide, rotulando todos os vértices com letras latinas. Por exemplo, para pirâmides com um triângulo na base você pode escolher A, B, C (para a base), S (para o topo). Se a condição especifica dimensões específicas das nervuras, então, ao construir a figura, proceda a partir desses valores.
Para começar, selecione condicionalmente, usando um compasso, a tangente de dentro para todas as arestas do polígono. Se for uma pirâmide, então um ponto (chame-o, por exemplo, H) na base pirâmides, para o qual desce a altura, deve corresponder ao centro do círculo inscrito em motivos corretos pirâmides. O centro corresponderá a um ponto equidistante de qualquer outro ponto do círculo. Se você conectar o vértice pirâmides S com o centro do círculo H, então o segmento SH será a altura pirâmides. Lembre-se de que um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero cujos lados opostos têm somas iguais. Isso se aplica ao quadrado e ao losango. Neste caso, o ponto H estará no quadrilátero. Para qualquer triângulo é possível inscrever e descrever um círculo.
Construir altura pirâmides, use um compasso para desenhar um círculo e, em seguida, use uma régua para conectar seu centro H ao vértice S. SH é a altura desejada. Se na base pirâmides SABC é uma figura irregular, então a altura conectará o vértice pirâmides com o centro do círculo no qual o polígono base está inscrito. Todos os vértices do polígono estão nesse círculo. Neste caso, este segmento será perpendicular ao plano da base pirâmides. Você pode descrever um círculo em torno de um quadrilátero se a soma dos ângulos opostos for 180°. Então o centro de tal círculo estará na intersecção das diagonais do correspondente
Definição. Borda lateral- este é um triângulo em que um ângulo está no topo da pirâmide e o lado oposto coincide com o lado da base (polígono).
Definição. Costelas laterais- estes são os lados comuns das faces laterais. Uma pirâmide tem tantas arestas quanto os ângulos de um polígono.
Definição. Altura da pirâmide- esta é uma perpendicular baixada do topo até a base da pirâmide.
Definição. Apótema- esta é uma perpendicular à face lateral da pirâmide, baixada do topo da pirâmide até a lateral da base.
Definição. Seção diagonal- esta é uma seção de uma pirâmide por um plano que passa pelo topo da pirâmide e pela diagonal da base.
Definição. Pirâmide corretaé uma pirâmide em que a base é um polígono regular e a altura desce até o centro da base.
Volume e área de superfície da pirâmide
Fórmula. Volume da pirâmide através da área da base e altura:
Propriedades da pirâmide
Se todas as arestas laterais forem iguais, um círculo pode ser desenhado ao redor da base da pirâmide e o centro da base coincide com o centro do círculo. Além disso, uma perpendicular baixada do topo passa pelo centro da base (círculo).
Se todas as arestas laterais forem iguais, elas estarão inclinadas em relação ao plano da base nos mesmos ângulos.
As arestas laterais são iguais quando formam ângulos iguais com o plano da base ou se um círculo pode ser descrito em torno da base da pirâmide.
Se as faces laterais estiverem inclinadas em relação ao plano da base no mesmo ângulo, então um círculo pode ser inscrito na base da pirâmide e o topo da pirâmide é projetado em seu centro.
Se as faces laterais estiverem inclinadas em relação ao plano da base no mesmo ângulo, então os apótemas das faces laterais serão iguais.
Propriedades de uma pirâmide regular
1. O topo da pirâmide está equidistante de todos os cantos da base.
2. Todas as arestas laterais são iguais.
3. Todas as nervuras laterais são inclinadas em ângulos iguais em relação à base.
4. Os apótemas de todas as faces laterais são iguais.
5. As áreas de todas as faces laterais são iguais.
6. Todas as faces têm os mesmos ângulos diédricos (planos).
7. Uma esfera pode ser descrita ao redor da pirâmide. O centro da esfera circunscrita será o ponto de intersecção das perpendiculares que passam pelo meio das arestas.
8. Você pode encaixar uma esfera em uma pirâmide. O centro da esfera inscrita será o ponto de intersecção das bissetrizes que emanam do ângulo entre a aresta e a base.
9. Se o centro da esfera inscrita coincide com o centro da esfera circunscrita, então a soma dos ângulos planos no vértice é igual a π ou vice-versa, um ângulo é igual a π/n, onde n é o número de ângulos na base da pirâmide.
A conexão entre a pirâmide e a esfera
Uma esfera pode ser descrita em torno de uma pirâmide quando na base da pirâmide existe um poliedro em torno do qual um círculo pode ser descrito (uma condição necessária e suficiente). O centro da esfera será o ponto de intersecção dos planos que passam perpendicularmente pelos pontos médios das arestas laterais da pirâmide.
É sempre possível descrever uma esfera em torno de qualquer pirâmide triangular ou regular.
Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide se os planos bissetores dos ângulos diédricos internos da pirâmide se cruzarem em um ponto (uma condição necessária e suficiente). Este ponto será o centro da esfera.
Relação entre uma pirâmide e um cone
Diz-se que um cone está inscrito em uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está inscrita na base da pirâmide.
Um cone pode ser inscrito em uma pirâmide se os apótemas da pirâmide forem iguais entre si.
Diz-se que um cone está circunscrito em torno de uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está circunscrita em torno da base da pirâmide.
Um cone pode ser descrito em torno de uma pirâmide se todas as arestas laterais da pirâmide forem iguais entre si.
Relação entre uma pirâmide e um cilindro
Uma pirâmide é chamada de inscrita em um cilindro se o topo da pirâmide estiver em uma base do cilindro e a base da pirâmide estiver inscrita em outra base do cilindro.
Um cilindro pode ser descrito em torno de uma pirâmide se um círculo puder ser descrito em torno da base da pirâmide.
Um tetraedro tem quatro faces e quatro vértices e seis arestas, onde quaisquer duas arestas não têm vértices comuns, mas não se tocam.
Cada vértice consiste em três faces e arestas que formam ângulo triangular.
O segmento que conecta o vértice de um tetraedro ao centro da face oposta é denominado mediana do tetraedro(GM).
Bimediano chamado de segmento que conecta os pontos médios de arestas opostas que não se tocam (KL).
Todas as bimedianas e medianas de um tetraedro se cruzam em um ponto (S). Nesse caso, as bimedianas são divididas ao meio e as medianas são divididas na proporção de 3:1 começando de cima.
Definição. Pirâmide angular aguda- uma pirâmide em que o apótema tem mais da metade do comprimento da lateral da base.
Definição. Pirâmide obtusa- uma pirâmide em que o apótema tem menos da metade do comprimento do lado da base.
Definição. Tetraedro regular- um tetraedro em que todas as quatro faces são triângulos equiláteros. É um dos cinco polígonos regulares. Em um tetraedro regular, todos os ângulos diédricos (entre as faces) e ângulos triédricos (no vértice) são iguais.
Definição. Tetraedro retangularé chamado de tetraedro no qual existe um ângulo reto entre três arestas no vértice (as arestas são perpendiculares). Formam-se três faces ângulo triangular retangular e as bordas são triângulos retângulos, e a base é um triângulo arbitrário. O apótema de qualquer face é igual à metade do lado da base sobre a qual cai o apótema.
Definição. Tetraedro isoédricoé chamado de tetraedro cujas faces laterais são iguais entre si e a base é um triângulo regular. Tal tetraedro tem faces que são triângulos isósceles.
Definição. Tetraedro ortocêntricoé chamado de tetraedro no qual todas as alturas (perpendiculares) que descem do topo até a face oposta se cruzam em um ponto.
Definição. Pirâmide estelarÉ chamado um poliedro cuja base é uma estrela.
Conceito de pirâmide
Definição 1
Figura geométrica, formado por um polígono e um ponto que não pertence ao plano que contém esse polígono, conectado a todos os vértices do polígono é chamado de pirâmide (Fig. 1).
O polígono do qual a pirâmide é feita é chamado de base da pirâmide, os triângulos resultantes, quando conectados a um ponto, são as faces laterais da pirâmide, os lados dos triângulos são os lados da pirâmide, e o ponto comum; para todos os triângulos é o topo da pirâmide.
Tipos de pirâmides
Dependendo do número de ângulos da base da pirâmide, ela pode ser chamada de triangular, quadrangular e assim por diante (Fig. 2).
Figura 2.
Outro tipo de pirâmide é a pirâmide regular.
Vamos apresentar e provar a propriedade de uma pirâmide regular.
Teorema 1
Todas as faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles iguais entre si.
Prova.
Considere uma pirâmide $n-$gonal regular com vértice $S$ de altura $h=SO$. Vamos desenhar um círculo ao redor da base (Fig. 4).
Figura 4.
Considere o triângulo $SOA$. De acordo com o teorema de Pitágoras, obtemos
Obviamente, qualquer aresta lateral será definida desta forma. Consequentemente, todas as arestas laterais são iguais entre si, ou seja, todas as faces laterais são triângulos isósceles. Vamos provar que eles são iguais entre si. Como a base é um polígono regular, as bases de todas as faces laterais são iguais entre si. Consequentemente, todas as faces laterais são iguais segundo o III critério de igualdade dos triângulos.
O teorema foi provado.
Vamos agora apresentar a seguinte definição relacionada ao conceito de pirâmide regular.
Definição 3
O apótema de uma pirâmide regular é a altura de sua face lateral.
Obviamente, pelo Teorema Um, todos os apótemas são iguais entre si.
Teorema 2
A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é determinada como o produto do semiperímetro da base e do apótema.
Prova.
Vamos denotar o lado da base da pirâmide $n-$gonal por $a$, e o apótema por $d$. Portanto, a área da face lateral é igual a
Visto que, de acordo com o Teorema 1, todos os lados são iguais, então
O teorema foi provado.
Outro tipo de pirâmide é uma pirâmide truncada.
Definição 4
Se um plano paralelo à sua base é traçado através de uma pirâmide comum, então a figura formada entre este plano e o plano da base é chamada de pirâmide truncada (Fig. 5).
Figura 5. Pirâmide truncada
As faces laterais da pirâmide truncada são trapézios.
Teorema 3
A área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular é determinada como o produto da soma dos semiperímetros das bases e do apótema.
Prova.
Denotemos os lados das bases da pirâmide $n-$gonal por $a\ e\ b$, respectivamente, e o apótema por $d$. Portanto, a área da face lateral é igual a
Como todos os lados são iguais, então
O teorema foi provado.
Exemplo de tarefa
Exemplo 1
Encontre a área da superfície lateral de uma pirâmide triangular truncada se ela for obtida de uma pirâmide regular com base lateral 4 e apótema 5 cortando um plano que passa pela linha média das faces laterais.
Solução.
Usando o teorema da linha média, descobrimos que a base superior da pirâmide truncada é igual a $4\cdot \frac(1)(2)=2$, e o apótema é igual a $5\cdot \frac(1)(2) =2,5$.
Então, pelo Teorema 3, obtemos
